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RDM
Complments thoriquesBibliographie
Yves DEBARD
Institut Universitaire de Technologie du MansDpartement Gnie Mcanique et Productique
-
Yves DEBARD juin 2002
Institut Universitaire de TechnologieDpartement Gnie Mcanique et ProductiqueAvenue Olivier Messiaen72085 Le Mans Cedex 9
Tel 02 43 83 34 64Fax 02 43 83 31 49
E-mail : [email protected]
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogihttp://iut.univ-lemans.fr/gmp/cours/rdmyd
RDM
Complments thoriquesBibliographie
Sommaire :
Pages
1 Elasticit
25 Section droite
32 Calculs
43 Maillage dun domaine plan : triangulation de Delaunay
48 Bibliographie
-
Elasticit 1
Elasticit
Nous rappelons dans ce texte, les principaux rsultats de la thorie de l'lasticit. Le matriau esthomogne et isotrope. Son comportement est linaire et lastique. Les dplacements sont petits.
A - Contraintes autour dun point
I - Dfinitions
En chaque point M d'un solide, il existe des forces intrieures que l'on met en vidence en effectuantune coupure du solide, par une surface S, en deux parties A et B.
La partie A, par exemple, est en quilibre sous l'action des forces extrieures qui lui sont directementappliques et des forces intrieures rparties sur la coupure.
Considrons un point M de S. Soit dS un lment infinitsimal de la surface S, entourant M etrn le
vecteur unitaire, perpendiculaire en M S et dirig vers l'extrieur de la partie A.
Nous appellerons " facettern en M" cet lment de surface.
Soit dFrla force qui s'exerce sur cette facette. On appelle contrainte en M et dans la direction
rn , la
quantit :
r rr
( , ) limM n dFdSdS
=
0
On a :r r r r ( , ) ( , )M n M n = ( galit de l'action et de la raction ).
B
A
S
A
dS
n
dFS
-
2 RDM - Complments thoriques
Le vecteur contrainte peut tre dcompos en sa composante suivantrn et sa projection sur la facette :
r r r r( , )M n n= + .
On a donc = r r rn M n( , ) .
est la contrainte normale etr est le vecteur cisaillement.
est une valeur algbrique positive ( traction ) ou ngative ( compression ).
II - Etat de contrainte en un point
1 - Dfinitions
Les vecteurs unitaires ( z,y,xrrr) associs au repre orthonorm { O , x y z } dfinissent en un point
M du solide trois facettes perpendiculaires entre elles.
Les contraintes qui s'exercent sur chacune de ces faces sont dfinies par leurs composantes dans lerepre { O , x y z } :
facette xr: zyx)x,M( xzxyxx
rrrrr++=
facette yr: zyx)y,M( yzyyyx
rrrrr++=
facette zr: zyx)z,M( zzzyzx
rrrrr++=
Remarque : sur la facette xr, la contrainte normale est gale :
xx)x,M(x ==rrr
et le vecteur cisaillement est gal :
zy xzxyrrr
+= .
(M,n)
n
(M,x)
(M,y)
(M,z)
x
y
z
y
z
x
O
M
xx
xy
xz
x
(M,x)
-
Elasticit 3
2 - Contrainte sur une facette quelconque : tenseur des contraintes
Considrons la facettern en M. Soit a, b et c les cosinus directeurs de
rn .
La contrainte sur la facettern est gale :
n)M()z,M(c)y,M(b)x,M(a)n,M(rrrrrrrrr =++=
Sous forme matricielle :
]n[)]M([)]n,M([ = r
o [(M)], appel tenseur des contraintes en M, a pour expression :
)z,M(
)y,M(
)x,M(
)]M([
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
rr
rr
rr
=
3 - Rciprocit des contraintes tangentielles
On a les relations suivantes : yzzyzxxzyxxy ,, ===
4 - Etat de contrainte en un point
Dans un solide, la distribution des contraintes autour dun point M est entirement dfinie par ladonne du repre { M , x y z } et des six quantits : )( yzxzxyzzyyxx . Nous appellerons
cet ensemble tat de contrainte en M.
