Razonamiento Geometrico

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PAGE 360Razonamiento Matemtico Ronald Carhuancho

Geometra: Parte de la matemtica que trata de las propiedades y la medida de la extensin.

Punto: Limite mnimo de la extensin que se considera sin longitud, latitud ni profundidad.

Lnea: Esta formado por la sucesin continua de puntos con una sola dimensin que es la longitud.

Lnea recta:

Lnea curva:

Lnea quebrada:

Lnea mixta:

Lnea recta: sucesin contina de puntos que se desplaza hacia ambos extremos en forma ilimitada.

Semirecta: Parte de la recta que carece de punto de origen.

Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.

Segmento de Recta: Porcin de recta comprendido entre dos puntos que son los extremos.

Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una lnea recta cuando se desplaza paralelamente a su posicin original.

Figura Geomtrica: Es un conjunto de puntos sistemas de lneas y superficies que reciben el nombre de figuras geomtricas.

Significado de los trminos matemticos:

Axioma: Es una proposicin evidente por si misma y que no necesita demostracin:

Teorema: Proposicin que mediante un razonamiento se hace evidente y consta de dos partes; hiptesis y tesis.

Corolario: Es una consecuencia de uno o varios teoremas.

Postulado: Proposicin que sin ser evidente se admite su certeza por no ser posible demostrarla.

Lema: Es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar un teorema principal.

Escolio: Es una advertencia o anotacin que se hace para aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

Proposicin: Es el enunciado de una hiptesis suposicin y conclusin.

Hiptesis: Punto de partida de una demostracin lgica a partir del cual se propone alcanzar la solucin.

Problema: Es una proposicin que se hace con el objeto de aclararlo resolverlo.

Operaciones con Segmentos:

Suma:

*

*

*

Resta:

*

*

*

Mximo nmero de puntos de corte

* Para puntos secantes

* Para circunferencias secantes

* Para polgonos secantes

1 Sobre una recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D. Si ,. Calcular la longitud de .

a) 4m

b) 8m

c) 9m

d) 5m

e) 3m

Resolucin:

*

Entonces:

Luego:

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

2 Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, donde:

; y , Calcular la longitud de .a) 2m

b) 4m

c) 15m

d) 3m

e) 17m

Resolucin:

*

Luego:

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.3 Sobre una lnea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C, D y E, si: y adems , calcular: .

a) 10m

b) 30m

c) 50m

d) 20m

e) 40m

Resolucin:

*

, entonces:

..( I )

Del dato:

Reemplazando ( II ) en ( I )

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

4 Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E, F y G cumplindose que:

AD + BD CD + CG + DG EG = 14, edemas se cumple que: . Hallar AG.Resolucin:

( I )

.( II )

Agrupando convenientemente en ( II )

( III )

Reemplazando ( I ) en ( III )

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.5 En una recta se toman los puntos consecutivos L, I, M, O, N tal que M es el punto medio de . A que es igual:

Resolucin:

Sea:

Reemplazando

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

NGULO

Es la figura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo comn denominado vrtice.

Notacin: ; ,

Bisectriz: Rayo que divide al ngulo en dos ngulos congruentes.

Clasificacin:

Los ngulos se clasifican segn su magnitud, segn sus caractersticas y segn su posicin de sus lados.

I. Segn su Magnitud:

1: ngulo Nulo:

2: ngulo Convexo:

3. ngulo llano:

4. ngulo Cncavo:

5. ngulo de una vuelta:

II. Segn sus caractersticas

a) ngulos Complementarios

b) ngulos Suplementarios

III. Segn Posicin de sus lados

a) ngulos adyacentes suplementarios

b) ngulos Consecutivos

c) ngulos opuestos por el vrtice

ngulos de lados paralelos

a)

b)

c)

ngulos de lados perpendiculares

1) Dos ngulos agudos

2) Dos ngulos obtusos

3) ngulos: agudo y obtuso

ngulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante

ngulos internos:

ngulos externos:

ngulos alternos internos:

ngulos alternos externos:

ngulos conjugados internos:

ngulos conjugados externos:

ngulos correspondientes:

Propiedades entre rectas paralelas:

1. Si:

2. Bisectrices de un par lineal

PROBLEMAS RESUELTOS

1 Dados dos ngulos consecutivos: AOB, BOC y COD, se cumple que , Calcular la medida del ngulo formado por las bisectrices de los ngulos AOB y COD.

