PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
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PROF: JAIME QUISPE CASASI.E.P.Nº 2874 Ex 451
2013
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS ()
Definición.-
Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes y los lados homólogos proporcionales.
Se denominan lados homólogos a los lados que se oponen a ángulos congruentes
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS
Si se cumple que
CA
B
FD
E
A D
B E
C F
DF
AC
EF
BC
DE
AB
Entonces ABC DEF
Los lados AB y DE se llaman lados homólogos por oponerse a ángulos congruentes que mide
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS
Casos de semejanzas:
PRIMER CASO: Si tienen dos pares de ángulos congruentes.
CA
B
FD
E
A D
C F ABC DEF
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS
SEGUNDO CASO: Si tienen un par de lados congruentes y los lados que los forman, respectivamente proporcionales.
B E
ABC DEFEF
BC
DE
AB
CA
B
FD
E
EF
DE
BC
AB
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS
TERCER CASO: Si tienen los tres pares de lados respectivamente proporcionales..
CA
B
FD
E
ABC DEFDF
AC
EF
BC
DE
AB
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS.
1.- En el triangulo ABC se traza una recta paralela al lado AC que interseca al lado AB en M y al lado BC en N. si MN = 3a, AC = 5a, BM = x + 2, MA = x – 2 ; calcular “x”·
CA
B
M N
Resolución
5a
3ax - 2
x + 2
m N = m C = Por ser ángulos correspondientes
MBN ABC
BA
BM
AC
MN x2
2x
a5
a3
6x = 5x + 10 x = 10
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
2) En el ABC AB = 24, mA = 45º por un punto F del lado BC se traza FE al lado AC. Hallar FE, si BF = 3FC
A C
B
45º
Resolución
Trazamos FE AC
H E
F
Trazamos la altura BH
45º24
3a
a
m HBC = m EFC = Por ser ángulos correspondientes
CEF CHBBC
FC
BH
FE a4
a
212
x
23x
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
3) Se tiene un ABC y una paralela PQ al lado Ac. Hallar BQ y QC. Si PQ = 5m; AC = 16m; BC = 24m Resolución
A = P = C = Q = Por ser ángulos correspondientes
ABC PBQ
CA
B
P Q
BQ
BC
PQ
AC BQ
24
5
16
16
245BQ
5,7BQ
5,16QC
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
4) En un triangulo rectángulo ABC se traza PQ paralelo a BC , hallar QC.
Si PQ = 7m, BC = 15m;AC = 32mResolución
C = Q = B = P = 90ºPor ser ángulos correspondientes
ABC APQP
Q
C A
B
Trazamos PQ // BC
QA
AC
PQ
BC x32
32
7
15
)32(7)x32(15
224x15480
157
x 32 - x32
06,17x
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
5) Los lados de un triangulo rectángulo ABC miden AB = 5m; BC= 12m; AC= 13m, la mediatriz relativa a la hipotenusa corta al cateto BC en N, hallar el segmento MN (M esta en AC)
Resolución ABC NMCN
M
A C
B
Trazamos la mediatriz NM
12
6,5
x
13
Mediatriz Es el segmento PERPENDICULAR al lado de un triángulo por su punto medio
BC
MC
AB
NM 12
5,6
5
x
)5(5,6x12
70,2x
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.6) Las bases de un trapecio miden 27 y 36m, y su altura 14m. Calcular la altura del triangulo formado por la prolongación de los lados no paralelos con la base menor
Resolución
APD BPC
Q
A
14 + xx
36
B
P
C
DH
14
27
36
x
x14
x36)x(27)27(14
42x
x9378
