Sebenta do conteœdo teórico da disciplina de `lgebra...

Sebenta do conteúdo teórico da

disciplina

de

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Curso: Eng.a Topográ�ca

Ano Lectivo 2009/2010

(versão 1.0)

Índice

Notas Prévias iii

Notações e terminologia iv

1 Introdução 11.1 Noções elementares sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Noções elementares sobre aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Noções elementares sobre polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Espaços vectoriais. Aplicações lineares 132.1 Espaços vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Dependência e Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Subespaços vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Aplicações lineares entre espaços vectoriais . . . . . . . . . . . . . 232.5 Operações fundamentais sobre aplicações lineares . . . . . . . . . 252.6 Aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimensão �nita. . . 26

3 Matrizes 283.1 Noção de matriz. Matriz de uma aplicação linear . . . . . . . . . 283.2 Submatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Operações fundamentais sobre matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Característica de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Matriz de mudança de base e mudanças de base . . . . . . . . . . 38

4 Sistemas de equações lineares. Determinantes 414.1 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Determinação da inversa de uma matriz, usando a resolução matri-

cial de um sistema de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Noção de permutação, inversão e transposição . . . . . . . . . . . 464.4 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5 Propriedades operatórias dos determinantes . . . . . . . . . . . . 494.6 Aplicação da teoria dos determinantes ao cálculo da inversa de uma

matriz. Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.7 Aplicação da teoria dos determinantes à resolução de sistemas de

equações lineares. Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Valores próprios e vectores próprios 565.1 Subespaço invariante. Valores e vectores próprios. . . . . . . . . . 565.2 Subespaço próprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Diagonalização de endomor�smos e matrizes . . . . . . . . . . . . 63

i

6 Espaços com produto interno. Geometria Analítica 666.1 Espaços com produto interno. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2 Sistemas de vectores ortogonais, normados e ortonormados. Teo-

rema de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3 Matriz da métrica. Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . 726.4 Produto externo e produto misto de vectores . . . . . . . . . . . . 75

Referências bibliográ�cas 78

ii

Notas Prévias

Esta sebenta teórica juntamente com a sebenta de exercícios e a matéria lec-cionada nas aulas teóricas formam um todo, i.e., são uma parte integrante doprograma da disciplina.O material contido nesta sebenta, foi elaborado em parte com base nas refer-

ências [1], [2], [3] e de um conjunto de apontamentos que o próprio foi elaborandoao longo do tempo.

N.B.: Na elaboração desta sebenta, e dentro do possível, houve o cuidadode se usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizadapossível, no entanto, esta sebenta pode não estar isenta de - apesar de involuntárias- omissões e incorrecções1.

1apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se correcções ecomentários, de preferência, enviados para [email protected].

iii

Notações e terminologia

Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais:

; o conjunto vazioN = f0; 1; 2; 3; � � � g o conjunto dos números naturais

Z = f� � � ;�2;�1; 0; 1; 2; � � � g o conjunto dos números inteiros

Q =nxy2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g

oo conjunto dos números racionais

R o conjunto dos números reais

C o conjunto dos números complexos

De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo �:=�quer designar a igualdade de duas entidades por de�nição.O símbolo �v�representa uma subestrutura de uma dada estrutura algébrica. Porexemplo, sendo V um espaço vectorial e F um subconjunto de V , para abreviara expressão �F é um subespaço vectorial de V �, usamos o simbolismo F v V .Sendo X 2 fN;Z;Q;Rg, representaremos por X>0; X�0 e X6=0, respectiva-

mente, os seguintes conjuntos:

X>0 := fx 2 X : x > 0gX�0 := fx 2 X : x � 0gX6=0 := fx 2 X : x 6= 0g .

Como exemplos, o conjunto

R�0 := fx 2 R : x � 0g = [0;+1[,

representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto

R 6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R n f0g ,

representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero.

iv

1. Introdução

1.1. Noções elementares sobre conjuntos

Intuitivamente um conjunto é uma entidade única formada por diversos elementosdados à priori; estes �objectos�que intervieram por assim dizer, na formação doconjunto, são chamados de elementos do conjunto. Por exemplo, o conjunto

A := fx; y; zg

tem como elementos os objectos x, y e z.Para simbolizar que x é um dos elementos do conjunto A, escrevemos

x 2 A

o que se lê, x é elemento de A, ou que x pertence a A.Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B, sempre que todo oelemento de A é também elemento de B. Para signi�car que A está contido emB, escrevemos

A � Bo que se lê, A está contido em B, ou que A é subconjunto de B.Quando A é um subconjunto próprio de B, i.e., A é subconjunto de B mas não éigual a B, representamos este facto por A B.

Exemplo 1.1.1. O conjunto f1; 2; 3g é subconjunto do conjunto f1; 2; 3; 4; 5g,pois todo o elemento do primeiro conjunto é elemento do segundo conjunto.

Uma outra noção intuitiva que iremos utilizar é a de igualdade. Dizemos quedois conjuntos A e B são iguais ou que coincidem se, e só se, têm exactamente osmesmos elementos.

O que acabámos de escrever, é um dos axiomas fundamentais da teoria de con-juntos e que é conhecido pelo axioma da extensão.

Axioma: Dois conjuntos arbitrários são iguais, se eles têm os mesmos elementos,ou seja,

A = B () (8x : x 2 A, x 2 B).

Exemplo 1.1.2. Os conjuntos A := f1; 2; 3g e B := f3; 2; 1g são iguais, dado quepossuem os mesmos elementos.

Vejamos um resultado que nos permite relacionar o conceito de igualdade deconjuntos com a noção de subconjunto:

1

Teorema 1.1.3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então, tem-se que:

A = B () A � B ^B � A.

Uma outra noção, que necessitaremos mais à frente, é a noção de cardinalou número cardinal. O conceito de cardinal está relacionado com o tamanho dosconjuntos. Na realidade, pretende-se saber o número de elementos de um conjunto,como também dar resposta ao seguinte:dados dois conjuntos quaisquer eles terão o mesmo número de elementos ou não.Sem grande formalismo, iremos representar por card(X) (ou por#(X)), o cardinaldo conjunto X, querendo com isto indicar, o número de elementos do conjuntoX. Deste modo, diremos que um qualquer conjunto X é �nito se o seu cardinal éum número �nito, de outro modo, diremos que X é um conjunto in�nito ou queo seu cardinal é um cardinal trans�nito.

Exemplo 1.1.4. O cardinal do conjunto vazio, ;, é 0. O cardinal do conjuntof1; 2; 3; 4g é 4, pois ele possui quatro elementos. O cardinal do conjunto f1; 2; f3; 4ggé 3, pois possui três elementos, sendo um desses elementos o conjunto f3; 4g.

Existem, essencialmente, cinco processos pelos quais, a partir de conjuntosdados, se podem obter outros:

� A união de conjuntos.

� A intersecção de conjuntos.

� A subtracção de conjuntos.

� As partes de um conjunto (ou os subconjuntos de um conjunto).

� O produto cartesiano de conjuntos.

De�nição 1.1.5. Dados os conjuntos A e B, a sua união é um conjunto, repre-sentado pelo símbolo A [ B, e onde �guram os elementos de A juntamente comos elementos de B. Simbolicamente,

A [B := fx : x 2 A _ x 2 Bg .

Exemplo 1.1.6. Seja A := f1; 2; 3g e B := f4; 5; 6g, então

A [B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g .

Vejamos algumas propriedades da união de conjuntos:

Teorema 1.1.7. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Então, tem-se que:

1) A [B = B [ A.

2) (A [B) [ C = A [ (B [ C).

3) ; [ A = A.

4) A [ A = A.

2

De�nição 1.1.8. Dados os conjuntos A e B, a sua intersecção é um conjunto,representado pelo símbolo A \ B, e onde �guram os elementos que pertencemsimultaneamente a A e a B. Simbolicamente,

A \B := fx : x 2 A ^ x 2 Bg .

Exemplo 1.1.9. Seja A := f1; 2; 3; 4g e B := f2; 3; 4; 5g, então

A \B = f2; 3; 4g .

Vejamos algumas propriedades da intersecção:

Teorema 1.1.10. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Então, tem-se que:

1) A \B = B \ A.

2) (A \B) \ C = A \ (B \ C).

3) ; \ A = ;.

4) A \ A = A.

De�nição 1.1.11. Dados os conjuntos A e B, a sua subtracção é um conjunto,representado pelo símbolo A nB, e onde �guram os elementos que pertencem a Ae não pertencem a B. Simbolicamente,

A nB := fx : x 2 A ^ x =2 Bg .

Exemplo 1.1.12. Seja A := f1; 2; 3; 4; 5g e B := f2; 3; 4g, então

A nB = f1; 5g .

De�nição 1.1.13. Dado um conjunto A arbitrário, o conjunto das partes de A,é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A, e representa-sepor P(A). Simbolicamente,

P(A) := fX : X � Ag .

Exemplo 1.1.14. Sendo A := f1; 2g então, o conjunto das partes de A é dadopor:

P(A) = f;; f1g ; f2g ; f1; 2gg .

De�nição 1.1.15. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chama-se par orde-nado de a e b, e representa-se por (a; b), ao conjunto

(a; b) := ffag ; fa; bgg .

Observação: Note-se que o par ordenado (a; b) é diferente de fa; bg.

Teorema 1.1.16. Dados os pares ordenados (x; y) e (a; b), tem-se que:

(x; y) = (a; b), x = a ^ y = b.

3

De�nição 1.1.17. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. O produto cartesianode A e B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a; b), onde a 2 Ae b 2 B. Designando este conjunto por A�B, temos então que:

A�B := f(a; b) 2 P(P(A [B)) : a 2 A ^ b 2 Bg .

Exemplo 1.1.18. Sejam A := f1; 2g e B := f3; 4g. Então, o produto cartesianodestes conjuntos é:

A�B = f(1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4)g .

É possível estender a operação de produto cartesiano a n conjuntos, nomeada-mente, se se tem n conjuntos todos iguais, representa-se por

An =

nz }| {A� A� � � � � A

o produto cartesiano destes n conjuntos.Deste modo, se (x1; x2; : : : ; xn) e (y1; y2; : : : ; yn) são elementos de An, a sua igual-dade é dada por:

(x1; x2; : : : ; xn) = (y1; y2; : : : ; yn)() 8i 2 f1; 2; : : : ; ng , xi = yi.

4

1.2. Noções elementares sobre aplicações

De�nição 1.2.1. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Diz-se que R é umarelação binária de�nida emA�B, seR é um subconjunto deA�B, i.e., R � A�B.

Notação: Se R é uma relação binária, por vezes, é conveniente expressar o facto(x; y) 2 R por :

(x; y) 2 R, xRy.

Observação: Se R é uma relação binária, então poder-se-á escrever

R = f(x; y) 2 A�B : x relaciona-se com yg .

Se B = A, é costume simplesmente dizer-se que R é uma relação de�nida em A,ou mais abreviadamente, R é uma relação em A.

De�nição 1.2.2. Seja R uma relação binária de�nida em A � B. Chama-sedomínio da relação R, e representa-se por dom(R) ao subconjunto de A,

Dom(R) := fx 2 A : 9y 2 B, xRyg .

Vejamos um conceito muito importante emmatemática, que é o conceito de funçãoou aplicação.

De�nição 1.2.3. Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Um função (ou apli-cação) de A em B, é uma relação f de�nida em A�B tal que:

(i) 8x 2 A 9y 2 B : (x; y) 2 f ;

(ii) 8x 2 A 8y; z 2 B : (x; y) 2 f ^ (x; z) 2 f ) y = z.

Notação: Dado que as duas condições da de�nição anterior são equivalentes a:

8x 2 A 91y 2 B : (x; y) 2 f ,

é costume, no caso das aplicações escrever f(x) = y em vez de (x; y) 2 f .Observações:

1) O ponto (i) da de�nição anterior é equivalente a Dom(f) = A, e diz-nos quetodo o elemento de A tem que ter uma imagem, ou seja, todo o elemento deA tem um elemento correspondente no conjunto B.

2) Tendo em conta a notação f(x) = y, em vez de (x; y) 2 f , o ponto (ii) dade�nição anterior é equivalente a:

8x; y 2 A x = y ) f(x) = f(y).

3) Uma relação em que Dom(f) � A e não obrigatoriamente Dom(f) = A,diz-se uma relação funcional.

Tendo em conta as observações anteriores é possível reenunciar a de�nição defunção do seguinte modo:

5

De�nição 1.2.4. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Uma função f é uma

relação de�nida em A�B, que se representa por f : A! B ou por Af! B e tal

que veri�ca:

1) 8x 2 A 9y 2 B : f(x) = y; (de�nida)

2) 8x; y 2 A x = y ) f(x) = f(y). (bem-de�nida)

Observação: Ao conjunto A diz-se o domínio de f e ao conjunto B diz-se ocodomínio de f . É costume representar por BA o conjunto de todas as aplicaçõesde A em B.

Exemplo 1.2.5. A função seno, sin : R ! R que a cada x faz corresponder oelemento sin(x). Outro exemplo, é a função f : R! R de�nida por x 7! 2x+ 1.

De�nição 1.2.6. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e f : A ! B umaaplicação e A0 � A. Chama-se restrição de f a A0, e representa-se por fjA0 aaplicação fjA0 : A0 ! B de�nida para todo o x 2 A0, por fjA0(x) := f(x).

Um tipo especial de aplicações, muito importantes, são as operações binárias:

De�nição 1.2.7. Seja A um conjunto qualquer. Chamamos de operação bináriade�nida em A, a qualquer aplicação de A2 em A, i.e., uma aplicação � : A2 ! Aque a cada par (x; y) faz corresponder o elemento x � y.É usual, em operações binárias, escrever-se x�y em vez de �((x; y)). Por exemplo,estamos habituados a escrever x+ y em vez de +((x; y)).

Exemplo 1.2.8. A adição e a multiplicação usuais (as que usamos no nosso dia-a-dia), são exemplos bastante comuns de operações binárias.

De�nição 1.2.9. Seja A um conjunto qualquer.

1) Chamamos de operação unária de�nida em A, a qualquer aplicação de A emA, i.e., uma aplicação A! A.

2) Chamamos de operação nulária de�nida em A, a qualquer aplicação de umconjunto unitário (ou seja, um conjunto com um único elemento) em A, i.e.,a uma aplicação A0 ! A.

Observação: A ideia que está por detrás de uma operação nulária, é a de �xarum elemento no conjunto. Um exemplo desta operação é o elemento neutro.

Exemplo 1.2.10. O simétrico na adição dos números reais.Em geral, escreve-se x� y para representar x+ (�y), onde na segunda parcela osímbolo ��representa o simétrico. O elemento neutro na adição de números reaisé o número 0.

Exemplo 1.2.11. O inverso na multiplicação de números reais, que se representapor (�)�1, i.e., o inverso do número real x 6= 0 é x�1. O elemento neutro namultiplicação de números reais é o número 1.

6

As operações binárias podem ser generalizadas para operações n-árias, comopor exemplo, operações ternárias, i.e., aplicações de A3 ! A e, operações quater-nárias de A4 ! A e, de um modo geral, operações n-árias, ou seja, operações deAn ! A.

Observação: No capítulo dos espaços vectoriais irão ser introduzidas algumasdestas operações n-árias. Por exemplo, irá ser introduzida uma operação bináriade adição no conjunto Rn.

De�nição 1.2.12. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam A0 � A eB0 � B e f : A! B uma aplicação.

1) A imagem directa de um subconjunto A0 de A é o conjunto

f(A0) := ff(x) 2 B : x 2 A0g .

2) A imagem inversa (também se diz a pré-imagem) de um subconjunto B0 deB é o conjunto

f�1(B0) := fx 2 A : f(x) 2 B0g .

Observação: Quando A0 = A, então é costume também escrever-se Im(f) emvez de f(A) e diz-se a imagem de f ou o contradomínio de f .Apesar da notação usada para representar a imagem directa e a imagem inversanão ser a melhor, ela é comumente usada. No entanto, não convém confundir anoção de imagem inversa com a de função inversa, que são conceitos distintos. Afunção inversa só existe se a função f é bijectiva (ver noção na de�nição 1.2.13).

Recordemos algumas noções que caracterizam uma aplicação:

De�nição 1.2.13. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e f : A ! B umaaplicação.

1) A aplicação f diz-se injectiva se:

8x; y 2 A f(x) = f(y)) x = y.

2) A aplicação f diz-se sobrejectiva se:

8y 2 B 9x 2 A : y = f(x).

3) A aplicação f diz-se bijectiva, se f é simultaneamente injectiva e sobrejec-tiva, i.e., se:

8y 2 B 91x 2 A : y = f(x).

Vejamos algumas operações fundamentais sobre aplicações:

De�nição 1.2.14. Sejam A um conjunto qualquer não vazio, RA o conjunto detodas as aplicações de A em R e f; g 2 RA. De�nem-se, então as seguintesaplicações:

1) f + g : A! R por (f + g)(x) := f(x) + g(x).

2) Sendo � 2 R, �f : A! R por (�f)(x) := �(f(x)).

7

3) jf j : A! R por jf j (x) := jf(x)j.

4) f � g : A! R por (f � g)(x) := f(x) � g(x).

De�nição 1.2.15. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer e, f : A! B e g : B !C duas aplicações. A aplicação h : A! C de�nida para todo o x 2 A por:

h(x) = g(f(x))

diz-se a composição de f com g e representa-se por g � f .

Uma outra maneira de vermos a composição de duas aplicações é através dodiagrama:

Af! B

g! C.

Exemplo 1.2.16. Sejam f; g : R ! R duas aplicações de�nidas, respectiva-mente, por x 7! sin(x) e x 7! x2. Então, a composição de f e g é dada por:

(g � f)(x) = g(f(x)) = g(sin(x)) = sin(x2).

Note-se que (f � g)(x) = f(x2) = (sin(x))2, é bem diferente de (g � f)(x).

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1.3. Noções elementares sobre polinómios

De�nição 1.3.1. Seja A um anel com elemento unidade. Um polinómio na in-determinada x, é uma expressão da forma:

a0x0 + a1x

1 + � � �+ an�1xn�1 + anxn + � � � =Xi2N

aixi, (1.1)

na qual apenas um número �nito de ai�s é diferente de 0A (o zero do anel), x e osinal �+�são meros símbolos1 e, para todo o i 2 N, ai 2 A.

Em geral, considera-se que, x0 = 1A, x1 = x e, deste modo, a01A = a0. Assimsendo, a expressão (1.1), reveste o seguinte aspecto:

a0 + a1x+ � � �+ an�1xn�1 + anxn + � � � .

