PPS2015C(PDF)-08-Análisis Combinatorio y Probabilidades
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Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
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Prof: PACHECO
AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA
Aptitud Matemática / Análisis combinatorio y Probabilidades / Semana 8
Autor : Rómulo Wilder PACHECO MODESTOEditor : Ediciones G & LDiseño gráfico : Gustavo PACHECO HUAYANAYFacebook : Repaso CEPREVAL
© CEPREVAL Ciclo C 2015Primera edición: febrero de 2015
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Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Análisis combinatorio
11.. Simplifique la expresión:
!297!296!298!297!296
R+
++=
A) 297 B) 298 C) 270D) 296 E) 1
Descomponiendo factoriales en función de !296
!296297!296!296297298!296297!296
R×+
××+×+=
Factorizando !296
)2971(!296)2972982971(!296
R+
×++=
298297298298
R×+=
Factorizando 298
298)2971(298
R+=
298R =
22.. Naty desea viajar de Huánuco a Iquitos ytiene a su disposición 5 líneas terrestres y 2 líneasaéreas. ¿De cuántas maneras distintas puederealizar su viaje?
A) 5 B) 2 C) 7D) 10 E) 1
Para ir de Huánuco a Iquitos, se puede elegir unalínea terrestre o una línea aérea, pero no ambas ala vez, es decir
N° de maneras = 5 + 2 = 7
33.. Un médico general clasifica a sus pacientes deacuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipode sangre (A, B, AB, o O) y en cuanto a lapresión sanguínea (Normal, Alta o Baja). ¿Encuántas clasificaciones distintas pueden estar lospacientes de este médico?
A) 18 B) 24 C) 9D) 14 E) 10
N° de clasificaciones = 2 × 4 × 3 = 24
44.. Con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. ¿Cuántosnúmeros de tres cifras diferentes se puedenformar?
A) 180 B) 210 C) 120D) 130 E) 24
olíneas
terrestreslíneasaéreas
OBABABFNAM
SPesiónSangre.TSexo
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Sea abc el número de tres cifras diferentes quepuede formarse con las cifras {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
cba
Por lo tanto, se pueden formar 210 números.
55.. Se tienen 9 colores diferentes para pintar losmapas de los países de: Argentina, Brasil,Colombia, Ecuador, Perú y Uruguay. Si se sabeque el mapa del Perú será pintado de color rojo,¿De cuántas formas diferentes se podrá pintar sisolamente se usa un color en cada mapa?
A) 6 790 B) 6 720 C) 4 560D) 4 560 E) 5 670
Como el mapa de Perú será pintado de color rojo,entonces quedaran 8 colores que serán usados en los 5mapas que quedan, es decir
N° de formas = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6 720
66.. ¿De cuántas maneras distintas 4 atletaspueden llegar a la meta en una carrera de 100metros planos si no hay empate en ningúnpuesto?
A) 2 B) 1 C) 24D) 120 E) 6
Las distintas maneras en que pueden llegar a lameta se obtendrán al permutar los 4 atletas a lavez, es decir
4! = 24
Por lo tanto, pueden llegar de 24 manerasdiferentes.
77.. ¿Cuántas rondas distintas se pueden formarcon 4 niños?
A) 6 B) 24 C) 120D) 10 E) 12
Según el enunciado, los 4 niños deben formardistintas rondas, es decir
N° de rondas = =)4(PC 3! = 6
45678
2345678
7×6×5 = 210
Posiblesvalores toma
cada cifra
Si a toma uno delos 7 valores,
entonces b sólopuede tomar 6
valores, asísucesivamente
345678
Elemento fijo3 permutan
entre sí
atletas4
rojo
Posiblesmaneras de
pintar el mapa
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88.. ¿Cuántos anagramas diferentes se puedenobtener con todas las letras de la palabra PAPA?
A) 6 B) 10 C) 12D) 4 E) 8
En la palabra PAPA encontraremos 4 letras de lascuales se repiten las letras P y A dos veces cadauna, es decir
P P A A
Por lo tanto
N° de anagramas = P42;2 = 6
2224
!2!2!4 =
×=
×
99.. Si se disponen de 9 frutas diferentes.¿Cuántos jugos surtidos de 4 frutas distintas sepodrá preparar?
