Bertrand Russell, Uvod u matematičku filozofijuPropozicionalne funkcije

Kada smo u prethodnom poglavlju razmatrali propozicije nismo pokušali dati definiciju riječi „propozicija“. Iako ta riječ ne može biti formalno definirana neophodno je reći nešto o njenome značenju kako bi se izbjegla vrlo česta zabuna sa „propozicinalnim funkcijama“, koje će biti tema ovoga poglavlja.Pod „propozicijom“ primarno smatramo formu riječî koje iskazuju istinitost ili lažnost. Kažem „primarno“ jer ne želim isključiti verbalne simbole ili same misli ako one imaju simboličke osobine. Ali mislim da riječ „propozicija“ treba biti ograničena na ono što se u određenom smislu može nazvati „simbolima“ u kojima ona može dati izraze o istinitosti ili lažnosti. Stoga „dva i dva su četiri“ i „dva i dva su pet“ će biti propozicije, kao i „Sokrates je ljudski“ i „Sokrates nije ljudski“. Iskaz: „Koji bi god brojevi mogli biti a i b, (a+b)²=a²+2ab+b²“ je propozicija; ali sama formula „(a+b)²=a²+2ab+b²“ po sebi to nije, jer ona ne potvrđuje ništa određeno. Ukoliko to nije nadalje rečeno ili ukoliko nas nije vodilo do pretpostavke da a i b trebaju imati sve moguće vrijednosti, ili vrijednosti koje su određene kao takve i takve. To je pretpostavljeno, kao pravilo, u iskazivanju matematičkih formula, koje tako postaju propozicije, ako nisu napravljene takve pretpostavke one bi bile „propozicionalne funkcije.“„Propozicionalna funkcija“ je zapravo izraz koji sadrži jedan ili više neodređenih konstituenata koji su takvi da kada im se prida vrijednost, izraz učine propozicionalnim. Drugim riječima, to je funkcija čije su vrijednosti propozicije. Ali ova posljednja definicija se mora upotrebljavati sa oprezom. Deskriptivna funkcija, kao na primjer „najteža propozicija u A-ovoj matematičkoj raspravi“ neće biti propozicionalna funkcija iako su njene vrijednosti propozicije. U takvom slučaju propozicije su samo opisane: u propozicionalnoj funkciji vrijednosti moraju izražavati propozicije.

Lako je dati primjere propozicionalnih funkcija:„χ je ljudsko“ je propozicionalna funkcija: ukoliko χ ostaje neodređeno, nije ni istinito ni lažno, ali kada je χ-u pridata vrijednost ono postaje istinita ili neistinita propozicija. Svaka matematska jednakost je propozicionalna funkcija ukoliko varijable nemaju određenu vrijednost, jednakost je naprosto izraz koji čeka određenje kako bi postao istinita ili neistinita propozicija. Ako jednakost sadrži jednu varijablu, ona postaje tačna kada je varijabla izjednačena sa korijenom jednakosti, inače je netačna; ali ako je riječ o jednakosti „identiteta“ ona će biti tačna kada je varijabla bilo koji broj. Jednakost zakrivljenosti ravni ili površine u prostoru je propozicionalna funkcija, čije su vrijednosti istinite samo za koordinate koje pripadaju tačkama zakrivljenosti ili prostora, a za sve ostale tačke su neistinite. Izrazi tradicionalne logike kao: „svi A su B“ su propozicionalne funkcije: A i B trebaju biti tačno određeni prije nego što za izraze kažemo da su istiniti ili neistiniti. Pojmovi „slučajeva“ ili „instanci“ ovise od propozicionalnih funkcija. Razmotrimo, na primjer, vrstu procesa na koji se misli kada se kaže „generalizacija“ i uzmimo jedan vrlo jednostavan primjer, recimo „munja prethodi gromu.“ Ovdje imamo broj „instanci“ odnosno broj propozicija kao što su: „ovo je bljesak munje i on prethodi gromu.“ Čega su ovi događaji „instance“? Oni su instance propozicionalne funkcije: „Ako je χ bljesak munje, onda χ prethodi gromu.“Proces generalizacije(čija nas valjanost srećom ne zanima) se sastoji u prelaženju od broja takvih instanci do univerzalne istine u propozicionalnoj funkciji: „Akoje χbljesak munje, χ prethodi gromu.“

Po analogiji, reći ćemo da su propozicionalne funkcije uključene kad god se govori o

slučajevima ili instancama.

