5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque

Aula 21

1

Ondas sonoras harmônicas

Na aula passada deduzimos a equação de onda para ondas sonoras

propagando-se em uma dimensão. Vimos que ela pode ser escrita

em termos de três variáveis medidas em relação ao equilíbrio:

deslocamento, variação da pressão e variação da densidade.

As equações de onda unidimensionais para essas três variáveis são

(lembre-se que elas são válidas para a mesma onda sonora):

2

2

22

2 1 :toDeslocamen

t

u

vx

u

∂

∂ =

∂

∂ , (1)

( ) 2

2

22

2 1)( :Pressão

tvx

P

∂

∂ =

∂

∂ δρδ , (2)

( ) 2

2 2

2

2 )( :Densidade

x v

t ∂

∂ =

∂

∂ δρδρ . (3)

Note que elas são idênticas à equação de onda unidimensional que

obtivemos antes para a corda vibrante. Portanto, todos os fenômenos

vistos quando estudamos ondas na corda vibrante também ocorrerão

para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão.

Por causa disso, nesta aula vamos estudar apenas alguns aspectos

ondulatórios peculiares ao som.

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Vamos considerar inicialmente a equação (1), em que a onda sonora

é descrita como uma onda de deslocamento.

Para facilitar a descrição matemática, vamos tomar a solução de (1)

dada por uma onda sonora harmônica propagando-se para a direita 1

( )ϕω +−= tkxUtxu cos),( . (4)

Nesta equação, U é a máxima amplitude que o deslocamento u de

uma partícula do meio pode atingir. O comprimento de onda é dado

por

k

π λ

2 = (5)

e a frequência é dada por

T f

1

2 ==

π

ω , (6)

onde T é o período. A frequência e o comprimento de onda estão

relacionados por

vf =λ , (7)

onde v é a velocidade de propagação do som no meio, dada por

0

 

  



∂

∂ =

ρ

P v

. (8)

1 Como a equação (1) é uma equação de onda, sabemos que a onda harmônica da equação (4) é uma solução

de (1). Da mesma forma, uma onda harmônica propagando-se para a esquerda também é solução.

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Vamos agora considerar a onda sonora em termos das suas

representações como onda de pressão e como onda de densidade.

Comecemos com a representação como onda de pressão.

A questão de interesse aqui é: se a onda de deslocamento é a onda

harmônica dada por (4), qual será a expressão para a onda de

pressão correspondente? Sabemos que ela também será uma onda

harmônica, pois fisicamente não faz sentido o comportamento ser

harmônico em termos do deslocamento e não ser harmônico em

termos da pressão. Porém, será que a onda harmônica de pressão

terá a mesma fase que a onda harmônica de deslocamento? E a

amplitude, qual será o seu valor? Estas são as perguntas que

queremos responder a seguir.

Para responder às perguntas acima, vamos obter uma expressão para

a onda sonora harmônica de pressão diretamente da equação (4) para

a onda harmônica de deslocamento. Para tal, lembremos que na aula

passada, deduzimos as seguintes expressões (equações 5 e 12 da

aula 20):

0

 

  

 =

ρ δρδ

d

dP P

(9)

e

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4

),(0 tx x

u

∂

∂ −= ρδρ

. (10)

Substituindo (10) em (9):

),( 0

0 tx x

u

d

dP P

∂

∂  

  

 −=

ρ ρδ

. (11)

Lembrando que a velocidade de propagação da onda é (equação 8)

0

 

  



∂

∂ =

ρ

P v

,

podemos escrever

),(20 tx x

u vP

∂

∂ −= ρδ

. (12)

Derivando a equação (4) em relação a x:

( )ϕω +−−= ∂

∂ tkxkU

x

u sen

e substituindo em (12) obtemos a expressão desejada:

( ) ( )ϕωδϕωρδ +−≡+−= tkxPtkxkUvP sensen max 2

0 , (13)

onde

kUvP 2

0max ρδ = (14)

é a amplitude da onda harmônica de pressão (o valor máximo que a

variação da pressão em relação ao equilíbrio pode atingir).

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Portanto, a onda harmônica de pressão está defasada de π/2 em

relação à onda harmônica de deslocamento (dizemos que elas estão

em quadratura).

Podemos entender fisicamente a origem da defasagem de 90 o entre

as ondas de pressão e de deslocamento analisando a figura abaixo.

No gráfico de cima, temos como o deslocamento u varia com a

distância x no instante t = 0 (equação 4). No gráfico de baixo, temos

a variação da pressão δP em função da distância x também para o

instante t = 0 (equação 13).

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Note que a variação da pressão está defasada em relação ao

deslocamento por 90 o .

No desenho entre os dois gráficos, temos, na parte de cima, as

posições de algumas partículas do meio no equilíbrio, antes da

ocorrência da onda (bolinhas brancas). Na parte de baixo do

desenho, as mesmas partículas da parte de cima são mostradas

deslocadas conforme o deslocamento determinado pelo gráfico de u

(bolinhas negras). Setas foram desenhadas para ilustrar por quanto

cada partícula foi deslocada.

Observe que as partículas nas posições em que u = 0 não sofrem

qualquer deslocamento e que as partículas nas posições em que u é

máximo ou mínimo sofrem os maiores deslocamentos.

Correspondentemente, vemos pelo gráfico da variação da pressão

que os casos em que u = 0 podem ser: o de máxima pressão (quando

as partículas se deslocam em direção à partícula parada) ou o de

mínima pressão (quando as partículas se afastam da partícula

parada). Já os casos em que u é máximo ou mínimo correspondem

às situações em que a pressão está no valor de equilíbrio, pois o

afastamento das partículas para um lado é compensado pela

aproximação das partículas pelo outro.

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Poderíamos também descrever a onda harmônica em termos da onda

de densidade. Isto, no entanto, é desnecessário, pois pela equação (9)

vemos que as variações de pressão e de densidade são diretamente

proporcionais,

2

2

v

P vP

δ δρδρδ =⇒=

,

de maneira que o comportamento da onda de densidade é igual ao da

onda de pressão, diferindo apenas na amplitude:

( ) ( )ϕωδρϕωρδρ +−≡+−= tkxtkxkU sensen max0 . (15) Portanto, basta usar as representações da onda sonora como onda de

deslocamento ou como onda de pressão para estudá-la.

Vamos agora usar as expressões para as ondas de deslocamento e de

pressão obtidas acima para calcular a intensidade da onda sonora

harmônica.

A intensidade de uma onda é definida como a energia média

transportada pela onda por unidade de área perpendicular à sua

direção de propagação e por unidade de tempo.

Como estamos considerando o caso de uma onda sonora harmônica

unidimensional, o cálculo da intensidade da onda é muito parecido

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com o feito na aula 17 para obter a intensidade de uma onda

harmônica propagando-se pela corda.

Consideremos novamente a situação da aula 20 (página 8) em que a

onda sonora está passando por um tubo cilíndrico imaginári