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CUADERNO Nº 7 NOMBRE: ___________________________ FECHA: / /

Semejanza y trigonometría - 1 -

Semejanza. Teorema de Pitágoras

Contenidos

1. Semejanza. Teorema de Tales. Triángulos semejantes. Teorema de Pitágoras. Cálculo de distancias.

2. Resolución de triángulos rectángulos.

Dos lados.

3. Razón de semejanza Razón de semejanza en longitudes Razón de semejanza en áreas Razón de semejanza en volúmenes

Objetivos

Reconocer triángulos semejantes.

Calcular distancias inaccesibles aplicando la semejanza de triángulos.

Calcular la medida del tercer lado de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos.

Calcular áreas y volúmenes de una figura a partir de otra semejante a ella.

Autora: Montserrat Gelis Bosch Bajo licencia

Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Semejanza y trigonometría - 2 -

1. Semejanza

1.a. Teorema de Tales Teorema de Tales, versión cortes de paralelas a dos oblicuas:

Cuando se cortan dos rectas oblicuas con rectas paralelas, los segmentos que se obtienen en

cada recta oblicua guardan la misma proporción:

c

c

b

b

a

a

BC

CB

AB

BA

OA

OA ''''''''

Halla en los casos a) y b) las proporciones

Teorema de Tales, versión triángulos:

Dado un triángulo, si se traza una recta paralela a uno de sus lados, ésta cortará a los otros

dos lados –o a sus prolongaciones- determinando un nuevo triángulo que es semejante al

original. Cuando esto ocurra, se dirá que ambos triángulos están en posición de Tales

A partir de la siguiente proporción:

Comprueba que también se cumple:

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Semejanza y trigonometría - 3 -

1.b. Triángulos semejantes

Dos figuras son semejantes si poseen la MISMA FORMA. El tamaño no importa, ya que se podrían pasar de una a otra con un zoom (homotecia). CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cómo deben ser los ángulos correspondientes de dos polígonos semejantes?

Si dos triángulos tienen todos los ángulos iguales, ¿podemos afirmar que son semejantes?

Si dos cuadriláteros tienen todos los ángulos iguales, ¿qué otra condición deben cumplir para ser semejantes?

Por consiguiente, SEMEJANZA GEOMÉTRICA significa

rc

c

b

b

a

aalesproporcionlados

igualesángulos

'''

'''

'

1fFigfFig

r

r

Ejemplos de figuras semejantes:

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Semejanza y trigonometría - 4 -

Triángulos semejantes Los criterios de semejanza para dos triángulos son:

1. Basta con que tengan los tres ángulos correspondientes iguales para que sean semejantes.

automáticamente sus lados serían proporcionales

2. Basta con que tengan los tres lados correspondientes proporcionales para que sean semejantes.

automáticamente sus ángulos serían iguales

3. Basta con que tengan un ángulo comprendido igual y los lados adyacentes proporcionales para que sean semejantes.

4. Basta con que estén en posición de Tales para que sean semejantes.

TEST SOBRE FIGURAS SEMEJANTES

a) ¿Son semejantes? Indica por qué

b) Un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 40º ¿es forzosamente semejante a un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 110º?

c) Un triángulo de lados 3, 6 y 7 cm, ¿es semejante a otro cuyos lados miden 9, 36 y 49 cm?

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Semejanza y trigonometría - 5 -

e) Dos polígonos regulares con el mismo número de lados, ¿son semejantes?

Los triángulos de las figuras son semejantes; halla el centro de la homotecia y la medida del lado x.

a)

b)

En el mismo lugar y en la misma hora, alturas y sombras definen triángulos semejantes. Resuelve los problemas siguientes

Halla la altura del árbol.

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Semejanza y trigonometría - 6 -

Halla la sombra del árbol.

1.c. Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, de catetos b y c, y de hipotenusa a, se cumple que

222 cba y viceversa.

Nota: Hay muchas demostraciones distintas de este teorema. Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S. Loomis publica The Pitagoream Proposition donde aparecen 367 pruebas.

Veamos unos ejemplos en los que se aplica este teorema.

¿La hipotenusa?

¿El otro cateto?

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Semejanza y trigonometría - 7 -

Distancia entre dos puntos

1.d. Cálculo de distancias inaccesibles

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones donde es necesario calcular distancias inaccesibles. Veamos unos ejercicios de ejemplo.

Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura. Calcula la distancia x al barco.

Calcula la distancia x entre los árboles A y B

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Semejanza y trigonometría - 8 -

Calcula la profundidad x del pozo.

