Matematicke Funkcije

FUNKCIJE

1. FUNKCIJE.........................................................................................................................2Pojam funkcije................................................................................................................2Grafovi funkcija..............................................................................................................2Domena ili područje definicije ........................................................................................3

1.1 Svojstva funkcija ........................................................................................................26Monotonost funkcija .....................................................................................................26Parne i neparne funkcije................................................................................................28Periodičnost ..................................................................................................................34

1.2 Kompozicija funkcija i inverzne funkcije ....................................................................35Kompozicija funkcija....................................................................................................35Inverzne funkcije ..........................................................................................................37

1. FUNKCIJE

Pojam funkcije

Funkcija f sa skupa A u skup B je pravilo kojim svakom elementu x skupa A pridružujemotočno jedan element )(xf skupa B. Skraćeno, pišemo BAf : .

Skup A iz gornje definicije nazivamo domena funkcije. Kako biramo različite vrijednosti x-aiz domene, dobivamo različite funkcijske vrijednosti )(xf . Skup B unutar kojeg se krećufunkcijske vrijednosti )(xf nazivamo kodomena funkcije.

Mi ćemo promatrati samo funkcije kojima su domena i kodomena podskupovi skupa realnihbrojeva. Za takve funkcije kažemo da su realne funkcije realnog argumenta (varijable).

Grafovi funkcija

Ako je f funkcija čija je domena skup D, tada je njezin graf skup točaka u Kartezijevomkoordinatnom sustavu čije su koordinate oblika:

))(,( xfxGraf funkcije olakšava uočavanje bitnih svojstava funkcija i njezinog ponašanja na pojedinimintervalima domene. Ako je ),( yx točka grafa, tada je )(xfy visina grafa iznad točke x.Visina može biti pozitivna ili negativna, ovisno o predznaku )(xf .

Slika 1. Ako točka s koordinatama ),( yx leži na grafu funkcije f,tada je vrijednost )(xfy jednaka visini grafa iznad točke x

(ili ispod ako je )(xf negativan)

Svaka krivulja nacrtana u Kartezijevom koordinatnom sustavu nije graf neke funkcije.Funkcija f može imati samo jednu vrijednost )(xf za svaki x iz domene funkcije, iz čegaslijedi da niti jedna vertikalna linija ne smije graf funkcije siječi u više od jedne točke. Ako jea u domeni funkcije f, tada će vertikalni pravac ax sijeći graf funkcije f u točki ))(,( afa .

Primjer. Kružnica ne može biti graf funkcije budući da postoje vertikalne linije koje jusijeku u dvije točke. Međutim, kružnica sadrži grafove dviju funkcija – gornju polukružnicukoja je graf funkcije 21)( xxf i doljnju polukružnicu koja je graf funkcije 21)( xxg .

Slika 2. (a) Kružnica nije graf funkcije budući da pada na vertikalnom testu. (b) Gornja polukružnica je graf

funkcije 21)( xxf . (c) Doljnja polukružnica je graf funkcije 21)( xxg .

Domena ili područje definicije

Odrediti domenu neke funkcije zapravo znači odrediti sve realne vrijednosti nezavisnevarijable x za koje je izraz )(xf smislen, dozvoljen, ispravan, definiran. Na primjer, domena

funkcijex

xf 1)( je skup svih realnih brojeva bez broja 0, što simbolima pišemo RD \ 0

(simbol \ se može shvatiti kao oduzimanje u skupovnom smislu – iz skupa R smo izbacilinulu)

(Neka od) Pravila za određivanje domene1.

xxf 1)( RD \ 0

2. xxf )( ,0D

3. 3)( xxf RD

4. n xxf )( , n je paran ,0D

5. n xxf )( , n je neparan RD

6. xaxf )( RD

7. xxf alog)( ,0D8. xxf sin)( RD 9. xxf cos)( RD

10. )()( xtgxf RD \

Zkk ;

2

11. )()( xctgxf RD \ Zkk ;12. xxf arcsin)( 1,1D13. xxf arccos)( 1,1D14. )()( xarctgxf RD

15. )()( xarcctgxf RD

O presjeku i uniji skupova

Pretpostavimo da tražimo sve vrijednosti varijable x pri čemu varijabla x mora istovremenozadovoljavati sljedeće uvjete:

1Axi

2Axi...i

nAxTada će vrijediti da je varijabla x element skupa koji je jednak presijeku skupova nAAA ,...,, 21

odnosno vrijedi:nAAAx ...21 .

Pretpostavimo sada da tražimo sve vrijednosti varijable x pri čemu varijabla x morazadovoljavati barem jedan od sljedećih uvjeta:

1Axili

2Axili...ili

nAxTada će vrijediti da je varijabla x elemnt skupa koji je jednak uniji skupova nAAA ,...,, 21

odnosno vrijedi:nAAAx ...21 .

Zadatak 1. Odrediti domenu funkcije 21)( xxf .Rješenje. Nezavisna varijabla x može poprimiti bilo koju realnu vrijednost : RD

Zadatak 2. Odrediti domenu funkcije xxf 1)( .Rješenje.U definiciji funkcije se nalazi x . Dakle, nezavisna varijabla x ne smije poprimitinegativnu vrijednost : ,0D .

Zadatak 3. Odrediti domenu funkcijet

tF 1)( .

Rješenje. Ovdje je definirana funkcija nezavisne varijable t što u osnovi uopće ne mijenjastvar. Budući da je u naziviniku razlomka izraz t , slijedi da taj izraz mora biti različit odnule jer dijeljenje sa nulom nije definirana/dopuštena operacija. Prema tome postavljamo prviuvjet:

1. uvjet : 0t

Nadalje, zbog samog korijena t moramo postaviti uvijet da nezavisna varijabal t ne smijebiti negativna :

2. uvjet : 0t .

Iz prvog uvjeta slijedi da je varijabla t element skupa R \ 0 , a iz drugog uvijeta da je varijablat element skupa ,0 . Budući da varijabla t mora zadovoljavati i prvi i drugi uvjet, trebamonaći presijek ta dva skupa, odnosno sve elemente koji su i u prvom i u drugom skupu. Dakle :

R \ ,0,00Zaključujemo da je tražena domena jednaka : ,0D .

Zadatak 4. Odrediti domenu funkcijet

tF

1

1)( .

Rješenje. Nazivnik mora biti različit od nule :1. uvjet : 01 t

Nadalje, varijabla t mora biti veća ili jednaka od nule jer nam se u definicji funkcije pojavljujet a korijenovanje negativnih brojeva nije definirano/dozvoljeno.

2. uvjet : 0t

Nađimo skup unutar kojega se trebaju kretati vrijednosti varijable t da bi 1. uvjet biozadovoljen, a koji glasi 01 t . To možemo učiniti na način da nađemo sve vrijednostivarijable t za koje vrijedi 01 t i onda njih izbacimo iz skupa realnih brojeva. Dakle,rješavamo jednadžbu:

01 t

1tGornja jednadžba nema rješenje. Naime, nemoguće je da vrijednost drugog korijena budenegativan broj. Prema tome, nemamo šta izbacivati iz skupa realnih brojeva i iz prvog uvjetaslijedi da je Rt . Iz drugog uvjeta slijedi da je ,0t .

Budući da varijabla t mora zadovoljavati i prvi i drugi uvjet, tražimo presijek skupova R i ,0 . Dakle, tražena domena jednaka je:

,0,0RD

Zadatak 5. Odrediti domenu funkcije 24)( zzg .Rješenje. Zbog činjenice što se drugi korijen može računati iz isključivo pozitivnih brojeva ilibroja nule, postavljamo sljedeći uvjet:

04 2 zDa bi riješili gornju nejednadžbu po varijabli z, cilj nam je istu nejednadžbu transformirati nanačin da na jednoj strani imamo z pa težeći tome prebacujemo 2z na desnu stranu idobivamo:

24 zodnosno

42 zŽelimo se riješiti kvadrata uz z, pa korijenujemo čitavu nejednakost:

/42 z

Na lijevoj strani tada dobivamo 2z što je jednako z i imamo:

4zodnosno

2z

Apsolutna vrijednost z se može shvatiti kao udaljenost broja z od ishodišta. Gledajući tako,rješenje nejednadžbe

2z

će biti skup svih brojeva z čija je udaljenost od ishodišta manja ili jednaka 2. Dakle, radi se oskupu:

2,2z ili 22 zi tražena domena je jednaka:

2,2D

Zadatak 6. Odrediti domenu funkcije24

1)(z

zg

.

Rješenje. Zbog razlomka i nedozvoljenog djeljenja sa nulom postavljamo prvi uvjet:1. uvjet : 04 2 z odnosno 04 2 z

Zbog korijena postavljamo drugi uvijet :2. uvjet : 04 2 z

Prvi i drugi uvjet možemo spojiti, pa dobivamo :04 2 z

Nejednadžbu riješavamo i dobivamo:04 2 z

24 z42 z

/42 z

2z 2,2z

Dakle, tražena domena je jednaka: 2,2D

Zadatak 7. Odrediti domenu funkcije 11x

y .

