Multiplicación de Vectores.

Los vectores se pueden multiplicar de varias maneras diferentes.

Producto mixto : el resultado es un escalar

Multiplicación de Vectores.

Producto escalar : el resultado es un escalar

Producto vectorial : el resultado es un vector

Al producto escalar también se le conoce como producto interno, escalar o punto

Dados dos vectores cualesquiera 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)

y 𝑏 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) definimos el producto escalar

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b

Producto escalar de vectores

Si 𝑎 = 10𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘 , 𝑏 = −1

2𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘 , entonces

𝑎 ∙ 𝑏 = 10 −1

2+ 2 4 + −6 −3 = 21

Ejemplo .


i) 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎

ii) 𝛼 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝛼𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝛼𝑏

iii) 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐

iv) 𝑎 ∙ 𝑎 ≥ 0

v) 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 2

Producto escalar de los vectores 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .

𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑖 ∙ 𝑘 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 0

Producto escalar entre vectores canónicos.


cos( )a b a b

Si los vectores 𝑎 y 𝑏 forman un ángulo 𝜃 ( medida en radianes) y 0 < 𝜃 < 𝜋, entonces:

Si 𝑎 = 0 o 𝑏 = 0 entonces 𝑎 ∙ 𝑏 = 0


Hallar el ángulo entre 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 + 𝑘 , 𝑏 = −𝑖 + 5𝑗 + 𝑘

Solución

𝑎 = 14, 𝑏 = 27 y 𝑎 ∙ 𝑏 = 14

cos 𝜃 =14

14 27=

14

378

Entonces

𝜃 = cos−114

378≈ 43,94

Ejemplo.

(i) 𝑎 ∙ 𝑏 > 0 si y sólo si es agudo

(ii) 𝑎 ∙ 𝑏 < 0 si y sólo si es obtuso

(iii) 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 si y sólo si cos 𝜃 = 0, 𝜃 =𝜋

2


Observación: Como 0 ∙ 𝑏 = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores.

Teorema. Dos vectores no nulos 𝑎 y 𝑏 son

ortogonales si y sólo si 𝑎 ∙ 𝑏 = 0.

𝑖 , 𝑗 , 𝑘 son vectores ortogonales.

Observación

Si 𝑎 = −3𝑖 − 𝑗 + 4𝑘 , 𝑏 = 2𝑖 + 14𝑗 + 5𝑘 ,

entonces 𝑎 ∙ 𝑏 = −6 − 14 + 20 = 0 Luego son ortogonales.

i j j i 0 j k k j 0 i k k i 0

Ejemplo

Proyección escalar de 𝑎 sobre 𝑏

La proyección del vector 𝑂𝑃 en la dirección 𝑂𝑄 es el

segmento de recta dirigido 𝑂𝑅 donde 𝑅 es el pie de la perpendicular desde el punto 𝑃 a la recta que contiene

al vector 𝑂𝑄.

Proyección escalar de 𝑎 sobre 𝑏

La proyección escalar del vector 𝑎 sobre el vector 𝑏 se define como 𝑎 cos(𝜃) donde 𝜃 es el ángulo

comprendido entre 𝑎 y 𝑏, se denota por:

Pr cosb

oy a a a b

Observar que la proyección escalar puede ser

positiva o negativa según si θ <𝜋

2 o 𝜃 >

𝜋

2

Sea 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 , 𝑏 = 𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 . Hallar 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 𝑎 y 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 𝑎 .

Solución

Prb

1 1 2b 6 b i j k

6 6 6

1 1 2 3oy a 2i 3 j 4k i j k

6 6 6 6

Pra

2 3 4a 29 a i j k

29 29 29

2 3 4 3oy b i j 2k i j k

29 29 29 29

Ejemplo.

Proyección vectorial de 𝒂 sobre 𝒃.

La proyección vectorial del vector 𝑎 sobre el vector 𝑏 se define como 𝑎 cos 𝜃 𝑏 donde 𝑏 es el vector unitario en la dirección y sentido del vector 𝑏. Se denota por:

Pr cos Prb boy a a b oy a b

Ejemplo

Hallar la proyección de 𝑎 = 4𝑖 + 𝑗 sobre 𝑏 = 2𝑖 + 3𝑗 .

Pr , Prb b

11 2 3 22 33oy a oy a i j

13 13 13 13 13

Pr cosb

oy a a a b

Solución

,2 2 2 3b 2 3 13 b

13 13

Proyección escalar: Prb

2 3 11oy a 4 1

13 13 13

Producto cruz entre vectores

El producto cruz o o producto vectorial de dos vectores

tridimensionales 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 y 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 es el

vector definido por la igualdad

, , , ,1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1xa b c c c a b a b a b a b a b a b

Y

X

Z

a

b

c

El resultado de esta operación es un vector perpendicular al plano determinado por los

vectores 𝑎 y 𝑏.

Al producto vectorial también se le conoce como producto externo, o producto cruz.


Regla de la mano derecha: Si

pones el dedo índice de tu mano

derecha apuntando en el mismo

sentido que el vector 𝑎 y el del dedo

mayor en el mismo que 𝑏, entonces,

el sentido del producto vectorial 𝑎 𝑥𝑏

de los vectores 𝑎 y 𝑏, lo da el pulgar

de la misma mano derecha cuando

se estira de manera que esté

perpendicular a los otros dos dedos.


Los dedos de la mano derecha giran desde 𝑎 hasta

𝑏 siguiendo el camino mas corto. El pulgar indica la

dirección de 𝑐


Observación.

