Razonamiento Geometrico

RAZONAMIENTORAZONAMIENTO GEOMÉTRICOGEOMÉTRICO

ÍÍNDICENDICE

P R E S E N T A C I Ó NP R E S E N T A C I Ó N P a g . 3P a g . 3

Í N D I C EÍ N D I C E P a g . 5P a g . 5

T R I Á N G U L O ST R I Á N G U L O S P a g . 7P a g . 7

P E R Í M E T R O SP E R Í M E T R O S P a g . 3 5P a g . 3 5

Á R E A SÁ R E A S P a g . 4 9P a g . 4 9

TRIÁNGULOS

TRIÁGULOSCAPÍTULO

1

DEFINICIÓNDados tres puntos A, B y C no colineales, la reunión de los segmentos

, y se llama triángulo.

ELEMENTOS

- Vértices: A, B, C- Lados: , y - Ángulos:

Internos: , , Externos: , ,

* Notaciones:

Triángulo ABC: ABCPerímetro del ABC: 2p(ABC)

Semiperímetro del ABC: p (ABC)

INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÀNGULO

Un triángulo separa al plano en tres subconjuntos de puntos:

- Los puntos que pertenecen altriángulo:

- Los puntos interiores al ABC: P esun punto interior al ABC.

- Los puntos exteriores al ABC:Q punto exterior al ABC relativo a

L punto exterior al ABC relativo a

S punto exterior al ABC relativo a

CLASIFICACIÓN DE LOSTRIÁNGULOS

A. Según la medida de sus ángulos:

1. Triángulo Acutángulo.Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.

2. Triángulo Obtusángulo.Es aquel que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

C

B

A D

E

F

c

b

a

2p(ABC) = a + b + c

a + b +cp ( ABC)=

2

H A

B

PC

Q L

SMINTERIOR

EXTERIOR

,,; son los ángulos internos o simplemente ángulos del triángulo ABC.

Se conviene en designar las medidas de los lados de un triángulo, con la letra minúscula correspondiente al vértice del ángulo opuesto a dicho lado. Así:

AB = c ; BC = a ; AC = b

La reunión del triángulo con todos sus puntos interiores se

llama región triangular.

B

A C

a

b

c

B

A C

< 90º < 90º < 90º

> 90º < 90º < 90º

Nota: A este triángulo se le llama: “triángulo ABC obtuso en A”

3. Triángulo Rectángulo.Es aquel que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.

B. Según la medida de sus lados:

1. Triángulo Escaleno.Es aquel triángulo que tiene sus tres lados de diferente magnitud.

2. Triángulo Isósceles.Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud; en consecuencia, los ángulos opuestos a dichos lados serán de igual medida.

En el ABC isósceles:: medida de los ángulos en la base. : medida del ángulo en el vértice.

Se cumple que:

y ó

3. Triángulo Equilátero.Es aquel triángulo que tiene sus tres lados de igual longitud; en consecuencia, sus tres ángulos serán de 60º.

TEOREMAS FUNDAMENTALES

1. Suma de Ángulos Internos:“En todo triángulo la suma de las medidas de sus tres ángulos interiores es igual a 180º ”

2. Suma de Ángulos Externos: (considerando uno por vértice)“ La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º ”

* a > b y a > c

B

A C

c a

b + = 90º

A los triángulos acutángulos y obtusángulos se les denomina

“OBLICUÁNGULOS”

B

A C60º

60º

60º

B

A C

BASE

B

A C

“Todo triángulo equilátero es equiángulo”

B

AC

x

y

z

Se cumple:

+ + = 180º

B

A C

Se cumple:

x + y + z = 360º

3. Teorema del Ángulo Exterior:“En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores del triángulo no adyacentes a él ”

4. Propiedad de Correspondencia: “ En todo triángulo se cumple que amayor lado se opone mayor ánguloy viceversa ”

5. Teorema de EXISTENCIA(Desigualdad Triangular)“En todo triángulo, la longitud de uno de sus lados está comprendida entre la suma y la diferencia de los otros dos lados”

También se cumple:

LÍNEAS NOTABLES Y PUNTOS NOTABLES

1. MEDIANA:

Segmento que parte de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto.

Nota: es la mediana relativa al

lado .

El punto de intersección de las medianas se llama BARICENTRO.

G: Baricentro, Gravicentro o Centriode (Es el centro de gravedaddel triángulo)

Propiedad:

El baricentro divide a la mediana en dos segmentos que están en relación de 2 a 1

, ,

2. ALTURA:

Segmento perpendicular al lado opuesto o su prolongación.

es la altura relativa al lado .

El punto de intersección de las alturas se llama ORTOCENTRO.

A

B

CM

PQ G

e

B

A C

B

A C

c a

C

B

A

c

b

a

Sea se cumple:

Se cumple:

e = +

Si b > a: >

b - c < a < b + c

a - c < b < a + ca - b < c < a + b

A

B

CM

BM: mediana

A

B

CH H

B

CA

Todo triángulo tiene un solo ortocentro y puede estar ubicado:

- Dentro si es acutángulo

- En el vértice del recto si es rectángulo

- Fuera del mismo si es obtusángulo

3. BISECTRIZ:

Segmento limitado por el lado opuesto, que divide a su ángulo en otros dos de igual medida.

Donde: bisectriz interior

: bisectriz exterior

INCENTRO:

Punto de intersección de las bisectrices interiores.- Centro de la circunferencia inscrita.- Equidista de los lados

I: Incentro

EXCENTRO:

Punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una interior.

- Es centro de la circunferenciaex-inscrita.

Ea: Excentro relativo al lado BC

- Todo triángulo tiene 3 ex-centros,uno relativo a cada lado

Donde:

E1: Ex–centro relativo al lado



4. MEDIATRIZ.

A P C Q

B

Ea

Re

ReRe

A C

B

E1 E2

E3

A C

B

I

r

r r

Acutángulo

Obtusángulo

Rectángulo

Es la recta o segmento de recta que divide a un segmento por su punto medio en forma perpendicular.

L1: mediatriz de

MP: mediatriz de

El punto de intersección de las mediatrices se llama CIRCUNCENTRO.

- Centro de la circunferencia circunscrita

- Equidista de los vértices del triángulo.Y se ubica:

Todo triángulo tiene un solo circuncentro y puede estar ubicado:

- Dentro si es acutángulo.

- En punto medio de la hipotenusa si

es rectángulo.

- Fuera del mismo si es obtusángulo.

1. En todo triángulo equilátero, sus puntos notables se confunden.

El Baricentro, es también ortocentro, incentro y circuncentro.

2. En todo triángulo isósceles las alturas relativas a los lados iguales son iguales.

Nota: Los mismo ocurre con lasbisectrices y medianas.O

OO

A C

P

L1

M

B

Acutángulo Obtusángulo

Rectángulo

OBSERVACIONES

O

A C

B

H P

A C

B

K T

A C

B

M N

3. La altura relativa al lado desigual,corta a éste un su punto medio.

Esta altura es mediana, mediatriz ybisectriz a la vez, del lado desigual.

PROPIEDADES IMPORTANTES

1. Propiedad del “PANTALONCITO”

Demostración:

Prolongamos AD hasta E (E en BC), para obtener triángulos:

ABE: = a + b (Angulo Exterior)

DEC: x = + c (Angulo Exterior)

x = a + b + c

2. Propiedad de la “ESTRELLITA”

Demostración:

En ACEI: (Propiedad del Pantaloncito)

= a + c + e

BID: (Suma de Ángulos Internos)

b + + d = 180º

b + (a + c + e) + d = 180º

a + b + c + d + e = 180º

3. Propiedad de la “Mariposa” oPropiedad de la “Corbatita”

b

ca x

b

ca x

B

CA

DE

c

a

b d

e

B

HA C

Por eso cuando se tiene un triángulo isósceles se recomienda trazar su altura.

Tu profe Markito

c

a

b d

e

C

A

B D

E

I

Demostración:

AMO: = a + b (Angulo Exterior)

ROC: = + (Angulo Exterior)

a + b = +

4. Ángulo formado por dos BisectricesInteriores

Demostración: ACI: + x + = 180º

+ = 180º - x… (I)

ABC: 2 + + 2 = 180º2 ( + ) = 180º - … (II)

I en II: 2 (180º - x) = 180º -

5. Ángulo formado por dos BisectricesExteriores

Demostración:

BEC: + x + = 180º + = 180º - x… (I)

ABC: 2 + ( ) + 2 = 360º2 ( + ) =360º- ( )2 ( + ) = … (II)

I en II: 2 (180º - x) =

6. Ángulo formado por una BisectrizInterior y otra Exteriores

Demostración: ACE: = + x (Angulo Externo)

- = x… (I)

ABC: 2 = 2 + 2 ( - ) = … (II)

I en II: 2 (x) =

7. Ángulo formado la Bisectriz y laAltura que parten del mismovértice

a

b

C

I

B

A

x

A C

EB x

A

B E

C

x

a

b

A

M

R

C

O

A C

EBx

180º A

A H D C

B

x

Demostración:

Como es bisectriz:

AHB: + = 90º… (I)

BHC: + 2x + = 90º … (II)

(I)- (II): - - 2x = 0

8. Propiedad:

9. Propiedad:

10. Propiedad del “Pescadito”

11. En todo Cuadrilátero se cumple:

12. Propiedad:

PROPIEDADESS GENERALES

1. TEOREMA DE LA BASE MEDIAEn todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercero y mide su mitad.

Si: AM = MB y CN = NB

y

2. MEDIANA RELATIVA A LAHIPOTENUSA:

En todo triángulo rectángulo, la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es na mitad de ésta.

A H D C

B

x

x

es base media

B

M N

A C

x

2x

A

B

CM

a

b

x

a bx

mn

yx

Si: es MEDIANA

3. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ“Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista los extremos de dicha mediatriz ”

4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ“Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo”

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

1. Triángulo Rectángulo de 45º-45º( 45º-45º)

En todo triángulo rectángulo de 45º - 45º, el cateto que se opone a un ángulo de 45º mide la mitad de la hipotenusa multiplicada por .

2. Triángulo Rectángulo de 30º-60º( 30º-60º )

En todo triángulo rectángulo de 30º-60º, se cumple que:

- El cateto que se opone a un ángulo de 30º mide la mitad de la hipotenusa.

- El cateto que se opone a un ángulo de 60º mide la mitad de la hipotenusa multiplicada por .


Sólo en los triángulos rectángulos de 37º-53º, SUS LADOS ESTAN EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA.


En todo triángulo rectángulo de 15º - 75º, se tiene:

45º

k45º

k

k

45º

45º kk

2

k

2

60

30º

2kk

k

4k37

535k

3k

B

O A

P

Si:

AP PB

A B

PL1

PA PB

OA OB

75

15

4k

( 6 2)k

(6

2)k

75

15

k

(6

2)k

(23)

k

6. Triángulos Rectángulos de y

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

En la figura hallar el valor de AC, si AB = 20m.

A) m B) m

C) m D) m

E) m

Solución:

Trazamos , para obtener(45º-45º) y (30º-60º)

Luego:

AHB (30º-60º):

Si AB = 20 BH = 10 (Opuesto a 30º)y AH = 10 (Opuesto a 60º)

AHC (45º-45º):

Si AH = 10 AC = AH (Hipotenusa) AC = (10 )

EJEMPLO 2

Hallar el valor del segmento , en el gráfico que se muestra a continuación, si BC = m.

A) B) C) 2

D) E) 2

Solución:

Prolongamos , así el ángulo externo en B seria 45º (Notable)

2kk 5

k

53º

2

3kk 10

k

37º

2

CLAVE: C

Si viene un problema con ángulos de 15º o 75º, frecuentemente se usa la suma o resta de 30º y 45º

60º

75º

A C

B

30º

45º

60º

A C

B

H

45º

20

30ºA C

B

15º

30ºA C

B

15º

45º

45º 60º

H

2

Trazamos , para obtener(45º-45º) y (30º-60º)

Luego:

BHC (45º-45º):

Si BC = CH = 1 (Opuesto a 45º)

AHC (30º-60º):

Como CH = 1 AC = 2CH (Opuesto a 60º) AC = 2 (1)

TEOREMA DE THALES

Tres o más rectas paralelas, determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Si dos triángulos son semejantes, entonces tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos respectivamente proporcionales.

