Proyecto para matematica avanzada

7/18/2019 Proyecto para matematica avanzada

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Escuela Politécnica

Nacional

Facultad De Ingeniería Mecánica

Matemática Avanzada

Nombres:

Quinapallo Rodríguez Edison Xavier Legña Oyacato Lizbeth Mariuxy

Gruo: GR!

!" E#$A#I%N DE #A&'(La barra posee una distribuci"n inicial de te#peratura h$x%& la

constante de di'usi"n t(r#ica )& *eter#inar el co#porta#iento de la

te#peratura de la barra con respecta al tie#po+

B n=2

L∫0

Lh( x )sin(

nπ L

x)dx

u ( x , t )=∑n=1

∞

Bn sin( nπ

L x)e

−k (nπ

L )2

t

clc

clear

close all

syms n x t A0 = 0;



An = 0;

k=1;

Bn = ((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*(-1^n))/((pi^2)*n^2) );

Arm = 20;

or n=1!Arm

(n"!) = s#m (exp((-t)*pi^2*n^2)* sin(n*pi*x) *((4*sin(n*pi/2)-

n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*((-1)^n))/((pi^2)*n^2) ) ) ;en$

$isp (s#m())

x = linspace(0%1"1"&);

t = linspace(0%1"0%&"&);

or '=1!lent'(t)

x = s#m(s#s(" t" t(')));

s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")"

.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(t));

en$

'ol$ on; ri$ on; ox on

xlael(x);

title(n #ncion $e x para $istintos t)

or '=1!lent'(x)

t = s#m(s#s(" x" x(')));

s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"

.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(x));

en$


title(n #ncion $e t para $istintos x)

xlael(t);

= simple(s#m());

s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30 "0%0&"0%2"0%&);

title (6iarama (x"t) );

'ol$ on;

,onclusiones-



• .e observa /ue partiendo de una te#peratura t #0xi#a& en el

transcurso del tie#po esta te#peratura se va a estabilizar+• En la placa se llega a una te#peratura 1un pico2 #0xi#o por la

distribuci"n de la te#peratura& parte de una x inicial hasta una x

3nal $longitud de la placa%+

)" E#$A#I'N DE #A&'(

Encuentre la te#peratura u( x ,t ) de una varilla de longitud L si la

te#peratura inicial h( x ) y sus extre#os est0n aislados+

A0=2

L∫0

L

h ( x ) dx

A n=2

L∫0

L

h( x)cos(nπ L

x)dx

u ( x , t )= A0+∑n=1

∞

A n∗cos( nπ

L x)∗e

−k ( nπ

L )2

t

clc

clear

close all

syms n x t

A0 = 0;An = ((sin(n*pi/2)/(n*pi))-(2/((n^2)*pi^2))+(2*(-1^n)/(n^2*pi^2)));

7= 2;

l=1;

Bn = 0;

lon = 10;

or n=1!lon

(n"!) = (s#m (((sin(n*pi/2)/(n*pi))-(2/((n^2)*pi^2))+(2*(-1^n)/

(n^2*pi^2))) *exp(-2*t*pi^2*n^2)* cos(n*pi*x) ) ) ;

en$

$isp (s#m())

x = linspace(0%&"1%&"&);

t = linspace(0%2"0%&"&);

or '=1!lent'(t) x = s#m(s#s(" t" t(')));




.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(t));

en$


xlael(x);title(n #ncion $e x para $istintos t)

or '=1!lent'(x)

t = s#m(s#s(" x" x(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(x));

en$



xlael(t);

= simple(s#m());

s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30 "0%0&"0%2"0%&);


'ol$ on;