A) 24 B) 128 C) 120D) 720 E) 126
Según la condición del problema, se deseadeterminar cuántos jugos diferentes de 4 frutas sepueden preparar de 9 frutas en total, es decir
12612346789
C94 =
××××××=
Por lo tanto, se puede preparar 126 jugosdiferentes.
1100.. Para ir de la ciudad A a la ciudad D hay quepasar por las ciudades B y C a través de lascarreteras que se indican en el siguiente diagramavial:
¿De cuántas maneras se puede ir de A hacia D?
A) 9 B) 10 C) 28D) 30 E) 42
Según el esquema mostrado, para llegar a D hayque pasar por B y C necesariamente (se tiene queviajar de A a B, luego de B a C y finalmente de Ca D, uno seguido del otro), es decir
N° de maneras = 2 × 5 × 3 = 30
1111.. Laura tiene una reunión de trabajo y deseavestirse para la ocasión. Para ello tiene a sudisposición 5 blusas, 6 faldas y 3 pares de zapatotaco nueve; todas las prendas son de diferentemodelo y color. ¿De cuántas formas distintaspuede vestirse Laura si la blusa blanca siempre sela pone con la falda negra?
A) 72 B) 75 C) 70D) 62 E) 24
Para que Vanesa pueda vestirse, debe de elegiruna blusa, una falda y un par de zapatos, unoseguido del otro, es decir
N° de maneras = 1 × 1 × 3 + 4 × 6 × 3 = 75
4 letras
2 veces 2 veces
yB a C C a DyA a B
casodo2
6
55
44
333
222
11
casoer1
3
2
111
FFBFB
ZFBZFBZFZFB
ZZZFBZFB
Blusablanca
Faldanegra
DCBA
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1122.. Seis amigos quieren sentarse en la banca deun parque. ¿De cuántas maneras diferentes lopodrán hacer si Helen y Mascalote siempre debende estar juntos?
A) 90 B) 320 C) 180D) 120 E) 240
Según el enunciado Helen y Mascalote se debenubicar juntos
N° de maneras = 240!2!5 =×
1133.. Si un conjunto A tiene 8 elementos. ¿Cuántossubconjuntos tiene A, sabiendo que a lo más tiene6 elementos?
A) 247 B) 321 C) 245D) 301 E) 221
Se tiene el conjunto A con 8 elementos ydebemos formar grupos de 0, de 1, de 2, de 3, de4, de 5 y de 6 elementos, es decir
CCCCCCC 86
85
84
83
82
81
80 ++++++
Completando
CCCCCCCCCCC 88
87
88
87
86
85
84
83
82
81
80
82
−−++++++++
N° de subconjuntos = CC 88
87
82 −−
= 18256 −−= 247
Por lo tanto, el conjunto A tiene 247 subconjuntosque a lo más tienen 6 elementos.
1144.. Se tienen las siguientes figuras geométricas:
Si las figuras de la misma forma son congruentes.¿De cuántas maneras diferentes se las puedeordenar a todas linealmente si cada ordenamientodebe empezar con el círculo y acabar con eltriángulo?
A) 980 B) 569 C) 1 310D) 1 240 E) 1 260
Si el círculo y el triángulo deben ir a los extremos,gráficamente se tendría
Luego, el número de maneras de ordenar a todosse obtendrá realizando una permutación linealcon elementos repetidos, es decir
126062!4
!456789!3!2!4
!9P9
3;2;4 =××
×××××=××
=
Por lo tanto, se puede ordenar de 1260 maneras.
Elementos fijos
figuras9estastanpermusolo
MascaloteyHelen
tanpermu
Helen Mascalote
Juntos (1 solo elemento)
elementos5
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1155.. Cindy ha comprado dos enciclopedias de 3volúmenes cada una y otras dos de 2 volúmenescada una, todas las enciclopedias son dediferentes autores. ¿De cuántas maneras puedecolocar las 10 enciclopedias uno a continuaciónde la otra en un estante, si deben quedar de talmanera que no se separen los volúmenes delmismo autor?
A) 3 456 B) 2 350 C) 1 244D) 4 568 E) 6 545
Se tiene 3 volúmenes de 1E , 3 volúmenes de
2E , 2 volúmenes de 3E y 2 volúmenes de 4E .