K : Constante o razón de semejanza

NOTA: Lados Homólogos son aquelloslados que se oponen a ánguloscongruentes.

OBSERVACIONES

1. Si ABC A'B'C'

2.

CLAVE: C

A

B

C

D

E

F

B

A C D

E

F

A

B

C

R

rh

A'

B'

C'

R'r'h'

A

E

B

F

C

3.

PROYECCIÓN ORTOGONAL

P' : Proyección Ortogonal de P sobre LA'B': Proyección Ortogonal de AB sobre L

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

AH:Proyección ortogonal de AB sobrela hipotenusa

HC:Proyección ortogonal de BC sobrela hipotenusa

1. Teorema del Cuadrado del Cateto:

2. Teorema de Pitágoras:

3. Teorema del Cuadrado de la Altura:

4. Teorema del producto de Catetos:

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO

Averiguaremos si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, con las siguientes relaciones:

Siendo: a > b y a > c

Se tiene que:

1. Si: a2 < b2 + c2 < 90º

Luego ABC es Acutángulo

2. Si: a2 = b2 + c2 = 90º

Luego ABC es Rectángulo

3. Si: a2 > b2 + c2 > 90º

Luego ABC es Obtusángulo

EJEMPLOS

a

A

m

n bC

E F

B

P B

A

M

N'P' B'A' M'

N

L

A

B

C H

a c

b

m n

A

B

C

c

b

a

EJEMPLO 1

Los lados de un triángulo miden 15, 18 y 20 metros. ¿Qué tipo de triángulo es?

A) Isósceles B) ObtusánguloC) Acutángulo D) RectánguloE) Equilátero

Solución:

Aplicamos las relaciones de la Naturaleza de un triángulo y se tendría:

202 < 182 + 152 < 90º

EJEMPLO 2

Las bases de un trapecio miden 4m y 12m, y los lados no paralelos 4m y 5m. Hallar el perímetro del triángulo mayor que se forma al prolongar los lados no paralelos.

(UNSAAC 2001 – II)

A) 21,5m B) 29,5mC) 27,5m D) 25,5mE) 23.5m

Solución:

Notamos que: ARK MROPor los que usamos proporciones:

Finalmente:

EJEMPLO 3

Oswaldo hace un recorrido de la siguiente manera: 50 pasos al SUR, 100 pasos al NORTE, 70 pasos al ESTE, luego 80 pasos al SUR. ¿A cuantos pasos del punto de partida se encuentra?

(UNSAAC 2001 – II)

A) B)

C) D)

E)

Solución:

Realizamos el gráfico de acuerdo a los datos del problema y se tiene:

A

B

C

15

18

20

CLAVE: C

R

x+4 y+5

M

4

12 O

K

y

54

A

x

CLAVE: D

Finalmente en el triángulo sombreado aplicamos el Teorema de Pitágoras:

EJEMPLO 4

Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí, como 2 es a 3. ¿En que relación están las longitudes de sus proyecciones sobre la hipotenusa?

(UNSAAC 2002 – I PRIMERAOPCION)

A) B) C)

D) E)

Solución:

Usamos los teoremas de Relaciones Métricas en triángulos rectángulos.(Teorema del Cuadrado del Cateto)

… (I)

… (II)

Dividimos (I) y (II)

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1

En la siguiente figura, calcular el valor de “x”, si el segmento AC es bisectriz del ángulo “A” y a- b = 20º

A) 140º B) 150º C) 90ºD) 100º E) 110º

N

S

DO

70

70

50

10050 80

30

2

1

3

4

N

CLAVE: B

h

HA Cm n

3k2k

B

b

CLAVE: A

a b

40º

x

A

BC

D

O

Solución:

ADO: a + b = 40º… (I) ( externo)

Dato: a – b = 20º… (II)

(I) + (II) a = 30º

Finalmente:

BOA: x + a + 40º = 180º

x + 30º + 40º = 180º

x = 110º

PROBLEMA 2

Sabiendo que el segmento AB mide 40cm. Hallar la medida del segmento PQ.

A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

Solución:

ABC: (30º-60º)

Si AB = 40 AC = 20

PCA: (45º-45º)

Como AC = 20 PC = 20

QCA: (53º-37º)

Cómo AC = 4K=20 K = 5

Luego QC = 3K QC = 15

PQ = 5

PROBLEMA 3

En la figura, si la medida de AE es igual a la medida de BE, hallar la medida del ángulo “x”.

A) 20º B) 10º C) 30ºD) 25º E) 15º

Solución:

aa

40º 40ºx O

A

B C

Db

CLAVE: E

40

30º

45º

53º

37º20 = 4kA C

B

Q

P

3k=15

520

CLAVE: A

30º

A

B D

C

E x

25º

A C

B D x

30º 25º

25º

E

3 os os tri0º

45º

53º

A

B

P

Q

C

Si: AE = BE BAE = ABE = 25ºABE: = 25º+25º (Externo)

= 50º DEC: = x + 30º (Externo)

50 = x +30º x = 20º

Podemos usar la propiedad de la “Mariposa”

25º + 25º = x + 30ºx = 20º

PROBLEMA 4

En el interior del triángulo equilátero ABC, se sitúa un punto “A” de tal manera que el ángulo AQC mide 90º y el ángulo QAC mide 55º. Hallar la medida del ángulo BCQ.

A) 35º B) 15º C) 25ºD) 45º E) 60º

Solución:

AQC: QAC = 55º (Dato) ACQ = 35º

ABC:ACB = 60º 35º + x = 60º

x = 25º

PROBLEMA 5

En la figura AB = BC. Determinar el valor del ángulo ADC.(UNSAAC CBU 99 I)

A) 75º B) 105º C) 80ºD) 45º E) 35º

Solución:

ABC Isósceles BH es bisectriz. ABH =HBC= 40º

CLAVE: A

60º

55º 35ºx

Q

A C

B

CLAVE: C

A

B

D

C

40º

A C

B Dx

30º25º

25º

40º 40º

x x x

50º

HA

D

B

C

E

También Si: AB = BC2 = 50º = 50º

ABE: + 80º + x = 180º x = 75º

PROBLEMA 6

En la figura adjunta determinar el valor de “a+b” (UNSAAC CBU 99 I)

A) B) C)

36 D) E)

Solución:

BCD: (30° - 60°)

BC = DC

b = ( )b = 3

ABC: (45° - 45°) AC = BC

AC = 3

a =

PROBLEMA 7

Determinar el valor del ángulo x, en la figura:(UNSAAC CBU 99 II)

A) 80º B) 75º C) 85ºD) 70º E) 60º

Solución:

CAR:4 + 30º = 90° = 15°

AMO: + x = 90° x = 75°

PROBLEMA 8

Hallar el valor del ángulo “x” en la siguiente figura, si BM=MC y AB=BC.(UNSAAC CBU INT 2000)

CLAVE: A

CLAVE: A

CLAVE: B

A C

B

D

b

a

45º 60º

3

2

x

30º

2

x

30ºM

C

ORA

3a

b = 3

45º 60º

45º30º

A D

B

C3

A

x

B

M C50º

A) 20º B) 40º C) 25ºD) 45º E) 30º

Solución:

ABC: Isósceles

BAC = BCA = 50º

BMC: Isósceles

MBC = MCB = 50º

Luego en ABC

50 + (x + 50) + 50 = 180º

x = 30º

PROBLEMA 9

En la siguiente figura determinar el valor de “x”.(UNSAAC CBU INT 2000)

37º

53º

x

2 2

A) B) C)

D) E)

Solución:

ABC: (37° - 53°)

Luego:

PROBLEMA 10

La suma de las medidas de los ángulos “marcados” en la figura adjunta, es:(UNSAAC CBU 2000 I)

CLAVE: E53º

37º

x = 4k

A B

C

k322

CLAVE: C

A C

B

50º x

50º H

50º

A) 120º B) 150º C) 360ºD) 270º E) 180º

Solución:

Propiedad del “Pantaloncito”

En ABCF: = a + b + c

Luego: FED: + d + e = 180º a + b +c + d +e = 180º

PROBLEMA 11

Calcular la longitud de en el triángulo ABC, de la figura:(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 10 B) 14 C) 16D) 12 E) 8

Solución:

Trazamos para aprovechar el ángulo de 60º.

BHC (30º -60º)

HC = 3 BH =

Luego en BHA. (Teor. Pitagoras)

x = 14

PROBLEMA 12

Determinar la medida de , en la figura:(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 27 B) 30 C) 25D) 20 E) 28

Solución:

PAM: (30° - 60°)

Si AP = 6 AM = 3

QMN: (45° - 45°)

CLAVE: E

CLAVE: B

B b

A

C

c

e

E

d D

F

a

A

B

C

x 6

30º

H 13 3 16

60º

3 3

A

P

6

Q R

B N M 60º 45º

53º 25 4

x

37º

2

A

P

6

Q R

B N M 60º 45º

53º 25 4 2

A

B

C

6

1660º

Si QM = MN = 4

RNB: (37° - 53°)

Si RN = 25

RN = 5k = 25

k = 5

NB = 3k NB = 15

Luego: AB = AM + MN + NB

x = 27

PROBLEMA 13

En la figura adjunta: AB = BC. Hallar la medida del ángulo X.(UNSAAC CBU 2000 II)

A) 30º B) 20º C) 25ºD) 15º E) 35º

Solución:

ABC Isósceles CAB = ACB = x

CAB: x + x = 50º ( externo)

x = 25

PROBLEMA 14

En la figura adjunta, calcular el valor de X.(UNSAAC CBU 2000 II)

A

B

C

15

12 X 37º

A) 5 B) 10 C) 12D) 6 E) 8

Solución:

ABC: (37° - 53°)

CB = 15

3k = 15 k = 5

Luego: AB = 4k

AB = 20

Finalmente: x = AB – 12

x = 20 - 12

x = 8

PROBLEMA 15

En la figura adjunta. Determinar el valor de 2X. (UNSAAC CBU 2000 II)

CLAVE: A

CLAVE: C

A B

C

37º

4k = 2012 x

15 = 3k

CLAVE: E

A

C

B D40ºX 50º

A

C

B D40ºX

A) 120º B) 130º C) 180ºD) 100º E) 140º

Solución:

MAZ: = x + x ( Externo) = 2x

RUK: = x + x ( Externo) = 2x

LIT: = x + x ( Externo) = 2x

Luego en LUZ tenemos sus 3 ángulos externos

6x = 360º x = 60º

2x = 120º

PROBLEMA 16

Las bases de un trapecio miden 4 metros y 12 metros y los lados no paralelos 4 metros y 5 metros. Hallar

el perímetro del triángulo mayor en metros, que se forma al prologarse los lados no paralelos.(UNSAAC CBU 2000 II)A) 20.5 B) 26.5 C) 25.5D) 24.5 E) 18.5

Solución:

ARK MRQ (son semejantes, por lo tanto usamos proporcionales)

Finalmente el perímetro del triángulo MRO (2p) sería:

2p = (4 + x) + ( y + 5) + 12

2p = 25.5

PROBLEMA 17

En la figura: Hallar AE

CLAVE: A

CLAVE: C

x

x

x x

x

x

A R

K

x

x

U Z

x x

M

I T

x

x

L

12 M O

5

K

y x

R

4 A

4

Nada puede conseguir el hombre si no es a través del sacrificio.

A

B

D

E C 53º 60º

15 8

A) 9 + 4 B) 16 C) 21

D) 12 + 4 E) 13

Solución:

De la figura: AE = AC + CE

Entonces calculamos AC y CE

BAC: (37° - 53°)Si BC = 15

BC = 5k k = 3Pero: AC = 3k AC = 9

DCE: (30° - 60°)

Si DE = 8DE = 2a a = 4

Pero: CE = a CE = 4

Finalmente:

AE = AC + CEAE = 9 + 4

AE = 13

PROBLEMA 18

Determinar la suma de los ángulos marcados en la siguiente figura:

A) 160º B) 240º C) 120ºD) 180º E) 360º

Solución:

En este problema nos están pidiendo:

“ + + + “

Para empezar a resolver este problema, prolongamos AD hasta E (E en BC), con la finalidad de formar los triángulos ABE y DEC.

