1.2 Những cơ chế của sự bất ổn định

Có một số dòng chảy tầng tương ứng với những nghiệm đ~ biết của những phương trình chuyển động phi tuyến. Một số ít hơn thì đủ đơn giản để phân tích chi tiết sự bất ổn định của chúng. Vậy thì những nghiên cứu sự thủy động lực học ổn định đi sâu vào những vấn đề nhỏ . Chúng tôi phải nghiên cứu sự ổn định của vài lớp dòng chảy tầng đơn giản,chủ yếu là dòng phẳng, đối xứng trục hay đối xứng cầu. Nhưng tính đơn giản của chúng lại không chỉ rõ được một số đặc điểm chung của sự bất ổn định, đặc biệt là dòng ba chiều, như dòng chảy kéo dài của của những đường xoáy. Để hiểu rộng hơn sự thủy động lực học ổn định ta đưa những dòng cơ bản n{y như những nguyên mẫu vì nó có thể phác thảo những cơ chế vật lý quan trọng của sự bất ổn định. Có thể nói rằng sự bất ổn định xuất hiện bởi có sự rối loạn n{o đó của sự cân bằng những ngoại lực, quán tính và ứng suất nhớt của một chất lỏng. Chúng tôi sẽ bàn luận những ngoại lực đầu tiên. Ta quan tâm những ngoại lực của sự nổi trong một chất lỏng với mật độ khác nhau, sức căng mặt ngoài, những lực từ thủy động. Nó thêm tiện lợi khi ta coi những lực ly t}m v{ Coriolis như những ngoại lực khi có sự quay của toàn bộ hệ thống mà chất lỏng di chuyển. Nếu chất lỏng nặng ở trên lỏng nhẹ thì rõ ràng rằng những chất lỏng nặng sẽ chuyển động xuống dưới do t|c động của trọng lực. Một sự bất ổn định tương tự xảy ra trên mặt tự do của một thùng chứa chất lỏng khi nó chuyển động xuống dưới với gia tốc đều lớn hơn gia tốc trọng trường. Thật ra có một tính tương đồng giữa bài toán bất ổn định của một chất lỏng với mật độ biến thiên, tức là sự đối lưu Benard với biên là mặt phẳng ngang, và bài toán bất ổn định của dòng chảy xo|y đối xứng trục của chất lỏng đồng nhất, được gọi l{ c|c xo|y Taylor được giới hạn bởi hai hình trụ đồng trục quay. Sự tương đồng của mật độ l{ bình phương của lưu số. Nếu độ lớn của lưu số của dòng chảy Couette xung quanh và bên trong hình trụ lớn hơn so với độ lớn của lưu số xung quanh vòng ngoài, lực ly t}m có xu hướng đẩy chất lỏng gần mặt trong hình trụ như một sự bất ổn định. Sự bất ổn định ly tâm này có thể cũng xuất hiện trong những dòng chảy dọc theo một mặt cong cứng như một tường lõm của một kênh. Sức căng bề mặt thì làm giảm sự tăng diện tích của mặt và vì thế tạo nên một ảnh hưởng ổn định, đặc biệt trên những sự rối loạn với chiều dài nhỏ. Một từ trường có thể ngăn chặn chuyển động của một chất lỏng dẫn điện ngang qua những đường sức từ tính v{ do đó thông thường thì làm ổn định những dòng chảy này. Trong trường hợp không có bất kỳ ngoại lực hay độ nhớt nào, chất lỏng chuyển động theo sự cân bằng giữa quán tính của nó với những ứng suất trong của áp suất. Một sự rối loạn nhỏ có thể làm mất đi sự cân bằng n{y. Xu hướng của chất lỏng là chuyển động dưới những gradient áp suất, để khuyếch đại những sự rối loạn của những dòng chảy nhất định v{ do đó tạo ra sự bất ổn định. Sự bất ổn định này có thể được miêu tả chính x|c hơn dưới dạng tương t|c của những đường xoáy, nó làm khí nóng di chuyển bằng đối lưu v{ trải ra bởi chuyển động của chất lỏng.