Se ordenan de tal manera que los del mismoautor estén juntos
N° de maneras = 3456!2!2!3!3!4 =××××
1166.. La tripulación de un bote es de 10 hombres,cuatro solamente pueden remar a babor y tres aestribor. ¿De cuántas formas se pueden distribuirpara remar, sabiendo que cinco hombres debenubicarse a cada lado para mantener el equilibriodel bote?
A) 120B) 360C) 43 200D) 45 600E) 12 350
Graficando
N° de maneras = 43200VVC 53
54
61 =××
Por lo tanto, se puede distribuir de 43200 formas.
1177.. Zaida tiene 5 aretes de diferente modelo ypara usarlos todos se hace 2 perforaciones enforma vertical en la oreja izquierda y 3perforaciones en forma horizontal en la orejaderecha. ¿De cuántas maneras distintas puedelucir todos sus aretes, si los coloca empezando porla oreja derecha?
A) 120 B) 80 C) 720D) 6 E) 24
Graficando según el enunciado
elementos4
E4E3E2E1
4E 3E
2E1E
Lado derecho(estribor)
Lado izquierdo(babor)
Se escogen 4que reman
Escogemos a1 de los 6que restan
Se escogen 3que reman de los
5 que quedan
Se escoge 1 paracompletar el lado
izquierdo4 de 5 reman
a babor
3 de 5 remana estribor
Orejaderecha
Luegoubicará los 2
restantes
Primeroubica 3 delos 5 aretes
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N° de maneras = VV 22
53
×
12345 ××××=
120=
1188.. Los 7 profesores que integra una plana deAptitud Matemática se sientan a dialogar en lassillas de una mesa redonda circular acerca de laspreguntas que van a proponer en un examen.¿De cuántas formas se pueden sentar si se sabeque 3 de ellas siempre deben de estar juntos?
A) 121 B) 24 C) 136D) 144 E) 78
Graficando según los datos
N° de maneras = 144!3!4!3PC )5( =×=×
1199.. A una asamblea asisten 5 varones y 6mujeres de los cuales se van a elegir a 4 personaspara conformar un comité que los representa. ¿Decuántas maneras distintas se puede elegir dichocomité si entre ellos debe de haber por lo menos2 varones?
A) 223 B) 190 C) 246D) 185 E) 215
La expresión “por lo menos 2 varones”, nosindica que en el grupo debe haber como mínimo2 varones o más, es decir
N° de maneras = CCCCCC 60
54
61
53
62
52 ++
= 1562
)4(52
)5(62
)4(5 ×+×+×
= 560150 ++
= 215
2200.. ¿De cuántas maneras se puede ubicar 6personas alrededor de una mesa redonda si dosde ellos no desean estar juntos?
A) 48 B) 78 C) 120D) 72 E) 24
Ordenando las 6 personas alrededor de una mesasin ninguna restricción
120!5PC )6( ==
Luego calculamos de cuántas maneras dos deellos están siempre juntos
48!2!4!2PC )5( =×=×
3 perforacionesen la oreja
derecha
2 perforacionesen la orejaizquierda
P3
P1
P2 P4
P7P6
P5un solo
elemento
5 varones 6 mujeres
Elegir 4 personas(Por lo menos debe haber 2 varones)
P3
P1
P2 P4
P6
P5
P3
P1
P2 P4
P6
P5
un soloelemento
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Finalmente, el número de maneras en la cual dosde ellos no desean estar juntos será
maneras7248120 =−
2211.. Lourdes tiene nueve pretendientes. ¿Decuántas maneras podrá invitar a cuatro de ellos asu fiesta de cumpleaños si ella sabe que dos deellos por no llevarse bien no asisten juntos?
A) 195 B) 105 C) 70D) 35 E) 120
Según la condición del problema se desea invitara 4 pretendientes de un total de 9, de los cuales 2de ellos (A y B) por no llevarse bien no asistenjuntos, es decir se presentan los siguientes casos
• Si A y B no asisten juntos C74
• Si asiste A y no asiste B C73
• Si asiste B y no asiste A C73
Entonces
N° de maneras = CCC 73
73
74 ++
=)1)(2(3)5)(6(7
)1)(2(3)5)(6(7
)1)(2)(3(4)4)(5)(6(7 ++
= 353535 ++
= 105
2222.. ¿Cuántas comisiones integradas por un niñoy una niña pueden formarse de 5 niños y 8 niñas,si cierto niño rehúsa trabajar con dos de lasniñas?