,onclusiones-

• .e observa /ue partiendo de una te#peratura t #0xi#a& en el

transcurso del tie#po esta te#peratura se va a estabilizar+• En la placa se llega a una te#peratura 1un pico2 #0xi#o por la

distribuci"n de la te#peratura& parte de una x inicial hasta una x

3nal $longitud de la placa%+



*" E#$A#I'N DE 'NDA4na cuerda de longitud L cuyos extre#os est0n anclados al e5e x

posee una de'or#aci"n inicial h ( x ) así co#o ta#bi(n una velocidad

inicial v ( x ) si las vibraciones /ue va a presentar la cuerda son

transversales+ *eter#inar la 'unci"n /ue describa las vibraciones con

respecto al tie#po+

A n=2

L∫0

L

h( x)sin( nπ

L x )dx

B n= 2

anπ ∫0

L

V ( x )sin ( nπ

L x)dx

u ( x , t )=∑n=1

∞

Ancos( anπ

L t )+Bn sin( anπ

L t ) sin( nπ

L x )

clc

clear

close all

syms n x t

k=1;

a=1;

A0 = 0;

An = ((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*(-1^n))/((pi^2)*n^2) );l=1;

Bn = ((-2*(-1^n))/(n*pi));



a=1;

lon = 10;

or n=1!lon

(n"!) = s#m ((((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2)+n*pi*(-1^n))/

((pi^2)*n^2) )*cos(n*pi*t)+((-2*(-1^n))/

(n*pi))*sin(n*pi*t))*sin(n*pi*x)) ;

en$$isp (s#m())

x = linspace(0%4"1"&);

t = linspace(0%1"0%&"&);

or '=1!lent'(t)

x = s#m(s#s(" t" t(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(t));

en$


xlael(x);title(n #ncion $e x para $istintos t)

or '=1!lent'(x)

t = s#m(s#s(" x" x(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(x));

en$



xlael(t);

= simple(s#m());s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30 "0%4"0%&"1);

title ($iarama);

'ol$ on;



,onclusiones-

• Mientras el tie#po va avanzado se observa /ue la cuerda se

estabiliza en el punto Xo• 6or la vibraciones existentes las ondas van a variar hasta llegar a la

longitud de la onda

+" E#$A#I'N DE 'NDA

.e sabe /ue la cuerda del e5ercicio anterior tiene una longitud π

ade#0s parte del reposo+ .e sabe ta#bi(n /ue las vibraciones

transversales tienen lugar en un #edio /ue e5erce una resistencia

proporcional a la velocidad+ Encuentre el desplaza#iento de cada uno

de los puntos de la cuerda con respecto al tie#po+

B n=2

π ∫0

π

h( x )sin (nx ) dx

qn=√ n2+ β2

u ( x , t )=e− βt ∑

n=1

∞

Bn[cos(qn t )+ β

qn

sin(qn t )]sin (nx)

clc

clear

close all



syms n x t

A0 = 0;

An = 0;

B= 1;

l=pi;

8n=(s8rt(n^2 - 1));

Bn = (((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2))/(pi*n^2))+ ((-1)^n)/n);lon = 10;

or n=2!lon

(n"!) = exp(-t)* s#m (((((4*sin(n*pi/2)-n*pi*cos(n*pi/2))/

(pi*n^2))+ ((-1)^n)/n)*(cos((s8rt(n^2 - 1))*t)+(1/(s8rt(n^2-

1)))*sin((s8rt(n^2-1))*t)) )*sin(n*x)) ;

en$

$isp ()

x = linspace(0"1%9"&);

t = linspace(0"2"&);

or '=1!lent'(t)

x = s#m(s#s(" t" t(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(t));

en$


xlael(x);


or '=1!lent'(x)

t = s#m(s#s(" x" x(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(x));

en$



xlael(t);

= simple(s#m());

s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30"0%9"0"0%9);

title ($iarama);

'ol$ on;



