REEL ANALİZ

Tunç Mısırlıoğlu

Ocak

Bu notlarÖrgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES)

lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için:http://udes.iku.edu.tr

CC© BY:© Tunç Mısırlıoğlu $\© C©

Matematik-Bilgisayar Bölümüİstanbul Kültür ÜniversitesiBakırköy İstanbul

t.misirlioglu@iku.edu.tr

Cezir’de kuma bir satır yazdımO satıra aklımı, ruhumu koydumMedd’de okumak için geri döndümO vakit cehaletimi gördüm.

−HALİL CİBRAN

İçindekiler

Önsöz vii

Ön Bilgiler . Kümeler ve fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sayılabilirlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R içinde kümelerin topolojik özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ölçü Kavramı . Ölçüsü sıfır olan kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dış ölçü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü . . . Lebesgue ölçüsünün özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Borel kümeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ölçülebilir Fonksiyonlar . Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lebesgue İntegrali . Tanım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monoton yakınsaklık teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . İntegrallenebilir fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sınırlı yakınsaklık teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki . . . . . . . . . . . Çeşitli Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kaynakça

Dizin

v

Önsöz

İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi’nin - Güz yarıyı-lında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kap-samında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarıl-ması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe dersnotu sıkıntısı çekilen Türkiye’de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniver-sitesi öğrencilerine değil, Türkiye’deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerineulaşılma hedefi güdülmektedir. - Güz yarıyılından bu yana İstanbulKültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü’ndevermekte olduğum Reel Analiz dersinin Kaynakça kısmında belirtilen eserlertemel alınarak oluşturulmuş notlarından oluşan ve bundan ötürü özgün olmaiddiası taşımayan bu derleme, her türlü eleştiri ve yoruma açık bir denemedir.Okuyucunun ilgisini ölçü teorisinin temel kavramlarına yönlendirebilirse, bu not-lar amacına ulaşmış olacaktır.

Bu ders notunda Teoremler ve Önermeler ispatsız olarak verilmektedir. Bununamacı, hem ispatların derste yapılacak olması ve hem de öğrenciyi dersten öncekendi kendilerine ispatlamalaya teşvik etmesidir. Ayrıca okuyucunun bu notlariçerisindeki Problemleri çözmeye çalışması konuları pekiştirmek açısından çokyararlı olacaktır.

İstanbul, Ekim Tunç Mısırlıoğlu

vii

Ön Bilgiler

Ölçü teorisinde, verilen keyfi bir kümenin alt kümelerinin aileleri ve reel sayılarıbu ailelere ait kümelere götüren fonksiyonlar ile uğraşılır. Dolayısıyla bu bölümdekümelerin bazı temel yapıları ve bunların üzerinde tanımlı fonksiyonların özellik-leri, sonsuz kümelerin sayılabilirliği ve sayılamazlığı, yine analizden bildiğimiz R(reel sayılar) de dizilerin yakınsaklığı, seriler, açık ve kapalı kümeler gibi topolo-jik kavramlar, ve ayrıca Riemann integralinin tanımı ve temel özelliklerini hatır-layacağız.

. Kümeler ve fonksiyonlar

Tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi E ilegöstereceğiz. Hiç bir elemanı olamayan kümeye boş küme denir ve ∅ ile gösterilir.E ye ait herhangi bir A alt kümesinin tüm alt kümelerinin ailesine A nın kuvvetkümesi denir ve P(A) ya da 2A ile gösterilir.

A,B ∈ E olsun.A ile B nin arakesiti : A ∩B = {x : x ∈ A ve x ∈ B}A ile B nin birleşimi : A ∪B = {x : x ∈ A veya x ∈ B}A ile B nin farkı : ArB = {x ∈ A : x ∈ B} = B ∩Ac

A nın tümleyeni : Ac = E rAA ile B nin simetrik farkı : A4B = (ArB) ∪ (B rA)• A4B = ∅ olması için gerek ve yeter koşul (gyk) A = B olmasıdır.

Λ herhangi bir indeks kümesi olsun.\α∈Λ

Aα = {x : x ∈ Aα, ∀α ∈ Λ} ,[

α∈Λ

Aα = {x : x ∈ Aα, ∃α ∈ Λ}

Aşağıdaki iki özellik, de Morgan kuralları olarak bilinir.

([

α∈Λ

Aα)c =\

α∈Λ

Acα , (

\α∈Λ

Aα)c =[

α∈Λ

Acα

Ön Bilgiler

A∩B = ∅ ise, A ile B kümelerine ayrıktır denir. Eğer α, β ∈ Λ olmak üzere,α 6= β iken Aα ∩ Aβ = ∅ ise, (Aα)α∈Λ küme ailesine ikişer ikişer ayrıktırdenir.

A ile B nin kartezyen çarpımı : A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}A × B nin herhangi f : A → B alt kümesi, "(a, b), (a, c) ∈ f iken b = c"

koşulunu sağlarsa, f ye bir fonksiyon denir. f nin tanım kümesi Df = {a ∈A : (a, b) ∈ f,∃b ∈ B} ve değer kümesi Rf = {b ∈ B : (a, b) ∈ f, ∃a ∈ A}şeklinde tanımlanır. Herhangi bir X ⊂ A alt kümesinin görüntüsü f(X) ={b ∈ B : bf (a), ∃a ∈ X} ve herhangi bir Y ⊂ B alt kümesinin ters görüntüsüf−1(Y ) = {a ∈ A : f(a) ∈ Y } şeklindedir.

Bir g fonksiyonunun bir f fonksiyonunu genişletmesi , Df ⊂ Dg ve Df

üzerinde g = f olması demektir. Bir başka ifade ile, f , g yi Df ye kısıtlıyordemektir.

A kümesinin işaret fonksiyonu,

A(x) =§

1 ; x ∈ A0 ; x /∈ A

şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyona ait bazı özellikler aşağıdaki şekildedir:A∩B = A.B , A∪B = A + B − A.B , ve Ac = 1− A.

Herhangi bir A ⊂ E kümesi verilsin. A×A nın bir R alt kümesine bir bağıntıdenir. Notasyonel olarak (x, y) ∈ R elemanını x ∼ y ile ifade edeceğiz.∼ bağıntısıaşağıdaki özelliği de sağlıyorsa bu bağıntıya eşdeğerlik bağıntısı denir.. (Yansıma) ∀x ∈ A, x ∼ x. (Simetrik) x ∼ y ise, y ∼ x. (Geçişme) x ∼ y ve y ∼ z ise, x ∼ zA üzerinde bir∼ eşdeğerlik bağıntısı A yı (ayrık) eşdeğerlik sınıflarına parçalar.

Verilen bir x ∈ A elemanının eşdeğerlik sınıfı x̂ = {z : z ∼ x} şeklindedir(yani, A nın x e eşdeğer olan tüm elemanlarının kümesi). Şu halde, x ∈ x̂ dir veböylece A =

Sx∈A x̂ dir. Bu birleşim ayrık bir birleşimdir (Göster!). Bu şekilde

elde edilen tüm eşdeğerlik sınıflarının kümesi A/ ∼ ile gösterilir.

. SayılabilirlikHerhangi bir A kümesi ile N doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi arasında bire-bir bir tekabül kurulabiliyorsa A ya sayılabilirdir denir. Böyle bir tekabül kuru-lamıyorsa kümeye sayılamaz denir. Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimleride sayılabilirdir (Göster!). Dahası, Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. Bunakarşın Cantor, R nin sayılamaz olduğunu göstermiştir. Bunu göstermek için [0, 1]

. R içinde kümelerin topolojik özellikleri

kapalı aralığının sayılamazlığını göstermemiz yeterlidir (Neden?). Gerçekten,[0, 1] aralığı sayılabilir olsaydı, bu aralığın elemanlarını xn = 0.an1an2an3...ann...olacak şekilde bir (xn) dizisi şeklinde gözönüne alabilirdik. Burada aij ler rakam-lardan oluşmaktadır. Bu durumda,

x1 = 0.a11a12a13...

x2 = 0.a21a22a23...

x3 = 0.a31a32a33...

...........................

olur. Şimdi bn rakamlarını ann lerden farklı olacak şekilde seçersek, y = 0.b1b2b3...şeklinde [0, 1] aralığına ait bir y eleman bulurduk ki bu eleman xn lerden farklıdırve dolayısıyla çelişki elde ederiz.Q sayılabilirdir ve sayılabilir kümelerin birleşimi de sayılabilir olduğundan,

RrQ sayılamazdır.

. R içinde kümelerin topolojik özellikleriBir A ⊂ R alt kümesi verilsin. Eğer A, açık aralıkların bir birleşimi ise, yaniaçık aralıkların (Iα)α∈Λ ailesi için, A =

Sα∈Λ Iα ise, A ya açık küme denir.

Bütünleyeni açık olan kümeye kapalı küme denir. Rn (n > 1) deki açık kümeler,aralıkların n defa çarpımlarının birleşimi şelindedir.