A) 40 B) 38 C) 36D) 42 E) 53
Del enunciado
8
7
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
nnnnnnnn
Niñas
NNNN
N
Niños
N° de maneras = 1 × 6 + 4 × 8 = 38
2233.. ¿De cuántas formas diferentes se podrá sentaren una fila de 7 asientos: 4 varones y 3 mujeresde tal manera que las tres mujeres siempre esténjuntos?
A) 720 B) 600 C) 540D) 730 E) 345
Según el enunciado las 3 mujeres siempre debenubicar juntas, es decir
N° de maneras = 720!3!5 =×
Niño que serehúsa a
trabajar con2 niñas
Niños quetrabajan contodas la niñas
5432 NNNN 1N
mujeres3las
tanpermu
Juntos (1 solo elemento)
elementos5
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2244.. Sobre una mesa se encuentran 10 bolas delas cuales 5 son azules; 3 son blancas y lasrestantes de color negro. ¿De cuántas manerasdiferentes se pueden colocar dichas bolas en fila?
A) 3 090 B) 1 260 C) 2 520D) 4 010 E) 2 900
Ordenando las 10 bolas en fila, se tiene
252026!5
!5678910!2!3!5
!10P10
2;3;5 =××
×××××=××
=
Por lo tanto, se pueden ordenar de 2520 manerasdiferentes.
2255.. ¿Cuántos números de 8 cifras tienen comoproducto de sus cifras al número 105?
A) 189 B) 300 C) 298D) 336 E) 334
Para que el producto sea 105, las cifras deben ser3, 5, 7, 1, 1, 1, 1, 1
hgfedcba
Es decir 3×5×7×1×1×1×1×1 = 105
336!5
!5678!5!8
P85 =×××==
Por lo tanto, existen 336 números de 8 cifras cuyoproducto es 105.
2266.. En un campeonato de futbol dondeparticipan n equipos, cada equipo juega una solavez con cada uno de los restantes. Si en totalhubieron 55 partidos. Halla el valor de n.
A) 12 B) 10 C) 11D) 14 E) 15
Como un partido de futbol se juega entre 2equipos (sin interesar el orden) y cada equipojuega una sola vez, se tiene
55Cn2 = → 55
2)1n(n =−
110)1n(n =−
)10(11)1n(n =−
Comparando 11n =
2277.. Hugo tiene 5 clases de frutas: pera, papaya,plátano, naranja y manzana. ¿Cuántas clases dejugos de a lo más tres frutas distintas puedepreparar?
A) 21 B) 25 C) 19D) 12 E) 31
Se tiene 5 clases de frutas (pera, papaya, plátano,naranja y manzana) y debemos preparar jugos de1, de 2 y de 3 frutas distintas, es decir
N° de maneras = CCC 53
52
51 ++
=123345
1245
5××××+
××+
= 10105 ++
= 25
elementos8
veces5
3 veces 2 veces
BB B N NAA A A A
5 veces
elementos10
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2288.. En una oficina trabajan 6 hombres y 4mujeres, se desea conformar una comisión de 3personas, ¿De cuántas formas se puedeconformar dicha comisión, si dicha comisión debeser mixta?
A) 120 B) 132 C) 96D) 72 E) 88
Como la comisión debe ser mixta entonces en elgrupo debe haber como mínimo 1 hombre o 1mujer, es decir
• Un hombre y dos mujeres• Dos hombres y una mujer
N° de maneras = CCCC 41
62
42
61 +
= 42
)5(62
)3(46 ×+×
= 6036 +
= 96
2299.. ¿De cuántas formas diferentes se puedeordenar alrededor de una mesa circular 7hombres y 7 mujeres si no deben haber hombresjuntos?
A) 3 628 800 B) 543 000 C) 1 234 500D) 3 458 900 E) 504 000
Para determinar de cuántas formas diferentes sepuede ordenar alrededor de una mesa circular demodo que no debe haber hombres juntos, esnecesario que se ubiquen en forma intercalada, esdecir
N° de maneras = 8006283!7!6 =×
3300.. Seis señoritas se ubican en una fila, ¿decuántas maneras pueden ubicarse, si dos de ellasno quieren estar juntos?
