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7/23/2019 Reel Reel Reel

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Chapitre 14NOMBRES RELS

Enonc des exercices

1 Les basiques

Exercice 14.1 Montrer que2n1

n!

nn1

Exercice 14.2 SoitnN, dterminer le maximum def(x) = x (2n x). En dduire quenN, (2n)!2n2n

Exercice 14.3 Soitf(x) =x2 + 2x+ 1

x2 + 2x+ 4dterminersup

R

f et infR

f.

Exercice 14.4 SoientA etB deux parties non vides et bornes deR telles queAB, montrer quesup Asup Bet infB infA.

Exercice 14.5 Soientx ety des rels, montrer que :

1.|x| + |y| |x+y| + |x y|2. 1 + |xy 1| (1 + |x 1|) (1 + |y 1|)

Exercice 14.6 Montrer que pourn 1 etx1, x2, , xn des rels positifs on an

k=1

(1 +xk) 1 +n

k=1

xk

En dduire que pourn 1 eta1, a2, , an des rels suprieurs 1, on a

n+n

k=1

ak1 +n

k=1

ak

Exercice 14.7 Soitn un entier non nul, donner une formule simple (utilisant la fonction partie entire) pour dter-miner le nombre de chiffres den.Comment obtenir le premier chiffre et le dernier chiffre den (en utilisant la partie entire).

Exercice 14.8 Calculer, pour(m, n) Z2, E

n+m

2

+E

n m+ 1

2

Exercice 14.9 Montrer que pourx rel etn1, on aE

E(nx)

n

=E(x)


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2. LES TECHNIQUES CHAPITRE 14. NOMBRES RELS

Exercice 14.10 Soit la fonctionfdfinie par

f(x) =E(2x) 2E(x)

Calculerf(x) pourx

0,1

2

puis pourx

1

2, 1

. En dduire quex R, 0 E(2x) 2E(x) 1.

Exercice 14.11

1. Soitx R, calculerE(x) +E(x) .2. Soit

p

qune fraction irrductible avecq >0, montrer que

q1k=1

E

k

p

q

=

(p 1) (q 1)2

On pourra utiliser le fait que sia1, , an1 sontn 1 rels alorsn1

k=1ak =n1

k=1ank.

Exercice 14.12 Soita

Rque dire de la parit de lentierEa+

1

2 +Ea 1

2 ?Exercice 14.13 Montrer quex R, Ex+ 12+E(x+ 1) +E2x+ 12 =E(4x+ 1) .Exercice 14.14 Montrer les rsultats suivants (qui sont dans le cours, sans preuve)

1. Soitx RalorsE(x+ 1) =E(x) + 1.2. Soient(x, y) R2, x y = E(x) E(y) (i.e. la fonctionxE(x) est croissante)

Exercice 14.15 Soitx R comparerE(x) etE(x).

Exercice 14.16 Montrer, en utilisant la caractrisation de la partie entire, que pour tout x R, 0 E(2x)2E(x) 1.

Exercice 14.17 Soient x et y deux rels, montrer que E(x) +E(y) +E(x+y) E(2x) +E(2y). On poserax= E(x) +a ety= E(y) +b, en prcisant dans quel(s) intervalle(s) se trouventa etb.

Exercice 14.18 Rsoudre E(2x+ 3) = E(x+ 2) (Indication, laide de la caractrisation de la partie entire,dterminer un intervalle dans lequel se trouve les solutions, puis tudier les deux fonctions x E(2x) + 1 etx E(x)).

2 Les techniques

Exercice 14.19 Montrer que 3

2 +

5 3

2 + 5 = 1

Exercice 14.20 Montrer que(n!)2 =

nk=1

k (n k+ 1).

En dduire que sin1, on an n

n!n+ 12

Exercice 14.21 Soitn un entier suprieur ou gal 3.

1. Montrer quek 2,...,n , 1k!

12k1

2. En dduire quek 2,...,n , Ckn

nk 1

2k1

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CHAPITRE 14. NOMBRES RELS 3. LES EXOTIQUES

3. Etablir alors quenN,

1 +1

n

n3

Exercice 14.22 Montrer quex R, n N,n1k=0

E

x+ kn

=E(nx)

Exercice 14.23 On dfinit la fonctiong: R Rparx R, g(x) = |x|1 + |x| , montrer que

x, y Rg(x+y) g(x) +g(y).

Exercice 14.24 SoitA une partie non vide et borne deR, montrer que sup(x,y)A2

|x y|= sup A infA.