5 - Contrainte normale dans une direction quelconque
yzxzxyzz2
yy2
xx2T cb2ca2ba2cba]n[)]M([]n[)n,M(n +++++===
rrr
x y
n
z
(M,n)
M
xx
y
z
x xy
xz
yy
yx
yz
zz
zx
zy
Composantes du tenseur des contraintes
-
4 RDM - Complments thoriques
III - Faces et contraintes principales
Existe t-il en M une facettern telle que le vecteur contrainte soit
colinaire avecrn ? Dans ce cas, le vecteur cisaillement est nul sur cette
facette et le vecteur contrainter r( , )M n satisfait la relation :
nn)M()n,M(rrrr
==
soit sous forme matricielle : ]n[]n[)]M([ = .
est alors valeur propre du tenseur des contraintes etrn est le vecteur propre associ.
( M ) est une matrice symtrique coefficients rels. Elle a trois valeurs propres relles ( distinctesou confondues ). Si les trois valeurs propres sont distinctes, les vecteurs propres associs sontperpendiculaires entre eux.
Il existe donc en M un repre orthonorm { M , X Y Z } tel que sur les facettes X,Y et Z le vecteurcisaillement est nul.
Soit X , Y , Z les contraintes normales associes.
Remarque : les trois contraintes principales sont les solutions de lquation : 0)]I[)]M([(dt =o [I] est la matrice unit.
Dans le repre { M , X Y Z }, le tenseur des contraintes s'crit :
=
Z
Y
X
00
00
00
)]M([
Les facettes X , Y , Z sont appeles faces principales.
Les quantits X , Y et Z sont les contraintesprincipales.
Dans le repre principal { M , X Y Z }, le vecteur contrainte sur la facettern a pour expression :
=
=
Z
Y
X
Z
Y
X
c
b
a
)n,M(rr
o a, b et c sont les composantes dern .
De la formule prcdente et de la relation a2 + b2 + c2 = 1, on dduit :
12Z
2Z
2Y
2Y
2X
2X
=
+
+
.
Quandrn varie, l'extrmit du vecteur
r r( , )M n se dplace sur l'ellipsode d'axes ( X , Y , Z ) appelellipsode de Lam.
x y
n
z
(M,n)
?
x
y
zX
Y
Z
M
XY
Z
-
Elasticit 5
IV - Cercles de Mohr des contraintes
En M, prenons comme repre, les axes principaux X, Y et Z. Considrons la famille de facettespassant par la direction principale Z. Soit
rn ( a , b , 0 ), une de ces facettes. Sur cette facette, le vecteur
contrainte est gal :
0
b
a
Y
X
avec a2 + b2 = 1.
Le vecteur contrainter r( , )M n est donc situ dans le plan { M , X Y }.
Soitrt le vecteur unitaire, situ dans le plan { M , X Y } et faisant avec
rnun angle gal /2 .
Projetons le vecteur contrainte sur les axesrn et
rt :
r r r r( , )M n n t= +
Si nous appelons l'angle que fait direction rn avec la direction principale X, et s'crivent :
+=+=sincossincos
sincos
YX
2Y
2X soit
= +
=
d r
r
cos( )
sin( )
2
2
avec )(d YX21 += et )(r YX2
1 =
A chaque facettern , nous pouvons donc associer un point dans le repre ( , ) orthonorm. Lorsque
langle varie, ce point dcrit le cercle de rayon r et centre (0,d).
Remarque : si la facettern fait un angle avec la facette X, son
point reprsentatif sur le cercle de Mohr fait un angle -2 avec lepoint reprsentatif de la facette X.
Les trois directions principales nous permettent de construire troiscercles.
On montre que le point reprsentatif ( =r
, ) d'une facette
quelconque en M reste l'intrieur du domaine limit par les troiscercles.
X
t
n
Y
M
(M,n)
XY
r
(d,0)
facette n
-2 facette X
facette Y
XZ Y
Cercles de Mohr en M
,
-
6 RDM - Complments thoriques
V - Etats de contraintes particuliers
1 - Etat de contrainte uniaxial : traction ou compression simple
L'tat de contraintes en un point M est uniaxial si, dans le repre principal { M , X Y Z }, le tenseurdes contraintes se rduit :
=
000
000
00
)]M([
Cet tat de contraintes est appel tat de traction simple si est positif et tat de compression simplesi est ngatif.