Luego:

ABE: = + ( externo)

DEC: + + = 180º

( + ) + + = 180º

+ + + = 180º

OTRA FORMA:

A

B

D

EC53º 60º

158

37º

30º

CLAVE: E

A

B

D C

E

CLAVE: D

Propiedad del “Pantaloncito”

En ABCD:

180º - = + +

+ + + = 180º

PROBLEMA 19

Hallar el valor de “x” en la siguiente figura:

A) 6 B) 9 C) 6

D) 6 E) 9

Solución:

BEC: (30° - 60°)

Si BC = 6 (Hipotenusa)

CE = 3 (Opuesto a 30º)

ABC: (30° - 60°)

Si BC = 6 (Opuesto a 30º)

AC = 12 (Hipotenusa)

Luego: AE = AC - CE

AE = 12 - 3

AE = 9

Finalmente:

DEA (45° - 45°)

Si AE = 9

AE =

x =

PROBLEMA 20

En la figura, ABCD es un rectángulo, hallar “x”(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 18 B) 24 C) 32D) 30 E) 20

A

B

D

C180º-

CLAVE: D

30º45º

x

6

A

B C

D

E

x

6

3

9

30º 60º

30º45º

45º

CLAVE: E

C

A

B

D

E

x

8

37º

45º

Solución:

ABF: (45° - 45°) AB = BF = 8

ECF: (45° - 45°) EC = CF = 3k

ECB: (37° - 53°)Si: EC = 3k BC = 4k 8 + 3k = 4k

k = 8

Luego: x = 3k + 8

x = 32

PROBLEMA 21

Determinar la suma de los ángulos resaltados.(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 180º B) 720º C) 540ºD) 240º E) 360º

Solución:

Nos piden: “a + b + c + d + e + f + g + h”

Entonces tomamos los triángulos:

MTZ: a + f + = 180º LIA: b + e + = 180º RES: c + h + = 180º KUO: d + g + = 180º

Sumando las 4 ecuaciones se tiene:

a + b + c + d + e + f + g + h + (+++) = 720º

Pero en LUZE: + + + = 360º

Finalmente:

a + b + c + d + e + f + g + h + (360º) = 720º

a + b + c + d + e + f + g + h = 360º

PROBLEMA 22

En la longitud adjunta, determinar la longitud “x”.(UNSAAC CBU 2001 II)

A

B

D

E

x

8

37º

45º

45º

45º

45º CF

3k

3k8

8

CLAVE: C

M

A

R K

I

T

S

U

O

Z

E

La

b

c de

fgh

CLAVE: E

30º45º

x

8

A) 12 B) 14 C) 10

D) 8 E) 9Solución:

BEC: (30° - 60°)Si BC = 8 (Hipotenusa) CE = 4 (Opuesto a 30º)

ABC: (30° - 60°)Si BC = 8 (Opuesto a 30º) AC = 16 (Hipotenusa)

Luego: AE = AC - CEAE = 16 - 4AE = 12

Finalmente:

DEA (45° - 45°)

Si AE = 12

PROBLEMA 23

En la figura L1 // L2, calcular “”, sabiendo que el triángulo ABC es equilátero.(UNSAAC CBU INT 2002)

A) 80º B) 120º C) 160ºD) 100º E) 140º

Solución:

Como el ABC es equilátero:A = B = C = 60º

BUM: + 60º = 100º ( externo) = 40º

Luego: Propiedad del “Serruchito”

+ (180º-) = 60º = 160º

PROBLEMA 24

En la siguiente figura. Hallar la medida del ángulo :(UNSAAC CBU 2002 I)

A

B C

D

E

x

8

4

12

30º 60º

30º45º

45º

CLAVE: E

A

B

C

100º

L1

L2

UM

P

60º

60º

180º-

A

L1

L2

U

P

60º

180º-

CLAVE: C

A B

D

C

2x A

B

C

100º

L1

L2

A) 60º B) 80º C) 90ºD) 20º E) 100º

Solución:

Si AD = DB ADB IsóscelesLuego: DAB = DBA= 2x

ADB: CDB = 2x + 2x ( externo)

CDB = 4x

Si CD = CB DCB IsóscelesLuego: CDB = CBD = 4x

DCB: 4x + 4x + x = 180ºx = 20º

Finalmente:

ACB: CBE = 2x + x ( externo) = 3x = 3 (20º)

= 60º

PROBLEMA 25

Calcular el valor del ángulo “x”, si AB = AC; BD = BC(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 40º B) 36º C) 30º

D) 25º E) 50ºSolución:

Como BD = BC DBC IsóscelesLuego: BAC = BCD = 50º

Tambien AB = AC BAC IsóscelesLuego: ABC = ACB = 50º

Finalmente:DBC: 50 + (x + 50) + 50 = 180

x = 30

PROBLEMA 26

Calcular la medida del lado del siguiente polígono ABCDEA.(UNSAAC CBU 2002 I)

A) B) C) 6D) 8 E) 10

A B

D

C

2x 4x4x

x

2x

E

CLAVE: A

x

50ºD CA

H

x

50ºD A

B

50º

50º

C

CLAVE: C

A CE

B

D

45º

37º

3630º

Solución:

DEC (30º-60º):

Si DE = (Opuesto a 60º) EC = 6 (Opuesto a 30º)

CEB (37º-53º):

Si EC = 6 (Opuesto a 37º) BE = 8 (Opuesto a 53º)

AEB (45º - 45º)

AE = BE AE = 8

PROBLEMA 27

En la figura, ABC es un triángulo isósceles (AB = AC). Determinar x si AD = AE.(UNSAAC CBU 2002 II)

A) 15º B) 20º C) 10ºD) 30º E) 45º

Solución:

Si ABC isósceles AB = AC

Luego: m ABC = ACB = .

Si AD = AE ADE isósceles

Luego: ADE = AED = .

Seguidamente:

DEC: ADE = + x ( externo)

= + x … (I)

BAD: ADC = + 30º ( externo)

+ x = + 30º… (II)

Finalmente:

(I) en (II): + 30º = ( + x) + x

x = 15º

PROBLEMA 28

En un triángulo isósceles EFG, de base , se toman los puntos M y

N sobre y respectivamente, de modo que: FM = MN = EN. Si el ángulo del triángulo dado mide 80º, hallar el ángulo .(UNSAAC CBU 2002 II)

A) 20º B) 30º C) 10ºD) 80º E) 60º

E

D

45º

37º45º

53º

60º

30º

6

8

A

B

36

x 8C

CLAVE: D

A

B D

E

Cx

30º

A

B D

E

Cx

30º

CLAVE: E

Solución:

Como FG es la base EF = EG

Luego: EGF = EFG = 80º

EFG: EGF + EFG + FEG = 180º

80º + 80º + FEG = 180º

FEG = 20º

Nos dan: MN=NE MEN es Isósceles

Luego: MEN = NME = 20º

Como: MN = MF MNF es Isósceles

Luego: MNF = MFN = x

Finalmente:

NME = x + x (externo)

20º = 2x

x = 10º

PROBLEMA 29

En la figura AC = 2, determinar 2x.(UNSAAC CBU 2002 II)

A) B) C)

D) E)

Solución:

Trazamos CH AB para aprovechar los ángulos de 30º y 45º

CHA (30º-60º):

Si CA = 2 (Hipotenusa) CH = 1 (Opuesto a 30º) y HA = (Opuesto a 60º)

CHB (45º-45º):

Si CH = 1 (Opuesto a 45º) HB = 1 (Opuesto a 45º)

BDA (30º-60º)

Si BD = x (Opuesto a 30º) AB = 2x (Hipotenusa)

Pero: AB = 1 +

2x = + 1

20º

G80º80º

x

x

20º

N

M

E

F

CLAVE: C

x

45º

D AC30º

B

x

45º

D C30º

B

15º H

60º

2

1 2x

13

A

CLAVE: E

El ÉXITO es la envoltura del sacrificio.

PERÍMETROSCAPÍTULO

2

PERÍMETRO

Es la suma de las medidas de los lados de una figura geométrica.Se representa con “2p”

Cuando vemos “p” en alguna fórmula, esto significa semiperímetro, y es la mitad del perímetro.

Perímetro del ABC: 2p(ABC)

PERÍMETROS DE POLÍGONOS REGULARES

El perímetro de un Polígono Regular es igual al número de lados multiplicado por la longitud de un lado.

Donde:n: número de ladosl: longitud de un lado

CIRCUNFERENCIA:

Es la curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

* La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro, se denomina RADIO.

CÍRCULO:

Es la región plana determinada por la unión de la circunferencia y su interior.

Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

Donde:O: Centro (del círculo o la circunferencia)r : Radio (del círculo o la circunferencia)

P: Punto de la circunferenciaO: Punto interior de la circunferencia O no pertenece a la circunferencia pero si al círculo.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)

C

B

A

c

b

a

2p(ABC) = a + b + c

Semiperímetro del ABC (p)

a + b +cp =

2

rO

P CÍRCULO

CIRCUNFERENICIA

Por lo tanto:- La circunferencia tiene longitud, más no área.- El círculo tiene área y su perímetro es la longitud de su circunferencia.

Es el límite hacia el cual se aproximan los perímetros (P) de los polígonos regulares inscritos cuando su número de lados aumenta indefinidamente.

EL NÚMERO “ ”

El número “pi”, también llamado “Número LEUDOLFINO” (en honor a Ludolf Van Ceulen, Matemático Alemán u Holandés que determino su valor hasta con 354 lugares decimales); es el valor constante de la razón de la longitud de una circunferencia (Lc) a su diámetro.

Pero D = 2r

EL VALOR DE “ ”

El número “pi” es el más importante de la ciencia matemática, y es inconmensurable, así también como su cuadrado, su cubo, etc.

Su valor aproximado es: 3.14159265359

Su Cuadrado es: 9.869604401089

Su Cubo es: 31.0062766803

Su Inverso es: 0.318309886184

Su Raíz Cuadrada es: 1.772453850906

Su Logaritmo en Base 10 es: 0.497149872

El número “pi” siempre a sido un número interesante para los matemáticos, así tenemos:

Los Babilonios ( = 3 )Arquímedes ( 2 decimales )Francois Viette ( 7 decimales )Métius ( 8 decimales )Adrien Romanus ( 16 decimales )L. V. Ceulen ( 35 decimales )SHARPS ( 73 decimales )Lagny ( 127 decimales )Vega ( 140 decimales )Dhase ( 200 decimales )Rutherford ( 440 decimales )Shangks ( 530 decimales )

Y otros han aportado valores racionales aproximados de “pi”; tales como:

Arquímedes:

Adriano Mecio:

Papiro de Ahmés:

Los Hindúes:

Cuando se realizan trabajos de mucha precisión se usa , que viene a ser un trabajo aproximado por exceso con un error menor que 0.0001.

LONGITUD DE UN ARCO

BA

Lc = 2r

BA

D =2r

B

A

O

r

rAB

L

Realizamos una Regla de Tres Simple:

Pero:

Como D = 2r

PROPIEDADES

1. LONGITUD DE EN FUNCIÓN AL DIÁMETRO DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA

2. LONGITUD DE UNA LÍNEACURVA FORMADA PORSEMICIRCUNFERENCIAS

La suma de las longitudes de las semicircunferencias con sus diámetros sobre AB, equivale a la longitud de una semicircunferencia de diámetro AB.

Demostración:

Sabemos por la propiedad anterior que:

Luego, también se tendía:

La propiedad anterior, también la podemos aplicar si la figura se presenta de esta forma:

ABAB

L2

AB

DL

360º

BA

r

ABL 2 r

360º

BA

ABAB

L2

AB

ABL

2

BA M N

3. SEMICIRCUNFERENCIASCUYOS DIÁMETROS ESTÁNFORMADAS SOBRE UNSEGMENTO

La suma de las longitudes de las semicircunferencias con sus diámetros sobre un segmento AB, es igual a la medida de AB, multiplicada por y dividida por 2.

Nota: Las curvas formadas sobre son todas semicircunferencias.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

1RA. PROPIEDAD

Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales.

2DA. PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias son iguales.