Sonlu sayıda açık kümenin arakesiti de açıktır. Bununla birlikte, sayılabilirsayıda açık kümenin arakesiti açık olmak zorunda değildir. Örneğin, n > 1olmak üzere, An = (− 1

n , 1) için,T∞

n=1 An = [0, 1) açık değildir.f : R → R bir fonksiyon olmak üzere, her açık A ⊂ R alt kümesi için,

f−1(A), R de açık ise f fonksiyonuna süreklidir denir. Kapalı ve sınırlı bir kümeüzerinde tanımlı her sürekli reel fonksiyon, bu küme üzerinde bir maksimum vebir minimum değere sahiptir (Göster!). Örneğin, eğer f : [a, b] → R fonksiyonusürekli ise, öyle xmax, xmin ∈ [a, b] noktaları vardır ki, M = sup{f(x) : x ∈[a, b]} = f(xmax) ve m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]} = f(xmin) dir. Ara değerteoreminden bildiğimiz gibi, her sürekli fonksiyon tüm ara değerlerini uç noktalararasında alır. Yani, her y ∈ [m,M ] için öyle bir θ ∈ [a, b] vardır ki y = f(θ) dır.

(xn) ⊂ R herhangi bir dizi olsun.(xn) nin üst limiti

lim supn→∞

xn := inf{ supm>n

xm : n ∈ N}

Ön Bilgiler

(xn) nin alt limiti

lim infn→∞

xn := sup{ infm>n

xm : n ∈ N}

şeklinde tanımlanır. (xn) dizisinin yakınsak olması için gyk alt ve üst limitlerinbirbirine eşit olmasıdır (Göster!) ve bunların ortak değeri bu dizinin limitidir.

Eğer her ε > 0 sayısına karşılık öyle bir N ∈ N vardır ki her n > N için|xn − x| < ε oluyorsa, (xn) dizisi yakınsaktır denir. x noktasına bu dizininlimiti denir ve limn→∞ xn = x yazılır.

Eğer (xn) dizisinin kısmi toplamlar dizisi olan sn =Pn

k=1 xk yakınsak iseP∞n=1 xn serisine yakınsaktır denir ve bu durumda kısmi toplamlar dizisinin

limiti bu serinin toplamıdır.

. Riemann integraliBu kısımda Analiz’den bildiğimiz Riemann integralinin kısa bir tekrarını yapıpbazı (daha ileri) durumlarda neden yatersiz kaldığına dair sebepleri göreceğiz.

f : [a, b] → R sınırlı bir fonksiyon olsun.[a, b] aralığının, a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b olmak üzere, sonlu bir

P = {x0, x1, x2, ..., xn} alt kümesini gözönüne alalım. Bu P alt kümesine [a, b]aralığının bir parçalanışı denir.

P parçalanışı, sırasıyla,

U(P, f) =nX

i=1

Mi4xi ve L(P, f) =nX

i=1

mi4xi

üst ve alt Riemann toplamlarını doğurur. Burada 4xi = xi − xi−1, her1 6 i 6 n için, alt aralıkların uzunlukları, ve her bir i 6 n için, Mi =supai−16x6ai

f(x) ve mi = infai−16x6ai f(x) dir. (Not: Mi ve mi ler daimamevcutturlar zira f , her bir [ai−1, ai] aralığı üzerinde sınırlıdır.)

f nin Riemann integralini tanımlamak için öncelikle verilen herhangi bir Pparçalanışı için L(P, f) 6 U(P, f) olduğunu ve daha sonra P yi kapsayan her-hangi bir P ′ parçalanışı için L(P, f) 6 L(P ′, f) ve U(P ′, f) 6 U(P, f) olduğunugöstermemiz gereklidir. Sonunda, herhangi iki P1 ve P2 parçalanışları için P1∪P2,P1 ve P2 yi kapsayan bir parçalanış olduğundan herhangi iki P ve Q parçalanışlarıiçin L(P, f) 6 U(Q, f) olduğu görülür. Böylece {L(P, f) : P, [a, b] nin bir parçalanışı}kümesi R de üstten sınırlıdır, ve bu kümenin supremumuna f nin [a, b] üz-erinde

R ba f alt integrali denir. Benzer şekilde, üst toplamların kümesinin infi-

mumunaR b

a f üst integrali denir. Eğer bu iki sayı eşit oluyorsa, bu durumda

. Riemann integrali

f fonksiyonuna [a, b] üzerinde Riemann anlamında integrallenebilir denir.Bu sayıların ortak değerine f nin Riemann integrali denir ve

R ba f(x)dx ile

gösterilir.Bu tanım, bazı fonksiyonların integrallenebilirliğini kontrol etmek için uygun

bir kriter değildir ancak aşağıda bunun için uygun bir kriter vardır.Teorem (Riemann kriteri). f : [a, b] → R fonsiyonunun Riemann an-

lamında integrallenebilir olması için gyk her ε > 0 için öyle bir Pε parçalanışıvardır ki U(Pε, f)− L(Pε, f) < ε olmasıdır.Örnek. f(x) =

√x için

R 10 f(x)dx integralini hesaplayalım.

[0, 1] aralığının parçalanışlarının bir dizisi olarak Pn = {0, ( 1n )2, ( 2

n )2, ..., ( in )2, ..., 1}

dizisini seçelim. Bu durumda,

U(Pn, f) =nX

i=1

(i

n)[(

i

n)2 − (

i− 1n

)2] =1n3

nXi=1

(2i2 − i)

L(Pn, f) =nX

i=1

(i− 1

n)[(

i

n)2 − (

i− 1n

)2] =1n3

nXi=1

(2i2 − 3i + 1)

U(Pn, f)− L(Pn, f) =1n3

nXi=1

(2i− 1) =1n

bulunur. n yi yeterince büyük seçerek bu farkı verilen herhangi bir ε > 0 sayısın-dan küçük yapabiliriz. Bu ise bize f nin integrallenebilir olduğunu gösterir.Ayrıca integralin sonucu 2

3 tür çünkü kolayca görülebileceği gibi U(Pn, f) veL(Pn, f) bu değere yakınsarlar.Not. Her sınırlı monoton fonksiyon ve her sürekli fonksiyon Riemann inte-

grallenebilirdir. (Göster!)Teorem (İntegral Hesabın Esas Teoremi). f : [a, b] → R fonksiyonu

sürekli olsun. Eğer F : [a, b] → R fonksiyonunun türevi (a, b) de f ise, F (b) −F (a) =

R ba f(x)dx dir.

Burada F fonksiyonuna f nin ilkeli denir ve F (x) =R x−a f(x)dx yazılır.

Sınırlı f : [a, b] → R fonksiyonunu [a, b] deki sonlu sayıdaki nokta dışındasürekli olarak alırsak, f Riemann anlamında integrallenebilir olur. Gerçekten,aralığı f nin sürekli olduğu alt aralıklara parçalarsak, f her bir aralıkta integral-lenebilir olur ve dolayısıyla bütün aralıkta integrallenebilir olur. Buna bir örnekolarak,

f(x) =§

1 ; x = a1, ..., an

0 ; x ∈ [0, 1]r {a1, ..., an}

Ön Bilgiler

fonksiyonu gösterilebilir. Bu fonksiyon [0, 1] üzerinde integrallenebilirdir ve in-tegrali 0 a eşittir.

Bununla birlikte, ileride, Lebesgue ölçüsünü ve "hemen hemen her yerde"kavramlarını tanımlayarak, "Sınırlı bir f : [a, b] → R fonksiyonunun Riemann an-lamında integrallenebilir olması için gyk f in, [a, b] aralığının Lebesgue ölçüsünegöre hemen hemen her noktasında sürekli olmasıdır" şeklindeki sonucu kanıtlay-acağız. Bu sonuçtan yararlanarak, örneğinDirichlet fonksiyonu olarak bilinen

f(x) =§ 1

n ; x = mn ∈ Q

0 ; x ∈ RrQ

fonksiyonunun [0, 1] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğunugösterebileceğiz. Burada şunu belirtmek gerekir ki, f nin rasyonel olmayan nok-talarda sürekli ve her rasyonel noktada süreksiz olduğu (Göster!) aşikar olmaklabirlikte bu fonksiyonun, Riemann integralinin tanımını kullanarak integralinialmak mümkün değildir (Lütfen deneyiniz).

Şimdi, bu dersin amacının integrasyon kavramının Lebesgue teorisini ortayakoymak olduğundan, yeni bir integrasyon teorisine neden ihtiyaç duyduğumuzuortaya koymamız gerekir. Yani yukarıda anlattığımız Riemann integralinin yeter-siz kaldığı durumu anlamamız gerekiyor. Bunun için bir çok sebep sayılabilir.Biz bunlardan birini anlatmağa çalışalım.

Öncelikle Riemann integrali aralıklara bağlıdır. Ancak daha genel kümeler üz-erinde ya da dağınık duran ayrık olmayan bir çok aralığın birleşimi veya başkabir şekli üzerinde integrali almak her zaman mümkün olmayabilir. Örneğin, [0, 1]aralığındaki rasyonel sayılar kümesinin Q işaret fonksiyonu için alt ve üst Rie-mann toplamlarını gözönüne alalım. [0, 1] aralığını parçaladığımızda herbir altaralık mutlaka rasyonel ve irrasyonel noktalar içerir. Şu halde, herbir üst toplam ve herbir alt toplam da olur. Böylece bu fonksiyonun [0, 1] aralığı üzerindeRiemann anlamında integrali yoktur.