2 - Etat de cisaillement simple
Soit en M un repre orthonorm { M , x y z }. L'tat de contraintes en M est un tat de cisaillementsimple par rapport aux deux directions x et y, si le tenseur des contraintes se rduit :
=000
00
00
)]M([
Dans le repre principal { M , X Y Z }, le tenseur des contraintes est gal :
=000
00
00
)]M([
3 - Etat de contrainte isotrope
L'tat de contraintes en un point M est isotrope si, quelque soit la facettern , on a
r r rT M n n( , ) = .
Les trois contraintes principales sont alors gales et le tenseur des contraintes en M a pourexpression ( quelque soit le repre ) :
=00
00
00
)]M([
Toute facettern est face principale. En M, les cercles de Mohr des
contraintes se rduisent un point.
x
y
x
y
-
-
-
-
Elasticit 7
4 - Etat de contrainte plan
En un point M, l'tat de contrainte est dit plan s'il existe un repre orthonorm { M , x y z } tel que letenseur des contraintes soit de la forme :
=000
0
0
)]M([ yyxy
xyxx
L'axe z est donc direction principale et la contrainteprincipale correspondante est nulle.
VI - Equations d'quilibre
1 - Forces de volume
Soit fr, de composantes ( fx , fy , fz ), la force par unit de volume applique au point M du solide. Les
quations d'quilibre en M s'crivent :
=+
+
+
=+
+
+
=+
+
+
2
2
zzzzyzx
2
2
yyzyyyx
2
2
xxzxyxx
t
wf
zyx
t
vf
zyx
t
uf
zyx
o u,v et w sont les composantes du vecteur dplacement du point M et la masse volumique dumatriau.
2 - Forces de surface
Considrons en M, une facette nrappartenant la frontire d'un solide. Soit a, b et c les cosinus
directeurs dern . Soit
rp de composantes ( px , py , pz ) la force par unit de surface, qui sexerce sur la
facette.
Les quations d'quilibre en M s'criventr r r( , )M n p= soit :
=
z
y
x
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
p
p
p
c
b
a
o ( ) xx yy zz xy xz yz est l'tat de contrainte en M.
XY Z
-
8 RDM - Complments thoriques
B - Dformations autour dun point
Sous l'action des forces extrieures, le solide se dforme. Il en rsulte pour tous les points du solide undplacement que nous supposerons petit.
I Vecteur dplacement
Soient { O , x y z } un repre orthonorm et M(x,y,z) un pointdu solide. Au cours de la mise en charge, le point M vient enM'.
On appelle vecteur dplacement du point M le vecteur 'MM .
Nous noterons ses composantes :
u x y z
v x y z
w x y z
( , , )
( , , )
( , , )
Soit N un point du solide voisin de M :
=
dz
dy
dx
MN . Au cours de la mise en charge N vient en N. Le
dplacement du point N est gal
+++
+++
+++
=
)dzz,dyy,dxx(v
)dzz,dyy,dxx(v
)dzz,dyy,dxx(u
'NN soit
MN]D['MM
dz
dy
dx
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
w
v
u
dzz
wdy
y
wdx
x
w
dzz
vdy
y
vdx
x
v
dzz
udy
y
udx
x
u
)z,y,x(v
)z,y,x(v
)z,y,x(u
'NN +=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
En dcomposant la matrice [D] en sa partie symtrique )]D[]D[(2
1]E[ T+= et sa partie
antisymtrique )]D[]D[(2
1][ T= , il vient:
MN]E[MN]['MM'NN ++= avec :
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
]E[ et
=0
0
0
][
xy
xz
yz
o lon a pos :
=
=
=
+
=
+
=
+
=
=
=
=
y
u
x
v
2
1
x
w
z
u
2
1
z
v
y
w
2
1
z
v
y
w
2
1
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
1
z
w
y
v
x
u
zyx
yzxzxyzzyyxx
x y
MM
z
ON N
-
Elasticit 9
Le dplacement du point N scrit finalement : MN]E[MN'MM'NN ++=r
Si [] et [E] sont nuls, le dplacement de N se rduit 'MM'NN = et tous les points situs auvoisinage de M subissent la mme translation.
