OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma y resta de fracciones: Con el mismo denominador se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Suma

Ejemplo

Resta

Ejemplo

Con distinto denominador:

1. Se reducen los denominadores a común denominador:

2. Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

3. Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

4. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

M. C. M. (4, 6) = 12

Ejemplo:

Ejemplo

Multiplicación de fracciones: El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

División de fracciones El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.

.

Reducción de fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados: Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por el producto de los denominadores de las demás.

Ejemplo: Reducir a común denominador las fracciones

Las fracciones buscadas son:

Reducción de fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo: Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo se procede así:

1. ° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el denominador común de todas las fracciones.

2. ° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador.

Ejemplo; Reducir a común denominador

Las fracciones buscadas son:

Ejemplo.

Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.

1 ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?

2¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos

Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

Una familia ha consumido en un día de verano:

Dos botellas de litro y medio de agua.

4 botes de 1/3 de litro de zumo.

5 limonadas de 1/4 de litro.

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

Calculemos las siguientes operaciones con fracciones:

Efectúemos las divisiones de fracciones:

Realicemos las operaciones con fracciones:

Efectúar las operaciones con fracciones:

PRODUCTOS NOTABLES.

Son aquellos productos o multiplicaciones que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección, su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales también son denominados "Identidades Algebraicas"; cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización y por esto se le reconoce fácilmente, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Las más importantes son:

Factor común: El resultado de multiplicar un binomio a + b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

c ( a + b ) = c a + c b

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c ( a + b ), (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio: Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio de la siguiente forma:

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Observándola gráficamente quedaría así:

Ejemplo.

Simplificando:

Producto de dos binomios con un término común: Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo

Agrupando términos:

Luego:

Producto de dos binomios conjugados: Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Ejemplo

Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado: Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Gráficamente:

Ejemplo

Multiplicando los monomios:

Agrupando términos:

Luego:

Binomio al cubo o cubo de un binomio: Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Ejemplo

Agrupando términos:

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término, dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

Diferencia de cubos: Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:

Suma de potencias n-ésimas: Sí y sólo si "n" es impar

,

Diferencia de potencias n-ésimas

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio. Existe una ingeniosa fórmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados:

Binomio de Suma al Cuadrado

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b) ² = a² - 2ab + b²

Binomio Diferencia al Cuadrado

(a + b) (a - b) = a² - b²

Diferencia de Cuadrados

(a + b) ³ = a³ + 3 a2b + 3 ab2 + b³ = a3 + b³ + 3 ab (a + b)

Binomio Suma al Cubo

(a - b)³ = a³ - 3 a2b + 3 ab² - b³

Binomio Diferencia al Cubo

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c) ² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b). (b +c). (a + c)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a)(x + b) = x² + (a + b) x + ab

Los más usados:

Bibliografía.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notableshttp://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/pnotable.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htmhttp://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtmlhttp://www.vitutor.net/2/3/4.htmlhttp://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas7.htmhttp://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas8.htmhttp://www.escolar.com/matem/09opfrac.htmhttp://www.vadenumeros.es/tercero/operaciones-con-fracciones.htmhttp://www.kalipedia.com/matematicas-aritmetica/tema/numeros-racionales/operaciones-fracciones.html?x=20070926klpmatari_144.Kes