Exercice 14.25 RsoudrexE(x) = x2 E(x)2.

Exercice 14.26 Montrer que pour toutn N, n 3, on aE

n(n+ 1)

2(2n 1)

=E

n+ 1

4

.

3 Les exotiques

Exercice 14.27 Soienta=11 1211 13 etb=

11 1411 15 o le nombre de1est gal 2002, comparera etb

Exercice 14.28 Soit un = n (2n+ 1) , etk N, montrer quil existe un unique entier n tel que un k < un+1.Calculern en fonction dek.

Exercice 14.29 Soienta,b,c trois rels de [0, 1], montrer que lun des trois rels a (1 b) , b (1 c) , c (1 a) estinfrieur ou gal 14 .

Exercice 14.30 Montrer que six > 1 etx

R

\Q alors pourn

1, E

E(nx)

x =n 1Exercice 14.31 On considre la suite1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6....Donner une formule simple pour calculer le nime terme.(Indication, on noteun le nime terme de la suite. Soit k N donn, on pose f(k) le premier rang pour lequeluf(k) = k (et doncuf(k)1 = k 1). Calculerf(k) puis chercher une CNS surn pour queun= k )

Exercice 14.32 Soienta < b deux entiers tels que si les relsx ety sont dans lintervalle [a, b] alors 1

x+

1

y y est

galement. Dterminera etb.

Exercice 14.33 (Olympiades Panafricaines 2005) SoitxR, on dfinit{x}= x E(x), rsoudreE(x) {x}=2005x.

Exercice 14.34 Calculer la sommen2k=1

E

k

(pour mmoire,n1i=1

i2 =n (2n 1) (n 1)

6 ).

Exercice 14.35 Rsoudre lquation

E

x + 1

3

+E

x + 2

3

=E

x+ 1

2

+

x 12

Exercice 14.36 ComparerE

E(x)

etE(

x) pourx 0.

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4. LES OLYMPIQUES CHAPITRE 14. NOMBRES RELS

Exercice 14.37 On considre la suite(un)nNdfinie parun=

1 +

1 +

1

n

2+

1 +

1 1

n

2on 1.Calculer

nk=1

1

uk.

4 Les olympiques

Exercice 14.38 Montrer lgalit

3

2000 + 1998 +

19980005 +

3

2000 + 1998

19980005 =

3

1999

o 3

x dsigne lunique rel dont le cube vautx.

Exercice 14.39 Soienta, b, c trois rels compris entre0 et1, montrer que

a

1 +bc+

b

1 +ac+

c

1 +ab 2

Discuter le cas dgalit.Exercice pos dans la revue Tangenten69.

Exercice 14.40 (Olympiades des pays Baltes (Baltic Way) 1995) Soient a,b,c et d quatre rels strictementpositifs, montrer que

a+c

a+b+

b +d

b+c+

c +a

c+d+

d +b

d+a4

Exercice 14.41 (The 1991 Asian Pacific Mathematical Olympiad) Soienta1,...,an etb1,...,bn 2nrels stric-tement positifs tels quea1+a2+ +an= b1+ +bn, montrer que

a21a1+b1 +

a22a2+b2 + +

a2nan+bn

a1+a2+

+an

2

Exercice 14.42 (Olympiades Austro-polonaise 1996) Les nombres relsx, y,z ett vrifientx + y + z+ t= 0 etx2 +y2 +z2 +t2 = 1.Montrer que1 xy+yz+zt+tx 0

Exercice 14.43 (Baltic Way 1995) Soient a,b,c trois rels tels que|a| |b+c| , |b| |a+c| et|c| |a+b|.Montrer quea+b+c= 0.

Exercice 14.44 (Baltic Way 1997) Soientx1,...,xn des rels, on notea leur moyenne arithmtique, montrer que

(x1

a)

2+ (x2

a)

2+...+ (xn

a)

2

1

2

(

|x1

a

|+...+

|xn

a

|)2

Exercice 14.45 (Olympiades polonaises 1995) Soienta, b, c, dquatre nombres irrationnels positifs tels quea+b=1.Montrer quec+d= 1 nN, E(na) +E(nb) = E(nc) +E(nd)

Exercice 14.46 Dmontrez quil existe un unique rela tel que

nN, E(aE(na)) E(na) = n 1

On pourra utiliser lexercice les exotiques 14.30.