Một tác dụng rõ ràng của độ nhớt là làm giảm năng lượng của bất kỳ sự rối loạn n{o v{ do đó l{m ổn định dòng chảy. Vì lý do này mà bất kỳ dòng chảy n{o được giới hạn đều ổn định nếu nó có độ nhớt đủ lớn. Vì thế, độ nhớt có ảnh hưởng đến sự ổn định. Độ nhớt cũng có ảnh hưởng phức tạp hơn nữa với việc truyền động lượng. Nó có thể làm một số dòng chảy đặc biệt là dòng chảy song song, không ổn định mặc dù những dòng chảy giống như vậy không nhớt thì ổn định. Tính dẫn nhiệt, hoặc sự khuyếch tán phân tử nhiệt, có một số ảnh hưởng tương tự như đô nhớt, hay sự khuyếch tán phân tử của động lượng. Nó hướng tới để làm giảm chênh lệch nhiệt độ ở ngoài của nhiễu loạn v{ thông thường là một ảnh hưởng ổn định. Nó là quy luật xem xét sự ổn định của chủ yếu những dòng cơ bản, nhưng sự bất ổn định của nó cũng có tầm quan trong thực tế. Gia tốc của một dòng chảy tầng đóng vai trò trong việc nhận biết sự ổn định của nó. Phân tích nói chung khá phức tạp, nhưng nó đưa ra rằng gia tốc của dòng phân tầng có thể ổn định v{ xu hướng giảm tốc độ làm mất ổn định. Những dòng m{ dao động trong khoảng thời gian, như dòng Poiseuille đi qua một cái ống ống tròn bởi một gradient áp suất dao động, có những đặc tính ổn địnhphức tạp. Các tham số ổn định hay bất ổn định có thể xuất hiện, do đó những dao động tự do của những nhiễu loạn của dòng cộng hưởng trung bình với những dao động cưỡng bức của dòng. Cuối cùng, lớp biên của một dòng là một nhân tố quan trọng. Chúng hạn chế sự phát triển của một sự nhiễu loạn v{ thông thường chúng kết hợp với nhau tạo ra dòng ổn định hơn. Tuy nhiên, đôi khi chúng ta l{m tăng mặt cắt trên những lớp biên mà mở rộng ra phía ngoài bởi tính nhớt và vì thế dẫn tới sự bất ổn định của dòng. Trong một số dòng điển hình có thể xuất hiện nhiều hơn một cơ chế này. Chẳng hạn, trong dòng chảy phẳng Poiseuille có ảnh hưởng kép bởi tính nhớt, lực quán tính và lớp biên đều gây ảnh hưởng tới sự bất ổn định. Dòng phẳng Poiseuille của chất lỏng không nhớt thì ổn định. Tại những số Reynolds lớn hữu hạn sự khuyếch tán của động lượng từ những lớp cắt mỏng gần thành dẫn tới sự bất ổn định. Điều này dẫn tới một giá trị tới hạn của số không thứ nguyên R biểu diễn tỷ lệ độ lớn của những lực làm bất ổn định của mặt cắt và những lực nhớt ổn định mà những ảnh hưởng đó có thể suy đo|n tới sự cân bằng. Tóm lược này những cơ chế của sự ổn định thủy động lực học sẽ được đưa ra xem xét trong vấn đề chi tiết trong chương n{y v{ những chương sau. Những chi tiết quan trọng của sự bất ổn định của dòng bất kỳ nào sẽ không làm mờ đi những cơ chế chung này, công nhận điều này giúp ta phân loại cũng như hiểu vấn đề. Sự bất ổn định xuất hiện từ sự mất cân bằng giữa lực ngoài và sự tiêu tán ảnh hưởng l{ thường đơn giản hơn sự bất ổn định quán tính. Những vấn đề nguyên mẫu của sự bất ổn định đơn giản sẽ được ph}n tích đầu tiên, sự bất ổn định tuyến tính của một chất lỏng được nghiên cứu trong Chương 2 v{ sự bất ổn định ly t}m trong Chương 3. Nếu chất lỏng nằm yên giữa hai mặt phẳng ngang, chất lỏng bên dưới nóng hơn chất lỏng bên trên thì chất lỏng nhẹ ở dưới chất lỏng nặng. Sự nổi dẫn tới sự (chuyển động xuống) lật nhào chất lỏng. Xu hướng n{y l{ đối lập bởi những ảnh hưởng phân tán