Resolucin:

De la grfica se observa:

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

2 Se tienen tres ngulos consecutivos AOB, BOC y COD de tal manera que las bisectrices de los ngulos AOB y COD sean perpendiculares, donde el ngulo BOD mide 80. Calcular la medida del ngulo AOC.

a) 150

b) 100

c) 90

d) 60

e) 80Resolucin:

De la grafica:

De la grafica:

Pero:

( II ) en ( I )

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

3 En la grafica si //, Calcular la medida del ngulo x.

a) 10

b) 30

c) 50

d) 20

e) 40

Resolucin:

Por las propiedades entre dos rectas paralelas.

Por propiedad:

. ( I )

Cuadriltero cncavo

. ( II )

( I ) en ( II )

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

4 En la grafica mostrada calcular el valor del ngulo x, si

a) 40

b) 50

c) 70

d) 60

e) 80

Revolucin:

* Si es el complemento de x

Entonces el triangulo sombreado es equiltero:

De donde:

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.5 En la grafica mostrada , calcular la medida el ngulo x

a) 40

b) 60

c) 80d) 50

e) 70

Resolucin:

Del grafico se tiene que:

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

TRINGULOS

Es la figura formada por tres segmentos de recta que se unen pos sus extremos 2 a 2.

Elementos:

Vrtices: A; B y C

Lados: AB; BC y AC

ngulos interiores:

ngulos exteriores:

Teoremas Fundamentales

1. En todo triangulo la suma de las medidas de sus ngulos interiores es 180

2. En todo tringulo la medida de un ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ngulos del tringulo no adyacentes a l.

3. En todo tringulo la suma de las medidas de sus ngulos exteriores es 360.

4. En todo tringulo la longitud de uno de sus lados est comprendido entre la suma y la sustraccin de las longitudes de los otros dos lados.

Si:

5. En todo tringulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ngulo y viceversa.

Si:

Clasificacin de Tringulos:

I. Por sus lados

II. Por sus ngulos

Lneas Notables en el Tringulo

Bisectriz:

Es el segmento que biseca al ngulo de referencia, se tienen bisectrices interiores y exteriores

Ceviana:

Es el segmento determinado por un vrtice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongacin.

Mediatriz:

Es la lnea recta perpendicular en el punto medio de un lado cualquiera.

Mediana:

Es el segmento determinado por un vrtice y el punto medio del lado opuesto.

Altura:

Es el segmento determinado por la partida de un vrtice y la llegada en forma perpendicular al lado opuesto o su prolongacin.

* Propiedades en el triangulo issceles.

La suma de las distancias de un punto de la base de un tringulo issceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

Consecuencia:

* Propiedades en el triangulo equiltero.

La suma de las distancias de un punto interior a un tringulo equiltero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

ngulos Formados Por Las Lneas Notables

1. ngulo formado por dos bisectrices interiores. Su medida es igual a 90 ms la mitad de la medida del tercer ngulo interior.

2. ngulo formado por dos bisectrices exteriores. Su medida es igual a 90 menos la mitad de la medida del tercer ngulo interior.

3. ngulo formado por una bisectriz interior y una exterior, su medida es igual a la mitad del tercer ngulo interior.

Propiedades Adicionales

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Tringulos Rectngulos Notables:

PROBLEMAS RESUELTOS

1 En un triangulo issceles ABC de base AC, sobre los lados AC y BC se ubican los puntos F y D tal que BF=BD, calcular la medida del ngulo CFD, sabiendo que el ngulo ABF=40.

Resolucin:

*

*

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

2 Se tiene un triangulo acutngulo ABC, donde I es el incentro y O el ortocentro y adems la medida del ngulo , calcular la medida del ngulo OBA.

a) 10

b) 22

c) 40

d) 20

e) 33

Resolucin:

En el rectngulo BHA

EMBED Equation.DSMT4 Rpta.

Congruencia de Tringulos

Primer Caso: ALA

(AnguloLadoAngulo)

Dos tringulos son congruentes si tienen congruentes un lado y los ngulos adyacentes a l.

Segundo Caso: LAL