Si 'MM et [E] sont nuls le dplacement de N se rduit : MN'NN =r
. Si de
plus =r
est petit (les drives du vecteur dplacement sont petites), tous les
points situs au voisinage de M subissent une rotation dintensit autour de laxe
)'MM(rot2
1=
rdont lorigine est situe en M.
La matrice [E] qui reprsente les dformations du solide en M est appele tenseurdes dformations.
Remarque : des relations ci-dessus, on dduit :
MN)]E[][]I[(MN)]D[]I[(MN]E[MN][MNMN]D[MN'N'M ++=+=++=+=
MN])E[]([MN]E[MN][MN]D[MN'N'MMN +=+===
II Etat de dformation en un point
1 - Allongement unitaire ou dilatation
Considrons deux points M et N du solide voisins l'un del'autre. Au cours de la mise en charge, le point M vient en M' etle point N en N'. Soit
rn le vecteur unitaire li la direction
MN .
On appelle allongement unitaire en M dans la directionrn , la
quantit :
MN
)MN(lim
MN
MN'N'Mlim)n,M(
MNMN
=
=
r
Soient a , b , c les composantes de nret l la longueur de la fibre MN do : ]n[l
c
b
a
lnlMN =
==
r.
Evaluons la quantit (MN2) : )n,M(l2ll2l)MN( 222 r===
Dautre part : ]n[]E[]n[l2MN.MNMN.MN)MN.MN()MN( T22 =+==
On obtient finalement :
yzxzxyzz2
yy2
xx2T cb2ca2ba2cba]n[]E[]n[)n,M( +++++==
r
Remarque : si xnrr
= , on obtient : xx)x,M( =r
. De mme : yy)y,M( =r
et zz)z,M( =r
. Les
quantits xx , yy et zz reprsentent donc respectivement lallongement unitaire en M dans lesdirections zety,x
rrr.
xy
M
My
ON
N
n
M
N
N
-
10 RDM - Complments thoriques
2 - Glissement ou dformation angulaire
Soient deux points N1 et N2 voisins de M et tels que les
directions 1MN et 2MN soient orthogonales. Soient 1nr
et 2nr
les vecteurs unitaires associs ces deux directions. Au coursde la mise en charge les points M, N1 et N2 viennentrespectivement en M', N1' et N2'. Soit l'angle que font entre
eux les deux vecteurs 1'MN et 2'MN .
On appelle glissement en M dans les directionsrn1 et
rn2 , la
quantit :
)2(lim)n,n,M(
NNNN
21
2
1
=
rr
Posons :
=
===
2
2
2
2
1
1
1
12211
c
b
a
n
c
b
a
nlMNlMNrr
.
On a donc :
==
==
2
2
2
2222
1
1
1
1111
c
b
a
lnlMN,
c
b
a
lnlMNrr
Soit langle que font entre eux les vecteurs 1MN et 2MN .
Evaluons la quantit )MN.MN( 21 :
)n,n,M(llsinllcos)ll()cosll()MN.MN( 212121212121rr=== car
2
= .
Dautre part : ]n[]E[]n[ll2MN.MNMN.MN)MN.MN( 2T
121212121 =+= .
On en dduit ]n[]E[]n[2)n,n,M( 2T
121 =rr
soit :
)]baba()baba()baba(ccbbaa[2)n,n,M( 3113xz2332yz1221xy21zz21yy21xx21 ++++++++=rr
Remarque : si xn1rr
= et yn 2rr
= , lexpression ci-dessus se rduit : xyxy 2)y,x,M( ==rr
. De
mme : xzxz 2)z,x,M( ==rr
et yzyz 2)z,y,M( ==rr
. Les quantits xy , xz et yz reprsententdonc respectivement le glissement en M dans les directions ( ) ( ) ( )z,yetz,x,y,x rrrrrr .
3 - Etat de dformation en un point
La distribution des dformations autour d'un point M est entirement dfinie par la donne des sixquantits : )( yzxzxyzzyyxx .
