PPS2015C(PDF) 02 Operadores Matemáticos

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LLiicc.. RR.. WWiillddeerr PPAACCHHEECCOO MM..

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AAPPTTIITTUUDD MMAATTEEMMTTIICCAA

Aptitud Matemtica / CEPREVAL Ciclo C 2015 / Semana 2

Autor : Rmulo Wilder PACHECO MODESTOEditor : Ediciones G & LDiseo grfico : Gustavo PACHECO HUAYANAYFacebook : Repaso CEPREVAL

CEPREVAL Ciclo C 2015Primera edicin: enero de 2015

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11.. Si: )b(log)a(logba 22 +=Calcula: 423E =

A) 64 B) 3 C) 9D) 27 E) 720

Sabemos que balogblogalog =+ , entoncesbalogba 2 =

Efectuando 423E =82log3E =322log3E =

33E = 27E =

22.. Si: 4nmn2)nm(nm 22 ++=Calcula:

M = 1 [2 (3 (4 (... (99 100)... )))]

A) 7 B) 6 C) 5D) 3 E) 9

Reduciendo previamente trminos de la regla dedefinicin

4nmn2)nm(nm 22 ++=

4nmn2nmn2mnm 222 +++=

4mnm 2 +=

Observamos que la regla de definicin nodepende del segundo elemento (n), es decir

n

)))]100)...(99(...(4(3[21=M

n1=M

41=M 2 + 5=M

33.. Si definimos: x # y = x + y 1a b = 2a + b

Halla x en:(4x) 4 = 10 # (8 x)

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

Efectuando de acuerdo a la regla de definicin decada operador

)x16(#104x8 +=+1)x16(104x8 ++=+

21x7 = 3x =

44.. Si: nQP )x(n)x( += y3x4xQ 2)x( +=

Halla: 3)2(

2)1(

3)1(

2)2(

PPPPZ

+

+=

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A) 3/4 B) 4/5 C) 1D) 1 E) 6

De las operaciones, se deduce

n3x4xP 2n)x( ++=

Analizando por partes

23)2(42P 22)2( += 3P 2)2( =

33)1(41P 23)1( += 3P 3)1( =

23)1(41P 22)1( += 2P 2)1( =

33)2(42P 23)2( += 4P 3)2( =

Reemplazando

66

4233

PPPP

Z 3)2(

2)1(

3)1(

2)2(

=

=

+

+=

1Z =

55.. Si:1m)1m(m 22

+= , calcula el valor de:

A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

Observamos que se puede reducir trminos en laregla de definicin

)1m)(1m()1m)(1m(m

+

++=

1m1mm

+=

Luego, analizando lo que nos pide

1 cuadrado 312122 =

+=

2 cuadrados 2131332 =

+==


+==


+==

Se observa que cada 2 cuadrados el resultado es2, como hay 152 cuadrados (es par), entonces elresultado ser 2.

66.. Se define:

21 = 125,0

35 = 7,2

52 = 625

16

Calcula: E = 3 + 2

A) 60 B) 59 C) 58D) 49 E) 57

Analizando el nmero de operadores

21 = 8

1 =3

21

2 152 cuadrados

2 operadores

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35 = 9

25 =2

35

52 = 625

16 =4

52

Se observa que el nmero que va dentro deloperador esta elevado al nmero de operadoresaumentado en 1

E = 3 + 2 = 53 23 + = 59

77.. Si: m n = p + 1 mp = n 1Calcula x en: (2x) + (310) = 7

A) 6 B) 5 C) 7D) 4 E) 8

Despejando p de: 1nmp = m1np =

Se tiene m n 1m1n

+

= , entonces

(2x) + (310) = 7

71311012

1x=+

++

221x

=

5x =

88.. Si: 19981997

x1x2x +=+

Halla: E = 1

A) 2 B) 2 C) 0D) 1 E) 1

Asumiendo que 1x = , se tiene

19981997

)1(1)1(21

+=+

1111 +=

111 += 01 =

99.. Si: 2b2a3ba =Halla: = ......999T

A) 3 B) 1 C) 2D) 4 E) 6

Elevando al cuadrado

T

2 ......9999T =

T9T2 =

Por definicin22 T2)9(3T =

27T3 2 = 3T =

1100.. Si: N = 2N + 6; N > 0 ; adems:

