Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa

UNIDAD 2UNIDAD 2

CONCEPTOS Y CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA FUNDAMENTOS DE LÓGICA

DIFUSA. DIFUSA.

2.3 Relaciones Difusas, 2.3 Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Graficas Difusas y Aritmética Difusa Aritmética Difusa

(principio de extensión)(principio de extensión)

2.3.1 Relaciones Difusas.2.3.1 Relaciones Difusas.

2.3.2 Composición de relaciones2.3.2 Composición de relaciones

difusas.difusas.

Producto Cartesiano En Los Conjuntos Difusos

El producto cartesiano es El producto cartesiano es un concepto un concepto muy importantemuy importante, que se extiende hacia la , que se extiende hacia la lógica difusa. Todos los sistemas de la lógica difusa. Todos los sistemas de la lógica difusa tratan con lógica difusa tratan con más de un más de un universo de discursouniverso de discurso, por lo cual sus , por lo cual sus subconjuntos difusos se deberán subconjuntos difusos se deberán relacionar mediante relacionar mediante el producto el producto cartesianocartesiano. .


El producto cartesiano equivale a El producto cartesiano equivale a obtener la obtener la intersecciónintersección de de nn conjuntos difusos, conjuntos difusos, pero entre pero entre conjuntos de diferentes universos.conjuntos de diferentes universos.

Si ASi A11,.....,,.....,....AAnn, son conjuntos difusos , son conjuntos difusos de Ude U11,,......,,....UUnn respectivamente, respectivamente, con con

uuminu BABA ,


sus correspondiente funciones de sus correspondiente funciones de membresía, entonces, el producto membresía, entonces, el producto cartesiano de Acartesiano de A11,....., A,....., Ann, se define , se define

como Ucomo U11 x...x U x...x Unn, cuya función de , cuya función de

membresía se expresa por la n-tupla.membresía se expresa por la n-tupla.

nnAnAnAnxxA uuuuminuu 1111...1 ,,...,,

2.3.1 Introducción a Relaciones 2.3.1 Introducción a Relaciones DifusasDifusas

Una relación difusa generaliza la notación de Una relación difusa generaliza la notación de una relación clásica (blanco-negro) en una que una relación clásica (blanco-negro) en una que permite una membresía parcial.permite una membresía parcial.

Por ejemplo, una relación binaria “amistad” Por ejemplo, una relación binaria “amistad” clasificará el parentesco entre personas en dos clasificará el parentesco entre personas en dos clases: ser amigos o no ser amigos.clases: ser amigos o no ser amigos.

Por otro lado una relación difusa “Amistad”, Por otro lado una relación difusa “Amistad”, puede describir el grado de parentesco entre puede describir el grado de parentesco entre dos personas.dos personas.

La notación clásica de relación describe la La notación clásica de relación describe la relación que se tiene entre dos o mas objetos. relación que se tiene entre dos o mas objetos. Una relación entre dos objetos se representa Una relación entre dos objetos se representa por una por una relación binariarelación binaria, la cual es una relación , la cual es una relación entre dos argumentos.entre dos argumentos.Por ejemplo: El parentesco entre un padre y su Por ejemplo: El parentesco entre un padre y su hijo puede ser representado como una relación hijo puede ser representado como una relación binaria.binaria. Mas general, se puede utilizar una relación n-Mas general, se puede utilizar una relación n-aria, una relación con n argumentos, para aria, una relación con n argumentos, para describir una relación entre describir una relación entre n objetosn objetos..

Por Ejemplo: se puede utilizar una relación n-Por Ejemplo: se puede utilizar una relación n-aria para describir que el estudiante aria para describir que el estudiante XX tomo un tomo un curso curso YY durante un semestre durante un semestre ZZ en el año en el año WW..

Esta relación tiene cuatro argumentos tal que: Esta relación tiene cuatro argumentos tal que: tomo_cursotomo_curso (estudiante, curso, semestre, año). (estudiante, curso, semestre, año).

Una relación n-aria puede ser formalmente Una relación n-aria puede ser formalmente definida como un conjunto de orden lista de definida como un conjunto de orden lista de n n objetosobjetos. Cada lista describe un caso en el cual . Cada lista describe un caso en el cual se tiene una relación.se tiene una relación.

Una relación binaria sobre variables Una relación binaria sobre variables xx y y yy, , que se encuentran en los dominios que se encuentran en los dominios XX y y YY respectivamente, pueden ser definidas como respectivamente, pueden ser definidas como un conjunto de pares ordenados en un conjunto de pares ordenados en X x YX x Y..

Por ejemplo, la relación binaria “menor que” Por ejemplo, la relación binaria “menor que” entre dos numeros reales puede ser formalmente entre dos numeros reales puede ser formalmente definida como: definida como:

R = {(x, y) R = {(x, y) || x < y, x, y x < y, x, y R} R}

La relación anterior es un subconjunto de La relación anterior es un subconjunto de X x YX x Y..

En general, una relación n-aria en En general, una relación n-aria en xx11, x, x22, …x, …xnn cuyo dominio está en cuyo dominio está en XX11, X, X22, …,X, …,Xnn es un es un subconjunto de subconjunto de XX1 1 x Xx X22 x … x X x … x Xnn . .

Debido a que una relación puede ser vista como Debido a que una relación puede ser vista como un conjunto, se puede fácilmente generalizar la un conjunto, se puede fácilmente generalizar la notación clásica de una relación usando notación clásica de una relación usando conjuntos difusos.conjuntos difusos.Para generalizar una relación binaria: Se puede Para generalizar una relación binaria: Se puede representar una relación binariarepresentar una relación binaria R en x, y R en x, y con con dominiosdominios X, Y X, Y como una función que proyecta como una función que proyecta un par ordenadoun par ordenado (x, y) en XxY (x, y) en XxY para 0 (la relación para 0 (la relación no tiene valores entreno tiene valores entre x y y) x y y) ó 1 (la relación si ó 1 (la relación si tiene valores entretiene valores entre x y y), por ejemplo: R = XxY x y y), por ejemplo: R = XxY →→ {0, 1}. {0, 1}.

Una relación difusa generaliza la notación clásica de Una relación difusa generaliza la notación clásica de relación a una materia de grado.relación a una materia de grado.La relación difusa Amigo (anteriormente La relación difusa Amigo (anteriormente mencionada) describe el grado de parentesco entre mencionada) describe el grado de parentesco entre dos personas. Similarmente, una relación difusa dos personas. Similarmente, una relación difusa Petite entre la altura y el peso de una persona describe Petite entre la altura y el peso de una persona describe el grado para el cual una persona con una altura y el grado para el cual una persona con una altura y peso específico se considera petite.peso específico se considera petite.Formalmente, una relación difusa Formalmente, una relación difusa RR entre variables entre variables xx y y yy, cuyos dominios están en , cuyos dominios están en XX y y YY, respectivamente, , respectivamente, se define por una función que proyecta pares se define por una función que proyecta pares ordenado ordenado XxYXxY a su grado en la relación, la cual es a su grado en la relación, la cual es un número entre 0 y 1, por ejemplo, un número entre 0 y 1, por ejemplo, R:XxYR:XxY →→ [0, 1]. [0, 1].

De una forma más general, una relación difusa n-aria De una forma más general, una relación difusa n-aria R en R en xx11, x, x22, …x, …xnn , cuyos dominios son , cuyos dominios son XX11, X, X22, …,X, …,Xnn respectivamente, es definida por una función que respectivamente, es definida por una función que proyecta una n-tupla < proyecta una n-tupla < xx11, x, x22, …,x, …,xnn > en > en XX1 1 x Xx X22 x … x … x Xx Xnn para un número en el intervalo, por ejemplo, para un número en el intervalo, por ejemplo,

R: R: XX1 1 x Xx X22 x … x X x … x Xnn →→ [0, 1]. [0, 1].

Solo una relación clásica puede ser vista como un Solo una relación clásica puede ser vista como un conjunto. Una relación difusa puede ser vista como conjunto. Una relación difusa puede ser vista como un subconjunto difuso. Desde este punto de vista la un subconjunto difuso. Desde este punto de vista la proyección anterior es equivalente a la función de proyección anterior es equivalente a la función de membresía de un conjunto difuso multidimencional. membresía de un conjunto difuso multidimencional.

Si los valores posibles de Si los valores posibles de xx y y yy son discretos, se son discretos, se puede expresar una relación difusa en forma de puede expresar una relación difusa en forma de matriz.matriz.

Por ejemplo: suponiendo que se desea expresar una Por ejemplo: suponiendo que se desea expresar una relación difusa Petite en términos de la altura y el relación difusa Petite en términos de la altura y el peso de una mujer. Y suponiendo el rango de la altura peso de una mujer. Y suponiendo el rango de la altura y el peso a ser {5’, 5’1’’, 5’2’’, 5’3’’, 5’4’’, 5’5’’, y el peso a ser {5’, 5’1’’, 5’2’’, 5’3’’, 5’4’’, 5’5’’, 5’6’’}, denotada por 5’6’’}, denotada por hh, y {90, 95, 100, 105, 110, 115, , y {90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125} (en lb.), denotado por 120, 125} (en lb.), denotado por ww, respectivamente. , respectivamente.

Se puede expresar la relación difusa mediante Se puede expresar la relación difusa mediante una matriz, como se muestra:una matriz, como se muestra:

00000000

000002.04.06.0

00002.04.06.08.0

003.05.01111

01.07.011111

1.03.09.011111

2.05.0111111

''6'5

''5'5

''4'5

''3'5

''2'5

``1̀5

'5

1251201151101051009591

Cada entrada en la matriz indica el grado para el Cada entrada en la matriz indica el grado para el cual una mujer con la correspondiente altura cual una mujer con la correspondiente altura (encabezado de las filas) y peso (encabezado (encabezado de las filas) y peso (encabezado de las columnas) se considerará de talla petite.de las columnas) se considerará de talla petite.

Por ejemplo, la entrada correspondiente a una Por ejemplo, la entrada correspondiente a una altura de 5’3’’ y el peso de 115 lb. Tiene un valor altura de 5’3’’ y el peso de 115 lb. Tiene un valor de 0.3, el cual es el grado para el cual dicha de 0.3, el cual es el grado para el cual dicha mujer será considerada una persona mujer será considerada una persona petitepetite; ; Petite(5’3’’, 115 lb) = 0.3Petite(5’3’’, 115 lb) = 0.3

Una vez que se ha definido una relación difusa Petite, se Una vez que se ha definido una relación difusa Petite, se puede responder a las siguientes dos preguntas:puede responder a las siguientes dos preguntas:

1.- ¿Cuál es el grado para el que una mujer con una altura 1.- ¿Cuál es el grado para el que una mujer con una altura especifica y un peso específico se considera de talla petite?.especifica y un peso específico se considera de talla petite?.2.- ¿Cuál es la posibilidad de que una persona petite tenga un par 2.- ¿Cuál es la posibilidad de que una persona petite tenga un par de medidas especificas de altura y peso?de medidas especificas de altura y peso?

En respuesta a la primera pregunta, la relación En respuesta a la primera pregunta, la relación difusa es equivalente a la función de membresía difusa es equivalente a la función de membresía de un conjunto difuso multidimencional.de un conjunto difuso multidimencional.

En respuesta al segundo caso, la relación difusa En respuesta al segundo caso, la relación difusa se convierte en una distribución de posibilidad se convierte en una distribución de posibilidad asignada a una persona petite cuya altura y peso asignada a una persona petite cuya altura y peso actual son desconocidos.actual son desconocidos.