Ölçü, R de uzunluk kavramının, R2 de alan kavramının, R3 te ise hacimkavramının, genelleştirilmesidir. Bu dersin amacı Lebesgue integrali kavramınıtanımak olacaktır. Bu kavramı aşamada tanıyacağız: Öncelikle ölçü kavramıve ölçülebilir kümeleri, daha sonra ölçülebilir fonksiyonları ve nihayet ölçülebilirfonksiyonların integralini vereceğiz.

Riemann integralinde [a, b] aralığı aralıklara ayrılırken ve nokta seçerken fonksiyonhiç kullanılmıyor. Buna karşın Lebesgue integralinde aralığı verilen fonksiyonagöre ayrı ayrı kümelere ayırıyoruz. Yani Riemann integralinde aralığın parçalan-ması fonksiyondan bağımsız olarak yapılmaktadır. Ayrıca bu parçalanış herhangialt kümeler olarak değil sıralanmış alt aralıklar olarak seçilmektedir. Buna karşın

. Riemann integrali

Lebesgue integralinde aralık, fonksiyonun değerlerine bağlı olarak, sıralanmış altaralıklara değil, kümelere ayrılır. Örneğin, aralık, [a, b] = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An

şeklinde kümelerin bir ayrışımına sahip olsun. Her bir Ai kümesinden rasgele ci

noktalarını seçelim. Bu durumda Riemann toplamı,Pn

i=1 f(ci)4Ai şeklinde ola-caktır. Burada 4Ai, Riemann ile karşılaştırdığımızda Ai kümelerinin uzunluğuolmalıdır. Ancak bir kümenin uzunluğunun ne olduğu hakkında hiç bir bilgimizbulunmamaktadır. Bilindiği gibi uzunluk kavramı sadece aralıklar için tanım-lıdır. Bu nedenle uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak ölçü kavramınıvereceğiz.

D(x) =§

1 ; x ∈ Q0 ; x ∈ RrQ

fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyonun hiç bir yerde sürekli değildir(Göster!).

Pni=1 D(ci)4xi toplamının limiti ci noktalarının seçimine bağlıdır.

Gerçekten,

ci ∈ Q⇒nX

i=1

D(ci)4xi =nX

i=1

D(ci)4xi = 1 ⇒Z 1

0D(x)dx = 1

ci ∈ RrQ⇒nX

i=1

D(ci)4xi = 0 ⇒Z 1

0D(x)dx = 0

olur. Sonuçta integral toplamının limiti ci lerin seçimine bağlıdır. Dolayısıylatanımdan dolayı D(x) fonksiyonunun Riemann integrali yoktur. Bu fonksiyonunLebesgue integralini vermek için aralığın başka türlü bir parçalanışını seçmeliyiz.Örneğin bu aralığı, bu aralığa ait rasyonel irrasyonel noktaların birleşimi olarakalalım. Bu durumda integral toplamı, c1 irrasyonel ve c2 rasyonal olmak üzere,

D(c1).4(RrQ) + D(c2).4(Q)

şeklinde olur. Burada 4(R r Q) ve 4(Q) yerine ne yazacağımızı bilmiyoruz.Dolayısıyla, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ölçülerini belirlememiz gerekir.Sonuç olarak bir kümenin ölçüsü ne demektir, öncelikle bunu tanımlamamızgerekir.

Ölçü Kavramı

Önceki bölümde sözünü ettiğimiz gibi, örneğin Q ya da R r Q gibi kümeleraralıklardan çok daha farklı kümelerdir ve bunların uzunluklarını nasıl ölçebile-ceğimiz pek açık değildir. Bu bölümün amacı herhangi bir küme üzerinde ölçükavramını vermek olacaktır. Bunun için öncelikle reel sayılardaki sınırlı aralık-larının uzunluğunu vermeR de ölçü, uzunluk kavramının genelleştirilmesi olduğundan R deki kümeleri

iki sınıfa ayırabiliriz:. Uzunluğu belli olan kümeler sınıfı -ki bunlar aralıklardır-. Bu gruptaki

kümelerin ölçüsünü uzunluğuna eşit kabul ediyoruz.. Aralıklar sınıfının dışındaki kümeler. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü ar-

alıklar yardımıyla buluyoruz.I, R de herhangi bir sınırlı aralık (yani I = [a, b], (a, b], [a, b) veya (a, b)) olmak

üzere, I aralığının uzunluğu `(I) = b− a olarak tanımlanır.Her nokta bir aralıktır ve uzunluğu sıfırdır. Gerçekten, [a, b] aralığında a = b

seçersek aralık {a} noktasına denk gelir. Dahası, `({a}) = `([a, a]) = 0 eldeedilir. Dolayısıyla sonlu kümelerin de uzunluğu sıfırdır.R de bir kümeyi aşikar olmayan bir takım aralıklara bölmemiz her zaman

mümkün olmayabiliyor. Bu nedenle bu kümeyi örten bir takım (hatta sayıla-bilir sayıda) aralıkların bir sistemini gözönüne alabiliriz. Buradan yola çıkarak,aşağıda verilen tanım ile ölçü yolculuğumuza başlayabiliriz.

. Ölçüsü sıfır olan kümeler

Tanım ... A ⊆ R alt kümesi verilsin. Verilen herhangi bir ε > 0 sayısınakarşılık,

A ⊆∞[

n=1

In ve∞X

n=1

`(In) < ε

olacak şekilde aralıkların bir {In : n > 1} dizisi bulabiliyorsa A kümesine ölçüsüsıfır olan küme ya da kısaca sıfır kümesi denir.

Ölçü Kavramı

Açıklama ... Üstteki tanımda aralıklar olarak açık, kapalı ya da yarı-açıkaralılar alınabilir.Ayrıca, aralıkların ayrık olmaları gerekmez. Şu halde, tanımdanboş kümenin bir sıfır kümesi olduğu kolaylıkla görülebilir.

Örnek ... Tek-elemanlı kümeler sıfır kümesidir. Gerçekten, ε > 0 verilsin.I1 = (x− ε

4 , x + ε4 ) ve n > 2 için In = [0, 0] alalım. Bu durumda,

P∞n=1 `(In) =

`(I1) = ε2 < ε bulunur.

Daha genel olarak, herhangi bir sayılabilir A = {x1, x2, ...} kümesi sıfır küme-sidir. Aslında, aralıkları In = [xn, xn] alarak bunu göstermek mümkündür. An-cak biz bunu, A kümesini örten aralıkları açık aralıklar alarak göstereceğiz.Şimdi, ε > 0 verilsin ve A kümesini örten aralıların dizisini aşağıdaki şekildealalım:

I1 = (x1 − ε

8, x1 +

ε

8) , `(I1) =

ε

2.121

I2 = (x2 − ε

16, x2 +

ε

16) , `(I2) =

ε

2.122

I3 = (x3 − ε

32, x3 +

ε

32) , `(I3) =

ε

2.123

... ...

In = (xn − ε

2.2n, xn +

ε

2.2n) , `(In) =

ε

2.

12nP∞

n=112n = 1 olduğundan,

P∞n=1 `(In) = ε

2 < ε bulunur.

Yukarıdaki örnekteki A kümesi, sayılabilir sayıda tek-elemanlı kümenin bir-leşimi şeklindedir. Tek-elemanlı kümeler sıfır kümelerdir ve A kümesi de sıfırkümesi olmaktadır. Bu durumu aşağıdaki teorem ile genelleştirebiliriz.

Teorem ... {Nn}n>1 sıfır kümelerin bir dizisi ise, bunların birlesimi olanN =

S∞n=1 Nn kümesi de sıfır kümesidir.

Sayılabilir kümeler sıfır kümeler olmakla birlikte, sayılamayan kümeler içinaynı şeyi söyleyemeyiz. Buna karşın, sayılamayan sıfır kümeleri mevcuttur. Bununlailgili Cantor kümesi olarak bilinen aşağıdaki örneği verebiliriz.

Örnek ... [0, 1] aralığını üç eşit parçaya bölelim ve ortadaki ( 13 , 2

3 ) aralığınıatarak elde ettiğimiz kümeye C1 diyelim. Bu durumda, C1 = [0, 1

3 ] ∪ [ 23 , 1] olur.Daha sonra C1 deki iki aralığı da üçer eşit parçaya bölelim ve ortalarındakiaralıkları atalım ve geri kalan kümeye C2 diyelim. Bu durumda C2, uzunlukları19 olan dört tane aralıktan oluşur. Bu şekilde devam ederek, herbirinin uzunluğu13n olan 2n tane ayrık kapalı aralıkların birleşimi olan Cn kümesini elde ederiz.

. Dış ölçü

Kolayca görülebileceği gibi, Cn kümesinin toplam uzunluğu ( 23 )n dir. Cn lerin

arakesiti olan

C =∞\

n=1

Cn

kümesine Cantor kümesi denir. Cantor kümesi sayılamazdır (Göster!) ve sıfırkümesidir. Gerçekten, verilen herhengi bir ε > 0 sayısına karşılık yeterince büyükn için ( 2

3 )n < ε dur. C ⊆ Cn ve Cn kümeleri, toplam uzunlukları ε dan küçükolan aralıkların sonlu bir dizisi olduğundan, C nin sıfır kümesi olduğu görülür.