Observação: Note-se, porém que, se para cada i, xi 2 A, o símbolo �+� é aprimeira operação binária de A e, em cada aixi, está envolvida a segunda operaçãobinária de A então, de um modo natural, a expressão (1.1) é um elemento de A.

A cada uma das componentes aixi da expressão (1.1) chamam-se termos dopolinómio. Quando um polinómio tem apenas um termo não nulo, chama-semonómio; se tem dois termos não nulos, chama-se binómio, se tem três termos nãonulos, é um trinómio. Se tem mais que três termos não nulos, diz-se, simplesmenteque é um polinómio de 4, 5, etc., termos. A expressão (1.1), pode ser considerada,como sendo a soma de n+ 1 monómios.

Cada monómio é constituído por duas partes: o coe�ciente e a parte literal. Aoselementos ai�s chamam-se os coe�cientes do polinómio e aos xi�s, as respectivaspartes literais.

Podemos considerar, para facilidade de escrita, quando um dos coe�cientes deum polinómio é o zero do anel, omitir o termo correspondente. A esses termoschamam-se termos nulos do polinómio. Quando todos os termos de um polinómiosão nulos, escrevemos apenas 0, em vez de 0A+0Ax+ � � �+0Axn+ � � � . Chamamosa este polinómio o polinómio nulo.Ao termo a0x0 = a0 chama-se termo constante do polinómio.Assim, por exemplo, o polinómio

�p3 + 4x2 � x3 + 2x5,

é uma abreviatura do polinómio

(�p3) + 0x+ 4x2 + (�1)x3 + 0x4 + 2x5 + 0x6 + � � � .

Exemplo 1.3.2. O monómio �3x2, tem como coe�ciente �3 e como parte literalx2. O polinómio 4 + 3x + x2 + 2x3, tem como coe�cientes, 4; 3; 1 e 2 e partesliterais respectivamente, x0; x1; x2 e x3.

1Consideremos que x é um mero símbolo formal e que não interfere em nada do que se segue.Na justaposição de ai e xi, formando aixi, não obrigatoriamente, está envolvida uma operaçãode A, bem como, o sinal �+�não obrigatoriamente, é uma operação binária em A.

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De�nição 1.3.3. O grau de um polinómio p não nulo é o mais elevado grau dosseus termos não nulos, e representa-se por deg(p).Convenciona-se que o grau do polinómio nulo, 0, é o símbolo�1, ou seja, deg(0) =�1.

Iremos adoptar as seguintes regras usuais, para todo o n 2 N,

(�1) + (�1) = �1(�1) + n = �1.

Aos polinómios de grau 0 ou 1, também é costume chamarem-se lineares e aos degrau 2; 3; 4; 5, etc. é costume chamarem-se, respectivamente, quadráticos, cúbicos,quárticos, quínticos, etc..

Por vezes, estamos interessados em polinómios em mais do que uma indeter-minada, como por exemplo, o polinómio

2x3y + 25x2y2 � 4xy3 + 2y4,

é um polinómio nas indeterminadas x e y. Este tipo de polinómios aparecem,quando estudarmos produtos internos.

De�nição 1.3.4. Ao conjunto de todos os polinómios nas indeterminadasx1; x2; : : : ; xn com coe�cientes em A, representa-se por A[x1; x2; : : : ; xn].Se tivermos apenas uma única indeterminada x, representa-se por A[x].

Exemplo 1.3.5. O polinómio 4x+ 3x2 + 2x3 em R[x] é de grau 3, pois o termodo polinómio de maior grau não nulo é 2x3, que é de grau 3. O primeiro termo4x é de grau 1, e o segundo termo 3x2, é de grau 2.

Exemplo 1.3.6. O polinómio 2x2+2x2y+4xy4 em duas indeterminadas x e y, éde grau 5, pois o primeiro termo é de grau 2, o segundo termo é de grau 3 (que é asoma dos expoentes das indeterminadas que �guram naquele termo), e o terceirotermo é de grau 5 (= 1 + 4).

Exemplo 1.3.7. Se um polinómio é de grau 0, então ele reduz-se ao termo con-stante, sendo este termo não nulo. Os polinómios 2,

p3 em R[x], são ambos de

grau 0.Note que o polinómio 2 é uma abreviatura de 2 + 0x + 0x2 + � � � , analogamentepara

p3.

De�nição 1.3.8. Se os termos não nulos de um polinómio em duas ou maisindeterminadas são todos do mesmo grau, este diz-se um polinómio homogéneo.

Exemplo 1.3.9. O polinómio 2x3 + 4xy2 + 5y3 em duas indeterminadas x e y éhomogéneo, pois todos os seus termos têm o mesmo grau, que é 3.

Vamos introduzir operações binárias no conjunto A[x], de modo a torná-lo umaestrutura algébrica e considerando para tal que A é um anel:

Sendo p; q 2 A[x], onde

p :=Xi2N

aixi e q :=

Xi2N

bixi,

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de�ne-se a soma e a multiplicação destes dois elementos por:

p+ q =Xi2N

(ai + bi)xi

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + � � �

e

p � q =Xi2N

cixi, onde ci :=

iXk=0

akbi�k

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + � � � .

Estamos também interessados em introduzir uma operação binária externa, ouseja, uma aplicação de A� A[x] em A[x] e que de�nimos do seguinte modo:

a;Xi2N

aixi

!7�!

Xi2N

(aai)xi.

De�nição 1.3.10. Dados os polinómios

p :=Xi2N

aixi e q :=

Xi2N

bixi,

eles são iguais se, e só se,8i 2 N, ai = bi.

De�nição 1.3.11. Um polinómio p 2 A[x], diz-se mónico quando o coe�cientede maior grau é igual ao elemento unidade do anel A.

Exemplo 1.3.12. Os polinómios 1 + 2x2 + x3 e �3 + 2x + x2 são mónicos emR[x].

No que se segue, vamos estar mais interessados em conjuntos de polinómios deum determinado grau, nomeadamente, no conjunto de polinómios de grau menorou igual a n 2 N (�xo), e que se representa por An[x], ou seja, sendo n 2 N �xo,tem-se:

An[x] :=np 2 A[x] : deg(p) � n

�_ deg(p) = �1

o.

Deste modo, um polinómio p 2 An[x], pode ser escrito da seguinte maneira:

a0 + a1x+ � � �+ an�1xn�1 + anxn,

no qual an 6= 0A e os coe�cientes ai�s dos termos consecutivos a anxn são todosnulos. Note-se, porém que, no caso do conjunto de polinómios de grau menor ouigual a um determinado n (�xo), a operação de multiplicação de dois elementosdele, deixa de ser um elemento desse conjunto, pois, em geral, dá um polinómiode grau superior a n, a menos que, a indeterminada esteja sujeita a determinadascondições.Daqui em diante, iremos apenas restringirmos aos casos em que A é um corpo,notando que, o facto de A ser um corpo não se tem que A[x] seja um corpo, aliás,não é um corpo, por existirem elementos em A[x] que não são invertíveis.

11

É possível também escrevermos o polinómio de grau n na indeterminada x,

a0 + a1x+ � � �+ an�1xn�1 + anxn

da seguinte maneira:

anxn + an�1x

n�1 + � � �+ a1x+ a0.

No primeiro caso, dizemos que o polinómio está ordenado segundo as potênciascrescentes da indeterminada x e, no segundo caso, que está ordenado segundo aspotências decrescentes da indeterminada x.

12

2. Espaços vectoriais. Aplicaçõeslineares

2.1. Espaços vectoriais

De�nição 2.1.1. Seja (K; +; �; 0; 1) um corpo qualquer. Seja V um conjuntoarbitrário e suponhamos que:

1) em V está de�nida uma operação binária, que se representa por + e umaoperação nulária, que se representa por 0V , de tal modo que, (V ; +; 0V ) éum grupo abeliano;

2) está de�nida uma operação binária externa, K � V ! V , (�; x) 7! �x, aque é costume chamar-se multiplicação por escalar e, de tal modo que, paratodo o x; y 2 V e �; � 2 K veri�ca-se o seguinte:

(i) �(x+ y) = �x+ �y;

(ii) (�+ �)x = �x+ �x;

(iii) (� � �)x = �(�x);(iv) 1x = x.

Nestas condições, V constitui um espaço vectorial sobre o corpo K.

Observação: Daqui em diante, representaremos o corpo (K; +; �; 0; 1) apenaspelo seu conjunto suporte K.Notação: Aos elementos de qualquer espaço vectorial V chamam-se vectorese geralmente representam-se pelas letras x; y; z ou também por u; v e w e, aoselementos do corpoK chamamos de escalares e usualmente denotam-se pelas letrasdo alfabeto grego, ou seja, �; �; ; : : :. Outros autores representam os vectores por!x;

!y ;

!z etc., mas não iremos fazer uso de tal notação.

De�nição 2.1.2. Quando o corpo K = Q com as operações usuais, diz-se que Vé um espaço vectorial racional, quando K = R com as operações usuais, diz-se queV é um espaço vectorial real e quando K = C com as operações usuais, diz-se umespaço vectorial complexo.

Teorema 2.1.3. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Então, para todoo vector x; y 2 V e escalares �; � 2 K é válido o seguinte:

1) 0x = 0V .

2) �0V = 0V .

13

3) (��)x = �(�x) = �(�x).

4) (�� )x = �x� �x.

5) �(x� y) = �x� �y.

6) �x = 0V ) � = 0 _ x = 0V .

7) �x = �x ^ x 6= 0V ) � = �.

De�nição 2.1.4. Um sistema de n vectores de um espaço vectorial V , é umasucessão de n vectores, ou seja, uma aplicação do conjunto f1; 2; : : : ; ng emV . É comum representar-se o sistema formado pelos vectores x1; x2; : : : ; xn por(x1; x2; : : : ; xn).

Observação: É conveniente realçar, que dado um sistema (ou família) de vec-tores pode perfeitamente haver vectores repetidos, eventualmente, podem até sertodos iguais, pelo que o sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn) não é o mesmo queo conjunto formado por estes vectores, i.e., o conjunto fx1; x2; : : : ; xng . Con-vém ter em atenção, que existem autores que ao pretenderem referir-se a umsistema de vectores fazem um abuso de notação e usam fx1; x2; : : : ; xng em vezde (x1; x2; : : : ; xn).

14

2.2. Dependência e Independência linear

De�nição 2.2.1. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K e, tomemos arbi-trariamente vectores x1; x2; : : : ; xn 2 V e escalares �1; �2; : : : ; �n 2 K, sendo o narbitrário (�xo). Então, o vector

x = �1x1 + �2x2 + � � �+ �nxn,

diz-se uma combinação linear dos vectores x1; x2; : : : ; xn por meio dos escalares�1; �2; : : : ; �n.

Exemplo 2.2.2. Seja R3 o espaço vectorial real e considerem-se os vectores:

x1 := (1;�1; 2) , x2 := (0;�1; 1) e x3 := (2; 1;�1)

e os escalares �1 := 1, �2 := �3 e �3 := 1, então pode-se formar a seguintecombinação linear:

x = 1x1 � 3x2 + 1x3= (1;�1; 2) + (0; 3;�3) + (2; 1;�1)= (3; 3;�2) .

Diz-se que o vector x, é uma combinação linear dos vectores x1, x2 e x3 por meiodos escalares �1, �2 e �3.Com outros escalares, obteriamos outras combinações lineares, dos mesmos vec-tores.

De�nição 2.2.3. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K e x1; x2; : : : ; xn 2V .

1) Diz-se que o sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn) é linearmente dependentequando o vector nulo se puder escrever como combinação linear dos vectoresx1; x2; : : : ; xn de mais de uma maneira possível, ou seja,

�1x1 + �2x2 + � � �+ �nxn = 0V ) 9i 2 f1; 2; : : : ; ng : �i 6= 0.

2) Diz-se que o sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn) é linearmente independentequando o vector nulo se puder escrever de maneira única como combinaçãolinear dos vectores x1; x2; : : : ; xn, que é a combinação linear que tem osescalares todos nulos, ou seja,

�1x1 + �2x2 + � � �+ �nxn = 0V ) 8i 2 f1; 2; : : : ; ng , �i = 0.

Exemplo 2.2.4. O sistema de vectores ((1; 2; 1) ; (1; 1; 1) ; (0; 1; 0)) no espaço vec-torial real R3 é um sistema linearmente dependente, uma vez que além da equação

0 (1; 2; 1) + 0 (1; 1; 1) + 0 (0; 1; 0) = (0; 0; 0)

ser verdadeira, também o é

1 (1; 2; 1) + (�1) (1; 1; 1) + (�1) (0; 1; 0) = (0; 0; 0) .

Deste modo, para além da primeira combinação, que é a combinação linear nula,também é possível ter a combinação linear cujos escalares são 1, �1 e �1.

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Exemplo 2.2.5. O sistema de vectores ((1; 2; 1) ; (�1; 0; 1) ; (0; 1; 0)) no espaçovectorial real R3 é um sistema linearmente independente, uma vez que somentecom os escalares nulos, a equação

0 (1; 2; 1) + 0 (�1; 0; 1) + 0 (0; 1; 0) = (0; 0; 0)

é verdadeira.

Exemplo 2.2.6. Façamos o estudo de um sistema formado por apenas um vec-tor, i.e., o sistema (x), onde x é elemento de um espaço vectorial qualquer sobreum corpo K.Se x = 0V , então a combinação 10V = 0V , dá-nos um sistema linearmente depen-dente.Se x 6= 0V , então o sistema é sempre linearmente independente, uma vez que, aúnica combinação linear possível é a combinação linear nula, ou seja, a combinação0x = 0V .

Vimos nos exemplos anteriores, casos de sistemas linearmente (in)dependentes.No exemplo que se segue, vamos ver o processo geral, que nos permite veri�car,se um dado sistema de vectores é, ou não, linearmente (in)dependente.

Exemplo 2.2.7. Considere-se o espaço vectorial real R3 e o seguinte sistema devectores:

((1; 0; 1) ; (�1; 1; 0) ; (0; 0; 1)) .Da de�nição de linearmente (in)dependente, tem-se a combinação linear

�1 (1; 0; 1) + �2 (�1; 1; 0) + �3 (0; 0; 1) = (0; 0; 0) ,

que resulta no sistema de equações8<:�1 � �2 = 0�2 = 0�1 + �3 = 0

.

Resolvendo este sistema, obtem-se a solução (única) �1 = �2 = �3 = 0. Portanto,o sistema dado, é um sistema linearmente independente.

Teorema 2.2.8. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K.

1) Se o vector nulo, �gura num sistema de vectores de V , então esse sistema élinearmente dependente.

2) Um sistema de p (p 2 f2; : : : ; ng, mas �xo) vectores é linearmente depen-dente, se, e só se,então pelo menos um dos vectores escreve-se como combi-nação linear dos restantes.

3) Se (x1; x2; : : : ; xn) é um sistema linearmente independente e o sistema

(x1; x2; : : : ; xn; y)

é linearmente dependente, que é obtido do primeiro por adjunção de umoutro vector y. Então, y escreve-se como combinação linear dos vectoresx1; x2; : : : ; xn.

16

4) Se o sistema (x1; x2; : : : ; xn) é linearmente independente, então qualquersubsistema dele é também linearmente independente.

5) Todo o sistema de vectores que resulta da ampliação de um sistema de vec-tores linearmente dependente é ainda um sistema linearmente dependente.

6) Um sistema de vectores (x1; x2; : : : ; xn) é linearmente independente se, e sóse, qualquer sua combinação linear, tem escalares únicos, i.e.,

nXi=1

�ixi =

nXi=1

�ixi ) 8i 2 f1; 2; : : : ; ng , �i = �i.

7) Dado um sistema de n vectores, se considerar-mos outro sistema de vectoresem que todos se mantêm à excepção de um vector que é substituído pelasoma dele com outro vector do sistema, então o primeiro sistema é linear-mente independente (resp., linearmente dependente) se, e só se, o segundosistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente), ou seja,o sistema

(x1; x2; : : : ; xi; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.)

sse

(x1; x2; : : : ;

posição iz }| {xi + xj; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.).

8) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de um vector que é substituído pelaacção de um escalar não nulo por ele, então o primeiro sistema é linearmenteindependente (resp., linearmente dependente) se, e só se, o segundo sistematambém é linearmente independente (resp., linearmente dependente), ouseja, o sistema


sse

(x1; x2; : : : ;

posição iz}|{�xi ; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i.(resp., l.d.).

9) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de um deles que é substituído pelaacção de um escalar não nulo somado com outro vector, então o primeirosistema é linearmente independente (resp., linearmente dependente) se, e sóse, o segundo sistema é linearmente independente (resp., linearmente depen-dente), ou seja, o sistema


sse

(x1; x2; : : : ;

posição iz }| {�xi + xj; : : : ; xj; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.).

17

10) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de dois deles que se trocam entresi, então o primeiro sistema é linearmente independente (resp., linearmentedependente) se, e só se, o segundo sistema é linearmente independente (resp.,linearmente dependente), ou seja, o sistema


sse

(x1; x2; : : : ;

posição iz}|{xj ; : : : ;

posição jz}|{xi ; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.).

11) Dado um sistema de n vectores, se considerarmos um outro sistema de vec-tores em que todos se mantêm à excepção de dois deles que se trocam entresi e no qual um deles é substituído pela acção de um escalar somado como outro vector, então o primeiro sistema é linearmente independente (resp.,linearmente dependente) se, e só se, o segundo sistema é linearmente inde-pendente (resp., linearmente dependente), ou seja, o sistema


sse

(x1; x2; : : : ;

posição iz }| {�xi + xj; : : : ;

posição jz}|{xi ; : : : ; xn) é l.i. (resp., l.d.).

No caso particular de � = 0, obtemos o caso anterior.

De�nição 2.2.9. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Diz-se que osistema (x1; x2; : : : ; xn) de vectores de V é um sistema gerador de V , se qualquervector de V , se escreve como combinação linear desse sistema. Simbolicamente,

8x 2 V 9�i 2 K : x = �1x1 + �2x2 + � � �+ �nxn.

Note-se que se existem vectores repetidos no sistema (x1; x2; : : : ; xn), o própriosistema e a imagem dele (i.e., o conjunto fx1; x2; : : : ; xng) geram o mesmo espaçovectorial V .Para indicar que A := Im((x1; x2; : : : ; xn)) � V é um conjunto gerador de Vescreve-se V = hAi e, deste modo, diz-se que V é o espaço gerado por A.No caso de A = ;, considera-se h;i = f0V g.

