Trigonometrijske funkcije

5/20/2018 Trigonometrijske funkcije

1/17

Brojevna kruznica

Pretpostavimo da se po kruznici jedinicnog radijusa pomaknemo za kut t usmjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Kut t u radijanima po definiciji je jednak duljini prijedenog luka. Akoobidemo cijelu kruznicu, duljina prijedenog luka, odnosno radijanska mjera

tog kuta iznosi 2(opseg jedinicne kruznice), a ako obidemo cetvrtinu kruznice,tada je to 2

. Ako obilazimo u suprotnom smjeru, tada govorimo o negativ-noj radijanskoj mjeri. Na taj nacin mozemo svakom realnom broju t kojioznacava duljinu luka koji smo obisli, odnosno radijansku mjeru pripadnogkuta, pridruziti tockuT(t) na brojevnoj kruznici. Stoga je kutt+2k,kZ,ekvivalentan kutu t, tj. tocke T(t) i T(t+ 2k) se poklapaju. Na sljedecojslici je brojevna kruznica sa nekim karakteristicnim tockama:


2/17

Buduci da ispruzenom kutu mjere 180 odgovara radijanska mjera , tada je

veza izmedu radijana i stupnjeva dana sljedecom formulom:

t rad = t

180

Funkcije sinus i kosinus

Definicija i osnovna svojstva

Neka je t proizvoljni realni broj i T(t) = (x, y) njemu odgovara juca tockabro jevne kruznice.

2


3/17

Iz trokuta OP T vrijedi:

cos t= x

1=x, sin t=

y

1=y.

Dakle, funkcija sinus je ordinata, a funkcija kosinus apscisa tocke T(t) nabrojevno j kruznici.Svojstva:

ogranicene su:1sin t1 i1cos t1, vrijedi: sin2 t + cos2 t= 1,

periodicne s osnovnim periodom 2, sinus je neparna, dok je kosinus parna funkcija, nultocke funkcije sinus su x= k, kZ, dok funkcija kosinus iscezava

za x= 2

+ k,kZ.Zadatak 1. Odredite na brojevnoj kruznici tockuT(t), ako je

1. sin t=12

, cos t


4/17

2. cos t= 23

, sin t


5/17

U sljedecoj tablici su neke karakteristicne vrijednosti funkcija sinus i kosinus:

t 0 6

4

3

2

32

2

sin t 0 12

22

32

1 0 1 0cos t 1

32

22

12

0 1 0 1

Opceniti oblik funkcije sinus

Funkcija oblika: f(x) =a sin x

funkcija sinus poprima vrijednosti izmedu -1 i 1, pa funkcija f(x) po-prima vrijednosti izmedu -a i a

anazivamo amplituda

Funkcija oblika: f(x) = sin(x)

period funkcije sinus iznosi 2, a period funkcije f(x) iznosi 2

Na slici je graf funkcije sinus s razlicitim periodima

5


6/17

Funkcija oblika: f(x) = sin(x + )

graf funkcije sin(x+) dobije se translacijom grafa funkcije sin x duzx osi za udesno ukoliko je 0

Na slici je graf funkcije sinus s razlicitim pomacima

Primjer 1. Nacrtajte graf funkcijef(x) = 3 sin(2x + 4

)

Koraci pri crtanju su sljedeci:

1. Amplituda je 3.

2. Temeljni period je P = 2

= 22

= .

6


7/17

3. Graf se pomakne za

= 42

=8

u smjeru pozitivne orijentacijeosi x, tj. za

8 ulijevo.

7


8/17

Zadatak 6. Nacrtajte graf funkcijef(x) =

32cos(3x

6

)

Funkcije tangens i kotangens

Tangens

Povucimo tangentu na brojevnu kruznicu u tocki A = (1, 0). Taj pravacnazivamo os tangensa. Tangens realnog broja t je ordinata tocke u kojojpravac OT sijece os tangensa.

Svojstva:

vrijedi tg t= sin tcos t

,

tangens nije definiran u nul-tockama funkcije kosinus

t=

2+ k,kZ,

pa su ti pravci njegove vertikalne asimptote,

periodicna s osnovnim periodom ,

neparna funkcija.Na slici je graf funkcije tangens:

8


9/17

KotangensPovucimo tangentu na brojevnu kruznicu u tocki C = (0, 1). Taj pravacnazivamo os kotangensa. Kotangens realnog broja t je apscisa tocke u kojo jpravac OT sijece os kotangensa.

Svojstva:

vrijedi ctg t= cos tsin t

,

9


10/17

kotangens nije definiran u nul-tockama funkcije sinus

t= k, kZ,

pa su ti pravci njegove vertikalne asimptote,

periodicna s osnovnim periodom , neparna funkcija, veza tangensa i kotangensa: ctg t= 1

tg t.

Na slici je graf funkcije kotangens:

Primjer 2. Nacrtajte graf funkcijef(x) = 2 tg(x2 2

3)

Koraci pri crtanju su sljedeci:

1. Ordinate grafa pomnoze se s 2.

10


11/17

2. Temeljni period je P =

= 12

= 2.

11


12/17

3. Graf se pomakne za

=

23

1

2

= 4

3

u smjeru pozitivne orijentacije

osi x, tj. za 43

udesno.