2.3.2 Composición de Relaciones 2.3.2 Composición de Relaciones DifusasDifusas

Se ha mostrado que una vez que se tiene Se ha mostrado que una vez que se tiene una relación difusa, se puede una relación difusa, se puede directamente responder a dos tipos de directamente responder a dos tipos de preguntas interesantes.preguntas interesantes.Y se puede ver a esta capacidad de Y se puede ver a esta capacidad de preguntar-responder como una inferencia preguntar-responder como una inferencia (por ejemplo: inferir la posible (por ejemplo: inferir la posible combinación peso-altura para saber si una combinación peso-altura para saber si una persona es petite).persona es petite).

Un tipo de inferencia más útil es la siguiente:Un tipo de inferencia más útil es la siguiente:Dado una relación difusa de dos-dimensiones y los valores Dado una relación difusa de dos-dimensiones y los valores posibles de una variable, inferir los valores posibles de la posibles de una variable, inferir los valores posibles de la otra variable. otra variable.

Por ejemplo, si se desea conocer el posible Por ejemplo, si se desea conocer el posible peso de una mujer petite llamada Michelle, peso de una mujer petite llamada Michelle, quien tiene más u menos (about) 5’4’’ de alto quien tiene más u menos (about) 5’4’’ de alto donde “más u menos” indica impresición. La donde “más u menos” indica impresición. La respuesta a esta pregunta se puede obtener a respuesta a esta pregunta se puede obtener a través de la través de la composición de relaciones difusascomposición de relaciones difusas, , la cual también es referida como la cual también es referida como “La Regla “La Regla Composicional de inferencia”Composicional de inferencia”. .

Para encontrar la respuesta, se Para encontrar la respuesta, se considerara si es posible para tal persona considerara si es posible para tal persona tener un peso de 90 lb, 95lb, …, 120lb. tener un peso de 90 lb, 95lb, …, 120lb. Debido a que el interes es el de encontrar Debido a que el interes es el de encontrar todos los pesos posibles de la persona, es todos los pesos posibles de la persona, es posible que se obtengan multiples posible que se obtengan multiples respuestas positivas. Por lo tanto, la respuestas positivas. Por lo tanto, la respuesta debería indicar el grado de respuesta debería indicar el grado de posibilidad para cada peso.posibilidad para cada peso.

Continuación…..Continuación…..

Al tratar de responder a la siguiente Al tratar de responder a la siguiente pregunta: pregunta:

¿Cuál es la posibilidad de que una persona tenga ¿Cuál es la posibilidad de que una persona tenga un determinado peso (110lb) ó una determinada un determinado peso (110lb) ó una determinada altura (5’2’’) para que se pueda considerar de talla altura (5’2’’) para que se pueda considerar de talla petite?petite?

Se realiza todo un procedimiento lógico Se realiza todo un procedimiento lógico utilizando todas las opciones disponibles utilizando todas las opciones disponibles (de altura y peso), lo cual se puede (de altura y peso), lo cual se puede representar mediante una lógica de representar mediante una lógica de predicados.predicados.

Lógica de PredicadoLógica de Predicado

La lógica de predicado es un sistema La lógica de predicado es un sistema lógico que utiliza “predicado”, como lógico que utiliza “predicado”, como bloques de construcción para formular una bloques de construcción para formular una lógica constructiva. Un predicado es como lógica constructiva. Un predicado es como una función que (map) proyecta sus una función que (map) proyecta sus argumentos como verdaderos o falsos.argumentos como verdaderos o falsos.

Los argumentos de un predicado Los argumentos de un predicado generalmente son variables o constantes.generalmente son variables o constantes.

Los Predicados son frecuentemente Los Predicados son frecuentemente conectados en una formula lógica conectados en una formula lógica utilizando conectivas como por ejemplo: utilizando conectivas como por ejemplo: yy (denotada por: (denotada por: ), ), oo (denotada por (denotada por ), e ), e implicaciónimplicación (denotada por (denotada por ). Una ). Una implicación bidireccional se denota por implicación bidireccional se denota por . . Las variables son cuantificadas por el Las variables son cuantificadas por el cuantificador “para todo” (cuantificador “para todo” () ó el ) ó el cuantificador “ahí existe” (cuantificador “ahí existe” ().).

Notación de Predicados lógicosNotación de Predicados lógicos

SímbolosSímbolos SignificadoSignificado

AndAnd

OrOr

For allFor all

There existsThere exists

If and only ifIf and only if

ImplyImply

Para realizar el proceso de razonamiento lógico para responde a la pregunta:

¿Cuál es la posibilidad de que una persona tenga ¿Cuál es la posibilidad de que una persona tenga un determinado peso (110lb) ó una determinada un determinado peso (110lb) ó una determinada altura (5’2’’) para que se pueda considerar de talla altura (5’2’’) para que se pueda considerar de talla petite?.petite?.

Se utilizaran tres predicados:Se utilizaran tres predicados:Posible – Altura (Posible – Altura (hhii): El predicado es verdadero si ): El predicado es verdadero si hhii es una posible altura de una persona. es una posible altura de una persona.

Posible – peso (Posible – peso (wwjj): El predicado es verdadero si ): El predicado es verdadero si wwjj es un posible peso de la persona.es un posible peso de la persona.

Petite (Petite (hhii, w, wjj): El predicado es verdadero si una ): El predicado es verdadero si una persona con altura persona con altura hhii y peso y peso wwjj es petite. es petite.

Los primeros dos predicados representan Los primeros dos predicados representan restricciones crisp (no difusas) en las restricciones crisp (no difusas) en las posibles alturas y pesos. Mientras el posibles alturas y pesos. Mientras el último predicado representa una relación último predicado representa una relación binaria crisp.binaria crisp.Por lo tanto, dichos predicados no pueden Por lo tanto, dichos predicados no pueden representar verdaderamente la representar verdaderamente la distribución de posibilidad de about 5’4’’, distribución de posibilidad de about 5’4’’, o la relación difusa Petite.o la relación difusa Petite.

No obstante lo anterior, se utilizarán estos No obstante lo anterior, se utilizarán estos predicados para mostrar como el predicados para mostrar como el procedimiento de inferencia anterior procedimiento de inferencia anterior puede ser expresado en lógica clásica.puede ser expresado en lógica clásica.

Entonces se generalizarán tales Entonces se generalizarán tales expresiones lógicas para obtener la regla expresiones lógicas para obtener la regla composicional de inferencia en la lógica composicional de inferencia en la lógica difusa.difusa.

Primero se obtiene la representación del Primero se obtiene la representación del procedimiento de inferencia lógico:procedimiento de inferencia lógico:

[(Posible-Altura(5’) [(Posible-Altura(5’) Petite(5’, 90)) Petite(5’, 90)) (Posible-Altura(5’2’’) (Posible-Altura(5’2’’) Petite(5’2’’, 90)) Petite(5’2’’, 90)) .. .. (Posible-Altura(6’) (Posible-Altura(6’) Petite(6’, 90)) ] Petite(6’, 90)) ]Posible- Posible- peso(90)peso(90)

Ya que el mismo procedimiento se puede Ya que el mismo procedimiento se puede utilizar para determinar si es posible para utilizar para determinar si es posible para una persona pesar 95, 100, 105, …, 125 una persona pesar 95, 100, 105, …, 125 lbs, se puede utilizar una expresión más lbs, se puede utilizar una expresión más general en términos lógicos: general en términos lógicos:

wwjj [(Posible-Altura(5’) [(Posible-Altura(5’) Petite(5’, w Petite(5’, wjj)))) (Posible-Altura(5’2’’) (Posible-Altura(5’2’’) Petite(5’2’’, w Petite(5’2’’, wjj)))) .. ..

(Posible-Altura(6’) (Posible-Altura(6’) Petite(6’, w Petite(6’, wjj))]))]Posible- Posible- peso(wpeso(wjj))

Lo cual se puede escribir de una forma más Lo cual se puede escribir de una forma más compacta:compacta:

La Ec. (1) es un caso especial (caso La Ec. (1) es un caso especial (caso binario) de la composición de una relación binario) de la composición de una relación difusa.difusa.

)1(,)()(

jii

hjj whPetitehAlturaPosiblewpesoPosiblew

i

En lógica difusa, la posibilidad y la relación se En lógica difusa, la posibilidad y la relación se convierten en una materia de grado. Si otra vez convierten en una materia de grado. Si otra vez se observa la pregunta:se observa la pregunta:

¿Cuáles son los posibles pesos de una mujer de talla petite ¿Cuáles son los posibles pesos de una mujer de talla petite llamada Michelle quien es más u menos (about) 5’ 4’’ alta?.llamada Michelle quien es más u menos (about) 5’ 4’’ alta?.

Si en la lamina anterior el significado de petite Si en la lamina anterior el significado de petite se expresa por la relación difusa Petite, se se expresa por la relación difusa Petite, se introducirá la siguiente notación para introducirá la siguiente notación para representar la distribución de posibilidad representar la distribución de posibilidad relacionada:relacionada:

altura(x)altura(x)(h(hii): El grado de posibilidad para la altura ): El grado de posibilidad para la altura de una persona es hde una persona es h ii..

petitepetite(h(hii , w , wjj): El grado de posibilidad para una ): El grado de posibilidad para una persona petite que tiene una altura de hpersona petite que tiene una altura de h ii , y un , y un peso de wpeso de wjj . .

Además, la conjunción y disyunción en la Ec. (1) Además, la conjunción y disyunción en la Ec. (1) en lógica binaria serán generalizadas a los en lógica binaria serán generalizadas a los operadores de conjunción difusa (operadores de conjunción difusa () y ) y disyunción difusa (disyunción difusa ().).

Por lo tanto, se puede inferir el posible peso de Por lo tanto, se puede inferir el posible peso de Michelle de su posible altura y también el hecho Michelle de su posible altura y también el hecho de que ella es petite utilizando una versión de que ella es petite utilizando una versión generalizada de la Ec. (1), la cual está dada por:generalizada de la Ec. (1), la cual está dada por:

Este es un ejemplo de la regla composicional de Este es un ejemplo de la regla composicional de inferencia para un determinado ejemplo.inferencia para un determinado ejemplo.

)2(),()()()( )(

xpeso xaltura Petite jiih

j whhwi

DefiniciónDefinición

Una definición formal de la regla Una definición formal de la regla composicional de inferencia es:composicional de inferencia es:

Si Si XX y y YY son los universos de discurso de las variables son los universos de discurso de las variables xx y y yy, respectivamente, y , respectivamente, y xxii y y yyjj son elementos de son elementos de XX y y YY. .

Se utilizará a R como una relación difusa que proyecta Se utilizará a R como una relación difusa que proyecta X X x Yx Y a [0, 1]. Y la distribución de posibilidad de X se sabe a [0, 1]. Y la distribución de posibilidad de X se sabe que es que es ΠΠxx (x (xii). La regla composicional de inferencia infiere ). La regla composicional de inferencia infiere

la distribución de posibilidad de Y como sigue:la distribución de posibilidad de Y como sigue:

)3(),()()( Y X R jii

Xj yxxy

i

Los pasos para calcular la regla composicional Los pasos para calcular la regla composicional de inferencia son similares a de la multiplicación de inferencia son similares a de la multiplicación de matrices. Las operaciones de conjunción y de matrices. Las operaciones de conjunción y disyunción difusas de la Ec. (3) corresponden a disyunción difusas de la Ec. (3) corresponden a la multiplicación y suma de la multiplicación de la multiplicación y suma de la multiplicación de matrices, respectivamente.matrices, respectivamente.La regla composicional de inferencia no es La regla composicional de inferencia no es única. Al escoger diferentes operadores de única. Al escoger diferentes operadores de conjunción y disyunción difusa, se obtienen conjunción y disyunción difusa, se obtienen diferentes reglas de composicionales de diferentes reglas de composicionales de inferencia.inferencia.