. Dış ölçü

Tanım ... A ⊆ R alt kümesi verilsin.

ZA = {∞X

n=1

`(In) : In ler aralıklar, A ⊆∞[

n=1

In}

olmak üzere, m∗(A) = inf ZA sayısına A kümesinin (Lebesgue) dış ölçüsüdenir.

Herhangi bir A ⊆ R alt kümesi için m∗(A) > 0 dır. Bazı A alt kümeleri için, Anın her örtülüşüne karşın

P∞n=1 `(In) serisi ıraksak olabileceğinden, m∗(A) = ∞

olabilir.ZA kümesi 0 ile alttan sınırlıdır. Dolayısıyla, sözü edilen infimum daima mev-

cuttur. Eğer r ∈ ZA ise, [r,+∞] ⊆ ZA dır. Şu halde ZA, ya {+∞} ya da birx real sayısı için (x, +∞] veya [x, +∞] aralığıdır. Dolayısıyla, ZA nın infimumusadece x olur.

Teorem ... A ⊆ R alt kümesinin sıfır kümesi olması için gyk m∗(A) = 0olmasıdır.

Üstteki teoremdem, m∗(∅) = 0, her x ∈ R için m∗({x}) = 0, m∗(Q) = 0,ve daha genel olarak, X sayılabilir bir küme olmak üzere, m∗(X) = 0 olduğugörülür.

Aşağıdaki teoremden görülebileceği gibi dış ölçü monotondur.

Teorem ... A ⊂ B ise, m∗(A) 6 m∗(B) dır.

Teorem ... Bir aralığın dış ölçüsü uzunluğuna eşittir.

Ölçü Kavramı

Teorem ... Dış ölçü sayılabilir alttoplamsaldır; yani, herhangi bir {En}kümeler dizisi için,

m∗(∞[

n=1

En) 6∞X

n=1

m∗(En)

dir.

Problem ... m∗(A) = 0 ise, her B için, m∗(A∪B) = m∗(B) dir. Gösteriniz.

Problem ... Eğer m∗(A4B) = 0 ise, m∗(A) = m∗(B) dir. Gösteriniz.

Önerme ... Her A ⊆ R alt kümesi ve her t ∈ R reel sayısı için,

m∗(A) = m∗(A + t)

dir.

. (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler veLebesgue ölçüsü

Tanım ... E ⊆ R alt kümesi verilsin. Her A ⊆ R için,

m∗(A) = m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec)

ise, E kümesine (Lebesgue anlamında) ölçülebilirdir denir ve E ∈ Myazılır.

Herhangi A ve E kümeleri için daima A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ Ec) dır. Şu halde,dış ölçünün alttoplamsallık özelliğinden (bkz. Teorem ..),

m∗(A) 6 m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec)

olur. Dolayısıyla, bir kümenin ölçülebilirliğini aşağıdaki şekilde test etmemizyeterli olacaktır:

"E ∈ M olması için gyk her A ⊆ R için m∗(A) > m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec)olmasıdır."

Teorem ... (i) Her sıfır kümesi ölçülebilirdir.

(ii) Her aralık ölçülebilirdir.

Teorem ... (i) R ∈M dir.

. Lebesgue ölçüsünün özellikleri

(ii) E ∈M ise, Ec ∈M dir.

(iii) Her n = 1, 2, ... için, En ∈M ise,S∞

n=1 En ∈M dir.Dahası, her n = 1, 2, ... için, En ∈M ve j 6= k için Ej ∩ Ek = ∅ ise,

m∗(∞[

n=1

En) =∞X

n=1

m∗(En) (..)

dir. (Sayılabilir toplamsallık özelliği)

Açıklama ... Üstteki teorem bu bölümün en önemli teoremidir ve bundansonrakilere de temel teşkil etmektedir. X herhangi bir küme olmak üzere X in altkümelerinin bir alt ailesi C olsun. Eğer (i) X ∈ C, (ii) C ∈ C için Cc ∈ C ve (iii)C1, C2, ... ∈ C için

S∞n=1 Cn ∈ C ise, C ailesine bir σ-cismi denir. Dolayısıyla,

teoremdeki (i), (ii) ve (iii) özelikleri ile birlikte M ailesi bir σ-cismidir. Bir σ-cismi üzerinde tanımlı [0,∞]-değerli µ fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık kümeleriçin sayılabilir toplamsallık özelliğine sahip (yani (..) eşitliğini sağlıyor) ise,bu fonksiyona bir ölçü denir. Bu durumda, (X, C, µ) üçlüsüne bir ölçü uzayıdenir. Şu halde, (R,M,m∗) bir ölçü uzayıdır.

Önerme ... k = 1, 2, ... için Ek ∈M ise, E =T∞

k=1 Ek ∈M dir.

Tanım ... Herhangi bir E ∈M için, m∗(E) yerine m(E) yazacağız ve m(E)ye de Lebesgue ölçüsü diyeceğiz.

Dolayısıyla, m : M→ [0,∞] Lebesgue ölçüsü, ölçülebilir M σ-cismi üzerindetanımlı sayılabilir toplamsal küme fonksiyonudur. Bir aralığın Lebesgue ölçüsüuzunluğuna eşittir. Bir sıfır kümenin Lebesgue ölçüsü sıfırdır.

. Lebesgue ölçüsünün özellikleriLebesgue ölçüsü dış ölçünün kümelerin özel bir sınıfına kısıtlanışı olduğundan,dış ölçünün bazı özellikleri Lebesgue ölçüsü için de geçerlidir:

Önerme ... A,B ∈M olsun.

(i) A ⊂ B ise, m(A) 6 m(B) dir.

(ii) A ⊂ B ve m(A) sonlu ise, m(B rA) = m(B)−m(A) dır.

(iii) Her t ∈ R için, m(A + t) = m(A) dır.

Ölçü Kavramı

∅ ∈ M olduğundan, (..) de her i > n için Ei = ∅ alarak, Lebesgueölçüsünün toplamsal olduğu sonucunu çıkarabiliriz: Ei ∈ M ler ikişer ikişerayrık kümeler ise,

m(n[

n=1

Ei) =nX

n=1

m(Ei)

dir.

Problem ... m(A ∪B) ve m(A ∪B ∪ C) için birer formül çıkarınız.

Önerme ... A ∈M ve m(A4B) = 0 ise, B ∈M ve m(A) = m(B) dir.

Bilindiği gibi R deki her açık küme sayılabilir sayıda açık aralıkların bir-leşimi olarak yazılabilir. Dolayısıyla, R deki açık kümeler, Lebesgue anlamındaölçülebilirdir çünküM ailesi aralıkları içerir ve sayılabilir birlerşimler altında ka-palıdır. Aşağıdaki theorem yardımı ile,herhangi bir A ∈M kümesinin Lebesgueölçüsüne, A kümesini içeren açık kümeler dizisinin ölçüleri ile üstten yaklaşabil-iriz.

Teorem ... (i) A ∈ M olsun. Herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık Akümesini kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(O) 6 m∗(A) + εdur. Şu halde, herhangi bir E ∈M için E kümesinin kapsayan öyle bir Oaçık kümesi vardır ki m(O r E) < ε dur.

(ii) Herhangi bir A ∈M için, açık kümelerin On dizisi vardır ki

A ⊂\n

On , m(\n

On) = m∗(A)

dır.

Teorem ... Her n > 1 için An ∈M olsun. Bu durumda,

(i) Eğer her n > 1 için An ⊂ An+1 ise,

m([n

An) = limn→∞

m(An)

dir.

(ii) Eğer her n > 1 için An+1 ⊂ An ve m(A1) sonlu ise,

m(\n

An) = limn→∞

m(An)

dir.

. Borel kümeleri

Teorem ... (i) m sonlu toplamsaldır. Yani, ikişer ikişer ayrık (Ai)ni=1

kümeleri için, m(Sn

i=1 Ai) =Pn

i=1 m(Ai) dir.

(ii) m, boş kümede süreklidir. Yani (Bn), boş kümeye doğru azalan bir dizi ise,m(Bn), sıfıra doğru azalır.

. Borel kümeleri

Teorem ... σ-cisimlerinden oluşan bir ailenin elemanlarının arakesiti debir σ-cismidir.

Tanım ... B =T {F : F , tüm aralıkları içeren bir σ -cismi} ailesi tanım-

lansın. Bu durumda B, üstteki teoremden, tüm aralıklar tarafından üretilen σ-cismidir. B ailesinin elemanlarına Borel kümeleri denir. B ailesi, tüm aralık-ları içeren en küçük σ-cismidir. Daha genel olarak, A kümelerin bir ailesi olmaküzere, eğer G :=

T {F : F ,A ailesini kapsayan bir σ -cismi} ise, G ailesine Atarafından üretilen σ-cismi denir.

Örnekler . Aşağıdaki örnekler, B σ-cisminin kapanış özelliklerinin, R dekibilinen kümelerin B ye ait olması ile ilgili, nasıl kullanılabileceklerini göstermek-tedir.