666x2 =Calcula: 2x

A) 12 B) 14 C) 22D) 24 E) 18

3 operadores

1 operador

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Interpretando la definicin 6N2N +=

Entonces 666x2 =

306x2 =

126x2 =

De ah 36x2 =9x2 = 3x =

2x = 6 = 2(6)+6 = 18

1111.. Se define: 2x1x =Halla z en:

z = 100

A) 3 B) 2 C) 3D) 2 E) 12

Interpretando la definicin 2x1x =

Entonces z = 100

z = 9

z = 2

De ah z = 12

1122.. Si: 30x11x)5x(P 2 ++=+ , ademsP(P(y)) = 930

Halla y.

A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

Factorizando el segundo miembro)6x)(5x()5x(P ++=+

Observamos que el valor del operador P estdado por el producto de 2 nmeros consecutivos

Luego )31(30930))y(P(P ==

)6(530)y(P ==

Comparando y = 5

1133.. En el conjunto de los nmeros realesdefinimos el operador de la siguiente manera:

( )

+

>+

=

0absi,ba

0absi,ba1

ba

Halla r1 (r2 r3), sabiendo que )rrr( 321

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Factorizando la ecuacin0)2x3x2)(1x2( 2 =

0)2x)(1x2)(1x2( =+

De ah

=

=

=

2r21r21r

3

2

1

Luego r1 (r2 r3) =

22

121

Como 0ab > =

+

2211

21

=

5

221

Como 0ab =

+ 52

21

=

10

1

= 101

1144.. Si: 2x x2 =

368m =

Calcula: m2m2

A) 32 B) 16 C) 49D) 25 E) 36

De la definicin x2 = 2x

Entonces m8 = 36

m32 = 26 6m3 =2m =

Reemplazando

m2m2 )2(2)2(2 = 2552 25 ==

1155.. Se define ab)ba( 2 =Calcula:

A = 1 2 + 2 3 + 3 4 +..+ 99 100

A) 100 B) 92 C) 99D) 64 E) 45

De la expresin dadaab)ba( 2 = (1)

Cambiamos el orden de los elementosba)ab( 2 = (2)

Reemplazando (1) en (2)

ba))ba(( 22 =ba)ba( 4 =

1)ba( 3 = 1ba =Luego

10099+..+43+3 2+21=A

veces99

1+..+1+1+1=A

99=A

2x1x2

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1166.. Se define xy)xy(2yx 22 =Calcula: A = 15 * 9

A) 100 B) 92 C) 99D) 64 E) 45

Por definicinxy)xy(2yx 22 = (1)

Por analogayx)yx(2xy 22 = (2)


xy]xy)yx(2[2yx 22 =

xyxy2)yx(4yx 22 =

Reduciendo trminos tenemos xyyx 2 =

Piden 45)3(15315915A 2 ====

1177.. Sabiendo que: bcaddcba

= , halla x

en:

x345

281x3

=

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Efectuando segn la regla de definicin)12(x5)8(x6 =

12x58x6 +=+4x =

1188.. Si:nn

251

10535

251

10535n

+

+

+

=

Halla: 2 1

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Analizando por partes

Clculo de 222

251

10535

251

105352

+

+

+

=

+

+

+

= 253

10535

253

105352

2051430

20514302 ++=

32 =

Clculo de 1

+

+

+

= 251

10535

251

105351

205820

2058201 ++=

21 =

2 1 = 3 2 = 1

1199.. Si es un operador que transforma a y bsegn la regla: a b = a! (b 1)!Calcula: )1b(*)1a(

a*bb*aE

+=

A) a B) b C) )ba)(1b( +D) ab E) 1b

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Segn la definicin se tiene

)!2b()!1a()!1a(!b)!1b(!aE

+=

)!2b()!1a()!1a(!)2b)(1b(b)!2b)(1b()!1a(aE

+=

Factorizando )!2b()!1a(

)!2b()!1a(])1b(b)1b(a[)!2b()!1a(E

+=

)1b(b)1b(aE +=

)ba)(1b(E +=

2200.. Calcula: E = 4Si:

3x4x += ; 1x1x 2 =

A) 103 B) 80 C) 120D) 99 E) 100

Asumiendo que 5x = , se tiene

1515 2 = 244 =

Luego

E = 4 = 24 = 4(24) + 3 = 99

2211.. Si: 22 baba =)ba(logba 2 =

Halla: )2a22a3()35(

A) a B) 8a C) 3aD) 2a E) 4a

Efectuando segn la regla de definicin de cadaoperador

)2a22a3()35(E =)2a22a3(2log22 )35(E =

2a2log16E =2a2log4 )2(E =

8a2log2E = 8aE =

2222.. Se define la siguiente operacin para loscasos:

1xx += ; 3xx =

Calcula el valor de m en la siguiente ecuacin:

727m =

A) 9 B) 10 C) 19D) 5 E) 17

Haciendo un cambio de variable

1+= xx

1xx += 1xx 3 +=

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13287m 3 +==

1237m 3 +==

Donde 27m = 9m =

2233.. Se define la siguiente operacin:x3xx 2 += ; x +

Determina el menor valor de n que satisface laecuacin:

172902n2 =

A) 2 B) 2 C) 9D) 15 E) 3

Interpretando la definicin )3x(xx +=

Entonces )133(130172902n2 ==

)13(101302n2 ==

)5(2102n2 ==

De ah 22n2 =

4n2 =

=

=

)valormenor(2n2n

2244.. Si: 6n7AA 2n =

Halla: 64 128

A) 2 B) 1 C) 3D) 5 E) 4

Transformando las cantidades en funcin de lascomponentes

76 2212864 =2726 22 =

277712 22

=

27712

7 22

=

2712

6712864 =

=

2255.. Si: x44x =

Adems ( )( ) 14xxR =Halla la suma de las cifras de R.

A) 7 B) 5 C) 12D) 10 E) 13

Piden4x

xR

=

x4x

44R

+=

44= 256R =

Suma de cifras de R = 2 + 5 + 6 = 13

3

3

3

3

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Operaciones binarias

11.. Se define la operacin @ mediante lasiguiente tabla:

Calcula 50 @ 18.

A) 77 B) 89 C) 99D) 98 E) 96

La regla de definicin es de la forma

a @ b 321 kbkak ++=

Analizando la tabla

Luego, de la tablaa @ b 3kb32

a++=

8 @ 6 3k)6(328

++=

41 3k22 += 19k3 =

Entonces a @ b 19b32a

++=

50 @ 18 9819)18(3250

=++=

22.. Se define en N la operacin ,representada mediante la siguiente tabla:

Calcula 94 95.

A) 564 B) 753 C) 754D) 749 E) 758

Analizando la tabla

Luego, de la tablaa b 3kb2a6 ++=1 1 3k)1(2)1(6 ++=3 3k8 += 5k3 =

Entonces 5b2a6ba +=

7495)95(2)94(69594 =+=

9 1276@50 594441851 6045421053 6247441457 66514822

3 4217 953113 15119219 211715325 2723214

9 1276@50 594441851 6045421053 6247441457 66514822

2

48

1

2

4

6 93

2 31

3k2 = 39

26

13

==

21k1 =

21

42

84

==

3 4217 953113 15119219 211715325 2723214

212k2 ==

616k1 ==

1

11

6

66

2 22

1 11

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33.. Se define:

Calcula: S = (333 9) + (344 16)

A) 2006 B) 2004 C) 2005D) 2002 E) 2003

Analizando la tabla

Luego, de la tablaa b 3kba3 +=2 2 3k2)2(3 +=4 3k4 += 0k3 =

Entonces a b ba3 =

S = (333 9) + (344 16) = 2006

44.. Dada la siguiente tabla:

Halla: 3123 1132

A) 2023 B) 2223 C) 3023D) 2323 E) 2003

Efectuando cifra por cifra en forma vertical

1ra columna 3 2 = 12da columna 2 3 = 23ra columna 1 1 = 1 0

4ta columna 1 (3 1) = 2

3123 1132 = 2023

55.. Si a b 7ba += ; donde 1a es elelemento inverso de a.Calcula: E = 13 15

A) 20 B) 17 C) 11D) 9 E) 13

Calculando el elemento neutro (e)a e a=

a7ea =+ 7e =

Calculando el elemento inverso ( 1a )a ea 1 =

77aa 1 =+ a14a 1 =

Luego

==

==

95145113143

11

4322342567389104

321321012203230323

4322342567389104

111k2 ==

313k1 ==

1

1

3

3

-1-1

11

16)334(3

9)333(3

llevase

1321323113202

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Piden E = 13 15E = 11 9E = 11 + 9 7 E = 13

66.. Si: a b = a + b + 2Halla: E = ( 3 12 ) 13Si 1a es el elemento inverso de a.