Observação: Note-se que o espaço gerado pelo conjunto A := fx1; x2; : : : ; xkg, éigual ao conjunto de todas as combinações lineares �nitas de elementos de A, ouseja,

hAi =(

kXi=1

�ixi 2 V : �i 2 K ^ xi 2 A e k 2 N 6=0

)Nota: Por vezes, também se encontra na literatura o simbolismo L(A), pararepresentar o espaço gerado por A a que também se chama expansão linear de A.

De�nição 2.2.10. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Se V admiteum conjunto de vectores geradores �nito, então V diz-se um espaço vectorial�nitamente gerado.

18

Exemplo 2.2.11. Considere-se no espaço vectorial real R3 o sistema

((1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)) .

Facilmente, se veri�ca que, este sistema é linearmente independente e que qualquervector de R3, se escreve como combinação linear dos vectores do sistema dado,pois considerando um qualquer vector genérico (x; y; z) de R3, tem-se a seguinteequação:

(x; y; z) = x (1; 0; 0) + y (0; 1; 0) + z (0; 0; 1) .

Teorema 2.2.12. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e (x1; x2; : : : ; xn)um sistema gerador de V . Se um dos vectores xi é combinação linear dos restanteselementos do sistema, então (x1; x2; : : : ; xi�1; xi+1; : : : ; xn) é ainda um sistemagerador de V .

Teorema 2.2.13. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K e que admite umsistema de n vectores geradores e linearmente independentes.

1) Um qualquer sistema constituído por n + 1 vectores, é um sistema linear-mente dependente.

2) Um qualquer conjunto de n vectores geradores de V , é um sistema de vec-tores linearmente independente.

3) Um sistema de n vectores linearmente independente, é um sistema de vec-tores geradores de V .

4) Um conjunto de vectores geradores de V , não pode ter menos que n vectores.

5) Um qualquer sistema de vectores linearmente independente, não pode termais do que n vectores.

6) Qualquer sistema de n vectores geradores e linearmente independente, éconstituído por n elementos.

7) Um sistema com m < n vectores linearmente independentes, pode ser am-pliado, de modo a ser um sistema de n vectores geradores e linearmenteindependente.

Teorema 2.2.14. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K, (x1; x2; : : : ; xp)e (y1; y2; : : : ; yq) dois sistemas de vectores geradores e linearmente independentesde V . Então, eles têm o mesmo número de vectores.

Introduzimos agora um conceito importante, que é o conceito de base de umespaço vectorial.

De�nição 2.2.15. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Um sistema devectores geradores e linearmente independente diz-se uma base de V .Convenciona-se que o conjunto vazio ; é base do espaço vectorial f0V g.A dimensão de um espaço vectorial V , é o número de vectores de uma base

de V , e representa-se por dim(V ), ou seja, se (x1; x2; : : : ; xn) é uma base de V eB := Im ((x1; x2; : : : ; xn)) = fx1; x2; : : : ; xng, então

dim(V ) := card(B).

Em particular, dim(f0V g) = 0 e a base de f0V g é a base vazia.

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Nota: No caso de V ser �nitamente gerado, o número de vectores da base éevidentemente um número �nito. No caso de V não ser �nitamente gerado, diz-se, neste caso, que V tem dimensão in�nita.

Exemplo 2.2.16. No espaço vectorial real R3, o sistema de vectores

((1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1))

é uma base. A esta base, chama-se a base canónica. Note-se que pela Observação(2.1), o sistema ((0; 1; 0) ; (1; 0; 0) ; (0; 0; 1)) (note�se a troca do primeiro vectorcom o segundo) é também uma base, mas não é a base canónica.

Exemplo 2.2.17. No espaço vectorial real R2[x], o sistema (1; x; x2) é uma base.A esta base, chama-se a base canónica de R2[x].

20

2.3. Subespaços vectoriais

De�nição 2.3.1. Seja V um espaço vectorial sobre o corpo K. Diz-se que F éum subespaço vectorial de V , se F é um subconjunto não vazio de V e, é umespaço vectorial para as operações induzidas de V em F , ou seja, as restriçõesdas operações de V em F (i.e., a operação binária e a operação nulária do grupocomutativo (V ; +; 0V ) e, a operação de multiplicação por escalar).

Notação: Para indicar que F é subespaço vectorial de V , faz-se uso do simbolismoF v V , ou por vezes, também se usa F � V .Sem ser por de�nição, existem outras maneiras de reconhecer mais rapida-

mente, se dado um subconjunto de um espaço vectorial, ele é, ou não, um sube-spaço vectorial.

Teorema 2.3.2. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e F � V . Então,F é um subespaço vectorial de V se, e só se, veri�ca o seguinte:

1) F 6= ;,

2) 8x; y 2 V : x; y 2 F ) x+ y 2 F ,

3) 8� 2 K 8x 2 V : x 2 F ) �x 2 F .

Uma forma mais abreviada, de mostrar que um determinado conjunto é umsubespaço vectorial é dada por:

Teorema 2.3.3. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e F � V . Então,F é um subespaço vectorial de V se, e só se, veri�ca o seguinte:

1) F 6= ;,

2) 8�; � 2 K 8x; y 2 V : x; y 2 F ) �x+ �y 2 F .

Exemplo 2.3.4. Dado um espaço vectorial V sobre um corpo K, então f0V g e opróprio V são subespaços vectoriais de V .

Exemplo 2.3.5. Considere-se o subconjunto F de R3 de�nido por:

F =�(x; y; z) 2 R3 : z = 0

.

Veri�quemos que F é subespaço vectorial de R3.O vector (0; 0; 0) 2 F , logo F 6= ;. Considerem-se os vectores genéricos (x; y; z) e(x0; y0; z0) de F . Como por hipótese, ambos pertencem a F , então obtem-se:

z = 0 ^ z0 = 0. (2.1)

Fazendo a soma dos dois vectores, obtemos o vector:

(x; y; z) + (x0; y0; z0) = (x+ x0; y + y0; z + z0) .

Necessitamos agora de mostrar que (x+ x0; y + y0; z + z0) 2 F , o que se resume amostrar que, z + z0 = 0. Mas agora, a partir da hipótese (2.1), somando ambos

21

os membros das equações obtemos a expressão desejada z + z0 = 0. Concluí-mos assim, que a soma de dois quaisquer vectores de F ainda é um vector deF . Para acabarmos de mostrar que F é subespaço vectorial (usando o primeiroteorema acima), só nos falta mostrar a parte da multiplicação por escalar. Paratal, considere-se um escalar qualquer � 2 K e um qualquer vector (x; y; z) 2 F .Façamos a multiplicação do escalar pelo vector:

� (x; y; z) = (�x; �y; �z) .

Pretende-se agora mostrar que (�x; �y; �z) 2 F , o que se resume a mostrar que�z = 0. Da hipótese de (x; y; z) 2 F , vem que z = 0, o que implica que �z = �0,ou seja, �z = 0, como queríamos provar.

Vejamos agora a noção de soma de dois subconjuntos (não obrigatoriamentesubespaços) de um espaço vectorial:

De�nição 2.3.6. Sejam A e B dois subconjuntos arbitrários de um espaço vecto-rial V sobre o corpo K (note-se que A e B não têm que ser subespaços vectoriaisde V ). O conjunto formado por todos os vectores que se obtêm somando umvector de A com um vector de B e, que se representa por A + B, diz-se a somade A com B. Simbolicamente,

A+B := fx 2 V : x = a+ b, a 2 A ^ b 2 Bg .

Em determinados casos à custa de subespaços vectoriais dados constroem-seoutros; é o caso da situação descrita pelo teorema seguinte:

Teorema 2.3.7. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpoK, A;B � V , F;G vV e � 2 K. Então, tem-se que:

1) F \ G v V , i.e., a intersecção de subespaços vectoriais de V ainda é umsubespaço vectorial de V .

2) F [G v V , F � G _G � F , i.e., a união de subespaços vectoriais de Vainda é um subespaço vectorial de V se um deles está contido no outro.

3) F +G v V , i.e., a soma de subespaços vectoriais de V ainda é um subespaçovectorial de V .

4) �F v V , i.e., a multiplicação de um qualquer escalar por um subespaçovectorial de V ainda é um subespaço vectorial de V .

5) hAi + hBi = hA [Bi, i.e., a soma do subespaço gerado por A com o sube-spaço gerado por B é igual ao subespaço gerado por A [B.

Teorema 2.3.8. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K de dimensão �nitan e F;G v V . Então, tem-se que:

dim(F +G) = dim(F ) + dim(G)� dim(F \G).

22

2.4. Aplicações lineares entre espaços vectoriais

De�nição 2.4.1. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K ef : V ! W uma aplicação. Diz-se que f é uma aplicação linear de V em W , severi�ca-se o seguinte:

(i) 8x; y 2 V , f(x+ y) = f(x) + f(y) (condição de aditividade);

(ii) 8� 2 K 8x 2 V , f(�x) = �f(x) (condição de homogeneidade).

Exemplo 2.4.2. A aplicação identidade em V , idV : V ! V que é de�nida porx 7! x, é uma aplicação linear. Facilmente se veri�ca que, para todo o x; y 2 V e� 2 K:

id(x+ y) = x+ y = id(x) + id(y)

eid(�x) = �x = � id(x).

Exemplo 2.4.3. Sendo V e W espaços vectoriais, a aplicação nula, ou seja, aaplicação c0 : V ! W de�nida por x 7! 0W , é uma aplicação linear. É tambémcostume designar esta aplicação por o : V ! W . Facilmente, se veri�ca que, paratodo o x; y 2 V e � 2 K:

c0(x+ y) = 0W = 0W + 0W = c0(x) + c0(y)

ec0(�x) = 0W = �0W = �c0(x).

Exemplo 2.4.4. Considere-se a aplicação f : R3 ! R2, de�nida por (a; b; c) 7!(a� b; 2b; a+ c). Para todo o (a; b; c) ; (a0; b0; c0) 2 R3 e � 2 R tem-se que:

f((a; b; c) + (a0; b0; c0)) = f ((a+ a0; b+ b0; c+ c0))

= ((a+ a0)� (b+ b0); 2(b+ b0); (a+ a0) + (c+ c0))= (a� b; 2b; a+ c) + (a0 � b0; 2b0; a0 + c0)= f((a; b; c)) + f((a0; b0; c0))

e

f(� (a; b; c)) = f((�a; �b; �c))

= (�a� �b; 2�b; �a+ �c)= �(a� b; 2b; a+ c)= �f((a; b; c)).

Deixamos ao cuidado do leitor, o entendimento e a justi�cação de cada umadas passagens dos exemplos anteriores.

Notação: O conjunto de todas as aplicações lineares de V em W , representa-sepor Hom(V;W ). Deste modo, a expressão f 2 Hom(V;W ), signi�ca que f é umaaplicação linear de V em W .É também costume na literatura aparecer o símbolo L(V;W ), para representar omesmo conjunto.

Consoante as propriedades de que gozam as aplicações lineares, estas em certoscasos tomam designações particulares, e que são:

23

De�nição 2.4.5. Sejam V eW espaços vectoriais sobre o corpoK e f 2 Hom(V;W ).

1) f diz-se um monomor�smo se f é injectiva.

2) f diz-se um epimor�smo se f é sobrejectiva.

3) f diz-se um isomor�smo se f é bijectiva.

4) f diz-se um endomor�smo se W = V .

5) f diz-se um automor�smo se W = V e f é bijectiva.

Vejamos algumas propriedades das aplicações lineares.

Teorema 2.4.6. Sejam V eW espaços vectoriais sobre o corpoK e f 2 Hom(V;W ).Então, tem-se o seguinte:

1) f(0V ) = 0W .

2) 8x 2 V , f(�x) = �f(x).

3) 8x; y 2 V , f(x� y) = f(x)� f(y).

Dem.:

Teorema 2.4.7. Sejam V eW espaços vectoriais sobre o corpoK, f 2 Hom(V;W )e sejam F e G subespaços vectoriais de V e W , respectivamente. Então, tem-seque:

1) f(F ) v W , ou seja, a imagem directa de F , através de f , é um subespaçovectorial de W . Em particular, se F := V , então Im (f) v W .

2) f�1(G) v V , ou seja, a imagem inversa de G, através de f , é um subespaçovectorial de V . Em particular, se G := f0Wg, então f�1 (f0Wg) v V .

Dem.:

24

2.5. Operações fundamentais sobre aplicações lineares

De�nição 2.5.1. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K ef 2 Hom(V;W ).

(i) Ao conjunto f(V ), dá-se o nome de espaço imagem e, representa-se porIm(f), i.e.,

Im(f) := ff(x) 2 W : x 2 V g .

(ii) Ao conjunto f�1(f0Wg), dá-se o nome de núcleo da aplicação f e, representa-se por Ker(f) (proveniente da palavra inglesa kernel, que quer dizer núcleo),i.e.,

Ker(f) := fx 2 V : f(x) = 0Wg .

Observação: Pelo resultado anterior, estes dois conjuntos Im(f) e Ker(f) são,respectivamente, subespaços vectoriais de W e V .

Teorema 2.5.2. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, f 2Hom(V;W ) e seja ainda x 2 V e x0 = f(x). Então:

f�1(fx0g) = fxg+Ker(f).

(por abuso de notação, por vezes, escreve-se f�1(x0) = x+Ker(f))

Dem.:

Corolário 2.5.3. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K e f 2Hom(V;W ). A aplicação linear f é um monomor�smo se, e só se, Ker(f) = f0V g.

Dem.:

Teorema 2.5.4. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, f; g 2Hom(V;W ) e � 2 K. Então, as aplicações f + g e �f são lineares.

Dem.:

Observação: O enunciado deste resultado, diz-nos que a soma de aplicaçõeslineares e a multiplicação de um escalar por uma aplicação linear ainda é umaplicação linear.

Teorema 2.5.5. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K. Oconjunto Hom(V;W ) é um espaço vectorial sobre o corpo K.

Dem.:

Teorema 2.5.6. Sejam V , W e Z espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K,f; g 2 Hom(V;W ), h; k 2 Hom(W;Z) e � 2 K. Então, são válidas as seguintesigualdades:

1) h � (f + g) = (h � f) + (h � g) (lei distributiva à esquerda).

2) (h+ k) � f = (h � f) + (k � f) (lei distributiva à direita).

3) �(h � f) = (�h) � f = h � (�f) (lei de enlace).

Dem.:

25

2.6. Aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimen-são �nita.

Teorema 2.6.1. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K edim(V ) = n e f 2 Hom(V;W ) e seja ainda (e1; e2; : : : ; en) uma base de V . Então,a lei de transformação de f �ca determinada, desde que se conheçam os vectoresf(e1); f(e2); : : : ; f(en) do espaço vectorial W .

Dem.:

Teorema 2.6.2. Sejam V eW espaços vectoriais sobre o mesmo corpoK e ambosde dimensão �nita e seja (e1; e2; : : : ; en) uma base de V e u1; u2; : : : ; un vectoresarbitrariamente escolhidos de W . Nestas condições, existe uma única aplicaçãolinear f : V ! W tal que:

f(e1) = u1; : : : ; f(en) = un.

Dem.:

Teorema 2.6.3. Sejam V eW espaços vectoriais sobre o mesmo corpoK, (e1; e2; : : : ; en)uma base de V e f 2 Hom(V;W ). Então:

1) Im(f) = hf(e1); f(e2); : : : ; f(en)i.

2) f é injectiva se, e só se, (f(e1); f(e2); : : : ; f(en)) é um sistema linearmenteindependente.

3) f é sobrejectiva se, e só se, hf(e1); f(e2); : : : ; f(en)i = W .

4) f é bijectiva se, e só se, (f(e1); f(e2); : : : ; f(en)) é uma base de W .

Dem.:

Teorema 2.6.4. Sejam V eW espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K, ambosde dimensão �nita e igual e, seja ainda f 2 Hom(V;W ). Então, tem-se que:

f é injectiva, f é sobrejectiva.

Dem.:

Corolário 2.6.5. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K taisque dim(V ) = dim(W ) < 1, f 2 Hom(V;W ) e g 2 Hom(W;V ). Então, asseguintes condições são equivalentes:

1) g � f = idV ,

2) f � g = idW ,

3) f é um isomor�smo e f�1 = g.

Dem.:

26

Teorema 2.6.6. Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo K ambosde dimensão �nita e f 2 Hom(V;W ). Então:

dim(V ) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

Dem.:

Observação: À dimensão do espaçoKer(f), chama-se a nulidade de f e, representa-se por nf , e à dimensão do espaço Im(f), chama-se a característica de f e,representa-se por cf . Deste modo, a equação acima, pode revestir o seguinteaspecto:

dim(V ) = nf + cf .

27

3. Matrizes

3.1. Noção de matriz. Matriz de uma aplicação linear

Antes de darmos a noção de matriz de uma aplicação linear, vejamos em primeirolugar a noção de matriz.

De�nição 3.1.1. Sejam K um corpo qualquer e m;n 2 N>0 arbitrariamente �x-ados. Chama-se matriz do tipo m por n sobre o corpo K, toda a aplicação do con-junto f1; 2; : : : ;mg�f1; 2; : : : ; ng em K, ou seja, uma aplicação f : f1; 2; : : : ;mg�f1; 2; : : : ; ng ! K, (i; j) 7! aij := f((i; j)). Utiliza-se o seguinte quadro:266666664

a11 a12 � � � a1j � � � a1na21 a22 � � � a2j � � � a2n...

.... . .

......

...ai1 ai2 � � � aij � � � ain...

... � � � .... . .

...am1 am2 � � � amj � � � amn

377777775para representar uma matriz comm linhas e n colunas e, em que na entrada (i; j)1

se encontra o elemento aij do corpo K.Por vezes, para simpli�cação de escrita, usa-se [aij]i=1;:::;m

j=1;:::;npara representar uma

matriz cujos elementos são os escalares aij 2 K.

Notação: Ao conjunto de todas as matrizes do tipo m � n sobre o corpo K,representa-se porMm�n(K).

Vejamos então a noção de matriz de uma aplicação linear:Seja (e1; e2; : : : ; en) uma base (�xa) de V e (e01; e

02; : : : ; e

0m) uma base (�xa) de W

e f 2 Hom(V;W ). Então, sabemos que (fazendo uso da letra �a�com subíndicespara representar os escalares):

f(e1) = a11e01 + a21e

02 + � � �+ am1e0m

f(e2) = a12e01 + a22e

02 + � � �+ am2e0m

...

f(en) = a1ne01 + a2ne

02 + � � �+ amne0m

ou resumidamente,

8j 2 f1; 2; : : : ; ng ; f(ej) =mPi=1

aije0i,

1Se denotarmos a matriz pela letra A, então denota-se a entrada (i; j) de A por ent(i;j) (A).

