Konsep-Konsep Dasar

Definisi

Notasi

Persamaan Diferensial Orde Pertama

Contoh soalNext slide

Persamaan Diferensial yang Dapat Dipisahkan

Solusi

Penyederhanaan Persamaan Homogen

Contoh Soal

Next slide

Persamaan diferensial Orde Pertama Eksak

Sifat-Sifat Dasar

Metode Solusi

Faktor-Faktor Pengintegrasi

Contoh Soal

Next slide

Persamaan diferensial Orde Pertama LINEARMetode Solusi

Penyederhanaan Persamaan Bernauli

Contoh SoalNext slide

Aplikasi Persamaan diferensial Orde PertamaTemperatur

Benda Jatuh

RANGKAIAN LISTRIK

CONTOH SOALNext slide

Definisi

DEFINISI

adalah suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi yang dicari dan turunannya. Persamaan diferensial biasa: fungsi yang tidak diketahui hanya terdiri dari satu variabel independen. Persamaan diferensial parsial: fungsi yang tidak diketahui terdiri dari dua atau lebih variabel independen.Next slide

KLASIFIKASI

Contoh Persamaan Diferensial Biasa

Kedua contoh persamaan di atas termasuk persamaan diferensial biasa (PDB) karena fungsi y yang tidak diketahui terdiri hanya pada variabel x.Next slide

Orde dari persamaan diferensial adalah orde dari turunan tertinggi yang muncul dalam perasamaan tersebut.

Click..

NOTASI

Ekspresi matematis yang sering digunakan untuk menuliskan, masing-masing turunan adalah: y = turunan pertama y = turunan kedua y = turunan ketiga, y(n) = dst. Jika yang menjadi variabel independen adalah waktu, dengan lambang t, maka lambang turunannya adalah , , dst.

Click..

Persamaan Diferensial Orde PertamaBentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah:

Bentuk lain yang jarang muncul:

Next slide

Klasifikasi Persamaan Diferensial Orde Pertama

1. Persamaan Linear y + p(x)y = q(x)

2. Persamaan Bernoulli y + p(x)y = q(x)yn

3. Persamaan Homogen ftx,ty) = f(x,y)

4. Persamaan yang Dapat Dipisahkan M(x,y) = A(x) N(x,y) = B(y)

5. Persamaan Eksak M(x,y)/y =N(x,y)/x

Click..

Contoh SoalTuliskan persamaan diferensial dibawah ini dalam bentuk diferensial.

Jawab?

jawabanPersamaan dibawah ini memiliki bentuk yang tidak terbatas. Salah satunya

Atau dalam bentuk

Dengan mengalikan 1 maka akan didapat

Masih banyak lagi bentuk diferensial yang bisa diturunkan dengan persamaan tersebut dengan berbagai fungsi x dan y lainnya.

Click..

SolusiSolusi untuk bentuk:

Adalah

Dimana c melambangkan suatu konstanta sembarang. Meskipun inntegral dalam kasus tersebut dapat dilakukan, y mungkin tidak bisa diselesaikan secara explisit sehingga solusi dibiarkan dalam bentuk implisist.Click..

Penyederhanaan Persamaan HomogenPersamaan diferensial homogen:

Dapat ditransformasi menjadi persamaan yang dapat dipisahkan dengan memasukkan

Bersama dengan turunannya

Maka persamaan yang dihasilkan dalam variabel v dan x merupakan persamaan yang dapat dipisahkan.Next slide

Penyederhanaan Persamaan HomogenCara lain adalah menulis persamaan awal sebagai:

Dan kemudian memasukkan:

Dan turunannya:

Maka persamaan yang dihasilkan dalam variabel u dan y merupakan persamaan yang dapat dipisahkan.Click..

Contoh SoalSelesaikanlah persamaan diferensial berikut :

Jawab

JawabanUntuk persamaan tersebut, Maka diperoleh : dan

Yang setelah integrasi didapatkan :

Maka akan mendapat solusi :

Click..