2. Resolución de triángulos rectángulos 2.a Conocidos dos lados del triángulo rectángulo (y un ángulo agudo) Resolver un triángulo significa conocer los tres lados y los tres ángulos.

Para hallar el tercer lado de un triángulo rectángulo se aplicará el Teorema de Pitágoras.

El tercer ángulo se determinará como el suplementario de la suma de los dos conocidos, es

decir, bastará restar a 180º esa suma.

EJERCICIO 1:

En un triángulo rectángulo de catetos 5 y 10 cm calcula la medida de su hipotenusa y de sus ángulos.

Hipotenusa a:

Ángulos:

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Semejanza y trigonometría - 9 -

EJERCICIO 2:

Resuelve un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa mide 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm.

Cateto b:

Ángulos:

β

EJERCICIOS 9. Calcula el otro cateto y los restantes ángulos del triángulo de la figura:

10. Calcula la hipotenusa y los restantes ángulos del triángulo de la figura:

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Semejanza y trigonometría - 10 -

1. Razón de semejanza

3.a. Razón de semejanza entre longitudes Recuerda:

Si dos figuras A y B son semejantes, se llama razón de semejanza r de la figura B respecto

de la A al cociente entre la longitud de un segmento de la figura B (en la 2ª) y la de su

homólogo en la figura A (en la 1ª).

La razón de semejanza define la k=r de la homotecia que transforma la figura A en la B.

Las longitudes se transforman con el factor r

¿Cuál es la razón de semejanza que pasa de la figura naranja a la figura verde? Calcula la

longitud del segmento señalado con una interrogación.

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Semejanza y trigonometría - 11 -

¿Cuál es la razón de semejanza que pasa de la figura naranja a la figura verde? Calcula la

longitud del segmento señalado con una interrogación:

A partir de este triángulo dibuja otro semejante que se obtenga al aplicar a este una razón de

semejanza igual a ¼.

Calcula la longitud de la hipotenusa en cada triángulo.

3.b. Razón de semejanza entre áreas

Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el área de B (de la 2ª) y el área de A

(de la 1ª) es el cuadrado de la razón de semejanza de la figura B respecto de la A.

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Semejanza y trigonometría - 12 -

Las áreas se transforman con el factor r2

¿Cuál es la razón de una semejanza que convierte una figura en otra de área la cuarta parte?

¿Cuál es el área de una figura que se obtiene al aplicar a otra de área 2 m2, una semejanza de razón r=2,4?

En una semejanza de razón r=0,6 se obtiene una figura de área 7,2 m2 ¿cuál es el área de la figura inicial?

Dibuja un triángulo semejante de área la cuarta parte de este.

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Semejanza y trigonometría - 13 -

3.c. Razón de semejanza en volúmenes

Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el volumen de B (de la 2ª) y el de A (de

la 1ª) es el cubo de la razón de semejanza de la figura B respecto de la A.

Las volúmenes se transforman con el factor r3

¿Cuál es el volumen de la figura de la derecha?

¿Cuál es el volumen de la figura de la izquierda?

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Semejanza y trigonometría - 14 -

Para practicar

T. Tales. Calcula x.

1. Calcula x…

2. Calcula x…

Cuadriláteros semejantes.

Las medidas de tres lados homólogos de dos cuadriláteros semejantes son las de las figuras; halla x e y

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Semejanza y trigonometría - 15 -

Anchura del río

¿Por dónde corto?

4. Por donde se ha de cortar la hoja para que la parte izquierda sea semejante a la hoja entera.

Resuelve los siguientes EJERCICIOS de Triángulos rectángulos. El lado de un polígono regular

5. En un polígono regular de 5 lados (pentágono regular), el radio r = 6 cm y la apotema

ap = 4’9 cm. Calcula el lado l y el ángulo central α

3. Calcula en metros la anchura x, basándote en los datos del dibujo.

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Semejanza y trigonometría - 16 -

La apotema de un polígono regular

6. En un polígono regular de 4 lados (cuadrado) el lado l = 4 cm. Calcula el radio r y la

apotema ap

El radio de un polígono regular

7. En un polígono regular de 3 lados (triángulo equilátero), el lado l = 10 cm y la apotema

ap = 2’9 cm. Calcula el radio r.