Mi ne trebamo pitati, niti pokušavati odgovoriti na pitanje: „Šta jeste propozicionalna funkcija?“ Propozicionalna funkcija po sebi može biti uzeta naprosto kao shema, ljuštura za primanje značenja, ne nešto što već ima značenje. Uzeto u širem značenju, nas zanimaju propozicionalne funkcije na dva načina: prvo, uzete u pojmovima „istinito u svima slučajevima i istinito u nekim slučajevima“; i drugo, uzete u teoriji klasa i relacija. Drugu od ove dvije teme ćemo odložiti do idučeg poglavlja; sada nas zanima prva.

Kada kažemo da je nešto „uvijek istinito“ ili „istinito iu nekim slučajevima,“ jasno je da to „nešto“ u tim izrazima ne može biti propozicija. Propozicija je naprosto istinita ili neistinita, i to je sve. Ne mogu biti instance ili slučajevi izraza „Sokrates je ljudski“ ili „Napoleon je umro na sv. Heleni.“ To su propozicije i bilo bi besmisleno pričati o njima kao istinitim u „svim slučajevima.“ Ta fraza je primjenjiva jedino na propozicionalne funkcije. Uzmimo, na primjer, vrstu stvari koje često kažemo kada uzimamo u razmatranje njihov uzrok. (Ne tiče nas se istinitost ili neistinitost rečenoga, već samo njegova logička analiza.) Rečeno nam je da A u svakoj instanci prethodi B-u. Ako postoje „primjeri“ A, ono mora biti generalni koncept za koji je bitno reći „χ₁ je A,“ „χ₂ je A,“ „χ₃ je A“ i tako dalje, gdje su χ₁, χ₂, χ₃ partikularije koje nisu međusobno identične. Ovo je primjenjivo, na primjer, na naš prethodni slučaj munje. Kažemo da munja(A) prethodi gromu(B). Ali odvojeni bljeskovi su partikularije, ne identični, ali dijele zajedničko svojstvo da pripadaju munji.

Jedini način za izražavanje zajedničkog svojstva, općenito, je reći da je zajedničko svojstvo od izvjesnog broja objekata propozicionalna funkcija koja postaje istinita kada je jedan od tih objekata uzet kao vrijednost varijable. U ovom slučaju svi objekti su „instance“ istinitosti propozicionalne funkcije-iako sama propozicionalna funkcija ne može po sebi biti istinita ili neistinita, ona je istinita u jednim instancama a neistinita u drugim, osim u slačaju kada je „uvijek istinita“ ili „uvijek neistinita“.Kada, da se vratimo na naš primjer, kažemo da A u svakoj instanci prethodi B-u, pod time mislimo da, šta god χ bilo, ako pripada u A-ove, ono prethodi B-u; to jeste, mi potvrđujemo da je određena propozicionalna funkcija „uvijek Istinita.“ Rečenice koje uključuju riječi kao što su „svi,“ „svaki,“ „a,“ „the,“ „neki“ za svoje tumačenje zahtijevaju propozicionalne funkcije. Način na koji nastaju propozicionalne funkcije može biti objašnjen pomoću dvije gore navedene riječi, naime, „svi“ i „neki“.