Ejemplo de Reglas Ejemplo de Reglas composicionalescomposicionales

Las dos más comunes son:Las dos más comunes son:

)5(),()(max)(

:max.2

)4(),(),(minmax)(

:minmax.1

Y X R jiiX

j

Y X R jiiX

j

yxxy

productncomposició

yxxy

ncomposició

i

i

Regresando al ejemplo, se asumirá que About-Regresando al ejemplo, se asumirá que About-5’4’’ se define como:5’4’’ se define como:

About-5’4’’ = {0/5’, 0/5’1’’, 0.4/5’2’’, 0.8/5’3’’, 1/5’4’’, 0.8/5’5’, 0.4/5’6’’} About-5’4’’ = {0/5’, 0/5’1’’, 0.4/5’2’’, 0.8/5’3’’, 1/5’4’’, 0.8/5’5’, 0.4/5’6’’} (6)(6)

Utilizando la regla composicional de inferencia Utilizando la regla composicional de inferencia max-min, se puede calcular la distribución de max-min, se puede calcular la distribución de posibilidad para peso de una persona petite con posibilidad para peso de una persona petite con altura de about-5’4’’:altura de about-5’4’’:

)7(8.004.06.08.08.0118.014.01010)90( peso

Similarmente, se puede calcular el grado de Similarmente, se puede calcular el grado de posibilidad para otros pesos.posibilidad para otros pesos.

About-5’4’’ = {0/5’, 0/5’1’’, 0.4/5’2’’, 0.8/5’3’’, 1/5’4’’, 0.8/5’5’, 0.4/5’6’’}About-5’4’’ = {0/5’, 0/5’1’’, 0.4/5’2’’, 0.8/5’3’’, 1/5’4’’, 0.8/5’5’, 0.4/5’6’’}

El resultado final es:El resultado final es:

00000000

000002.04.06.0

00002.04.06.08.0

003.05.01111

01.07.011111

1.03.09.011111

2.05.0111111

''6'5

''5'5

''4'5

''3'5

''2'5

``1̀5

'5

1251201151101051009590

125/0,120/1.0,115/4.0

,110/5.0,105/8.0,100/8.0,95/8.0,90/8.0peso

Matemáticamente, la composición de Matemáticamente, la composición de relaciones difusas puede ser definida relaciones difusas puede ser definida utilizando tres operaciones básicas: la utilizando tres operaciones básicas: la proyección, la extensión cilíndrica, y la proyección, la extensión cilíndrica, y la intersección.intersección.

Se introducirá los primeros dos conceptos Se introducirá los primeros dos conceptos y después se dará una definición formal y después se dará una definición formal de la de la COMPOSICIÓN DE RELACIONES DIFUSAS.COMPOSICIÓN DE RELACIONES DIFUSAS.

2.3.2.1 Extensión Cilíndrica2.3.2.1 Extensión CilíndricaLa extensión cilíndrica y la proyección son La extensión cilíndrica y la proyección son operaciones duales. La primera, extiende la operaciones duales. La primera, extiende la dimensión de una relación difusa mientras que dimensión de una relación difusa mientras que la segunda reduce la dimensión de una relación la segunda reduce la dimensión de una relación difusa.difusa.

Típicamente, se aplica la extensión cilíndrica a Típicamente, se aplica la extensión cilíndrica a dos relaciones difusas tal que ellas tengan la dos relaciones difusas tal que ellas tengan la misma dimensionalidad en orden a aplicar las misma dimensionalidad en orden a aplicar las operaciones de conjuntos ( intersección y unión) operaciones de conjuntos ( intersección y unión) a ellas. Por ejemplo, se puede aplicar la a ellas. Por ejemplo, se puede aplicar la extensión cilíndrica al conjunto difuso about-5’4’’ extensión cilíndrica al conjunto difuso about-5’4’’ a a HxWHxW. (altura x peso).. (altura x peso).

El resultado se presenta en la Ec (8):El resultado se presenta en la Ec (8):

En la Fig. 1 se muestra gráficamente el efecto de En la Fig. 1 se muestra gráficamente el efecto de aplicar la extensión cilíndrica a un subconjunto difusa A aplicar la extensión cilíndrica a un subconjunto difusa A de U a la dimensión extendida de U a la dimensión extendida UxVUxV..

)8(

4.04.04.04.04.04.04.04.0

8.08.08.08.08.08.08.08.0

11111111

8.08.08.08.08.08.08.08.0

4.04.04.04.04.04.04.04.0

00000000

00000000

''6'5

''5'5

''4'5

''3'5

''2'5

``1̀5

'5

''4'5

1251201151101051009590

About

Como se muestra en la Fig. 1, la función de membresía Como se muestra en la Fig. 1, la función de membresía del conjunto difuso extendido tiene una forma cilíndrica del conjunto difuso extendido tiene una forma cilíndrica desde la cual la operación obtiene su nombre.desde la cual la operación obtiene su nombre.

Figura 1. Ejemplo de Extensión Cilíndrica

A

ĀU

V

1

Definición:Definición:

Si R es un subconjunto difuso de USi R es un subconjunto difuso de U i1i1 x U x Ui2i2 x U x Ui3i3

x… x Ux… x Uikik , donde (i , donde (i11, i, i22, … i, … ikk) es un subsecuencia ) es un subsecuencia

de (1, 2, …., n). La de (1, 2, …., n). La extensión cilíndricaextensión cilíndrica de R en de R en UU11 x U x U2 2 x …x Ux …x Unn es un subconjunto difuso de U es un subconjunto difuso de U11 x x

UU2 2 x …x Ux …x Unn , denotado como , cuya función , denotado como , cuya función

de membresía se define por: de membresía se define por:

R

)9(,...,,,...,, 2121 ikiiRnR UUUUUU

2.3.2.2 Proyección2.3.2.2 Proyección

La operación de proyección como su nombre lo La operación de proyección como su nombre lo indica, proyecta una relación difusa a un indica, proyecta una relación difusa a un subconjunto de dimensiones seleccionadas. subconjunto de dimensiones seleccionadas. Esta operación frecuentemente es utilizada para Esta operación frecuentemente es utilizada para extraer la distribución de posibilidad de algunas extraer la distribución de posibilidad de algunas variables seleccionadas de una relación difusa variables seleccionadas de una relación difusa dada. Por ejemplo, la proyección de la relación dada. Por ejemplo, la proyección de la relación difusa difusa PetitePetite al universo de peso da una al universo de peso da una distribución de posibilidad de un peso de una distribución de posibilidad de un peso de una persona mujer petite.persona mujer petite.

La proyección de una relación difusa es análoga La proyección de una relación difusa es análoga al cálculo de la probabilidad marginal en una al cálculo de la probabilidad marginal en una distribución de probabilidad conjunta (distribución de probabilidad conjunta (se manejan se manejan

dos variables o másdos variables o más).). En vez de agregar la probabilidad a través de En vez de agregar la probabilidad a través de una fila o una columna en una distribución de una fila o una columna en una distribución de probabilidad conjunta, se ejecuta probabilidad conjunta, se ejecuta una disyunción una disyunción difusadifusa a través de una fila o una columna de a través de una fila o una columna de una relación difusa.una relación difusa. Por lo tanto, el resultado de proyectar la Por lo tanto, el resultado de proyectar la relación relación PetitePetite para peso es: para peso es:

)10(125/2.0,120/5.0,115/1,110/1,105/1,100/1,95/1,90/1Pr Petiteojw


Similarmente, se puede calcular la proyección Similarmente, se puede calcular la proyección de la relación para altura. (como ejercicio)de la relación para altura. (como ejercicio)

Formalmente, se define la proyección como:Formalmente, se define la proyección como:

Si R es una relación difusa en USi R es una relación difusa en U11 x U x U22 x… x U x… x Unn , ,

y (iy (i11, i, i22, … i, … ikk) es un subsecuencia de (1, 2,...,n). ) es un subsecuencia de (1, 2,...,n).

La La proyecciónproyección de R en U de R en Ui1i1 x U x Ui2 i2 x…x Ux…x Uikik , ,

denotada como denotada como Proj RProj R, es definida como:, es definida como:

)11(,,,, 11Pr21,,1

nRUUU

iniRoj uuuujljjikUiU

Donde: (Donde: (jj11, j, j22,…, j,…, jll) es la secuencia ) es la secuencia

complementaria a (complementaria a (ii11, i, i22,…, i,…, ill), [), [p. ejem., if R es p. ejem., if R es

una relación difusa que involucra seis variables, (1, 2, 4) una relación difusa que involucra seis variables, (1, 2, 4)

es complementaria a (3, 5, 6)es complementaria a (3, 5, 6)],], u uii denota la denota la

variable cuyo universo de discurso es variable cuyo universo de discurso es UUii, y , y

UUj1j1x Ux Uj2j2x …x Ux …x Ujljl denota la aplicación de denota la aplicación de

la disyunción difusa para cada punto en la disyunción difusa para cada punto en UUj1j1x …x Ux …x Ujljl . .

Definición Formal de la Definición Formal de la Composición de Relación DifusaComposición de Relación DifusaUna composición de dos relaciones difusas es el Una composición de dos relaciones difusas es el resultado de tres operaciones: (1) extendiendo resultado de tres operaciones: (1) extendiendo cilíndricamente cada relación de tal forma que cilíndricamente cada relación de tal forma que sus dimensiones sean idénticas, (2) sus dimensiones sean idénticas, (2) intersectando las dos relaciones extendidas, y intersectando las dos relaciones extendidas, y (3) proyectando la intersección a las (3) proyectando la intersección a las dimensiones no compartidas dimensiones no compartidas (shared)(shared) por las dos por las dos relaciones originales.relaciones originales.Esto es formalmente establecido a continuación Esto es formalmente establecido a continuación por la composición de relaciones difusas por la composición de relaciones difusas binarias.binarias.


Si R y S son dos relaciones difusas binarias en Si R y S son dos relaciones difusas binarias en UU11x Ux U22 y y UU22x Ux U33 respectivamente. La respectivamente. La

composición composición de las dos relaciones, denotada de las dos relaciones, denotada como Rcomo R°S, es:°S, es:

.

:

)12(Pr

321

, 31

UUUenSyR

descilíndricasextensionesonSyRDonde

SRojSRUU

Se tienen dos relaciones difusas RSe tienen dos relaciones difusas R11 y R y R22

Obtener la composición max-min de dichas Obtener la composición max-min de dichas relaciones.relaciones.

Ejercicio Ejercicio (m)(m): Obtención de la : Obtención de la composición de dos relaciones difusascomposición de dos relaciones difusas

R

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

R R R R

R R R R

R R R R

R R R

1

1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4

1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4

1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4

1 4 1 1 4 2 1 4 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) R x y1 4 4

10 0 3 0 9 0 0

0 3 10 08 10

0 9 08 10 08

0 0 10 08 10( , )

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

R

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

R R R

R R R

R R R

R R R

2

2 1 1 2 1 2 2 1 3

2 2 1 2 2 2 2 2 3

2 3 1 2 3 2 2 3 3

2 4 1 2 4 2 2 4 3

10 10 0 9

10 0 0 0

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

. . .

. . .5

0 3 01 0 0

0 2 0 3 01

. . .

. . .

(m) Ver el archivo MASTER.