28

e portanto as componentes dos vários vectores f(ej), podem ser dispostas numamatriz, do seguinte modo: 26664

a11 a12 � � � a1na21 a22 � � � a2n...

.... . .

...am1 am2 � � � amn

37775 .A esta matriz, chama-se a matriz da aplicação linear f em relação às bases(ej)j=1;:::;n de V e (e

0i)i=1;:::;m de W , e representa-se por M(f ; (ej)j; (e

0i)i).

Nota: Na literatura é também frequente ver-se o símbolo MBB0(f), para repre-

sentar a matriz da aplicação linear f da base B do espaço V para a base B0 doespaço W .

29

3.2. Submatrizes

De�nição 3.2.1. Seja A 2 Mm�n(K) uma matriz arbitrária. Uma submatriz Bda matriz A do tipo p � q (com 1 � p � m e 1 � q � n), i.e., B 2 Mp�q(K), éa matriz cujos elementos se obtêm da matriz A por intersecção de p linhas de Acom q colunas de A e pela ordem na qual constam em A.É costume representar-se uma submatriz B de A, na qual foram arbitrariamenteescolhidas p linhas i1; i2; : : : ; ip (com i1 < i2 < � � � < ip) e q colunas j1; j2; : : : ; jq(com j1 < j2 < � � � < jq) por Bi1��ip

j1��jq.

De�nição 3.2.2. Seja A 2 Mm�n(K) uma matriz arbitrária. Uma submatriz(quadrada) B 2 Mp�p(K) (com 1 � p � min(fm;ng)) da matriz A diz-se umasubmatriz principal, se os índices de linha são iguais aos índices de coluna, ouseja, a submatriz Bi1��ip

i1��ipe que representa-se simplesmente por Bi1��ip .

Exemplo 3.2.3. Considere a matriz A :=

26641 2 0 �10 1 3 0

�2 3 1 4�1 3 �5 6

3775 2M4�4(R).

As matrizes B123234=

24 2 0 �11 3 03 1 4

35, B03412=

��2 3�1 3

�e B0012

1234=

�1 2 0 �10 1 3 0

�são submatrizes da matriz A.

As submatrizes de A, B12 =�1 20 1

�e B034 =

�1 4

�5 6

�, são submatrizes princi-

pais.

30

3.3. Operações fundamentais sobre matrizes

De�nição 3.3.1. Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m � n diz-se queelas são iguais e representa-se esse facto por A = B se, e só se, para todo oi 2 f1; : : : ;mg e todo o j 2 f1; : : : ; ng se tem:

aij = bij,

ou seja, se os elementos homólogos (i.e., os elementos que se encontram na mesmaposição) são iguais.

Teorema 3.3.2. Seja K um corpo qualquer eMm�n(K) o conjunto das matrizesdo tipo m � n sobre esse corpo, com as operações de adição e multiplicação porescalar de�nidas por:

[aij] + [bij] := [aij + bij]

e� [aij] := [�aij] .

Então,Mm�n(K) é um espaço vectorial sobre o corpo K.

Observação 1. Quando m = n = 1, o espaço M1�1(K) é isomorfo a K e nãoigual a K.

Teorema 3.3.3. Sejam V , W e Z espaços vectoriais sobre o corpo K, f 2Hom(V;W ) e g 2 Hom(W;Z). Se

M(f ; (ej)j; (e0i)i) = [aij] 2Mp�n(K) e M(g; (e0k)k; (e00l )l) = [blk] 2Mm�p(K),

entãoM(g � f ; (ej)j; (e00l )l) = [clj] 2Mm�n(K),

onde clj :=Pp

k=1 blkakj = bl1a1j + � � �+ blpapj.

Notação: O elemento clj :=Pp

k=1 blkakj, designa-se por produto da linha l damatriz de g pela coluna j da matriz de f . A matrizM(g�f ; (ej)j; (e00l )l) designa-sepor matriz produto da matriz M(g; (e0k)k; (e

00l )l) pela matriz M(f ; (ej)j; (e

0i)i).

Em notação matricial, podemos reescrever o que se fez da seguinte maneira:Se A = [aij] 2 Mp�n(K) e B = [blk] 2 Mm�p(K), então o produto da matriz Bpela matriz A, representa-se por

BA =M(g; (e0k)k; (e00l )l) �M(f ; (ej)j; (e0i)i),

e é a matriz do tipo m� n, cujo elemento genérico na posição (l; j) é o elemento

clj =pPk=1

blkakj.

Exemplo 3.3.4. Sejam A :=

�1 �10 1

�e B :=

�3 0 �1�1 1 0

�, então

AB =

�1 �10 1

� �3 0 �1�1 1 0

�=

�4 �1 �1�1 1 0

�.

O produto BA não é possível fazer, pois o número de colunas da matriz B não éigual ao número de linhas da matriz A.

31

Teorema 3.3.5. Seja K um corpo qualquer e A;A0; A00 2 Mp�n(K) e B;B0 2Mn�q(K) e C 2Mq�n(K) e � 2 K. Então, são válidas as seguintes igualdades:

1) (A+ A0) + A00 = A+ (A0 + A00).

2) A+ A0 = A0 + A.

3) (AB)C = A(BC).

4) (A+ A0)B = AB + A0B.

5) A(B +B0) = AB + AB0.

6) �(AB) = (�A)B = A(�B).

Observação 2. Para m = n = 1, o produto de matrizes goza da lei comutativa,mas para m = n > 1, em geral, o produto de matrizes não goza da lei comutativa.

Vejamos a noção de matriz invertível.

Sabendo queMn�n(K) é um espaço vectorial e que pelo Teorema 3.3.5 é possívelintroduzir uma operação binária de multiplicação de matrizes veri�cando as leisdistributivas e a lei de enlace e, que para esta operação binária existe um ele-mento neutro, a que se chama matriz identidade e se representa por In�n, ou maissimplesmente por In, ou seja, a matriz26664

1 0 � � � 00 1 � � � 0....... . .

...0 0 � � � 1

37775 .Posto isto, podemos então enunciar o seguinte:

De�nição 3.3.6. Seja K um corpo qualquer e A 2Mn�n(K). A matriz A diz-seinvertível, quando existe uma matriz B, tal que:

AB = BA = In.

Uma matriz invertível também se designa por matriz regular ou também pormatriz não-singular.

Observação: A inversa de uma matriz A, é única, e é costume representá-la porA�1.

Teorema 3.3.7. Sejam A;B 2 Mn�n(K) e � 2 K. Se A e B são matrizesinvertíveis, então:

1) (AB)�1 = B�1A�1.

2) (�A)�1 = ��1A�1.

32

3.4. Tipos de matrizes

Considerem-se o corpo K e o espaço das matrizes do tipo m� n sobre esse corpo,i.e., o espaço Mm�n(K). Introduzimos algumas noções sobre tipos de matrizes,que daqui em diante, faremos uso:

� Matriz rectangular - Chama-se de matriz rectangular, a uma matriz em queo número de linhas não é igual ao número de colunas.

� Matriz quadrada - Chama-se de matriz quadrada, a uma matriz em que onúmero de linhas é igual ao número de colunas, e a esse número comumdiz-se a ordem da matriz.

� Matriz linha (coluna) - Chama-se de matriz linha (coluna), a uma matriz dotipo 1�n (m� 1), ou seja, uma matriz que tem apenas uma linha (coluna).

� Matriz triangular superior (inferior) - Chama-se de matriz triangular supe-rior (inferior), a uma matriz quadrada na qual se tem:

8i; j 2 f1; : : : ; ng : i > j ) aij = 0 (i < j ) aij = 0).

� Matriz diagonal - Numa matriz quadrada aos elementos aii chamam-se ele-mentos principais e diz-se que eles se dispõem ao longo da diagonal principalou primeira diagonal, à outra diagonal da matriz dá-se o nome de diagonalsecundária ou segunda diagonal.Chama-se de matriz diagonal, a uma matriz quadrada em que todos os ele-mentos não principais são o zero do corpo, ou seja, quando se veri�ca:

8i; j 2 f1; : : : ; ng : i 6= j ) aij = 0.

É costume representar-se uma matriz diagonal A := [aij] por

diag(a11; a22; : : : ; ann).

�Matriz escalar - Chama-se de matriz escalar, a uma matriz diagonalem que os elementos principais são todos iguais entre si.

Como casos particulares da matriz escalar temos:

� i) A matriz que só tem o zero do corpo na diagonal principal, e quese chama matriz nula e se representa por O e, havendo necessidadede indicar a ordem, por On�n ou simplesmente por On.

ii) A matriz que só tem o elemento unidade do corpo na diagonalprincipal, e que se chama matriz identidade e se representa por I e,havendo necessidade de indicar a ordem, por In�n ou simplesmentepor In.

� Matriz transposta - Chama-se de matriz transposta, a uma matriz ondese trocou linhas por colunas. Dada uma matriz A = [aij]i=1;:::;m

j=1;:::;n, a matriz

transposta de A é a matriz que se representa por At =�atij�= [aji] e que tem

por linhas (respectivamente, colunas) as colunas (respectivamente, linhas)da matriz A.

33

� Matriz conjugada - Chama-se de matriz conjugada, a uma matriz sobre ocorpo C cujos elementos são os conjugados dos elementos de outra matriz.Dada uma matriz A = [aij]i=1;:::;m

j=1;:::;n, a matriz conjugada desta matriz é a

matriz que se representa por A, e cujos elementos são os conjugados de aij,i.e., A := [aij].

� Matriz transconjugada - Chama-se de matriz transconjugada, a uma matrizsobre o corpo C cujos elementos são os conjugados dos elementos de outramatriz depois de transpostos. Dada uma matriz A = [aij]i=1;:::;m

j=1;:::;n, a sua

matriz transconjugada é a matriz que se representa por At= [aji].

� Matriz simétrica - Chama-se de matriz simétrica, a uma matriz quadradaque coincide com a sua transposta, ou seja, uma matriz A é simétrica severi�ca:

A = At,

o que em termos de elementos signi�ca:

8i; j 2 f1; : : : ; ng ; aij = aji.

� Matriz antisimétrica - Chama-se de matriz antisimétrica, a uma matriz quecoincide com o simétrico da sua transposta, ou seja, uma matriz A é anti-simétrica se veri�ca:

A = �At,o que em termos de elementos signi�ca:

8i; j 2 f1; : : : ; ng ; aij = �aji.

� Matriz hermiteana - Chama-se de matriz hermiteana, a umamatriz quadradasobre o corpo complexo e que coincide com a sua transconjugada, ou seja,uma matriz A é hermiteana se veri�ca:

A = At,


8i; j 2 f1; : : : ; ng ; aij = aji.

� Matriz antihermiteana - Chama-se de matriz antihermiteana, a uma matrizquadrada sobre o corpo complexo e que coincide com o simétrico da suatransconjugada, ou seja, uma matriz A é antihermiteana se veri�ca:

A = �At,


8i; j 2 f1; : : : ; ng ; aij = �aji.

34

� Matriz ortogonal - Chama-se de matriz ortogonal, a uma matriz quadrada(invertível) e tal que veri�ca:

AAt = In,


8i; k 2 f1; : : : ; ng ;nPj=1

aijatjk = �ik,

onde �ik é o símbolo de Kronecker, i.e., �ik = 1, se i = k e �ik = 0, se i 6= k.

� Matriz unitária - Chama-se de matriz unitária, a uma matriz quadrada(invertível) sobre o corpo complexo e tal que veri�ca:

AAt= In,


8i; k 2 f1; : : : ; ng ;nPj=1

aijatjk = �ik.

Teorema 3.4.1. Sejam A 2Mm�p(K) e B 2Mp�n(K). Então, tem-se que:

1) AB = AB.

2) (AB)t = BtAt.

3) At= At.

4) (AB)t = BtAt.

35

3.5. Característica de uma matriz

Sendo A = [aij] 2Mp�n(K), as linhas podem ser encaradas como vectores de Kn,basta para tal, considerar para cada i 2 f1; 2; : : : ; pg a linha i,

ent(i;�) (A) := (ai1; ai2; : : : ; ain) .

Analogamente, as suas colunas podem ser encaradas como vectores de Kp, bas-tando para tal, considerar para cada j 2 f1; 2; : : : ; ng, a coluna

ent(�;j) (A) := (a1j; a2j; : : : ; apj) .

Assim consideradas, as linhas e as colunas de A geram subespaços vectoriais deKn e Kp, respectivamente. Estes subespaços vectoriais vão ter a mesma dimensão,o que nos permitirá de�nir a característica de uma matriz.

De�nição 3.5.1. Seja A 2 Mp�n(K) uma matriz qualquer. Chama-se carac-terística de linha (respectivamente, característica de coluna), e representa-se porrl(A) (respectivamente, por rc(A)), à dimensão do subespaço vectorial de Kn ger-ado pelas p linhas (respectivamente, n colunas) da matriz A.Por outras palavras, a característica de linha (ou coluna) de uma matriz é onúmero máximo de linhas (colunas) linearmente independentes de A.

Vejamos um resultado, que nos permite efectuar operações sobre as linhas (oucolunas) de uma matriz sem que a sua característica seja alterada.

Teorema 3.5.2. A característica de linha (respectivamente, de coluna) de umamatriz qualquer, não se altera quando nela se efectua qualquer uma das seguintesoperações:

(i) troca de linhas (respectivamente, troca de colunas).

(ii) multiplicação de uma linha (respectivamente, coluna) por um escalar nãonulo.

(iii) adição de uma linha (coluna) a uma outra linha (coluna) multiplicada porum qualquer escalar.

Dem.:

Teorema 3.5.3. Seja A 2 Mp�n(K) uma matriz qualquer não nula. As apli-cações sucessivas de um número �nito de operações elementares sobre linhas ecolunas de A, transforma esta matriz na matriz�

Ir�r Or�(n�r)O(p�r)�r O(p�r)�(n�r)

�,

onde com 1 � r � min(fp; ng) a matriz Ir�r é a matriz identidade e Or�(n�r),O(p�r)�r e O(p�r)�(n�r) são matrizes nulas.Consequentemente, rc(A) = rl(A).

36

Dem.:

Observação: Em face do resultado anterior, a característica de linha de umamatriz é igual à característica de coluna, ao valor comum rc(A) = rl(A) chama-secaracterística de A e representa-se por r(A).O processo que torna uma qualquer matriz não nula A 2Mp�n(K) na matriz

do resultado anterior, chama-se o método de condensação de Gauss.

Exemplo 3.5.4. Considere-se a matriz A :=

24 1 0 2�1 2 32 1 2

35 2M3�3(R).

Vamos determinar a sua característica usando o método de condensação:24 1 0 2�1 2 32 1 2

35 7�!L1+L2

24 1 0 20 2 52 �1 1

35 7�!�2L1+L3

24 1 0 20 2 50 �1 �3

35 7�!12L2+L3

24 1 0 20 2 50 0 �1

2

35 .Logo r(A) = 3.

Exemplo 3.5.5. Considere-se a matriz A :=

24 1 0 2 1�1 2 3 �12 1 2 2

35 2M3�4(R).

Determinemos a sua característica através do método de condensação:24 1 0 2 1�1 2 3 �12 1 2 2

35 7�!L1 + L2�2L1 + L3

24 1 0 2 10 2 5 00 1 �2 0

35 7�!

�12L2 + L3

24 1 0 2 10 2 5 00 0 �9

20

3524 1 0 2 10 2 5 00 0 �9

20

35 7�!�C1 + C4

24 1 0 2 00 2 5 00 0 �9

20

35 .Portanto r(A) = 3.

37

3.6. Matriz de mudança de base e mudanças de base

Consideremos os espaços vectoriais V e W sobre o mesmo corpo K e ambos de di-mensão �nita e suponhamos �xadas as bases (e1; e2; : : : ; en) de V e (e01; e

02; : : : ; e

0m)

de W . Suponhamos agora que, em V tomamos uma nova base (u1; u2; : : : ; un) eque em W tomamos também uma nova base (u01; u

02; : : : ; u

0m).

Existem dois tipos de questões a considerar:

(i) Determinar uma expressão matricial que relacione as coordenadas de umvector qualquer na base inicial com as coordenadas do mesmo vector nanova base.

(ii) Sendo f 2 Hom(V;W ) eA :=M(f ; (ej)j; (e0i)i), poder-se-á colocar a seguintequestão:Se mudarmos de base no domínio e no codomínio de f , como é que se rela-cionam as matrizes A :=M(f ; (ej)j; (e0i)i) e B :=M(f ; (uj)j; (u

0i)i).

Comecemos pelo conceito de matriz de mudança de base.

De�nição 3.6.1. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K, (e1; e2; : : : ; en)uma base de V e (u1; u2; : : : ; un) uma nova base de V . À matriz

P :=M(idV ; (uj)j; (ej)j)

associada à aplicação identidade idV : V ! V , chama-se a matriz de mudança debase, da base (e1; e2; : : : ; en) para a base (u1; u2; : : : ; un).

Vamos então dar resposta à primeira questão:

Seja x um vector arbitrário de V e X :=

264 �1...�n

375 a matriz coluna das suas coor-denadas na base (e1; e2; : : : ; en), então tem-se que x = �1e1 + �2e2 + � � �+ �nen e,

por outro lado, sendo X 0 :=

264 �01...�0n

375 a matriz coluna das coordenadas do mesmovector na base (u1; u2; : : : ; un), então obtem-se que x = �01u1+�

02u2+ � � �+�0nun.

Podemos, então, escrever o seguinte:

x = �01u1 + �02u2 + � � �+ �0nun

= �01(p11e1 + � � �+ pn1en) + � � �+ �0n(p1ne1 + � � �+ pnnen)= (�01p11 + � � �+ �0np1n)e1 + � � �+ (�01pn1 + � � �+ �0npnn)en

= (nPj=1

p1j�0j)e1 + � � �+ (

nPj=1

pnj�0j)en

o que equivale para todo o k

�k =nXj=1

pjk�0j = ent(k;�) (P )X

0

38

o que em notação matricial, corresponde a:26664�1�2...�n

37775 =26664p11 p12 � � � p1np21 p22 � � � p2n...

.... . .

...pn1 pn2 � � � pnn

3777526664�01�02...�0n

37775o que é o mesmo que:

X = PX 0.