,onclusiones-

• Mientras el valor del tie#po siga au#entando la cuerda se

estabilizara hasta llegar al e/uilibrio+• X de5a de variar en un deter#inado t y esto lo pode#os observar en

la gra3ca

," E#$A#I'N DE E-.A/I&IDADEncuentre la distribuci"n de te#peratura de una placa rectangular

cuyos extre#os verticales est0n aislados #ientras /ue sus extre#os

superior e in'erior se #antienen a te#peraturah ( x )

y 7respectiva#ente se sabe /ue la placa se encuentra en estado

estable+



A0= 1

ab

∫0

a

h ( x )dx

A n= 2

a sinh( nπ

a b)∫0

a

h( x)cos( nπ

a x)dx

u ( x , y )= A0 y+∑n=1

∞

Ansinh( nπ

a y)cos( nπ

a x)

clcclear

close all

syms n x y

a= 1;

= 1;

A0 =x ;

An = ((2/sin(n*pi))*(sin(n*pi))/(n^2*pi^2));

Bn = 0;

lon = 10;

or n=1!lon

(n"!) = x+s#m (((2/sin(n*pi))*(sin(n*pi))/

(n^2*pi^2))*(sin'(n*pi*y))*cos(n*pi*x)) ;

en$$isp ()

x = linspace(0%:&"0%9&"&);

y = linspace(0%9"1"&);

or '=1!lent'(y)

x = s#m(s#s(" y" y(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(y));

en$


xlael(x);

title(n #ncion $e x para $istintos y)or '=1!lent'(x)

y = s#m(s#s(" x" x(')));



s#plot(2"2"2)"plot(y" s#s(y" y" y)" ,olor" ran$(1" )"

.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(x));

en$


title(n #ncion $e y para $istintos x)xlael(y);

= simple(s#m());

s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30%:& "0%9&"0%9"1);

title ($iarama);

'ol$ on;

,onclusiones-

• La distribuci"n de te#peratura au#enta hasta un #0xi#o valor x

pero se estabilizara debido a los aisla#ientos+• *ebido a /ue el tie#po va au#ento los valores de y de la distribuci"n

de calor au#entara debido al au#ento exponencial del tie#po+

0" E#$A#I'N DE E-.A/I&IDADEncontrar la distribuci"n de te#peratura de la placa indicada en la

3g+



An=200

nπ [1−(−1 )n ]

B n=200

nπ [1− (−1 )n ][ 2−cosh (nπ )

sinh (nπ ) ]

u ( x , y )=∑n=1

∞

[ A ncosh (nπy )+Bnsin (nπy ) ]sin(nπy)

clc

clear

close all

syms n x y

A0 = 0;

An = ((200/(n*pi))*(1-(-1^n)));

B= 1;

l=pi;

Bn = ((200/(n*pi))*(1-(-1^n))*(2-sin'(n*pi)/cos'(n*pi)));

lon = 10;

or n=1!lon

(n"!) = s#m ( (((200/(n*pi))*(1-(-1^n)))*cos'(n*pi*y) + ((200/

(n*pi))*(1-(-1^n))*(2-sin'(n*pi)/cos'(n*pi)))*sin'(n*pi*y))

*sin(n*pi*x)) ;

en$

$isp ()

x = linspace(0"0%1"&);

y = linspace(0%9"1"&);

or '=1!lent'(y)

x = s#m(s#s(" y" y(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(y));

en$'ol$ on; ri$ on; ox on



xlael(x);

title(n #ncion $e x para $istintos y)

or '=1!lent'(x)

y = s#m(s#s(" x" x(')));

s#plot(2"2"2)"plot(y" s#s(y" y" y)" ,olor" ran$(1" )"

.inei$t'" 2);

'ol$ on; leen$(n#m2str(x));

en$


title(n #ncion $e y para $istintos x)

xlael(y);

= simple(s#m());

s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30"0%1&"0"0%1);

title ($iarama);

'ol$ on;

,onclusiones-

• La distribuci"n de te#peratura au#enta hasta un #0xi#o valor x

pero se estabilizara debido a los aisla#ientos+

• *ebido a /ue el tie#po va au#ento los valores de y de la distribuci"nde calor au#entara debido al au#ento exponencial del tie#po+