La composición max-min de dichas La composición max-min de dichas relaciones en su forma matricial es:relaciones en su forma matricial es:

La solución es:La solución es:

R R1 2

10 0 3 0 9 0 0

0 3 10 08 10

0 9 08 10 08

0 0 10 08 10

10 10 0 9

10 0 0 05

0 3 01 0 0

0 2 0 3 01

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

R0 = 1.0000 1.0000 0.9000 1.0000 0.3000 0.5000 0.9000 0.9000 0.9000

1.0000 0.3000 0.5000


(principio de extensión)(principio de extensión)ANEXO 1:ANEXO 1:

Anexo a los temas 2.3.1 y 2.3.2 Anexo a los temas 2.3.1 y 2.3.2

Ecuaciones de Relaciones Ecuaciones de Relaciones Difusas y ejemplos.Difusas y ejemplos.

Relaciones Difusas Relaciones Difusas

Una Una relación difusarelación difusa representa la representa la asociación, interacción o ínter asociación, interacción o ínter conectividad entre los elementos de dos conectividad entre los elementos de dos o más conjuntos difusos.o más conjuntos difusos.

Considerando a dos conjuntos Considerando a dos conjuntos universales U y V. Entonces, una universales U y V. Entonces, una relación difusa R de U a V es un relación difusa R de U a V es un conjunto difuso del U x V, caracterizado conjunto difuso del U x V, caracterizado por una función de membresía:por una función de membresía:

.1,0: VxUR

La Composición en los La Composición en los conjuntos difusosconjuntos difusos

Las relaciones difusas pueden ser Las relaciones difusas pueden ser compuestas.compuestas.

Por ejemplo:Por ejemplo: Considérese a Considérese a AA como un conjunto difuso de U y a como un conjunto difuso de U y a BB como un conjunto difuso de como un conjunto difuso de V,V, la la composición sup-mincomposición sup-min de una relación de una relación y un conjunto y un conjunto AA,, es a su vez,es a su vez,

La Composición en los conjuntos La Composición en los conjuntos difusosdifusos

un conjunto difuso un conjunto difuso BB de V, de V, expresada como:expresada como:

Una composición denotadaUna composición denotada por, por, , , que involucra la que involucra la composicióncomposición de dos de dos relaciones difusas relaciones difusas

yy que es una relación difusa de U a W,que es una relación difusa de U a W,

R Au U

A Rv min u u v v V

sup , , ,

S R

R U V y S V W

La Composición en los conjuntos La Composición en los conjuntos difusosdifusos

se define como:se define como:

En las definiciones anteriores se En las definiciones anteriores se utilizó el siguiente símbolo: sup para utilizó el siguiente símbolo: sup para representar el elemento máximo con representar el elemento máximo con relación a alguna variable x. relación a alguna variable x.

S Rv V

R Su w min u v v w u w U x W v V , sup , , , , , , .

Ejemplo 1.1: Aplicación de los conceptos Ejemplo 1.1: Aplicación de los conceptos básicos de los Conjuntos Difusosbásicos de los Conjuntos Difusos

Considérense los siguientes conjuntos difusos:Considérense los siguientes conjuntos difusos:S = Un conjunto de síntomasS = Un conjunto de síntomasD = Un conjunto de diagnósticosD = Un conjunto de diagnósticosP = Un conjunto de pacientesP = Un conjunto de pacientes

Definiendo una relación RDefiniendo una relación R11(S (S →→ D) llamada, D) llamada, "conocimiento médico","conocimiento médico", la cual exprese la la cual exprese la asociación existente entre un determinado asociación existente entre un determinado cuadro cuadro de síntomasde síntomas (S) y sus (S) y sus posibles diagnósticosposibles diagnósticos (D), (D), bajo el criterio del médico y definiendo un bajo el criterio del médico y definiendo un conjunto difuso conjunto difuso AA S, entonces, R S, entonces, R11◦A◦A, , describirá el estado del paciente en términos de describirá el estado del paciente en términos de diagnóstico como un conjunto difuso diagnóstico como un conjunto difuso BB de D, de D, expresado como: expresado como:

DSR 1

Si ahora se consideran muchos pacientes (p Si ahora se consideran muchos pacientes (p P), se define una relación, RP), se define una relación, R22(P(P→→S), entonces S), entonces

la ecuación (1a) se convierte en R la ecuación (1a) se convierte en R11 R R22 y se y se

representa como: representa como:

Dddssmind RASs

B

,,sup 1 ( 1a )

SsDxPdpdsspmindp RRSs

T

,,,,,sup, 12 ( 1b )

La Ec. (1a) representa el diagnóstico de un La Ec. (1a) representa el diagnóstico de un determinado paciente como un conjunto difuso determinado paciente como un conjunto difuso dado un conjunto de síntomas. La Ec. (1b) dado un conjunto de síntomas. La Ec. (1b) representa los diagnósticos de un conjunto de representa los diagnósticos de un conjunto de pacientes dado un conjunto de síntomas.pacientes dado un conjunto de síntomas.

La Solución al presente ejercicio y considerando La Solución al presente ejercicio y considerando que se cuenta con una relación difusa Rque se cuenta con una relación difusa R11, ,

expresada como se muestra en la tabla 1. expresada como se muestra en la tabla 1.

Tabla 1.1: Matriz Conocimiento Tabla 1.1: Matriz Conocimiento Médico Médico

R1(SD) Fiebre Reumátic

a

Gota Artritis Reumatoide

Osteoartritis

Dolor Articular 0.40 0.72 0.70 0.69

Inflamación Sinovial

0.20 0.50 0.50 0.50

Deformación Articular

0.10 0.60 0.81 0.61

Rigidez Articular 0.20 0.50 0.65 0.70

Edad Avanzada 0 0.51 0.80 0.80

Afectación Válvular 1 0 0 0

Piel Calientey Roja

0.60 0.61 0.60 0.60

Según la ecuación (1a), se puede encontrar un Según la ecuación (1a), se puede encontrar un diagnóstico diferencial basado en la relación diagnóstico diferencial basado en la relación difusa Rdifusa R11(S(SD) y el conjunto difuso de D) y el conjunto difuso de

síntomas s síntomas s S, presentado por algún paciente S, presentado por algún paciente que podría estar estructurado como: que podría estar estructurado como:

CalienteyRojaPielDemasiada

ValvularAfectaciónPoca

AvanzadaEdadMenosoMas

ArticularRigidezDemasiada

ArticularnDeformacioPoca

SinovialnInflamacioMucha

ularDolorArticPoco

s

traduciendo cada etiqueta difusa en un traduciendo cada etiqueta difusa en un valor numérico, entonces:valor numérico, entonces:

CalienteyRojaPielValvularAfectaciónAvanzadaEdad

ArticularRigidezArticularnDeformacioSinovialnInflamacioularDolorArtic

s

87.02.05.0

87.02.075.02.0

Evaluando con la ecuación (1a) y considerando que min(a, b) = aΛb , se tienen las siguientes expresiones:

Así, se obtiene finalmente un resultado o Así, se obtiene finalmente un resultado o diagnóstico difuso que se puede diagnóstico difuso que se puede estructurar de la siguiente manera: estructurar de la siguiente manera:

sup . . , . . , . . , . . , . , . , . . .intS omas

0 2 0 4 0 75 0 2 0 2 01 0 87 0 2 0 5 0 0 2 1 0 87 0 6 0 6

61.061.087.0,02.0,51.05.0,5.087.0,6.02.0,5.075.0,72.02.0supint

omasS

sup . . , . . , . . , . . , . . , . , . . .intS omas

0 2 0 7 0 75 05 0 2 081 087 0 65 05 08 0 2 0 087 0 6 0 65

sup . . , . . , . . , . . , . . , . , . . .intS omas

0 2 0 69 0 75 0 5 0 2 0 61 0 87 0 70 05 08 0 2 0 0 87 0 6 0 7

Este resultado indica, entonces una mayor Este resultado indica, entonces una mayor predisposición hacia una Osteoartritis en predisposición hacia una Osteoartritis en comparación con los demás diagnósticos. comparación con los demás diagnósticos.

tisOsteoartri

0.7umatoideArtritisGotaumaticaFiebre

dRe

65.061.0Re

6.0

Relaciones Difusas y sus Relaciones Difusas y sus ecuacionesecuaciones

Las relaciones difusas proyectan elementos de Las relaciones difusas proyectan elementos de un universo, X, a los elementos de otro un universo, X, a los elementos de otro universo, Y, a través del producto cartesiano de universo, Y, a través del producto cartesiano de los 2 universos.los 2 universos.

Una relación difusa Una relación difusa R R es un mapeo entre el es un mapeo entre el espacio cartesiano espacio cartesiano X x YX x Y y el intervalo [0,1], y el intervalo [0,1], donde la fuerza del mapeo es expresada por la donde la fuerza del mapeo es expresada por la función de membresía de la relación para pares función de membresía de la relación para pares ordenados desde los dos universos, o ordenados desde los dos universos, o µµRR(x, y)(x, y)

La Cardinalidad en Relaciones Difusas.- La Cardinalidad en Relaciones Difusas.- Si la Si la cardinalidad de conjuntos difusos es infinita, la cardinalidad de conjuntos difusos es infinita, la cardinalidad de una relación difusa entre 2 o cardinalidad de una relación difusa entre 2 o más universos también es infinita.más universos también es infinita.

Operaciones en Relaciones Difusas.- Operaciones en Relaciones Difusas.- Tomando Tomando en cuenta que R y S son relaciones difusas en en cuenta que R y S son relaciones difusas en el espacio cartesiano el espacio cartesiano X x Y,X x Y, las operaciones las operaciones básicas se expresarán de la siguiente manera:básicas se expresarán de la siguiente manera:

yxyxSRntoContenimie

yxyxoComplement

yxyxminyxónIntersecci

yxyxmaxyxUnion

SR

AR

SRSR

SRSR

,,

,1,

,,,,

,,,,

Propiedades de las Relaciones Difusas.- Propiedades de las Relaciones Difusas.- Las propiedades conmutativa, asociativa, Las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, involución e idemponencia se distributiva, involución e idemponencia se cumplen en las relaciones difusas. cumplen en las relaciones difusas. Además, las leyes De Morgan, la relación Además, las leyes De Morgan, la relación nula, nula, OO, y la relación completa, , y la relación completa, EE, son , son análogas al conjunto vacío y al conjunto análogas al conjunto vacío y al conjunto completo o entero.completo o entero.

Las propiedades que NO se cumplen en las Las propiedades que NO se cumplen en las relaciones difusas son las leyes de la media relaciones difusas son las leyes de la media excluida. Debido a que una relación difusa excluida. Debido a que una relación difusa RR también es un conjunto difuso, existe un también es un conjunto difuso, existe un traslape entre una relación y su complemento, traslape entre una relación y su complemento, por lo tanto:por lo tanto:

Obsérvese que en estas expresiones, la ley de Obsérvese que en estas expresiones, la ley de media excluida para las relaciones difusas NO media excluida para las relaciones difusas NO resulta en la relación nula, resulta en la relación nula, OO, o la relación , o la relación completa, completa, EE. .

ORR

ERR

Producto Cartesiano y Composición Difusa.- Producto Cartesiano y Composición Difusa.-

Ya que en general las relaciones difusas son Ya que en general las relaciones difusas son conjuntos difusos, se puede definir al conjuntos difusos, se puede definir al Producto Producto CartesianoCartesiano como una relación entre dos o más como una relación entre dos o más conjuntos difusos. Si A y B son conjuntos conjuntos difusos. Si A y B son conjuntos difusos de dos universos de discursos difusos de dos universos de discursos respectivamente; entonces el respectivamente; entonces el Producto Producto CartesianoCartesiano entre los conjuntos difusos A y B entre los conjuntos difusos A y B resultará en una relación difusa R, la cual está resultará en una relación difusa R, la cual está contenida dentro del espacio completo del contenida dentro del espacio completo del producto cartesiano, o sea que se tendrá: producto cartesiano, o sea que se tendrá:

YXRBA

donde la relación difusa R tiene la función de donde la relación difusa R tiene la función de membresía:membresía:

El producto cartesiano definido AxB se implementa de la El producto cartesiano definido AxB se implementa de la misma manera que el producto cruz de dos vectores. misma manera que el producto cruz de dos vectores.