Rješenje. Zbog činjenice što se u definiciji funkcije pojavljujex1 , prvi uvjet je da je 0x .

Također, moramo zahtijevati da je izraz ispod korijena veći ili jednak nuli. Dakle,

011

x

Sada trebamo naći sve x-eve za koje je zadovoljena gornja nejednadžba, odnosno moramoriješiti gornju nejednadžbu. Pokušajmo nejednadžbu transformirati na način da dobijemonepoznanicu x na jednoj strani :

011

x(prebacimo -1 na desnu stranu)

11

xSada je izuzetno bitno sljedeće : Moguće da se kao najlogičniji sljedeći korak namećemnoženje čitave nejednadžbe sa x-om. Međutim, to se ne smije napraviti. Naime, znamo da seovisno o predznaku broja s kojim množimo neku nejednakost, sama nejednakost trebaokrenuti. Tako npr. ako imamo nejednakost 52 i ako istu množimo sa brojem (-1) tadaćemo morati okrenuti znak nejednakosti iz manje u veće i dobivamo 52 . Budući da je xnepoznanica, mi ne znam njezin predznak i prema tome ne možemo nejednadžbu množiti sax-om jer ne znamo trebamo li tada promijeniti znak nejednakosti.

Dakle, nejednadžbu ne možemo množiti sa x-om ali možemo sljedeće. Promotrimo jošjednom nejednadžbu:

11

xTrebamo naći sve brojeve x koji ju zadovoljavaju. Pitamo se dakle sa kojim vrijednostimamožemo podijeliti broj 1 da bi dobili nešto veće ili jednako od 1. Možemo lako provijeriti daće jedna od mogućih vrijednosti x-a biti upravo broj 1. Hoće li broj 2 zadovljavati

nejednadžbu? Očito neće zato što21 nije veće ili jednaka od 1. Ni brojevi 3, 4, 5, ... neće

zadovljavati nejednadžbu. Hoće li ju zadovoljavati broj21 ? Hoće, zato što je 2

211 , a 2 je

veće ili jednako od 1. Slično bi mogli provjeriti za vrijednosti31 ,

41 ,....Sada bi trebali

zaključiti da će nejednadžba biti zadovoljena za sve brojeve iz intervala 1,0 . Negativnibrojevi očito otpadaju.

Nejednadžbu 011

xsmo mogli riješiti i na drugi, standardniji način:

011

xlijevu stranu svodimo na zajednički nazivnik

01

xx

Sada se pitamo kada će lijeva strana biti veća od ili jednaka nuli. Dvije su mogućnosti:

I. slučaj0

01

xx ili II. slučaj

001

xx

Prvi slučaj je određen sa dvije nejednadžbe koje nepoznanica x mora istovremenozadovoljavati. Raspišimo te dvije nejednadžbe iz prvog slučaja:

0101

xxx

Dakle, rješenje prvog slučaja su svi x-evi koji su manji od ili jednaki broju jedan iistovremeno veći od nule – radi se o skupu 1,0 .

Raspišimo sada drugu mogućnost, slučaj drugi:

0101

xxx

Rješenja drugog slučaja su svi x-evi koju su veći od ili jednaki broju 1 i istovremeno manji odnule. Takvi brojevi ne postoje, dakle nema rješenja drugog slučaja. (Da je eventualnopostojalo rješenje drugog slučaja, konačna domena bila bi jednaka uniji rješenja prvog irješenja drugog slučaja).

Dakle, domena funkcije 11x

y jednaka je 1,0D .

Zadatak 8. Odrediti domenu funkcije xy 2 .Rješenje. Izrazi ispod korijena moraju biti veći od ili jednaki nuli. Prema tome, imamo dvauvjeta:

1. uvjet : 02 x2. uvjet : 0x

Domena funkcije će biti jednaka presijeku rješenja ovih dviju nejednadžbi (zato što da bi nekibroj bio u domeni treba zadovoljavati i prvu i drugu nejednadžbu – radi se o presijekuskupova).

Riješimo nejednadžbu iz prvog uvjeta :02 x

x22/2 x

(na desnoj strani nejednadžbe sada imamo izraz 2)( x , što je jednako x)x4

Dakle, prvi uvjet zapravo zahtijeva da x bude manji od ili jednak 4 a drugi uvjet zahtijeva da xbude veći ili jednak nuli. Prema tome, domena je :

4,0D

Zadatak 9. Odrediti domenu funkcije xxg )( .Rješenje. Izraz ispod korijena treba biti veći ili jednak nuli pa postavljamo uvjet:

0x

Da bi mogli zaključiti unutar kojeg se skupa treba kretati vrijednosti od x-a, gornjunejednadžbu množimo sa (-1) i dobivamo:

)1(/0 x0x

Dakle, x treba biti manji ili jednak nuli : 0,D .


2)(2

xx

xxf .

Rješenje. Izraz ispod korijena treba biti veći od ili jednak nuli :

0322 xxMeđutim, moramo izbaciti mogućnost kada je 0322 xx , jer tada dolazimo do dijeljenja sanulom koje nije dozvoljeno. Dakle, trebamo riješiti nejednakost:

0322 xx

Gornju nejednadžbu možemo riješiti na više načina. Jedan podrazumijeva skiciranje grafakvadratne funkcije 32)( 2 xxxf i očitavanje na kojim je intervalima taj graf iznad osi x –odnosno na kojim je intervalima vrijednost funkcije pozitivna. Drugi način podrazumijevanalaženje nultočaka funkcije 32)( 2 xxxf , nazovimo ih 1x i 2x i primijenjivanje svojstvakvadratne funkcije koje glasi :

Ako su brojevi 1x i 2x nultočke kvadratne funkcije cbxaxxf 2)( tada vrijedi da je))(( 21

2 xxxxacbxax . Posljednja jednakost se može lako provijeriti ako se za 1x i 2x

uvrste vrijednostia

acbbx2

42

1

ia

acbbx2

42

2

.

Nađimo nultočke kvadratne funkcije 32)( 2 xxxf :

242

2162

2)3(1442

2,1

x

11 x32 x

Sada znamo da vrijedi :

)3()1()3())1((322 xxxxxx

i sada nejednadžbu koju trebamo riješiti 0322 xx možemo zapisati u obliku:

0)3()1( xxOvaj nam format mnogo više odgovara jer sada možemo razmšljati na sljedeći način : Nalijevoj strani imamo umnožak dva faktora koji treba biti veći od ili jednak nuli. Znamo da ćeumnožak dva broja biti takav ako su ta dva broja ili oba veća ili oba manja od nule (umnožakdva broja je pozitivan ako su ti brojeva jednakog predznaka, npr. 0632 i 06)3()2( ).Imamo dvije mogućnosti :

I. slučaj :0301

xx ili II. slučaj :

0301

xx

__________ ____________

31

xx

31

xx

__________ ____________

3x 1x

Dakle, domena funkcije je : ,31,D .

Zadatak 11. Odrediti domenu funkcije )2ln()( xxg .Rješenje. Zbog definicije logaritma, uvjet koji trebamo postaviti je :

02 x

Naime, 2x može biti jednako svim vrijednostima koje dobivamo kada broj e potenciramo sabilo kojim realnim brojem. Dignemo li broj e na bilo koju potenciju, uvijek ćemo dobiti neštopozitivno. Prema tome, 2x mora biti pozitivan broj.

02 x2x

Dakle, tražena domena je :

,2D .

Zadatak 12. Odrediti domenu funkcije xxf 2sin)( .Rješenje. Izraz ispod korijena treba biti veći od ili jednak nuli. Dakle, postavljamo uvjet:

02sin x

Gornju nejednakost možemo riješiti tako da skiciramo graf funkcije xxf 2sin)( i očitamointervale na kojima je taj graf pozitivan – iznad osi x.

2 32 2 2

32 2 x

1

1y

Očitavamo da je graf funkcije xxf 2sin)( iznad osi x na intervalima:

kk

2,0 gdje je k

bilo koji cijeli broj odnosno Zk . Granice intervala su uključene jer rješavamo nejednakost02sin x - rješenja će biti i x-evi za koje je xxf 2sin)( jednako nuli a to će upravo biti

granice intervala. Dakle, tražena domena jednaka je:

kkD

2,0 pri čemu je Zk .

Zadatak 13. Odrediti domenu funkcije 5 5 1)( xxf .

Rješenje. Do sada smo ustanovili da drugi korijen možemo vaditi iz isključivo pozitivnihbrojeva ili broja nule. Peti korijen je definiran za bilo koji realni broj. Na primjer, vrijedi:

2325

51572,185

511,21005

005

2325

448,285 ...

Dakle, za izraz ispod 5. korijena ne trebamo postavljati nikakav uvjet. Slijedi da je domenajednaka skupu R.


sin)( xxf .

