Crescimento Geometrico

Ecologia de Populações Prof. Dr. Harold Gordon Fowler

[email protected]

Mudança Geométrica de

Populações

Objetivos Crescimento em ambientes sem limitações Crescimento Aritmético dn/dt = c

Nt+1 = ct + Nt Crescimento Geométrico Nt+1 = Nt Crescimento Exponencial Nt+1 = Nte

rt

dN/dt = rN

Premissas do Modelo Crescimento em ambientes com limitações Crescimento Logístico dN/dt = rN (K - N)/K B-D taxas de nascimentos e mortes Premissas do Modelo

Populações crescem de formas diferentes:

Crescimento Aritmético (?)

Crescimento Exponencial (iteroparidade)

Crescimento Geométrico (semelparidade)

Crescimento Logístico (ambos)

“Uma população tende aumentar geometricamente se seu crescimento não tem controle

A oferta de alimento aumenta somente aritmeticamente

Porque a população aumenta mais rapidamente do que a oferta de alimento, o aumento da população causa miséria e pobreza humana”

Malthus, 1798

A Teoria de Crescimento Populacional de Malthus

Thomas Malthus publicou suas idéias sobre o efeito da população sobre a oferta de alimento em 1758. argumento está baseado em dois princípios:

A população cresce a uma taxa geométrica (1, 2, 4, 16, 32, ...).

A produção de alimentos cresce a uma taxa aritmética (1, 2, 3, 4,...).

A conseqüência desses dois princípios é que eventualmente a população excede a capacidade da agricultura para prover subsistência para os novos membros da população. A população aumentaria até alcançar um limite de crescimento. O crescimento futuro seria limitado quando: – Controles preventivos – retarda do casamento (redução da taxa

de fertilidade), aumento do custo de alimento, etc. – Controles positivos - inanição, guerras, doenças, aumentariam a

taxa de mortalidade.

As idéias de Malthus tem apoio nos governos ocidentais porque destaca o problema de muitas pessoas para se alimentar em vez da distribuição desproporcional dos recursos;


Postulados do modelo Malthusiano:

O alimento é necessário à subsistência do homem;

A paixão entre os sexos é necessária e deverá permanecer aproximadamente em seu estado permanente;

Malthus afirma que a capacidade do homem de se reproduzir é muito maior que a capacidade do planeta de produzir meios para sua subsistência.

A população cresce exponencialmente….

De população excede a capacidade de suporte…

A população sofre uma retro-alimentação negativa– controles preventivos ou positivos


Crescimento Aritmético Imagine uma espécie na qual todos os

nascimentos acontecem de uma vez (natalidade).

Todas as mortes ocorrem no intervalo antes dos nascimentos (mortalidade).

No mesmo intervalo, indivíduos podem sair da população por emigração, e entrar por imigração.

Isso é o crescimento aritmético

Algumas espécies exibem esse tipo de crescimento, como pastos e gafanhotos.

Crescimento Aritmético

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

número

s

tempo

Crescimento Populacional

Crescimento Linear

Nt = ct + N0

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

número

s

tempo


dn/dt = c Onde c é o número de indivíduos adicionados em cada unidade de tempo

A forma integrada

Premissas do crescimento linear

Número constante de indivíduos ou objetos adicionados a cada unidade de tempo

O número adicionada não é proporcional ao tamanho populacional

Dois Modelos de Crescimento Populacional Explosivo

Devido as diferencias nas historias vitais entre as espécies, existe uma necessidade para dois modelos diferentes (expressões matemáticas) de crescimento populacional:

–Crescimento exponencial: apropriado quando indivíduos jovens são adicionados continuamente a população

–Crescimento geométrico: apropriado quando indivíduos jovens são adicionados a população a um tempo particular do ano ou em outro intervalo discreto de tempo

13

Populações crescem pela multiplicação.