En el caso de dos relaciones dimensionales (r=2), En el caso de dos relaciones dimensionales (r=2), éstas emplean la idea de pares de elementos entre éstas emplean la idea de pares de elementos entre conjuntos. Cada uno de los conjuntos difusos se puede conjuntos. Cada uno de los conjuntos difusos se puede visualizar como un vector de valores de membresía; visualizar como un vector de valores de membresía; donde cada valor está asociado con un elemento en donde cada valor está asociado con un elemento en particular en cada conjunto.particular en cada conjunto.

yxminyxyx bABAR ,,,

Ejemplo 1.2:Ejemplo 1.2:

Suponiendo que se tienen dos conjuntos A y B Suponiendo que se tienen dos conjuntos A y B definidos en X={xdefinidos en X={x1,1,, x, x22, x, x33} y Y = {y} y Y = {y11, y, y22} } respectivamente. respectivamente. Encuentre el Producto Cartesiano entre ellos. Encuentre el Producto Cartesiano entre ellos. Los conjuntos difusos A y B pueden Los conjuntos difusos A y B pueden representar la temperatura "ambiente" y la representar la temperatura "ambiente" y la presión "optima cercana", respectivamente, de presión "optima cercana", respectivamente, de una caldera, y el producto Cartesiano podría una caldera, y el producto Cartesiano podría representar las condiciones (pares temperatura - representar las condiciones (pares temperatura - presión) de una caldera que están asociados presión) de una caldera que están asociados con las operaciones "eficientes". Por ejemplo, sí con las operaciones "eficientes". Por ejemplo, sí

El conjunto A puede ser representado como la El conjunto A puede ser representado como la columna de un vector de tamaño 3 x 1 y el columna de un vector de tamaño 3 x 1 y el conjunto B por la fila del vector de 1 x 2. conjunto B por la fila del vector de 1 x 2. Entonces el producto Cartesiano, usando la Entonces el producto Cartesiano, usando la ecuación :ecuación :

dará una relación difusa R (de tamaño 3 x 2) dará una relación difusa R (de tamaño 3 x 2) representando las condiciones “eficientes”, representando las condiciones “eficientes”, esto es: esto es:

Ax x x

y By y

0 2 0 5 1 0 3 0 9

1 2 3 1 2

. . . .

yxminyxyx bABAR ,,,

y y

A B R

x

x

x

1 2

1

2

3

0 2 0 2

0 3 05

0 3 0 9

. .

. .

. .

Relaciones Difusas y sus Relaciones Difusas y sus ecuacionesecuaciones

Supóngase que R es una relación difusa Supóngase que R es una relación difusa en el espacio cartesiano, X x Y , S es una en el espacio cartesiano, X x Y , S es una relación difusa en Y x Z , y T es una relación difusa en Y x Z , y T es una relación difusa en X x Z ; entonces la relación difusa en X x Z ; entonces la composición difusa max-min estará composición difusa max-min estará definida en términos de la notación teórica definida en términos de la notación teórica de los conjuntos y en términos de la de los conjuntos y en términos de la notación teórica de las funciones de notación teórica de las funciones de membresía de la siguiente manera: membresía de la siguiente manera:

otra composición difusa es la max-producto la otra composición difusa es la max-producto la cual se define en términos de la notación teórica cual se define en términos de la notación teórica de funciones de membresía como:de funciones de membresía como:

Se debe de puntualizar que ni las Se debe de puntualizar que ni las composiciones certeras ni las difusas cumplen composiciones certeras ni las difusas cumplen con la propiedad conmutativa en lo general, con la propiedad conmutativa en lo general, esto es: esto es:

La ecuación anterior es general para cualquier La ecuación anterior es general para cualquier operación matricial, ya sea difusa u otras.operación matricial, ya sea difusa u otras.

zyyxzx

SRT

SRYy

T ,,,

Ty Y

R Sx z x y y z, , ,

R S S R


Suponiendo que se tienen las relaciones Suponiendo que se tienen las relaciones para XxY (denotada por la relación difusa para XxY (denotada por la relación difusa R) y YxZ (denotada por la relación R) y YxZ (denotada por la relación difusa S). En este caso se tiene:difusa S). En este caso se tiene:

Considere las siguientes relaciones Considere las siguientes relaciones difusas:difusas:

3212121 ,,,,,, zzzZyyyYxxX

5.07.01.0

2.06.09.0

4.08.0

5.07.0

2

1

2

1

32121

y

ySy

x

xR

zzzyy

Entonces la relación resultante, T, la cual Entonces la relación resultante, T, la cual relaciona los elementos del universo X a relaciona los elementos del universo X a los elementos del universo Z, definido en los elementos del universo Z, definido en el espacio Cartesiano se puede el espacio Cartesiano se puede encontrar al usar la siguiente composición encontrar al usar la siguiente composición (max-min):(max-min):

zyyxzx SRYy

T ,,,

por ejemplo,por ejemplo,

y así para el resto, resultando lo siguiente:y así para el resto, resultando lo siguiente:

7.01.0,5.0min,9.0,7.0minmax, 11T zx

4.06.08.0

5.06.07.0

2

1

321

x

xT

zzz

Ahora bien si se utilizará la composición Ahora bien si se utilizará la composición (max-producto) se tendría:(max-producto) se tendría:

por ejemplo,por ejemplo,

y el restoy el resto

Ty Y

R Sx z x y y z, , ,

48.07.04.0,6.08.0, 22T maxzx

20.048.072.0

25.042.063.0

2

1

321

x

xT

zzz

ObservaciónObservación

La ingeniería de control siempre se La ingeniería de control siempre se interesa en la relación entre las entradas interesa en la relación entre las entradas del sistema y las salidas del sistema. del sistema y las salidas del sistema. Para obtener la relación entre una variable Para obtener la relación entre una variable de entrada difusa A y una variable de de entrada difusa A y una variable de salida difusa B de un determinado sistema salida difusa B de un determinado sistema de control se realiza una de control se realiza una declaración declaración condicional difusacondicional difusa..

Implicación lingüísticaImplicación lingüística(1)(1)

Para relacionar los conjuntos difusos Para relacionar los conjuntos difusos AA y y BB de de universos de discurso desiguales U y V, se universos de discurso desiguales U y V, se introducirá el concepto de introducirá el concepto de declaración declaración condicional difusacondicional difusa (implicación lingüística) (implicación lingüística) (*)(*)::

dondedondeAA es el antecedente y es el antecedente yBB es el consecuente. es el consecuente.

"" BENTONCESAIF

o

BA

(1) R. Sutton &D. R. Towill, “An introduction to the use of fuzzy sets in the implementacion of control algorithms”, Journal of the Institution of Electronic and Radio Engineers, Vol. 55, No. 10, pp. 357-367, October 1985.

Esta relación implícita, R, es expresada Esta relación implícita, R, es expresada en términos del Producto Cartesiano de en términos del Producto Cartesiano de los conjuntos los conjuntos AA y y B,B, y es denotada por: y es denotada por:

Para conjuntos finitos, su función de Para conjuntos finitos, su función de membresía se define pormembresía se define por

BxAR

VvUuuuvuvu BAAxBR ,,,min,,

Alternativamente, para conjuntos Alternativamente, para conjuntos continuos,continuos,

Generalmente, la ecuación anterior está Generalmente, la ecuación anterior está en forma de matriz, por lo tantoen forma de matriz, por lo tanto

VU

BAvu

vuBAR ,

vu

BA vuvuBA ,

*

ÓÓ

DondeDonde

nBmABmA

nBABA

vuminvumin

vuminvumin

BA

,,

,,

1

111

nm vvvVyuuuU ,,,,,, 2121

**


Para ilustrar el significado de las ecuaciones Para ilustrar el significado de las ecuaciones anteriores (Ec. *, Ec. **) se tomará en cuenta la anteriores (Ec. *, Ec. **) se tomará en cuenta la siguiente siguiente declaración condicional difusadeclaración condicional difusa::

SI A es pequeña ENTONCES B es grande.SI A es pequeña ENTONCES B es grande.

Donde: Los universos de discurso distintos U Donde: Los universos de discurso distintos U y V con sus correspondientes conjuntos y V con sus correspondientes conjuntos difusos difusos AA y y BB están dados por: están dados por:

pequeño = A = 1/1 + 0.7/2 + 0.3/3 + 0/4 + 0/5pequeño = A = 1/1 + 0.7/2 + 0.3/3 + 0/4 + 0/5

grande = B = 0/1 + 0/2 + 0.3/3 + 0.7/4 + 1/5grande = B = 0/1 + 0/2 + 0.3/3 + 0.7/4 + 1/5

Respectivamente.Respectivamente.

Así es que, usando la Ec. (**)Así es que, usando la Ec. (**)

nBmABmA

nBABA

vuminvumin

vuminvumin

BA

,,

,,

1

111

00000

00000

3.03.03.000

7.07.03.000

17.03.000

1,0min7.0,0min3.0,0min0,0min0,0min


1,3.0min7.0,3.0min3.0,3.0min0,3.0min0,3.0min

1,7.0min7.0,7.0min3.0,7.0min0,7.0min0,7.0min


BA

Se puede observar que la matriz de la Se puede observar que la matriz de la relación de la ecuación anterior fue relación de la ecuación anterior fue derivada usando el producto Cartesiano derivada usando el producto Cartesiano de de A x BA x B..Esta relación se puede representar Esta relación se puede representar gráficamente (ver Fig. 1.1) por una gráficamente (ver Fig. 1.1) por una superficie. Donde las filas de la matriz de superficie. Donde las filas de la matriz de dicha ecuación corresponderían a las dicha ecuación corresponderían a las secciones de la superficie.secciones de la superficie.

Figura 1.1 Relación Difusa de dos-dimensiones entre Figura 1.1 Relación Difusa de dos-dimensiones entre conjuntos difusos “conjuntos difusos “If A es pequeño y B es grandeIf A es pequeño y B es grande”.”.

12

34

5 U

1 23

45

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

(U), (V)

V

B

A

Producto Cartesiano

12

34

5 U

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

(U), (V)

V

Matriz de Relación Difusa representada por una superficie.