Observação: Note-se que pelo facto de a matriz de mudança de base ser a matrizda aplicação identidade, que é um isomor�smo, então a matriz P é uma matrizinvertível e, deste modo, a equaçãoX = PX 0 é equivalente à equaçãoX 0 = P�1X.

Passemos à resolução da segunda questão:

Sejam A := M(f ; (ej)j; (e0i)i) e B := M(f ; (uj)j; (u

0i)i) e considere-se o seguinte

diagrama:

VidV�!PV

f�!AW

idW�!Q�1

W

onde por cima das setas estão as aplicações e por baixo as respectivas matrizes e,onde P é a matriz de mudança de base no espaço V , da base (e1; e2; : : : ; en) paraa base (u1; u2; : : : ; un), i.e., P = M(idV ; (uj)j; (ej)j) e, Q a matriz de mudançade base no espaço W , da base (e01; e

02; : : : ; e

0m) para a base (u

01; u

02; : : : ; u

0m), i.e.,

Q =M(idW ; (u0i)i; (e

0i)i).

Como já sabemos, a composição de aplicações lineares corresponde ao produtodas matrizes das respectivas aplicações lineares, assim sendo, a matriz B é entãodada por:

B = Q�1AP ,

que é a expressão que se utiliza, para calcular a matriz B, que é a matriz daaplicação linear f da nova base (uj)j de V para a nova base (u0i)i de W .

Observação 3. Note-se que no caso particular de o espaço vectorial W = V ,então a igualdade B = Q�1AP reveste o seguinte aspecto:

B = P�1AP .

Podemos resumir o que se fez no seguinte resultado:

Teorema 3.6.2. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e (ej)j, (e0j)j e(e00j )j bases de V . Então, tem-se o seguinte:

1) X = PX 0, sendo P :=M(idV ; (e0j)j; (ej)j) e, X e X 0 as matrizes coluna dascoordenadas de um qualquer vector x 2 V na base (ej)j e na base (e0j)j,respectivamente;

2) M(idV ; (e0j)j; (ej)j)M(idV ; (e00j )j; (e

0j)j) =M(idV ; (e

00j )j; (ej)j);

3) A matriz M(idV ; (e0j)j; (ej)j) é invertível e

(M(idV ; (e0j)j; (ej)j))

�1 =M(idV ; (ej)j; (e0j)j).

39

Dem.:

Exemplo 3.6.3. Considere-se o espaço vectorial R3 e as bases(ei)i := ((1; 1; 1) ; (0; 0; 6) ; (2; 0; 0)) e (ui)i := ((�1; 0; 1); (0; 2;�4); (1;�2; 0)).Determine-se a matriz de mudança de base, da base (ei)i para a base (ui)i.Necessitamos de escrever cada um dos vectores da base nova, i.e., a base (ui)i emfunção da base inicial, i.e., a base (ei)i. Deste modo, obtemos:

(�1; 0; 1) = 0 (1; 1; 1) +1

6(0; 0; 6) + (�1

2)(2; 0; 0)

(0; 2;�4) = 2 (1; 1; 1) + (�1)(0; 0; 6) + (�1)(2; 0; 0)

(1;�2; 0) = (�2) (1; 1; 1) + 13(0; 0; 6) +

3

2(2; 0; 0)

Logo a matriz de mudança de base é a matriz P =

24 0 2 �216�1 1

3

�12�1 3

2

35.Exemplo 3.6.4. Considere a aplicação linear f : R2[x]! R3 de�nida por

f(a+ bx+ cx2) = (b; 0; c+ a),

cuja matriz em relação às bases

(ej)j := (1; x; 1� 2x2) e (e0i)i := ((1; 1; 1) ; (0; 0; 1) ; (�1; 0; 0)) ,

respectivamente, de R2[x] e R3, é a matriz A :=

24 0 0 01 0 �10 �1 0

35. Considerem-seas seguintes bases

(uj)j := (1; x; 2x2) e (u0i)i := ((1; 1; 1) ; (1; 0; 0) ; (0; 0; 1)) ,

como bases novas nesses espaços.Pretende-se determinar a matriz da aplicação linear f da base (uj)j para a

base (u0i)i. Como existem bases distintas em cada um dos espaços R2[x] e R3,então necessitamos de calcular, para cada um desses espaços, a respectiva matrizde mudança de base. No caso do espaço R3, precisamos da inversa da matriz demudança de base, mas para evitar o cálculo da inversa dessa matriz, fazemos usodo Teorema (3.6.2-3).

Para o espaço R2[x], obtemos a matriz de mudança de base P =

24 1 0 10 1 00 0 �1

35.No caso do espaço R3, obtemos a matriz Q�1 =

24 1 0 00 0 �10 1 0

35.Logo, representando por B a matriz de f da base (uj)j para a base (u0i)i, obtemos:

B = Q�1AP

=

24 1 0 00 0 �10 1 0

3524 0 0 01 0 �10 �1 0

3524 1 0 10 1 00 0 �1

35=

24 0 0 00 1 01 0 2

35 .40

4. Sistemas de equações lineares.Determinantes

4.1. Sistemas de equações lineares

Sejam V eW espaços vectoriais sobre o corpo K e que admitem, respectivamente,as bases (e1; e2; : : : ; en) e (e01; e

02; : : : ; e

0m) e seja f 2 Hom(V;W ).

O estudo de sistemas de equações lineares, resume-se na seguinte questão:Dado um qualquer vector b do espaço W , pretende-se determinar a imagem

inversa de b, o que signi�ca determinar, o conjunto de vectores x 2 V tais queveri�cam:

f(x) = b. (4.1)

Sendo agora A := M(f ; (ei)i; (e0j)j) = [aij], X :=

264 x1...xn

375 a matriz coluna dascoordenadas de x 2 V em relação à base (ei)i e, B :=

264 b1...bm

375 a matriz colunadas coordenadas do vector b 2 W em relação à base (e01; e

02; : : : ; e

0m). Então, a

Equação (4.1) é equivalente à equação matricial

AX = B,

ou seja, é equivalente ao sistema de equações lineares8>>><>>>:a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm

.

De�nição 4.1.1. À matriz A 2Mm�n(K), chama-se matriz simples do sistema,à matriz B 2 Mm�1(K) chama-se a coluna dos termos independentes e à matriz[A...B] 2Mm�(n+1)(K) chama-se matriz ampliada do sistema.

As questões inerentes aos sistemas de equações lineares, têm a seguinte sequên-cia:

Discussão do sistema.Consiste em investigar se existem ou não soluções para o sistema dado,i.e., se o sistema é possível ou impossível. No caso de existir pelo menosuma solução, esta poderá ser única (neste caso, diz-se um sistema possívele determinado) ou poderá ter mais que uma solução (neste caso, diz-se umsistema possível e indeterminado).

41

Resolução do sistema.No caso de existirem soluções, ou seja, quando o sistema não é impossível,determinar explicitamente as soluções do sistema.

Vejamos mais em pormenor, quando é que se pode a�rmar que um sistema épossível ou impossível.

Pelo que se mencionou, a determinação da imagem inversa do vector b 2 Wcorresponde à existência de pelo menos um vector x 2 V tal que f(x) = b. Destemodo, o sistema é possível se b 2 Im(f), caso contrário é impossível. No casodo sistema ser possível, a determinação do conjunto de soluções consiste então,em determinar f�1(fbg), o que pelo resultado que nos diz que f�1(fbg) = fxg +Ker(f), traduz-se em determinar o elemento x e o Ker(f). Deste modo, o sistemade equações será determinado, ou seja, terá uma única solução, se Ker(f) = f0V g.Caso contrário, terá mais do que uma solução, e ter-se-á um sistema possível eindeterminado.

Chama-se grau de indeterminação de um sistema de equações, à dimensão doKer(f), o que pelo resultado das dimensões, dá-nos que, nf = dim(V )� rf .

Teorema 4.1.2. Sejam A 2 Mm�n (K) e B 2 Mm�1 (K). Um sistema deequações AX = B é possível se, e só se, a característica da matriz simples dosistema for igual à característica da matriz ampliada do sistema.

Dem.:

Resumimos a discussão de sistemas de equações lineares, representado matri-cialmente por AX = B, no seguinte:8>>>>>><>>>>>>:

possível

8><>:determinado (qd. r(A) = r([A

...B]) = n)

indeterminado (qd. r(A) = r([A...B]) < n)

impossível (qd. r(A) < r([A...B]))

De�nição 4.1.3. Um sistema de equações lineares diz-se homogéneo se os termosindependentes são todos nulos, ou seja, quando se tem o sistema de equaçõesAX = Om�1.

Observação: Imediatamente se deduz a partir do Teorema 4.1.2 que um sistemahomogéneo é sempre possível (determinado ou indeterminado).

De�nição 4.1.4. Dois sistemas de equações lineares, sobre o mesmo corpo K,dizem-se equivalentes quando têm o mesmo conjunto de soluções.

Teorema 4.1.5. Dado um sistema de equações AX = B, de m equações e nincógnitas, ou se tem A = Om�n, ou então é possível transformar o sistema dadonoutro equivalente A0X 0 = B0, onde:

42

A0 :=

2666666666664

1 0 � � � 0 a01;r+1 a01;r+2 � � � a01n0 1 � � � 0 a02;r+1 a02;r+2 � � � a02n....... . .

......

.... . .

...0 0 � � � 1 a0r;r+1 a0r;r+2 � � � a0rn0 0 � � � 0 0 0 � � � 00 0 � � � 0 0 0 � � � 0....... . .

......

.... . .

...0 0 � � � 0 0 0 � � � 0

3777777777775X 0 :=

26664xi1xi2...xin

37775 B0 :=

26664b01b02...b0m

37775,

sendo xi1 ; xi2 ; : : : ; xin uma reordenação das incógnitas x1; x2; : : : ; xn.Dem.:

43

4.2. Determinação da inversa de uma matriz, usando a res-olução matricial de um sistema de equações

Nesta secção, iremos ver um método para determinar a inversa de uma matriz(caso exista) e que faz uso da de�nição de inversa e os métodos de resolução desistemas de equações.

Como já sabemos, uma matriz A 2Mn�n(K) é invertível, se existe uma matrizB 2Mn�n(K) tal que AB = BA = In�n.Claramente, uma matriz B = [bij] veri�ca a igualdade AB = In�n se, e só se, assuas colunas veri�cam as n igualdades seguintes:

A

26664b11b21...bn1

37775 =2666410...0

37775 , A26664b12b22...bn2

37775 =2666401...0

37775 , : : : , A26664b1nb2n...bnn

37775 =2666400...1

37775 .Deste modo, a determinação da matriz B, tal que AB = In�n, resume-se a deter-minar n sistemas de equações lineares, com a particularidade que todos os sistemastêm a mesma matriz simples A.Para tal, basta considerar a matriz2666664A

... 1 0 � � � 0

... 0 1 � � � 0

.......... . .

...... 0 0 � � � 1

3777775e proceder à respectiva condensação da matriz A (sem haver troca de colunas),passando-se para uma matriz do tipo:

[In�n...A�1],

em que do lado esquerdo do tracejado temos a matriz identidade e do lado direitotemos a inversa da matriz A.

Exemplo 4.2.1. Determinar a inversa da matriz A :=

24 1 �1 00 1 11 2 1

35.Usando o método acima descrito obtem-se:2664 1 �1 0

... 1 0 0

0 1 1... 0 1 0

1 2 1... 0 0 1

3775 7�!�L1+L3

2664 1 �1 0... 1 0 0

0 1 1... 0 1 0

0 3 1... �1 0 1

3775 7�!�3L2+L3

2664 1 �1 0... 1 0 0

0 1 1... 0 1 0

0 0 �2 ... �1 �3 1

3775 7�!� 12L3

2664 1 �1 0... 1 0 0

0 1 1... 0 1 0

0 0 1... 1

232�12

3775 7�!�L3+L2

2664 1 �1 0... 1 0 0

0 1 0... �1

2�12

12

0 0 1... 1

232�12

3775 7�!L2+L1

2664 1 0 0... 1

2�12

12

0 1 0... �1

2�12

12

0 0 1... 1

232�12

377544

Nesta última matriz, tem-se do lado esquerdo do tracejado a matriz identidadeI3�3 e, do lado direito a matriz pretendida, ou seja, a matriz inversa

A�1 =

24 12�12

12

�12�12

12

12

32�12

35 .

45

4.3. Noção de permutação, inversão e transposição

Antes de passarmos propriamente à noção de determinante, iremos seguidamenteintroduzir, algumas noções necessárias à sua compreensão.

De�nição 4.3.1. Considere-se o conjunto f1; 2; : : : ; ng � N. Uma aplicação bi-jectiva de f1; 2; : : : ; ng nele próprio, diz-se uma permutação dos números 1; 2; : : : ; n.

Notações: 1) É usual representar-se uma permutação pela letra grega �, destemodo, teremos uma aplicação bijectiva � : f1; 2; : : : ; ng ! f1; 2; : : : ; ng a qualtambém é costume representar-se por:�

1 2 3 � � � ni1 i2 i3 � � � in

�.

2) Ao conjunto de todas as permutações, representamos por Sn, i.e.,

Sn :=n� 2 f1; 2; : : : ; ngf1;2;:::;ng : � é bijectiva

o.

O conjunto Sn forma uma estrutura algébrica, que é um grupo, e a que se chamagrupo simétrico de grau n.Se convencionarmos escrever os elementos 1; 2; : : : ; n do domínio de uma per-

mutação, sempre por esta ordem, a permutação poderá ser identi�cada pela sim-ples indicação da lista das imagens. Por exemplo, em S5, escreveremos apenas�3 1 5 4 2

�para designar a permutação

�1 2 3 4 53 1 5 4 2

�.

De�nição 4.3.2. Dada uma permutação (i1i2 : : : in) diremos que os números ije ik formam uma inversão, quando, sendo j < k então, tem-se que ij > ik, ouvice-versa, ou seja, quando, ij e ik aparecem na permutação por ordem decrescente(da esquerda para a direita).

De�nição 4.3.3. Dada uma qualquer permutação de Sn, ela é dita par ou ímpar,consoante apresentar um número par ou ímpar de inversões.

De�nição 4.3.4. Dada uma permutação, se cada elemento tem como imagemele próprio à excepção de dois deles ij e ik que têm como imagem ik e ij, respecti-vamente, diz-se que a permutação é uma transposição, ou seja, quando se obtemda permutação

(i1i2 : : : ij�1ijij+1 : : : ik�1ikik+1 : : : in)

a permutação(i1i2 : : : ij�1ikij+1 : : : ik�1ijik+1 : : : in)

por troca dos elementos ij e ik.

Exemplo 4.3.5. Na permutação�3 1 5 4 2

�, há ao todo cinco inversões.

Como o número de inversões é ímpar, então a paridade da permutação é ímpar.

46

4.4. Determinantes

Todas as noções da secção anterior, foram introduzidas com o objectivo de enten-dermos a de�nição de determinante, sem recorrer às formas multilineares.

De�nição 4.4.1. Dada uma matriz A 2 Mn�n(K), chamamos determinante deA ao elemento do corpo K, que se representa por det(A) ou também por jAj,obtido do seguinte modo:

1) formam-se todos os produtos possíveis de n elementos da matriz, por formaa que em cada produto �gure exactamente um e um só elemento de cadalinha e de cada coluna da matriz:

ai1j1 � ai2j2 � � � � � ainjn,

onde (i1i2 : : : in) e (j1j2 : : : jn) são permutações dos números 1; 2; : : : ; n;

2) afecta-se cada um dos produtos obtidos em 1, do sinal + ou do sinal �, con-soante tenham a mesma paridade ou paridades diferentes, respectivamente,as permutações (i1i2 : : : in) e (j1j2 : : : jn);

3) o valor do determinante de A é a soma dos números obtidos em 2.

Para efeitos de escrita, o mais prático será, em cada parcela do desenvolvi-mento do determinante de A, ordenar os factores através dos primeiros índices(ou dos segundos), visto que, assim, bastará estudar a paridade da permutaçãodos segundos (ou dos primeiros). Isto é possível fazer, porque o produto dosfactores é comutativo e, então podemos escrever:

det(A) =P�2Sn

(sgn (�)nYi=1

ai�(i))

=P�2Sn

((�1)"(�)a1�(1)a2�(2) � � � an�(n))

=P�2Sn

((�1)"(�)a�(1)1a�(2)2 � � � a�(n)n),

onde "(�) é o sinal da paridade da permutação, i.e., "(�) = 0 ou "(�) = 1,conforme a permutação (�(1)�(2) : : : �(n)) é par ou ímpar, respectivamente.

Exemplo 4.4.2. Com n = 2, temos por de�nição

det(A) = det(

�a11 a12a21 a22

�) = a11a22 � a12a21,

pois em S2, a permutação par é�1 2

�e a ímpar é

�2 1

�.

Exemplo 4.4.3. Com n = 3, temos por de�nição

det(A) = det(

24 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

35)= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

�a13a22a31 � a12a21a33 � a11a23a32,

pois as permutações pares, em S3, são�1 2 3

�,�2 3 1

�e�3 1 2

�e as

ímpares são�3 2 1

�,�2 1 3

�e�1 3 2

�.

47

Observação: Note-se que nos dois exemplos acima os primeiros índices dos ter-mos das parcelas, com sinal �+� e ��, estão sempre por ordem crescente (i.e.,começando em 1 e terminando em 2 e 3, respectivamente) enquanto que o se-gundo índice é o que muda, e é o que nos vai fornecer o sinal da permutação.

Teorema 4.4.4. Seja A 2 Mn�n(K) uma matriz qualquer. Se A é uma matriztriangular superior (ou triangular inferior), então o seu determinante é igual aoproduto dos elementos da diagonal principal.

Dem.:

48

4.5. Propriedades operatórias dos determinantes

Nesta secção, iremos dar algumas das propriedades operatórias dos determinantes:

Teorema 4.5.1. Seja A 2Mn�n(K).

1) Quando na matriz A, se trocam entre si duas linhas (respectivamente, col-unas), o valor do determinante de A muda de sinal.

2) Se a matriz A tem duas linhas (respectivamente, colunas), proporcionais,então o determinante de A é nulo. Em particular, é válido para duas linhas(respectivamente, duas colunas) iguais.

3) Quando se multiplica todos os elementos de uma linha (respectivamente,coluna) da matriz A por um escalar � 6= 0, o valor do determinante de A,vem multiplicado por ��1.

4) Seja B uma matriz igual à matriz A, exceptuando uma única linha (respec-tivamente, coluna) que se encontra multiplicada por um escalar �. Então,det(B) = � det(A).