(i) Tüm aralıklar B ye aittir ve B bir σ-cismi olduğundan, tüm açık kümelerB ye aittir çünkü herhangi bir açık küme (açık) aralıkların sayılabilir birbirleşimidir.

(ii) Sayılabilir kümeler Borel kümeleridir çünkü her sayılabilir küme [a, a] şek-lindeki kapalı aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. Dahası, Doğal sayılarve rasyonel sayılar Borel kümeleridir. Şu halde, Borel kümelerinin tümleyen-leri de Borel kümeleri olduğundan, irrasyonel sayılar da Borel kümesidir.Benzer şekilde, sonlu ve tümleyeni sonlu olan kümeler de Borel kümeleridir.

Teorem ... Eğer tüm aralıkların ailesi yerine tüm açık aralıkların, tümkapalı aralıkların, (a,∞) (veya [a,∞) veya (−∞, b) veya (−∞, b]) şeklindekiaralıkların, tüm açık kümelerin, ya da tüm kapalı kümelerin ailesini alırsak,bunlar tarafından üretilen σ-cismi B ile aynı olur.

Problem ... (a, b] (veya [a, b)) şeklindeki aralıkların ailesinin de Borel kümelerinσ-cismini ürettiğini gösteriniz.

Ölçü Kavramı

Açıklama ... M, tüm aralıkları içeren bir σ-cismi olduğundan ve B, buşekildeki en küçük σ-cismi cismi olduğundan, B ⊂ M dir. Yani, R deki herBorel kümesi Lebesgue anlamında ölçülebilirdir. Dolayısıyla, bu şekildeki σ-cisimlerinin aynı olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Aslında B, M nin öz altkümesidir. Teorem .. (ii) den, verilen herhangi bir E ∈ M için, On ler açıkkümeler olamak üzere B =

Tn On olacak şekilde öyle bir B ⊃ E Borel kümesi

bulabiliriz ki m(E) = m(B) olur. Dahası, m(B4E)m(B r E) = 0 dır. Böylecem, ölçülebilir E kümesi ve inşa ettiğimiz B Borel kümesi arasındaki farkı ayırtedemez. Gördüğümüz gibi, verilen bir Lebesgue anlamında ölçülebilir E küme-sine karşılık daima bir B Borel kümesi bulabiliriz ki E4B simetrik farkı sıfırkümesi olur. E4B ∈ M olduğunu biliyoruz. Ayrıca, açıktır ki, sıfır kümelerinalt kümeleri de sıfır kümelerdir ve dolayısıyla ölçülebilirdirler yani M dedir.Bunula birlikte, buradan, her sıfır kümesinin bir Borel kümesi olduğu sonucunuçıkaramayız (eğer B tüm sıfır kümelerini içermiş olsaydı, Teorem .. (ii) den,B = M olurdu).

Tanım ... (X,F , µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer µ(F ) = 0 olan her F ∈ F veher N ⊂ F için N ∈ F (ve dolayısıyla µ(N) = 0) ise, bu ölçü uzayına tamdırdenir.

Tanım ... Verilen bir µ ölçüsüne göre bir G σ-cisminin tamamlanışı, G yiiçeren en küçük F σ-cismidir öyle ki eğer N ⊂ G ∈ G ve µ(G) = 0 ise, N ∈ Fdir.

Bu tanımlardan yola çıkarak, M, R üzerindeki en küçük σ-cismi olup, mölçüsüne göre B nin tamamlanışı olur. Ayrıca, (R,M,m) ölçü uzayı tam olmaklabirlikte, (R,B,m) ölçü uzayı tam değildir.

Önerme ... Bir G σ-cisminin tamamlanışı,

{G ∪N : G ∈ F , N ⊂ F ∈ F , µ(F ) = 0}şeklindedir.

Bu Önermeden yola çıkarak, µ ölçüsünü F üzerindeki bir µ ölçüsüne, G ∈ Giçin µ(G ∪N) = µ(G) yardımıyla, tek bir şekilde genişletebiliriz.

Teorem ... M, B nin tamamlanışıdır.

Teorem ... E ∈ M ise, herhangi bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalıF ⊂ E alt kümesi vardır ki m(E r F ) < ε olur. Böylece, Fn ler kapalı kümelerolmak üzere, B =

Sn Fn olacak şekilde öyle bir B ⊂ E alt kümesi vardır ki

m(E rB) = 0 olur.

. Borel kümeleri

Problem ... E ∈M olsun. Aşağıdakilerin eşdeğer olduğunu gösteriniz.

(i) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir açık O ⊃ E kümesi vardır ki m∗(O rE) < ε olur.

(ii) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F ⊂ E kümesi vardır ki m∗(ErF ) < ε olur.

Tanım ... µ, B üzerinde tanımlı negatif olmayan sayılabilir toplamsalküme fonksiyonu olsun. Eğer her B Borel kümesi için

µ(B) = inf{µ(O) : B ⊂ O (açık)}

veµ(B) = sup{µ(F ) : F (kapalı) ⊂ B}

ise, µ fonsiyonuna düzenli Borel ölçüsü denir.

Teorem .. ve Teorem .. de, bu ilişkilerin Lebesgue ölçüsü için sağ-landığını gösterdik. Düzenli Borel ölçüleri ile ilgili diğer örnekleri daha ileridegöreceğiz.

Ölçülebilir Fonksiyonlar

. Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar

Tanım ... E ölçülebilir bir küme olsun. f : E → R fonksiyonu verilsin.Herhangi bir I ⊆ R aralığı için f−1(I) = {x ∈ R : f(x) ∈ I} ∈ M ise, f fonksiy-onuna (Lebesgue-) ölçülebilir denir. Eğer f−1(I) ∈ B ise, f fonksiyonunaBorel (ölçülebilir) fonksiyonu denir.

Daha önceden bildiğimiz gibi B ⊂ M olduğundan, her Borel fonksiyonuölçülebilirdir.

Teorem ... Aşağıdakiler eşdeğerdir:

(i) f ölçülebilir fonksiyon,

(ii) Her a ∈ R için f−1((a,∞)) ölçülebilirdir,

(iii) Her a ∈ R için f−1([a,∞)) ölçülebilirdir,

(iv) Her a ∈ R için f−1((−∞, a)) ölçülebilirdir,

(v) Her a ∈ R için f−1((−∞, a]) ölçülebilirdir.

Örnekler . Aşağıdaki fonksiyonlar ölçülebilirdir:

(i) Sabit fonksiyonlar.

(ii) Sürekli fonksiyonlar.

(iii) Bir A kümesinin işaret fonksiyonu.

Problem ... Her monoton fonksiyonun ölçülebilir olduğunu gösteriniz.

Problem ... f ölçülebilir bir fonksiyon ise, her a ∈ R için {x : f(x) = a}(seviye kümesi) kümesinin ölçülebilir olduğunu gösteriniz.

Ölçülebilir Fonksiyonlar

. Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri

Teorem ... Ölçülebilir bir E kümesi üzerinde tanımlı reel-değerli tüm ölçülebilirfonksiyonların kümesi bir vektör uzayıdır ve çarpma işlemi altında kapalıdır.Yani, f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ise, f + g ve fg ölçülebilirdirler.

Üstteki teoremin basit bir ispatını aşağıdaki lemma yardımı ile kolayca yapa-biliriz. Bunun için, F (u, v) = u + v ve F (u, v) = uv almamız yeterlidir.

Lemma ... F : R×R→ R sürekli bir fonksiyon olsun. f g sürekli fonksiy-onlar ise, h(x) = F (f(x), g(x)) ölçülebilirdir.

Üstteki teoremin bir uygulaması olarak fA çarpımını gözönüne alabiliriz. fölçülebilir bir fonksiyon ve A ölçülebilir bir küme ise, fA çarpımı da ölçülebilirdir.Ayrıca fA fonksiyonu,

fA(x) =§

f(x) ; x ∈ A0 ; x /∈ A

şeklindedir. Bu fonksiyonu A = {x ∈ E : f(x) > 0} kümesine uygularsak,ölçülebilir bir fonksiyonun pozitif kısmı olan f+ fonksiyonunun da ölçülebilirolduğu görülür; burada

f+(x) =§

f(x) ; f(x) > 00 ; f(x) 6 0

şeklindedir. Benzer şekilde, ölçülebilir f fonksiyonunun negatif kısmı olan f−

fonksiyonu da ölçülebilirdir; burada

f−(x) =§

0 ; f(x) > 0−f(x) ; f(x) 6 0

şeklindedir.

Önerme ... E ⊂ R ölçülebilir olsun.

(i) f : E → R fonksiyonunun ölçülebilir olması için gyk f+ ve f− fonksiyon-larının ölçülebilir olmasıdır.

(ii) f ölçülebilir ise, |f | ölçülebilirdir; ancak tersi her zaman doğru değildir.

. Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri

Problem ... f ölçülebilir fonksiyon ise, f nin trankasyonu olan

fa(x) =§

a ; f(x) > af(x) ; f(x) 6 a

fonksiyonun da ölçülebilir olduğunu gösteriniz.

Problem ... Karesi ölçülebilir olup kendisi ölçülebilir olmayan bir fonksiyonörneği veriniz.

Tanım ... f : E → R ölçülebilir fonksiyon olsun.