Una declaración condicional difusa puede Una declaración condicional difusa puede consistir de conjuntos difusos de más de un consistir de conjuntos difusos de más de un universo de discurso distinto. Considere los universo de discurso distinto. Considere los universos de discurso distintos U, V, y W, con universos de discurso distintos U, V, y W, con sus correspondientes conjuntos difusos A, B, y sus correspondientes conjuntos difusos A, B, y C respectivamente, los cuales forman:C respectivamente, los cuales forman:

IF A THEN B THEN CIF A THEN B THEN C

Así es que la relación difusa esta dada por:Así es que la relación difusa esta dada por:

UxVxW CBA wvuwvuAxBxCR ,,)()()(

La cual puede ser expresada como una matriz relación La cual puede ser expresada como una matriz relación de tres-dimensiones, por:de tres-dimensiones, por:

Cuando se formula una estrategia de control, con Cuando se formula una estrategia de control, con frecuencia es necesario formar una combinación de frecuencia es necesario formar una combinación de varias declaraciones condicionales difusas, cada una de varias declaraciones condicionales difusas, cada una de las cuales tendrá un conjunto difuso asociado las cuales tendrá un conjunto difuso asociado RR(i)(i) . Si . Si este es el caso, las este es el caso, las RR(i)(i)s s individuales serán combinadas individuales serán combinadas para obtener una para obtener una RR Total por medio de calcular la unión Total por medio de calcular la unión de todas ellas. Por lo tanto se tendrá:de todas ellas. Por lo tanto se tendrá:

WVU

CBA wvuwvuAxBxC ,,)()()(

)()2()1( NRRRR


(principio de extensión)(principio de extensión)2.3.3 Gráficas Difusas.2.3.3 Gráficas Difusas.2.3.4 Números Difusos.2.3.4 Números Difusos.2.3.5 Funciones con Argumentos Difusos2.3.5 Funciones con Argumentos Difusos2.3.6 Operaciones Aritméticas en2.3.6 Operaciones Aritméticas en

Números DifusosNúmeros Difusos

2.3.3 Gráficas Difusas2.3.3 Gráficas DifusasUna relación difusa no debe tener un significado Una relación difusa no debe tener un significado de etiqueta lingüística tal como la relación petite de etiqueta lingüística tal como la relación petite tiene. De hecho, la mayoría de las relaciones tiene. De hecho, la mayoría de las relaciones difusas utilizadas en aplicaciones del mundo difusas utilizadas en aplicaciones del mundo real NO representan un concepto, en vez de eso real NO representan un concepto, en vez de eso ellas representan ellas representan una proyección funcionaluna proyección funcional de de un conjunto de variables de entrada a una o un conjunto de variables de entrada a una o más variables de salida. Frecuentemente, un más variables de salida. Frecuentemente, un conjunto de reglas difusas utilizadas en un conjunto de reglas difusas utilizadas en un controlador lógico difuso describen una relación controlador lógico difuso describen una relación difusa desde las variables de estado difusa desde las variables de estado observadas a una decisión de control.observadas a una decisión de control.

En otras palabras, En otras palabras, una relación difusa una relación difusa subraya que un controlador lógico difuso subraya que un controlador lógico difuso puede ser construido por un conjunto de puede ser construido por un conjunto de reglas difusas if-thenreglas difusas if-then..

¿Cómo se logra esto? Para responder a ¿Cómo se logra esto? Para responder a ésta pregunta, se necesita introducir el ésta pregunta, se necesita introducir el concepto de concepto de graficas difusasgraficas difusas..

Gráfica difusa de ZadehGráfica difusa de Zadeh

El término “gráfica difusa” ha sido utilizado El término “gráfica difusa” ha sido utilizado para dos conceptos diferentes en la para dos conceptos diferentes en la literatura, uno intruducido por Zadeh, y el literatura, uno intruducido por Zadeh, y el otro introducido por Rosenfeld. La gráfica otro introducido por Rosenfeld. La gráfica difusa de Rosenfeld es una generalización difusa de Rosenfeld es una generalización de la teoría de gráficas convencional. de la teoría de gráficas convencional. Mientras que, la gráfica difusa de Zadeh Mientras que, la gráfica difusa de Zadeh es mucho más relevante para el control es mucho más relevante para el control lógico difuso y las aplicaciones lógico difuso y las aplicaciones industriales industriales

Una gráfica difusa describe una proyección Una gráfica difusa describe una proyección funcional entre un conjunto de variables funcional entre un conjunto de variables lingüísticas de entrada y una variable lingüística lingüísticas de entrada y una variable lingüística de salida.de salida.Si se asume que una función Si se asume que una función ff: : UUV, XV, XU, U, YYVV, es aproximada por la siguientes reglas , es aproximada por la siguientes reglas difusas IF-THEN:difusas IF-THEN:

ff: IF : IF XX es pequeña THEN es pequeña THEN Y Y es pequeña.es pequeña. IF IF XX es mediana THEN es mediana THEN YY es grande. es grande. IF IF XX es grande THEN es grande THEN YY es pequeña. es pequeña.La cual forma una La cual forma una gráfica difusa f*gráfica difusa f* (ver la Fig. 2), (ver la Fig. 2),donde:donde:

f* = pequeña x pequeña + mediana x grande + f* = pequeña x pequeña + mediana x grande + grande x pequeñagrande x pequeña

Figura 2. Aproximación de una gráfica difusa por medio Figura 2. Aproximación de una gráfica difusa por medio de una Disyunción de productos cartesianos. de una Disyunción de productos cartesianos.

Pequeño mediano grande

grande

pequeño

f (función crisp)

f* (gráfica difusa)

y

x1 0

1

En En f*f*, + y x denota, respectivamente, la , + y x denota, respectivamente, la disyunción y producto cartesiano. Una disyunción y producto cartesiano. Una expresión de la formaexpresión de la forma AxB AxB donde donde AA y y BB son son palabraspalabras (conjuntos difusos) es referido como un (conjuntos difusos) es referido como un gránulo (granule) Cartesiano gránulo (granule) Cartesiano (2)(2)..

Supóngase que Supóngase que xx y y yy son variables con son variables con universos de discurso universos de discurso XX y y YY respectivamente, respectivamente, y y AA y y BB son dos subconjuntos difusos de son dos subconjuntos difusos de XX y y YY. .

(2) L. A. Zadeh. Fuzzy Logic = computing with words. IEEE Trans. On Fuzzy Systems, Vol. 4 No. 2, 1996.

El producto cartesiano de El producto cartesiano de AA y y BB, denotado por , denotado por AxBAxB, es definido como:, es definido como:

La Fig. 3 muestra una relación difusa formada La Fig. 3 muestra una relación difusa formada por un producto Cartesiano utilizando elpor un producto Cartesiano utilizando el min min como el operador de conjunción difusa. Una como el operador de conjunción difusa. Una gráfica difusa gráfica difusa f* f* de de XX a a YY es así una unión de es así una unión de productos Cartesianos que involucra productos Cartesianos que involucra asociaciones lingüísticas de entrada-salida (p. asociaciones lingüísticas de entrada-salida (p. ejemplo, los pares de “ejemplo, los pares de “x es Ax es Aii” y “” y “y es By es Bii”), ”),

como:como:

13, vuvu BABA

14*ii

iBAf

Figura 3. Relación Difusa formada por Figura 3. Relación Difusa formada por un Producto Cartesiano.un Producto Cartesiano.

-2-1

01

2

-2-1

01

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xy

Me

mb

ers

hip

to th

e F

uzzy

Se

t R

La gráfica difusa resultante básicamente La gráfica difusa resultante básicamente es una relación difusa. Las gráficas es una relación difusa. Las gráficas difusas y las relaciones difusas se utilizan difusas y las relaciones difusas se utilizan en el contexto del razonamiento difuso en el contexto del razonamiento difuso basado-en reglas.basado-en reglas.También, se debería de puntualizar que También, se debería de puntualizar que los productos Cartesiano no son la única los productos Cartesiano no son la única manera para formar una relación difusa. manera para formar una relación difusa. Por ejemplo, se puede ver como las Por ejemplo, se puede ver como las implicaciones difusas pueden ser implicaciones difusas pueden ser utilizadas para formar otro tipo de utilizadas para formar otro tipo de relaciones difusas (como por ejemplo: las relaciones difusas (como por ejemplo: las relaciones de implicación).relaciones de implicación).

2.3.4 Números Difusos2.3.4 Números Difusos

Un número difuso es un subconjunto difuso del Un número difuso es un subconjunto difuso del universo de un número numérico. Por ejemplo, universo de un número numérico. Por ejemplo, un número real difuso es un subconjunto difuso un número real difuso es un subconjunto difuso del dominio de números reales. Un entero difuso del dominio de números reales. Un entero difuso es un subconjunto difuso del dominio de es un subconjunto difuso del dominio de enteros. Un ejemplo de un número real difuso, enteros. Un ejemplo de un número real difuso, About-10, se muestra en la Fig. 4 About-10, se muestra en la Fig. 4

5 10

About-101

Figura 4 Número Difuso

2.3.5 Funciones con Argumentos 2.3.5 Funciones con Argumentos DifusosDifusos

Si se tiene una función precisa y se Si se tiene una función precisa y se quiere aplicar la función a números quiere aplicar la función a números difusos, se necesita utilizar una técnica de difusos, se necesita utilizar una técnica de la lógica difusa llamada la lógica difusa llamada el principio de el principio de extensiónextensión..

Un argumento difuso describe una Un argumento difuso describe una distribución de posibilidad del argumento.distribución de posibilidad del argumento.

En calculo la imagen funcional de un argumento En calculo la imagen funcional de un argumento difuso, no solo requiere encontrar la imagen difuso, no solo requiere encontrar la imagen funcional para cada valor posible, sino que funcional para cada valor posible, sino que también la posibilidad de esta imagen. también la posibilidad de esta imagen.

Además, debido a que diferentes valores de Además, debido a que diferentes valores de entrada puede proyectase al mismo valor de entrada puede proyectase al mismo valor de salida, se necesita determinar la posibilidad de salida, se necesita determinar la posibilidad de tal valor de salida al combinar el grado de tal valor de salida al combinar el grado de posibilidad de todas las entradas que se posibilidad de todas las entradas que se proyectan al mismo valor de salida.proyectan al mismo valor de salida.

Aplicando una función a los argumentos difusos Aplicando una función a los argumentos difusos se generaliza la notación de la aplicación de se generaliza la notación de la aplicación de una función a los intervalos. Por lo tanto, una función a los intervalos. Por lo tanto, primero se revisará como calcular la imagen primero se revisará como calcular la imagen funcional de un intervalo.funcional de un intervalo.

Se puede aplicar una función Se puede aplicar una función f f a un intervalo a un intervalo II al proyectar todos los elementos en el intervalo al proyectar todos los elementos en el intervalo a su imagen: a su imagen: IxxfyyIf )()(

Si Si f f es una función continua, también es una función continua, también f(I)f(I) es un intervalo, como se ilustra en la Fig. es un intervalo, como se ilustra en la Fig. 5.5. y

xI

f(I)

f

Figura 5. Ejemplo de la aplicación de una Función a un Intervalo.

Un intervalo es un tipo especial de distribución Un intervalo es un tipo especial de distribución de posibilidad cuyo grado de posibilidad es 1 de posibilidad cuyo grado de posibilidad es 1 para puntos dentro de un intervalo, y 0 para para puntos dentro de un intervalo, y 0 para puntos fuera del intervalo.puntos fuera del intervalo.

Para generalizar la proyección de un intervalo a Para generalizar la proyección de un intervalo a través de una función a la proyección de través de una función a la proyección de cualquier distribución de posibilidad, se necesita cualquier distribución de posibilidad, se necesita de algún modo de “proyectar” el grado de de algún modo de “proyectar” el grado de posibilidad a través de la función. Se mostrará posibilidad a través de la función. Se mostrará esto primeramente al considerar funciones esto primeramente al considerar funciones monótonas, y despues el caso general de monótonas, y despues el caso general de funciones no monótonas.funciones no monótonas.

Suponiendo que Suponiendo que f f es una función continua es una función continua monótona, la situación es simple. Para cada monótona, la situación es simple. Para cada punto que es proyectado, el grado de posibilidad punto que es proyectado, el grado de posibilidad correspondiente es proyectado junto con ésta, correspondiente es proyectado junto con ésta, como se muestra en la Fig. 6como se muestra en la Fig. 6

y

x

1

f

0x

1

y

µ0

Figura 6 Proyección de una distribución de posibilidad a

una función Monótona.

Si la función no es monótona, varios puntos en Si la función no es monótona, varios puntos en su dominio posiblemente se proyecten a el su dominio posiblemente se proyecten a el mismo punto en su rango.mismo punto en su rango.

Por ejemplo, si Por ejemplo, si AA es un número difuso de la es un número difuso de la variable variable xx, y , y ff es una función polinomial de es una función polinomial de segundo-orden mostrada en la Fig. 7. Los segundo-orden mostrada en la Fig. 7. Los puntos puntos aa y y bb se proyectan al mismo punto se proyectan al mismo punto cc como se muestra en la figura.como se muestra en la figura.