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CHAPITRE 14. NOMBRES RELS 5. LE GRENIER

Exercice 14.47 (Olympiades ex URSS) Montrer que pourn 2, on a

E

n

+E

2

n

+ +E nn =E(log2 n) +E(log3 n) + +E(logn n)Exercice 14.48 (Adapt du Putnam 2007)

1. Soitk

N, montrer que pour tout entiern

N, on a

k1i=0

En

k

n i

k

= 0

2. En dduire quil existe des polynmes P0(X) , , Pk1(X) (qui dpendent de k) tels que pour tout entier ndansN

En

k

k=P0(n) +E

nk

P1(n) + +E

nk

k1Pk1(n)

Les dterminer pourk= 2.

5 Le grenier

Exercice 14.49 RsoudreE(x) = Ex2.

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5. LE GRENIER CHAPITRE 14. NOMBRES RELS

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Chapitre 8NOMBRES RELS

Solution des exercices

1 Les basiques

Exercice 8.1 n! =

nk=1

k=

nk=2

k. Or2 kn = 2n1 n

k=2

knn1

Exercice 8.2 f(x) = x (2n x)est un trinme du second degr a coefficient dominant positif, il est maximal lorsquef (x) = 0 x= n. Dof(x) f(n) =n2.Remarque : Retenir que le produit de deux nombres dont la somme est constante est maximal quand ces deux nombressont gaux.Ensuite sin 2, on peut crire

(2n!) = 1 2 2n= 2n [(2n 1) 1] [(2n 2) 2] [(2n (n 1)) (n 1)] ndo(2n)!2n n2n2 n= 2n2n. Lingalit est encore vraie sin= 0 oun= 1.

Exercice 8.3 f(x) = x2 + 2x+ 2x2 + 2x+ 4

= 1 2x2 + 2x+ 4

1.Montrons que sup

R

f = 1. En effet 1 est bien un majorant de f, et si > 0, on peut trouver x tel que 1 1

2 carx2 + 2x+ 4 2x.

Dterminons infR

f. Pour cela on minore1 2x2 + 2x+ 4

, on majore donc 1

x2 + 2x+ 4, ce qui en dfinitive revient

minorerx2+2x+4 = (x+ 1)2

+3. En conclusionf(x) 1 23

=f(1) = 13

. On a doncminR

f=f(1) =13

= infR

f.

Exercice 8.4

1. On a2 |x|=|(x+y) + (x y)| |x+y| + |x y| et2 |y|=|(x+y) (x y)| |x+y| + |x y| , en sommantles deux ingalits, on a le double du rsultat demand.

2. On a(1 + |x 1|) (1 + |y 1|) =|x 1| + |y 1| + |x 1| |y 1| + 1. Il sagit donc de prouver que|xy 1| |x 1| + |y 1| + |x 1| |y 1|= |x 1| + |y 1| + |xy x y+ 1|

Ce qui scrit|xy 1| |xy x y+ 1| |x 1| + |y 1|

ou encore|xy 1| |x+y xy 1| |x 1| + |y 1|

Or la seconde ingalit triangulaire donne|a| |b| |a+b|


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1. LES BASIQUES CHAPITRE 8. NOMBRES RELS

aveca= xy 1, b= x+y xy 1, on aa+b= xy 1 +x+y xy 1 = (x 1) + (y 1) do|xy 1| |x+y xy 1| |(x 1) + (y 1)| |x 1| + |y 1|

Exercice 8.5n

k=1(1 +xk) = (1 +x1) (1 +x2) (1 +xn)

= 1 + (x1+x2+ +xn) + (x1x2+x1x3+ ) + (x1x2x3+ ) + = 1 +n

k=1

xk+ ( )>0

.

En utilisant ce qui vient dtre prouv, on an

k=1

ak =n

k=1

(1 + (ak 1) )=xk

1 +n

k=1

(ak 1) = 1 n+n

k=1

ak.

Exercice 8.6 Sik est le nombre de chiffre denN, alors

10k1 n


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CHAPITRE 8. NOMBRES RELS 1. LES BASIQUES

nx < nE(x) +n donc0i < n. PuisE(x) E(nx)n

=E(x) + in

< E(x) + 1 donne le rsultat.

Remarque 2 : Voici une autre preuve. Soit f(x) = E

E(nx)

n

E(x) , on a f(x+ 1) = E

E(nx+n)

n

E(x + 1) =E

E(nx) +n

n

E(x)1 =E

E(nx)

n + 1

E(x)1 =f(x) .La fonctionfest donc1priodique.