Nous appellerons cet ensemble tat de dformation en M.
xy
M
My
ON1
N1
n1
N2
N2
n2
-
Elasticit 11
III - Faces principales
En M, dans le repre principal { M , X Y Z }, on a : XY = 0 , XZ = 0 , ZY = 0 et le tenseur desdformations se rduit :
=
Z
Y
X
00
00
00
]E[
Les quantits X , Y et Z sont appeles dformations principales.
IV - Cercles de Mohr des dformations
En M, prenons comme repre, le repre principal { M , X Y Z }. Considrons la famille de facettespassant par la direction principale Z. Soit
rn ( a , b , 0 ), une facette appartenant cette famille et
rt le
vecteur unitaire, situ dans le plan { M , X Y } et faisant avecrn un angle gal /2.
A chaque facettern , nous pouvons associer deux quantits et dfinies par :
= ( , )M nr
et = ( , , )M n trr
.
Si nous appelons l'angle que fait direction rn avec la direction X, on a :
+=+=
sincos2sincos2
sincos
YX
2Y
2X soit
=+=)2sin(r2
)2cos(rdavec
=
+=
)(r
)(d
YX21
YX21
A chaque facettern , nous pouvons associer un point ( , /2 ) dans un repre orthonorm. Lorsque
varie, ce point dcrit le cercle de rayon r et centre ( 0 , d ).
Les trois directions principales nous permettent de construire trois cercles.
X
t
n
Y
M
/2
/2
XY
r
(d,0)
facette n
-2
-
12 RDM - Complments thoriques
C - Loi de comportement
I - Bases exprimentales
Considrons une barre de section droite constante et rectangulaire. L'axe X est la ligne moyenne de labarre. Soit O un point quelconque du solide. La barre, constitue d'un matriau homogne et isotropeest soumise suivant l'axe X un effort de traction uniformment rparti chaque extrmit.
Le repre orthonorm { O , X , Y , Z } est le repre principal en O.
Faisons crotre la force de traction partir de 0. L'exprience montre que :
1 - Loi de Hooke
On a : X = E X o E est le module d'lasticit longitudinal ( module d' Young ) du matriau.
La relation prcdente est vrifie si la contrainte XX ne dpasse pas une certaine valeur E appelelimite lastique en traction.
2 - Loi de Poisson
L'allongement de la barre suivant la direction x, s'accompagne d'une contraction suivant les directionsy et z :
Y = - X , Z = - X o est le coefficient de Poisson du matriau ( 0 < < 0.5 ).
II - Notations
L'tat de contrainte en un point sera reprsent par un vecteur six composantes [] dfini par :
][][ yzxzxyzzyyxxT =
L'tat de dformation en un point sera reprsent par un vecteur six composantes [] dfini par :
][][ yzxzxyzzyyxxT =
Z
Y
XX-X
-
Elasticit 13
III - Loi de comportement
Le vecteur contrainte [] et le vecteur dformation [] sont lis par la relation :
][][]D[][ TH+=
La matrice [D] des coefficients lastiques est gale :
+
++
=
00000
00000
00000
0002
0002
0002
]D[ avec
=
+
=
+
E
E( )( )
( )
1 1 2
2 1
o E et sont respectivement le module d'Young et le coefficient de Poisson du matriau.
et sont les coefficients de Lam.
Remarque : Le module de glissement G est gal .
[TH] reprsente les contraintes d'origine thermique et est gal :
=
0
0
0
1
1
1
21
)TT(E][ oTH
o est le coefficient de dilatation thermique et To la temprature de rfrence (temprature demontage).
IV - Dformation volumique
Soit V, un lment de volume infiniment petit entourant le point M. Au cours de la dformation Vaugmente de dV. On appelle dformation volumique la quantit :
)(E
)21(
V
dVzzyyxxzzyyxxV ++
=++==
D - Energie de dformation
Soit dV = dx dy dz un lment de volume, infiniment petit, entourant le point M. Au cours de la miseen charge l'nergie potentielle de dformation accumule dans cet lment de volume est gale :
dV][]D[][dV][][dW T21T
21 ==
-
14 RDM - Complments thoriques
E - Problmes particuliers dlasticit
I - Contraintes planes
Dfinition : Un solide est en tat de contraintes planes parrapport au plan { O , x y }, s'il existe un repre { O , x y z }, liau solide, tel qu'en tout point M du solide, le tenseur descontraintes soit de la forme :
=000
0
0
)]M([ yyyx
xyxx
o xx , yy et xy sont indpendants de z.