Uma população aumenta em proporção a seu tamanho, de forma análoga a taxa de interesse da poupança sobre o principal:

– A uma taxa anual de aumento de 10%:

uma população de 100 adiciona 10 indivíduos em 1 ano

uma população de 1000 adiciona 100 indivíduos em 1 ano

– Permite crescer sem controle, um crescimento de taxa constante que rapidamente aproximaria a infinidade

14

Crescimento Geométrica

Aumento populacional – Porcentagem fixa do tamanho populacional ao começo do período

Exemplo de crescimento exponencial é o crescimento geométrico - – Crescimento por dobrar a população

– Porcentagem fixa é 200%

Crescimento Geométrico de uma folha de papel

Número de dobras Espessura – 1 0.020 cm

– 2 0.040 cm

– 3 0.080 cm

– 4 0.160 cm

– 5 0.320 cm

– 6 0.640 cm

– 7 1.280 cm

– 8 1.540 cm

Crescimento Geométrico de uma Folha de Papel

Número de dobras Espessura

12 3.175 cm

20 0.381 m

35 4828 km

42 617988 km (chega a Lua)

50 149668992 km

(chega a Sol)

Began at 4 yrs Began at 6 yrs

Contagem de indivíduos - Densidade populacional

Reprodução de séries temporais - Censos populacionais

MODELAGEM: Determinar os PROCESSOS que influenciam a VARIAÇÃO do número de indivíduos entre dois instantes de tempo consecutivos

Gerações separadas

Semelparidade Iteroparidade sazonal

Tempo discreto

Crescimento Geométrica

Crescimento Geométrico:

Indivíduos adicionados uma vez por ano (reprodução sazonal)

Usa equações de diferencia

Pressupõe nenhuma taxa específica a idade para natalidade ou mortalidade

Nt + 1 = Nt + zNt

•Se a população aumenta por 25% entre anos, então z = 0.25.

•Se uma população aumenta ou diminua a cada ano por uma proporção constante (z)

Nt + 1 = (1 + z) Nt

Se 1 + z = λ.

Nt + 1 = λ Nt

é a taxa finita de aumento.

Crescimento Geométrico (modelo discreto)

•Se λ = 1.25, então a população aumenta 25% por ano

**** ****

Crescimento Geométrico

Crescimento geométrico Muitas vezes é útil examinar o

crescimento populacional em períodos curtos de tempo.

O crescimento exponencial analisa a taxa de crescimento durante um período comprido de tempo.

O crescimento geométrico compara unidades diferentes

de tempo.

Ao comparar uma “unidade” de tempo a “unidade” de tempo anterior resulta numa razão.

A letra grega “λ” representa essa razão.

Podemos usar essa razão para comparar duas espécies: – Veado campineiro (λ=1.05) e pardal (λ=1.02).

O crescimento geométrico compara unidades diferentes

de tempo.

Quando você compara uma “unidade” de tempo à “unidade” anterior do tempo você obtêm uma razão.

Lambda grega “λ” representa essa razão.

Pode usar essa representação para comparar duas espécies: – Saúva limão (λ=1.05) e saúva mata pasto (λ=1.02).


O crescimento geométrico discreto se caracteriza por mudanças durante um período fixo de tempo . Como exemplo, a equação

É a equação do crescimento populacional discreto porque o número num tempo dado (t) se calcula do número presente numa unidade temporal discreta anterior (t-1).

Nt= Nt-1G

Crescimento Geométrico G é a taxa anual de crescimento. G = 1+ B -D é a

taxa finita per capita de mudança, e B e D são as taxas per capita de natalidade e mortalidade, respectivamente. Essa equação é uma equação de diferenças porque o crescimento se calcula pela diferença entre as densidades populacionais em dois pontos no tempo. A equação pode ser resolvida para qualquer período de tempo sob a condição de que G é constante;

Nt= N0Gt


A equação do crescimento geométrico é:

G = N G = taxa de crescimento da população

= taxa de mudança finita da população

N = tamanho populacional


A população aumenta por um fator constante a cada geração

Decore: – G = N

Exemplo: bactéria dobrando – Aumento pelo fator de dois a cada geração

O jogo de xadrez do Rei § A curva de crescimento de forma de J

descrita pela equação G = N, é típica do crescimento geométrico

l G = a taxa de crescimento populacional

l = taxa de mudança finita da população

l N = o tamanho populacional


G = N G = taxa de mudança finita da população

= -18.1% ou - 0.181

N = 86,500

G = - 0.181

(86,500) =

70,844 peixes

Como fica o modelo nesses casos?

Se xn é a quantidade de interesse após n intervalos de tempo.

Um modelo discreto será a regra, ou conjunto

de regras, que descreve como xn muda entre os intervalos de tempo.

O modelo descreve como xn+1 depende de xn

(e tal vez de xn-1, xn-2, …).

Como fica o modelo nesses casos?

Em geral: xn+1 = f(xn, xn-1, xn-2, …) Somente examinaremos: xn+1 = f(xn)

Dado uma equação de diferenças e uma condição inicial, x0, podemos calcular os iterações x1, x2 …, dessa forma:

Iteração de Modelos Discretos

x1 = f(x0)

x2 = f(x1)

x3 = f(x2)

.