của độ nhớt và tính dẫn nhiệt. Số không thứ nguyên biểu thị cho tỷ lệ của sự nổi bất ổn định với lực ổn định phân t|n được gọi là Số Rayleigh; trị tới hạn của nó được tính to|n v{ liên quan đến nhiều thí nghiệm. Trong dòng n{y, độ nhớt và tính dẫn nhiệt chỉ có thể ảnh hưởng tới sự ổn định. Sự bất ổn định của dòng Couette giữa những hình trụ tròn xoay thì tương tự, độ nhớt chỉ dẫn tới ổn định sự bất ổn định ly tâm. Sự bất ổn định tuyến tính của những dòng shear song song được nghiên cứu trong Chương 4,ở đó chỉ ra rằng tính nhớt đóng vai trò chủ yếu của sự ổn định và bất ổn định. Đó l{ sự mất cân bằng giữa quán tính và cả ảnh hưởng tiêu tan và phân tán của tính nhớt. Cơ chế vật lý và mô tả toán học của sự bất ổn định này khó hiểu hơn so với sự bất ổn định do ngoại lực, và sẽ được giải thích chi tiết trong Chương 4. Những đề tài toán học khó nhất, liên quan đến lý thuyết tiệm cận của nghiệm của phương trình Orr-Sommerfeld mà vấn đề đó đề cập, sẽ được chi tiết hóa trong Chương 5. Chương 5 có thể được lờ đi bởi người đọc không chuyên toán mà quan t}m đến những đặc trưng ổn định hơn l{ trong việc suy diễn.

1.3. Những khái niệm cơ bản của sự ổn định thủy động

Để phân tích sự ổn định của bất kỳ dòng chảy phân lớp n{o đầu tiên phải tìm được

vận tốc và những thành phần khác như áp suất P(x,t) và nhiệt độ 6, cần x|c định

dòng chảy tầng tại mỗi điểm x và thời gian t, những dòng chảy này gọi là dòng chảy

cơ bản. Những dòng này có thể là ổn định hoặc không ổn định, và phải thỏa mãn

phương trình chuyển động v{ c|c điều kiện biên thích hợp. Lựa chọn những phương

trình thích hợp để mô hinh hóa dòng chảy đang xét v{ giải các phương trình thường

là những nhiệm vụ khó, nhưng chúng ta sẽ giả thiết rằng những phương trình và

nghiệm của chúng là hoàn toàn biết được, mặc dù những đặc tính phụ của dòng chảy

đang xét có thể bỏ qua hoặc chỉ là một nghiệm xấp xỉ tìmđược.

Về mặt vật lý chúng ta muốn biết dòng cơ bản có thể quan s|t được hay

không. Nếu nó bị khuấy động nhỏ, sự nhiễu loạn có thể mất đi, tiếp tục như một rối

loạn có độ lớn tương đương hay phát triển những dòng chảy cơ bản trở thành dòng

chảy tầng hay dòng chảy rối khác. Nói chung chúng ta gọi những rối loạn tương ứng

như ổn định, ổn định trung lập hay sự bất ổn định.Tất cả sự rối loạn nhỏ đều có thể

xảy ra trong một miền n{o đó bởi sự bất quy tắc nhỏ hay những rung động của dòng

chảy cơ bản trong thực tế, vì vậy nó chỉ tồn tại khi nó ổn định đối với tất cả sự rối

loạn nhỏ. Trong việc tìm kếm những định nghĩa chính x|c hơn của sự ổn định chúng

ta có thể sử dụng lý thuyết toán học ổn định nghiệm của phương trình vi phân

thường và phương trình vi phân từng phần, nhưng phải đưa những định nghĩa n{y

để mở rộng những kiến thức vật lý của chúng ta.Việc sử dụng c|c định nghĩa như “bị

khuấy động nhẹ” , “mất đi”,”rối loạn của độ lớn tương đương” thường là rõ ràng trừ

khi các dòng chảy cơ bản là không ổn định hay không tuyến tính. Định nghĩa cho hai

trường hợp này vẫn đang g}y tranh c~i v{ sẽ được thảo luận trong §48 và chương

7. Tuy nhiên tại thời điểm ban đầu, quan trọng là chúng ta hiểu những rối loạn phát

triển như thế nào theo thời gian chứ không phải là tranh cãi về định nghĩa sự ổn

định của chúng.

Nó có thể giúp người đọc có xu hướng toán học công thức hóa những định nghĩa n{y.

