Crescimento Geometrico

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Crescimento geométrico

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  • Ecologia de Populaes Prof. Dr. Harold Gordon Fowler

    popecologia@hotmail.com

    Mudana Geomtrica de

    Populaes

  • Objetivos Crescimento em ambientes sem limitaes Crescimento Aritmtico dn/dt = c

    Nt+1 = ct + Nt Crescimento Geomtrico Nt+1 = Nt Crescimento Exponencial Nt+1 = Nte

    rt

    dN/dt = rN

    Premissas do Modelo Crescimento em ambientes com limitaes Crescimento Logstico dN/dt = rN (K - N)/K B-D taxas de nascimentos e mortes Premissas do Modelo

  • Populaes crescem de formas diferentes:

    Crescimento Aritmtico (?)

    Crescimento Exponencial (iteroparidade)

    Crescimento Geomtrico (semelparidade)

    Crescimento Logstico (ambos)

  • Uma populao tende aumentar geometricamente se seu crescimento no tem controle

    A oferta de alimento aumenta somente aritmeticamente

    Porque a populao aumenta mais rapidamente do que a oferta de alimento, o aumento da populao causa misria e pobreza humana

    Malthus, 1798

  • A Teoria de Crescimento Populacional de Malthus

    Thomas Malthus publicou suas idias sobre o efeito da populao sobre a oferta de alimento em 1758. argumento est baseado em dois princpios:

    A populao cresce a uma taxa geomtrica (1, 2, 4, 16, 32, ...).

    A produo de alimentos cresce a uma taxa aritmtica (1, 2, 3, 4,...).

  • A conseqncia desses dois princpios que eventualmente a populao excede a capacidade da agricultura para prover subsistncia para os novos membros da populao. A populao aumentaria at alcanar um limite de crescimento. O crescimento futuro seria limitado quando: Controles preventivos retarda do casamento (reduo da taxa

    de fertilidade), aumento do custo de alimento, etc. Controles positivos - inanio, guerras, doenas, aumentariam a

    taxa de mortalidade.

    As idias de Malthus tem apoio nos governos ocidentais porque destaca o problema de muitas pessoas para se alimentar em vez da distribuio desproporcional dos recursos;

    A Teoria de Crescimento Populacional de Malthus

  • Postulados do modelo Malthusiano:

    O alimento necessrio subsistncia do homem;

    A paixo entre os sexos necessria e dever permanecer aproximadamente em seu estado permanente;

    Malthus afirma que a capacidade do homem de se reproduzir muito maior que a capacidade do planeta de produzir meios para sua subsistncia.

  • A populao cresce exponencialmente.

    De populao excede a capacidade de suporte

    A populao sofre uma retro-alimentao negativa controles preventivos ou positivos

    A Teoria de Crescimento Populacional de Malthus

  • Crescimento Aritmtico Imagine uma espcie na qual todos os

    nascimentos acontecem de uma vez (natalidade).

    Todas as mortes ocorrem no intervalo antes dos nascimentos (mortalidade).

    No mesmo intervalo, indivduos podem sair da populao por emigrao, e entrar por imigrao.

    Isso o crescimento aritmtico

    Algumas espcies exibem esse tipo de crescimento, como pastos e gafanhotos.

  • Crescimento Aritmtico

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    0 2 4 6 8 10 12

    nmero

    s

    tempo

    Crescimento Populacional

  • Crescimento Linear

    Nt = ct + N0

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    0 2 4 6 8 10 12

    nmero

    s

    tempo

    Crescimento Populacional

    dn/dt = c Onde c o nmero de indivduos adicionados em cada unidade de tempo

    A forma integrada

  • Premissas do crescimento linear

    Nmero constante de indivduos ou objetos adicionados a cada unidade de tempo

    O nmero adicionada no proporcional ao tamanho populacional

  • Dois Modelos de Crescimento Populacional Explosivo

    Devido as diferencias nas historias vitais entre as espcies, existe uma necessidade para dois modelos diferentes (expresses matemticas) de crescimento populacional:

    Crescimento exponencial: apropriado quando indivduos jovens so adicionados continuamente a populao

    Crescimento geomtrico: apropriado quando indivduos jovens so adicionados a populao a um tempo particular do ano ou em outro intervalo discreto de tempo

    13

  • Populaes crescem pela multiplicao.