Rješenje. Domena će biti jednaka skupu R iz razloga što je funkcija sinus definirana za bilokoji realni broj.

Zadatak 15. Odrediti domenu funkcije35arcsin)(

xxxf .

Rješenje. Domena funkcije arkus sinus jednaka je skupu 1,1 . Prema tome, postavljamouvjet:

1351

xx .

Također, izraz koji je u nazivniku razlomka ne smije biti jednak nuli pa postavljamo uvjet:03 x

odnosno3x .

Nejednakost 1351

xx ćemo riješiti na način da je rastavimo na dvije nejednakosti. Dakle,

tražimo sve x-eve koji istovremeno zadovoljavaju nejednakosti:

I.351

xx i II. 1

35

xx

Konačno rješenje nejednakosti 1351

xx biti će presjek rješenja nejednakosti I. i

nejednakosti II.

I. Rješimo najprije nejednakost351

xx . Budući da je ne možemo množiti sa izrazom )3( x ,

prebacimo -1 na desnu stranu tako da na lijeoj strani dobijemo nulu:

1350

xx

Desnu stranu zapišemo u obliku jednog razlomka:

3350

xxx

3820

xx

Sada se pitamo kada će desna strana biti veća ili jednaka od nule. Imamo dvije opcije:

a)03

082

x

xi ILI b)

03

082

x

xi

_________ __________

3

82

x

xi ILI

3

82

x

xi

________ __________

3

4

x

xi ILI

3

4

x

xi

_______ ___________(zbog logičkog veznika i radimo presijek) (zbog logičkog veznika i radimo presijek)

4x ILI 3x

(zbog logičkog veznika ili radimo uniju)

,43,x - ovo je rješenje nejednkaosti I.

II. Sada rješavamo nejednakost 135

xx :

135

xx

0135

xx

03

)3(5

xxx

03

35

xxx

03

2

x

Dakle, da bi izraz3

2x

bio manji ili jednak nuli, 3x treba biti pozitivno :

03 x3x - ovo je rješenje nejednakosti II.

Konačno, trebamo napraviti presijek rješenja nejednkaotsi I. i II. pa dobivamo da je traženadomena jednaka:

,4D

Zadatak 16. Odrediti domenu funkcije )2ln(932

2)( 22

xxxxxxf .

Rješenje.

1. uvjet : 0322 xx2. uvjet : 09 2 x3. uvjet : 02 x

Kada nađemo rješenja sva tri uvjeta, odnosno tri skupa, konačno rješenje biti će presijek ta triskupa iz razloga što tražimo vrijednosti x-a koje istovremeno zadovoljavaju sva tri uvjeta(prvi uvjet i drugi uvjet i treći uvjet – kadgod imamo logički veznik i radimo presjekskupova).

1. uvjet : Nađimo nultočke funkcije 32)( 2 xxxf . Rješenje će biti skup svih realnihbrojeva osim nultočaka u kojima funkcija poprima vrijednost nula.

242

21242

2,1

x

31 x12 x

Dakle, rješenje prvog uvjet a jest skup R \ 3,1 .

2. uvjet:09 2 x

29 x/9 2x

||3 x 3,3x

3. uvjet:

02 x2x ili ,2x

Presjek skupova R \ 3,1 , 3,3 i ,2 je skup:

3,11,2koji se mogao zapisati i ovako:

3,2 \ 1 .Dakle, tražena domena jednaka je 3,11,2D .

Zadatak 17. Odrediti domenu funkcije 5 5

41 1

2sin)2(log

10539log)(

xxxxxxf .

Rješenje.

1. uvjet : 010539

xx

2. uvjet: 03 x

3. uvjet: 0)2(log41 x

4. uvjet: 02 xDomena će biti jednaka presjeku rješenja gornja četiri uvjeta.

1. uvjet :

010539

xx

Izraz na lijevoj strani će biti veći od nule u jednom od sljedeća dva slučaja:

I.0105

039

x

xi ILI II.

0105

039

x

xi

__________ ____________

510

93

x

xi ILI

510

93

x

xi

__________ ILI ____________

21

3

x

xi ILI

21

3

x

xi

__________ ILI ____________(zbog logičkog veznika i radimo presjek) (zbog logičkog veznika i radimo presjek)

3,21x ILI x (presjek je prazan skup)

(zbog logičkog veznika ili radimo uniju)

3,21x

3,21x

2. uvjet:Rx \ 3

3. uvjet:

0)2(log41 x

Zapišimo nulu sa desne strane u sljedećem obliku:

0

41

41 )

41(log)2(log x

1log)2(log41

41 x

Sada bi trebali znati da je funkcija xxf41log)( padajuća funkcija. Njezin graf je prikazan na

slici:

1 1 2 3 4 x

1

2y

Za padajuće funkcije vrijedi:)()( 2121 xfxfxx

Što znači – što se odmičemo više udesno, funkcijska vrijednost je manja. Uzmem li npr.brojeve 2 i 3, 2log

41 zasigurno je veće od 3log

41 . Vrijedi i obrat tvrdnje )()( 2121 xfxfxx

odnosno:

2121 )()( xxxfxf

Sada znamo da iz relacije 1log)2(log41

41 x slijedi:

12 x3x

3,x

4. uvjet:02 x

2x ili ,2x

Konačno, domena će biti jednaka presijeku rješenja svih četiri uvjeta:

RD ,2 \ 3,213,3

3,2D

Zadatak 18. Odrediti domenu funkcije xxxf 3)12ln()( .Rješenje. Postavljamo uvjete:

1. uvjet : 012 x2. uvjet: 03 x

Domena će biti jednaka presijeku rješenja postavljena dva uvjeta.

012 x12 x

2:/12 x

21

x

,21x - rješenje 1. uvjeta

03 xx3

3,x - rješenje 2. uvjeta

Tražena domena je jednaka:

3,

213,,

21D

Zadatak 19. Odrediti domenu funkcije )9log()( 2 xxf .Rješenje.

1. uvjet: 092 x92 x

/92 x

92 x3|| x

Dakle, rješenje će biti svi x-evi čija je udaljenost od ishodišta veća od 3, odnosno:

,33,x

Dakle, domena je jednaka: ,33,D .

Zadatak 20. Odrediti domenu funkcije516)(

2

xxxf .

Rješenje.

1. uvjet : 0162 x2. uvjet: 05 x

Domena će biti jednaka presijeku rješenja gornja dva uvjeta.

0162 x162 x/162 x4|| x

,44,x - rješenje 1. uvjeta

05 x

5xRx \ 5 - rješenje drugog uvjeta

Dakle, tražena domena je jednaka:

RD \ ),44,(5

),44,( D \ 5

Ili drugi mogući zapis

,44,55,D

Zadatak 21. Odrediti domenu funkcije1412)(

xxxf .

Rješenje.

1. uvjet : 01412

xx

2. uvjet: 014 x


Riješimo prvi uvjet. Izraz1412

xx biti će veći ili jednak nuli ako vrijedi jedan od sljedeća dva

moguća slučaja:

I.014

012

x

xi ILI II.

014

012

x

xi

__________ ___________

14

12

x

xi ILI

14

12

x

xi

__________ ___________

41

21

x

x

i ILI

41

21

x

x

i

__________ ___________(zbog log. veznika i radimo presijek) (zbog log. veznika i radimo presijek)

,41x ILI

21,x

(zbog log. veznika ili radimo uniju)

,

41

21,x - rješenje prvog uvjeta.

Rješimo i drugi uvjet:

014 x14 x

41

x

Rx \

41 - rješenje drugog uvjeta

Domena jje jednaka presijeku rješenja :

,

41

21,D

Zadatak 22. Odrediti domenu funkcije )212arcsin(1)( x

xxf .

Rješenje. Postavljamo uvjete:

1. uvjet: 0x

2. uvjet : 12121 x

Rješenje prvog uvjeta je skup R \ 0 . Nađimo rješenje 2. uvjeta:

12121 x

2112

211 x

232

21

x

2:/232

21

x

43

41

x

43,

41x - rješenje 2. uvjeta

Domena će biti jednaka presijeku skupova R \ 0 i

43,

41 odnosno:

43,

41D \ 0

Ili drukčiji zapis

43,00,

41D

Zadatak 23. Odrediti domenu funkcije xx

xf 3125

2)(

.Rješenje.

1. uvjet: 031 x

x31 3:/31 x

31

x

Domena je jednaka:

RD \

31

Zadatak 24. Odrediti domenu funkcijex

xxf35

32ln)(

.

Rješenje.

