Regla de Multiplicación

Si un Experimento consta de m etapas o pasos para realizarse y la primera etapa puede cumplirse de k1 maneras posibles, la segunda etapa puede cumplirse en k2 maneras posibles, . . . y la ultima etapa puede cumplirse en km maneras posibles entonces el experimento puede realizarse de k1 x k2 x k3x ... km maneras diferentes, es decir, puede dar origen a k1 x k2 x k3 x ... km posibles resultados

Regla de multiplicación: Ejemplo 1Una prueba consta de tres preguntas del tipo verdadero/falso. de cuantas maneras diferentes puede responderse esta pregunta?

utilizando la regla de multiplicaciónm=3,  k1=2, k2=2, k3=3  se obtiene que la prueba puede responderse de 2 x 2 x 2 = 8 maneras diferentes. las 8 posibilidades son VVV  VVF  VFV  FVV  VFF  FVF  FFV  FFF

probabilidad condicional

Dado dos (2) eventos A y B, la probabilidad condicional se denota como la probabilidad de A dado B, P(A/B), /B significa que ya ocurrio B y es una medida de la probabilidad de ocurrencia de A dado que el evento B ocurrio previamente .

formula P(A/B)=  P(A∩B)P(B)

regla multiplicativa

P(A∩B)= P(A). P(B/A)

P(A∩B∩C)=P(C/A∩B). P(A∩B)

EJEMPLO:

una caja con metras:

5 metras blancas. 3 metras negras.2 metras rojas. se extrae una a una 3 metras sin reemplazo

¿ hallar la probabilidad de obtener 2 metras roja ? R=rojo

P(1R)= 210 

P(2R/1R)= P(1R∩2R)P(1R)P(1R∩2R)= P(1R). P(2R/1R)                   =  210 x 19 = 2/90

¿Probabilidad de que la segunda metras sea roja ? P(2R)=?

P(2R)=[ (1B∩2R)U( 1N∩2R )U(1R∩2R) ]

P(2R)= P(1B∩2R)+ P(1N∩2R)+ P(1R∩2R)

P(2R)= P(1B). P(2R/1B) + P(1N). P(2R/1N)+ P(1R). P(2R/1R)P(2R)= (5/10 . 2/10) + ( 3/10 . 2/10) + ( 2/10 . 1/9)

P(2R)= 10/90 + 6/90 + 2/90

P(2R)= 18/90 => SE SIMPLIFICA => 9/45

Ejercicios Resueltos Probabilidad Condicional  

1) se presentan los trabajadores de una industria, clasificacion segun el cargo y el sexo.___________________________________                    Hombres     Mujeres     Totales___________________________________obreros            80               113               193Empleados      30                 17                 47Directores        4                    6                 10----------------------------------------------------Totales           114               136               250----------------------------------------------------

El dueño de la empresa desea otorgra un premio estimulo especial y para ello decide seleccionar al alzar uno de los trabajadores.

Consideremos los EventosA: ser EmpleadoB: ser mujerasumiendo equiprobable en la seccion de las personas, las probabilidaes A y B son:

P(A)=47250 = 0.188     P(B)= 136250 = 0.544

P(A) es la probabilidad de que sea empleado, P(B) es la probabilidad de que sea mujer, ahora calcular la probabilidad de que la persona sea empleada sabiendo que es mujer, P(A/B)=   P(A∩B)P(B) entonces P(A∩B)= 17250 ahora P(A/B)=17/250136/250 = 0.125

Eventos dependientesDos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(AB) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.Se debe tener claro que AB no es una fracción.P(AB) = P(A y B)/P(B) o P(BA) = P(A y B)/P(A

ESPERANZA MATEMÀTICA:

Una definición fácil de entender de lo que aquí llamaremos «Esperanza Matemática» es la relación entre el premio obtenido y probabilidad de acertar.La definición matemática de «Esperanza Matemática» o Valor Esperado es bastante más compleja, pero en el desarrollo de este Sistema se limita a Premio x Probabilidad. Aquí, un valor para la esperanza matemática de 1 indica «juego justo», un «menor que uno» indica «desfavorable para el jugador» y un «mayor que uno» es «favorable para el jugador» ( en las definiciones formales el cero suele ser el «juego justo», y los valores negativos o positivos indican «positivo o negativo para el jugador»).Si la esperanza matemática es 1, el juego es «justo». Por ejemplo, apostar 1 euro a que una moneda sale cara o cruz, si el premio por acertar son 2 euros, y si se pierde, 0 euros. La esperanza del juego es 2 · (1/2) = 1. Entonces, consecuentemente con la teoría de juegos, podría pagar el euro para jugar o para rechazar jugar, porque de cualquier manera su expectativa total sería 0.Si la esperanza matemática es menor que 1, el juego es «desfavorable para el jugador». Un sorteo que pague 500 a 1 pero en el que la probabilidad de acertar sea de 1 entre 1.000, la esperanza matemática es 500 · (1/1.000) = 0,5.Si la esperanza matemática es mayor que 1, el juego es «favorable para el jugador», todo un «chollo» para el jugador. Un ejemplo sería un juego en el que se paga 10 a 1 por acertar el número que va a salir en un dado, en donde hay una probabilidad de acertar es de 1 entre 6. En este ejemplo el valor de la esperanza matemática es 10 · (1/6)=1,67 y por tanto en esas condiciones es juego «beneficioso» para el jugador.Esperanza matemática de las loteríasLa esperanza matemática es un valor importante que conocer para cualquier tipo de premio, en función de su dificultad, y para cada sorteo concreto.En la Primitiva, la esperanza matemática general o promedio es sencillamente 0,55 y en Euromillones es 0,5. Se corresponde a la cantidad que se devuelve en premios: el 55% o el 50% del total apostado por los jugadores. Ese dinero siempre se devuelve, teniendo en cuenta que con el tiempo los premios no entregados se acumulan en Botes.En la Primitiva el reparto de premios funciona de modo que la cantidad jugada por todos los jugadores (excepto el 45%

que se queda la organización) se suma y reparte en diversas categorías: una parte para los de más aciertos, otra parte para premios menores, reintegros, etc. Esto marca ciertamente diferencias entre la esperanza matemática (premios por probabilidad) de las diferentes categorías de premios. La esperanza matemática más alta es la del Reintegro que es de 0,1 (10 %).Estos cálculos, que de por sí son sencillos, se ven complicados por algunas reglas relativamente recientes, como el «premio fijo para los acertantes de 3» o «los acertantes de 5 nunca pueden ganar más que los de 6», pero son en cualquier caso calculables con precisión.En general, y para la Loto tradicional la norma a grandes rasgos es que la esperanza matemática es mayor que 1 cuando la cantidad de premios total (el bote más el 55% de la cantidad que todos los jugadores apuestan ese día) es mayor de lo que valen 13,9 millones de apuestas (dado que la probabilidad de acertar es de 1 entre 13,9 millones) y esto ocurre en muy muy muy raras ocasiones.Pero imagenemos como hipótesis de trabajo que llega un día en el que se ha acumulado un bote de 20 millones de euros y en el que por alguna circunstancia nadie juega a la Loto excepto una persona. A 1 euro por apuesta, esto supondría pagar unos 14 millones de euros para jugar a todas las combinaciones y embolsarse todos los premios: el bote más lógicamente la recuperación del 55% de lo apostado y un 10% en reintegros (7,7 millones de euros, correspondiente al resto de premios menores de 5, 4, reintegros, etc.) Resultado: apostando 14 millones se recuperarían 27,7 millones de euros. Casi otros 14 millones de beneficio. ¡Buen negocio!

DEFINICIÓN

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

Se llama variable aleatoria

a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplos:

El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplos:

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Varianza de una variable aleatoria

La varianza de una variable aleatoria es una característica numérica que proporciona una idea de la dispersión de la variable aleatoria respecto de su esperanza. Decimos que es un parámetro de dispersión.

La definición es la siguiente:

Es, por tanto, el promedio teórico de las desviaciones cuadráticas de los diferentes valores que puede tomar la variable respecto de su valor medio teórico o esperanza.

En el caso de las variables discretas, la expresión se convierte en:

mientras que para las variables continuas tenemos:

En ambos casos existe una expresión equivalente alternativa y generalmente de cálculo más fácil:

Una de las características de la varianza es que viene expresada en unidades cuadráticas respecto de las unidades originales de la variable. Un parámetro de dispersión derivado de la varianza y que tiene las mismas unidades de la variable aleatoria es la desviación típica, que se define como la raíz cuadrada de la varianza.

Propiedades de la varianza

1. Var(X) ≥ 0

2. Var(k · X) = k2 · Var (X) para todo numero real k.

3. Var(k) = 0 para todo numero real k.

4. Var(a · X + b) = a2 · Var(X) para todo par de números reales a i b.

5. Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) únicamente en el caso que X y Y sean independientes.