U posljednjoj analizi, samo dvije stvari mogu biti učinjene sa propozicionalnim funkcijama: jedna je tvrđenje da je nešto istinito u svim slučajevima, a druga je tvrđenje da je nešto istinito u barem jednom slučaju ili u nekim slučajevima. Sve ostale upotrebe propozicionalnih funkcija mogu biti reducirane na ove dvije. Kada kažemo da je propozicionalna funkcija istinita „u svim slučajevima“ ili „uvijek“, pod time mislimo da su sve njene vrijednosti istinite. Ako je „φχ“ funkcija, a „a“ je vrsta objekta koja može biti argument funkciji „φχ“ onda je φa istinito bez obzira šta je a. Na primjer, „ako je a čovjek, a je smrtno“ je istinito bilo a ljudsko ili ne; zapravo, svaka propozicija te forme biti će istinita. Prema tome, propozicionalna funkcija „ako je χ ljudsko,χx je čovjek“ je „uvijek istinita“ ili je „istinita u nekim slučajevima.“ Izraz „nema jednoroga“ je jednak izrazu „propozicionalna funkcija 'χ nije jednorog' je istinita u svim slučajevima.“

Izrazi u prethodnom poglavlju, kao što su: na primjer, „'p ili q' implicira 'q ili p'“ su zapravo izrazi propozicionalnih funkcija koje su istinite u svim slučajevima. Gornje načelo ne tvrdimo kao istinito

samo za neko određeno p ili q već kao istinito za bilo koje p ili q uzimajući koji može postati važan.

Za sada ćemo preći na iduću stvar, naime, tvrdnje koje su „ponekad istinite“ to jeste istinite u barem jednom slučaju.Kada kažemo „ima ljudi“ to znači da je propozicionalna funkcija „χ je ljudsko“ ponekad istinita. Kada kažemo „neki ljudi su Grci“ to znači da je propozicionalna funkcija „χ je ljudsko i Grk“ ponekad istinita. Kada kažemo „kanibali još uvijek postoje u Africi“ pod time mislimo da je propozicionalna funkcija „χ je kanibal sada u Africi“ ponekad istinita, to jeste, istinita je za neke vrijednosti χ-a. Reći „ima barem n individua u svijetu“ je isto kao reći da je propozicionalna funkcija „α je klasa individua i član glavnih brojeva n“ ponekad istinita ili možemo reći da je istinita za određene vrijednosti α.Ovaj oblik izraza je pogodniji kada je neophodno naznačiti koji promjenjivi konstituent uzmimamo za argument u propozicionalnoj funkciji. Na primjer, gore navedena propozicionalna funkcija koju možemo skratiti na „α je klasa n individua“, sadrži dvije promjenjive α i n. Aksiom beskonačnosti u jeziku propozicionalne funkcije jeste: „propozicionalna funkcija 'ako je n induktivni broj, istinito je za neke vrijednosti α, da je α klasa n individua' je istinita za sve moguće vrijednosti n.“ Ovdje imamo subordiniranu funkciju, „α je klasa n individua“ za koju kažemo da je, u odnosu na α, ponekad istinita; a tvrđenje da je to tako ako je n induktivni broj, kažemo da je u odnosu na n, uvijek istinito.

Iskaz da je funkcija φχ uvijek istinita je negacija iskaza da je ne- φχ uvijek istinito, a iskaz da je φχ ponekad istinito je negacija iskaza da je ne- φχ uvijek istinito. Prema tome, iskaz „svi ljudi su smrtni“ je negacija iskaza da je funkcija „χ je besmrtno ljudsko“ ponekad istinita. I izraz „ima jednoroga“ je negacija izraza da je funkcija „χ nije jednorog“ uvijek istinita. Kažemo da je φχ „nikada istinito“ ili „uvijek lažno“ako je ne- φχ uvijek istinito. Ako odaberemo jedan dio para „uvijek,“ „ponekad“ za jednostavni pojam i drugi možemo definirati u odnosu na njega i negaciju. Prema tome, ako odaberemo „ponekad“ kao jednostavni pojam možemo definirati: „' φχ je uvijek istinito' znači 'lažno je da je ne- φχ ponekad istinito'.“ Ali iz razloga povezanih sa teorijom tipova čini se ispravnije uzeti oboje „uvijek“ i „ponekad“ za jednostavne ideje i u odnosu na njih defninirati negaciju propozicija u kojima se nalaze. To će reći, pretpostavljajući da mi imamo definirane(ili usvojene kao jednostavne pojmove) negacije propozicija tipa kojem pripada χ, definiramo: „Negacija ' φχ uvijek' je 'ne- φχ ponekad'; i negacija ' φχ ponekad' je 'ne- φχ uvijek'.“Na sličan način možemo redefinirati disjunkciju i druge istinosne funkcije, primjenjene na propozicije koje sadrže jasne promjenjive, u pogledu definicije i jednostavnih pojmova za propozicije koje ne sadrže jasne promjenjive. Od njih se možemo uzdizati korak po korak, služeći se navedenim metodama, do teorije istinosnih funkcija primjenjenih na propozicije koje sadrže jednu, dvije, tri... varijable, ili bilo koji broj n, gdje je n konačni broj.