1. uvjet: 035

32

x

x

2. uvjet: 035 x

Rješimo prvi uvjet. Izrazx

x35

32 će biti veći od nule ako :

a)035

032

x

xi ili b)

035

032

x

xi

__________ ___________

x

x

35

32

i ili

x

x

35

32

i

_________ ___________

x

x

35

23

i ili

x

x

35

23

i

_________ ___________(i – radimo presijek) (i – radimo presijek)

Ako netko nije siguran koji je od brojeva23 i

35 manji a koji veći, možemo ih zapisati na

način da imaju jednaki nazivnik. Razlomak23 proširimo sa 3 pa imamo:

69

3233

23

, odnosno

razlomak35 proširimo sa 2 pa imamo:

610

2325

35

. Sada trebamo usporediti brojeve69 i

610 .

Očito je da vrijedi6

1069 , prema tome

35

23 .

__________ _____________

35,

23x nema rješenja jer ne postoji takav broj x koji je i veći od

35

i

manji od23

, dakle x

Zbog logičkog veznika ili radimo presijek

35,

23x - rješenje 1. uvjeta

Rješimo i drugi uvjet: 035 x035 xx35

35

x

Rx \

35

Domena će biti jednaka presijeku rješenja prvog i drugog uvjeta:

35,

23D


73arccos)(

xxf .

Rješenje. Postavljamo uvjet:

1. uvjet: 13

731

x

3/13

731

x

3733 x73373 x

1034 x3:/1034 x

310

34

x

Dakle, domena je jednaka:

310,

34D .

Zadatak 26. Odrediti domenu funkcije )12)(5()( xxxf .Rješenje. Postavljamo uvjet:

0)12)(5( xxPitanje je kada će umnožak dva faktora biti veći ili jednak od nule. Dva moguća slučaja susljedeća:

a)012

05

x

xi ILI b)

012

05

x

xi

__________ ____________

12

5

x

xi ILI

12

5

x

xi

__________ ____________

21

5

x

xi ILI

21

5

x

xi

__________ ____________(zbog logičkog veznika i radimo presijek) (zbog logičkog veznika i radimo presijek)

,5x ILI

21,x

(Zbog logičkog veznika ili radimo presijek)

,5

21,x

Tražena domena je jednaka:

,5

21,D

Zadatak 27. Odrediti domenu funkcijex

xxf 1cos4)( 2 .

Rješenje.

1. uvjet : 042 x2. uvjet : 0x


042 x

42 x/42 x

42 x2|| x

,22,x - rješenje prvog uvjeta

0xRx \ 0 - rješenje drugog uvjeta

Dakle, tražena domena je jednaka:

,22,D

Zadatak 28. Odrediti domenu funkcije)ln(

14)( 2

xxxf

.

Rješenje.

1. uvjet : 04 2 x2. uvjet: 0)ln( x

3. uvjet: 0x

Nađimo rješenja postavljenih nejednakosti. Domena će biti jednaka njihovom presijeku.

04 2 x24 x

/4 2x||2 x

2,2x - rješenje prvog uvjeta

0)ln( x0ln)ln( ex

1ln)ln( x1x1x

Rx \ 1 - rješenje drugog uvjeta

0x0x

0,x - rješenje trećeg uvjeta

Domena je jednaka:

0,2D \ 1ili drugi zapis 0,11,2D


1)2ln()( 2

xxxxf .

Rješenje. Postavljamo uvjete:

1. uvjet: 02 2 xx2. uvjet: 01 x3. uvjet: 01x

Rješavamo uvjete:

Nejednakost 02 2 xx možemo riješiti crtanjem grafa funkcije 22)( xxxf i očitavanjemintervala nad kojim je graf pozitivan odnosno iznad osi x. Nejednakost možemo riješiti i nanačin da je zapišemo u obliku 0)2( xx i onda promatramo dva slučaja kada će umnožak dvafaktora biti pozitivan. Ovdje ćemo je riješiti skiciranjem grafa kvadratne funkcije

xxxf 2)( 2 . Nađimo nultočk.

)2(2)( 2 xxxxxfI bez korištenja formule, lako je zaključiti da su nultočke funkcije brojevi 01 x i 22 x .Budući da je vodeći koeficijent kvadratne jednadžbe xxxf 2)( 2 negativan, znamo da ćeparabola koja predstavlja graf funkcije biti okrenuta prema dolje. Dakle, imamo skicu:

1 1 2 3

3

2

1

1

Trebamo očitati interval nad kojim je graf funkcije iznad osi x – taj interval će odgovaratirješenju nejednadžbe 02 2 xx . Sa slike vidimo da se radi o intervalu 2,0 . Dakle,

2,0x - rješenje prvog uvjeta

01 x2/01 x

01 x1x

Rx \ 1 - rješenje drugog uvjeta

01x1x

,1x - rješenje trećeg uvjeta

Domena je jednaka presijeku nađenih rješenja:

2,1DZadatak 30. Odrediti domenu funkcije )arcsin(ln)( xxf .Rješenje. Postavljamo uvjete:

1. uvjet : 1ln1 x2. uvjet: 0x

Rješavamo postavljene nejednakosti:

1ln1 xexe lnlnln 1

Budući da je funkcija xln rastuća funkcija, znamo da vrijedi baba lnln . Prema tome, izposljednje nejednakosti možemo zaključiti da vrijedi:

exe 1

ee

x ,1 - rješenje prvog uvjeta

0x ,0x - rješenje drugog uvjeta

Tražena domena je jednaka presijeku rješenja nejednakosti:

ee

D ,1 .

Zadatak 31. Odrediti domenu funkcije tgxxf )( .

Rješenje. Budući da je funkcija tangens definirana kaoxxtgxxf

cossin)( , uvjet koji trebamo

postaviti je idući:

1. uvjet : 0cos x

Rješavamo nejednakost 0cos x . Pitanje je kosinus kojih kutova je jednak nuli. Vrijedi da jekosinus kutova oblika k2 , gdje je Zk jednak nuli. Dakle, slijedi:

0cos xkx 2

Prema tome, domena je jednaka:RD \ Zkk :2

Zadatak 32. Odrediti domenu funkcije )65ln(sin)( 2 xxxxxf .

Rješenje.1. uvjet : 0x

2. uvjet : 0652 xx

Rješenje prvog uvjeta je skup R \ 0 . Drugi uvjet možemo riješiti tako da skiciramo grafkvadratne funkcije 65)( 2 xxxg , i očitamo intervale na kojima je taj graf iznad osi x.Da bi skicirali graf, najprije moramo naći nultočke:

215

224255

2,1

x

21 x32 x

Budući da je vodeći koeficijent kvadratne funkcije 65)( 2 xxxg pozitivan (vodećikoeficijent kvadratne funkcije cbxaxxh 2)( je konstanta a), parabola će biti okrenutaprema gore pa imamo:

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Dakle, rješenje nejednakosti 0652 xx je skup ,32,x .

Domena će biti jednaka presijeku skupova R \ 0 i ,32, , dakle: ,32,00,D .

1.1 Svojstva funkcija

Mnoga svojstva funkcija možemo lakše uočiti promatrajući njihove grafove.

Monotonost funkcija

Pretpostavimo da interval I leži u području definicije (domeni) funkcije f.

Funkcija f je rastuća na intervalu I , ako za sve Ixx 21 , vrijedi)()( 2121 xfxfxx .

Funkcija f je padajuća na intervalu I , ako za sve Ixx 21 , vrijedi)()( 2121 xfxfxx .

Funkcija f je konstantna na intervalu I , ako za sve Ixx 21 , vrijedi)()( 21 xfxf .

Primjer. Eksponencijalne i logaritamske funkcije. Eksponencijalna funkcija xaxf )( ,( 1,0 aa ) definirana je na čitavom skupu R. Ona je strogo rastuća za 1a , a strogo padajućaza 10 a , na čitavom R. Slika funkcije je skup ,0 . Logaritamska funkcija xxf alog)( ,( 1,0 aa ) definirana je na intervalu ,0 , rastuća je za 1a a padajuća za 10 a .Nultočka je 1x .

Slika. Grafovi eksponencijalnih i logaritamskih funkcija.

Primjer. Kvadratna funkcija. Njezina je jednadžba cbxaxxf 2)( , 1,,, aRcba . Grafkvadratne funkcije je parabola cbxaxy 2 . Vodeći koeficijent a određuje oblik parabole:za a>0 okrenuta je prema gore, za a<0 okrenuta je prema dolje. Apsolutna vrijednost ovogkoeficijenta određuje „širinu“ parabole; što je ona veća, to je parabola uža.

Tjeme parabole ima koordinate )4

,2

(aD

abT , gdje je acbD 42 diskriminanta. Označimo

abx

20 . Promotrimo sljedeće dvije mogućnosti:

1. Ako je a>0, onda je f padajuća na intervalu 0, x , a rastuća na intervalu ,0x .

2. Ako je a<0, onda je f rastuća na intervalu 0, x , a padajuća na intervalu ,0x .

Zadatak 1. Odrediti intervale monotonosti za funkciju 32)( 2 xxxf .Rješenje. Skicirajmo graf funkcije 32)( 2 xxxf . Da bi to mogli učiniti koristeći pravilaza pomake grafa funkcije, transformirati ćemo izraz 322 xx na sljedeći način:

4)1(31)1()32(32 2222 xxxxxx

Dakle, graf funkcije 32)( 2 xxxf dobiti ćemo tako da graf funkcije 2)( xxf pomaknemoza jednu duljinu u desno, 4 duljine dolje i zrcalimo s obzirom na pravac x. Dobivamo graf:

2 2 4

10

5

Sada je sa gornjeg grafa lako očitati sljedeće: Funkcija 32)( 2 xxxf raste na intervalu 1, , a pada na intervalu ,1 .