(i) Esaslı supremum: ess sup f = inf{z : f 6 z h.h.}(ii) Esaslı infimum: ess inf f = sup{z : f > z h.h.}ess sup f = +∞ olabilir. Eğer ess sup f = −∞ ise, f = −∞ h.h. olur çünkü

esaslı supremum tanımından her n ∈ N için f 6 −n h.h. dir. Eğer ess sup f < ∞ve A = {x : ess sup f < f(x)} ise, n ∈ N için An = {x : ess sup f < f(x)− 1

n}tanımlansın. Bu durumda, her n için An ler sıfır kümeleridir, ve dolayısıylaA =

Sn An de sıfır kümesidir. Şu halde, f 6 ess sup f h.h. bulunur. Buradan

yola çıkarak aşağıdaki önermeyi kolaylıkla ispatlayabiliriz.

Önerme ... f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ise,

ess sup(f + g) 6 ess sup f + ess sup g

dir.

Problem ... f fonksiyonu ölçülebilir ise, ess sup f 6 sup f olduğunu gös-teriniz. Ayrıca, f sürekli ise, bunların eşit olacağını ispatlayınız.

Lebesgue İntegrali

. Tanımϕ : R→ R, en fazla sayılabilir sayıda değere sahip yani değer kümesi {a1, a2, ...}biçiminde olan bir fonksiyon olsun. Eğer

Ai := ϕ−1({ai}) = {x : ϕ(x) = ai} , i > 1

kümeleri ölçülebilir ise, ϕ fonksiyonuna basit fonksiyon denir. Burada dikkatedilecek olursa Ai ∈M kümeleri ikişer ikişer ayrıktır ve birleşimleri R dir.

Açıktır ki,

ϕ(x) =∞X

i=1

aiAi(x)

biçimde yazılabilir ve dolayısıyla, Teorem .. den, her basit fonksiyon ölçülebilirdir.

Tanım ... Basit ϕ fonksiyonunun ölçülebilir bir E kümesi üzerinde Lebesgueintegrali Z

Eϕdm =

∞Xi=1

aim(Ai ∩ E)

biçimindedir. Burada, m(Ai) = +∞ olabileceğinden dolayı, 0 ×∞ = 0 olduğukabul edilmektedir.

Örnek ...

Q(x) =§

1 ; x ∈ Q0 ; x ∈ RrQ

işaret fonksiyonu basit fonksiyondur. Ayrıca, Q sıfır kümesi olduğundan,ZRQdm = 1.m(Q) + 0.m(RrQ) = 0

bulunur. Daha önceden bilidiğimiz gibi bu fonksiyon Riemann integrallenebilirdeğil idi. Benzer şekilde, C Cantor kümesi olmak üzere, C fonksiyonunun inte-grali yine sıfırdır.

Lebesgue İntegrali

Problem ... Aşağıdaki fonksiyonların E üzerinde integrallerini hesaplayınız.

(a) ϕ(x) = [|x|], E = [0, 10],

(b) ϕ(x) = [|x2|], E = [0, 2],

(c) ϕ(x) = [| sin x|], E = [0, 2π],

yılında Henri Lebesgue, basit fonksiyonlar için verilen integral kavramınıdaha genel fonksiyonlara genişletmek için, sınırlı bir f fonksiyonunun tanımbölgesini çok sayıda küçük aralıklara parçalamak yerine, f in değer bölgesiniAi = [ai−1, ai) biçiminde sonlu sayıda aralığa parçaladı ve f in grafiği olaneğrinin altında kalan alana, sırasıyla,

S(n) =nX

i=1

aim(f−1(Ai))

üst toplamı ve

s(n) =nX

i=1

ai−1m(f−1(Ai))

alt toplamı ile yaklaştı; bu durumda, integrallenebilir fonksiyonlar, Riemannintegralinde olduğu gibi, tüm üst toplamların infimumunun tüm alt toplamlarınsupremumuna eşit olması özelliğine sahip olmuş oldu.

Tanım ... Herhangi bir negatif olmayan ölçülebilir f fonksiyonunun E ∈Mkümesi üzerinde Lebesgue integraliZ

Efdm = sup Y (E, f)

ile tanımlanır. Burada,

Y (E, f) = {Z

Eϕdm : 0 6 ϕ 6 f, ϕ basit fonksiyon }

dir.

Eğer E = [a, b] ise, bu durumda integraliZ b

afdm,

Z b

af(x)dm(x), veya

Z b

af(x)dx

. Tanım

şeklinde yazarız.R

fdm notasyonu,RR fdm anlamında kullanılacaktır.

Açıktır ki, A ∈M ve g negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere,eğer Ac üzerinde g = 0 ise, g den küçük kalan negatif olmayan her basit fonksiyonAc üzerinde yine sıfırdır. Bu durumu g = f.A eşitliğine uygularsak, aşağıdakiönemli eşitliği elde ederiz: Z

Afdm =

ZfAdm.

Problem ... f : [0, 1] → R fonksiyonu, Cantor kümesi üzerinde f(x) = 0 ve[0, 1] aralığından çıkarılarak elde edilen herbirinin uzunluğu 1

3k olan aralıklardakiher x için f(x) = k olacak şekilde tanımlansın.

R 10 fdm integralini hesaplayınız.

Önerme ... Basit fonksiyonlar için, Tanım .. ve Tanım .. tanımlarıbirbirine denktir.

Teorem ... ϕ ve ψ basit fonksiyonlar olsun.

(i) Eğer ϕ 6 ψ ise,R

E ϕdm 6R

E ψdm,

(ii) Eğer A,B ∈M ve A ∩B = ∅ ise,ZA∪B

ϕdm =Z

Aϕdm +

ZB

ϕdm,

(iii) Her a > 0 sabiti için,R

E aϕdm = aR

E ϕdm.

Teorem ... f ve g negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar olsun.

(i) Eğer A ∈M ve A üzerinde f 6 g ise,R

A fdm 6R

A gdm.

(ii) Eğer A,B ∈M ve B ⊆ A ise,ZB

fdm 6Z

Afdm.

(iii) a > 0 için,R

A afdm = aR

A fdm.

(iv) Eğer A sıfır kümesi ise,R

A fdm = 0.

(v) Eğer A,B ∈M ve A ∩B = ∅ ise,ZA∪B

fdm =Z

Afdm +

ZB

fdm.

Lebesgue İntegrali

Problem ... Lebesgue integrali için ortalama değer teoremini ispatlayınız.Yani, x ∈ A için a 6 f(x) 6 b ise, a.m(A) 6

RA fdm 6 b.m(A).

Teorem ... f negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f = 0 h.h.olması için gyk

RR fdm = 0 olmasıdır.

Önerme ... f ve g ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda,

f 6 g h.h. ⇒Z

fdm 6Z

gdm.

Önerme ... f : R → R fonksiyonunun ölçülebilir olması için gyk f+ vef− fonksiyonlarının ölçülebilir olmasıdır.

. Monoton yakınsaklık teoremleri

Teorem ... (Fatou Lemması) {fn} ler negatif olmayan ölçülebilir fonksiy-onların bir dizisi ise,

lim infn→∞

ZE

fndm >Z

E(lim inf

n→∞fn)dm.

Örnek ... fn = [n,n+1] olsun. Her n içinR

fndm = 1 ve lim infn→∞ fn =0(= limn→∞ fn) olduğundan,Z

( limn→∞

fn)dm 6= limn→∞

Zfndm

olur. Yani Fatou lemmasındaki eşitsizlik kesin büyük olabilir!

Örnek ... Üstteki örnekte olduğu gibi, kesin büyük olacak şekilde öyle birfn fonksiyon dizisi inşa ediniz ki her bir fn, [0, 1] aralığının dışında sıfır olsun.

Teorem ... (Monoton Yakınsaklık Teoremi) {fn} ler negatif olmayanölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun. Eğer {fn(x) : n > 1}, f(x) fonksiy-onuna doğru her x için monoton olarak artıyorsa; yani, noktasal olarak fn ↗ fise,

limn→∞

ZE

fn(x)dm =Z

Efdm

dir.

. İntegrallenebilir fonksiyonlar

Sonuç ... {fn} ler ve f negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Eğerfn ler f e doğru hemen hemen her yerde artıyorsa, her ölçülebilir E kümesi içinR

E fndm ↗ RE fdm olur.

Önerme ... Herhangi bir negatif olmayan ölçülebilir f fonksiyonu için basitfonsiyonların negatif olmayan bir sn dizisi vardır ki sn ↗ s dir.

. İntegrallenebilir fonksiyonlarE ∈M ve f herhangi bir ölçülebilir fonksiyon olsun. Eğer

RE f+dm ve

RE f−dm

integralleri sonlu ise, f fonksiyonuna integrallenebilir denir veZE

fdm =Z

Ef+dm−

ZE

f−dm

ile tanımlanır. E ∈ M kümesi üzerinde integrallenebilir tüm fonksiyonlarınkümesi L1(E) ile gösterilir.

Problem ... (a) E = (0, 1) ve (b) E = (1,∞) kümeleri üzerinde hangi αlar için f(x) = xα fonksiyonu L1(E) dedir?