.

.

Dado a equação discreta xn+1 = f(xn) podemos fazer previsões sobre as características das iterações?

Um paradigma de modelagem

O valor futuro = Valor atual + Mudança

xn+1 = xn + G xn

Meta da modelagem é encontrar uma aproximação razoável para G xn que reproduz um conjunto de dados ou um fenômeno observado.

Exemplo: Crescimento de Leveduras

Dados de um experimento medindo o crescimento de uma cultura de leveduras:

Tempo (horas) biomassa mudança de biomassa

n xn Gpn = xn+1 - Gxn 0 9.6 8.7 1 18.3 10.7 2 29.0 18.2 3 47.2 23.9 4 71.1 48.0 5 119.1 55.5 6 174.6 82.7 7 257.3

Mudança na População é Proporcional a População

xn

Dxn

Biomass

Chan

ge

in b

iom

ass

50 100 150 200

50

100

Mudança da biomassa versus biomassa

Mudança na População é Proporcional a População

xn

Dxn

Biomassa

Mud

ança

da

bio

mas

sa

50 100 150 200

50

100

Qual é o tangente que melhor ajusta os dados?

Dxn = xn+1 - xn ~ 0.5xn

O Modelo

Do gráfico podemos estimar que

Gxn = xn+1 - xn ~ 0.5xn E obtemos xn+1 = xn + 0.5xn = 1.5xn

O modelo: xn+1 = 1.5xn

A Solução

A solução encontrada pela substituição: xn+1 = 1.5(1.5xn-1)

= 1.5[1.5(1.5xn-2)] = … = (1.5)n+1 x0

Solução: xn = (1.5)nx0

Esse modelo prevê que aumentará para sempre --- crescimento explosivo.

Exemplo: Crescimento de Leveduras Tempo (horas) Biomassa Mudança de biomassa n xn Dxn = xn+1 - Dxn

0 9.6 8.7

1 18.3 10.7

2 29.0 18.2

3 47.2 23.9

4 71.1 48.0

5 119.1 55.5

6 174.6 82.7

7 257.3 93.4

8 350.7 90.3

9 441.0 72.3

10 513.3 46.4

11 559.7 35.1

12 594.8 34.6

13 629.4 11.5

14 640.8 10.3

15 651.1 4.8

16 655.9 3.7

17 659.6 2.2

18 661.8

Biomassa de levedura aproxima um nível populacional estável

5 10 15 20

700

100

Tempo em horas

Bio

mas

sa d

e leve

dur

a

The limiting yeast biomass is approximately 665.

Refinando O Modelo

O modelo original: Gxn = 0.5xn xn+1 = 1.5xn

Observação dos dados: a mudança da biomassa

fica menor ao limitar mais os recursos, e particularmente quando xn aproxima o valor de 665.

O modelo novo: Gxn = k(665- xn) xn

xn+1 = xn + k(665- xn) xn

Testando o Modelo

Nossa hipótese é Gxn = k(665-xn) xn ou seja a mudança da biomassa é proporcional ao produto (665-xn) xn com uma proporcionalidade constante k.

Gráfico de Gxn versus (665-xn) xn para

verificar se existe uma proporcionalidade razoável

Se existe, podemos usar o gráfico para

estimar k.

Testando o Modelo

50,000 100,000 150,000

100

10

(665 - xn) xn

Our hypothesis seems reasonable, and the constant of

Proportionality is k ~ 0.00082.

Mud

ança

da

bio

mas

sa

Comparando o Modelo aos Dados

O modelo novo: xn+1 = xn + 0.00082(665-xn) xn

5 10 15 20

700 100

Experimento Modelo

Bio

mas

sa d

e leve

dur

a

Tempo em horas

N = número de indivíduos na população

N(t) = N no tempo t

N(t + 1) = N no tempo t + 1

Δ N = N(t + 1) - N(t)

Mas, os padrões e direções de mudança de populações dependem de taxas demográficas


4 maneiras que uma população pode mudar de tamanho (modelo BIDE): –nascimentos (B) –imigração (I) –mortes (D) –emigração (E)

Δ N = B + I - D - E

As populações fechadas não tem imigração ou emigração, então, – I = 0 e E = 0, e – Δ N = B – D