Zadatak 2. Odrediti intervale monotonosti za funkciju xxf 2sin)( .Rješenje. Nacrtajmo graf funkcije xxf 2sin)( .

2 32 2 2

32 2 x

1

1y

Iz grafa je lako očitati da funkcija xxf 2sin)( raste na intervalima oblika kk4

,4

,

odnosno pada na intervalima oblika kk4

3,4

.

Zadatak 3. Odrediti intervale monotonosti za funkciju 3)2()( xxf .Rješenje. Graf funkcije 3)2()( xxf dobiti ćemo tako da graf funkcije 3)( xxf

pomaknemo za dvije jedinične duljine u desno i onda ga zrcalimo s obzirom na os x:

2 2 4 6

50

50

100

Funkcija 3)2()( xxf pada na čitavom skupu R.

Zadatak 5. Odrediti intervale monotonosti za funkcijux

xf 1)( .

Rješenje. Graf funkcije je prikazan na slici:

6 4 2 2 4 6

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

Funkcija je rastuća na 0, i na ,0 .

Parne i neparne funkcije

Proučavanje funkcije i njezina grafa pojednostavljuje se ako on ima svojstvo simetrije.

Funkcija )(xf je parna ako vrijedi )()( xfxf . Grafovi parnih funkcija su simetrični sobzirom na os y.

Primjeri parnih funkcija su

2)( xxf jer je )()()( 22 xfxxxf

||)( xxf jer je )(||||)( xfxxxf

xxf cos)( jer je )(cos)cos()( xfxxxf

Funkcija )(xf je neparna ako vrijedi )()( xfxf . Grafovi neparnih funkcija su centralnosimetrični s obzirom na ishodište koordinatnog sustava.

Slika. (a) Graf funkcije 2xy (parna funkcija) simetričan je s obzirom na os y. (b) Graf funkcije 3xy (neparnafunkcija) centralno je simetričan s obzirom na ishodište.

Primjer. Potencija nxxf )( .Za parni n to je parna funkcija s tjemenom u ishodištu, strogo padajuća na intervalu 0, ,a strogo rastuća na intervalu ,0 .Za neparni n funkcija je neparna s nultočkom u ishodištu, strogo rastuća na čitavom R.

Zadatak 1. Ispitati parnost funkcijexxxf

11log3)( .

Rješenje. Da bi ispitali parnost funkcijexxxf

11log3)( , trebamo provjeriti je li funkcija parna

odnosno vrijedi li )()( xfxf ili je li funkcija neparna odnosno vrijedi li )()( xfxf .

Prema tome, u funkciju ćemo uvrstiti vrijednost –x i ispitati što ćemo time dobiti:

)(1)(1

log3)(xxxf

odnosno

xxxf

11log3)(

Sada bi trebali raspisivati desnu stranu posljednje jednakosti dok eventualno ne dobijemo daje jednaka )(xf ili )(xf , ili dok sa sigurnošću ne budemo mogli reći da nije jednaka niti

)(xf niti )(xf .

1

11log3

11log3)(

xx

xxxf

Sada možemo iskoristiti svojstvo logaritama koje glasi: bnb an

a loglog , pa imamo:

)(11log3

11log3)(

1

xfxx

xxxf

Zaključujemo da je funkcijaxxxf

11log3)( neparna.

Zadatak 2. Ispitati parnost funkcije1212)(

3

3

x

xxf .

Rješenje. Ponovno, u funkciju ćemo uvrstiti vrijednost –x :

1212)(

3

3

x

xxf

Raspisujemo desnu stranu i dobivamo:

)(21

)21(2121

)21(2)21(2

221

221

121

121

1212)(

3

3

3

3

33

33

3

3

3

3

3

3

3

3xfxf

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

.

Zaključujemo da je funkcija1212)(

3

3

x

xxf neparna.

Zadatak 3. Ispitati parnost funkcije xctgxtgx

xxxf cossin)( .

Rješenje.

)cos()()()sin(

)( xxctgxtg

xxxf

Ovdje koristimo svojstva trigonometrijskih funkcija koja glase:

)sin()sin( xx (funkcija sinus je neparna)xx cos)cos( (funkcija kosinus je parna)

tgxxtg )( (funkcija tangens je neparna)ctgxxctg )( (funkcija kotangens je neparna)

Sada slijedi:

xctgxtgx

xxx

xctgxtg

xxxf cossin)cos(

)()()sin(

)(

)(cossin)( xfxctgxtgx

xxxf

Dakle, funkcija xctgxtgx

xxxf cossin)( je parna.

Zadatak 4. Ispitati parnost funkcije 2)( xexf .Rješenje.

212)( x

x

eexf

Sa sigurnošću znamo da:

221 x

xe

ei

)2(21 x

xe

e.

Prema tome, funkcija 2)( xexf nije niti parna niti neparna. Budući da je lako skicirati graffunkcije 2)( xexf za razliku od grafova funkcija iz prethodna tri zadatka, ovaj se zadatakmogao riješiti i tako da se skicira graf funkcije i očita je li taj graf simetričan s obzirom na osy (u tom slučaju funkcija bi bila parna), ili s obzirom na ishodište (u tom slučaju funkcija bibila neparna).

Zadatak 5. Ispitati parnost funkcije 21)( xxf .Rješenje.

)(1)(1)( 22 xfxxxf

Funkcija je parna.

Zadatak 6. Ispitati parnost funkcije 3sin)( xxxf .Rješenje.

3)()sin()( xxxf

Budući da je funkcija sinus neparna, imamo:

333 )1(sin)1(sin)( xxxxxf

)()(sinsin)( 33 xfxxxxxf

Funkcija je neparna.

Zadatak 7. Ispitati parnost funkcije 322)( xxexf .

Rješenje.323)(2)( 22

)( xxxx eexfVrijedi :

3232 22 xxxx eeNaime, da bi gornja nejednakost vrijedila dovoljno je da ona vrijedi za barem jednu konkretnuvrijednost x-a. Ako npr. uzmemo 1x imamo:

63212321 22eeee

Dakle, funkcija 322)( xxexf nije parna.

Također, vrijedi:3232 22 xxxx ee

Uvjerimo se da gornja nejednakost zaista vrijedi. Uzmemo li npr. 1x imamo:23216321 22eeee

Dakle, funkcija 322)( xxexf nije neparna.

Zadatak 8. Izrazite funkciju shxxf )( pomoću eksponencijalne funkcije i ispitajte njenuparnost.Rješenje. Funkcija sinus hiperbolni shxxf )( definirana je na sljedeći način :

2)(

xx eeshxxf

. Ispitajmo je li funkcija2

)(xx eeshxxf

parna ili neprana:

)(22

)(22

)()()(

xfshxeeeeeeeexshxfxxxxxxxx


Zadatak 9. Ispitati parnost funkcije3232ln)(

xxxf .

Rješenje.

1

3232ln

3232ln

)32()32(

ln3232ln

3)(23)(2

ln)(

xx

xx

xx

xx

xxxf

Ponovno koristimo svojstvo logaritama koje glasi bnb an

a loglog pa imamo:

)(3232ln

3232ln)(

1

xfxx

xxxf


Zadatak 10. Izrazite funkciju chxxf )( pomoću eksponencijalne funkcije i ispitajte njenuparnost.Rješenje. Funkcija kosinus hiperbolni chxxf )( definirana je na sljedeći način:

2)(

xx eechxxf

. Ispitajmo njenu parnost:

)(22

)()()(

xcheeeexchxfxxxx

Funkcija je parna.

Zadatak 11. Ispitati parnost funkcije 2)2()( xxf .Rješenje.

2)2()( xxfZa 1x vrijedi:

1)21()1( 2 f

9)21()1( 2 f

9)21()1( 2 fDakle, )()( xfxf i )()( xfxf . Funkcija nije niti parna niti neparna.

Zadatak 12. Ispitati parnost funkcije 1)( 3 xxf .Rješenje.

11)()1(1)1(1)()( 33333 xxxxxf

)(11)( 33 xfxxxf

)()1(1)( 33 xfxxxf

Funkcija nije niti parna niti neparna.

Zadatak 13. Ispitati parnost funkcije )2sin()( xxf .Rješenje. Budući da znamo da je funkcija sinus neparna, odnosno da vrijedi xx sin)sin(

slijedi:)(2sin)2sin()( xfxxxf


Zadatak 14. Ispitati parnost funkcijex

xxf 1cos4)( 2 .