Forme koje su uzete kao najjednostvanije u tradicionalnoj formalnoj logici sve uključuju

potvrđivanje svih ili nekih vrijednosti složene propozicionalne funkcije. Uzmimo, za početak, „svi S su P.“ Uzmimo da je S definirano propozicionalnom funkcijom φχ, a P propozicionalnom funkcijom ψχ . Na primjer, ako je S ljudsko, φχ ćebiti „χ je ljudsko“; ako je P smrtnici, ψχ će biti „postoji vrijeme u kojem χ umire.“ Time „svi S su P“ znači: „' φχ implicira ψχ' je uvijek istinito.“

Treba zapaziti da „svi S su P“ nije primjenjivo samo na one koji jesu S; jednako govori i o onima koji nisu S. Pretpostavimo da naiđemo na χ za koje ne znamo pripada li ili ne S-u; i dalje nam naš iskaz „svi S su P“ govori o χ-u, to jeste, da ako χ pripada S-u, onda je χ P. To je istinito i kada χ nije S i kada χ jeste S.

Ako ne bi bilo istinito u oba slučaja, reductio ad absurdum ne bi bio valjan metod; suština tog metoda je u upotrebi implikacija u slučajevima gdje je(kako se kasnije pokaže) hipoteza neistinita.

Mi ovo možemo drugačije predstaviti. Da bi razumjeli „svi S su P“ nije neophodno da možemo izbrojati članove S-a. Uzimajući da znamo šta se podrazumjeva pod pripadanjem S-u, a šta pod pripadanjem P-u, mi možemo u potpunosti razumjeti šta je tvrđeno sa „svi S su P“, međutim možemo znati malo o stvarnim instancama ijednog. Ovo pokazuje da nisu samo termini koji jesu S relevantini u iskazu „svi S su P“, već svi termini koji se tiču pretpostavke da su S, to jeste, svi termini koji jesu S zajedno sa svim terminima koji to nisu-odnosno, cjelina odgovarajućeg logičkog „tipa“.

Ono što se primjenjuje na izraze o „svi“ primjenjuje se i na izraze o „neki.“ „Ima ljudi,“ na primjer, znači da je „χ je ljudsko“ primjenjivo za neke vrijednosti χ. Ovdje su sve vrijednosti χ(to jeste sve vrijednosti za koje je „χ je ljudsko“ bitno, bilo istinito ili ne) relevantne, a ne samo one koje pripadaju ljudskom. (Ovo postaje očito ako uzmemo u obzir kako možemo dokazati da je takav izraz neistinit.) Stoga, svako tvrđenje o „svi“ i „neki“ uključuje ne samo argumente koji određenu funkciju čine istinitom, već sve što je važno, to jeste, sve za šta ima vrijednost bilo istinito ili ne. Sada možemo nastaviti sa našom interpretacijom tradicionalnih formi zastarjele formalne logike. Mi pretpostavljamo da S u onim slučajevima χ za koje je φχ istinito, a P u onim slučajevima kada je ψχ instinito. (Kao što ćemo i vidjeti u kasnijem poglavlju, svi slučajevi su na ovaj način derivirani iz propozicionalnih funkcija.) Tada: „Svi S su P“ znači „' φχ implicira ψχ' je uvijek istinito.“ „Neki S su P“ znači „' φχ i ψχ'je ponekad istinito.“ „Ni S ni P“ znači „' φχ implicira ne-ψχ' je uvijek istinitio.“ „Neki S nisu P“ znači „' φχ i ne-ψχ' je ponekad istinito.“