Tuy nhiên người đọc có xu hướng vật lý có thể bỏ qua đoạn này, vì trong hầu hết

những ứng dụng thì việc xây dựng một công thức định nghĩa là không cần thiết. Ví

dụ lý thuyết ổn định của hệ phương trình vi phân thường, ta nói dòng chảy cơ bản là

ổn định(theo ph|n đo|n của Liaponov) nếu cho một số bất kỳ bất kỳ 0 , thì tồn

tại một số dương (phụ thuộc ) sao cho:

thì

Trong đó u là thành phần vận tốc và p là thành phần áp suất, thỏa mãn phương trình

chuyển động v{ điều kiện biên. Định nghĩa n{y nghĩa l{ dòng chảy là ổn định nếu các

rối loạn ở mọi thời điểm ban đầu là nhỏ, hoặc nói theo cách khác, nếu nghiệm là liên

tục đều cho mọi thời gian đối với điều kiện ban đầu. Ý nghĩa chính x|c của rối loạn

“nhỏ” hay “liên tục” được gán với định nghĩa tiêu chuẩn x|c định dương. Có nhiều

cách chọn, nhưng để tiện lợi về mặt vật lý, ta chọn

Hoặc

Trong đó V l{ miền của dòng chảy và ρ l{ mật độ chất lỏng. Tương tự, chúng ta có thể

nói dòng chảy cơ bản là gần ổn định(theo ph|n đo|n của Liapounov) nếu

Những định nghĩa n{y không thỏa mãn khi tiêu chuẩn của dòng chảy cơ bản tăng

hay giảm đ|ng kể theo thời gian. Sau đó một tiêu chuẩn phụ thuộc vào thời gian có

thể được lựa chọn từ thực nghiệm hay quan sát bằng thực nghiệm cho tính ổn định.

Những rối loạn khác có thể dẫn tới sự bất ổn định từ những thay đổi nhỏ trong điều

kiện biên do không tuân theo qui luật của tự nhiên hay những thiết bị thí nghiệm

không hoàn hảo. Toán học xử lý những nhiễu loạn này liên quan tới sự rối loạn ban

đầu của dòng chảy cơ bản.

Ngoài ra ta công nhận dòng chảy cơ bản là không thể ngay lập tức thiết lập trong

phòng thí nghiệm hay xuất hiện trong tự nhiên. Thay vì một dòng chảy cơ bản ổn

định phát triển trong không gian hoặc thời gian cho đến khi nó mất ổn định và bản

chất của sự ổn định có thể bị ảnh hưởng bởi các phương pháp tiên tiến.

Ở đ}y chúng ta xem xét dòng chảy cơ bản ổn định và giả sử rằng phương trình

chuyển động v{ c|c điều kiện biên có thể được tuyến tính hóa cho các rối loạn đủ

nhỏ. Sự tuyến tính hóa l{ đơn giản trong lý thuyết và thực hành. Các số

gia của tổng vận tốc u(x,t) và áp suất p(x,t) của dòng

chảy nhiễu loạn nhỏ hơn những giá trị tương ứng của nó với dòng chảy cơ bản, là bỏ

qua.Qua đó ta thu được một hệ phương trình vi phân từng phần đồng nhất tuyến

tính v{ c|c điều kiện biên. Chúng có các hệ số có thể khác nhau theo không gian

nhưng không khác nhau theo thời gian bởi vì dòng chảy cơ bản là ổn định. Kinh

nghiệm với phương pháp tách biến và biến đổi laplace thì nghiệm tổng quát của hệ

có thể biểu diễn như phần thực của tích phâncác thành phần, mỗi thành phần khác

nhau ste theo thời gian cho mỗi số phức s i . Hệ tuyến tính n{y x|c định giá trị

của s và các giá trị của riêng tương ứng như giá trị riêng v{ h{m đặc trưng.