Rješenje.

)1cos(41cos4)()( 22

xx

xxxf

Budući da je funkcija kosinus parna, odnosno da vrijedi xx cos)cos( :

)(1cos4)( 2 xfx

xxf

Funkcija je parna.

Zadatak 15. Ispitati parnost funkcije xtgxxxf 5cos)( 3 .Rješenje.

Funkcija kosinus je parna, a funkcija tangens je neparna pa vrijedi:

)()5cos(5cos)5()cos()()( 333 xfxtgxxxtgxxxtgxxxf


Zadatak 16. Je li funkcija čiji je graf prikazan na slici:

parna ili neparna?

Rješenje. Budući da graf funkcije nije simetričan niti s obzirom na os y niti s obzirom naishodište, zaključak je da funkcija nije niti parna niti neparna.

Zadatak 17. Ispitati parnost funkcije)ln(

14)( 2

xxxf

.

Rješenje.

)ln(14

))(ln(1)(4)( 22

xx

xxxf

Funkcija nije niti parna niti neparna.

Zadatak 18. Ispitati parnost funkcije2

cos1)(x

xxf .

Rješenje.

2)()cos(1

)(x

xxf

Funkcija kosinus je parna pa slijedi:

)(cos1)(

)cos(1)(

22xf

xx

xxxf

Funkcija je parna.

Periodičnost

Za funkciju f kažemo da je periodična ako postoji broj 0T takav da za sve fDx vrijedi)()( Txfxf .

Broj T naziva se period funkcije f. Najmanji pozitivni broj T za koji vrijedi gornja jednakostnaziva se temeljni period.

Primjer. Trigonometrijske funkcije su periodične, i to sinus i kosinus s temeljnim periodom2 , a tangens i kotangens s temeljnim periodom , te za svaki x iz područja definicije vrijedi:

xx sin)2sin( xx cos)2cos( tgxxtg )( ctgxxctg )(

Zadatak 1. Dokazati da je broj period funkcijexxxf2sin1

2sin)(

.

Rješenje. Da bi dokazali da je broj period funkcijexxxf2sin1

2sin)(

, trebamo dokazati da

vrijedi jednakost )()( xfxf :

xxxf2sin1

2sin)(

)(sin1)(2sin

)(2

xxxf

Dakle, dokazujemo jednakost:

xx

xx

22 sin12sin

)(sin1)(2sin

xx

xx

22 sin12sin

)(sin1)22sin(

Budući da je 2 period funkcije sinus imamo:

xx

xx

22 sin12sin

)(sin12sin

xx

xx

22 sin12sin

)sin(12sin

Koristimo trigonometrijski identitet: xx sin)sin(

xx

xx

22 sin12sin

)sin(12sin

xx

xx

22 sin12sin

)(sin12sin

1.2 Kompozicija funkcija i inverzne funkcije

Kompozicija funkcija

Neka su RDf f : , RDg g : zadane funkcije. Neka je x bilo koji element iz fD , )(xfy .Ako y leži u gD , tad je definirana vrijednost ))(()( xfgyg . Na taj je način definirano ipreslikavanje s fD u R, koje nazivamo slaganje ili kompozicija funkcija f i g i označavamosimbolom fg :

))(())(( xfgxfg .

Zadatak 1. Ako su zadane funkcije xxxf 3)( i )2cos()( xxg , odrediti funkcije ff , gg ,gf i fg .

Rješenje.xxxxxxfxffxff 3333 )()())(())((

))2cos(2cos())2(cos())(())(( xxgxggxgg

xxxfxgfxgf 2cos)2(cos))2(cos())(())(( 3

))(2cos()())(())(( 33 xxxxgxfgxfg

Zadatak 2. Ako su zadane funkcije 1)( 2 xxf i )1sin()( xxg , odrediti funkcije ff ,gg , gf i fg .

Rješenje.1)1()1())(())(( 222 xxfxffxff

)1)1sin(sin())1(sin())(())(( xxgxggxgg

1)1(sin))1(sin())(())(( 2 xxfxgfxgf

)11sin()1())(())(( 22 xxgxfgxfg

Zadatak 3. Ako su zadane funkcije 1)( 2 xxf i xexg )( , odrediti funkcije ff , gg ,gf i fg .

Rješenje.1)1()1())(())(( 222 xxfxffxff

xex eegxggxgg )())(())((

1)()())(())(( 2 xx eefxgfxgf 12 2

)1())(())(( xexgxfgxfg

Zadatak 4. Ako su zadane funkcije xxf )( i )1ln()( xxg , odrediti funkcije ff , gg ,gf i fg .

Rješenje.4)())(())(( xxxfxffxff

))1ln(ln())1(ln())(())(( xxgxggxgg

)1ln())1(ln())(())(( xxfxgfxgf

)1ln()())(())(( xxgxfgxfg

Zadatak 5. Ako su zadane funkcije1

1)(

x

xf i xexg )( , odrediti funkcije ff , gg , gf

i fg .Rješenje.

11

11)

11())(())((

xx

fxffxff

xex eegxggxgg )())(())((

11)())(())((

x

x

eefxgfxgf

11

)1

1())(())((

xex

gxfgxfg

Zadatak 6. Ako su zadane funkcije 21)( x

xf i xxg )21()( , odrediti funkcije ff , gg ,

gf i fg .Rješenje.

221

1)21())(())((

xx

fxffxff

xxgxggxgg

)21(

)21())

21(())(())((

2)

21(

1))21(())(())((

x

xfxgfxgf

21

)21()21())(())((

x

xgxfgxfg

Zadatak 7. Ako su zadane funkcije1

1)(

x

xf i 2)( xexg , odrediti funkcije ff , gg ,

gf i fg .Rješenje.

11

11)

11())(())((

xx

fxffxff

22 2)())(())((

xex eegxggxgg

11)())(())((2

2

xx

eefxgfxgf

21

1

)1

1())(())((

xex

gxfgxfg

Zadatak 8. Ako su zadane funkcije 2)( 3 xxf i 32)( xxg , odrediti funkcije ff , gg ,gf i fg .

Rješenje.

2)2()2())(())(( 333 xxfxffxff 323 3

2)2())(())((

xxgxggxgg

2)2()2())(())(( 333 xxfxgfxgf 1323 33

22)2())(())(( xxxgxfgxfg

Zadatak 9. Ako su zadane funkcije 3)( xxf i 4)( xexg , odrediti funkcije ff , gg ,gf i fg .

Rješenje.33)3())(())(( xxfxffxff

4)4())(())(( 4 xex eegxggxgg

34)4())(())(( xx eefxgfxgf

4)3())(())(( 3 xexgxfgxfg

Inverzne funkcije

Neka je RDf f : bijekcija (to znači da svakom Ry odgovara točno jedan element x iz fD

takav da je )(xfy ). U tom slučaju možemo defiinrati preslikavanje, označimo ga sa 1f ,koje će elementu y pridružiti njemu odgovarajući x na način:

xyf )(1 .Ovako definirano preslikavanje naziva se inverzna funkcija dane funkcije. Njezina je domena

1fD jednaka području vrijednosti R funkcije f.Ona zadovoljava svojstva:

xxff ))((1 za svako fDx

yyff ))(( 1 za svako 1 fDy

Primjer. Neka je 2)( xxf definirana na intervalu ,0 , xxg )( definirana na istomintervalu. Ona su jedna drugoj inverzne, jer vrijedi za svaki 0x :

xxxfxgf 2)()())((

xxxgxfg 22 )())(( .

Grafovi funkcija f i njoj inverzne funkcije 1f simetrični su s obzirom na pravac xy .

Zadatak 1. Odrediti inverz i kodomenu funkcije 32)( xxf .Rješenje. Za inverznu funkciju )(1 xf zadane funkcije )(xf će vrijediti:

xxff ))(( 1 .

Dakle, odredimo kompoziciju ))(( 1 xff i izjednačimo je sa x.

xxfxff 3)(2))(( 11

Iz gornje jednadžbe sada još trebamo izraziti )(1 xf :

3)(2 1 xxf

2:/3)(2 1 xxf

23)(1

xxf

Kodomena originalne funkcije 32)( xxf biti će jednaka domeni njezinog inverza, odnosno

1 ff DK . Domena funkcije2

3)(1 xxf jednaka je R, dakle kodomena početne funkcije je

jednaka R.RK f .

Zadatak 2. Odrediti inverz i kodomenu funkcije 4)( xexf .Rješenje. Za inverznu funkciju )(1 xf zadane funkcije )(xf će vrijediti:

xxff ))(( 1 .


xexff xf 4)(1 1))((

Iz gornje jednadžbe sada još trebamo izraziti )(1 xf :xe xf 4)(1

xe xf lnln 4)(1

xxf ln4)(1

4ln)(1 xxf

Domena funkcije 4ln)(1 xxf je ,01fD , pa je kodomena funkcije 4)( xexf

jednaka istome skupu ,0fD .