Može se primijetiti da propozicionalne funkcije koje su ovdje tvrđene za sve ili neke vrijednosti nisu φχ i ψχ po sebi, već su istinosne vrijednosti φχ i ψχ za isti argument χ. Najlakši način da se shvati je da se započne ne od φχ i ψχ uopćeno, već od φa i ψa gdje je a neka konstanta. Ako pretpostavimo „ljudi su smrtni“: započeti ćemo sa „ Ako je Sokrat čovjek, Sokrat je smrtan“ i onda ćemo „Sokrat“ zamijeniti sa χ kad god se pojavi. Sigurno je da, iako χ ostaje promjenjiva bez ikakve određene vrijednosti, imati će istu vrijednost u „φχ“ kao i u „ψχ“ kada tvrdimo da je „φχ implicira ψχ“ uvijek istinito. Ovo zahtjeva da radije započnemo sa funkcijom čije su vrijednosti kao „φχ implicira ψχ“ nego sa dvije odvojene funkcije φχ i ψχ; jer ako započnemo sa dvije odvojene funkcije nikada ne možemo biti sigurni da će χ, dok je neodređeno, imati istu vrijednost u obje. Kraće rečeno “ φχ uvijek implicira ψχ“ kada mislimo da je „φχ implicira ψχ“ uvijek istinito. Propozicije forme „φχ uvijek implicira ψχ“ se nazivaju „propozicionalne implikacije“; taj naziv vrijedi i ako ima više varijabli.

Gore navedene definicije pokazuju koliko su najjednostavnije foirme kao „svi S su P“, sa kojima počinje tradicionalna logika, udaljene od najjednostavnijih formi. Zbog nedostatka analize tradicionalna logika tretira „svi S su P“ propozicijom jednake forme kao „χ je P“-na primjer, tretira „Svi ljudi su smrtni“ da je formalno jednako „Sokrat je srtan“. Kao što smo upravo vidjeli, prvo pripada formi „φχ uvijek implicira ψχ“, dok drugo pripada formi „ψχ“. Snažno razdvajanje ove dvije forme, koje je bilo određeno od Peana i Fregea, bilo je veoma bitan napredak u simboličkoj logici. Biti će primjećeno da se „svi S su P“ i „nijedno S nije P“ ne razlikuju zaista po formi, osim u slučaju substitucije ne-ψχ za ψχ, i da se isto primjenjuje za „neki S su P“ i „neki S nisu P“. Također, treba biti primijećeno da su neka tradicionalna pravila konverzije pogrešna, ako prihvatimo pogled, koji je jedini tehnički prihvatljiv, da propozicije kao „svi S su P“ ne uključuju „egzistenciju“ S-a.

Gore navedene definicije vode do rezultata da, ako je φχ uvijek lažno odnosno, ako nema S-ova, onda „svi S su P“ i „nijedan S nije P“ će oba biti istiniti koje god P bilo. Jer, prema definiciji u prošlom poglavlju „φχ implicira ψχ“ znači „ne- φχ ili ψχ“ što je uvijek istinito ako je ne- φχ uvijek istinito. Na prvi pogled, ovaj rezultat može povesti čitaoca da traži drugačije definicije, ali malo praktičnog iskustva ubrzo pokazuje da bi bilo koja druga definicija bila neprikladna i prikrila bi bitne ideje. Propozicija „φχ uvijek implicira ψχ, i φχ je ponekad istinito“ je suštinski složena i bilo bi vrlo zbunjujuće dati ju kao definiciju „Svi S su P“, jer tada više ne bi imali jezik za „φχ uvijek implicira ψχ“ koje je više potrebno. Ali sa našim definicijama, „svi S su P“ ne implicira „neki S su P“ s obzirom da prvo dozvoljava neegzistenciju S, a drugo ne; prema tome, konverzija per accidens postaje nevažeća, a neki oblici silogizma pogrešni, na primjer Darapti: „Svi M su S, svi M su P, stoga neki S su P“-što ne važi ako nema M-ova.