Problem ... Ölçülebilir f fonksiyonunun integrallenebilir olması için gyk|f | fonksiyonunun integrallenebilir olduğunu gösteriniz. Ayrıca,Z

E|f |dm =

ZE

f+dm +Z

Ef−dm

olduğunu gösteriniz.

Problem ... f ve g integrallenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda,

f 6 g ⇒Z

fdm 6Z

gdm.

Teorem ... f ve g integrallenebilir fonksiyonlar ise, f + g ölçülebilirdir.Ayrıca, Z

E(f + g)dm =

ZE

fdm +Z

Egdm

dir.

Önerme ... f integrallenebilir fonksiyon ve c ∈ R ise,R

E(cf)dm = cR

E fdmdir.

Lebesgue İntegrali

Teorem ... Herhangi bir ölçülebilir E kümesi için, L1(E) bir vektör uza-yıdır.

Teorem ... Her A ∈M içinR

E fdm 6R

E gdm ise, f 6 g h.h. dir. Dahası,eğer her A ∈M için

RE fdm =

RE gdm ise, f = g h.h. dir.

Önerme ... Aşağıdakiler doğrudur:

(i) İntegrallenebilir bir fonksiyon hemen hemen her yerde sonludur.

(ii) A ∈M ve ölçülebilir f fonksiyonu için,

m(A). infA

f 6Z

Afdm 6 m(A). sup

Af

dir.

(iii) | R fdm| 6 R |f |dm dir.

(iv) f > 0 veR

fdm = 0 ise, f = 0 h.h. dir.

Teorem ... f > 0 ise, A 7→ RA fdm bir ölçüdür.

. Sınırlı yakınsaklık teoremiÖrnek ... fn(x) = n.[0, 1

n ](x) ise, her x için fn(x) → 0 ve fakatR

fn(x)dx =1 dir.

Teorem ... (Sınırlı Yakınsaklık Teoremi) E ∈M ve {fn} ler ölçülebilirfonksiyonların bir dizisi olsun öyle ki g, E üzerinde integrallenebilir fonksiyonolmak üzere, E üzerinde |fn| 6 g h.h. olsun. Eğer f = limn→∞ fn h.h. ise, f ,E üzerinde integrallenebilirdir ve

limn→∞

ZE

fn(x)dm =Z

Efdm

dir.

Örnek ... Üstteki örneğe geri dönersek, fn(x) = n.[0, 1n ](x) ise, fn den daha

büyük kalacak integrallenebilir bir g fonksiyonu bulunumaz. supn fn(x) = g(x)olup, ( 1

k+1 , 1k ] üzerinde g(x) = k olacağından,Z

g(x)dx =∞X

k=1

k(1k− 1

k + 1) =

∞Xk=1

1k + 1

= +∞

. Sınırlı yakınsaklık teoremi

bulunur.Buna karşın, 0 < x < 1 için

fn(x) =n sin x

1 + n2√

x

fonksiyonunu gözönüne alalım. Açıktır ki, fn(x) → 0 dır. limn

Rfndm = 0

olduğunu gösterebilmemiz için, fn yi domine eden integrallenebilir bir g fonksiy-onu bulmamız gereklidir.

| n sin x

1 + n2√

x| 6 n

1 + n2√

x6 n

n2√

x6 1

n√

x6 1√

x=: g(x)

Burada g(x) = 1√xfonksiyonunun [0, 1] üzerinde integrallenebilir olduğu açıktır.

Önerme ... f integrallenebilir; gn = f.[−n,n]; hn = min(f, n) olsun. Budurumda,

R |f − gn|dm → 0 veR |f − hn|dm → 0 olur.

Problem ... Sınırlı yakınsaklık teoremini kullanarak, fn(x) =√

x1+nx3 olmak

üzere,

limn→∞

Z ∞

1fn(x)dx

limitini hesaplayınız.

Problem ... Z ∞

a

n2xe−n2x2

1 + x2dx

integralinin yakınsaklığını a > 0 ve a = 0 için ayrı ayrı inceleyiniz.

Problem ... Z ∞

0

1(1 + x

n )nx1n

dx

integralinin yakınsaklığını inceleyiniz.

Önerme ... fn ler negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olmaküzere, Z ∞X

n=1

fndm =∞X

n=1

Zfndm

dir.

Lebesgue İntegrali

Teorem ... (Beppo-Levi Teoremi)P∞

k=1

R |fk|dm sonlu ise,P∞

k=1 fk(x)serisi hemen hemen her x için yakınsak olup, bu toplam integrallenebilirdir veZ ∞X

k=1

fkdm =∞X

k=1

Zfkdm

dir.

Örnek ... Analiz’denP∞

k=1 kxk−1 = 1(1−x)2 olduğunu hatırlarsak,

R 10 ( log x

1−x )2dx

integralini hesaplayabilmek için Beppo-Levi teoremini kullanabiliriz. n > 1 ve0 < x < 1 için

fn(x) = nxn−1(log x)2

dizisini tanımlayalım. Bu durumda, fn > 0 ve fn ler sürekli olup ölçülebilirdirlerve ∞X

n=1

fn(x) = (log x

1− x)2 = f(x)

sonlu olur. Beppo-Levi teoreminden bu toplam integrallenebilirdir veZ 1

0f(x)dx =

∞Xn=1

Z 1

0fn(x)dx = 2

∞Xn=1

1n2

=π2

3

bulunur.

Problem ... Aşağıdakiler problemleri çözünüz.

(a) a ∈ R nın hangi değeri içinP∞

n=0 naxn kuvvet serisi [−1, 1] aralığındaintegrallenebilir bir fonksiyon tanımlar?

(b)R∞0

xex−1dx = π2

6 olduğunu gösteriniz.

. Riemann ile Lebesgue integrali arasındakiilişki

Bu kısımda Riemann integrali ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki irdelenecek-tir.

Önerme ... f : [a, b] → R fonksiyonu sürekli ise, f integrallenebilirdir veF (x) =

R xa fdm biçiminde tanımlanan F fonksiyonu a < x < b için türevlenebilir

olup, F ′ = f dir.

. Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki

Önerme ... f : [a, b] → R fonksiyonu sınırlı olsun.

(i) f fonksiyonunun Riemann-integrallenebilir olması için gyk f fonksiyonunun[a, b] aralığı üzerinde Lebesgue ölçüsüne göre hemen hemen her yerde sürekliolmasıdır.

(ii) [a, b] aralığı üzerinde Riemann-integrallenebilir fonksiyonlar, [a, b] aralığıüzerinde Lebesgue ölçüsüne göre integrallenebilirdir ve bu integraller bir-birine eşittir.

Örnek ... [0, 1] aralığı üzerinde,

f(x) =§ 1

n ; x = mn ∈ Q

0 ; x /∈ QDirichlet fonksiyonu hemen hemen her yerde süreklidir, dolayısıyla Riemann-integrallenebilirdir ve böylece f in Riemann integrali Lebesgue integraline eşittir.Ayrıca integralin sonucu sıfırdır zira f , Q sıfır kümesi dışında sıfırdır. Bunakarşın, [0, 1] aralığı üzerinde,

g(x) =§

1 ; x ∈ Q0 ; x /∈ Q

fonksiyonunun Riemann integrali hiçbir aralıkta yoktur zira bu fonksiyonunsüreksizlik noktalarının kümesi [0, 1] aralığıdır ve bu aralığın ölçüsü > 0 dır.Bununla birlikte, hatırlanacağı gibi, g(x) fonksiyonunun Lebesgue integrali vardırve değeri sıfıra eşittir.

Örnek ... (Birinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri) Anal-izden hatırlanacağı gibi birinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri, aşağıdasağdaki limitler var olduğu sürece,Z ∞

−∞f(x)dx := lim

a→−∞,b→∞

Z b

af(x)dx

biçiminde tanımlanır.Şimdi f : R→ R fonksiyonu için birinici tür genelleştirilmiş Riemann integrali

var olsun. Bu durumdaR b

a f(x)dx Riemann integrali her sınırlı [a, b] aralığı içinvar olur, dolayısıyla f , her bir [a, b] aralığı üzerinde (ve böylece R üzerinde)hemen hemen her yerde sürekli olur. Ancak bunun tersi doğru değildir örneğin,

f(x) =§

1 ; x ∈ [n, n + 1) ve n çift−1 ; x ∈ [n, n + 1) ve n tek

Lebesgue İntegrali

fonksiyonu hemen hemen her yerde süreklidir (ve böylece R üzerinde Lebesgueintegrallenebilirdir) fakat üstteki limitler yoktur ve dolayısıyla genelleştirilmişRiemann integrali yoktur.

Daha genel olarak, f ∈ L1(R) ise, üstteki limitler vardır ancak bunun tersiher zaman doğru değildir. Örneğin,

f(x) =�

(−1)n

n+1 ; x ∈ [n, n + 1), n > 00 ; x < 0

fonksiyonunu gözönüne alalım. f fonksiyonunun genelleştirilmiş Riemann inte-grali vardır çünkü Z ∞

−∞f(x)dx =

∞Xn=0

(−1)n

n + 1

serisi yakınsaktır. Buna karşın,RR |f |dm =

P∞n=0

1n+1 serisi ıraksak olduğundan

f /∈ L1(R) dir.

