Cjelobrojne funkcije
-
Upload
guestc69bb8 -
Category
Education
-
view
792 -
download
4
description
Transcript of Cjelobrojne funkcije
Cjelobrojne funkcije
Hrvoje Bandov
1
Definicije
Definicija 1. Funkciju bxc nazivamo pod (eng. floor ) i vrijedi
bxc = najveci cijeli broj manji ili jednak x
Definicija 2. Funkciju dxe nazivamo strop (eng. ceiling) i vrijedi
dxe = najmanji cijeli broj veci ili jednak x
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 2
Definicije - primjeri i graf
b1.55c = 1, bec = 2, b7c = 7
d1.55e = 2, dee = 3
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 3
Svojstva
bxc = dxe = x ⇐⇒ x ∈ Z
dxe − bxc = 1 ⇐⇒ x /∈ Z
bbxcc = bxc, ddxee = dxe
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 4
Svojstva
b−xc = −dxed−xe = −bxc
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 5
Svojstva
x− 1 < bxc ≤ x ≤ dxe < x + 1
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 6
Svojstva
x− 1 < bxc ≤ x ≤ dxe < x + 1
bxc = n ⇐⇒ n ≤ x < n + 1 (1)
bxc = n ⇐⇒ x− 1 < n ≤ x (2)
dxe = n ⇐⇒ n− 1 < x ≤ n (3)
dxe = n ⇐⇒ x ≤ n < x + 1 (4)
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 7
Primjer 1
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 . . .
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 8
Primjer 1
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 . . .
Koji broj se nalazi na n-tom mjestu?
an =?
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 9
Hmmmmmmm
Kako pristupiti zadatku?
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 10
Primjer 1
an = m
Sto znamo o polozaju broja m?
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 11
Primjer 1
an = m
1 + 2 + 3 + . . . + m− 1 < n
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 12
Primjer 1
an = m
m(m− 1)2
< n
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 13
Primjer 1
an = m
m(m− 1)2
< n ≤ m(m + 1)2
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 14
Primjer 1
m(m− 1)2
< n ≤ m(m + 1)2
m2 −m < 2n ≤ m2 + m
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 15
Primjer 1
m(m− 1)2
< n ≤ m(m + 1)2
m2 −m < 2n ≤ m2 + m
m2 −m +14
< 2n < m2 + m +14
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 16
Primjer 1
(m− 1
2
)2
< 2n <
(m +
12
)2
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 17
Primjer 1
(m− 1
2
)2
< 2n <
(m +
12
)2
m− 12
<√
2n < m +12
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 18
Primjer 1
(m− 1
2
)2
< 2n <
(m +
12
)2
m− 12
<√
2n < m +12
m <√
2n +12
< m + 1
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 19
Primjer 1
an = m =⌊√
2n +12
⌋
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 20
Razlomljeni dio
Definicija 3. Razlomljeni dio od x nazivamo funkciju {x} za kojuvrijedi
{x} = x− bxc
{106.667} = 0.667
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 21
Primjer 2
Primjer. Neka je p prost broj, te a prirodan broj koji nije djeljiv s p.Izracunajte
p−1∑k=1
{ak
p
}
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 22
Hmmmm
p−1∑k=1
{ak
p
}
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 23
Primjer 2
p−1∑k=1
{ak
p
}Svaki broj ak gdje je k < p, p prost broj i a nije djeljiv s p daje
razlicit ostatak pri dijeljnju s p.
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 24
Primjer 2
p−1∑k=1
{ak
p
}Svaki broj ak gdje je k < p, p prost broj i a nije djeljiv s p daje
razlicit ostatak pri dijeljnju s p.
Pretpostavimo suprotno, da postoje i, j takvi da je1 ≤ i < j ≤ p− 1 i ai ≡ aj (mod p). Tada je a(j − i) ≡ 0 (mod p)no kako je 1 < j − i < p, a vec smo pokazali da takvi brojevi nisu
djeljivi s p, dolazimo do kontradikcije. Q.E.D. :)
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 25
???
Ali kakva korist od toga?
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 26
Primjer 2
Ako znamo ostatak dijeljenja nekog prirodnog broja a s b tj.a = nb + k onda slijedi da je
{a
b
}= k
b .
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 27
Primjer 2
Kako ostaci redom moraju iznosti 1, 2, . . . , p− 2, p− 1 vrijedi:
p−1∑k=1
{ak
p
}=
p−1∑k=1
k
p
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 28
Primjer 2
Kako ostaci redom moraju iznosti 1, 2, . . . , p− 2, p− 1 vrijedi:
p−1∑k=1
{ak
p
}=
p−1∑k=1
k
p
1p
p−1∑k=1
k =1p
p(p− 1)2
=p− 1
2
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 29
Hvala na pozornosti!
Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 30