Zadatak 3. Odrediti inverz i kodomenu funkcije )1

ln(arccos)(

xxxf .

Rješenje.

xxfxfxff

)

1)()(

ln(arccos))((1

11

xxfxf

)1)(

)(ln(arccos

1

1

xxfxf

ee

)1)(

)(ln(arccos 1

1

xexfxf

1)()(

arccos1

1

)cos()1)(

)(cos(arccos

1

1xe

xfxf

)cos(1)(

)(1

1xe

xfxf

)1)((/)cos(1)(

)( 11

1

xfexfxf x

)cos()()cos()( 11 xx exfexf

)cos()()cos()( 11 xx exfexf

)cos())cos(1)((1 xx eexf

)cos(1)cos(

)(1x

x

eexf

Odredimo domenu funkcije)cos(1

)cos()(1

x

x

eexf

. Postavljamo uvjet:

1. uvjet : 0)cos(1 xe

1)cos( xe

ke x 2 ; Zk )2ln(ln ke x

)2ln( kx

Domena funkcije)cos(1

)cos()(1

x

x

eexf

jednaka je RD f 1 \ Zkk :)2ln( . Dakle, kodomena

početne funkcije )1

ln(arccos)(

xxxf jednaka je RK f \ Zkk :)2ln( .

Zadatak 4. Odrediti inverz i kodomenu funkcijex

xfcos11log)( 3

.

Rješenje.

xxf

xff

)(cos11log))((

131

xxf

)(cos11log

13

xxf 33 )(cos11log 13

x

xf3

)(cos11

1

xxf

31)(cos1 1

131)(cos 1 x

xf

)131arccos())(arccos(cos 1 x

xf

)131arccos()(1 x

xf

Nađimo domenu funkcije )131arccos()(1 x

xf :

1. uvjet: 11311 x

2. uvjet: 03 x

Riješimo prvi uvjet:

2310 x

Rastavimo gornju nejednakost na dvije nejednakosti. Promotrimo prvu:

x310

Pitanje je kada će izrazx3

1 biti veći ili jednak od nule – onda kada je 03 x . Međutim,

nejednakost 03 x vrijedi za sve realne brojeve. Promotrimo sada drugu nejednakost:

231

x

0231

x

03

321

x

x

Budući da uvije vrijedi 03 x , gornja će nejednakost biti zadovoljena kada bude vrijedilo:0321 x

x321

x321

Budući da je funkcija x3log rastuća, to znači da za ba vrijedi ba 33 loglog . Prema tome:x3log

21log 33

x21log3

Budući da je drugi uvjet 03 x zadovoljen za svaki realni broj, zaključujemo da je domena

funkcije )131arccos()(1 x

xf jednaka ,

21log31fD , odnosno kodomena funkcije

xxf

cos11log)( 3

je jednaka ,

21log3fK .

Zadatak 5. Odrediti inverznu funkciju i kodomenu funkcije )5(log)( 5 xxf .Rješenje. Za inverznu funkciju )(1 xf će vrijediti:

xxff ))(( 1

xxf )5)((log 15

Riješimo gornju jednadžbu po )(1 xf , odnosno izrazimo )(1 xf :xxf )5)((log 1

5

xxf 55 )5)((log 15

xxf 55)(1

55)(1 xxf

Domena funkcije 55)(1 xxf je čitav skup R, pa je i kodomena funkcije )5(log)( 5 xxfjednaka RK f .

Zadatak 6. Odrediti inverznu funkciju i kodomenu funkcije 2)( 3 xexf .Rješenje.

2))(( 3)(1 1 xfexff

xe xf 23)(1

23)(1xe xf

)2ln(ln 3)(1xe xf

)2ln(3)(1 xxf

3)2ln()(1 xxf

Domena funkcije 3)2ln()(1 xxf je skup ,21fD pa slijedi da je kodomena funkcije

2)( 3 xexf jednaka ,2fK

Zadatak 7. Odrediti inverznu funkciju i kodomenu funkcije2

1)(

x

xf .

Rješenje.

xxf

xff

2)(1))((

11

xxf

2)(

11

xxf 12)(1

21)(1

xxf

Domena funkcije 21)(1

xxf je R \ 0 , dakle kodomena funkcije

21)(

x

xf je isto R \ 0 .

Zadatak 8. Odrediti inverznu funkciju i kodomenu funkcije 1)( 5 xexf .Rješenje.

xexff xf 1))(( 5)(1 1

xe xf 15)(1

15)(1xe xf

)1ln(ln 5)(1xe xf

)1ln(5)(1 xxf

5)1ln()(1 xxf

Domena funkcije 5)1ln()(1 xxf je ,11fD pa slijedi da je kodomena funkcije

21)(

x

xf jednaka ,1fK .

Zadatak 9.

Zadatak 9. Odrediti inverz, domenu i kodomenu funkcije )1(log)( 24 xxxf .

Rješenje. Za inverznu funkciju )(1 xf zadane funkcije )(xf će vrijediti:xxff ))(( 1 .


xxfxfxff )1))(()((log))(( 2114

1

xxfxf )1))(()((log 2114

Iz gornje jednadžbe sada još trebamo izraziti )(1 xf :

xxfxf )1))(()((log 2114

xxfxf 44 )1))(()((log 2114

xxfxf 41))(()( 211

Da bi se riješili korijena prebaciti ćemo )(1 xf sa lijeve na desnu stranu i čitavu jednakostkvadrirati:

)(41))(( 121 xfxf x

2121 /)(41))(( xfxf x 2121 ))(4(1))(( xfxf x

211221 ))(()(4241))(( xfxfxf xx

Kratimo 21 ))(( xf sa lijeve i desne strane:)(4241 12 xfxx

Budući da trebamo izraziti )(1 xf , prebacujemo na lijevu stranu sve što nije vezano uz izraz)(1 xf :

)(4241 12 xfxx

Dijelimo čitavu jednadžbu sa x42 i dobivamo:

x

xxf

4241)(

21

.

Dakle, inverzna funkcija funkcije )1(log)( 24 xxxf je funkcija

x

xxf

4241)(

21

. Još

trebamo odrediti domenu i kodomenu funkcije )1(log)( 24 xxxf . Što se tiče domene,

uvjeti koje trebamo postaviti su sljedeći:

1. uvjet: 012 xx2. uvjet: 012 x

Rješavamo prvi uvjet:

012 xxDa bi se riješili korijena, prebaciti ćemo x na desnu stranu i kvadrirati:

22 /1 xx 22 1 xx

Kratimo 2x sa lijeve i desne strane i dobivamo:

01

Dakle, krenuli smo od nejednakosti 012 xx , i dozvoljenim transformacija smo je dovelido oblika 01 . Budući da je relacija 01 istinita, zaključujemo da je i relacija 012 xxistinita za svaki realni broj x. Dakle, rješenje prvog uvjeta je skup R.

Riješimo i drugi uvjet:

012 x12 x

Očito je da posljednja nejednakosti vrijedi za bilo koji realni broj. Dakle, rješenje drugoguvjeta je skup R. Prema tome, domena funkcije je presjek rješenja prvog i rješenja drugoguvjeta, odnosno domena je skup R.

Kodomena funkcije je jednaka domeni njezine inverzne funkcije. Prema tome, da bi našlikodomenu funkcije )1(log)( 2

4 xxxf naći ćemo domenu njezine inverzne funkcije

x

xxf

4241)(

21

. Jedini uvjet koji trebamo postaviti je:

1. uvjet: 042 x

)2(:/042 x

04 x

Znamo da će gornja nejednakost biti zadovoljena za svaki realni broj, odnosno ne postoji

takav x da vrijedi 04 x . Prema tome, domena funkcijex

xxf

4241)(

21

je R, pa slijedi da je

kodomena funkcije )1(log)( 24 xxxf također R.

Zadatak 10. Nacrtati graf funkcije 1)( xexf . Na kojoj domeni ova funkcija ima inverznufunkciju )(1 xf i koja je to funkcija? U istom koordinatnom sustavu nacrtati i graf funkcije

)(1 xf .Rješenje. Graf funkcije 1)( xexf se dobiva pomakom grafa funkcije xexf )( za jednujediničnu duljinu u desno.