El cálculo de 𝑎 𝑥 𝑏 se puede realizar, usando la notación

de determinantes

2 3 1 3 1 2

1 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 3

x

i j ka a a a a a

a b a a a i j kb b b b b b

b b b

Donde el determinante de segundo orden 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 y

𝑖 𝑗 𝑘

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

Es la notación para un determinante de tercer orden.

Ejemplo.

Si 𝑎 = (1,−2,3) y 𝑏 = −1,1,2 , hallar 𝑎 𝑥𝑏.

𝑖 𝑗 𝑘

1 −2 3−1 1 2

=−2 31 2

𝑖 −1 3−1 2

𝑗 +1 −2−1 1

𝑘

𝑖 𝑗 𝑘

1 −2 3−1 1 2

= −7𝑖 − 5𝑗 − 𝑘

𝑖 𝑗 𝑘

1 −2 3−1 1 2

= −4 − 3 𝑖 − 2 + 3 𝑗 + 1 − 2 𝑘

Propiedades

i. 𝑎 𝑥 𝑏 = −𝑏 𝑥 𝑎

ii. 𝑎 𝑥 (𝑏 + 𝑐 ) = (𝑎 𝑥 𝑏) + (𝑎 𝑥 𝑐 )

iii. 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑐 = (𝑎 𝑥 𝑐 ) + (𝑏 𝑥 𝑐 )

iv. 𝑎 𝑥 𝑘𝑏 = 𝑘𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑘(𝑎 𝑥 𝑏)

v. 𝑎 𝑥 𝑎 = 0

vi. 𝑎 ∙ (𝑎 𝑥 𝑏 ) = 0

vii. 𝑏 ∙ (𝑎 𝑥 𝑏 ) = 0


𝑖 𝑥 𝑗 = − 𝑗 𝑥 𝑖 = 𝑘

𝑗 𝑥 𝑘 = − 𝑘 𝑥 𝑗 = 𝑖

𝑘 𝑥 𝑖 = − 𝑖 𝑥 𝑘 = 𝑗

𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑘 𝑥 𝑘 = 0


1. sina xb a b

Si 𝑎 y 𝑏 vectores y es el ángulo entre ellos, 0 entonces:

2. 22 2 2

a xb a b a b

El módulo del vector producto vectorial coincide con el área del paralelogramo definido por los dos

vectores, es decir, 𝐴 = 𝑎 𝑥𝑏


Y

X

Z

a

b

c

Ejemplo 5

Hallar el area del triángulo definido por los puntos 𝑃1(1, 1, 1), 𝑃2(2, 3, 4), 𝑃3(3, 0, –1).

102

3||58||

2

1 kjiA

Solución 𝑃2𝑃1 = 1,2,3 y 𝑃3𝑃1 = 2,−1,−2

2 1 3 1

2 1 3 1

2 1 3 1

i j k2 3 1 3 1 2

P P xP P 1 2 3 i j k1 2 2 2 2 1

2 1 2

P P xP P 4 3 i 2 6 j 1 4 k

P P xP P i 8 j 5k


Dos vectores no nulos 𝑎 y 𝑏 son paralelos, si y

sólo si 𝑎 𝑥 𝑏 = 0 Ejemplo.

Verificar que los vectores 𝐴𝐵 determinado por los puntos

𝐴 = 6,2,8 , 𝐵 = 8,6,2 y 𝐶𝐷 determinado por los puntos 𝐶 4,2,6 , D = (6,6,0) son paralelos. Solución.

𝐴𝐵 = (2,4,−6), 𝐶𝐷 = (2,4, −6).

Luego el determinante es (0,0,0) puesto que tiene dos filas iguales o proporcionales..

i j k

AB xCD 2 4 6

2 4 6

Producto mixto entre vectores

Dados los vectores 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 , y

𝑐 = 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 . Se define producto escalar triple o

producto mixto como:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x

a a a

a b c b b b

c c c

Ejemplo.

Sean los vectores 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (0,3,0) y

𝑤 = (5,0,2). Calcular 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤

𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 =0 1 10 3 05 0 2

𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 =3 00 2

∙ 0 −0 05 2

∙1+0 35 0

∙ 1 = −15


Y

X

Z

a

b

c

ba

Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Propiedades.

acbbaccba

:cíclica i)

Ejemplo.

Hallar el volumen del paralelepípedo que determinan los vectores 𝑢 = 1,2,3 , 𝑣 = (−3,1,4) y 𝑤 = (1,2,1)

𝑉 = 𝑢 ∙ 𝑣 𝑥 𝑤 =1 2 3−3 1 41 2 1

= −14 = 14


𝑎 ∙ 𝑏 𝑥 𝑐 = 0 si y sólo si 𝑎 , 𝑏, 𝑐 son coplanarios.

Ejemplo. Dados los puntos 𝐴 = −5,2,−3 , 𝐵 −1,0,4 y 𝐶 = (2, −7,1).

Verifique que el vector 𝑣 = 2𝑖 + 5𝑘 es coplanar con 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶. Solución.

𝐴𝐵 = 4𝑖 − 2𝑗 + 7𝑘 ; 𝐵𝐶 = 3𝑖 − 7𝑗 − 3𝑘 . Luego

𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶 𝑥 𝑣 =4 −2 73 −7 −32 0 5

𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶 𝑥 𝑣 = −140 + 12 + 0 + 98 + 30 = 0

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