Dem.:


1) Quando na matriz A uma linha (respectivamente, coluna), é a soma de duaslinhas (respectivamente, colunas), o valor do determinante de A pode obter-se somando dois determinantes nos quais a linha (respectivamente, coluna)em questão venha, respectivamente, substituída por cada uma dessas linhas,i.e.,

det(

2666664a11 a12 � � � a1n...

......

...bi1 + ci1 bi2 + ci2 � � � bin + cin

......

......

an1 an2 � � � ann

3777775)

= det(

2666664a11 a12 � � � a1n...

......

...bi1 bi2 � � � bin...

......

...an1 an2 � � � ann

3777775) + det(2666664a11 a12 � � � a1n...

......

...ci1 ci2 � � � cin...

......

...an1 an2 � � � ann

3777775).

2) Quando na matriz A se soma a uma linha (respectivamente, coluna) umacombinação linear das restantes linhas (respectivamente, colunas), o valordo determinante não se altera.

3) Quando a matriz A tem característica menor que n, então o valor do seudeterminante é nulo.

49

4) O determinante de A é diferente de zero se, e só se, a característica de A éigual a n.

Dem.:

Observação: Repare-se que o resultado 2 é válido usando uma combinação linearcom uma única linha (ou uma única coluna), basta para tal considerar as outraslinhas (ou colunas) com escalares nulos. Deste modo, o processo de condensaçãousado em matrizes é válido para determinantes e, deste modo, os resultados de-scritos acima, permitem calcular com facilidade o determinante de uma matriz,através da utilização do processo de condensação de matrizes, ou seja, usando ométodo de condensação de Gauss

Exemplo 4.5.3. Calcular o determinante da matriz A :=

24 0 1 12 1 21 �1 1

35.Vamos calcular o determinante da matriz dada, usando o método de conden-

sação de Gauss.

jAj =

��0 1 12 1 21 �1 1

�� =L1�L3

�

��1 �1 12 1 20 1 1

�� =�2L1+L2

�

��1 �1 10 3 00 1 1

��= �3

��1 �1 10 1 00 1 1

�� =�L2+L3

�3

��1 �1 10 1 00 0 1

�� = �3.De�nição 4.5.4. Dada a matriz A 2Mn�n(K), chama-se menor algébrico asso-ciado ao elemento aik, ao determinante da matriz de ordem n�1, que se obtém damatriz A, por supressão da linha i e da coluna k dessa matriz, e que se representapor Mik.

De�nição 4.5.5. Ao escalar Cik := (�1)i+kMik 2 K, chama-se complementoalgébrico (ou cofactor) de aik.


1) Se na matriz A todos os elementos de uma linha (respectivamente, coluna)são nulos com excepção de um deles, então o seu determinante é igual aoproduto deste pelo respectivo complemento algébrico.

2) (Laplace) O valor do determinante de A, pode obter-se somando os produtosdos elementos de A de uma dada linha (respectivamente, coluna) pelos re-spectivos complementos algébricos, ou seja, para a linha i (respectivamente,coluna j), tem-se que:

det(A) =

nXj=1

aijCij

=

nXi=1

aijCij

!.

3) Quando no desenvolvimento do determinante de A se faz a soma dos produ-tos dos elementos de uma linha (respectivamente, coluna) pelos complemen-tos algébricos dos respectivos elementos de outra linha (respectivamente,coluna), então o determinante de A é igual a zero.

50

Dem.:

Observação: O teorema de Laplace, permite calcular os determinantes de ordemn, a partir de determinantes de ordem n� 1, e assim, sucessivamente.

Exemplo 4.5.7. Calcular o determinante da matriz A :=

24 1 1 12 0 11 �1 1

35.Vamos calcular o determinante da matriz dada, usando o método de Laplace e,fazendo o desenvolvimento ao longo da segunda linha:

jAj = a21(�1)2+1M21 + a22(�1)2+2M22 + a23(�1)2+3M23

= 2 � (�1)�� 1 1�1 1

��+ 0 �� 1 11 1

��+ 1 � (�1) �� 1 11 �1

��= 2 � (�1) � 2 + 1 � (�1) � (�2)= �2.

Tendo a intenção de enunciar o teorema de Laplace generalizado, necessitamosde introduzir mais algumas noções que dele vão fazer parte.

De�nição 4.5.8. SejamA 2Mm�n(K) umamatriz qualquer eBi1��ipj1��jp

2Mp�p(K)

(com 1 � p � min(fm;ng)) uma submatriz (quadrada) de A. Ao determinanteda submatriz Bi1��ip

j1��jp, chama-se menor de ordem p da matriz A e, representa-se

por Mi1��ipj1��jp

, i.e., Mi1��ipj1��jp

:= det(Bi1��ipj1��jp

).

O menor de uma submatriz principal Bi1��ip 2 Mp�p(K) diz-se um menor prin-cipal de A e representa-se simplesmente por Mi1��ip . Quando para além disso, aslinhas i1; i2; : : : ; ip são as primeiras p linhas de A, então diz-se um canto, ou seja,o menor M1��p.

De�nição 4.5.9. Seja A 2 Mm�n(K) uma matriz arbitrária e Mi1��ipj1��jp

2 K um

menor de A. Chama-se sinal do menor Mi1��ipj1��jp

e representa-se por s(Mi1��ipj1��jp

) ao

valor numérico:s(Mi1��ip

j1��jp) := (�1)(i1+��+ip)+(j1+��+jp).

O menorMi1��ipj1��jp

, diz-se par ou ímpar consoante seja par ou ímpar o sinal do menor,

ou seja, quando, respectivamente, s(Mi1��ipj1��jp

) = 1 ou s(Mi1��ipj1��jp

) = �1.

De�nição 4.5.10. Sejam A 2 Mn�n(K) uma matriz e M;M 0 2 K dois menoresde A. Os menoresM eM 0 dizem-se complementares um do outro, sempre que, emcada um deles, estejam representadas as linhas e as colunas da matriz A que não�guram no outro. O menor complementar do menor principal det(A) representa-sepor M0 e convenciona-se que M0 = 1 2 K.

Exemplo 4.5.11. Considere a matriz A :=

26641 2 0 3

�1 0 2 34 �1 1 40 0 �1 �2

3775 2M4�4(R).

51

O menor complementar de M2334=

�� 2 31 4

�� é o menor M 01412=

�� 1 20 0

��. O menor

complementar do menor M123234=

��2 0 30 2 3

�1 2 4

�� é M 041= j0j.

De�nição 4.5.12. Sejam A 2 Mn�n(K) uma matriz arbitrária e Mi1��ipj1��jp

2 Kum menor de A. Ao produto do sinal do menor Mi1��ip

j1��jppelo respectivo menor

complementar, i.e., ao escalar

Ci1��ipj1��jp

:= (�1)(i1+��+ip)+(j1+��+jp)Mi1��in�pj1��jn�p

2 K,

chama-se complemento algébrico associado ao menor Mi1��ipj1��jp

.

Teorema 4.5.13. (Laplace generalizado) Sejam A 2Mn�n(K) uma matriz qual-quer, i1; i2; : : : ; ip (com i1 < i2 < � � � < ip e p < n) e p linhas (resp., j1; j2; : : : ; jp,(com j1 < j2 < � � � < jp e p < n) e p colunas) arbitrariamente escolhidas da matrizA. O determinante de A é igual à soma de todos os produtos que se possam formaratravés da multiplicação dos menores (de ordem p) contidos nas p linhas escolhidas(respectivamente, p colunas escolhidas) pelos respectivos complementos algébri-cos, ou seja, para as linhas i1; i2; : : : ; ip (respectivamente, colunas j1; j2; : : : ; jp),tem-se que:

det(A) =X�02Sn

�0(1)<��<�0(p)

Mi1i2:::ip

�0(1)�0(2):::�0(p)

C i1i2:::ip�0(1)�0(2):::�0(p)0BB@= X

�2Sn�(1)<��<�(p)

M�(1)�(2):::�(p)

j1j2:::jp

C�(1)�(2):::�(p)

j1j2:::jp

1CCA .Observação: Usando a de�nição dos complementos algébricos e considerandopara todo o k 2 f1; 2; : : : ; ng, rk := �0(k), então a fórmula acima reveste o seguinteaspecto:

det(A) =X�02Sn

�0(1)<��<�0(p)

Mi1i2:::ip

�0(1)�0(2):::�0(p)

C i1i2:::ip�0(1)�0(2):::�0(p)

=X

r1<��<rp

(�1)(i1+i2+��+ip)+(r1+r2+��+rp)Mi1i2:::ipr1r2:::rp

Mi1i2:::in�pr1r2:::rn�p

,

ondefi1; i2; : : : ; in�pg = f1; 2; : : : ; ng n fi1; i2; : : : ; ipg

efr1; r2; : : : ; rn�pg = f1; 2; : : : ; ng n fr1; r2; : : : ; rpg .

Observação: Note-se que ao escolher-se p = 1, i.e., apenas uma única linha (ourespectivamente uma única coluna) então temos o teorema de Laplace inicial.

52

Exemplo 4.5.14. Calcular o valor do determinante da matriz

A :=

2664a b 0 0c d 0 0� � e f� � g h

3775 2M4�4(R),

independentemente dos valores assinalados com �.Pelo teorema de Laplace generalizado através da escolha das linhas 1 e 2, obtemosque: ��

a b 0 0c d 0 0� � e f� � g h

�� = (�1)(1+2)+(1+2)

�� a bc d

�� e fg h

�� ,dado que as restantes parcelas são todas nulas e do qual resulta (ad�bc)(eh�gf).

Exemplo 4.5.15. Calcular o valor do determinante da matriz

A :=

26640 a b c

�a 0 e �d�b �e 0 �1�c d �2 0

3775 2M4�4(R).

Usando do teorema de Laplace generalizado, e fazendo o seu desenvolvimentoatravés das duas primeiras linhas obtem-se:

det(A) = +

�� 0 a�a 0

�� 0 �1�2 0

�� 0 b�a e

�� e �1d 0

��+

�� 0 c�a �d

�� e 0d �2

��+ �� a b0 e

�� b �1�c 0

�� a c0 �d

�� b 0�c �2

��+ �� b ce �d

�� b �e�c d

��= �2a2 � abd+ 2ace� ace+ 2abd+ (bd+ ce)2

= �2a2 + abd+ ace+ (bd+ ce)2.

Teorema 4.5.16. Sejam A;B 2Mn�n(K). Então, tem-se que:

1) para todo o � 2 K, det(�A) = �n det(A).

2) det(A) = det(At).

3) det(AB) = det(A) det(B).Em particular, para todo o n 2 N, det(An) = (det(A))n.

4) Se a matriz A é uma matriz invertível, então det(A�1) = det(A)�1.

5) Se A é a matriz conjugada de A, então det(A) = det(A).

Dem.:

53

4.6. Aplicação da teoria dos determinantes ao cálculo dainversa de uma matriz. Matriz adjunta

Comecemos por enunciar dois conceitos que serão necessários para a noção dematriz adjunta.

De�nição 4.6.1. Dada a matriz A 2 Mn�n(K), designa-se por matriz comple-mentar a matriz formada pelos complementos algébricos dos elementos de A, i.e.,os elementos Cij (i; j 2 f1; 2; : : : ; ng) e, representa-se essa matriz por bA.De�nição 4.6.2. A matriz bAt é designada por matriz adjunta da matriz A e,representa-se por adj(A).

Vejamos o seguinte resultado:

Teorema 4.6.3. Seja A 2Mn�n(K). Então, tem-se o seguinte:

A adj(A) = adj(A)A = det(A)In�n.

Dem.:

Corolário 4.6.4. Seja A 2Mn�n(K) uma matriz invertível. Então, tem-se que:

A�1 =1

det(A)adj(A).

Dem.:

Observação: É a fórmula do corolário anterior, que se usa, para calcular a inversade uma matriz através da adjunta, como veremos no seguinte exemplo:

Exemplo 4.6.5. Considere-se a seguinte matriz A :=

24 1 0 �12 5 0

�1 1 2

35.Se efectuarmos os cálculos, a matriz adjunta da matriz dada é a matriz24 10 �1 5

�4 1 �27 �1 5

35 .Por outro lado, o determinante da matriz dada é igual a 3. Então, usando afórmula acima, obtem-se a matriz inversa da matriz dada, e que é a matriz:

A�1 =1

3

24 10 �1 5�4 1 �27 �1 5

35 =24 10

3�13

53

�43

13�23

73�13

53

35 .

54

4.7. Aplicação da teoria dos determinantes à resolução desistemas de equações lineares. Regra de Cramer

Consideremos o sistema de equações lineares AX = B, com n equações e n incóg-nitas.

Teorema 4.7.1. Seja AX = B, um sistema de equações lineares com n equaçõese n incógnitas, tal que det(A) 6= 0. Se o vector (x01; x

02; : : : ; x

0n) é a sua solução

então, para todo o i 2 f1; 2; : : : ; ng, o valor de x0i é dado por:

x0i =

��a11 � � � b1 � � � a1n...

......

an1 � � � bn � � � ann

��det(A)

,

onde no lado direito da igualdade, o numerador é o determinante da matriz A,onde nessa matriz, apenas foi substituída a coluna i, pela coluna dos termosindependentes do sistema.

Dem.:

Observações: 1) Esta regra dada pelo resultado anterior, para a determinaçãode sistemas possíveis e determinados de n equações a n incógnitas, é conhecidapela regra de Cramer.2) A regra de Cramer é também aplicável a sistemas de equações possíveis e inde-terminados, basta para tal, passar uma ou mais variáveis para o lado dos termosindependentes, de modo que, a matriz simples do sistema se torne quadrada.

55

5. Valores próprios e vectorespróprios

5.1. Subespaço invariante. Valores e vectores próprios.

Sejam V um espaço vectorial de dimensão �nita n e f 2 End(V ). Como a imagemdirecta de qualquer subespaço vectorial de V , através de f , ainda é um subespaçovectorial de V , tem-se naturalmente que:

f(V ) � V e f(f0V g) = f0V g � f0V g .

Posto isto, temos a seguinte de�nição:

De�nição 5.1.1. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K, F v V e f 2End(V ). Diz-se que o subespaço vectorial F é invariante para f quando f(F ) � F .

Pelo que vimos acima, é imediato que os subespaços vectoriais f0V g e V , sãosubespaços invariantes para f .

Exemplo 5.1.2. Consideremos V := R3, a base (e1; e2; e3) (�xa) e seja F :=hfe1; e2gi. Considerem-se f; g 2 End(R3) de�nidos por:

f(e1) = e1 + e2 g(e1) = �e1 + e3f(e2) = e2 g(e2) = e2f(e3) = e1 + e2 + e3 g(e3) = e3.

Como

f(F ) =�f(x) 2 R3 : x 2 F

=

�f(x) 2 R3 : x = �1e1 + �2e2

=

�f(�1e1 + �2e2) 2 R3 : �1; �2 2 K

=

��1f(e1) + �2f(e2) 2 R3 : �1; �2 2 K

=

��1(e1 + e2) + �2e2 2 R3 : �1; �2 2 K

=

��1e1 + (�1 + �2)e2 2 R3 : �1; �2 2 K

.

Vejamos se f(F ) � F . Se tivermos o elemento y 2 f(F ) então, y = �1e1 + (�1 +�2)e2 e obviamente y 2 F , logo f(F ) � F . Portanto, F é subespaço invariantepara o endomor�smo f .Para o endomor�smo g tem-se que:

g(F ) =�g(x) 2 R3 : x 2 F

=

�g(�1e1 + �2e2) 2 R3 : �1; �2 2 K

=

��1(�e1 + e3) + �2e2 2 R3 : �1; �2 2 K

=

�(��1)e1 + �2e2 + �1e3 2 R3 : �1; �2 2 K

.

56

Como e3 =2 F , então g(F ) * F . Portanto, F não é um subespaço invariante parag.

Observação: Em particular, se F é de dimensão 1 (i.e., gerado por apenasum vector não nulo), dizer que f(F ) � F , é a�rmar que os vectores x 2 F setransformam de acordo com a relação f(x) = �x, com � 2 K.

De�nição 5.1.3. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e f 2 End(V ).Se V = f0V g, então diz-se que V não tem vectores próprios. Se V 6= f0V g, diz-seque o vector x 2 V n f0V g é um vector próprio (ou vector característico) de f , seexiste um escalar � 2 K tal que:

f(x) = �x.

Ao escalar � 2 K na equação f(x) = �x, chama-se valor próprio (ou valor carac-terístico) associado ao vector próprio x.Simbolicamente,

9x 2 V6=0 : f(x) = �x.

De�nição 5.1.4. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K e f 2End(V ). Ao conjunto de todos os valores próprios de f , chama-se espectro de fe representa-se por SpK(f).Simbolicamente,

SpK(f) := f� 2 K : f(x) = �xg .

Teorema 5.1.5. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K e f 2End(V ). Se � é um valor próprio de f associado ao vector próprio x, então ele éúnico.

Dem.:

Teorema 5.1.6. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K e f 2End(V ). Se x é vector próprio de f , então qualquer combinação linear de x étambém vector próprio de f .

Dem.:

Teorema 5.1.7. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de di-mensão �nita n e f 2 End(V ). Seja A a matriz do endomor�smo f em relaçãoà base (�xa) (e1; e2; : : : ; en) de V . Um escalar � é valor próprio de f se, e só se,satisfaz a equação

det(A� �In�n) = 0.

Dem.:

57

Exemplo 5.1.8. Determine-se os valores próprios e os respectivos vectores próprios

do endomor�smo f : R3 ! R3, que tem por matriz A :=

24 1 0 1�1 1 01 �1 0

35 em re-

lação à base canónica.Usando o resultado anterior e efectuando a resolução da equação jA� �I3�3j =

0, obtemos:

jA� �I3�3j = 0 ()

��1� � 0 1�1 1� � 01 �1 ��

�� = 0() (1� �)(�(1� �))� � = 0() �(1� �)2 � � = 0() �((1� �)2 � 1) = 0() � = 0 _ � = 2.

Logo SpR(f) = f0; 2g, tendo o valor próprio � = 0 multiplicidade algébrica 2.

Teorema 5.1.9. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K, f 2End(V ) e A a matriz do endomor�smo f em relação à base (�xa) (e1; e2; : : : ; en)em V . Então, o det(A� �In�n) é uma expressão polinomial na indeterminada �de grau n da seguinte forma:

det(A� �In�n) = det(A) + � � �+ (�1)n�1 tr(A)�n�1 + (�1)n�n.