3 2 1 1 2 3

2

4

6

8

10

xexf )(

1)( xexf

Graf inverzne funkcije )(1 xf biti će simetričan dijelu grafa funkcije ili čitavom grafufunkcije 1)( xexf s obzirom na pravac xy . Prema tome, zrcalimo graf funkcije 1)( xexfs obzirom na pravac xy i pogledajmo što ćemo dobiti:

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

1)( xexf

xy

)(1 xf

Vidimo da krivulja koju smo dobili (plava krivulja na slici) zadovoljava vertikalni test. Prematome zaključujemo da funkcija 1)( xexf ima inverz na čitavoj svojoj domeni. Nađimo sadačemu je jednaka funkcija )(1 xf . Znamo da će vrijediti:

xexff xf 1)(1 1))((

xe xf 1)(1

xe xf lnln 1)(1

xxf ln1)(1

1ln)(1 xxfZadatak 11. Nacrtati graf funkcije chxxf )( . U istom koordinatnom sustavu nacrtati grafinverzne funkcije )(1 xf i napisati koja je to funkcija. Ispitati parnost funkcije )(1 xf .Rješenje. Funkcija kosinus hiperbolni definirana je na sljedeći način:

2

xx eechx

Nacrtajmo graf funkcije2

)(xx eechxxf

koristeći se tablicom. Prije toga, samo treba

utvrditi čemu je jednaka domena funkcije. Domena će biti jednaka čitavom skupu R.

x2

)(xx eechxxf

01

20)0(

00

eechf

1543,1

21)1(

11

eechf

276,3

22)2(

22

eechf

3067,10

23)3(

33

eechf

-1543,1

2)1()1(

11

eechf

-276,3

2)2()2(

22

eechf

-3067,10

2)3()3(

33

eechf

Iz tablice se nameće zaključak da je funkcija2

)(xx eechxxf

parna, u što se lako možemo

uvjeriti računskim putem. Prema tome, znamo da će njezin graf biti simetričan s obzirom naos y, pa se možemo koncentrirati samo na crtanje grafa s desne strane od osi y, jer ćemoostatak grafa lako dobiti zrcaljenjem. Vidimo da kako se nezavisna varijabla x povećava,

funkcijska vrijednost2

)(xx eechxxf

raste. Skicirajmo četiri izračunate točke i spojimo

ih. Dobivamo graf:

4 2 0 2 4

2

4

6

8

10

Graf inverzne funkcije biti će simetričan dijelu ili čitavom gore skiciranom grafu s obzirom napravac xy . Prema tome, nakon zrcaljenja gornjeg grafa dobivamo:

10 5 5 10

10

5

5

10

Vidimo da krivulja koju smo dobili zrcaljenjem nije graf funkcije, jer ne zadovoljavavertikalni test. Međutim, također vidimo da smo zrcaljenjem desne polovice grafa funkcije

2)(

xx eechxxf

dobili krivulju koja je graf funkcije (na slici je ljubičasta). Prema tome,

zaključujemo da funkcija2

)(xx eechxxf

ima inverz na intervalu ,0 . To je funkcija

area kosinus hiperbolni i jednaka je )1ln()( 21 xxarchxxf .

10 5 5 10

10

5

5

10

Kako smo zapravo došli do funkcije )1ln()( 21 xxarchxxf ? Znamo da vrijedixxff ))(( 1 . Dakle, imamo:

xee xfxf

2

)()( 11

xee xfxf 2)()( 11

xe

exf

xf 21)(

)(1

1

xe

exf

xf21

)(

)(2

1

1

)()(2 1121 xfxf xee

012 )()(2 11

xfxf xee

012)( )(2)( 11

xfxf xee

Došli smo do kvadratne jednadžbe po izrazu )(1 xfe , pa da si pojednostavimo daljnje računanje

možemo privremeno izraz )(1 xfe zamijeniti sa t:

0122 xtt

12

442 22

2,1

xxxxt

Zamijenimo ponovno t sa )(1 xfe pa dobivamo:

12)(1

xxe xf

)1ln(ln 2)(1

xxe xf

)1ln()( 21 xxxfIzraz sa desne strane posljednje jednakosti nije jednoznačno određen, jer imamo izbor biranjapredznaka plus ili minus. Mi ćemo se odlučiti za plus, jer ćemo tako dobiti funkciju čiji je graf

ljubičast na predzadnjoj slici. Da smo se odlučili za predznak minus, dobili bi funkciju čiji jegraf zelen na predzadnjoj slici.

Još trebamo ispitati parnost funkcije )1ln()( 21 xxarchxxf . Budući da znamo kakoizgleda njezin graf (nije simetričan ni s obzirom na os y, ni s obzirom na ishodište), lakozaključujemo da funkcija nije niti parna niti neparna.

Zadatak 12. Odrediti inverznu funkciju funkcije1412)(

xxxf .

Rješenje.

xxfxfxff

1)(41)(2

))((1

11

21

1/

1)(41)(2 x

xfxf

21

1

1)(41)(2 x

xfxf

2121 )(41)(2 xxfxxf

1)(4)(2 2121 xxfxxf

1)42)(( 221 xxxf

2

21

421)(x

xxf

241

)24()1(

)(2

2

2

21

xx

xxxf

Zadatak 13. Nacrtati graf funkcijex

xf

21)( . Na kojoj domeni ova funkcija ima inverznu

funkciju )(1 xf i koja je to funkcija? U istom koordinatnom sustavu nacrtati i graf funkcije)(1 xf . Koja je domena funkcije )(1 xf ?

Rješenje.

4 2 2 4

5

10

15x

xf

21)(

Graf inverzne funkcije biti će simetričan dijelu grafa ili čitavom grafu funkcijex

xf

21)( s

obzirom na pravac xy . Prema tome, zrcalimo graf funkcijex

xf

21)( s obzirom na

navedeni pravac:

2 2 4

4

2

2

4x

xf

21)(

xy

)(1 xf

Vidimo da krivulja koju smo dobili zrcaljenjem zadovoljava vertikalni test. Prema

tome, zaključujemo da funkcijax

xf

21)( ima inverz na čitavoj svojoj domeni. Izračunajmo

sada čemu je jednak taj inverz:

xxffxf

)(

11

21))((

xxf

21

)(

21 log

21log

1

xxf21

1 log)(

Još je pitanje koja je domena funkcije xxf21

1 log)( . Domena je jednaka ,0D .

Zadatak 14. Odrediti inverz funkcije ))25(cos(log)( 2 xxg .Rješenje. Za inverznu funkciju )(1 xg će vrijediti xxgg ))(( 1 . Dakle:

xxg ))2)(5(cos(log 12

xxg 22 ))2)(5(cos(log 12

xxg 2)2)(5cos( 1

)2arccos())2)(5(arccos(cos 1 xxg

)2arccos(2)(5 1 xxg

2)2arccos()(5 1 xxg

52)2arccos(

)(1

xxg

Zadatak 15. Nacrtati graf funkcije 2)2()( xxf . U istom koordinatnom sustavu nacrtati grafinverzne funkcije )(1 xf i napisati koja je to funkcija.Rješenje.

6 4 2 0 2

1

2

3

4

5

6

2)2()( xxf

Izračunajmo inverznu funkciju:

xxfxff 211 )2)(())((

/)2)(( 21 xxf

xxf |2)(| 1

xxf 2)(1

2)(1 xxfNa desnoj strani posljednje jednakosti nismo dobili jednoznačno određenu funkciju. Imamomogućnost izbora predznaka plus ili minus. Nacrtajmo graf funkcije koju dobijemo odabirompredznaka plus. Njezin graf ćemo dobiti pomakom grafa funkcije x za dvije jediničneduljine dolje.

Vidimo da je zapravo funkcija 2)(1 xxf inverzna funkcija funkcije 2)2()( xxf nadomeni ,2 (jer su simetrične s obzirom na pravac xy ). Slično bi mogli zaključiti da jefunkcija 2)(1 xxf inverzna funkcija funkcije 2)2()( xxf na domeni 2, .

Zadatak 16. Odrediti inverz funkcije xx

xg 3125

2)(

.Rješenje.

xxgg xgxg

)(312)(5

1 1

1

2))((

xxgxg

2)(312)(5

2 log2log1

1

5 5 10

6

4

2

2

4

6

2)2()( xxf xy

2)(1 xxf

xxg

xg21

1log

)(312)(5

)(log3log2)(5 122

1 xxgxxg

2log)(log3)(5 21

21 xxxgxg

2log)log35)(( 221 xxxg

xx

xg2

21

log352log

)(

Zadatak 17. Nacrtati graf funkcije 1)( 3 xxf . U istom koordinatnom sustavu nacrtati graffunkcije )(1 xf i napisati koja je to funkcija.

Rješenje.

Zrcalimo li graf funkcije 1)( 3 xxf s obzirom na pravac xy , dobivamo krivulju kojazadovoljava vertikalni test. Računski, inverznu funkciju ćemo dobiti sljedećim postupkom:

xxfxff 1))(())(( 311

1))(( 31 xxf331 /1))(( xxf

31 1)( xxf

Zadatak 18. Odrediti inverz funkcijex

xxf35

32ln)(

.

Rješenje.

xxf

xfxff

)(353)(2

ln))((1

11

xexf

xf

)(353)(2

1

1

)(353)(2 11 xfeexf xx

35)(3)(2 11 xx exfexf

35)32)((1 xx eexf

4 2 2 4

100

50

50

100

1)( 3 xxf

x

x

eexf

3235)(1

Matematicke Funkcije

Documents

Transcript of Matematicke Funkcije