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 17

37 4

7

x

Para practicar

1. Halla x en cada caso

2. Las medidas de tres lados homólogos de dos cuadriláteros semejantes son:

4 cm x cm 7 cm

20 cm 10 cm y cm

Halla x e y

3. La base de un monte se observa a una distancia de 5,6 km. Se mueve una regleta de 29 cm hasta cubrir con ella visualmente la base y en ese momento la distancia de la regleta al ojo del observador es de 1 m.

Calcula la anchura de la base del monte.

4. Calcula la anchura del río.

5. Calcula la profundidad del pozo.

6. ¿Por dónde se ha de cortar la hoja para que el trozo de la izquierda sea semejante a la hoja entera?.

7. Dibuja en tu cuaderno un triángulo con un ángulo de 69º y uno de los lados que lo forman de 9 cm. ¿Son semejantes todos los triángulos que cumplen estas condiciones?

8. Dibuja en tu cuaderno un triángulo con un ángulo de 56º y el cociente de los lados que lo forman igual a 3. ¿Son semejantes todos los triángulos que cumplen estas condiciones?

9. Calcula el lado de la base de la pirámide.

22

24 26

x

13 15 6

19 x

29 cm 1 m

5.6 km

x m

5.6 km

Semejanza y Trigonometría

18 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

Recuerda Lo más importante

Polígonos semejantes Si tienen y los lados proporcionales y los ángulos iguales.

Triángulos semejantes En el caso de los triángulos basta que se cumpla uno de los tres criterios:

Teorema de Pitágoras a2+b2=c2

30º 45º 60º

seno

coseno

Relaciones

fundamentales

Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar las medidas de sus seis elementos: tres lados y dos ángulos (el tercero es 90º), conocidos un lado y un ángulo o dos lados.

Semejanza y Trigonometría

1. Ángulos iguales (con dos basta)

 = Â’ y ˆ ˆB B'=2. Un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales

 = ’ y bb'

cc'

=

3. Lados proporcionales

bb' c

aa'

c'

= =

Mide ángulos con el transportador

a b

Â

Ĉ

c

a’ b’ Â’

Ĉ’

c’

Teorema de Tales

1cossencossentg 22 =α+α

αα

=α

El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

El coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

cateto adyacente

cate

to o

pu

esto

90º α adyacentecatetoopuestocatetotg

hipotenusaadyacentecatetocos

hipotenusaopuestocatetosen

=α

=α

=α

sen α

cos α

1

c · cos α

c ·

sen

α

90º α

c

c

c ·

tg α

90º α

45º 60º

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 19

Autoevaluación

1. Aplica la semejanza para calcular el valor de x.

2. Sabiendo que los ángulos de un cuadrilátero suman 360º, calcula el ángulo A.

3. Los polígonos de la figura, ¿son semejantes?.

4. Como la ventana de la casa de enfrente es igual que la mía puedo saber su altura, y con la visual de una varilla calcular la anchura de la calle. Calcúlala.

5. La generatriz de un cono recto mide 6,8 cm y el radio de la base 3,2 cm. Halla la altura de un cono semejante a éste realizado a escala 1:2.

6. Calcula el valor del área del triángulo ABC de la figura.

7. Calcula el área del triángulo de la figura.

8. Si sen 0,8α = , y α es un ángulo agudo, calcula la tg α.

9. La altura de Torre España es de 231 m, ¿cuánto mide su sombra cuando la inclinación de los rayos del sol es de 30º?

10. Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 4cm.

Semejanza y Trigonometría

6

8 3

136º

86º

A

72º

x

28

A

B

C 12

32

18

35º

231 30º

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO 20

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) 143/6 b) 646/21

2. x=2 y=35

3. 1624 m

4. 64,75

5. 5,94 m

6. 4,26 cm

7. No tienen porqué ser semejantes

8. Son semejantes

9. 1,12

10. 1,70

11. 97,98 m

12. x2 + (y-1)2 = 9

13. a) 0,5 b) 0,39 c) 1

14. 10,94cm

15. 23,75 cm y 10,58 cm

16. 15,45 cm

17. 0,66

18. 12/13

19. 3/4

20. 1º,92 cm

21. 25,98 cm

22. 7,99 m

23. 30,09 m

24. 174,16 m

25. 556,34 m

26. 54,46 cm

27. 22,82 cm

Semejanza y trigonometría

Prob. 7 Prob.8

Soluciones AUTOEVALUACIÓN 1. 4

2. 66º

3. No son semejantes

4. 91/19 m = 4,78 m

5. 3 cm

6. 151’79 u2

7. 165,19 u2

8. 4/3

9. 400,10 m

10. 6,93 cm2