Nếu dòng chảy cơ bản có đối xứng đơn giản, hệ tuyến tính có thể được chuyển với

một số biến không gian cũng như thời gian. Ví dụ dòng chảy Poiseuille có vận tốc và

áp suất tương ứng là:

Trong đó là mật độ của chất lỏng,sử dụng hệ tọa độ trụ (x,r, ) v{ i l{ vecto đơn vị

song song với trục x. Tính đối xứng trục của dòng chảy là các hệ số của hệ phương

trình vi phân tuyến tính v{ điều kiện biên cho u’, p’ chỉ là hàm của r. Vì thế phép

biến đổi Laplace của hệ với biểu diễn t, a chuỗi Furiê với và sự biến đổi Fourier với

biểu diễn bởi x có thể được được dùng để biểu thị vận tốc nhiễu loạn dạng

Trong đó đường lấy tích phân của S l{ đường Bromwich cho nghịch đảo của phép

biến đổi Laplace. ở đ}y u được x|c định từ vận tốc ban đầu và những thành phần áp

suất và biến đổi hệ những phương trình vi phân thường theo R và những điều kiện

biên. Hệ này cho mối liên hệ với giá trị riêng theo công thức

và những h{m đặc trưng ngoại trừ một h{m mũ của k, n, s. H{m mũ được chỉ

rõ bởi những điều kiện ban đầu. Đ}y l{ phương pháp của những dao động riêng và

những sự rối loạn nhỏ được giải quyết bằng cách này, mà có thể xử lý riêng rẽ bởi

mỗi dao động đều thỏa mãn hệ tuyến tính.. Thành công này phụ thuộc vào tìm thấy

một dao động riêng để đại diện cho sự phát triển của rối loạn ban đầu.

Nếu 0 thì tương ứng rối loạn sẽ được khuyếch đại, tăng số mũ theo thời

gian cho đến khi đủ lớn để những thành phần phi tính xuất hiện. Nếu 0 thì ta nói

ổn định độc lập, và nếu 0 ta nói gần ổn định hoặc ổn định. Vì thế một mô hình

bất ổn định nếu 0 và ổn định nếu 0 vì nó vẫn tiếp tục nhỏ theo thời gian. Một

rối loạn nhỏ của dòng chảy cơ bản là trường hợp chung cho tất cả các mô hình, vì thế

nếu 0 trong một vùng rất nhỏ thì dòng chảy là bất ổn định. Ngược lại, nếu

0 cho toàn miền thì dòng chảy là ổn định. Một miền là biên ổn định nếu 0 cho

những trị tới hạn của những tham số mà giá trị riêng s phụ thuộc, nhưng 0 cho

một số giá trị lân cận của những tham số. Dòng chảy phẳng Poiseuille, với vận tốc cơ

bản giữa hai mặt cứng z a , được đưa ra trong ví dụ này. Các

quan hệ giá trị riêng

Trong đó k v{ l l{ những số sóng của dòng chảy trên trục x và trục y. Lấy miền

0 cho giá trị xác định của k, l, R=Va/ nhưng 0 cho những giá trị lớn hơn một

chút của R và những giá trị tương tự k, l. Những giá trị của những tham số cho sự ổn

định ở biên thường đòi hỏi đưa ra một tiêu chuẩn của sự ổn định, nó cần phải nhớ

rằng sự ổn dịnh trung lập là không cần thiết ở ổn định biên. Mối quan hệ giữa những

tham số là phương trình của đường cong (hay bề mặt) của sự ổn định biên, hoặc gần

hơn l{ đường cong biên (hay bề mặt). ( Trên một đường cong trung lập, 0 nhưng

không nhất thiết dương cho bất kỳ giá trị lân cận nào của những tham số). Chẳng

hạn, nghiệm cho dòng chảy phẳng Poiseuille , ,ak al R . Phương trình

0 đưa đường cong trung lập liên quan k và r cho mỗi giá trị của l. (Trường hợp

tổng quát, ở đó có thể không có, một hay nhiều nhánh của đường cong trung lập cho

mỗi dạng. ) Nếu 0 cho bất kỳ giá trị lận cận nào của k, l, R đường cong trung lập

này cũng là một đường cong biên. Giá trị cực tiểu của R trên tất cả những đường

cong biên cho cả k, l, thì được gọi là số Reynolds tới hạn cR mà sự bất ổn định xuất

hiện, bởi vì có sự bất ổn định cho một số giá trị của R chỉ lớn hơn cR và không chỉ với

R < cR , trực giác chỉ rằng sự bất ổn định cho tất cả các giá trị của R với cR R , Và trực

giác n{y đúng cho dòng chảy phẳng Poiseuille, một số dòng là những ngoại lệ tới quy

tắc này. Nếu 0 khi 0 cho một sự rối loạn thì dao động bất ổn định bắt đầu. Đôi

khi được gọi là trên ổn định - thuật ngữ được đưa ra bởi Eddington (1926, p. 201).