L'axe z est donc, pour tous les points du solide, direction principale et la contrainte principaleassocie est nulle. On en dduit:
)(E
0 yyxxzzyzxz +
===
L'tat de dformation est donc entirement dfini par les trois quantits : xx , yy et xy.
La loi de comportement scrit :
=
0
1
1
1
)TT(E
2/)1(00
01
01
1
E o
xy
yy
xx
2
xy
yy
xx
Les dformations et les contraintes ne dpendent que des dplacements u( x, y ) et v( x, y ) paralllesaux axes x et y.
Domaine d'application : L'approximation contraintes planes convient aux plaques minces sollicitesdans leur plan. Le plan { O, x y } est alors le plan moyen de la plaque.
II - Dformations planes
Dfinition : Un solide est en tat de dformations planes par rapport au plan { O , x y }, s'il existe unrepre { O x y z }, li au solide, tel qu'en tout point du solide, le champ de dplacement soit de laforme :
u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) , w = 0
On en dduit : )(000 yyxxzzyzxzzz +====
En tout point du solide, la direction z est donc direction principale. Les dformations et les contraintessont indpendantes de z.
y
z
x
-
Elasticit 15
Le tenseur des contraintes est alors de la forme :
=
zz
yyxy
xyxx
00
0
0
)]M([
La loi de comportement scrit :
+
+=
0
1
1
21
)TT(E
00
02
02o
xy
yy
xx
xy
yy
xx
Domaine d'application : L'tat de dformations planes se prsente lorsqu'on a affaire un cylindred'axe Oz trs long satisfaisant aux conditions suivantes :
- les bases du cylindre sont fixes.- les forces appliques au solide sont normales l'axe Oz et indpendantes de z.
III - Problme axisymtrique
Le solide considr est de rvolution. Il en va de mme du chargement et des conditions aux limites.Soit z l'axe de rvolution. Un point du solide est repr par ses coordonnes cylindriques ( r , , z ).La solution est axisymtrique. Chaque point du solide se dplace dans son plan mridien ( r , z ). Deplus le champ de dplacement est indpendant de la coordonne .
On a donc :
- dplacement radial : u = u ( r , z )- dplacement orthoradial : v = 0- dplacement axial : w = w ( r , z )
On en dduit les dformations :
0r
w
z
u
z
w
r
u
r
uzrrzzzrr ==
+
=
==
=
La direction est direction principale.
Le tenseur des contraintes est gal :
= zzrz
rzrr
0
00
0
)]M([
M
x
y
r
z
z
r
z
-
16 RDM - Complments thoriques
La loi de comportement scrit :
+
++
=
0
1
1
1
21
)TT(E
000
02
02
02
o
rz
zz
rr
rz
zz
rr
IV - Flexion des plaques
Dfinitions :
Une plaque est un corps solide limit par deux faces planesparallles et par une surface cylindrique perpendiculaire celles-ci.
L'paisseur e de la plaque est la distance entre les deux faces.
Le plan quidistant des deux faces est le plan mdiant ousurface moyenne.
Soit { O , x y z } un repre orthonorm tel que le plan { O , x y } soit le plan moyen. L'axe z estdonc normal au plan moyen.
Le plan situ z = e/2 est la peau suprieure de la plaque.Le plan situ z = -e/2 est la peau infrieure de la plaque.
Une fibre normale est l'ensemble des points du solide situs sur une normale au plan mdiant. Elleest caractrise par la donne de ses coordonnes ( x , y ).
Une plaque est dite mince si son paisseur est petite par rapport aux autres dimensions.
Hypothses :
La plaque est sollicite par des forces perpendiculaires au plan moyen et des couples de composantes(mx , my , 0).
La contrainte normale zz est ngligeable par rapport aux autres composantes du tenseur descontraintes.
Les phnomnes de membrane et de flexion sont dcoupls. Compte-tenu des conditions dechargement, les phnomnes de membrane sont nuls.