Dem.:

De�nição 5.1.10. À expressão polinomial

det(A� �In�n),

chama-se polinómio característico da matriz A e à equação

det(A� �In�n) = 0,

chama-se equação característica da matriz A.

Observação: Através da de�nição anterior é possível observar que os valorespróprios do endomor�smo f , são exactamente as raízes da equação característicada matriz de f em relação a uma base �xa em V .

Teorema 5.1.11. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K de dimensão�nita n, f 2 End(V ) e A a matriz do endomor�smo f em relação à base (�xa)(e1; e2; : : : ; en) de V . Então, o endomor�smo f não pode ter mais que n valorespróprios distintos.

Dem.:

Atendendo à correspondência existente entre os endomor�smos de um espaçovectorial e as matrizes desses endomor�smos em relação a bases �xas, temos aseguinte de�nição óbvia:

58

De�nição 5.1.12. As soluções da equação

det(A� �In�n) = 0,

chamam-se valores próprios da matriz A e, as soluções não nulas do sistema ho-mogéneo

(A� �In�n)X = On�1,

são os vectores próprios associados ao valor própro �.Ao conjunto de todos os valores próprios de uma matriz A, chama-se espectro deA, e representa-se por SpK(A).

Exemplo 5.1.13. Continuando com o exemplo anterior, os vectores próprios def serão as soluções não nulas do sistema homogéneo (A� �I3�3)X = O3�1.Deste modo, temos:para o valor próprio � = 0 obtem-se2664 1 0 1

... 0

�1 1 0... 0

1 �1 0... 0

37757�!

L1 + L2�L1 + L3

2664 1 0 1... 0

0 1 1... 0

0 �1 �1 ... 0

3775 7�!L2 + L3

2664 1 0 1... 0

0 1 1... 0

0 0 0... 0

3775cuja solução é x+ z = 0 ^ y + z = 0 ^ z 2 R 6=0. Portanto, o conjunto de vectorespróprios associado ao valor próprio � = 0 é�

(�z;�z; z) 2 R3 : z 2 R 6=0.

Para o valor próprio � = 22664 �1 0 1... 0

�1 �1 0... 0

1 �1 �2 ... 0

37757�!

�L1 + L2L1 + L3�L2 + L3

2664 �1 0 1... 0

0 �1 �1 ... 0

0 0 0... 0

3775cuja solução é �x + z = 0 ^ y + z = 0 ^ z 2 R 6=0. Logo, o conjunto de vectorespróprios associado ao valor próprio � = 2 é�

(z;�z; z) 2 R3 : z 2 R 6=0.

Observação: Poderemos pensar que é possível ter duas matrizes distintas parao mesmo endomor�smo f mas em relação a bases �xas diferentes, mas tal nãoacontece, como poderemos constatar através do seguinte resultado:

Teorema 5.1.14. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K dedimensão �nita n, f 2 End(V ) e A a matriz do endomor�smo f em relação à base(�xa) (e1; e2; : : : ; en) de V . Se B é a matriz do mesmo endomor�smo f em relaçãoa outra base de V , então as matrizes A e B têm o mesmo polinómio característico.

Dem.:

Observação: Um caso interessante e que não é o recíproco do resultado anterioré o seguinte: dadas duas matrizes quaisquer elas podem ter o mesmo polinómiocaracterístico, mas não serem semelhantes.O recíproco do teorema anterior é claramente óbvio, uma vez que matrizes domesmo endomor�smo são necessariamente semelhantes.

59

Exemplo 5.1.15. As matrizes A :=

24 1 �3 33 �5 36 �6 4

35 e B :=24 �3 1 �1�7 5 �1�6 6 �2

35 têmo mesmo polinómio característico (�2��)2(4��), mas não são semelhantes, poisnão existe nenhuma matriz invertível P tal que veri�que a igualdade B = P�1AP .

60

5.2. Subespaço próprio

Antes de mais, começemos por dizer que se f 2 End(V ), então também f �� idV ,com � 2 K, é um elemento de End(V ).Designemos por U(�) o conjunto formado pelo vector nulo, 0V , e por todos os

vectores próprios de um endomor�smo associado ao valor próprio �, i.e.,

U(�) := Ker(f � � idV ).

Deste modo, tem-se que:

U(�) = Ker(f � � idV )= fx 2 V : (f � � idV )(x) = 0V g= fx 2 V : f(x) = �xg .

Teorema 5.2.1. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de di-mensão �nita n, f 2 End(V ) e � um valor próprio de f . Seja A a matriz doendomor�smo f em relação a uma certa base (e1; e2; : : : ; en) de V . Então, o con-junto U(�) é um subespaço vectorial de V não nulo e invariante para f . Alémdisso, tem-se que:

dim(U(�)) = dim(V )� r(A� �In�n) = n� r(A� �In�n).

De�nição 5.2.2. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de di-mensão �nita n e f 2 End(V ). Se � é valor próprio de f , ao subespaço vectorialU(�) damos o nome de subespaço próprio associado ao valor próprio �.Quando o subespaço próprio U(�) é de dimensão �nita à dimensão de U(�), damoso nome de multiplicidade geométrica do valor próprio � e representa-se pormg(�),i.e.,

mg(�) := dim(U(�)).

Observação: Usa-se o termo multiplicidade geométrica para distinguir da mul-tiplicidade algébrica de �, que é a sua multiplicidade como raíz do polinómiocaracterístico de f . Em geral, estas multiplicidades não são iguais. O exemploseguinte esclarece-nos quanto a isto e mostra-nos uma relação entre estas multi-plicidades.

Exemplo 5.2.3. Sejam C o espaço vectorial complexo e f : C2 ! C2 o endomor-

�smo cuja matriz em relação à base canónica é a matriz A :=�1 10 1

�.

Se efectuarmos o cálculo dos seus valores próprios obteremos:

jA� �I2�2j = 0() (1� �)2 = 0() � = 1.

Portanto, � = 1 é uma raíz de multiplicidade algébrica 2 e, no entanto,

mg(1) = dim(U(1)) = 2� 1 = 1.

Vejamos então o resultado que nos permite estabelecer uma relação entre asmultiplicidades:

61

Teorema 5.2.4. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de di-mensão �nita n e f 2 End(V ). Se �0 é um valor próprio de f , de multiplicidadealgébrica k, então o polinómio característico de f é divisível por (�1)n(�� 0)k.

Dem.:

Observação: O que o resultado anterior nos diz é que a multiplicidade geométricade �0 é sempre menor ou igual à sua multiplicidade algébrica.

Até agora estudámos os vectores próprios associados a um certo valor própriode um endomor�smo. Vamos agora ver vectores próprios associados a diferentesvalores próprios.

Teorema 5.2.5. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de di-mensão �nita n e f 2 End(V ). Se vectores próprios estão associados a valorespróprios distintos, então esses vectores próprios são linearmente independentes.

Dem.:

Observação: O recíproco do resultado anterior é falso, i.e., podemos ter vec-tores próprios linearmente independentes e que estejam associados ao mesmo valorpróprio.


24 1 �3 33 �5 36 �6 4

35 de um en-

domor�smo f : R3 ! R3 em relação a uma certa base e, determine-se os seusvalores próprios e os respectivos vectores próprios associados:

jA� �I3�3j = 0() � = �2 _ � = 4.

Para o valor próprio � = �2, temos os seguintes vectores2664 3 �3 3... 0

3 �3 3... 0

6 �6 6... 0

37757�!

�L1 + L2�2L1 + L3

2664 3 �3 3... 0

0 0 0... 0

0 0 0... 0

3775 .Logo o conjunto de vectores próprios associado ao valor próprio � = �2 é�

(x; y; z) 2 R3 : x = y � z ^ z 2 R 6=0.

Deste modo, obtemos (y�z; y; z) = y(1; 1; 0)+z(�1; 0; 1) e portanto o sistema devectores ((1; 1; 0); (�1; 0; 1)) é linearmente independente e no entanto os vectoresprovêm do mesmo valor próprio � = �2.

62

5.3. Diagonalização de endomor�smos e matrizes

Vamos ver um conceito muito importante, o de diagonalização de um endomor-�smo.

De�nição 5.3.1. Sejam V um espaço vectorial sobre o corpo K e f 2 End(V ).O endomor�smo f diz-se diagonalizável quando existe uma base, em relação àqual a matriz de f é uma matriz diagonal.

De�nição 5.3.2. Uma matriz quadrada é diagonalizável quando é a matriz deum endomor�smo diagonalizável em relação a certa base de um espaço vectorial.

Vejamos alguns resultados importantes relativos a endomor�smos diagonal-izáveis:

Teorema 5.3.3. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de dimen-são �nita n e f 2 End(V ). O endomor�smo f é diagonalizável se, e só se, existeno espaço vectorial uma base formada por vectores próprios desse endomor�smo.

Dem.:

Corolário 5.3.4. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de di-mensão �nita n e f 2 End(V ). O endomor�smo f é diagonalizável se, e só se, oespaço vectorial admite n vectores próprios linearmente independentes.

Dem.:

Teorema 5.3.5. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de di-mensão �nita n e f 2 End(V ). Se o endomor�smo f admite n valores própriosdistintos, então f é diagonalizável.

Dem.:

Teorema 5.3.6. Sejam V 6= f0V g um espaço vectorial sobre o corpo K de dimen-são �nita n, f 2 End(V ) e suponhamos que o polinómio característico de f tem asn raízes em K. O endomor�smo f é diagonalizável se, e só se, as multiplicidadesalgébricas e geométricas de cada valor próprio forem iguais.

Dem.:

Observação: Todas as condições que se estabeleceram para a diagonalização deendomor�smos transitam de imediato para a diagonalização de matrizes, tendoem conta a de�nição de matriz diagonalizável.


24 3 �1 �1�1 3 10 0 2

35 de umendomor�smo f : R3 ! R3 em relação à base canónica de R3. Vejamos se oendomor�smo f é diagonalizável.

63

Calculando os valores próprios obtemos � = 2 com multiplicidade algébrica2 e � = 4. O facto de não termos obtido, desde já, três valores distintos, nãopodemos a�rmar que f não seja diagonalizável. Para tal, vamos determinar umabase formada por vectores próprios.Para o valor próprio � = 2 obtemos os seguintes vectores próprios:2664 1 �1 �1 ... 0

�1 1 1... 0

0 0 0... 0

3775 7�!�L1 + L2

2664 1 �1 �1 ... 0

0 0 0... 0

0 0 0... 0

3775 ,o que resulta em (y + z; y; z) = y(1; 1; 0) + z(1; 0; 1), e como são linearmenteindependentes, então o sistema ((1; 1; 0); (1; 0; 1)) forma uma base do espaço U(2).Para o valor próprio � = 4 obtemos:2664 �1 �1 �1 ... 0

�1 �1 1... 0

0 0 �2 ... 0

3775 7�!�L1 + L2

2664 �1 �1 �1 ... 0

0 0 2... 0

0 0 �2 ... 0

3775 7�!L2 + L3

2664 �1 �1 �1 ... 0

0 0 2... 0

0 0 0... 0

3775 ,o que resulta no vector próprio (�y; y; 0) = y(�1; 1; 0), deste modo, o sistema((�1; 1; 0)) formado apenas por um vector próprio forma uma base de U(4). Por-tanto o seguinte sistema

((1; 1; 0); (1; 0; 1); (�1; 1; 0))

é uma base formada por vectores próprios. Então, a matriz A é uma matriz diag-onalizável, e portanto o endomor�smo f é diagonalizável.Se pretendermos determinar a matriz diagonal, o que se tem que fazer é sim-plesmente uma mudança de base, da base inicial para a nova base formada porvectores próprios. Deste modo, se calcularmos a matriz de mudança de base,obtemos a matriz:

P =

24 1 1 �11 0 10 1 0

35 .Logo a matriz pretendida será dada por:

B = P�1AP

=

24 12

12�12

0 0 1�12

12

12

3524 3 �1 �1�1 3 10 0 2

3524 1 1 �11 0 10 1 0

35= diag(2; 2; 4)


24 0 2 �1�8 �10 7�12 �12 10

35 de

um endomor�smo f : R3 ! R3 em relação a uma certa base. Vejamos se oendomor�smo f é diagonalizável.Calculando os valores próprios obtemos � = �2 com multiplicidade algébrica

2 e � = 4.

64

Para o valor próprio � = �2 obtemos:2664 2 2 �1 ... 0

�8 �8 7... 0

�12 �12 12... 0

37757�!

4L1 + L26L2 + L3

2664 2 2 �1 ... 0

0 0 3... 0

0 0 6... 0

3775 7�!�2L2 + L3

2664 2 2 �1 ... 0

0 0 3... 0

0 0 0... 0

3775 ,o que resulta no vector próprio (�y; y; 0) = y(�1; 1; 0). Portanto, pode-se desdejá, a�rmar que a matriz A não é diagonalizável, uma vez que a multiplicidadealgébrica de � = �2 é diferente da sua multiplicidade geométrica. Logo, o endo-mor�smo f não é diagonalizável.

65

6. Espaços com produto interno.Geometria Analítica

6.1. Espaços com produto interno. Norma

Iniciamos este capítulo com o conceito de produto interno (ou produto escalar),num espaço vectorial real ou complexo. Daqui em diante, o corpo K representaapenas o corpo R ou o corpo C.

De�nição 6.1.1. Seja V um espaço vectorial real (respectivamente, complexo).Chama-se produto interno (ou produto escalar) de�nido em V , a uma aplicaçãoh�i : V � V ! R (respectivamente, C) tal que para todo o x; y; z 2 V e todo o� 2 R (respectivamente, C) veri�que:

(i) hx+ y; zi = hx; zi+ hy; zi;

(ii) h�x; yi = � hx; yi;

(iii) hx; yi = hy; xi (no caso complexo, hx; yi = hy; xi);

(iv) hx; xi � 0 e hx; xi = 0) x = 0V .

Notação: Em termos de notação, este é um daqueles temas da matemática, ondeas mais variadas simbologias aparecem na literatura, que vão desde as aceitáveis,até às não aceitáveis e que em certas situações são causadoras de confusão comoutros conceitos da matemática, já fortemente implantados, de entre as quaistemos:

hx; yi , hxjyi , (xjy), xjy, x � y e até (x; y).Optámos pela primeira e iremos cometer o abuso de notação de escrever hx; yi emvez de h(x; y)i, como já o �zemos, aquando da introdução da de�nição.Observações:

1) A primeira condição de (iv) é dependente da ordem total escolhida no corpoe, em geral, um corpo admite várias ordens totais distintas. Como, querseja o caso real (por de�nição) ou o caso complexo (usando (iii)), se temsempre que hx; xi 2 R, iremos considerar neste corpo a respectiva ordemtotal canónica. Deste modo, o símbolo ��representa o sinal de maior ouigual usual.

2) No caso complexo, a condição (iii), depende de uma involução no corpo C.Iremos considerar como involução a conjugação-complexa.

66

3) Na de�nição de produto interno introduzida, por vezes, diz-se um produtointerno esquerdo, para indicar que a linearidade (i.e., (i)-(ii)) está à esquerda,ou seja, no primeiro argumento, em relação a outros autores que de�nem àdireita.

Teorema 6.1.2. Seja V um espaço vectorial com produto interno h�i. Então,para todo o x; y; z 2 V e � 2 K:

1) hx; �yi = � hx; yi (no caso complexo, hx; �yi = � hx; yi).

2) hx; y + zi = hx; yi+ hx; zi.

3) h0V ; xi = hx; 0V i = 0. Em particular, h0V ; 0V i = 0.

Dem.:

Exemplo 6.1.3. No espaço vectorial R4, considere-se a aplicação h�i : R4�R4 !R de�nida por:

hx; yi := x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4,sendo x := (x1; x2; x3; x4) e y := (y1; y2; y3; y4).Vejamos se é um produto interno real, veri�cando as quatro condições da de�nição,para todo o x; y; z 2 R4 e � 2 R:

(i)

hx+ y; zi = (x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 + (x3 + y3)z3 + (x4 + y4)z4= x1z1 + y1z1 + x2z2 + y2z2 + x3z3 + y3z3 + x4z4 + y4z4= x1z1 + x2z2 + x3z3 + x4z4 + y1z1 + y2z2 + y3z3 + y4z4= hx; yi+ hx; zi

(ii)h�x; yi = (�x1)y1 + (�x2)y2 + (�x3)y3 + (�x4)y4= �(x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4)= � hx; yi

(iii)hx; yi = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4= y1x1 + y2x2 + y3x3 + y4x4= hy; xi

(iv)hx; xi = x21 + x22 + x23 + x24 � 0 ehx; xi = 0) x21 + x

22 + x

23 + x

24 = 0) 8i, xi = 0

Como se veri�cam as quatro condições, então a aplicação dada é um produtointerno em R4.

De�nição 6.1.4. Ao par (V ; h�i), onde V é um espaço vectorial real (respec-tivamente, complexo) e h�i é um produto interno �xo em V , diz-se um espaçovectorial com produto interno. É costume designar o produto interno, por produtointerno real (respectivamente, complexo) se o espaço vectorial é real (respectiva-mente, complexo).No caso particular, de V ser um espaço vectorial real e de dimensão �nita, diz-seum espaço euclidiano e, no caso de ser um espaço vectorial complexo e de dimensão�nita, diz-se um espaço unitário.

67

Vejamos a noção de norma:

De�nição 6.1.5. Seja V um espaço vectorial sobre o corpoK com valor absoluto1j�j não trivial. Uma aplicação k�k : V ! K que veri�ca para todo o x; y 2 V e� 2 K:

(i) 1) kxk � 0 e 2) x = 0V , kxk = 0;

(ii) k�xk = j�j kxk;

(iii) kx+ yk � kxk+ kyk;

diz-se uma norma de�nida em V com respeito a j�j.Observações:

1) Uma norma, obviamente, não é uma aplicação linear.

2) Se em (i)-2) apenas se veri�ca a implicação directa, então diz-se uma semi-norma.

3) No lado direito da equação da condição (ii), o símbolo j�j é o valor absolutodo escalar �. Este valor absoluto, tal como a de�nição indica, não é o valorabsoluto trivial, i.e., o valor absoluto de�nido da seguinte maneira:8x 2 K6=0 jxj = 1 e j0j = 0.

De�nição 6.1.6. Ao par (V ; k�k), onde V é um espaço vectorial e k�k é umanorma de�nida em V , diz-se um espaço vectorial normado, ou apenas, espaçonormado.