Zadatak 7. Odredite na brojevnoj kruznici tockuT(t), ako je

1. tg t=2, cos t >0,2. ctg t= 3

4, cos t


13/17

Temeljne veze trigonometrijskih funkcija

Iz vec spomenutog temeljnog identiteta

sin2 t + cos2 t= 1

i veza s preostale dvije trigonometrijske funkcije

tg t= sin t

cos t, ctg t=

1

tg t=

cos t

sin t,

izvode se sve formule u sljedecoj tablici:

sin t cos t tg t ctg t

sin t - 1 cos2 t tg t1+tg2 t 11+ctg2 tcos t

1 sin2 t - 1

1+tg2 t

ctg t

1+ctg2 t

tg t sin t

1sin2 t1cos2 tcos t

- 1ctg t

ctg t

1sin2 tsin t

cos t

1cos2 t

1tg t

-

Ako znamo vrijednost jedne trigonometrijske funkcije, tada, pomocu formulaiz tablice, mozemo odrediti vrijednost bilo koje druge funkcije.

Zadatak 13. Iz dane vrijednosti jedne, izracunaj vrijednosti ostalih trigono-

metrijskih funkcija:1. sin x= 15

17,

2< x < ,

2. tg x= 31516

, cos x >0.

Zadatak 14. Ako jecos(x) =45

, 5 < x < 112

, koliko jectg x?

Arkus funkcije

Ciklometrijske ili arkusfunkcije su usko povezane s trigonometrijskim funk-cijama. One zadanoj vrijednosti trigonometrijske funkcije pridruzuju vrijed-nost kuta za koju se ta vrijednost funkcije postize. Svakoj trigonometrijskojfunkciji odgovara jedna arkus funkcija koja joj je inverzna. Tocnije, arkusfunkcije ili ciklometrijske funkcije su inverzne funkcije odgovarajucih restrik-cija trigonometrijskih funkcija.Razlikujemo, dakle, cetiri arkus funkcije: arkus sinus, arkus kosinus, arkustangens i arkus kotangens. Argument funkcije x i vrijednosti funkcije y obr-nutog su smisla nego kod trigonometrijskih funkcija. Stoga su i grafovi tihfunkcija u odnosu na grafove restrikcija trigonometrijskih funkcija simetricniobzirom na pravac y=x.

13


14/17

Funkcija arcsin(x)

Restrikcija funkcije sinus na interval [2

, 2

] je bijekcija. Tada postoji inverznafunkcija te restrikcije

sin1 : [1, 1][2

,

2].

Tu funkciju zovemo arkus sinus i oznacavamo arcsin x. Na slici je prikazangraf restrikcije funkcije sinus na interval [

2, 2

] i njoj inverzna funkcija arkussinus.

Buduci da su to inverzne funkcije, vrijedi

arcsin(sin x) = x, x[2

,

2],

sin(arcsin x) = x, x[1, 1].

Bitno je uociti da je funkcija sin x definirana za svaki xR, dok je funkcijaarcsin x definirana samo na intervalu [1, 1] jer sin x poprima vrijednostisamo u tom intervalu.

14


15/17

Funkcija arccos(x)

Restrikcija funkcije kosinus na interval [0, ] je bijekcija. Tada postoji inverznafunkcija te restrikcije

cos1 : [1, 1][0, ].Tu funkciju zovemoarkus kosinus i oznacavamo arccos x. Na slici je prikazangraf restrikcije funkcije kosinus na interval [0, ] i njoj inverzna funkcija arkuskosinus.


arccos(cos x) =x, x[0, ],cos(arccos x) =x,

x

[

1, 1].

Kao i u prethodnom slucaju, funkcija cos xdefinirana je za svaki xR, dokje funkcija arccos x definirana samo na intervalu [1, 1].

Funkcija arctg(x)

Restrikcija funkcije tangens na interval

2, 2

je bijekcija. Tada postoji

inverzna funkcija te restrikcije

tg1 : R

2,

2

.

15


16/17

Tu funkciju zovemo arkus tangensi oznacavamo arctg x. Na slici je prikazan

graf restrikcije funkcije tangens na interval2 , 2

i njoj inverzna funkcija

arkus tangens.


arctg(tg x) =x, x

2,

2

,

tg(arctg x) =x, x R.

Za razliku od funkcija cos xi sin x, funkcija tg xnije ogranicena pa je funkcijaarctg x definirana na cijelom skupu realnih brojeva.

Funkcija arcctg(x)Restrikcija funkcije kotangens na interval0, je bijekcija. Tada postojiinverzna funkcija te restrikcije

ctg1 : R 0, .

Tu funkciju zovemo arkus kotangens i oznacavamo arcctg x. Na slici je pri-kazan graf restrikcije funkcije kotangens na interval0, i njoj inverznafunkcija arkus kotangens.

16


17/17


arcctg(ctg x) =x,

x

0,

,

ctg(arcctg x) =x, x R.Funkcija arcctg x definirana je takoder na cijelom skupu realnih brojeva.

Zadatak 15. Izracunaj:

1. arcsin 12

+ arccos32

+ arctg33

2. cos(arccos(12

) + 3

).

17

Trigonometrijske funkcije

Documents

Transcript of Trigonometrijske funkcije