3RA. PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias son iguales.

TEOREMAS IMPOTANTES

1. TEOREMA DE PONCELET

De ahora en adelante:

A

B

O

P

R

R

AB

CD

M

P

Q

N

BA

ABAB

L2

BA

ABAB

L2

ABL Significa longitud de las curvas (semicircunferencias) en , y es igual a:

ABAB

L2

“En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el diámetro de la circunferencia inscrita”

Se anuncia también así “En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita”

2. TEOREMA DE PITOT

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Hallar el perímetro de la figura sombreada, si los arcos formados

sobre este segmento son todos semicircunferencias; y el segmento

mide 20.

A) 10 B) 20 C) 5D) 10(+2) E) 20(+1)

Solución:

Sabemos que:

Luego:

EJEMPLO 2

Hallar el perímetro de la figura sombreada, si los arcos mostrados son semicircunferencias; y el segmento

mide 20.

A C

B

r

R

C

A

B

D

OM

Debes tener cuidado, cuando te pregunten: “de la figura sombreada”, por que en este ejemplo vemos que la figura sombreada esta formada por semicircunferencias y también por segmentos.

OM A R C

SOMBR. MO MA AR RC COPerím. L L L L L

MOMO

L2

CLAVE: D

A) 10 B) 20 C) 5D) 10(+2) E) 20(+1)

Solución:

EJEMPLO 3

El triángulo ABC es un triángulo equilátero, los arcos son semicircunferencias. Hallar el perímetro de la región sombreada, si el perímetro del triángulo es 12.

A) 3 B) 4 C) 6D) 8 E) 4(+3)

Solución:

Dato: PERIM. ABC = 12 AB + BC + AC = 12

Luego: AB = BC = AC = 4

EJERCICIOS

PROBLEMA 1

El lado del rombo mide 13 m y la diagonal menor mide 10m. Hallar el perímetro de la región sombreada.(UNSAAC CBU 99 I)

BA

BA M N

SOMBR. AB ABPerím. L L

CLAVE: B

A

B

C

A

B

C

SOMBR. AB BC ACPerím. L L L

CLAVE: C

En este caso, la figura sombreada esta limitada solamente por semicircunferencias.

A) 19 + m B) 11 + m

C) 18 + m D) 25 + mE) 20 + m

Solución:

BHA: (Teorema de Pitágoras)

BHA: (Teorema de Pitágoras)

Finalmente:

PROBLEMA 2

En el cuadrado ABCD de 10 cm. de lado, se ha trazado semicircunferencias en cada lado. Calcular el perímetro de la región sombreada.

A) 20 cm. B) 20( + 4) cm.B) 20 ( + 1) cm. D) 10 ( + 4) cm.E) 20 ( + 2) cm.

Solución:

Donde:P s = Perímetro Sombreado

Dato: Lado del Cuadrado = 10 cm.

Luego: AB = BC = CD = AD = 10 cm.

Primero calculamos la suma se las longitudes de los segmentos que limitan a

la región sombreada .

xx

2

55A

P

6

6

13

D

B

C H

13

13 13

CLAVE: A

A

D C

B

10

A B

C D

5

5

5

5

Seguidamente calculamos la suma se las longitudes de las curvas que limitan a la

región sombreada , para lo

cual usamos la propiedad.

Luego:

Finalmente:

NOTITA: Para no operar tanto debemos darnos cuenta que:

Si AB = BC = CD = AD

PROBLEMA 3

En la figura AEB es una semicircunferencia, ¿cuál es el perímetro de la figura cerrada ADCBEA?(UNSAAC CBU INT 2000)

A) 16 + B) 8 + C) 14 + D) 12 + E) 13 +

Solución:

PROBLEMA 4

Calcular el perímetro de la región sombreada que tiene forma de la letra “L”, sabiendo que consta de dos rectángulos iguales contiguos, cada uno de largo “A” metros y ancho “B” metros.(UNSAAC CBU INT 2000)

ABAB

L2

CLAVE: D

AB BC CD ADL L L L

A

E

B C

D

2

6

1

B

D C

6

6

2E

A

CLAVE: C

CURVAS AB BC CD ADL L L L L

A) 2(2A + B) B) 2A + 2BC) 4A + B D) 4A – 2B

E)

Solución:

Para calcular el perímetro, sumamos todos los lados de la región sombreada. Empezando del lado indicado en un solo sentido (en este caso en sentido horario)

NOTA: También podemos sumar todos los segmentos horizontales y luego todos los verticales, y al final ambos resultados parciales para obtener el total.

PROBLEMA 5

En la figura se tiene seis triángulos rectángulos isósceles. La razón del perímetro de la región sombreada al

perímetro de la región no sombreada; es:(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 4 B) 2 C) 3

D) E)

Solución:

De la figura:

Luego:

Finalmente:

PROBLEMA 6

A

AA

B

B

BB

A-B

INIC

IO

CLAVE: A

1

1

1

1

1

2

2P1

P2

P3

P4

P5

P6

CLAVE: B

En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. El perímetro de la región sombreada en cm es:(UNSAAC CBU 2000 I)

A) B) C) D) E)

Solución:

De la figura:

SOMBREADO EXTERIOR INTERIORP P P

Luego:

Hallamos

Hallamos

Finalmente:

PROBLEMA 7

En la figura adjunta. Determinar el perímetro de la región sombreada.(UNSAAC CBU 2000 II)

A) B)

C) D)

E)

Solución:

De la figura:

A

B C

D

A

B C

D

4

P

M R

N

O2

2

2

2

CLAVE: A

O22

O22

A B

P

45º 45º

2 2

Hallamos AP y PB en APB (45º-45º)

Si: AP = PB = 2

Hallamos

(Propiedad)

Finalmente:

PROBLEMA 8

Hallar la suma de los perímetros de los 4 triángulos equiláteros, sabiendo que mide 12 cm.

A) 18 cm. B) 36 cm.C) 26 cm. D) 40 cm.E) 72 cm.

Solución:

De la figura:

ERÍMETROP 3a 3b 3c 3d

Pero nos dan: AB = 12

a + b + c + d = 12

Finalmente:

PROBLEMA 9

En la figura adjunta, determinar en centímetros el perímetro de la región sombreada, si todos los círculos tienen un radio igual a 2 centímetros:

A) 16 B) 18 C) 4 D) 8 E) 24

Solución:

De la figura el perímetro de la región sombreada es igual a la suma las longitudes de los arcos exteriores:

CLAVE: E

A B

A Ba

a a

b

b b

c

c c

d

d d

CLAVE: B

L

M

O

Z

E

Y U

V

A R K I T S

y los arcos interiores:

Pero nos podemos dar cuenta que al

sumar los arcos se obtiene

la circunferencia MLRY, de manera similar en los otros arcos al sumarlos se obtiene una circunferencia, luego podemos hallar el perímetro de la región sombreada de la siguiente forma:

Las cuatro circunferencias tienen

radios iguales por los tanto tienen la misma longitud de circunferencia.

Finalmente:

PROBLEMA 10

Hallar el perímetro del triángulo rectángulo ABC.(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 28 B) 20 C) 34D) 24 E) 30

Solución:

ABC (Teorema de Pitágoras)

x = 2

Luego, el perímetro sería:

OTRA FORMA (MÁS RÁPIDA):

Observemos que este es un triángulo Notable (3-4-5), entonces:

CLAVE: A

A

B C2x + 4

5x3x

A

BC

2x + 4

5x3x

Luego: 4x = 2x + 4

x = 2

Finalmente el perímetro:

PROBLEMA 11

Hallar el perímetro de la región sombreada.(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 9 B) 10 C) 12D) 18 E) 6

Solución:

De la figura:

PROBLEMA 12

En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es r = 2a.(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 32 a B) 12 a C) 16 aD) 8 a E) 20 a

Solución:

Resolvimos un problema muy similar anteriormente, por lo que podemos afirmar que:

= 5 L

A

BC

3x5x

2x 44x

CLAVE: D

6m

6m

B

A

C

6m

6m

B

A

C

O

CLAVE: A

rr r r r

= 5 [2 (2a)]

= 20 a

PROBLEMA 13

Calcular el perímetro de la región sombreada en la siguiente figura, si AO = OB y los arcos son porciones de circunferencias.(UNSAAC CBU 2002 II)

A) 15 B) 10 C) 6D) 16 E) 12

Solución:

De la figura podemos ver que :

PROBLEMA 14

Determinar el perímetro de la región sombreada, de la figura.(UNSAAC CBU 2002 II)

A) 16a ( + 2) B) 4a ( + 2)C) 8a ( + 2) D) 8a ( - 2)E) 8a (2 - )

Solución:

De la figura, se deduce que:

= 4 + 4L (r = a)

= 4(4a) + 4[2 (a)]

= 8 a ( + 2)

CLAVE: E

A

8

B

O

A

8

B

O

8

SOMBR AO OBABPerím L L L

CLAVE: E

a

= 4a

a

CLAVE: C

ÁreasCAPÍTULO

3

ÁREA:

El área de una superficie limitada cualquiera es su extensión, indicada por un número positivo único acompañada de la unidad adecuada (cm2, m2, u2, etc.).

DEBEMOS RECORDAR QUE:

I. Las Figuras Equivalentes tienen igual área, sin importar la forma.

II. Las Figuras Semejantes tienen igual forma, y sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus elementos homólogos.

Por ejemplo:

Caso de 2 Triángulos Semejantes:

Caso de 2 Círculos:

PRINCIPALES FÓRMULAS DE FIGURAS CONOCIDAS

A. REGIONES TRIÁNGULARES

1. FÓRMULA GENERAL:

- Triángulo Acutángulo

- Triángulo Rectángulo

- Triángulo Obtuso

A2A1

A

B

C

S1

M

N

L

S2

D1

S1 r1

D2

S2 r2

bA CH

B

h

A

C

B

h

b

b

a

h

49INFORMES E INSCRIPCIONES

Av. de la Cultura 1020 Of. 203. 2do. Nivel. 244856

2. TRIÁNGULO EQUILÁTERO:

3. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA:

4. FÓRMULA DE HERÓN:

5. EN FUNCIÓN DE SU INRADIO:

6. EN FUNCIÓN AL CIRCUNRADIO

7. TRIÁNGULO RECTÁNGULOCIRCUNSCRITO

8. EN FUNCIÓN A LOS EX-RADIOS E INRADIO

B. ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

1. CUADRADO:

C A Hb

B

h

CA

B

H

L L

L

h

Ra

CA

B

Rb

Rc

r

B

CA b

c a

A

B

C

c

b

B

CA b

c aR

A b

B

C

c ar

b

A

B

Cr

m n

2. RECTÁNGULO:

3. PARALELOGRAMO:

4. ROMBO:

5. TRAPECIO:

6. TRAPEZOIDE:

7. CUADRILÁTERO INSCRITO:

8. CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO

C. REGIONES POLIGONALES

1. POLÍGONO CIRCUNSCRITO:

2. POLÍGONO REGULAR

D. REGIONES CIRCULARES

1. Círculo:

L

L D

b

a D

D

d

b

B

h

a

b

c

d

r

r

ap

dD

R

b

a

h

2. Sector Circular:

3. Segmento Circular:

4. Zona o Faja Circular:

5. Corona Circular:

6. Trapecio Circular:

ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES DE ÁREAS

A) Propiedad de la Mediana.