Au cours de la dformation, une fibre normale reste droite mais ne reste pas perpendiculaire au planmoyen.
y
z
x
-
Elasticit 17
Champ de dplacement :
Considrons une fibre normale ( x , y ). Soit Mo le point d'intersection de cette fibre avec le planmdiant et M(x,y,z) un point quelconque de cette fibre.
Le vecteur dplacement ( u , v , w ) en M est gal :
=
==
)y,x(w)z,y,x(w
)y,x(z)z,y,x(v
)y,x(z)z,y,x(u
x
y
o
- w est le dplacement du point Mo suivant z. w est la flche en Mo.- x est la rotation de la fibre normale suivant x.- y est la rotation de la fibre normale suivant y.
Le champ de dplacement dans le solide est donc dfini par la connaissance de ( w , x , y ) en toutpoint ( x , y ) du plan moyen.
De l'expression du champ de dplacement, on dduit les dformations :
+=
+=
=
=
=
y
w,
x
wyy
z
yz,
xz
xyzyxz
xyxy
xyy
yxx
La loi de comportement scrit :
=
yz
xz
xy
yy
xx
2
yz
xz
xy
yy
xx
2/)1(0000
02/)1(000
002/)1(00
0001
0001
1
E
Remarque : Avec les hypothses prcdentes, le cisaillement transverse est pris en compte. En effetles contraintes xz et yz sont diffrentes de zro.
w wx
y
y
z
x y
x
z
Mo
-
18 RDM - Complments thoriques
Si on nglige le cisaillement transverse ( hypothse de Kirchhoff ), on a les relations suivantes :
xw
,yw
yx
=
=
Les fibres normales restent alors perpendiculaires au plan moyen, au cours de la dformation.
Rsultantes et moments :
Considrons un lment de plaque infiniment petit, limit par un cylindre perpendiculaire au planmoyen, de section droite rectangulaire et dont les faces sont parallles x ou y.
La face AB est soumise :
- un moment de flexion ( a Mxx ).
- un moment de torsion ( a Mxy ).
- une force de cisaillement : ( a Qxz ).
La face CB est soumise :
- un moment de flexion ( b Myy ).
- un moment de torsion ( b Myx ).
- une force de cisaillement : ( b Qyz ).
avec :
===2/e
2/e
xyxy
2/e
2/e
yyyy
2/e
2/e
xxxx dzzMdzzMdzzM
===2/e
2/e
yzyz
2/e
2/e
xzxz
2/e
2/e
yxyx dzQdzQdzzM
On en dduit :
xx = z Mxx / I , yy = z Myy / I , xy = z Mxy / I avec I = e3 / 12.
x
y
z
QyzQxz
Mxx
Mxy Myy
Myx
a
b
-
Elasticit 19
F - Critres de limite lastique
Soit X , Y et Z les trois contraintes principales en un point M d'un solide. Nous supposerons que lalimite lastique en traction simple est gale la limite lastique en compression simple. Soit E cettelimite lastique .
Comment vrifier, dans un tat de contrainte complexe, que la limite lastique n'est pas dpasse ? Onadmet que la limite lastique est atteinte lorsqu'une certaine fonction f des contraintes principales estgale limite lastique du matriau en traction simple :
f (X , Y , Z ) = E.
Le domaine lastique en un point du solide est donc dfini par la relation :
f ( X , Y , Z ) < E.
Nous examinons dans ce chapitre plusieurs critres de limite lastique.
I - Critre de Rankine ou de la contrainte normale maximale
1 - Enonc :
La fonction f est gale : f (X , Y , Z ) = sup ( X , Y Z ).
2 - Validit :
Dans un tat de traction simple, le critre est satisfaisant. Dans un tatde cisaillement pur, le critre impose E = E o E est la limitelastique au cisaillement pur.
3 - Etat plan de contraintes ( Z = 0 ) :
Le domaine lastique a la forme suivante dans le plan {X , Y } :
II - Critre de Tresca ou du cisaillement maximal
1 - Enonc :
On vrifie que le cisaillement maximal est plus petit que la moiti de la limite lastique en tractionsimple :
f (X , Y , Z ) = 2 max < E.
La quantit f est appele contrainte quivalente de Tresca .