Ya que Ya que f(x) = cf(x) = c si si x=ax=a oo x=bx=b, el grado de , el grado de posibilidad para posibilidad para f(A)f(A) a ser a ser cc es el grado de es el grado de posibilidad paraposibilidad para x=ax=a o o x=bx=b, por ejemplo:, por ejemplo:

)15()()()(

AAAfba

Figura 7 Proyección de una distribución de posibilidad a una función Figura 7 Proyección de una distribución de posibilidad a una función no monótona.no monótona.

y

xπ

1

c

0x

1

y

π0 0

A

a b

f(A)

Si se utiliza el operador de conjunción max, se Si se utiliza el operador de conjunción max, se puede construir la distribución de posibilidad de puede construir la distribución de posibilidad de f(A)f(A),, la cual es mostrada por la curva gruesa en la cual es mostrada por la curva gruesa en la Fig. 7.la Fig. 7.A través del ejemplo anterior se han introducido A través del ejemplo anterior se han introducido los dos principales conceptos del principio de los dos principales conceptos del principio de extensión, estos son:extensión, estos son:1. La posibilidad de que un valor de entrada sea 1. La posibilidad de que un valor de entrada sea directamente propagada a la posibilidad de su directamente propagada a la posibilidad de su imagen.imagen.2. Cuando varias combinaciones de entradas se 2. Cuando varias combinaciones de entradas se proyectan a la misma salida, la posibilidad de proyectan a la misma salida, la posibilidad de la salida es obtenida al combinar la posibilidad la salida es obtenida al combinar la posibilidad de dichas entradas a través de la disyunción de dichas entradas a través de la disyunción difusa. difusa.

Ejemplo 2.3.5_1:Ejemplo 2.3.5_1:

Si se tiene la siguiente función:Si se tiene la siguiente función:y = f(x) = (x-3)y = f(x) = (x-3)22 + 2 = x + 2 = x22 – 6x + 11 – 6x + 11 (16)(16)

Y un número difuso entero Y un número difuso entero Around-4 Around-4 parapara x x como se como se muestra en la Fig. 8:muestra en la Fig. 8:

Around-4 = 0.3/2 + 0.6/3 + 1/4 + 0.6/5 + 0.3/6Around-4 = 0.3/2 + 0.6/3 + 1/4 + 0.6/5 + 0.3/6 (17)(17)

Donde Donde + + denota unión. Aplicando el principio de denota unión. Aplicando el principio de extensión, se obtiene:extensión, se obtiene:

f(Around-4) =f(Around-4) = 0.3/f(2) + 0.6/f(3) + 1/f(4) + 0.6/f(5) + 0.3/f(6)0.3/f(2) + 0.6/f(3) + 1/f(4) + 0.6/f(5) + 0.3/f(6)

= = 0.3/3 + 0.6/2 + 1/3 + 0.6/6 + 0.3/110.3/3 + 0.6/2 + 1/3 + 0.6/6 + 0.3/11 (18) (18)

Nótese que Nótese que f(2) = f(4) = 3 f(2) = f(4) = 3. La posibilidad de la imagen . La posibilidad de la imagen y=3y=3 es así una disyunción difusa de la posibilidad de es así una disyunción difusa de la posibilidad de x=2 x=2 y y x = 4. x = 4. Por lo tanto, se obtiene:Por lo tanto, se obtiene:

f(Around-4) = 0.6/2 + (0.3f(Around-4) = 0.6/2 + (0.31)/3 + 0.6/6 + 0.3/11 (19)1)/3 + 0.6/6 + 0.3/11 (19)

Si se selecciona el operador de disyunción Si se selecciona el operador de disyunción difusa “max”, se obtiene el siguiente resultado difusa “max”, se obtiene el siguiente resultado final:final:

f(Around-4) = 0.6/2 + 1/3 + 0.6/6 +0.3/11 (20)f(Around-4) = 0.6/2 + 1/3 + 0.6/6 +0.3/11 (20)

Figura 8 Ejemplo del Principio de ExtensiónFigura 8 Ejemplo del Principio de Extensión

y

x

1

0.6

0.3

0X

1 0.6 0.3

y

0 0

2 3 4 5 6

f(Around-4)

f(x)

11

6

3

2

8

Definición Formal del Definición Formal del Principio de ExtensiónPrincipio de Extensión

Si Si ff es una función con es una función con nn argumentos que argumentos que proyectan un punto en proyectan un punto en UU11 x U x U22 x…x U x…x Unn a un a un

punto en punto en VV. Y si . Y si AA es un subconjunto difuso de es un subconjunto difuso de UU11 x U x U22 x…x U x…x Unn . El principio de extensión . El principio de extensión

establece que la imagen de establece que la imagen de AA bajo bajo ff es un es un subconjunto difuso de subconjunto difuso de VV con la función de con la función de membresía siguiente (membresía siguiente (por ejemplo, distribución de posibilidadpor ejemplo, distribución de posibilidad):):

)21(,,,)( 21

,,,,,,

)(

21

21nA

yxxxfxxx

Af xxxyn

n

En la anterior definición, se asumió que se tiene En la anterior definición, se asumió que se tiene un conjunto difuso único para describir la un conjunto difuso único para describir la distribución de posibilidad de todos los distribución de posibilidad de todos los argumentos. Sin embargo los argumentos argumentos. Sin embargo los argumentos difusos para una función pueden ser cada uno difusos para una función pueden ser cada uno una distribución de posibilidad (p. ejem.: una distribución de posibilidad (p. ejem.: xx11=A=A11, , xx22=A=A22,…, x,…, xnn=A=Ann). Bajo tal circunstancia, la Ec. ). Bajo tal circunstancia, la Ec. (21) en la definición necesita ser modificada tal (21) en la definición necesita ser modificada tal que que AA(x(x11, x, x22, …,x, …,xnn)) en el lado derecho de la en el lado derecho de la ecuación sea remplazada por una conjunción ecuación sea remplazada por una conjunción difusa de difusa de A1A1(x(x11), ), A2A2(x(x22),…, ),…, AnAn(x(xnn).).

La Ec. (21) se convierte en:La Ec. (21) se convierte en:

En el ejemplo 2.3.5_1 el argumento difuso para En el ejemplo 2.3.5_1 el argumento difuso para la función es un entero difuso.la función es un entero difuso.

¿Cómo se manejará o manipulará un número ¿Cómo se manejará o manipulará un número real difuso?, Esto es ilustrado utilizando el real difuso?, Esto es ilustrado utilizando el ejemplo 2.3.5_2.ejemplo 2.3.5_2.

)22()( 21

,,,,,,

)( 21

21

21nAAA

yxxxfxxx

Af xxxyn

n

n

Ejemplo 2.3.5_2Ejemplo 2.3.5_2

2.3.6 Operaciones Aritméticas en 2.3.6 Operaciones Aritméticas en Números DifusosNúmeros Difusos

Aplicando el principio de extensión a las Aplicando el principio de extensión a las operaciones aritméticas (adición, operaciones aritméticas (adición, substracción, multiplicación, y división), se substracción, multiplicación, y división), se tienen las siguientes operaciones tienen las siguientes operaciones aritméticas, donde aritméticas, donde xx y y yy son los son los operandos, operandos, zz es el resultado, y es el resultado, y AA y y BB denotan los valores difusos para denotan los valores difusos para xx y y yy, , respectivamente.respectivamente.

Adición Difusa:Adición Difusa:

Substracción Difusa:Substracción Difusa:

)23()(,

yxz BA

zyxyx

BA

)24()(,

yxz BA

zyxyx

BA

Multiplicación Difusa:Multiplicación Difusa:

División Difusa:División Difusa:

)25()(,

yxz BA

zyxyx

BA

)26()(/

,/ yxz BA

zyxyx

BA

Ejemplo 2.3.6_1Ejemplo 2.3.6_1

Si A y B son dos enteros difusos Si A y B son dos enteros difusos definidos por:definidos por:

A= 0.3/1 + 0.6/2 + 1/3 + 0.7/4 + 0.2/5A= 0.3/1 + 0.6/2 + 1/3 + 0.7/4 + 0.2/5B= 0.5/10 + 1/11 + 0.5/12B= 0.5/10 + 1/11 + 0.5/12

Si se quiere calcular la suma de estos Si se quiere calcular la suma de estos enteros difusos. Se aplica la Ec. (23) y se enteros difusos. Se aplica la Ec. (23) y se obtiene:obtiene:

f(A+B)= 0.3/11 + 0.5/12 + 0.5/13 + 0.5/14 + 0.2/15 +f(A+B)= 0.3/11 + 0.5/12 + 0.5/13 + 0.5/14 + 0.2/15 +0.3/12 + 0.6/13 + 1/14 + 0.7/15+ 0.2/16 + 0.3/13 + 0.3/12 + 0.6/13 + 1/14 + 0.7/15+ 0.2/16 + 0.3/13 + 0.5/14 + 0.5/15 + 0.5/16 + 0.2/170.5/14 + 0.5/15 + 0.5/16 + 0.2/17

Ahora se obtiene el max de los Ahora se obtiene el max de los duplicados, así es que se obtiene:duplicados, así es que se obtiene:

f(A+B)= (0.3/11) + 0.5/12 + 0.6/13 + 1/14 + 0.7/15 +f(A+B)= (0.3/11) + 0.5/12 + 0.6/13 + 1/14 + 0.7/15 +

0.5/16 + 0.2/170.5/16 + 0.2/17

3.1 Variable Lingüística y 3.1 Variable Lingüística y Reglas Difusas If-ThenReglas Difusas If-Then

3.1.1 De variables numéricas a 3.1.1 De variables numéricas a variables lingüísticas.variables lingüísticas.3.1.2 Hedges lingüísticos.3.1.2 Hedges lingüísticos.

UNIDAD III

SISTEMAS DIFUSOS Y SUS PROPIEDADES

EL PRINCIPIO DE EXTENSIÓN Y EL PRINCIPIO DE EXTENSIÓN Y SUS APLICACIONESSUS APLICACIONES

ANEXO 2: ANEXO 2: Anexo al tema 2.3.5Anexo al tema 2.3.5

2.3.5 Funciones con 2.3.5 Funciones con argumentos difusosargumentos difusos

IntroducciónIntroducción

•El principio de ExtensiónEl principio de Extensión basado en la regla basado en la regla composicional inferencia composicional inferencia difusadifusa, , fue presentado por fue presentado por Lotfi A. Lotfi A. Zadeh Zadeh en 1978 y en 1978 y más tarde probado por Yager más tarde probado por Yager en el 1986.en el 1986.

IntroducciónIntroducción•El El principio de extensiónprincipio de extensión es es

un concepto básico de la un concepto básico de la teoría de conjunto difusos, teoría de conjunto difusos, éste provee un éste provee un procedimiento general para procedimiento general para extender los conceptos extender los conceptos matemáticos clásicos a matemáticos clásicos a conjuntos difusos.conjuntos difusos.


•Dicho principio provee una forma Dicho principio provee una forma para que cualquier función para que cualquier función f f que que proyecta una n-tupla (xproyecta una n-tupla (x11, x, x22, ..., x, ..., xnn) )

en el conjunto en el conjunto UU a un punto en el a un punto en el conjunto conjunto VV sea generalizada para sea generalizada para proyectar n subconjuntos difuso en proyectar n subconjuntos difuso en UU a un subconjunto difuso en a un subconjunto difuso en VV..