B) 1RA Propiedad de los Puntos Medios

Al Sector Circular, también se le conoce como Triángulo Circular o Triángulo Mixtilíneo y su área se calcula así:

B

A

O

RrO

El área de un Trapecio Circular, también se puede calcular con la fórmula para un trapecio y sería así:

RrO

L1 L2

R-r

B

D

A

C

R

r

B

A

O

B

A

O LR

R

TAS

2

S S

C) 2DA Propiedad de los Puntos Medios

D) Se cumple que:

E) Se cumple que:

F) Se cumple que:

G) Se cumple que:

H) Se cumple que:

I) Se cumple que:

J) Propiedad del Triángulo Rectángulo:

Si los lados de un triángulo rectángulo son líneas homologas de figuras semejantes construidas sobre ellos, entonces la suma de las áreas de regiones construidas sobre los catetos es igual al área de la región apoyada en la hipotenusa. Por consiguiente:

K) Lúnulas de Hipócrates:

1S

2S

T 1 2A S S 1 2 3S S S

BA

C2S

1S

S

S

SS

S SS

S

S

1S2S

3S

SS S

SSS

TAS

6

TAS

4

1 2S S

TAS

2

TAS

2

TAS

4

TAS

2

S

1S 2S

S

FÓRMULAS GEOMÉTRICAS IMPORTANTES

1. TEOREMA DE PONCELET

“En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el diámetro de la circunferencia inscrita”

2. TEOREMA DE MENELAO“Toda secante a un triángulo, determina con dos lados del triángulo, cuatro segmentos parciales, y con la prolongación del tercero otros dos segmentos parciales. de tal forma que el producto de tres de ellos no consecutivos es igual al producto de los otros tres tampoco consecutivos”

PROBLEMAS

PROBLEMA 1

ABCD es un cuadrado, M y N son puntos medios. ¿Qué parte de la figura falta sombrear?

A) 3/8 B) 4/8 C) 7/8D) 5/8 E) 6/8

Solución:

Usamos la propiedad de la mediana vista en la teoría, por ejemplo:

En CNA mediana

De manera similar para las otras regiones

Finalmente:

PROBLEMA 2

Hallar el área de la región sombreada, sí ABCD es un cuadrado de 12cm de lado y ABE es un triángulo equilátero.

ABC 1 2S S S CB M

O

A N D

A D

B C M

N

3S

S

S

S

O

2S

CLAVE: D

A C

B

rc a

b

A

B

C D

EF

RECTA SECANTE O TRANSVERSAL

A) 36 cm2 B) 72 cm2 C) 86 cm2 D) 70 cm2 E) 75 cm2

Solución:

También podemos usar la propiedad:

Donde: E Punto Interior.

PROBLEMA 3

¿Qué fracción representa la región sombreada de la siguiente figura?

A) 3/8 B) 1/6 C) 1/2 D) 5/8 E) 2/5

Solución:

Sabemos que en este tipo de problemas, es conveniente poner un valor al área de la región más pequeña, que en nuestro caso es la mitad de un cuadrado, que puede ser un rectángulo o un triángulo.

Así ponemos “A” a la mitad del área de la región que encierra en cuadrado.

Luego:

PROBLEMA 4

Encontrar la fracción que representa la región sombreada en el siguiente cuadrado:(UNSAAC CBU 99 I)

B C

A D

A D

B C 12

E

12

6

6

CLAVE: BCLAVE: C

A A

2AA

A A

2A

A

A

A

A) 1/8 B) 5/16 C) 1/4 D) 3/16 E) 1/2

Solución:

Observamos que podemos dividir la figura en triángulos congruentes.Luego contamos el número de triángulos sombreados y el total de triángulos que existen, para obtener la siguiente relación:

PROBLEMA 5

En el triángulo equilátero mostrado en la figura; AC = 6m, DC = 4m, AE = 4m. Calcular el área del triángulo AED.(UNSAAC CBU 99 I)

A) 4 m2 B) 2 m2

C) 4 m2 D) 2 m2

E) m2

Solución:

Deducimos que BEA es equilátero AE = 2

Usamos la fórmula trigonométrica para hallar el área de la región triangular DEA.

Luego:

DEA4 x 2 3

S2 2

#

PROBLEMA 6

En la figura mostrada; si el área de la región sombreada es 200 cm2. Hallar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que BOC y COD son semicírculos.(UNSAAC CBU 99 I)

CLAVE: B

A

E

B

D

C

A C

B

2

2 2

60°

60°

60°

4 4

60°

6

120° E D

CLAVE: B


Solución:

En este tipo de problemas sabemos que debemos trasladar regiones para obtener una región de área conocida; así obtenemos:

PROBLEMA 7

En la figura mostrada: 12 y 16 unidades son las medidas de las bases del trapecio isósceles inscrito en la circunferencia de 10 unidades de radio. ¿Cuál es el área del trapecio?(UNSAAC CBU 99 I)

A) 172 u2 B) 196 u2 C) 164 u2 D) 156 u2 E) 144 u2

Solución:

Para calcular el área sombreada, necesitamos hallar la altura.

Trazamos los radios y , para formar triángulos rectángulos, entonces:

En ONA (37º-53º): b = 6

En BOM (37º-53º): a = 8

MN = a + b

MN = 14 (Altura del Trapecio)

Luego:

PROBLEMA 8

En la figura mostrada, hallar el área de la región sombreada, sabiendo que el sector circular ABC, es la cuarta parte de un círculo de radio AB = 4cm.(UNSAAC CBU 99 I)

A

B C

D

O

A

B C

D

CLAVE: A

B C

A D

O

N

M

10

10

8 8

6 6

a

b

CLAVE: B


Solución:

Como BAC es un cuadrante (la cuarta parte de una circunferencia)

AC = AB = 4

BAC (45º-45º): BC =

Luego el radio del círculo sería

Finalmente:

PROBLEMA 9

Hallar el área del sector circular de 4m de radio y 8m de arco.(UNSAAC CBU 99 I)

A) 4 m2 B) 64 m2 C) 16 m2

D) 32 m2 E) 12 m2

Solución:

Para calcular rápidamente el área de esta región, usamos la fórmula para el Triangulo Circular.

PROBLEMA 10

En la figura mostrada, cada “cuadradito” tiene un área de 4 cm2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?(UNSAAC CBU 99 I)


Solución:

C

A B

O

A B

C

4

4

O22

22

C

S BAA A A

CLAVE: D

8

4A

CLAVE: C

Dato a = 2

Luego:

Que en este problema vino así:

PROBLEMA 11

La figura ABCD es un trapecio y BCD un cuarto del círculo de radio igual a 6cm. Hallar el área de la región sombreada si AD = 12 cm.(UNSAAC CBU 99 I)

A) 6 (9 - ) cm2 B) 9 (6 +) cm2 C) 48 - 9 cm2 D) 9 (6 - ) cm2 E) 32 + 9 cm2

Solución:

Nos dan el radio del cuadrante CD = CB = 6cm

Por lo tanto la base menor del trapecio mide 6 cm. Luego:

PROBLEMA 12

A

B

C Q

H

a=2

a=2

D

46

CLAVE: E

b

hA

b

h

A

A

B C

D

A D

B C

6

6

12

SA A A

CLAVE: C

b hA

2

b hA

2

Recuerda que el área de un triángulo obtusángulo se calcula así:

Calcular el perímetro de la región sombreada, sabiendo que el área del cuadrado ABCD es 64 cm2

A) 4 cm. B) 3

cm.

C) 3 cm. D) 2

cm.

E) 2 cm.

Solución:

Dato:

Ahora: Si L = 8 BH = HC = 4

Luego usamos el (45º-45º)

Finalmente

PROBLEMA 13

En el cuadrado ABCD, de 20 cm. de lado, los puntos M, N, P, Q, E, F, G y H son puntos medios, respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrado EFGH?


Solución:

Usamos la siguiente propiedad:

Luego:

A

D C

B

A

D C

B

O

L=8

4

4

4 2

44 2 4 2

CLAVE: A

A M B

N

CQD

P

H G

FE

A Q D

N

MPA

B

C

OTRA FORMA:

Dividimos el cuadrado en triángulos congruentes:

Observamos que existen 16 triángulos en el cuadrado ABCD, entonces:

Finalmente:

PROBLEMA 14

Calcular el área del triángulo ABC

A) 350 m2 B) 400 m2 C) 450 m2 D) 250 m2 E) 300 m2

Solución:

Como AB = BC ABC isósceles

Luego AH = HC = 15.

BHA: (37º-53º)

Si AH = 3k= 15 (Opuesto a 37º)

k = 5

Luego: BH = 4k (Opuesto a 53º)

BH = 4(5) BH = 20

Finalmente:

PROBLEMA 15

Hallar el área de la región sombreada, si el triángulo ABC es equilátero de lado 12m y E, F, G son puntos medios de los lados

, respectivamente.

CLAVE: C

A B

N

CQD

P

H G

FE

M

CLAVE: C

53ºA C30 m

B

53ºA

B

C15

37º

H

CLAVE: E

A) 12(3 -) m2 B) 3(12 -) m2

C) 3( -12) m2 D) 12( -) m2

E) 3(4 -) m2

Solución:

De la figura:

Hallamos A1:

Ahora hallamos A2.

Luego:

PROBLEMA 16

Calcular el área de la región sombreada, si cada cuadrito tiene 2cm. de lado.


Solución:

Dividimos la región total, en 5 regiones de áreas conocidas (4 triángulos rectángulos y un rectángulo); luego tendríamos:

Entonces, calculamos:

Finalmente:

A

B

C

E F

G

CLAVE: B

A1

A2

A4

A3

A5

2A

B

C

E F

6

6 6

6

33 3 3

A1 A1

A2

PROBLEMA 17

Si la longitud de la circunferencia es 24. ¿Cuánto mide el área del círculo?(UNSAAC CBU 99 II)

A) 122 B) 12 C) 144 D) 24 E) 14

Solución:

Dato:

Luego:

PROBLEMA 18

¿Qué fracción del área del cuadrado, representa la parte no sombreada de la figura?(UNSAAC CBU 99 II)

A) 9/16 B) 1/2 C) 7/16D) 4/5 E) 3/16

Solución:

En este problema, observamos que el cuadrado mayor queda dividido en 4 cuadrados, si cada uno de ellos tiene un área de “4A”, entonces se tiene el siguiente esquema:

Luego tendríamos:

PROBLEMA 19

En la figura, ¿qué fracción del área del cuadrado MNPQ representa la región sombreada?

CLAVE: D

r

2A 12

A 144 CLAVE: C

CLAVE: A

A

2A

A

A

A

A A

A

A

2A

2A

2A

A) B) C)

D) E)

Solución:

Luego de trasladar regiones, para obtener, una región de área conocida, tenemos:

Luego:

PROBLEMA 20

Un círculo tiene igual perímetro que un cuadrado cuya diagonal mide cm. El área del círculo es:

A) cm2. B) cm2

C) cm2. D) cm2

E) 16 cm2.

Solución:

Dato: BD = BD =

BAC: (45º- 45º)

Como BD = AB = AD = 2

Luego, por condición del problema:

Entonces:

Finalmente:

PROBLEMA 21

En la figura adjunta, el área del trapecio ABCD es 40 cm2. Entonces el área del rectángulo ABEF es:


N

M Q

P

N P

M

Q

CLAVE: E

2

2

A

B C

D

r2 2

2A r 24

A

216A cm

CLAVE: C

A B

EFD C9k

3k

Solución:

Luego:

PROBLEMA 22

Determinar el área sombreada de la figura; Si AB = 16 cm.


Solución:

Trasladamos regiones así tenemos:

Luego:

PROBLEMA 23

Hallar el área de la siguiente figura:(UNSAAC CBU 2000 I)


Solución:

Trazamos para obtener el

BAC: (37º- 53º) HD = 3K = 6

A B

D C

F

E

h

9k3k

3k

CLAVE: E

A B

A B

28As

2

AAs

2

CLAVE: B

53º18 cm

12 cm

12

18

h =

8 37º

53º

4k =8

3k = 6A

B C

D 12 H

K = 2

y CH = 4kCH = 8

Pero: CH = AD = 8 (Altura del Trapecio)

Luego:

PROBLEMA 24

En la figura, calcular el área en metros cuadrados de toda la región sombreada, ABC es una semicircunferencia.(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 3 B) 2 C)7D) 5 E) 1

Solución:

PROBLEMA 25

La relación entre el área sombreada y el área del trapecio isósceles es:(UNSAAC CBU 2000 I)

A) B) C)

D) E)

Solución:

Primero hallamos:

Finalmente se tiene:

PROBLEMA 26

Hallar el área del cuadrilátero ABCD, si el área del triángulo AMP es 30 m2.(UNSAAC CBU 2000 II)

ABCD18 12

A 82

2ABCDA 120cm

CLAVE: D

O2m

A

B

C

CLAVE: E

3a

a

a

3aaa

h

CLAVE: D

O2m

A

B

C1 1

1

A) 120 m2 B) 64 m2 C) 106 m2 D) 96 m2 E) 92 m2

Solución:

De la figura:

Finalmente:

PROBLEMA 27

Calcular el área del triángulo isósceles en m2, si su altura es 12 m y el perímetro del triángulo es 36 m(UNSAAC CBU 2000 II)

A) 36 B) 60 C) 90D) 80 E) 120

Solución:

Dato:

… (I)

Teorema de Pitágoras en AHB:

… (II)

Remplazamos (I) en (II):

Finalmente:

PROBLEMA 28

En la figura adjunta. Determinar el área del círculo sombreado en cm2.(UNSAAC CBU 2000 II)

A D

CMB

A D

CMB

2a

4b

a a

2b

P

N

b

b

CLAVE: D

CLAVE: B

No nos dicen que es un cuadrado, por eso colocamos lados diferentes.

