ELEMENTARNE FUNKCIJE GRAFICIOsnovne elementarne funkcije su :-------Konstantne funkcijeStepene funkcijeEksponencijalne funkcijeLogaritamske funkcijeTrigonometrijske funkcijeInverzne trigonometrijske funkcijeHiperbolike funkcijeElementarnim funkcijama se nazivaju funkcije koje se mogu zadati pomou osnovnih elementarnih funkcija ikonstanti , pomou konano mnogo operacija sabiranja , oduzimanja, mnoenja, deljenja i kompozicija osnovnihelementarnih funkcija.Napomena: Ovo nije stroga definicija elementarnih funkcija. Vi tu definiciju nauite kako vam je kae va profesor,mi smo tu da samo malo pojasnimo stvari i podsetimo vas kako izgledaju grafici...yy xnn-paran brojyy xnn-neparan brojxxOvo su grafici stepenih funkcija gde je izloilac prirodni broj . Svi grafici izgledaju ovako, sem to se u zavisnostiod izloioca suavaju ili ire( pogledajte fajl kvadratna funkcija iz druge godine).www.matematiranje.com1yy xnn-paran brojyynxn-neparan brojxxOvo su grafici stepenih funkcija gde je izloilac racionalan broj.Trebamo zapamtiti da je y n x , kada je n paran broj definisana samo za x [0, ) to jest x 0 , dok je funkcijay n x kada je n neparan broj definisana na celom skupu R, to jest x (, )yy log a xa 1yy log a x0 a 1yy ln xx11x1xslika 1slika 2slika 3Podsetite se logaritamskih funkcija ( fajl iz II godine).Vano je zapamtiti da su one definisane za vrednosti x koje su vee od nule , to jest x 0 .U graninim vrednostima funkcija smo rekli da je ln 0 . Sa elementarnog grafika to sad moemo i uoiti(slika 3.): kad se x pribliava 0 sa pozitivne strane funkcija tei beskonanosti ( minus): lim ln x ( uta crta)x 0 A rekli smo i da je ln . Sa grafika je i to jasno, kad x tei beskonanosti i funkcija ide u beskonano, to je nagrafiku prikazano crvenom crtom.www.matematiranje.com2yy axa 111yy ax0 a 1yy ex1xxxEksponencijalne funkcije smo takodje obradjivali u II godini. Vano je da su one svuda definisane: x R .Kad smo objanjavali limese, rekli smo da je e 0 . Sada to moemo videti i na grafiku( uta crta), kad x tei minusbeskonano, funkcija se pribliava nuli. Dalje smo rekli i da je e ( crvena crta).Trigonometrijske funkcije:Sinusna funkcija y = sinx je osnovna trigonometrijska funkcija.13 2y sin x22203 22-1Ostale trigonometrijske funkcije definiemo sa :cos x sin( x ) 21 3 2 223 2202-1www.matematiranje.com3tgx sin xcos xyy=tgx23 23 222x02ctgx cos xsin xyy=ctgx3 2223 2x02Inverzne trigonometrijske funkcije:Ove funkcije se nazivaju ciklometrijske ili arkus funkcije.i)Arkus sinusPazite: funkcija y = sinx nema inverznu funkciju, jer nije bijekcija!Ali ako posmatramo njenu restrikciju na intervalu [sinus funkciju:y , ] i preslikavanje f 1 :[1,1] [ , ] dobijamo arkus22222-101xy=arcsinx2www.matematiranje.com4Jo zapamtite da vai:arcsin(sin x) xsin(arcsin x) xza x [ ,] 22za x [-1,1]Funkcija je definisana za x [1,1]Nula funkcije je u x=0ii)Arkus kosinusI ovde emo iz slinog razloga posmatrati restrikciju funkcije y = cos x na intervalu [0, ] .Posmatramo preslikavanje g 1 :[1,1] [0, ]yy=arccosx2-101xVai:arccos(cos x ) x za x [0, ]cos(arccos x ) x za x [1,1]Funkcija je definisana za x [1,1]Nula funkcije je u x =1iii)Arkus tangensPosmatrajui restrikciju funkcije y = tgx na intervalu [Dobijamo funkciju arkus tangens. , ] i preslikavanje h 1 : R [ , ]2222www.matematiranje.com5y2y=arctgx02xarctg (tgx) xza x [ ,]22tg (arctgx) x za x RFunkcija je definisana na celom skupu R.Nula funkcije je x=0.iv)Arkus kotangensk 1 : R [0, ]y20y=arcctgxxarcctg (ctgx) xza x [0, ]ctg (arcctgx) x za x RFunkcija je svuda definisana . Nema nule.Hiperbolike funkcije e x e xe x e x , hiperboliki kosinus chx To su funkcije : hiperboliki sinus shx 22hiperboliki tangens e x e xthx x x e ei hiperboliki kotangens e x e xcthx x x e ewww.matematiranje.com6 11Grafici ovih funkcija se dobijaju iz grafika y e x i y e x odnosno pomou y e x i y e x 22yy e xy exy=sh 1y e x 2yy=ch 1y ex 211120xxOvde vae identiteti ( podseti se adicionih formula iz II godine)ch 2 x sh 2 x 1sh( x y ) shx chy chx shych( x y ) chx chy shx shysh 2 x 2 shx chxch2 x ch 2 x sh 2 xhiperboliki tangens i hiperboliki kotangensyy=th1imaju grafike:yy=cth1x-1-1xwww.matematiranje.com78