A) 5 B) 6 C) 4D) 3 E) 1

Calculando el elemento neutro (e)a e a=

a2ea =++ 2e =

Calculando el elemento inverso ( 1a )a ea 1 =

22aa 1 =++ a4a 1 =

Luego

==

==

73436242

11

Piden E = ( 3 12 ) 13

E = ( 3 (6) ) (7)E = 1 (7)E = 1 7 + 2 6E =

77.. Se define: a b = b + a 4Halla: 1111 )86()42(E =Donde 1a es el elemento inverso de a.

A) 1 B) 2 C) 3D) 0 E) 4

Calculando el elemento neutro (e)aea =a4ea =+ 4e =

Calculando el elemento inverso ( 1a )eaa 1 = 44aa 1 =+ a8a 1 =

Luego

==

==

26866282

11

Piden 1111 )86()42(E =11 )82()46(E =

11 66E =22E =

422E += 0E =

88.. Se define la operacin mediante la tabla:

Calcula: 2005 2006

A) 10025 B) 4012 C) 14037D) 14033 E) 14041

Observamos que los elementos del cuerpo de latabla forman sucesiones lineales, es decir la reglade definicin es de la forma

a b 321 kbkak ++=

3 4217 953112 14108217 191513322 2420184

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Se observa


Entonces 4b2a5ba +=

033144)2006(2)2005(520062005 =+=

99.. Si:

Calcula: M = 100 200

A) 694 B) 794 C) 700D) 800 E) 400

Analizando los elementos del cuerpo de la tablase deduce que la regla de definicin es de laforma

a b 321 kbkak ++=

Observamos que las razones internas y externasson constantes


Entonces 6b2a3ba +=

6946)200(2)100(3200100 =+=

1100.. Sea la operacin definida en el conjuntoA = {1, 2, 3, 4} mediante la tabla:

Observacin: 1a , es el elemento inverso de aHalla el elemento neutro y 11 14 + .

A) 1; 2B) 2; 3C) 3; 4D) 4; 3E) 3; 6

8 115213 1971125 311913537 433125949 55433713

3 4217 953112 14108217 191513322 2420184

8 115213 1971125 311913537 433125949 55433713

3 4211 23412 14323 42134 3124

1

11

5

5

5

2 22

1 11

212k2 ==

515k1 ==

4

44

12

1212

6 66

3 33

236k2 ==

3412k1 ==

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Determinando el elemento neutro y los elementosinversos

3e =

=

=

2144

11

Por lo tanto El elemento neutro es 3 614 11 =+

1111.. Se define en el conjunto R una operacinsimbolizada por de la siguiente manera:

Calcula: )84()57()38(A

+

=

A) 1/5 B) 61/28 C) 25/36D) 4/27 E) 9/22

Analizando filas y columnas en el cuerpo de latabla se deduce que

b2a3ba +=

Luego

=+==+==+=

28)8(2)4(38431)5(2)7(35730)3(2)8(338

2861

283130

)84()57()38(A =+=

+

=

1122.. Se define en R la operacin ( )

Calcula: [ ] 11111 4)32(M =Donde 1a es el elemento inverso de a.