    Uma populao aumenta em proporo a seu tamanho, de forma anloga a taxa de interesse da poupana sobre o principal:

    A uma taxa anual de aumento de 10%:

    uma populao de 100 adiciona 10 indivduos em 1 ano

    uma populao de 1000 adiciona 100 indivduos em 1 ano

    Permite crescer sem controle, um crescimento de taxa constante que rapidamente aproximaria a infinidade

    14

  • Crescimento Geomtrica

    Aumento populacional Porcentagem fixa do tamanho populacional ao comeo do perodo

    Exemplo de crescimento exponencial o crescimento geomtrico - Crescimento por dobrar a populao

    Porcentagem fixa 200%

  • Crescimento Geomtrico de uma folha de papel

    Nmero de dobras Espessura 1 0.020 cm

    2 0.040 cm

    3 0.080 cm

    4 0.160 cm

    5 0.320 cm

    6 0.640 cm

    7 1.280 cm

    8 1.540 cm

  • Crescimento Geomtrico de uma Folha de Papel

    Nmero de dobras Espessura

    12 3.175 cm

    20 0.381 m

    35 4828 km

    42 617988 km (chega a Lua)

    50 149668992 km

    (chega a Sol)

  • Began at 4 yrs Began at 6 yrs

  • Contagem de indivduos - Densidade populacional

    Reproduo de sries temporais - Censos populacionais

    MODELAGEM: Determinar os PROCESSOS que influenciam a VARIAO do nmero de indivduos entre dois instantes de tempo consecutivos

    Geraes separadas

    Semelparidade Iteroparidade sazonal

    Tempo discreto

    Crescimento Geomtrica

  • Crescimento Geomtrico:

    Indivduos adicionados uma vez por ano (reproduo sazonal)

    Usa equaes de diferencia

    Pressupe nenhuma taxa especfica a idade para natalidade ou mortalidade

  • Nt + 1 = Nt + zNt

    Se a populao aumenta por 25% entre anos, ento z = 0.25.

    Se uma populao aumenta ou diminua a cada ano por uma proporo constante (z)

    Nt + 1 = (1 + z) Nt

    Se 1 + z = .

    Nt + 1 = Nt

    a taxa finita de aumento.

    Crescimento Geomtrico (modelo discreto)

    Se = 1.25, ento a populao aumenta 25% por ano

    **** ****

  • Crescimento Geomtrico

    Crescimento geomtrico Muitas vezes til examinar o

    crescimento populacional em perodos curtos de tempo.

    O crescimento exponencial analisa a taxa de crescimento durante um perodo comprido de tempo.

  • O crescimento geomtrico compara unidades diferentes

    de tempo.

    Ao comparar uma unidade de tempo a unidade de tempo anterior resulta numa razo.

    A letra grega representa essa razo.

    Podemos usar essa razo para comparar duas espcies: Veado campineiro (=1.05) e pardal (=1.02).

  • O crescimento geomtrico compara unidades diferentes

    de tempo.

    Quando voc compara uma unidade de tempo unidade anterior do tempo voc obtm uma razo.

    Lambda grega representa essa razo.

    Pode usar essa representao para comparar duas espcies: Sava limo (=1.05) e sava mata pasto (=1.02).

  • Crescimento Geomtrico

    O crescimento geomtrico discreto se caracteriza por mudanas durante um perodo fixo de tempo . Como exemplo, a equao

    a equao do crescimento populacional discreto porque o nmero num tempo dado (t) se calcula do nmero presente numa unidade temporal discreta anterior (t-1).

    Nt= Nt-1G

  • Crescimento Geomtrico G a taxa anual de crescimento. G = 1+ B -D a

    taxa finita per capita de mudana, e B e D so as taxas per capita de natalidade e mortalidade, respectivamente. Essa equao uma equao de diferenas porque o crescimento se calcula pela diferena entre as densidades populacionais em dois pontos no tempo. A equao pode ser resolvida para qualquer perodo de tempo sob a condio de que G constante;

    Nt= N0Gt

  • Crescimento Geomtrico

    A equao do crescimento geomtrico :

    G = N G = taxa de crescimento da populao

    = taxa de mudana finita da populao

    N = tamanho populacional

  • Crescimento Geomtrico

    A populao aumenta por um fator constante a cada gerao

    Decore: G = N

    Exemplo: bactria dobrando Aumento pelo fator de dois a cada gerao

  • O jogo de xadrez do Rei A curva de crescimento de forma de J

    descrita pela equao G = N, tpica do crescimento geomtrico

    l G = a taxa de crescimento populacional

    l = taxa de mudana finita da populao

    l N = o tamanho populacional

  • Crescimento Geomtrico

    G = N G = taxa de mudana finita da populao

    = -18.1% ou - 0.181

    N = 86,500

    G = - 0.181

    (86,500) =

    70,844 peixes

  • Como fica o modelo nesses casos?

    Se xn a quantidade de interesse aps n intervalos de tempo.

    Um modelo discreto ser a regra, ou conjunto

    de regras, que descreve como xn muda entre os intervalos de tempo.

    O modelo descreve como xn+1 depende de xn

    (e tal vez de xn-1, xn-2, ).

  • Como fica o modelo nesses casos?

    Em geral: xn+1 = f(xn, xn-1, xn-2, ) Somente examinaremos: xn+1 = f(xn)

  • Dado uma equao de diferenas e uma condio inicial, x0, podemos calcular os i