A) 520 B) 590 C) 342D) 555 E) 480
Resolviendo el problema en forma indirecta, esdecir, calculamos los casos sin restricciones yrestamos los casos cuando dos de ellas estánjuntas
Casos totales
Casos cuando dos están juntas
Entonces
N° de maneras = )!2!5(!6 ×−= 240720 −= 480
6 hombres y 4 mujeres
Elegir 3 personas(La comisión debe ser mixta)
breshomlostanpermu
mujereslas
tanpermu
juntastanesdos
cuandocasos
totalescasos
Juntas
elementos5
elementos6
Elementofijo
H3
H1
H2 H4
H7H6
H5
M7
M6
M5
M4M1
M2 M3
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Probabilidades
3311.. Al lanzar 3 veces una moneda. ¿Cuál es laprobabilidad de que salga 2 caras?
A)52
B)21
C)27
D)61
E)83
Analizando los casos totales utilizando eldiagrama del árbol
Del diagrama
Casos favorables = { CCS, CSC, SCC }
∴83
obabilidadPr)caras2algsa(
=
3322.. Determina la probabilidad de que al lanzarcinco dados se obtenga, en cada uno, un valorimpar.
A)321
B)81
C)95
D)21
E)52
Al lanzar un dado la probabilidad de obtener unnúmero impar es 1/2, entonces
321
21
21
21
21
21
obabilidadPr =××××=
3333.. Se tiene cuatro tarjetas con las letras A, M, O,y R si se colocan al azar en una fila. ¿Cuál es laprobabilidad que se obtenga la palabra AMOR?
A)31
B)61
C)73
D)241
E)112
Casos favorables = 1Casos totales = 24!4 =
∴241
obabilidadPr)AMORpalabralaobtener(
=
3344.. Al lanzar tres dados. ¿Cuál es la probabilidadde que el producto de los números obtenidos seamenor de 216?
A)2161
B)216215
C)2121
D)71
E)94
8 casostotales
C
C C CC
C C S
C S CS
C S S
S
S C CC
S C SS S C
SS S S
CS
CSCSCS
1er 2doLanzamientos: 3er
→→
→→→→→→
casos3
5to2do1er 4to3er
R
elementos4
OMA
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Al lanzar tres dados
216666totalesCasos =××=
Entonces, la probabilidad de que el producto de
los números obtenidos sea 216, es2161
Utilizando probabilidad por complemento
)216seaproducto()216quemenorseaproducto( P1P −=
2161
1 −=
216215=
3355.. Cinco personas A, B, C, D y E se ubican enuna mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad deque A y B no se ubiquen juntos?
A)21
B)31
C)32
D)41
E)53
Calculando los casos en que A y B no se ubiquenjuntos en forma indirecta, es decir, calculamos loscasos sin restricciones y restamos los casoscuando A y B se ubiquen juntos
Casos totales = 24!)15()5(PC =−=
Casos cuando A y B se ubican juntos
122!3!2)4(PC =×=×
Entonces A y B no se ubican juntos de
maneras121224 =−
∴21
2412
obabilidadPr)juntosubiquensenoByA(
==
3366.. Determina la probabilidad de obtener unasuma que sea número primo en el lanzamiento dedos dados.
A)51
B)125
C)121
D)72
E)94
Al lanzar dos dados
2do1er 3er
juntostanesByA
cuandocasos
totalescasos
E
B
A D
C
Elemento fijo
Elementofijo
E
B
A D
C
Primer dado
Segundo dado
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6La suma esun número
primo
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Se observa
Casos favorables = 15Casos totales = 3666 =×
∴125
3615
obabilidadPr)primonúmerounseaSuma(
==
3377.. En una urna hay 24 bolas de 3 coloresdiferentes. Si al sacar una bola cualquiera lasprobabilidades de que salgan; una roja es 0,5;una verde es 0,375 y una azul es 0,125. ¿Encuánto excede el número de bolas rojas al deazules?