Puis si0x


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1. LES BASIQUES CHAPITRE 8. NOMBRES RELS

Ainsix 0, 14 =f(x) = 0.Puis six 14 , 12, alors

E(x) = 0, x+1

2

3

4, 1

= E

x+

1

2

= 0

2x+

1

2 1,32 =E2x+12 = 1 et4x [1, 2[ = E(4x) = 1dof(x) = 0. Conclusionf(x) = 0 sur

0, 12

et par priodicit surR.

Exercice 8.13Solution.

1. On a E(x) + 1 Z etE(x) x < E(x) + 1 = E(x) + 1 x+ 1 < E(x) + 2. Ainsi E(x) + 1 vrifie lacaractrisation de la partie entire pourx+ 1 doE(x) + 1 =E(x+ 1) .

2. On aE(x) x y ainsiE(x) est un entier infrieur y, il est donc infrieur E(y).

Exercice 8.14 On aE(x) x < E(x) + 1 = 1 E(x)


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CHAPITRE 8. NOMBRES RELS 2. LES TECHNIQUES

Lquation est quivalente E(2x) + 1 = E(x), sur cet intervalle, on tudie les deux courbes des fonctionsf(x) =E(2x) + 1 etg (x) = E(x) dont voici les graphes.

Lensemble des solutions est donc

S=

3

2,

1

22 Les techniques

Exercice 8.18 Notons = 3

2 +

5 et= 3

2 + 5. On cherchex = , or3 3 = 4 et= 1. Mais( )3 =3 3 3( ) dox3 + 3x 4 = (x 1) x2 +x+ 4 = 0. La seule solution relle estx= 1Exercice 8.19 (n!)2 =

nk=1

k

nk=1

k

dans le deuxime produit, on posek =n j+ 1, alors1kn1

jn, doncn

k=1

k=n

j=1

n j+ 1 =n

k=1

n k+ 1.

Puisn nn!n+ 12

(n)2n nn!2n n+ 12

2ncar les nombres sont positifs.

On doit donc tablir que

nn (n!)2 et (n!)2

n+ 1

2

nIl suffit de montrer que sin1 etk {1,..,n},

nk (n k+ 1)

n+ 1

2

2

En effetn

k (n

k+ 1)

n

k (n

k+ 1)

0

k2

k(n+ 1) +n

0

et les racines deP(X) =X2 X(n+ 1) +n = 0 sontX=n etX= 1. AinsiP(k)0 pour1kn (signe duntrinme lintrieur des racines).De mme

k (n k+ 1)

n+ 1

2

2 k (n k+ 1)

n+ 1

2

20 k2 k(n+ 1) +

n+ 1

2

20

etX2 X(n+ 1) +

n+ 1

2

2= 14(n 2X+ 1)2 0.

Retenir que pour encadrer un produit de nombres positifs, on cherche le facteur le plus petit et le facteur le plus grand(mme technique que pour une somme).

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2. LES TECHNIQUES CHAPITRE 8. NOMBRES RELS

Remarque : la fonctionf(x) =x (n+ 1 x) reprsente une parabole dont la concavit est tourne vers le bas. Sonsommet est enx=

n+ 1

2 , son axex=

n+ 1

2 , sur lintervalle [1, n] , son minimum est doncf(1) =f(n) =n et son

maximum estf

n+ 1

2

=

n+ 1

2

2.

Exercice 8.20 1.j 2,...,k , on a0< 2j donc (les nombres sont positifs) on a

00, or

n n+ < n+ 1do

n+ 1> 0 = n 0 = n 1 (on an= 0 car sinon = 0)mais alors

0< n n (n+) = n2 < (n+ 1)< n+ 1 = 0< n2 < n + 1 =1 n2 n

don2n0, ce qui imposen = 1. On en dduit que2+a1 = 0dont lunique solution dans[0, 1[est =

5 12

.

Ainsi

x= n+= 1 += 1 + 52

Exercice 8.25 On a n(n+ 1)

2(2n 1)n + 1

4 =

1

4

n+ 1

2n 1 ainsi

n(n+ 1)

2(2n 1) = n+ 1

4 +

1

4

n+ 1

2n 1et

1

4

n+ 1

2n 11

4 = 1

4

n 22n 1

Posons =1

4

n+ 1

2n

1,on a donc montr que pourn3, on a0< < 1

4.Pour conclure, on posea =E

n(n+ 1)

2(2n

1) =En+ 1

4 +

etb =E

n+ 14

.Sin = 4p+q, avecq {0, 1, 2, 3}alorsn+ 1

4 =p +

q4

etn+ 1

4 += p +

q4

+

,

b= p =a eta= Ep+

q4

+

=p+E q

4+

=p car

q

4

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