Teorem ... f > 0 ve f in birinci tür genelleştirilmiş Riemann integralivarsa, f in R üzerinde Lebesgue integrali vardır ve bu integral genelleştirilmişintegrale eşittir.

Problem ... f(x) = sin xx (x 6= 0) fonksiyonunun R üzerinde genelleştirilmiş

Riemann integralinin var olduğunu ancak Lebesgue integralinin var olmadığınıgösteriniz.

Örnek ... (İkinci tür genelleştirilmiş Riemann integrali) Yine Anal-izden hatırlanacağı gibi ikinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri, aşağıdasağdaki limitler var olduğu sürece,Z b

af(x)dx := lim

ε→0−

Z b

a+εf(x)dx ve

Z b

af(x)dx := lim

ε→0+

Z b−ε

af(x)dx

biçiminde tanımlanır.

. Çeşitli Problemler. a) Her t > 0 için

limn→∞

n ln(1 +t

n) = t

olduğunu gösteriniz.

. Çeşitli Problemler

b)

limn→∞

Z n

0(1 +

t

n)ne−2xdx = 1

olduğunu gösteriniz.

. a) Z 1

0(

ln x

1− x)2dx =

π2

3

olduğunu gösteriniz.

b) p > −1 ise, Z 1

0

xp ln x

1− xdx = −

Xn

1(p + n)2

olduğunu gösteriniz.

. f : [0, 1] → R fonksiyonu,

f(x) =§

0 ; x ∈ Qn ; x ∈ RrQ

ile tanımlansın. Burada n sayısı, 0 ile 1 arasında yer alan x irrasyonelsayısının virgülden sonraki sıfır sayısını göstermektedir. Açıkça görülmek-tedir ki bu fonksiyon basit değildir. Bu fonksiyona basit ölçülebilir fonksiy-onların artan bir dizisi ile yaklaşılabileceğini gösteriniz. Buradan, f fonksiy-onunun ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Daha sonra,

R 10 f(x)dx integralini

hesaplayınız.

. f , (X,F , µ) ölçü uzayı üzerinde tanımlı negatif olmayan ölçülebilir birfonksiyon olsun. A ⊆ F için, φ(A) =

RA fdµ tanımlansın. {En}∞n=1 ⊂ F ,

ikişer ikişer ayrık kümelerin bir dizisi olsun.

fn(x) =§

f(x) ; x ∈ En

0 ; x /∈ En

tanımlansın. Her x ∈ S∞n=1 En için, f(x) =P

n fn(x) olsun. Bu durumda,

φ(∞[

n=1

En) =∞X

n=1

φ(En)

olduğunu, yani φ nin σ-toplamsal olduğunu, gösteriniz.

Lebesgue İntegrali

. Fatou lemmasında,

gn(x) =§

1 ; x 6 n < n + 10 ; diğer durumlar

olarak alındığında eşitsizliğin kesin olacağını gösteriniz.

. a) a, b ∈ R için aşağıdakileri gerçekleyiniz.(i) max(a + b, 0) 6 max(a, 0) + max(b, 0).(ii) min(a + b, 0) > min(a, 0) + min(b, 0).

b) f, g : X → R fonksiyonları için aşağıdakileri gerçekleyiniz.(i) (f + g)+ 6 f+ + g+.(ii) (f + g)− 6 f− + g−.

. Aşağıdaki her iki durum için de f fonksiyonununZ ∞

0fdµ = lim

n→∞

Z n

0fdµ

eşitliğini gerçeklediğini gösteriniz.a) f ∈ L1([0,∞)) ise;b) f , [0,∞) aralığı üzerinde negatif olmayan ölçülebilir fonksiyon ise;

. Her x > 0 için, e−ttx−1 ∈ L1((0,∞)) olduğunu gösteriniz.

. Gamma fonksiyonu , x > 0 için

Γ(x) =Z ∞

0e−ttx−1dµ

biçiminde tanımlanır. Gauss Formülü olarak bilinen, −x /∈ N∪ {0} için,

Γ(x) = limn→∞

Z n

0(1− t

n)ntx−1dµ = lim

n→∞n! nx

x(x + 1)...(x + n)

eşitliğinin gerçeklendiğini gösteriniz. [Yol gösterme: . sorudaki fikirlerikullanabilirsiniz.]

. a > 1 için, Z ∞

0

xa−1

ex − 1dµ = Γ(a).

∞Xn=1

1na

olduğunu gösteriniz.

. Çeşitli Problemler

. a)

limn→∞

Z ∞

0(1 +

x

n)−n sin(

x

n)dµ =?

b)

limn→∞

Z ∞

0

1 + nx

(1 + x)ndµ =?

. a)R∞0 e−x2

dµ =√

π2 olduğu bilindiğine göre,Z ∞

0sec hx2dµ =

√π∞X

n=0

(−1)n

√2n + 1

olduğunu gösteriniz.

b) Z ∞

0

cos x

ex + 1dµ =

∞Xn=1

(−1)n−1n

n2 + 1

olduğunu gösteriniz.

. 0 < b < a için, Z ∞

0

sinh bx

sinh axdµ =?

. Bir A ⊂ Rn kümesinin Dirac ölçüsü

δ(A) =§

1 ; 0 ∈ A0 ; 0 /∈ A

ile tanımlanır. Bu ölçüye göre Rn de her kümenin ölçülebilir olduğunugösteriniz. Bu ölçüye göre her fonksiyonun sıfırdaki değerine denk olduğunugösteriniz.

f(x) =§

x2e−x ; x /∈ Cx2 ; x ∈ C

fonksiyonu tanımlasın. C Cantor kümesini, µ Lebesgue ölçüsünü ve δDirac ölçüsünü göstermek üzere,

R[0,1] f(x)dδ ve

R[0,1] f(x)dµ integrallerini

hesaplayınız.

. f(x) = 1x2 fonksiyonu ölçülebilir midir?

Lebesgue İntegrali

.f(x, y) =

§x2 ; xy ∈ Qex ; xy ∈ RrQ

ise,R[0,1]×[0,1] f(x, y)dµ integralini hesaplayınız.

.R[0,1]×[0,1] xdµ =?

. µ Lebesgue ölçüsü ve f(x) > 0 olmak üzere, bir A kümesinin Radon-Nikodyn ölçüsü

µ1(A) =Z

Af(x)dµ

ile tanımlanır.µ1(A) =

ZA

x2dµ

ise, Z[−1,2]

sgnx dµ1

integralini hesaplayınız.

. Bir A ⊂ R kümesinin Kardinal ölçüsü

µK(A) =§

A nın eleman sayısı ; A sonlu elemanlı∞ ; A sonsuz elemanlı

ile tanımlanır. ∞Xn=1

(−1)n

n

serisini (Kardinal ölçüye göre) integral şeklinde ifade ediniz.

Kaynakça

[] R. G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure, JohnWiley & Sons, Inc., .

[] M. Capinski and E. Kopp, Measure, Integral and Probability, nd Edition,Springer, .

[] G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications,nd Edition, John Wiley & Sons, Inc., .

[] S. Lang, Real Analysis, nd Edition, Addison-Wesley Publihing, .

[] W. Rudin, Real and Complex Analysis, rd Edition, McGraw-Hill, Inc.,.

[] M. R. Spiegel, Theory and Problems of Real Variables, Schaum’s OutlineSeries, McGraw-Hill, Inc., .

[] E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration,and Hilbert Spaces, Prentice Lectures in Analysis III, Princeton UniversityPress, .

[] A. J. Weir, Lebesgue Integration and Measure, Cambridge University Press,.

[] R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction toReal Analysis, Marcel Dekker, Inc., .

[] J. Yeh, Real Analysis: Theory of Measure and Integration, nd Edition,World Scientific Publishing, .

Dizin

σ-cismi, ölçü, ölçü uzayı, ölçülebilir fonksiyon, ölçülebilir küme, üst Riemann toplamı, üst integral, üst limit, üst toplam,

açık küme, alt integral, alt limit, alt Riemann toplamı, alt toplam, arakesit, ayrık,

bağıntı, basit fonksiyon, birleşim, Borel fonksiyonu, Borel kümesi,

Cantor kümesi,

düzenli Borel ölçüsü, de Morgan kurallrı, değer kümesi, Dirac ölçüsü,

Dirichlet fonksiyonu, dış ölçü,

eşdeğerlik bağıntısı, eşdeğerlik sınıfı, esaslı infimum, esaslı supremum,

fark, fonksiyon,

Gamma fonksiyonu, Gauss formülü, geçişme, genişletme,

işaret fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık, integrallenebilir fonksiyon,

kapalı küme, Kardinal ölçü, kartezyen çarpım, kısıtlama,

Lebesgue ölçüsü, Lebesgue integrali, , limit,

parçalanış,

Dizin

Radon-Nikodyn ölçüsü, Riemann anlamında integrallenebilir,

Riemann integrali,

süreklilik, sayılabilir, sayılamaz, seviye kümesi, simetrik, simetrik fark, sıfır kümesi,

tümleyen, tam, tamamlanış, tanım kümesi, trankasyon,

yakınsak, yansıma,