A) 8 B) 7 C) 9D) 6 E) 5
=°=°
=°
AazulesbolasdeNVverdesbolasdeN
RrojasbolasdeNSea
Del enunciado
• 5,0obabilidadPr)roja(
= → 5,024R =
12R =
• 375,0obabilidadPr)verde(
= → 375,024V =
9V =
• 125,0obabilidadPr)azul(
= → 125,024A =
3A =
∴ 9bolasdeNbolasdeNazulesrojas
=
°−
°
3388.. Una fábrica de focos pone en una caja 20focos de los cuales 6 están malogrados, al pasarpor el control de calidad el supervisor saca 4 focosal azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menosuno de ellos esté fallado?
A) 0,793 B) 0,677 C) 0,767D) 0.234 E) 0,453
totalencosfo20
buenoscosfo14
BBBBBB
radoslogmacosfo6
MMMM f....ffffff....fff
Casos totales: N° de maneras de escoger 4 focosde un total de 20 objetos
4845123417181920
C204 =
××××××=
Casos favorables: N° de maneras de escoger 4focos donde al menos uno de ellos este fallado
3844
15
140
64
280
141
63
1365
142
62
2184
143
61 CCCCCCCC =+++
∴ 793,048453844
obabilidadPr)falladoestefocounmenosal(
==
3399.. Se lanza una moneda. Si sale cara se extraeuna bola de una bolsa en la que hay 3 rojas y 2blancas. Si sale sello se extrae una bola de otrabolsa en la que hay 6 rojas y 2 blancas. Calcula laprobabilidad de que la bola extraída de la bolsasea blanca.
A)21
B)41
C)52
D)43
E)4013
- 15 -
Prof: PACHECO
LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
Del enunciado
4013
82
21
52
21
obabilidadPr)blancasseanambas(
=×+×=
4400.. En una urna hay 20 bolas, de las cuales 14son de color blanco y el resto de color negro. Seextraen dos bolas, una por una. Halla laprobabilidad de que sean ambas sin reposición decolor blanco.
A)12883
B)12134
C)19091
D)19399
E)7713
Se tiene
→ Extraer 2 bolas sin reposición
Entonces
∴19091
1913
2014
obabilidadPr)blancasea(
=×=
4411.. Al lanzar 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad deobtener cinco puntos en total?
A)51
B)125
C)73
D)91
E)32
Al lanzar dos dados
Se observa
Casos favorables = 4Casos totales = 3666 =×
∴91
364
obabilidadPr)totalenpuntos5Obtener(
==
4422.. ¿Cuál es la probabilidad de que al ordenar enuna línea 8 hombres y 3 mujeres, las tres mujeressiempre estén juntos?
A)553
B)111
C)634
D)657
E)739
personas11
juntasmujeres3
32184321 MMMH....HHHH
14 B
6 N
2°
B1°
B y
3 R
2 B
6 R
2 B
1° bolsa 2° bolsa
Cara
Sello
bolsa2°
bolsa1°
La sumaes 5
Primer dado
Segundo dado
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
- 16 -
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Del esquema
Casos favorables = !3!9 ×
Casos totales = !11
∴553
!910116!9
!11!3!9
obabilidadPr
juntassiempreestenmujeresLas
=××
×=×=
4433.. Víctor debe realizar un viaje y solo puedehacerlo en ómnibus o auto. Si la probabilidad deque viaje en auto es el triple de que viaje enómnibus, además la probabilidad de que no viajees 0,4. Halla la probabilidad de que viaje enómnibus.
A)75
B)241
C)233
D)117
E)203
Según el enunciado se deduce que los eventosson mutuamente excluyentes, es decir
Entonces )O(P)A(P)OA(P +=∪
Reemplazando xx36,0 +=
x453 = →
203
x =
4444.. Se toma un número de tres cifras y se observaque es múltiplo de 5. ¿Cuál es la probabilidad deque sea múltiplo de 11?
A)12131
B)13913
C)23417
D)18017
E)12315
Números de tres cifras múltiplos de 5
cba
Casos totales: 1802109 =×× números
Números de tres cifras múltiplos de 5 y a la vezmúltiplos de 11
1er caso:
110ba = →
11ba =−
2do caso:
115ba = →
115ba =+−
115)ba( =+− ∨
11b)5a( =−+
Casos favorables: 9 + 4 + 4 = 17 números
∴18017
obabilidadPr)vezlaa11demúltiploseaque(
=
1239
9 casos
1239
05
1239
Posiblesvalores
0129
N° de maneras de ordenar11 personas en total
N° de maneras donde lastres mujeres están juntas
3x x
0,4
1
Auto Ómnibus
1234
4 casos
6789
9876
3210
4 casos
5=
+−+
+−+
- 17 -
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4455.. Doce libros se colocan en un estante en formaaleatoria. ¿Cuál es la probabilidad que cuatroslibros determinados, sean colocados juntos?