A) 1 B) 2 C) 1/2D) 0 E) 4


3e =

=

=

=

=

24334211

1111

En la expresin[ ] 11111 4)32(M =

3 4219 1175112 14108215 171311318 2016144

3 4211 24312 31423 42134 1324

3 4211 23412 14323 42134 3124

3 4211 23412 14323 42134 3124

3 4211 24312 31423 42134 1324

3 4211 24312 31423 42134 1324

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[ ] 11 2)34(M =[ ] 11 24M =[ ] 122M =

11M = 1M =

1133.. Se define en A = {1, 2, 3, 4}

Calcula x en:[ ] ( )[ ] 133)24(x)32( 11111 =

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6


2e =

=

=

=

=

44132231

1111

En la igualdad[ ] ( )[ ] 133)24(x)32( 11111 =

[ ] ( )[ ] 133)24(x)32( 111 =

Entonces 12)x3( 111 =

12)x1( 1 =

De la tabla 1x1 1 = 2x 1 =2x =

1144.. Se define en:72 @ 10 = 5648 @ 15 = 54100 @ 1 = 52

Calcula 12 @ 40.

A) 60 B) 79 C) 63D) 65 E) 86

Observamos que

72 @ 10 = 56)10(2272

=+

48 @ 15 = 54)15(2248

=+

100 @ 1 = 52)1(22100

=+

Del cual se deduce que

a @ b b22a

+=

12 @ 40 86)40(2212

=+=

3 4212 31413 42124 13231 2434

3 4212 31413 42124 13231 2434

3 4212 31413 42124 13231 2434

3

231

34

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1155.. Si:

Calcula: K = 1331 # 3133

A) 13311 B) 31113 C) 13331D) 31131 E) 11331

Efectuando cifra por cifra en forma vertical

1ra columna 1 # 3 = 32da columna 3 # 3 = 3 1

3ra columna 3 # (3 # 1) = 3 1

4ta columna 3 # (1 # 3) = 31

1331 # 3133 = 31113

1166.. En el siguiente conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5}se define la operacin @ de acuerdo a la tablaadjunta.

Determina el valor de verdad de las siguientesproposiciones.I. El elemento neutro es 1II. El elemento inverso de 3 es 5

III. No es una ley de composicin internaIV. Cumple con la propiedad conmutativaV. 111 532 =+ , siendo 1a el elemento

inverso de a.

A) VFVFV B) VFFVF C) VFFFFD) FFFFV E) VVVVV

Analizando cada proposicinI. Verdadero

El elemento neutro es 1.

1e =

II. FalsoEl elemento inverso de 3 es 4.

III. FalsoLa operacin @ es una ley de composicininterna debido a que todos los elementos delcuerpo de la tabla pertenecen al conjuntoM = {1, 2, 3, 4, 5}

@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4

@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4

31#3113133

@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4

llevase

llevase

3 4211 24312 31423 42134 1324

@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4

3 3133133133113

#

1

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Prof: PACHECO


IV. VerdaderoLa operacin @ es conmutativa debido a quesus elementos estn ubicados simtricamente

IV. Falso

Verificando 21

41

51 532 +

VFFVF

1177.. Se define ab)ba( 2 = ; 0ba >Calcula: S = 40 * 800

A) 1 B) 50 C) 99D) 10 E) 100

De la expresin dadaab)ba( 2 = (1)

Cambiamos el orden de los elementosba)ab( 2 = (2)


ba))ba(( 22 =ba)ba( 4 =

1)ba( 3 = 1ba =

180040S ==

1188.. Se define en N la operacin ()3ba22

ba ++=Indica el valor de verdad de las siguientesproposiciones.I. La operacin es cerrada en N .II. La operacin es conmutativa.III. Su elemento neutro es 3.

A) VVF B) VVV C) VFFD) VFV E) FFF

La operacin matemtica es equivalente a3b2a2ba ++=

I. VerdaderoLa operacin matemtica es cerrada en N

N

NNNNN

++=

3b2a2ba

II. VerdaderoLa operacin matemtica es conmutativa

abba =3a2b23b2a2 ++=++

III. FalsoLa operacin matemtica no tiene elementoneutro

aea =a3e2a2 =++ 2

3ae =

VVF

1199.. Determina el valor de: b a64 25 = 13100 49 = 1749 1 = 8ab 4 = 8

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 5 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 4

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Prof: PACHECO


Observamos que

64 25 = 132564 =+

100 49 = 1749100 =+

49 1 = 8149 =+

Del cual se concluye que

ab 4 = 884ab =+6ab = 36ab =

336ab ==

Hunuco, 12 de enero de 2015

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