Pojam „egzistencije“ ima više oblika, od kojih će o jednom biti riječi u idućem poglavlju, ali temeljna forma je derivirana iz pojma o „ponekad istinito“. Kažemo da argument a „zadovoljava“ funkciju φχ ako je φa istinito; u istom smislu korijen jedne jednakosti zadovoljava tu jednakost. Ako je φχ ponekad istinito, možemo reći da ima x-eva za koje je istinito, ili možemo reći „argument koji zadovoljava φχ egzistira.“ Ovo je temeljno značenje riječi „egzistencija“, ostala značenja su derivirana iz ovoga, ili utjelovljuju konfuziju misli. Možemo ispravno reći „ljudi egzistiraju“ pod time misleći „x je čovjek“ je ponekad istinito. Ali ako tvorimo pseudo-silogizam: „Ljudi postoje, Sokrat je čovjek, dakle Sokrat postoji“, mi govorimo besmislice, jer „Sokrat“ nije kao „ljudi“ naprosto neodređeni argument pridat propozicionalnoj funkciji. Greška je analogna ono argumenta: „ljudi su brojni, Sokrat je čovjek, dakle Sokrat je brojan“. U ovom slučaju, očigledno je da je zaključak besmislen, ali u slučaju egzistencije to nije očigledno iz razloga koji će biti jasniji u kasnijem poglavlju.

Za sada, osvrnimo se na činjenicu da iako je pravilno reći „ljudi postoje“, neispravno je, ili radije besmisleno, pripirsati egzistenciju jednoj glavnoj partikulariji koja je slučajno čovjek. Općenito, „termini koji zadovoljavaju φχ postoje“ znači „φχ je ponekad istinito“; ali „a postoji“(gdje je a termin koji zadovoljava φχ ) je naprosto buka ili oblik odvojen od značenja. Primijetiti ćete da imajući na umu ovu jednostavnu pogrešku možemo riješiti mnoge zagonetke antičke filozofije a koje se tiču značenja egzistencije. Još jedan set pojmova zbog kojih si je filozofija dopustila pad u beznadne konfuzije, zbog nedovoljnog odvajanja propozicija i propozicionalnih funkcija jesu pojmovi „modaliteta“: nužno, moguće i nemoguće. (Ponekad se kontigentno ili asertoričko koristi umjesto moguće.) Prema tradicionalnom pogledu, među istinitim propozicijama, neke su nužne, dok su druge naprosto kontigentne ili asertoričke; dok su među neistinitim propozicijama neke nemoguće, prvenstveno one u kojim su kontradikcije nužne, dok se za neke naprosto dogodilo da nisu istinite. Međutim, nikada nije bilo jasnog objašnjenja šta je bilo dodano na istinitost po koncepciji nužnosti.

U slučaju propozicionalnih funkcija, trostruka razdioba je očigledna: ako je „φχ“ neodređena vrijednost određene propozicionalne funkcije ono će biti nužno ako je funkcija uvijek istinita, moguće ako je ponekad istinita i nemoguće ako nije nikada istinita. Ovakva situacija proizlazi s obzirom na vjerovatnost, na primjer. Pretpostavimo da je lopta χ izvučena iz torbe u kojoj je mnogo lopti; ako su sve lopte bijele „χ je bijelo“ je nužno; ako su neke bijele, moguće je; ako nije nijedna, nemoguće je. Ovdje sve što znamo o χ je to da zadovoljava određenu propozicionalnu funkciju, naime „χ je bilo lopta u torbi“. Ovo je situacija koja je uobičajena u problemima vjerovatnosti i nije neuobičajena u praktičnom životu na primjer, kada osoba pozove nekoga o kome ne znamo ništa osim da nosi pismo predstavljanja od našeg prijatelja tog i tog.

U svim takvim slučajevima, u pogledu modaliteta općenito, propozicionalna funkcija je relevantna. Za jasnije razmišljanje u mnogim pravcima, navika očuvanja propozicionalnih funkcija odvojenim od propozicija je od najvećeg značaja, i neuspjeh uz tome je u prošlosti bio sraman za filozofiju.