Aumentam o tamanho populacional

Diminuem o tamanho populacional


Modelo de diferencia do crescimento geométrico com uma quantidade finita

de tempo

∆N/ ∆t = taxa de ∆ = (bN - dN) = GN,

onde b = taxa finita de natalidade ou taxa per capita de natalidade / unidade de tempo

G = b-d, GN = taxa finita de crescimento

Dinâmica Populacional

Dinâmica Populacional

Por que importa? – A dinâmica anterior pode nos informa sobre a dinâmica

atual e futura

Nt+1 = Nt + NoB + NoI - NoD - NoE

– Simples, mas … – Modelos – Simplificações da Realidade – são representações matemáticas de como as populações

mudam no tempo (dinâmica). – São ideais – Simples suficiente para ser interpretada e suficiente

complexos para serem reais

– Capturam as propriedades gerais

– ignoram a variação aleatória – Lidando com a incerteza, com a meta de sua redução

Manejo adaptativo

Usamos modelos de crescimento populacional para descrever os padrões passados e prever padrões futuros.

O crescimento ou declínio populacional depende dos processos demográficos de Nascimentos, Imigração, Mortes e Emigração. (BIDE)

Esses processos demográficos dependem de interações ecológicas, como a competição por recursos, predação, doenças e outras, e de detalhes da estrutura populacional, como a proporção de fêmeas maduras e características da historia vital como a idade da primeira reprodução, filhotes por ninhada, e outras.

Começamos com a fissão binária simples de bacteria.

Um dos padrões mais fundamentais de populações é sua Abundancia no Tempo.

Então N0 = 1

Crescimento geométrico

Começamos com 1 bactéria no tempo t = 0: N0 = 1, e a cada unidade de tempo a bactéria sofre fissão binária e o número de bactéria dobra.

Exemplo, 1 unidade de tempo = 20 minutos; 36 horas = 108 unidades de tempo, e N108 = 12108 = suficiente para cobrir a Terra!

A taxa de crescimento geométrica por unidade de tempo é = ( Nt / Nt-1 ).

Exemplo de bactéria, = 2 por 20 minutos. = 20min Qual seria per hora? hr =

Qual seria por minuto? min =

2 N0 = N1 = 2 = 21 2 N1 = N2 = 4 = 22 2 N2 = N3 = 8 = 23 … 2 Nt-1 = Nt = N0 2

t …

2(60/20) = 23 = 8 por hora

2(1/20) = 20.05 = 1.035 por minuto

Variação do número de indivíduos de uma população entre dois instantes de tempo consecutivos

= Número de nascimentos (B)

Número de mortes (D)

- Número de

emigrantes

(E)

- Número de imigrantes (I)

+

DP = B + I - D - E População aberta

B D I E

População fechada I = 0 e E = 0

D

P = B - D

B D I E

MODELAGEM DA VARIAÇÃO DO NÚMERO DE INDIVÍDUOS DE UMA POPULAÇÃO

GERAÇÕES SEPARADAS DINÂMICA INDEPENDENTE DA DENSIDADE

1000 ovos no

início do ano t

Início do

ano t

Fração média de sobrevivência

de ovos para larva =0,92 920

larvas

Fração média de sobrevivência

de larva para pupa =0,25 230

pupas

Fecundidade média de 100

ovos por adulto

4600

ovos

Combinando-se as frações de sobrevivência:

0,92 X 0,25 X 0,2 = 0,046

fração de sobrevivência total média

Mortalidade

46

adultos

Fim do ano t

Início do ano t+1

Fração média de

sobrevivência

de pupa para

adulto =0,20

1000 ovos X 0,92=920 larvas

920 larvas X 0,25 =230 pupas

230 pupas X 0,2 = 46 adultos

1000 = 4600 x 0,046 x 100

UM MODELO DE DINÂMICA POPULACIONAL INDEPENDENTE DA DENSIDADE

tt ERE 1

Número de ovos no início do ano t+1

Sobrevivência total média de ovos para adultos vezes a fecundidade

Número de ovos no início do ano t

Dinâmicas possíveis ??

