CALCOLO COMBINATORIO

Che cos’è il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti semplici

e di raggruppamenti con ripetizione

Disposizioni Permutazioni Combinazioni

PROBLEMI

1. In quanti modi diversi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici si possono sedere su 4 poltrone libere di un cinema?

2. Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6?

3. Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA?

4. Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?

5. In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini?

E se le caramelle fossero diverse?

Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della

matematica applicata avente come scopo la

costruzione e la misurazione del numero di

raggruppamenti diversi che si possono comporre

prendendo una determinata quantità di elementi in

un assegnato insieme, in modo che siano

rispettate determinate regole.

CHE COS’E’?

I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE:

SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi

CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti sono presenti una o più volte

ESEMPIO 1Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono

1° modo

COPPIE ORDINATE:

ab ac

ba bc

ca cb

2° modo

COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA

L’ORDINE:

ab

ac

bc

1° modo

COPPIE ORDINATE:

aa ab ac

bb ba bc

cc ca cb

2° modoCOPPIE PER LE QUALI

NON IMPORTA L’ORDINE:

aa ab ac bb bc cc

ESEMPIO 2Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi possono ripetersi

I DIVERSI TIPI DI RAGGRUPPAMENTI

DISPOSIZIONI: si tiene conto dell’ordine degli elementi

COMBINAZIONI: non si tiene conto dell’ordine degli elementi

COME CALCOLARE IL

NUMERO DI

DISPOSIZIONI?

Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono

sedersi su 4 poltrone libere di un cinema?

Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono

sedersi su 4 poltrone libere di un cinema?

9 8 7 6

9x8x7x6 = 3024

… wow!

Il numero di DISPOSIZIONI

SEMPLICI di n oggetti distinti

presi k per volta è

Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con

n>k(cioè il prodotto di k numeri naturali consecutivi, in ordine decrescente, a partire da n)

il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è

il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è

D’n,k= nk

CHE COSA SONO LE

PERMUTAZIONI?

PERMUTAZIONI SEMPLICI

ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI

(anche privi di senso) DELLA PAROLA «APE»

P E A P E A E P A E P

A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A

Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine

Pn = Dn,n

Pn = n!

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE:

se tra gli nn oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro e β uguali tra loro, il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta:

Pn(α, β ) =

n!

α! * β!

COME CALCOLARE IL

NUMERO DI

COMBINAZIONI?

Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?

La situazione è simile a quella del problema degli amici al cinema, ma stavolta l’ordine non conta, quindi

bisogna dividere le disposizioni di 90 oggetti presi 3 per volta per il

numero delle permutazioni di tre oggetti

Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?

234960!3

888990

Il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è

Cn,k = Dn,k / k! = ( )

n

k

n(n+1)….. (n+k-1)

k !

Il numero delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è

C’n,k=

(cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso per k! )

n(n+1)….. (n+k-1)

k !