A CH

B

a a

b b12

A) (3 + 2 ) B) (2 - 3 )

C) (3 - 2 ) D) (2 + 3 )

E) (3 - )

Solución:

Para calcular el área del círculo, bastará calcular el radio del dicho círculo.

CAD (45º - 45º)

Como: AB = 2 (Opuesto a 45º)

AC = (Hipotenusa)

Pero de la figura: AC = 1 + 2 r + 1

= 2 + 2 r

Luego:

Finalmente:

PROBLEMA 29

El área de la región sombreada en cm2, en la figura dada es:

(UNSAAC CBU 2000 II)

A) 4 (8 - ) B) 4 (4 - )C) 8 (4 + ) D) 4 (8 + )E) 2 (16 - )

Solución:

De la figura:

Pero “A” es la cuarta parte de un círculo, por lo tanto:

Finalmente:

PROBLEMA 30

Hallar el área de la región no sombreada en cm2. Si el radio del círculo mayor mide 2 cm. y el ángulo AOB mide 120º.(UNSAAC CBU 2000 II)

2 cm

2 cm

2cm

2cm

A

B C

D

1

1

rr

CLAVE: C

4 cm

4 cm

4

4

A

A A

A

AS

CLAVE: B

A) B) C)

D) E)

Solución:Trasladamos regiones y obtenemos un sector circular de 120º, como se muestra:

Luego:

PROBLEMA 31

En la figura, cada cuadradito tiene un área de 4 cm2. ¿Qué parte del área total del rectángulo ABCD es el área sombreada?(UNSAAC CBU 99 II)

A) B) C)

D) E)

Solución:

El área de cada triángulo es “A”; por la tanto el área de cada cuadradito sería “2A”.

Por lo tanto se tendría:

PROBLEMA 32

En la figura, ¿Qué fracción del área del rectángulo ABCD representa la región sombreada?(UNSAAC CBU 99 II)

O

A B

O

AB

120º r =2

CLAVE: B

A

B C

D

B C

D

2A 2A 2A

2A

2A

2A

AA

A

A A A

A

CLAVE: B

A) B) C)

D) E)

Solución:

Trazamos

Usamos la propiedad de la mediana:

ABC: es mediana

ACD: es mediana

Finalmente:

PROBLEMA 33

En la figura adjunta. ¿Qué parte del área del hexágono regular representa la región sombreada?

A) B) C)

D) E)

Solución:

El hexágono es regular por lo que lo dividimos en 6 triángulos equiláteros.

Trasladamos la región indicada y luego:

PROBLEMA 34

En la figura adjunta el área de la

región sombreada es .

Determinar el área en cm2 del triángulo formado al unir los centros de las circunferencias siendo estas iguales.

A

B C

D

A

B C

D

A

A

N

AA

M

CLAVE: E

A

CLAVE: E

A) B) C)

D) E)

Solución:

Al unir los centros A, B y C se obtiene un triángulo equilátero; para calcular el área que encierra este triángulo equilátero ABC necesitamos saber cuánto mide su lado, para lo que necesitamos calcular el radio de la circunferencia.

Dato:

Pero de la figura:

Luego:

Finalmente:

PROBLEMA 35

Hallar el área de la región sombreada:

A) 5 B) 7 C) 2D) 3 E) 9

A B

C

r r

rr

r rA A

A

60º 60º

60º

CLAVE: B

4

4

Solución:

ABQ:

PM es Base Media de AQ

y

Ahora como PM = 1

de la figura MN = 3

También de la figura: QH = 2

Finalmente:

PROBLEMA 36

En la figura adjunta. Determinar el área en cm2 del trapecio AOBC.

A) 3 B) C)

D) E)

Solución:

DCB Triángulo Notable (37º-53º)

BD = 5

En este trapecio para hallar el su área de la región que encierra, necesitamos su altura (r) y su base menor (r).

Para hallar “r” aplicamos el Teorema de Poncetet en DCB.

CD + CB = BD +2 r 3 + 4 = 5 + 2 r

r = 1

Finalmente:

P

4B C

N

DA Q

M

2

2

22

1 3

2

H

CLAVE: D

O

C

A

4

3

B

r

r

D

5

O

C

A

4cm

3cm

B

PROBLEMA 37

En la figura, “E” es el punto medio de . El área de la región sombreada,

es:(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 2( - 48) B) 20 ( - 96)D) 100 (2 -48) D) 2(200 -96)E) 2 (100 -48)

Solución:

ABC (30º-60º):

Como AC = 40 (Hipotenusa) AB = 20 (Opuesto a30º)y BC = (Opuesto a60º)

ADE (37º-53º):

AE = 20 (Hipotenusa)

5k = 20 k = 4

AD = 3k (Opuesto a30º) AD = 12BC = 4k (Opuesto a60º) y BC = 16

Luego:

Buscando la respuesta de las alternativas se tiene:

PROBLEMA 38

En la figura: y son tangentes al círculo. El área de la región sombreada, es:(UNSAAC CBU 2001 I)

CLAVE: B

30ºA

D

B

C37º

E40

A C37º

E40

30º53º

B

D

20 20

4k3k

CLAVE: E

Nada es imposible, a menos que uno esté de acuerdo en que lo es.

A) B)

C) D)

E)

Solución:

Primero trazamos para obtener triángulos rectángulos notables de 30º y 60º

OAC (30º-60º):

Si OA = 3 (Opuesto a 30º)

AC = (Opuesto a 60º)

Luego:

Buscando la forma en la que esta respuesta se presenta en las alternativas, se tiene:

PROBLEMA 39

En la figura: los vértices del triángulo equilátero de lado de longitud 12 son centros de círculos de radio 6. El área de la región sombreada, es:(UNSAAC CBU 2001 I)

A) B)

D) D)

E)

Solución:

B

C

A

3

120º

3

B

C

A

3

60º

3

60º30º30ºO

3 3

3 3

CLAVE: B

Trasladamos regiones y se obtiene un triángulo equilátero y un semicírculo:

PROBLEMA 40

El porcentaje del área sombreada, es:(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 50% B) 40% C) 55%D) 60% E) 45%

Solución:

PROBLEMA 41

Si en el gráfico P y Q son puntos medios. ¿Qué parte del círculo falta sombrear?(UNSAAC CBU 2001 I)

A) B) C)

D) E)

Solución:

A1

A C

B6 6

6 6M12

CLAVE: E

b

h

CLAVE: A

b

h

P Q

Para calcular el área de la región sombreada hemos usado esta formula:

Área del círculo menor (A1):

Área del círculo mayor (A2):

Finalmente:

PROBLEMA 42

¿Qué fracción representa la parte sombreada respecto al área total?(UNSAAC CBU 2001 II)

A) B) C)

D) E)

Solución:

Dividimos el la figura en triángulos, para obtener regiones de áreas iguales, como se muestra a continuación:

Luego:

PROBLEMA 43

Hallar el área de la región sombreada, si: AB = BC; DC = DE; BD = 30 cm.(UNSAAC CBU 2001 II)


Solución:

P Qaa2a

CLAVE: CCLAVE: C

30 cm

A

B

E

D

C

30 cm

A

B

E

D

C

b baa

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el BCD:

… (I)

Luego:

AS = A ABC + A CDE

… (II)

Remplazando (I) en (II).

PROBLEMA 44

Hallar el área de un cuadrado, si la mitad de su diagonal mide 3 cm.(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 54 cm2 B) 18 cm2

C) 36 cm2 D) 36 cm2 E) 12 cm2

Solución:

Dato:

Finalmente sabemos que:

PROBLEMA 45

Hallar el área de un rombo cuya diagonal mayor es el doble de la menor y su perímetro es igual a 80cm.(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 300 cm2 B) 300 cm2

C) 64 cm2 D) 320 cm2 E) 160 cm2

Solución:

Dato: … (I)

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en BOA:

CLAVE: E

A

CB

D

d

CLAVE: C

A C

B

D

O

L L

LL

x x

2x

2x

… (II)

Remplazando (I) en (II)

Finalmente:

PROBLEMA 46

En la figura, el área del triángulo ABH es igual a 4m2; además CD x AH = 12m2. Hallar el área del trapecio ABCD.(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 10 m2 B) 15 m2 C) 30 m2 C) 20 m2 E) 40 m2

Solución:

Dato:

También nos dan este dato:

Luego:

PROBLEMA 47

En la figura, hallar el área de la región sombreada.(UNSAAC CBU 2001 II)

A) 8 + 16 B) 16 + 4 C) 16 + 8 D) 8 + 8 E) 8 + 4

CLAVE: D

D

A B

CH

D

A B

CH a

b

h

CLAVE: A

A B

CD 8

8

88

Solución:

Dividimos la región en tres regiones conocidas (un cuadrado y dos cuartos de círculo)

De la figura:

PROBLEMA 48

Hallar el área de la figura sombreada. Si cada cuadradito tiene un área de 20cm2.(UNSAAC CBU INT 2002)


Solución:

Dato:

De la figura:

PROBLEMA 49

La figura ABCD es un cuadrado de lado igual a 2 cm. Hallar el área en cm2 de la región sombreada.(UNSAAC CBU INT 2002)

A) B)

C) D)

E)

A B

CD N

4

M

4

A2

A1

A1 4

4

O

CLAVE: C

A2

A1 A3

L

L

A

B

C E

FG

D

CLAVE:

B C

DA

O

C

Solución:

Trazamos AE = ED = 1

Luego de la figura:

PROBLEMA 50

En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, EBCF es un cuadrado de 64 m2 de área y AD = 26m. Calcular la suma de áreas de las regiones triangulares ABE y CFD. (UNSAAC CBU 2002 I)

A) 36 m2 B) 72 m2

C) 64 m2 D) 81 m2

E) 48 m2

Solución:

Dato:

L2 = 64 L = 8

Luego: AD = 26

2h + L = 26 h = 9

Pero: x = y

y:

PROBLEMA 51

En la figura mostrada: ABCD y PQRC son cuadrados, siendo “P” punto medio del lado Calcular qué parte del área de la región no sombreada es el área de la región sombreada.(UNSAAC CBU 2002 I)

B C

DA

O 2

1 1E45º

P

S PDA AOE OEDA A A A

CLAVE: B

A D

B C

E F

A D

C

E F

x y

64

h h

L L

L

26

L

B

CLAVE: B

A) 2/3 B) 5/6 C) 3/2D) 2/5 E) 5/12

Solución:

De la figura se tiene:

PROBLEMA 52

Hallar el área que encierra el cuadrado ABCD, si el radio de la semicircunferencia es R = 5m.(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 25 m2 B) 16 m2 C) 9 m2

D) 8 m2 E) 20 m2

Solución:

DOC: 52 = (2x)2 + x2 x2 = 5

Luego AABCD = (2x) 2

AABCD = 4 x 2 AABCD = 4 (5)

PROBLEMA 53

Hallar el área del círculo inscrito en el triángulo ABC, si AB, = 5 cm y BC = 12cm(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 2 cm2 B) 9 cm2 C) 4 cm2

D) 6 cm2 E) 8 cm2

Solución:

Teorema de Pitágoras:

ABC: AC2 = 122 + 52

AC = 13

Teorema de Poncelet:

A B

D C

P Q

R

A

AA

A2A

2A

2A

2A

2A

2A

2A

2A

CLAVE: D

A O D

B C

R

CLAVE: E

A B

C

A B

C

1213

5

A O D

B C

5 2x

x x

5 + 12 = 13 + 2r r = 2

Luego:

PROBLEMA 54

En el siguiente cuadriculado, cada “cuadradito” tiene un área de 9 cm2. El área de la región sombreada, es:(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 54 cm2 B) 72 cm2

C) 36 cm2 D) 24 cm2

E) 27 cm2

Solución:

Dato: 2 = 9 = 3

De la figura: As = A1 + A2

PROBLEMA 55

¿Qué parte de la región sombreada, representa la región no sombreada?(UNSAAC CBU 2002 II)

A) 1/4 B) 1/3 C) 2/3D) 3/4 E) 1/2

Solución:

Usamos la siguiente propiedad:

Luego, se tendría:

CLAVE: C

A1

=3

A2

A 9

B

C

D

9H

F

=3

CLAVE: A

A C

M N

B

A

3A

A

B

C

D

E

F

3A

3B

3C

3D

3E

3F

ABCMBN

AA

4

PROBLEMA 56

En el triángulo AEB, los segmentos interiores son medianas. Hallar el área de la región rectangular ABCD; si el área de la región triangular PBQ es 2u2.(UNSAAC CBU 2002 II)

A) 32 u2 B) 60 u2 C) 65 u2

D) 72 u2 E) 64 u2

Solución:

Usamos la propiedad de la mediana:

Luego tendríamos:

PROBLEMA 57

Calcular el área de la región cuadrangular ABCD, inscrito en el semicírculo de centro O y radio R. Si

el área del semicírculo sombreado

mide .