A)133
2B)
373
C)677
D)551
E)73
• N° de maneras de colocar 12 libros
Casos totales: !12
• N° de maneras de colocar 12 libros de modoque 4 libros estén juntos
Casos favorables: !4!9 ×
Por lo tanto
551
!910111224!9
!12!4!9
obabilidadPr)juntosesténlibrios4(
=×××
×=×=
4466.. Ampari y Condor se citaron en la plaza SantoDomingo de 6 a 7 pm. Cada uno de ellos solopuede esperar 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidadde que se encuentren?
A)15647
B)14423
C)12133
D)19051
E)127
3
4477.. Al lanzar dos dados. ¿Cuál es la probabilidadde que el resultado del primer dado sea mayorque el resultado del segundo dado?
A)21
B)143
C)72
D)125
E)121
Al lanzar dos dados
Se observa
Casos favorables = 15Casos totales = 3666 =×
∴125
3615
obabilidadPr)do2elquemayoresro1delsultado(Re
==
4488.. En un grupo hay 5 personas que soneconomistas, 10 personas son abogados; 3personas que son abogados y economistas y 18personas no son abogados ni economistas. Si seescoge una persona al azar. ¿Cuál es laprobabilidad de que esta sea solo abogado?
A)332
B)313
C)307
D)132
E)151
libros12
4 están juntos
( 6 ; 5 )
El resultadodel primer
dado es mayorque el segundo
Primer dado
Segundo dado
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
- 18 -
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Del enunciado
Completando
∴307
obabilidadPr)abogadosoloseaque(
=
4499.. Entre los números (1; 2; 3; 4;….; 50) seescoge un número al azar. ¿Cuál es laprobabilidad de que el número elegido sea
divisible por6o4 ?
A)258
B)157
C)237
D)358
E)2310
Del enunciado se deduce que
≈
≈
≈
6y4sonnúmeros41250
6sonnúmeros86
50
4sonnúmeros12450
números50de
Como los eventos no son excluyentes, entonces
)64(P)6(P)4(P)64(P
∩−+=∪
504
508
5012 −+=
5016= →
258
)64(P =∪
5500.. La probabilidad de aprobar Estadística es 2/3;la probabilidad que tiene mismo alumno deaprobar Investigación es 4/9; si la probabilidad deeste alumno aprobara por lo menos uno de losdos cursos es 4/5. ¿Cuál es la probabilidad deaprobar ambos cursos?
A)3715
B)4011
C)5123
D)4513
E)4514
iónInvestigacaprobardeadprobabilid:BaEstadísticaprobardeadprobabilid:A
Sea
El problema trata de eventos no excluyentes, esdecir
)IE(P)I(P)E(P)IE(P ∩−+=∪
Entonces )IE(P94
32
54 ∩−+=
54
910
)IE(P −=∩
4514
)IE(P =∩
Por lo tanto, la probabilidad de aprobar ambos
cursos es4514
.
Economistas (5) Abogados (10)
18
ca 3
Economistas (5) Abogados (10)
18
72 3
Total = 30
- 19 -
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5511.. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas; 4negras y 2 rojas; se sacan 6 bolas al azar. Calculala probabilidad de que 3 sean blancas, 2 negras yuna roja.
A)636
B)6715
C)7720
D)21
E)553
→ Total de bolas = 12
Casos totales: N° de maneras de escoger 6 bolasal azar de 12 bolas en total
924123456
789101112C12
6 =×××××
×××××=
Casos favorables: N° de maneras de escoger 3bolas blancas de 6, 2 negras de 4 y 1 roja de 2
24021234
123456
CCC 21
42
63 =×
×××
××××=
∴7720
924240
obabilidadPr)roja1ynegras2,blancas3Obtener(
==
5522.. Una caja contiene 5 bolas rojas; 4 bolasblancas y 3 bolas azules. Si se extraen 5 bolas alazar; determina la probabilidad de que 3 seanrojas y 2 sean blancas.