Teorema 6.1.7. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial com produto interno. Então,para todo o x; y 2 V tem-se que:

jhx; yij �phx; xi

phy; yi.

Dem.:

Corolário 6.1.8. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial com produto interno (realou complexo). Então, a aplicação

f : (V ; h�i)! R,

de�nida por x 7!phx; xi é uma norma.

Dem.:

Observações:

1) A desigualdade dada no teorema acima, é conhecida por desigualdade deCauchy-Schwarz.

1Um valor absoluto é uma aplicação j�j : K! R tal que veri�ca: (i) jxj � 0, jxj = 0, x = 0(ii) jx+ yj � jxj+ jyj (iii) jx � yj = jxj � jyj. No caso dos corpos R e C, usamos os valores absolutosusuais.

68

2) Esta desigualdade para x; y 6= 0 implica que:

jhx; yijphx; xi

phy; yi

� 1() �1 � hx; yiphx; xi

phy; yi

� 1.

Deste modo, existe um único número real � (0 � � � �) tal que cos(�) =hx;yip

hx;xiphy;yi

, o que equivale a:

hx; yi =phx; xi

phy; yi cos(�). (6.1)

Esta é a fórmula que alguns autores apresentam para de�nir um produtointerno.

3) É frequente em espaços vectoriais onde está de�nido um produto interno,usar-se como norma, a norma dada pelo corolário acima, a que se chamaa norma induzida pelo produto interno. Note-se no entanto, que é pos-sível de�nir normas num espaço vectorial que não são dadas pela expressãophx; xi, como por exemplo, em R2, a norma k(x1; x2)k := jx1j+ jx2j. Exis-

tem resultados, que nos garantem, se uma dada norma é, ou não, induzidapor um produto interno. Como estes conceitos ultrapassam o âmbito daquiloa que nos proposemos, não os explicitaremos aqui.

4) Geometricamente e, de um ponto de vista prático, podemos dizer que anorma de um vector, corresponde ao seu comprimento.

5) Tendo em conta o corolário acima, a expressão 6.1, pode revestir o seguinteaspecto:

hx; yi = kxk kyk cos(�),que também é uma fórmula, que aparece na literatura, para o produto in-terno.

De�nição 6.1.9. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial com produto interno real esejam x; y 2 V n f0V g. Ao número � 2 [0; �] e de�nido por:

� := arccos

hx; yip

hx; xiphy; yi

!,

diz-se o ângulo entre o vector x e y.

69

6.2. Sistemas de vectores ortogonais, normados e ortonor-mados. Teorema de Gram-Schmidt

De�nição 6.2.1. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial com produto interno.

1) Dois vectores x e y dizem-se ortogonais (relativamente ao produto internode�nido) entre si se hx; yi = 0. Representa-se este facto por x ? y.

2) Um vector x 2 V , diz-se um vector normado (normalizado ou unitário)(relativamente ao produto interno de�nido) quando hx; xi = 1.

Vejamos algumas propriedades do produto interno:

Teorema 6.2.2. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial com produto interno. Então,tem-se que, para todo o x; y 2 V :

1) 0V ? x.

2) x ? y , y ? x.

3) x ? y ) kx+ yk2 = kxk2 + kyk2 (teorema de Pitágoras).

Dem.:

De�nição 6.2.3. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial com produto interno.

1) Um sistema de vectores (u1; u2; : : : ; uk) diz-se ortogonal (relativamente aoproduto interno de�nido) quando os vectores considerados são ortogonaisdois a dois, ou seja, quando para todo o i; j 2 f1; : : : ; kg e i 6= j se temhui; uji = 0.

2) Um sistema de vectores (u1; u2; : : : ; uk) diz-se normado (relativamente aoproduto interno de�nido), quando cada um dos vectores do sistema é umvector normado.

3) Um sistema de vectores (u1; u2; : : : ; uk) diz-se ortonormado, quando é ortog-onal e constituído apenas por vectores normados.

Teorema 6.2.4. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial com produto interno. Então,tem-se que, para todo o x; y; y1; : : : ; yn 2 V :

1) x ? fy1; : : : ; yng ) 8�1; : : : ; �n 2 K x ? (�1y1 + � � �+ �nyn).

2) kx+ yk2 + kx� yk2 = 2�kxk2 + kyk2

�(lei do paralelogramo).

Dem.:Notação: Usando os símbolos de Kronecker

�ij :=

�1 se i = j0 se i 6= j ,

podemos dizer que um sistema de vectores (u1; u2; : : : ; uk) diz-se ortonormado separa todo o i; j 2 f1; : : : ; kg e i 6= j se tem hui; uji = �ij.

70

Teorema 6.2.5. Seja (V ; h�i) um espaço vectorial não nulo com produto internoe de dimensão �nita. Então, V tem uma base ortonormada.

Dem.:Observação: O teorema anterior é conhecido como o método de Gram-Schmidte utiliza o seguinte algoritmo:Considere-se (e01; e

02; : : : ; e

0n) uma base do espaço euclidiano, então o seguinte al-

goritmo permite-nos determinar uma base ortonormada a partir da base dada:

e1 :=e01ke01k

e2 :=e02 � he02; e1i e1ke02 � he02; e1i e1k...

en :=

e0n �n�1Pi=1

he0n; eii ei e0n � n�1Pi=1

he0n; eii ei

Deste modo, o sistema de vectores (e1; e2; : : : ; en) é uma base ortonormada.Observação: No espaço vectorial Rn (respectivamente, em Cn), o produto in-

terno hx; yi :=nPi=1

xiyi (respectivamente, hx; yi :=nPi=1

xiyi) diz-se o produto interno

canónico em Rn (respectivamente, em Cn).

Exemplo 6.2.6. Considere-se em R2 o produto interno canónico e o sistema devectores ((1; 2) ; (�1; 0)) linearmente independente. Aplicando o método de Gram-Schmidt, determine-se uma base ortonormada:Como k(1; 2)k =

ph(1; 2) ; (1; 2)i =

p5, então o primeiro vector da base ortonor-

mada será

e1 =(1; 2)p5= (

1p5;2p5).

Para o segundo vector, calculemos o valor da expressão e02 � he02; e1i e1.Tem-se então que:

e02 � he02; e1i e1 = (�1; 0)��(�1; 0) ; (1; 2)p

5

�(1; 2)p5

=

��45;2

5

�.

Precisamos agora de calcular a norma deste vector, e que é igual a: ��45 ; 25� =

r16

25+4

25=2

5

p5.

Então, o segundo vector da base ortonormada é dado por:

e2 =

��45; 25

�25

p5

=

��2p5;1p5

�.

Portanto, podemos concluir que a base ortonormada é:��

1p5; 2p

5

�;��2p5; 1p

5

��.

71

6.3. Matriz da métrica. Complemento ortogonal

Analogamente ao Teorema 3.3.1, podemos a�rmar que um produto interno �cadeterminado, desde que, sendo (e1; e2; : : : ; en) uma base �xa de V , se conheçampara todo o i; j 2 f1; : : : ; ng as imagens hei; eji. O próximo resultado con�rma-noso que acabámos de mencionar:

Teorema 6.3.1. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e (e1; e2; : : : ; en)uma base �xa de V . Então, o produto interno �ca determinado pelos n2 escalareshei; eji.

Dem.:

Do mesmo modo, e analogamente ao Teorema 3.3.2, podemos a�rmar queexiste um único produto interno h�i : V � V ! K tal que:

he1; e1i = u11; he1; e2i = u12; : : : ; hen; eni = unn,

sendo u11; : : : ; unn escalares arbitrariamente escolhidos em K.Tem-se então que:

Teorema 6.3.2. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (resp., unitário) e (e1; e2; : : : ; en)uma base �xa de V e uij escalares arbitrariamente escolhidos. Então, existe umúnico produto interno real (resp., complexo) de�nido em V e tal que:

8i; j 2 f1; : : : ; ng , hei; eji = uij.

Dem.:

Teorema 6.3.3. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (resp., unitário) e (e1; e2; : : : ; en)uma base �xa de V . Então, pode-se exprimir o produto interno h�i, para todo ox; y 2 V , na seguinte forma matricial:

hx; yi = X tGY , (resp., hx; yi = X tGY )

onde X t :=��1 �2 � � � �n

�é a matriz linha constituída pelas coordenadas

do vector x na base (e1; e2; : : : ; en), G := [hei; eji]i;j=1;:::;n é a matriz cujos ele-

mentos são os produtos internos dos elementos da base e Y :=

26664�1�2...�n

37775 (resp.,

Y :=

26664�1�2...�n

37775) é a matriz coluna constituída pelas (resp., pelos conjugados das)coordenadas do vector y na base (e1; e2; : : : ; en).

Dem.:

De�nição 6.3.4. À matriz G := [hei; eji]i;j=1;:::;n, chama-se matriz da métrica emrelação à base �xa (e1; e2; : : : ; en) do espaço V .

72

Observação: A base (e1; e2; : : : ; en) é uma base ortonormada se, e só se, paratodo o i; j 2 f1; : : : ; ng,

hei; eji = �ije, deste modo, G = In�n. Logo o produto interno terá uma expressão mais simplesque é:

hx; yi = X tGY

= X tIn�nY

= X tY

=nXi=1

�i�j,

no caso complexo e, hx; yi =nPi=1

�i�j no caso real. Em termos de normas (ad-

mitindo a norma induzida pelo produto interno), as suas expressões são tambémbastante simpli�cadas, senão vejamos,

kxk =phx; xi

=

qj�1j2 + j�2j2 + � � �+ j�nj2

=

snPi=1

j�ij2,

no caso complexo e, kxk =r

nPi=1

�2i no caso real.

Exemplo: Considere-se no espaço vectorial R3, o produto interno canónico e osvectores e1 := (1; 2;�3) e e2 := (4; 0; 2). A norma de e1 e e2 são então, dadas por:

ke1k =p12 + 22 + (�3)2

=p14

e

ke2k =p42 + 02 + 22

= 2p5.

De�nição 6.3.5. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) eX; Y � V .Diz-se que X é ortogonal a Y , e escreve-se, X ? Y , quando todo o vector de X éortogonal a cada um dos vectores de Y .Simbolicamente,

X ? Y () 8x 2 X 8y 2 Y , x ? y.Em particular, diz-se que v 2 V é ortogonal ao conjunto X, e escreve-se v ? X(em vez de fvg ? X), quando v é ortogonal a cada um dos vectores de X.

No caso do conjunto X, ser um subespaço vectorial, i.e., X v V , para severi�car se um dado vector v 2 V é ou não ortogonal a X, não é preciso estudara ortogonalidade de v com todos os vectores do subespaço, basta tomar uma basede X e assegurar que v é ortogonal a cada um dos vectores dessa base. De ummodo mais geral, temos o seguinte:

73

Teorema 6.3.6. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e X � V .Então, para todo o x 2 V , tem-se que:

x ? hXi () x ? X.

Dem.:

De�nição 6.3.7. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e X � V .Ao conjunto de todos os vectores ortogonais a X, e que se representa por X?,chama-se de ortogonal de X.Simbolicamente,

X? := fx 2 V : 8y 2 X; hx; yi = 0g .

Observação: Note-se que ;? = V .

Teorema 6.3.8. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e X � V .Então, X? é um subespaço vectorial de V .

Observação: Note-se que F ? F?, i.e., todo o vector x 2 F é ortogonal a umqualquer vector de F?.

De�nição 6.3.9. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e F umsubespaço do espaço vectorial V . O espaço F? diz-se o complemento ortogonalde F em V .

De�nição 6.3.10. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e F;G vV . A soma V = F + G, diz-se uma soma directa (interna) ortogonal (ou apenassoma ortogonal), se

1) V = F �G;

2) F ? G.

Denota-se esta soma por:V = F ? G.

Teorema 6.3.11. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e F v V .Então,

V = F ? F?.

Dem.:

De�nição 6.3.12. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano (ou unitário) e F v V .Dado um qualquer vector x 2 V , tem-se que:

x = x1 + x2,

com x1 2 F e x2 2 F?. Nestas condições, x1 (resp., x2) é a projecção ortogonalde x sobre F (resp., sobre F?) e representa-se por x1 := proj?F (x) (resp., x2 :=proj?F?(x)).

74

6.4. Produto externo e produto misto de vectores

Antes de dar o conceito de produto externo de vectores, necessitamos da seguintenoção:

De�nição 6.4.1. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano de dimensão �nita n e(e1; e2; : : : ; en) uma base �xa em V . Diz-se que a base (v1; v2; : : : ; vn) de V é umabase directa (resp., base inversa) se det(P ) > 0 (resp., det(P ) < 0), onde P é amatriz de mudança de base, da base (e1; e2; : : : ; en) para a base (v1; v2; : : : ; vn),i.e., P =M(idV ; (vi)i; (ei)i).

Exemplo 6.4.2. Consideremos o espaço vectorial R3 e a sua base canónica.Tomemos ainda as bases:

(v1; v2; v3) := ((1; 1; 1) ; (1; 1; 0) ; (1; 0; 0))

e (v3; v2; v1) := ((1; 0; 0) ; (1; 1; 0) ; (1; 1; 1)) .

Como o determinante da matriz M(idV ; (v1; v2; v3); (ei)i) é igual a �1 < 0, entãoa base (v1; v2; v3) é uma base inversa. Por outro lado, como o determinante damatriz M(idV ; (v3; v2; v1); (ei)i) é igual a 1 > 0, então a base (v3; v2; v1) é umabase directa.

Observação: Note-se que se �xarmos uma base (e1; e2; : : : ; en) no espaço vec-torial V , então esta base é uma base directa, dado que P = In�n e portanto,det(P ) = 1 > 0. No espaço vectorial real é costume �xar-se como base, abase canónica e, deste modo, determina-se a matriz de mudança de base da basecanónica para uma qualquer base, dada no mesmo espaço.Se �xarmos a base (e1; e2; : : : ; en) no espaço vectorial V , então (e�(1); e�(2); : : : ; e�(n)),onde � é uma permutação arbitrária, é uma base directa (resp., base inversa) sea permutação é par (resp., ímpar). Ou mais geralmente, se (v1; v2; : : : ; vn) é umabase directa, então (v�(1); v�(2); : : : ; v�(n)) é uma base directa (resp., base inversa)se a permutação � é par (resp., ímpar).

Teorema 6.4.3. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano de dimensão 3, (e1; e2; e3)uma base �xa em V e � 2 R>0 qualquer. Dados dois vectores u; v 2 V linearmenteindependentes, então existe um único vector w 2 V tal que:

1) w ? u e w ? v,

2) (u; v; w) é uma base directa,

3) kwk = �.

Dem.:

Em virtude do resultado anterior, podemos então dar a seguinte de�nição:

De�nição 6.4.4. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano de dimensão 3 e (e1; e2; e3)uma base �xa em V . Chamamos de produto externo (ou produto vectorial) aqualquer aplicação ^ : V � V ! V , que a cada par (x; y) faz corresponder ovector x ^ y de�nido do seguinte modo:

75

1) se (x; y) é um sistema linearmente dependente, então x ^ y = 0V ;

2) se (x; y) é um sistema linearmente independente, então x ^ y será o vectordado por:

i) (x ^ y) ? x e (x ^ y) ? y,ii) (x; y; x ^ y) é uma base directa,iii) kx ^ yk = kxk kyk sen(�), sendo � o ângulo formado pelos vectores x e

y.

Ao vector x^ y chamamos de produto externo (ou produto vectorial) de x pory (e por esta ordem).

Notação: É também usual representar-se o produto externo pelo símbolo ��e,deste modo, escreve-se o produto externo de x por y, por x� y.

Teorema 6.4.5. Sejam (V ; h�i) um espaço euclidiano de dimensão 3 e (e1; e2; e3)uma base ortonormada directa e x := (x1; x2; x3), y := (y1; y2; y3) 2 V . Então,tem-se que:

x ^ y =

�� x2 x3y2 y3

�� e1 � �� x1 x3y1 y3

�� e2 + �� x1 x2y1 y2

�� e3= (x2y3 � x3y2)e1 + (x3y1 � x1y3)e2 + (x1y2 � x2y1)e3. (6.2)

Dem.:

Observação: Retirando o caso em que os vectors são linearmente dependentes,o cálculo do produto externo de dois vectores x e y escritos em relação a umaqualquer base �xa (e1; e2; e3),

x := x1e1 + x2e2 + x3e3 e y := y1e1 + y2e2 + y3e3

é um processo algo moroso. Existe no entanto um caso particular, que é quando(e1; e2; e3) é uma base ortonormada. Nesta situação, e sendo difícil de memorizara Expressão (6.2), faz-se então uso da seguinte mnemónica:

x ^ y =

��e1 e2 e3x1 x2 x3y1 y2 y3

�� ,fazendo o desenvolvimento deste �determinante� sempre ao longo da primeiralinha. Convém frisar que, isto é apenas uma mnemónica, não tendo qualquersentido aquele determinante.

Exemplo 6.4.6. Calcular o produto externo dos vectores x := (1; 2; 3) e y :=(�1; 1; 2), em relação à base ortonormada (e1; e2; e3).Efectuando as contas e fazendo uso da mnemónica, obtemos:

x ^ y = (4� 3)e1 � (2 + 3)e2 + (1 + 2)e3= 1e1 � 5e2 + 3e3.

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De�nição 6.4.7. Sejam (V; h�i) um espaço euclidiano de dimensão 3, (e1; e2; e3)uma base �xa em V e x; y; z 2 V . Chama-se produto misto dos vectores x, y e z(e por esta ordem) ao escalar hx ^ y; zi.

Observação: Se a base �xa é uma base ortonormada, então o produto mistopode ser calculado através de:

hx ^ y; zi =

��x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

�� .

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Referências bibliográficas

[1] A. Monteiro. Álgebra Linear e Geometria Analítica. Edição da Associação dosEstudantes da Fac. de Ciências de Lisboa, 1989.

[2] E. Giraldes, V. Hugo e M. Smith. Curso de Álgebra Linear e GeometriaAnalítica. McGraw-Hill, 1995.

[3] S. Lang. Linear Algebra. Springer-Verlag, 1987.

[4] F. Agudo. Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica. Livraria EscolarEditora, 1992.

[5] S. Berberian. Linear Algebra. Oxford University Press, 1992.

[6] L. Magalhães. Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada. TextoEditora, 1991.

[7] P. Halmos. Espaços Vectoriais de Dimensão Finita. Editora Campus, 1974.

[8] E. Nering. Linear Algebra and Matrix Theory. John Wiley, 1970.

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