(UNSAAC CBU 2002 II)

A) 20 u2 B) 16 u2 C) 20 u2

D) 25 u2 E) 15 u2

Solución:

Dato: A =

Luego:

PROBLEMA 58

Determinar el área de la región de un trapecio isósceles ABCD. Si el área del círculo es 36 u2; donde es

la mitad del diámetro .(UNSAAC CBU 2002 II)

CLAVE: B

A Q B

D E C

P

A C

B

A

D

A

A Q

D E C

P168

4 22

BE

CLAVE: E

O D

B C

R

A

A O D

B C

R2r

rr

CLAVE: C

A) B)

C) D) 36 u2

E) 27 u2

Solución:

Dato:

Luego observamos que: el área pedida es igual a 3 triángulos equiláteros:

PROBLEMA 59

Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 2m.(UNSAAC CBU 2002 II)

A) /2 m2 B) m2

C) 4 m2 D) 2 m2

E) 3 m2

Solución:

De la figura se tiene que:

PROBLEMA 60

En la figura ABCD y EFGH son cuadrados cuyos lados tienen medidas iguales; E es el centro del cuadrado ABCD.¿Cuánto mide el área de la región cuadrangular ABCD, si el área de la region sombreada mide

?

A B

CD

A B

CD

Or r

r

rr S

CLAVE: B

B

A

C

D

CB

D

1/2

1/2

2

1x

A

CLAVE: C

A) B) C)

D) E)

Solución:

Trazamos las diagonales (estas se cortan en el punto E)

Luego de trasladar la región:

A ABCD = 4 As

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE TRIÁNGULOS

1. Se desea cercar los lados AB y AC de un terreno que tiene la forma de la figura siguiente:

¿Cuántas estacas se necesitan, si las estacas se colocan cada 3 metros? (UNSAAC CBU 2003 I)

a) 36 b) 29 c) 32d) 31 e) 30

2. En la siguiente figura, determinar :

(UNSAAC CBU 2003 I)

a) 360º b) 270º c) 540ºd) 180º e) 720º

3. En la siquiente figura, ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero. Hallar el valor del ángulo “x”. (UNSAAC CBU 2003 I)

a) 80º b) 105º c) 100ºd) 75º e) 115º

4. Los lados de un triangulo miden, respectivamente; 10, 9 y 8 cm. Si cada lado se disminuye en “x” cm, se convierte en un triangulo rectangulo. ¿Cuánto mide el perímetro de dicho triángulo rectángulo?

A D

B C

E

F

H

G

A D

B C

E

G

H

F

CLAVE: E

A

B

C60º

30 3m

b

ac

d

e f

A

E

D

B

x

C

a) 12cm b) 10cm c) 13cm d) 15cm e) 14cm

5. En la siguiente figura(UNSAAC CBU 2003 II)

Hallar la suma de los angulos :

a) 360º b) 270º c) 720ºd) 620º e) 540º

6. En la figura adjunta, AD = DC = 6m, si CB = CA. Calcular DB.(UNSAAC CBU 2003 II)

a) b) c)

d) e)

7. Se da un trapecio con bases de longitudes 3cm. y 6cm. y con altura de 4cm. de longitud. Hallar la distancia del punto de intersección de los lados no paralelos a la base mayor.(UNSAAC 2000 II)

a) 6cm b) 9cm c) 8cmd) 4cm e) 5cm

8. La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo forma con la hipotenusa un ángulo de 115°. El ángulo que forma dicha bisectriz con la bisectriz exterior del menor de los ángulos agudos, mide:(UNSAAC 2001 II)

a) 25° b) 30° c) 20°d) 35° e) 45°

9. En un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa y uno de los catetos

miden 12m y , respectivamente.

La longitud de la altura relativa a la hipotenusa mide (en m.):(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

a) b) c) 8

d) e)

10. En la siguiente figura, la longitud de “x”, es:(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

a) b) c)

d) e)

11. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10cm. y uno de los catetos mide 8cm. Hallar la altura del triángulo tomando como base la hipotenusa.(UNSAAC 2000 I)

a) 6cm b) 4.8cm c) 4cmd) 3.5cm e) 10cm

12. En el triángulo ABC mostrado en la figura BH = 4m, AC = 4m. Hallar la longitud del lado del cuadrado inscrito PQRS.(UNSAAC 2000 I)

a

c

e f

i

b

d

A

B

D

C x

6

45°

15°

a) 2 m b) 3m c) 1 m

d) 2m e) m

13. Una escalera se apoya a una pared de

4 metros de altura, de modo que

sus extremos superiores coinciden. Los ángulos que forman la escalera con el piso y la pared con el piso son de 30° y 90° respectivamente. Hallar la distancia del extremo inferior de la escalera a la pared.(UNSAAC 2000 I)

a) 12m b) 6m c) 9m

d) 15m e) 6 m

14. Se tiene un triángulo en donde dos de sus lados miden 3 y 4. Hallar el perímetro del triángulo. Si el tercer lado es el doble de uno de los otros dos lados.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15. Los lados de un triángulo rectángulo forman una progresión aritmética cuya razón es 3m. Hallar el perímetro del triángulo.

a) 36m b) 32m c) 28md) 24m e) 21m

16. Calcular el valor de “x” en la figura.

a) b) c)

d) e)

17. Calcular el valor de “m + n” en la figura.

a) b)

c) d)

e)

18. Calcular “x” en el gráfico

a) 40 b) 40 c) 20

d) 20 e) 10

A HP S C

B

Q R

30º x

B C

A

D

8 3

37° 60°m

n

3

10

x

19. En la figura se sabe que > 90º, y que AC es un número entero. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero que puede tener “x”.

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

20. El la figura hallar “x”

a) 30º b) 40º c) 50ºd) 60º e) 80º

21. De la figura hallar “”

a) 10° b) 15° c) 20°d) 30° e) 40°

22. Hallar “x” en la figura

a) 50° b) 60° c) 70°d) 80° e) 40°

23. Si AB = DC y DA = DB, hallar “x”.

a) 10° b) 20° c) 30°d) 45° e) 53°

24. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide 22°30´; si queremos calcular la longitud de la hipotenusa ¿entre qué número debemos de dividir a la hipotenusa?

a) 2 b) 2 c) 4

d) e) 3

25. En la figura, hallar BC

a) 12 b) 16 c) 20d) 15 e) 18

26. La hipotenusa y un cateto suman 162m. Si el otro cateto mide 80m. Hallar la hipotenusa.

a) 82m b) 68m c) 84md) 90m e) 86m

27. En el interior de un cuadrado ABCD se toma el punto P y luego se traza PH BC, tal que BH=2 y HC=8. Si mAPD=90°, hallar PH.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

28. Calcular “ ”, si los 2 cuadrados son congruentes.

A

B

C

D

8

x

10

2

80º 40º

100º20º

x

100°

40°

100°

70° x

B

D

A Cx

A D C

B

6 10

a) 30° b) 37° c) 53°d) 16° e) 15°

29. Calcular “ ” en:

a) 20° b) 35° c) 37°d) 45° e) 60°

30. En la figura siguiente la medidas de los ángulos y son 60° y 90° respectivamente, además se trazan las bisectrices de los ángulos interiores las que se intersectan en el punto D. Sea la mediana del triángulo hallar la medida de los ángulo .

a) 20° b) 30° c) 45°d) 55° e) 60°

31. Calcular el valor de “x”:

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 9

32. En la figura calcular el valor del ángulo “ ” si y son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente.

a) 95° b) 110° c) 115°d) 120° e) 125°

33. Cuatro rectas se intersecan como se muestra en la figura. Calcular el valor

de:

a) 360° b) 450° c) 540°d) 630° e) 720°

34. Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

a) 60° b) 45° c) 30°d) 65° e) 75°

30

A B

CD

C

A BM

D

3

x

A C

60

20

DB

w

z

xy

35. Si sabemos que “E” es el punto medio de . Además ABCD es un cuadrado. Hallar :

a) 12° b) 14° c) 15°d) 16° e) 20°

36. En la figura se muestra una lámina metálica de forma rectangular. Si

y Calcular la longitud que recorre el vértice A cuando la lamina haya dado una vuelta completa en el sentido indicado.

a) b)

c) d)

e)

37. Si y , hallar la

medida de

a) 1 b) 2 c) 2.5d) 4 e) 5

38. Hallar el valor del ángulo “ ” si sabemos que ABCD es un cuadrado.

a) 100° b) 105° c) 110°d) 116° e) 150°

39. Calcular el valor de “x” en:

a) b) c)

d) e)

40. En la figura ABCD es un cuadrado de lado “a”. Calcular el radio de la circunferencia.

a) b) c)

d) e)

A B

CD

EF

D

A

C

B

A CM N

B

A B

CD

ab

m n

x

B C

DA

A

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE PERÍMETROS

1. Hallar el perímetro de la figura sombreada:

a) 20a b) 28a c) 30ad) 32a e) 34a

2. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

a) 2(a + 2b + c – d) b) 2(a + 2b – c + d)c) 2a + 4b + c – 2d d) a + 2b + 2c – 2de) 5(a + 3b + 10c – d)


a) 30 b) 46 c) 40d) 36 e) 42

4. Hallar el perímetro de la región sombreada, de la figura:(UNSAAC CBU 2000 I)

a) 44 b) 36 c) 54d) 64 e) 62

5. En la figura adjunta. Determinar el perímetro de la región sombreada(UNSAAC CBU 2000 II)

a) b) c)

d) e)

6. Hallar el perímetro de la siguiente figura.(UNSAAC CBU 2002 I)

a) 2 (a – b + 2c) b) 2 (a + 2b + c)c) 2 (a + b + c) d) 2 (a + 2b + 2c)e) 2 (2a + b + c)

7. El peimetro de la region sombreada,

aaa

2a

a a3a

d

c

a

b

2

26

6

4

4

15

8

2a

aa 3

b b

c

a

b

es:(UNSAAC CBU INT. 2003)

a) 30R b) 25R c) 38Rd) 36R e) 32R

8. En la siguiente figura, hallar el perímetro de la región sombreada.(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

a) + 4 b) 2(4+3) c) 3(2+)d) 2 + 3 e) 2(4 + )

9. Un arquitecto diseña la siguiente reja para ventana. Si los arcos son semicircunferencias iguales y

asumiendo ; hallar la longitud

total de acero que se requiere.

a) 490 b) 560 c) 720 d) 680 e) 620


a) 2 (a + b – d) b) 2 (a + b + d )c) 4 (a + b – d) d) 3 (a – b – d)

e) 2 (2a + b – c)

11. Hallar el perímetro de la figura sombreada si todas las curvas son semicircunferencias.

a) 8 b) 16 c) 12d) 6(+3) e) 12(+2)