Tuy nhiên, nếu s=0 tại ổn định biên, 0 , được gọi là sự trao đổi của sự ổn định.

Định nghĩa n{y được viết theo Poincare (1885), p. 270 nhưng định nghĩa được sử

dụng đầu tiên bởi Jeffreys (1926), p. 833. Rồi sự bất ổn định bắt đầu khi một dòng

thứ hai ổn định, như trong trường hợp của phần đối lưu l{ tăng khi chất lỏng bị nóng

ở dưới. Sự trao đổi của những ổn định l{ điển hình cho dòng không phân tán của một

chất lỏng không nhớt, cho 2s là thực, như cho những dao động riêng của một hệ

động lực đối lập, và cho một kiểu có thể chuyển động như một sóng với dạng không

thay đổi tại một vận tốc đơn vị. Nguyên lý này của sự trao đổi những ổn định thì

cũng hợp lệ cho một số dòng phân tán.

Khám phá của Reynolds, tiêu chuẩn cho sự ổn định của dòng Poiseuille phụ

thuộc vào V, ,a chỉ thông qua liên hệ /R Va dẫn tới mở rộng sự quan trọng của

sự phân tích số chiều trong động lực học. Thực vậy, chúng tôi vừa mới tuyệt đối giả

thiết quan hệ giá trị riêng cho dòng chảy phẳng Poiseuille

đưa ra nghiệm . Thường thì chúng ta sử dụng những biến không

thứ nguyên để hiểu sự ổn định động lực học tốt hơn. Chúng tôi sẽ sử dụng một dấu

sao như một chỉ số dưới dạng thứ nguyên và bỏ qua dấu sao với dạng không thứ

nguyên, khi đó ta sử dụng hai dạng của cùng đại lượng vật lý. Đôi khi chúng tôi sẽ chỉ

cần dạng thứ nguyên và vì vậy không nên sử dụng những dấu sao. Như vậy từ nay về

sau chúng ta có thể viết và u(x, t) cho biến tổng vận tốc thứ nguyên và

không thứ nguyên của một dòng chảy. Ví dụ cho dòng chảy phẳng Poiseuille chúng

ta lấy tương ứng 2

* /p p V , * /U U V , . . .

Một dao động riêng phụ thuộc vào số mũ thời gian với một số mũ phức. Đó l{

phần (của một nghiệm phức, mà những phần thực và phần ảo là những nghiệm riêng

rẽ vì hệ là tuyến tính. Vì thế, bởi quy ước, chúng ta sẽ đề cập rõ ràng việc lấy phần

thực. Như vậy, ví dụ dòng Poiseuille, chúng tôi sẽ viết vận tốc hỗn loạn thực đơn

giản là

' ( )st i kx nu ue

thay vì biểu thức thích hợp

' ( )Re{ }st i kx nu ue

Tuy nhiên, với những bài toán giá toán ban đầu và lý thuyết phi tuyến, chúng ta sẽ

viết ra những biến rõ r{ng để tránh bất kỳ sự nhầm lẫn nào.

Chúng tôi không phải quên một sự rối loạn nhỏ là một chồng lên nhau của những

dao động riêng, không phải là một dao động đơn trong thực tế. Vì thế, nếu có dòng

cơ bản không ổn định, một sự rối loạn ban đầu chẳng những sẽ lớn lên mà còn có thể

di chuyển và lan truyền nữa, mỗi thành phần không ổn định lớn lên theo nhịp độ và

chuyển động của mình tại những vận tốc pha của chính nó. Sự bất ổn định đối lưu là

sự bất ổn định mà không có vận tốc nhóm nào bằng không, vì thế sự rối loạn sẽ nhỏ

tại bất kỳ điểm cố định nào mặc dù nó sẽ sẽ lớn lên khi trọng tâm của nó di chuyển

xa ngược dòng hay xuôi dòng. Sự bất ổn định tương đối là sự bất ổn định n{o đó có

vận tốc nhóm bằng không, vì thế sự rối loạn sẽ tăng tại một số điểm cố định. Những ý

tưởng n{y được phát triển cho những dòng chảy song song trong $ 24 và $ 47.

Cũng không phải chúng tôi đ~ quên những sự rối loạn thực là rất nhỏ, vì vậy

mà những khái niệm giới thiệu trong mục này phải được đúng v{ mở rộng trong

Chương 7.