A)13210
B)437
C)573
D)122
1E)
1777
→ Total de bolas = 12
Casos totales: N° de maneras de escoger 5 bolasal azar de 12 bolas en total
79212345
89101112C12
5 =××××
××××=
Casos favorables: N° de maneras de escoger 3bolas rojas de 5 y 2 bolas blancas de 4
601234
123345
CC 42
53 =
×××
××××=
∴13210
79260
obabilidadPr)blancas2yrojas3Obtener(
==
5533.. ¿Cuál es la probabilidad de que al retirar unacarta de una baraja se obtenga un “As”?
A)131
B)132
C)261
D)133
E)134
Del enunciado
Casos favorables: 4 ←
Casos totales: 52
∴131
524
obabilidadPr)asunextraer(
==
2 V
6 N
4 B
♥ ♣ ♠ ♦
3 A
5 R
4 B
- 20 -
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5544.. Tres cazadores A, B, y C están apuntado consus tres rifles a un puma; la probabilidad de queacierte A es 4/5; la de B es 3/7 y la de C es 2/3.Si los tres disparan, calcula la probabilidad de queninguno acierte.
A)105
4B)
1095
C)107
3
D)218
E)687
Determinando la probabilidad que no aciertecada uno, tenemos
31
:CaciertenoquedeobabilidadPr
74
:BaciertenoquedeobabilidadPr
51
:AaciertenoquedeobabilidadPr
Entonces
∴105
431
74
51
obabilidadPr)acierteNinguno(
=××=
5555.. Se tiene una baraja de 52 cartas y se extraeuna. Halla la probabilidad que la carta extraídaresulte:I. Un AsII. Una figura negraIII. Un valor representado por letraIV. Un valor mayor que 5
A)138
;133
;21
;131
B)137
;134
;41
;131
C)139
;135
;81
;131
D)134
;133
;31
;131
E)1311
;135
;51
;131
Analizando cada proposición
• Probabilidad de extraer un As
Casos a favor: 4 →131
524
)A(P ==
• Probabilidad de extraer una figura negra
Casos a favor: 26 →21
5226
)N(P ==
• Probabilidad de extraer un valor representadopor letra
Casos a favor: 4(3) →123
5212
)L(P ==
• Probabilidad de extraer un valor mayor que 5
Casos a favor: 4(8) →138
5232
)5(P ==>
5566.. En una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es laprobabilidad que al extraer una carta esta sea un10 o de figura roja?
A)135
B)137
C)139
D)136
E)138
• Probabilidad de extraer un valor 10
Casos a favor: 4 →524
)10(P =
• Probabilidad de extraer una figura roja
Casos a favor: 2(13) →5226
)R(P =
J, Q, K♣, ♦,♥, ♠
{6; 7; 8; …; K}
- 21 -
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LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..
• Probabilidad de extraer un valor 10 de colorrojo
Casos a favor: 2 →522
)rojo10(P =
∴137
5228
522
5226
524
obabilidadPr)rojafiguray10Sea(
==−+=
5577.. Si 6 personas se sientan alrededor de unamesa redonda, halla la probabilidad de que dospersonas determinadas ocupen lugares contiguos.
A)52
B)83
C)152
D)125
E)61
Casos totales
120!5PC )6( ==
Casos favorables
48!2!4!2PC )5( =×=×
∴52
12048
obabilidadPr)contiguoslugaresocupenDos(
==
5588.. De un juego de casinos se extraen 2 cartas.¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma devalor igual a 8?
A)4429
B)4418
C)4439
D)91
E)61
5599.. En una caja hay 5 fichas blancas y 5 fichasrojas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer unaficha roja y una blanca?
A)95
B)94
C)92
D)97
E)98
→ Total de fichas = 10
Casos totales: N° de maneras de extraer 2 fichasde 10 fichas en total
4512910
C102 =
××=
Casos favorables: N° de maneras de extraer 1ficha roja de 5 y 1 ficha blanca de 5
2555CC 51
51 =×=
∴95
4525
obabilidadPr)blanca1yroja1Extraer(
==
Huánuco, 24 de febrero de 2015
10♦,10♥
P3
P1
P2 P4
P6
P5
P3
P1
P2 P4
P6
P5
un soloelemento
5 B
5 R