12. La figura mostrada está formada por hexágonos regulares iguales. Hallar el perímetro de toda la figura si cada hexágono tiene 48 cm. de perímetro.

a) 176cm b) 184cm c) 160cmd) 168cm e) 240cm

13. En un triángulo equilátero de lado 4; se unen los puntos medios de los lados, formando otro triángulo

6R

1

1

4

4

70

c

c

d

b

a

6 10

8

equilátero, y se repite la operación indefinidamente. Hallar el límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos.

a) 21 b) 8 c) 24d) 18 e) 12

14. Cuál es el perímetro de la figura, si ABCD es un cuadrado de 10 cm. de lado y los dos arcos son semicircunferencias.

a) 10(+2) b) 5(+2) c) 5d) 20(+2) e) 10(+4)

15. Hallar el perímetro de la región marcada si cada cuadradito tiene 1cm. de lado.

a) 26 b) 27 c) 28d) 25 e) 24

16. Se tiene un pentágono ABCDE tal que: y

. Calcular

el perímetro del pentágono ABCDE.

a) 2b b) 6b c) 8bd) 10b e) 12b

17. Del gráfico calcule el perímetro del polígono ABCDE

a) +15 b) +14 c)

d) +15 e) +15

10. Hallar el perímetro del trapecio, si la altura es igual a la base menor:

a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28

19. Calcular el perímetro de la región sombreada, si AB = 15.

a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40

20. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre el lado AD se traza una semicircunferencia interior, luego desde C se traza una tangente a la semicircunferencia la cual corta a AB en F. Hallar el perímetro del triángulo BCF si el lado del cuadrado mide 6.

a) 12 b) 14 c) 18d) 22 e) 24

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE ÁREAS

A B

D C

2m

4m

B

AA 5m

3mC

D

E

4

10

A

B

C

M

N

1. El perímetro de un cuadrado es el doble del perímetro de un triángulo equilátero, cuya área es igual a cm2. Hallar el área del cuadrado.(UNSAAC CBU 2003 II)

a) 64cm2 b) 100cm2 c) 49cm2

d) 81cm2 e) 121cm2

2. Calcular el perimetro de la región sombreada en cm, sabiendo que P, Q, R y S son puntos medios en el cuadrados ABCD cuyo lado mide 10cm .(UNSAAC CBU INT. 2003)

a) b) c)

d) e)

3. En la figura: AB = AP y CD = DP, el area del cuadrilátero ABCD es: (UNSAAC CBU 2003 II)

a) b)

c) d)

e)

4. En la siguiente figura, el diámetro del círculo de centro O, mide 8cm. Hallar el área de la región sombreada.

a) 18cm2 b) 20cm2 c) 14cm2

d) 16cm2 e) 17cm2

5. En la figura, el área de la region sombreada y no sombreada en el círculo mayor de radio R = 4 metros, son de igual medida. El área en metros cuadrados de la región sombreada, es:

a) 6 b) 4 c) 12d) 10 e) 8

6. Se quiere revestir un piso rectangular con losas circulares de igual radio, colocadas tangentes unas con otras. Si se sabe que tanto a lo largo como a lo ancho entran losas completas. ¿Cuál es el máximo porcentaje que se cubrirá del piso con las losas? (SAN MARCOS 2003)

a) 27.5% b) 20% c) 25%d) 30% e) 22.5%

7. Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles son iguales entre sí y miden 15 metros. Si la base mayor mide 33m. El área del trapecio en metros cuadrados, es:(UNSAAC 2000 I)

a) 128 b) 576 c) 72d) 144 e) 288

8. Un lote de terreno es de forma rectangular y se sabe que su perímetro es igual a 74m., mientras que el cuadrado de su diagonal es

C

R

D

P

Q

BSA

x

y

D

C

B

A P

QP

B

DA

O

C

igual a 769m2. ¿Cuál es el área del lote?(UNSAAC 2000 II)

a) 600m2 b) 150m2 c) 500m2

d) 100m2 e) 300m2

9. Si el área de la figura sombreada es 8m2. entonces el lado del cuadrado ABCD mide:(UNSAAC 2001 II)

a) b) 6 m c) 2 m

d) 4 m e)

10. En la siguiente figura se tiene dos circunferencias concéntricas donde OA = AB = 1. Si OB = BC = OC, calcular el área de la región sombreada.(UNSAAC 2002 II)

a) b)

c) d)

e)

11. La pintura de un cuadro tiene un largo de 60 cm. y un ancho de 35 cm. Calcular el área del marco rectangular en cm2, si se tiene un ancho igual a 2,5cm.

(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN))

A) 250 B) 500 C) 300D) 450 E) 325

12. Hallar el área del círculo inscrito en un hexágono regular, cuya área es de

36 m2.

(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

A) 18 m2 B) 30 m2

C) 24 m2 D) 18 m2

E) 26 m2

13. Calcular el área del círculo que está inscrito en un sector circular de 60° de ángulo central y 15cm de radio.(UNSAAC 2002 I)

A) 15cm2 B) 25cm2 C) 18cm2

D) 20cm2 E) 30cm2

14. Calcular el área de la región de un triángulo rectángulo si su hipotenusa mide 8 y uno de sus ángulos internos mide 22°30”

A) 4 B) 8 C)

D) E)

15. Si el triángulo es rectángulo, hallar el área marcada en:

A) 3(4-) B) 2(5-) C) 6(4-)D) 4(6-) E) 3(6-)

16. El lado de un hexágono regular mide 9. Determine el lado de otro hexágono regular, cuya área de su región es igual a 4/9 del área de la región del primer hexágono.

D

A B

C

C

AB

O

D

6

8

A) 5 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

17. El cubo mostrado tiene 2m. de arista. Hallar el área de la figura limitada por el triángulo sombreado.

A) 4 B) C) 3

D) 2 E) 4

18. Hallar el área de la región sombreada en la siguiente figura:

A) (- ) u2 B) 2(+ ) u2

C) 2(- ) u2 D) (+ ) u2

E) 3 u2

19. Los lados de un triángulo son tres números consecutivos, el perímetro es 60m. El área de triángulo es:

A) 152.4 m2 B) 145.8 m2

C) 120.6 m2 D) 172.3 m2

E) 170 m2

20. En la figura E, F, G y H son puntos medios del cuadrado ABCD. Entonces la razón entre el área sombreada y el área no sombreada es:

A) B) C)

D) E)

21. Si el lado de un cuadrado inscrito en un círculo C1 es L, entonces el área de la figura sombreada, en función del radio R de la circunferencia C1, es:

A) B)

C) D)

E)

22. La altura de un triángulo es los 3/4 de la base más 4m. Si la base es la solución positiva de: , el área del triángulo es:

A) 60 m2 B) 80 m2 C) 40 m2

D) 50 m2 E) 65 m2

23. Hallar la relación entre el área sombreada y el área no sombreada.

-2 2-1 10X

Y

B F C

G

DHA

E

L

R

A) B) C)

D) E)

24. Hallar el área sombreada, si consideramos que la figura ABCD es un cuadrado, además

.

A) B) C)

D) E)

25. Hallar el área sombreada de la figura:

A) B)

C) D)

E)

26. El área del cuadrado ABCD es 40m2. Hallar el área sombreada sabiendo que M, N, O, y R son puntos medios de los lados.

A) 10 B) 20 C) 32D) 36 E) 38

27. Calcular el área de la región sombreada en el cuadrado.

A) B) C)

D) E)

28. En el cubo de arista 4m., calcular el área sombreada:

A) B) C)

D) 16 E) 8

29. En el cuadrado ABCD, de lado “a” M y N son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada.

10

4

34

B

D C E

A

R

A B

CD

M

N

O

R

a

a

A B

D C

A

B C

D

EF

A) B) C)

D) E)

30. Determinar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado “a”. Además M y N son puntos medios.

A) B) C)

D) E)

31. Si las bases de un trapecio miden 4 y 6 metros y su altura es de 2m. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de las diagonales y el punto de corte de los lados no paralelos.

A) 2.4 m2 B) 2.5 m2 C) 2.6 m2

D) 2.7 m2 E) 2.8 m2

32. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado: Calcular el área sombreada si tenemos que “O” es el centroide del cuadrado.

A) B) C)

D) E)

33. Hallar el área sombreada, si , siendo ABCD un cuadrado.

A) B)

C) D)

E)

34. El área del cuadrado ABCD es igual a 20m2, siendo M y N puntos medios. Hallar el área del triángulo sombreado.

A) 3 B) 4 C) 5D) 5.5 E) 6

35. Calcular el área de la región sombreada, si MN mide 4m. y AB, AN y AM son diámetros.

A B

CD M

N

A B

D

N

M C

A B

D C

4

4

A B

CD

A B

CD

N

M

A) 4 m2. B) 8 m2. C) /2 m2

D) 6 m2. E) 3 m2.

36. Si R, hallar el área de la región sombreada.

A) B) C) D) E)

37. En la figura mostrada calcular el área sombreada si , además F y M son centros de las semicircunferencias.

A) B)

C) D)

E)

38. Hallar el área de la región sombreada si: mLUZ = 120°. y “U” es centro de las dos semicircunferencias.(AU = R)

A) B) C)

D) E)

39. En la figura mostrada, calcular el área sombreada de la región ABC. Si

y .

A) B) C)

D) E)

40. En un cuadrado ABCD de lado , se toma Q, en la diagonal BD, de modo que las áreas ABCQ y CQD sean iguales. Hallar DQ.

A) 2 B) 4 C) 6D) 3 E) 1

41. En una pirámide regular de base cuadrada de 10m de lado )cuál es el área de la sombra que proyecta una de sus caras laterales en su base a las 12 meridiano.

A) 100m2 B) 75 m2 C) 50 m2

D) 25m2 E) 12 m2

42. En la figura mostrada calcular la suma de las áreas “x” e “y”. Si el área del triángulo mixtilíneo AMBC es 40m2. y el área de la lúnula

N

M

A B

rR

A

F

M

B

C

60

U

L Z

A B

A

r B

CR

sombreada es 10m2. (“x” e “y” son semicircunferencias)

A) 10m2 B) 20m2 C) 30m2

D) 40m2 E) 50m2

43. Hallar el área del cuadrado ABCD siendo “R” el radio del semicírculo y “r” el radio del círculo.

A) B) C)

D) E)

44. Calcula el área de la región sombreada:

A) B)

C) D)

E)

45. En la figura mostrada se pide calcular el área sombreada, si los radios miden 6 m. y 2 m.

A) B)

C) D)

E)

46. El perímetro de un trapecio es 42m. y la base menor mide 3m. Hallar el área del trapecio (en m2) si sus diagonales son bisectrices de los ángulos obtusos.

A) 96 B) 84 C) 90 D) 102 E) 114

47. Calcular el área del cuadrado inscrito en un semicírculo de radio " 1m" sabiendo que uno de sus lados está sobre su diámetro

A) 4/5 B) 5/4 C) 1D) 3/2 E) 1/2

48. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 14m2.

A) 1 m2. B) 2 m2. C) 3m2

D) 4 m2. E) 5 m2.

B

CA x

My

A

D C

Br

R

A B

CD

24

24

6

21O

O

A CM N

B

P

a a a

2b

b

49. En la figura mostrada calcular el área de la región sombreada si el área de la región triangular ABC es 70m2. (Si P y Q trisecan a BC y MN trisecan a AC)

a) 1 m2. b) 4 m2.c) 9 m2.d) 16 m2. e) 25 m2.

50. En la figura ABCD es un cuadrado, si . Calcular el área de la

región sombreada aproximada.

A) 50.25 B) 52.38 C) 53.42D) 55.02 E) 56.38

Parábola de la

EducaciónIba un hombre caminando por

el desierto cuando oyó una voz que le dijo:: “Levanta algunos guijarros, mételos en tu bolsillo y mañana te sentirás a la vez triste y contento”.

Aquel hombre obedeció. Se inclinó, recogió un puñado de guijarros y se los metió en el bolsillo.

A la mañana siguiente, vio que los guijarros se habían convertido en diamantes, rubíes y esmeraldas.

Y se sintió feliz y triste.Feliz, por haber cogido

A CM N

B

P

Q

A B

CD

Razonamiento Geometrico

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