Mục này là tất yếu chung, nhưng tốt hơn khi được minh họa bởi phim dòng

chảy bất ổn định ( Mollo- Christensen F 1968). Thực vậy, toàn bộ đề tài của sự bất

ổn định thủy động được giới thiệu bởi vòng phim (Mollo-Christensen FL 1968b).

25.LÝ THUYẾT NHỚT 25.Phương trình chủ đạo Xem xét những phương trình cơ bản cho chất lỏng nhớt ta sẽ giả sử dòng cơ bản ổn định được cho dưới dạng phương trình (21.1)

Cho một chất lỏng nhớt, tuy nhiên, có thể không là một hàm tùy ý của nhưng thỏa m~n phương trình chuyển động

Trong đó = constant. Họ những dòng song song thì có phần hạn chế khi có

bậc cao nhất là bậc hai tại .Tuy nhiên,nó gồm hai trường hợp quan trọng với dạng không thứ nguyên: + Dòng chảy phẳng Couette:

Trong đó V bằng vận tốc của tấm trên và L bằng nửa chiều rộng của kênh; và +Dòng chảy phẳng Poisuille:

Trong đó V l{ vận tốc cực đại tại trung tâm của kênh bằng và L bằng nửa chiều rộng của kênh. Bởi vậy ta có một họ tham số của những dòng song song tuyệt đối nó có thể được xem là một tổ hợp tuyến tính của dòng phẳngCouette và dòng phẳng Poiseuille. Những phương trình chủ đạo sẽ được dẫn ra trong mục này dựa trên giả thiết dòng cơ bản là song song tuyệt đối. Tuy nhiên, nói chung hơn, những kết quả phương trình có thể được sử dụng dể xem xét sự ổn định của những

dòng gần song song.Một dòng cơ bản hai chiều gọi là gần song song nếu

Họ những dòng gần song song như vậy bao gồm nhiều dòng quan trọng, chẳng hạn những lớp biên, jets, shear layers. Những phương trình tuyến tính của sự chuyển động có dạng:

Trong đó là số Reynolds. Những phương trình n{y kh|c với phương trình

(21.5) là bổ sung số phần nhớt .

Trong việc xem xét nghiệm của những phương trình (25.5) ta sẽ phân tích trực tiếp dạng chuẩn tắc v{ sau đó ta sẽ tóm tắt tổng quan bài toán giá trị ban đầu . Như vậy, khi u' và p ' có dạng (21.6)

chúng ta thu được

Cho biên cứng chúng ta sử dụng điều kiện biên nhớt:

Nói riêng, quan hệ giá trị riêng cho vấn đề này phải dạng

Bài toán ba chiều được x|c định bởi những phương trình (25.6) v{ (25.7) , tuy nhiên,có thể đưa về bài toán hai chiều tương đương bằng việc sử dụng sự biến đổi

Squire. Như vậy nếu chúng ta sử dụng quan hệ (21.10) và, ngoài ra, cho dR= aR thì ta thu được:

Những phương trình n{y có cùng cấu trúc toán học như phương trình (25.6) và

(25.7) với v{ như vậy chúng ta định nghĩa b{i to|n hai chiều tương

đương. Nói riêng, khi thì dẫn tới và vì thế chúng ta có: + Định lý Squire. Để thu được số Reynolds tới hạn tối thiểu chỉ cần xem xét những nhiễu loạn hai chiều. Bởi vậy trong phần kế tiếp chúng ta chú ý chỉ xét tới những nhiễu loạn hai chiều và nó thuận tiện biểu diễn những phương trình chủ đạo dưới dạng hàm dòng

hay biên độ ( cf. phương trình (21.13) v{ (21.14)). Phương trình tuyến tính của tính xoáy cho nhiễu loạn hai chiều có thể được viết dưới dạng

trong đó là thành phần y của tính xoáy. Từ phương trình này, học từ phương

trình (25.6) với , thì thỏa mãn phương trình Orr- Sommerfeld

Với điều kiện biên:

Quan hệ giá trị riêng cho bài toán hai chiều thì co dạng đơn giản sau:

Mặc dù phương trình Orr- Sommerfeld được dẫn ra trên giả thiết dòng cơ bản là song song tuyệt đối, trong việc giải quyết những thuộc tính nhất định của phương trình để thuận tiện ta giả thiết tổng qu|t hơn U(z) là một hàm giải tích của biến phức z. Phương trình (25.12) không phải chỉ độc lập với biến z mà những tham số α, c, R còn được xem xét như biến phức. Những nghiệm của phương trình (25.12) l{ những hàm tích phân của z, α, c, R v{ nếu những điều kiện biên (25.13) được |p đặt cho những giá trị hữu hạn của z thì quan hệ giá trị riêng (25.14) cũng l{ một hàm tích phân của α, c, R. Như vậy nếu đó l{ một tập hợp liên tục của những giá trị riêng c với những giá trị đ~ cho của α v{ R , theo lý thuyết của hàm giải tích, phương trình (25.14) sẽ quy về một đồng nhất thức. Phạm vi giá trị riêng cho bài toán nhớt vì thế phải hữu hạn . Lý lẽ này của Lin (1961). Cho những dòng vô biên , Chẳng hạn, kiểu lớp lớp biên, lý lẽ này không thích hợp. Nghiên cứu gần đ}y bởi Jordinson (1971), Mack(1976), Murdock & Stewartson (1977), Antar & Benek (1978), và Grosch & Salwen (1978) có được cho thấy phạm vi lớp biên Blasius là một số hữu hạn của những giá trị riêng riêng biệt, những số tăng với R, và miền liên tục cho những hàm

đặc trưng biến đổi hình sin khi

trong bài toán ổn định theo Thời gian, ta xem xét sự gia tăng của một nhiễu loạn trong một khoảng thời gian, chúng ta cho α v{ R l{ thực và cố định. Quan hệ giá trị riêng (25.14) được x|c định là một tập hợp rời rạc của những giá trị riêng cj (j= 1,2,....) , m{ để thuận tiện , ta sắp xếp theo thứ tự chỉ số (bậc) tăng dần,ví dụ.

. Sự phụ thuộc của giá trị riêng ci trên những tham số α v{ R thì vô cùng phức tạp, thậm chí cho những dòng đơn giản như dòng phẳng Couette hoặc Poiseuille và có thể chỉ ra sự thay đổi bậc khi α v{ R thay đổi. Để tiện lợi ta giả sử quan hệ giá trị riêng (25.14) đ~ giải được giải cho c và viết nó dạng :

Nếu một hoặc nhiều kiểu ổn định trung lập tồn tại mà ci = 0 thì và

những đường cong của sự ổn định trung lập n{y được cho bởi . Để thiết lập những đường cong trung lập này biểu diễn cho lớp biên ổn định thì cần chỉ ra ci sự thay đổi dấu khi đi qua điểm uốn cong trung lập. Điều này yêu cầu sự phân tích chi tiết hơn mối quan hệ giá trị riêng khi bàn luận, chẳng hạn, bởi Lin (1945). Khi miền giá trị riêng là hữu hạn nó phù hợp quy luật tự nhiên xem xét bài

toán giá trị ban đầu bởi một sự mở rộng dưới dạng những h{m đặc trưng . Trên việc xem xét wavenumber duy nhất theo phương x, sự mở rộng có dạng

Trong đó sự phụ thuộc của và vào α v{ R có thể biểu thị rõ ràng. Sử lý chuỗi này khá phức tạp và thuờng khó phân tích cho những giá trị lớn của R vì

những h{m đặc trưng không có giới hạn khi . Cho giá trị của α v{ R cố định, tuy nhiên, một câu hỏi quan trọng liên quan những điều kiện bên dưới hàm f(z) có thể được mở rộng theo dạng

Bài toán n{y được xem xét đến đầu tiên bởi Schensted (1960), sử dụng những phương ph|p cổ điển của giải tích, v{ sau đó bởi DiPrima & Habetler(1969), họ đ~

chứng minh nếu f có đạo hàm bậc nhất liên tục và triệt tiêu tại và thì chuỗi có dạng phương trình (25.17) hội tụ đều theo từng điểm giới hạn f. Giả thiết rằng giá trị riêng ci l{ ho{n to{n đơn giản, Những hệ số mở rộng có thể thu được

trong cách sau đ}y. Cho là h{m đặc trưng của bài toán liên hợp, gồm có phương trình:

cùng với những điều kiện biên

Nó dẫn tới

Nếu chúng ta giả thiết những h{m đặc trưng có thể chuẩn hóa thì

Và những hệ số mở rộng x|c định bởi :