Após T períodos

Número de ovos após T períodos

0 ERE T

T

Número de ovos iniciais

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10

POPU

LAÇÃO

TEMPO

1 R

CRESCIMENTO ILIMITADO

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6

POPU

LAÇÃO

TEMPO

1 R

DECRESCIMENTO EXPONENCIAL

EXTINÇÃO

Premissas Nenhuma imigração ou emigração

– Mudaremos isso depois

Taxa constante de natalidade e mortalidade – Nenhuma especificidade de sexo, tempo,

ou espaço

A taxa de mudança é independente da abundancia

O crescimento ocorre em passos discretos

Modelo Geométrico de Populações

Ingredientes – Lambda () = taxa de mudança finita da

população (aumento ou diminuição) A mudança proporcional de abundancia durante um intervalo de tempo

=

λ > 1, aumento exponencial λ = 1, sem mudança — população estacionária λ < 1, declínio exponencial

Taxa Finita de aumento

λ= Nt + 1/Nt Razão sem dimensão, sem unidades

Nt + 1 = λ Nt

•Por exemplo, se o tamanho populacional de lobos guarás na área de estudo é 150 esse ano e o tamanho populacional é 200 no ano seguinte, então é igual a 1.33 (200/150).

•Se λ = 1.33, então a população aumenta 33% por unidade de tempo (ano)


N(t) = N(0)λt Intervalos múltiplos de

tempo.

N(t+1) = N(t) λ Demonstra o

crescimento num intervalo de tempo.

Mudança Exponencial Em cada passo muda por um fator

constante – Multiplicar pelo constante (geométrico)

Não é a mudança aritmética – mudança por uma diferencia constante (adicionar um valor constante)

Nt+1 = Nt (exemplo: 2011 a 2012) Nt+2 = Nt Nt+2 = Nt 2

Nt+2/ Nt = 2 …. = raiz quadrado de (2) ou a raiz t e não /2

Crescimento Geométrico de Populações

Equação: N(t + 1) = N(t)λ

λ = taxa geométrica de crescimento =

Isso e a mudança proporcional da população – se λ = 1.5, a população aumentará em 50%

– se λ = 0.5, a população diminuirá em 50%

)(

)1(

tN

tN

Mudança Exponencial de Gado = 1.44 ; N1 = 10

No

Ano Abundância

dN/d

tv

1/N

(dN/d

tv)

Abundância Abundância

= 1.04

Ano

Tamanh

o da P

opulaçã

o (a

dulto

s)

Representação Gráfica da Mudança Exponencial de

No = 10 e = 1.2

Tempo > Tempo >

Ln(

N)

Abun

dânc

ia (N)

Como interpretar ?

= 1.00, abundancia é constante

> 1.00, abundancia aumenta

– Taxa = ( - 1.0)*100%

< 1.00, abundancia diminua

– Taxa = ( - 1.0)*100%


N

N0

> 1 e g > 0

= 1 e g = 0

< 1 e g < 0

tempo

Como prever o tamanho populacional no futuro?

Nt + 1 = λ Nt

Por exemplo, quantos serão em dois anos?

Nt + 2 = λ Nt + 1

Nt + 2 = λλ Nt

Nt + 2 = λ2 Nt

Nt = λt N0 Onde N0 é o tamanho inicial da

população.

Exemplo: N0 = 100, λ = 1.15, t = 10 anos

N10 = (1.1510)100 = 405 indivíduos


O crescimento geométrico resulta em padrões sazonais de aumento e decremento.

A equação que descreve esse padrão de crescimento é:

N(t + 1) = N(t) onde: N(t + 1) = número de indivíduos após de uma

unidade de tempo N(t) = tamanho populacional inicial

= razão da população a qualquer tempo a uma unidade de tempo anterior, de forma que

λ = N(t + 1)/N(t)

70

Modelo de projeção do crescimento geométrico (para prever o tamanho populacional futuro) Nt+1 = Nt + GNt

= (1 + G)Nt

Se (lambda) = (1 + G), então Nt+1 = Nt

= Nt+1/Nt ∆ proporcional diferente do a ∆ finito

como anterior Taxa proporcional de ∆/tempo = taxa finita de aumento, proporcional

/unidade de tempo


Para calcular o crescimento de uma população sobre muitos intervalos de tempo, N(t), multiplicamos o tamanho original da população, N(0), pela taxa de crescimento geométrico () pelo número apropriado de intervalos de tempo t:

N(t) = N(0) t

Para uma população que cresce a uma taxa geométrica de 50% por ano ( = 1.50), uma população inicial de N(0) = 100 cresceria à N(10) = N(0) 10 = 5.767 em 10 anos.

72

Crescimento geométrico em vários intervalos do tempo:

N1 = N0

N2 = N1 = · · N0

N3 = N2 = · · · N0

Nt = t N0

As populações crescem por multiplicação em vez de adição (como taxas de juros compostos)

Se conhecemos e N0, podemos resolver para Nt.