X
Y
E
E
-E
-E
-
20 RDM - Complments thoriques
2 - Validit :
Ce critre est satisfaisant dans un tat de traction simple, mais ilimpose E = 2E dans un tat de cisaillement pur.
3 - Etat plan de contraintes ( Z = 0 ):
Le domaine lastique a la forme suivante dans le plan {X , Y } :
III - Critre de Von Mises
1 - Enonc :
On vrifie ( X - Y )2 + ( X - Z )2 + ( Y - Z )2 < 2 E2 .
La quantit f = ])()()[(2
1 2ZY
2ZX
2YX ++ est appele contrainte quivalente de
Von Mises.
2 - Validit :
Ce critre est satisfaisant dans un tat de traction simple, et il impose E = 0.57 E dans un tat decisaillement pur.
3 - Etat plan de contraintes ( Z = 0 ):
Le domaine lastique a la forme suivante dans le plan {X , Y } :
X
Y
E
E
-E
-E
X
Y
E
-E
E
-E
-
Elasticit 21
G - Dpouillement des rosettes
Une rosette est un ensemble de trois jauges colles en un point Mdun solide et faisant entre elles un angle gal . Langle est gal 45 , 60 ou 120.
Soitrz le vecteur unitaire normal la surface et dirig vers
l'extrieur du solide et { M, x y z } le repre orthonorm tel quelaxe x soit colinaire avec la jauge
r2 .
La directionrz est direction principale et la contrainte principale correspondante est nulle (en
labsence de pression extrieure) : en M l'tat de contrainte est plan. Le tenseur des contraintes et letenseur des dformations ont pour expression:
=000
0
0
)]M([ yyyx
xyxx
,
=
zz
yyyx
xyxx
00
0
0
)]M(E[
On mesure les allongements unitaires dans les trois directionsr1 ,
r2 et
r3 .
Posons : )3,M(,)2,M(,)1,M( 321rrr
=== .
Les trois mesures effectues vont nous permettre de calculer les composantes du tenseur descontraintes en M.
Posons : c = cos () et s = sin ().
Des relations :
++==
+=
cssc
cssc
xy2
yy2
xx3
xx2
xy2
yy2
xx1
on dduit les composantes du tenseur des dformations :
+
=
=
+=
=
)(1
cs2
s2
c2
yyxxzz
13xy
2
2231
yy
1xx
x
z y
12
3
x
y
1
2
3
-
X
-
22 RDM - Complments thoriques
puis les composantes du tenseur des contraintes :
+
=
+
=
+
=
xyxy
xxyy2yy
yyxx2xx
)1(2
E
)(1
E
)(1
E
o E et sont les caractristiques lastiques du matriau.
On en dduit les contraintes principales :
=
=
+=
0
rd
rd
Z
Y
X
avec2
d yyxx+
= et 2xy
2yyxx2
2r +
=
les dformations principales :
=+
=
=
=
zzYXZ
XYY
YXX
)(E
)(E
1
)(E
1
et la position angulaire de la direction principale X par rapport laxe x :
=
=
xy
yyxx
)2sin(r2
)2cos(r
-
Elasticit 23
Section droite
Considrons une section droite dune poutre.
Soit { Y et Z } le repre central principal. L'axe X est l'axe neutre de la poutre. Le point ( Y = 0 ,Z = 0 ) est le centre lastique de la section. On a les relations suivantes :
=== AAA 0dAZY)Z,Y(E0dAZ)Z,Y(E0dAY)Z,Y(E
o E(Y,Z) est le module d'Young du matriau.
Les caractristiques homognises de la section sont :
- la rigidit de membrane :
=>< A dA)Z,Y(EEA
- les rigidits principales de flexion :
=>< A2
ZA
2Y dAY)Z,Y(EEIdAZ)Z,Y(EEI
- la rigidit de cisaillement transversal :
=>< A dA)Z,Y(GGA
- la rigidit de torsion :
dAZYY
ZZ
Y)Z,Y(GGJ 22A
++
=><
Dans ces formule G(Y,Z) est le module de cisaillement du matriau et la fonction degauchissement de torsion.
Z
YC
y
z
-
24 RDM - Complments thoriques
La force lastique sur la section droite a pour expression :
[ ]ZYXZYX MMMTTN
L'nergie de dformation linique est gale :
>