1" (esolver el roblema de valores de la 2rontera si se conoce



k d2

u

d x2 + A e

−Bx=du

dt

u ( x , t )=V ( x , t )+ (x Ѱ )

(x)= Ѱ A

k B2 [ (e−B−1) x+1−e

−Bx ]

V ( x , t )=∑n=1

∞

B nsin (nπx ) e−k (nπ )2t

B n=2∫0

1

[ h (t )− (x) Ѱ ] sin(nπx )dx

u ( x , t )= (x)+ Ѱ ∑n=1

∞

Bn sin ( nπx) e−k (nπ )2t

clc

clear

close allsyms n x y t

A0 = 0;

An = (0);

A= 1;

B=1;

7=1;

l=pi;

Bn = ((142409&<&<:<1*sin(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi^2*n^2) -

(sin(pi*n*x)*exp(-x))/(pi^2*n^2 + 1) -

(142409&<&<:<1*x*cos(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi*n) - (pi*n*exp(-

x)*cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2 + 1));

psi=(exp(-1)*x-exp(-x)+1);

lon = &;or n=1!lon

(n"!) = (exp(-1)*x-exp(-x)+1) + s#m

(((142409&<&<:<1*sin(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi^2*n^2) -

(sin(pi*n*x)*exp(-x))/(pi^2*n^2 + 1) -

(142409&<&<:<1*x*cos(pi*n*x))/(22&1:91<9&249*pi*n) - (pi*n*exp(-

x)*cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2 + 1))*sin(n*pi*x)*exp(-((n*pi)^2)*t )) ;

en$

$isp ()

x = linspace(0"0%001"&);

t = linspace(0"4"&);

or '=1!lent'(t)

x = s#m(s#s(" t" t(')));

s#plot(2" 2" 4)"plot(x" s#s(x" x" x)" ,olor" ran$(1")".inei$t'" 2);

'ol$ on;



leen$(n#m2str(t));

en$


xlael(x);


or '=1!lent'(x)

t = s#m(s#s(" x" x('))); s#plot(2"2"2)"plot(t" s#s(t" t" t)" ,olor" ran$(1" )"

.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(x));

en$



xlael(t);

= simple(s#m());

s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30"0%001"0"4);


'ol$ on;

,onclusiones-

• 6si arreglo un proble#a de no ho#ogeneidad y obtuvi#os los #is#os

resultados /ue un proble#a de estabilidad+



3" (esolver el siguiente e4ercicio

k d2

u

d x2 =

du

dt

u ( x , t )=V ( x , t )+ (x Ѱ )

(x)=10 Ѱ 0

V ( x , t )=∑n=1

∞

B n e−k (nπ )2 t

sin (nπx )

B n=2∫0

1

[− (x) Ѱ ]sin(nπx)dx

u ( x , t )= (x)+ Ѱ ∑n=1

∞

Bn e−k ( nπ )2 t

sin (nπx )

clc

clear

close all

syms n x y t

A0 = 0;

An = (0);

7=1;

l=pi;

Bn = (200*(-cos(pi*n*x)/(pi*n)));

psi=(100);

lon = 10;

or n=1!lon

(n"!) = s#m ( 100+(200*(-cos(pi*n*x)/

(pi*n)))*(exp( t*(n*pi)^2))*sin(n*pi*x)) ;

en$

$isp ()

x = linspace(0%&"1"&);

t = linspace(0%1"1"&);

or '=1!lent'(t)

x = s#m(s#s(" t" t(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(t));

en$'ol$ on; ri$ on; ox on

xlael(x);




or '=1!lent'(x)

t = s#m(s#s(" x" x(')));


.inei$t'" 2);

'ol$ on;

leen$(n#m2str(x));en$



xlael(t);

= simple(s#m());

s#plot(2"2"31 )" e5s#r("30%1"1"0%&"1);

title ($iarama);

'ol$ on;

,onclusiones-

• *e igual #anera en cual/uier t tie#po x llegara a un estado estable

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