Exemplo do crescimento geométrico

(Nt = t N0)

Se =1.12 (12% / unidades de tempo) N0 = 100

N1 = (1.12) 100 112

N2 = (1.12 x 1.12) 100 125

N3 = (1.12 x 1.12 x 1.12) 100 140

N4 = (1.12 x 1.12 x 1.12 x 1.12) 100 157

N(t)=N(0)t

t é o tempo transcorrido em gerações

prova:

N(t)=N(t-1)

N(t)= * l N(t-2)

N(t)= * * N(t-3) ….

é um parâmetro do crescimento aritmético e descreve a quantidade de

crescimento populacional por geração

N(t+1)/N(t) =

¨ se =1 a população é constante, se <1 a população decresce,

¨ se >1 a população cresce


Reprodução em pulsos e gerações sucessivas se diferem em tamanho por uma razão constante

Nt = N0λt

λ = Nt+1/Nt = taxa geométrica de aumento

λ = Ro com reprodução em pulsos

Tempo de Dobrar Em quanto tempo a população dobra?

Nt = λt N0

Se Nt/N0 = 2, o que é t?

λt = Nt/N0

λt = 2

t ln(λ) = ln(2)

t = ln(2)/ln(λ) t = ln(2)/r

(crescimento contínuo)

Observação: Akcakaya et al. usam ‘R’ em vez de λ para a taxa finita de aumento em modelos discretos.

Nt = Rt N0

Crescimento Geométrico (ambiente constante)

Se novos recrutas chegam a taxa per capita positiva por geração, ou seja,

se f(N(t))=N(t) então

N(t+1)=( + )N(t). Ou seja, N(t)= ( +)t N(0). O número reprodutivo básico demográfico é

Rd=/(1-)

Rd, uma quantidade sem dimensões, representa o número médio de descendentes produzidos por uma população pioneira pequena (N(0)) durante a vida.

Rd>1 implica que a população invade a uma taxa geométrica. Rd<1 resulta na extinção.

Dinâmica Transitória

A dinâmica transitória pode ser simulada por um processo de iteração da equação exponencial de previsão


Quando os logaritmos da densidade populacional são representado em gráficos contra o tempo, existe uma relação linear com a tendência igual a taxa per capita de mudança, R. A dinâmica transitória não é estável porque a população não retorna a densidade prévia, mas ou cresce para atingir uma densidade nova ou declina até a extinção.

Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores que as mortes), a população cresce

exponencialmente:

Se R > 0 (ou os nascimentos são maiores que as mortes), a população cresce

geometricamente:

Se R < 0 (ou natalidade menor que mortalidade), a população diminua

geometricamente aproximando o zero, ou se extingue:


Pode existir uma solução estável sob a condição não provável de que R = 0 (ou a mortalidade é exatamente igual que a natalidade), causando a população a ficar em equilíbrio (sem mudança):

Problema Uma população de

esperanças cresce a uma taxa de 23% por ano.

No começo do ano 2011, a população foi 144 indivíduos.

Qual seria a população no começo de 2021?

As gerações são discretas, ou não sobre-põem

Resposta t=10 (10 anos são 10 gerações

para uma espécie anual). N(t+1)/N(t)=

=1.23 (1.23 é 1.00 mais 23%)

N(t)=N(0)t;

N(t)=144*(1.23)10=144*7.93

N(t)=1141

Uma espécie de aranha reproduz no fim de verão e deixa somente ovos para sobreviver o inverno. Uma população local da aranha aumentou de 5000 à 6000 num um ano.

1. Essa espécie tem gerações que sobrepõem? Explique.

2. Qual seria as para essa população?

3. Prevê o tamanho populacional após 3 anos.

4. Qual é uma premissa que precisa aceitar na previsão do tamanho populacional futuro?

Problema

Os modelos discretos descrevem fenômenos ou eventos biológicos considerando tempo em intervalos fixos, ou discretos.

Quando usar modelos de tempo discreto

Quando usar modelos de tempo discreto

O tamanho de uma população de insetos no ano i; A proporção de indivíduos numa população com um

gene particular na geração i; O número de células numa cultura de bactéria no dia

i; A concentração de um gás tóxico no pulmão depois

respirar i vezes; A concentração de uma droga na sangue após a

dosagem i.

Exemplos:

Outras Características de

Não pode ser mudado por escalamento /2 NÃO

Não pode ser somado – Geométrico

As vezes representada como R – R = ( - 1)

Crescimento Geometrico

Education

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