•Cualquier relación matemática Cualquier relación matemática entre elementos no difusos puede entre elementos no difusos puede ser extendida para tratar con ser extendida para tratar con entidades difusas. Además, el entidades difusas. Además, el principio de extensión es muy útil principio de extensión es muy útil para tratar con operaciones de para tratar con operaciones de conjuntos-teóricos a conjuntos conjuntos-teóricos a conjuntos difusos de orden mayor.difusos de orden mayor.

Principio De ExtensiónPrincipio De Extensión•Primero se establecerá el Primero se establecerá el

principio de extensión y principio de extensión y después sus aplicaciones.después sus aplicaciones.

•Dada una función y un Dada una función y un conjunto difuso conjunto difuso AA en en U,U, donde. donde.

•El principio de extensión El principio de extensión establece que:establece que:

nn xxxA /// 2211

VUf :

Principio De ExtensiónPrincipio De Extensión

• Si más de un elemento de Si más de un elemento de UU es es proyectado al mismo elemento proyectado al mismo elemento yy en en VV por la función por la función f f (ej: proyección de (ej: proyección de muchos a uno), entonces se tomará muchos a uno), entonces se tomará el máximo entre los grados de el máximo entre los grados de membresía. Esto es:membresía. Esto es:

nn

nn

xfxfxf

xxxfAf

2211

2211

Principio De ExtensiónPrincipio De Extensión

•Donde Donde xxii corresponde a los corresponde a los elementos que son proyectados elementos que son proyectados al mismo al mismo yy. Frecuentemente, la . Frecuentemente, la función función ff proyecta n-tuplas en proyecta n-tuplas en UU para un punto en para un punto en VV. .

,)(max iA

yxfUx

Af xyi

i

DemostraciónDemostración

•Si Si UU es el producto Cartesiano de es el producto Cartesiano de los universos los universos y son y son nn conjuntos conjuntos difusos en , difusos en , respectivamenterespectivamente. . La función La función ff proyectará una n-tupla (proyectará una n-tupla (xx11, , xx22,...,x,...,xnn) en el conjunto universal ) en el conjunto universal UU para un punto, para un punto, y , y , en el conjunto en el conjunto VV.. Lo cual significa que, Lo cual significa que, yy = = f f ((xx11,x,x22,...,x,...,xnn). ).

nUUUU 21

nAAA ,,, 21

nUUU ,,, 21

•El El principio de extensiónprincipio de extensión permite que la función permite que la función f f ((xx11,x,x22,...x,...xnn) sea extendida para ) sea extendida para actuar sobre los actuar sobre los nn subconjuntos difusos de subconjuntos difusos de U, U, AA11,A,A22,...,A,...,Ann, por lo que:, por lo que:

B B ==f f (A),(A),•Donde Donde BB es una imagen difusa es una imagen difusa

(conjunto difuso) de (conjunto difuso) de AA11, A, A22,...,A,...,Ann a través de a través de f(f(..).). El conjunto El conjunto difuso difuso BB está definido por: está definido por:

• Donde:Donde:

UxxxxxxfyyyB nnB ,,,,,,,, 2121

nAAA

xxxfyUxxx

B xxxyn

n

n

,,minsup 21

),,,(),,(

21

21

2,1

Con una condición adicional que si no existe (x1,x2,...,xn)U tal que

y = f(x1,x2,...,xn).

0yB

Ejemplo 1Ejemplo 1

•Si el universo de discurso es Si el universo de discurso es igual a igual a U U ==1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, y un 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, y un conjunto difuso conjunto difuso AA = “Largo” esta = “Largo” esta definido como:definido como:

AA=”Largo”=0.5/6+0.7/7+0.8/8 + =”Largo”=0.5/6+0.7/7+0.8/8 + 0.9/9 + 1/100.9/9 + 1/10

•Si una función Si una función f f es una es una operación cuadrática dada por operación cuadrática dada por la expresión la expresión y=f(x)=xy=f(x)=x22, , entonces por el principio de entonces por el principio de extensión, el conjunto difuso extensión, el conjunto difuso BB=”Large”=”Large”22 puede ser puede ser calculado facilmente como:calculado facilmente como:

BB=”Largo”=”Largo”22 = 0.5/36 + 0.7/49 + = 0.5/36 + 0.7/49 + 0.8/64 + 0.9/81 + 1/100.0.8/64 + 0.9/81 + 1/100.

Ejemplo 2Ejemplo 2

•Si el universo de discurso es: Si el universo de discurso es: UU={-2,-1,0,1,2} y el conjunto ={-2,-1,0,1,2} y el conjunto

difuso difuso AA==(-1,0.5), (0,0.8), (1,1), (-1,0.5), (0,0.8), (1,1), (2,.04)}. La función (2,.04)}. La función ff es una es una operación cuadrática y está operación cuadrática y está indicada por indicada por y=f(x)=xy=f(x)=x22. Lo cual . Lo cual es mas fácil de ver si se construye es mas fácil de ver si se construye una tabla con toda la información una tabla con toda la información relevante y sus cálculos:relevante y sus cálculos:

xx y=f(x)=y=f(x)=xx22

-1-1 0.50.5 11 max(0.5,1.0)=1.0max(0.5,1.0)=1.0

00 0.80.8 00 max(0.8)=0.8max(0.8)=0.8

11 1.01.0 11 max(0.5,1.0)=1.0max(0.5,1.0)=1.0

22 0.40.4 44 max(0.4)=0.4max(0.4)=0.4

xA yB

• De estos cálculos es obvio que De estos cálculos es obvio que tenemos dos puntos (-1 y 1) en tenemos dos puntos (-1 y 1) en UU proyectados dentro de un solo proyectados dentro de un solo punto punto y=1y=1. El grado de . El grado de membresía de membresía de yy=1 se tomará =1 se tomará como el grado de membresía como el grado de membresía máximo de máximo de xx= -1 y x=1, lo cual da = -1 y x=1, lo cual da como resultado 1. Por lo tanto, la como resultado 1. Por lo tanto, la imagen difusa imagen difusa BB es: es:

BB=1/1+0.8/0+0.4/4=1/1+0.8/0+0.4/4

Ejemplo 3Ejemplo 3• Supongamos que Supongamos que ff es una función de es una función de

pares ordenados que es proyectada pares ordenados que es proyectada desde:desde:

UU11=(-1,0,1) y =(-1,0,1) y UU22=(-2,2) a =(-2,2) a VV=(-2,-1,2,3), =(-2,-1,2,3), y que y que f(xf(x11,x,x22)=x)=x11

22+x+x22. Si . Si AA11 y y AA22 son son conjuntos difusos definidos en conjuntos difusos definidos en UU11 y y UU22, , respectivamente, donde:respectivamente, donde:

AA11=0.5/-1+0.1/0+0.9/1 y =0.5/-1+0.1/0+0.9/1 y AA22=0.4/-=0.4/-2+1.0/2. Usar el principio de extensión 2+1.0/2. Usar el principio de extensión para derivar para derivar f(Af(A11,A,A22)). El proceso de . El proceso de cálculo puede ser ilustrado en la cálculo puede ser ilustrado en la siguiente tabla:siguiente tabla:

xx11 XX22

-1-1 0.50.5 -2-2 0.40.4 min(0.5,0.4min(0.5,0.4))

-1-1

-1-1 0.50.5 22 1.01.0 min(0.5,1.0min(0.5,1.0))

33

00 0.10.1 -2-2 0.40.4 min(0.1,0.4min(0.1,0.4))

-2-2

00 0.10.1 22 1.01.0 min(0.1,1.0min(0.1,1.0))

22

11 0.90.9 -2-2 0.40.4 min(0.9,0.4min(0.9,0.4))

-1-1

11 0.90.9 22 1.01.0 min(0.9,1.0min(0.9,1.0))

33

1A2A 2121

xxAA , 22121 xxxxfy ,

•De la tabla anterior, es claro que De la tabla anterior, es claro que tenemos dos pares ordenados (-tenemos dos pares ordenados (-1, -2) y (1,-2) los cuales 1, -2) y (1,-2) los cuales proyectan al mismo punto proyectan al mismo punto y=-1y=-1; ; y (-1,2) y (1,2) que son y (-1,2) y (1,2) que son proyectados al mismo punto proyectados al mismo punto y=3y=3. Así, sus respectivos grados . Así, sus respectivos grados de membresía máximos debe de membresía máximos debe ser:ser:

Grados de MembresíaGrados de Membresía

2,1min,2,1minmax1 2121 2121 xxxxy AAAAB

,4.0)4.0,9.0min(,4.0,5.0minmax

2,0minmax221 AAB

1.01,1.0minmax2,0minmax221

AAB

Grados de membresíaGrados de membresía

2,1min,2,1minmax32121 AAAAB

90190110 .,.min,,.minmax

El conjunto difuso B obtenido del principio de extensión es:

B=0.1/-2 + 0.4/-1 + 0.1/2 + 0.9/3.

EL PRINCIPIO DE EXTENSIÓN Y EL PRINCIPIO DE EXTENSIÓN Y SUS APLICACIONESSUS APLICACIONES

ANEXO 2: ANEXO 2: FIN DEL ANEXOFIN DEL ANEXO

2.3.5 Funciones con 2.3.5 Funciones con argumentos difusosargumentos difusos

Grado de consistencia de dos Grado de consistencia de dos conjuntos difusosconjuntos difusos

•Aplicando el principio de Aplicando el principio de extensión a la igualdad de dos extensión a la igualdad de dos conjuntos difusos, podemos conjuntos difusos, podemos definir el definir el grado de consistenciagrado de consistencia de dos conjuntos difusos A y B de dos conjuntos difusos A y B como:como: )()(),(minsup BAAlturayx BA

EjemploEjemplo

•Supongamos que Juan y maría Supongamos que Juan y maría hicieron una cita para encontrarse hicieron una cita para encontrarse a las 6:00 p.m. Digamos que el a las 6:00 p.m. Digamos que el concepto de Juan de las seis en concepto de Juan de las seis en punto está denotado por el punto está denotado por el conjunto difuso “6conjunto difuso “6juanjuan” lo cual se ” lo cual se muestra en la figura siguiente. muestra en la figura siguiente.

EjemploEjemplo

•También, digamos que el También, digamos que el concepto de María de las seis en concepto de María de las seis en punto esta denotado por “6punto esta denotado por “6mariamaria” ” lo cual se muestra en la figura 2.lo cual se muestra en la figura 2.

• Entonces la posibilidad de que Entonces la posibilidad de que Juan y María se vean puede estar Juan y María se vean puede estar determinado por el grado de determinado por el grado de consistencia de “6consistencia de “6juanjuan” y “6” y “6mariamaria” ” lo cual se muestra en la figura: lo cual se muestra en la figura:

• Si el conjunto difuso A (B) denota el Si el conjunto difuso A (B) denota el grado de membresía del conjunto difuso grado de membresía del conjunto difuso B en el conjunto difuso A. Usando el B en el conjunto difuso A. Usando el principio de extensión, se tendría que: principio de extensión, se tendría que:

1

Tiempo

6J 6M

1,0sup)(

ixi B

ixUx

BA

A

Operaciones entre 2-TipoOperaciones entre 2-Tipo de de CConjuntos Difusosonjuntos Difusos

•El El principio de extensiónprincipio de extensión puede puede ser usado para definir las ser usado para definir las operaciones de operaciones de intersecciónintersección (Ej. (Ej. Un producto algebraico), Un producto algebraico), uniónunión (Ej. Una suma algebraica), y (Ej. Una suma algebraica), y complementocomplemento de conjuntos de conjuntos difusos de 2-tipos.difusos de 2-tipos.

• Si y son los grados Si y son los grados de pertenencia difusa para los de pertenencia difusa para los conjuntos difusos conjuntos difusos A A y y B.B.

xA xB

Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa

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