Sifat-Sifat Dasar

Suatu persamaan diferensial : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan eksak apabila ada sebuah fungsi g(x,y) sehingga : dg(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)Uji Kepastian (exactness) :

(E.1) (E.2)

Jika M(x,y) dan N(x,y) merupakan fungsi kontinu dan memiliki urutan parsial pertama yang kontinu pada sebuah bidang xy, maka (E.1) adalah eksak hanya jika : (E.3)Click..

Metode Solusi

Untuk menyelesaikan persamaan (E.1) berikut : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

(E.1)

berikut dengan asumsi bahwa persamaan tersebut eksak, terlebih dahulu kita harus menyelesaikan persamaan berikut : (E.4) (E.5) Untuk g(x,y). Solusi untuk persamaan (E.1) secara implisit adalah : g(x,y) = c (E.6) c adalah bilangan konstanta sembarang.Click..

Faktor PengintegrasiSecara umum, persamaan (E.1) bukanlah persamaan eksak. Namun terkadang persamaan ini dapat dirubah menjadi persamaan diferensial eksak dengan perkalian yang tepat. Berikut merupakan contoh faktor pengintegrasi untuk persamaan (E.1) : l(x,y)[M(x,y)dx + N(x,y)dy] = 0 (E.7) faktor pengintegrasi Jika M=yf(xy) dan N=xg(xy), maka : (E.8) Perlu diketahui bahwa faktor pengintegrasi ini sulit ditemukan. Namun terdapat pula beberapa faktor pengintegrasi yang biasa digunakan.Next slide

Faktor Pengintegrasi

Kelompok Suku

Faktor Pengintegrasi [l(x,y)]

Diferensial Eksak [dg(x,y)]

y dx x dy

y dx x dy

y dx x dy

Click..

Contoh Soal

1. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut merupakan persamaan diferensial eksak! 2xy dx + (1+x2)dy = 0 Jawab 2. Tentukan apakah persamaan diferensial berikut merupakan persamaan diferensial eksak! (x + sin y)dx + (x cos y 2y)dx Jawab

Jawaban

1. Persamaan tersebut merupakan merupakan persamaan diferensial eksak karena memiliki bentuk seperti persamaan (E.1) dimana M(x,y) = 2xy dan N(x,y) = 1 + x2 dan karena M/N=2x 2. Persamaan tersebut merupakan merupakan persamaan diferensial eksak karena terdiri dari M(x,y) = x + siny dan N(x,y) = x cos y 2y dan karena M/y = N/x = cos y

Click..

Metode SolusiPersamaan diferensial linear orde pertama memiliki bentuk sebagai berikut : y + p(x)y = q(x) (L.1) Faktor pengintegrasi untuk persamaan (L.1) adalah : l(x)=ep(x)dx (L.2)

Faktor tersebut hanya bergantung pada x saja dan independen terhadap y. Apabila kedua sisi dari persamaan (L.1) dikalikan dengan l(x), hasilnya adalah persamaan diferensial eksak seperti berikut : l(x)y + p(x)l(x)y = l(x)q(x) (L.3) Persamaan di atas dapat diselesaikan dengan metode pengintegrasian seperti pada ulasan sebelumnya. Prosedur yang lebih sederhana adalah dengan menuliskan persamaan di atas menjadi : d(yl)/dx =lq(x) (L.4) Dilanjutkan dengan melakukan integrasi pada kedua sisi persamaan dan menyelesaikannya untuk memperoleh persamaan untuk y.Click..

Penyederhanaan Persamaan Bernauli

Suatu persamaan Bernauli memiliki bentuk : y + p(x)y = q(x)yn (L.4)

Dimana n adalah bilangan real. Untuk mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan linear, dilakukan subtitusi dengan : z = y 1-n (L.5)

Hasil subtitusi tersebut akan menghasilkan persamaan diferensial linear dalam fungsi z.

Click..

Contoh Soal

Carilah faktor pengintegrasian untuk : y 3y = 6 Jawab

Jawaban

Persamaan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (L.1), dimana p(x) = -3 dan q(x) = 6. Persamaan ini juga berbentuk linear. Sehingga dapat diketahui bahwa : p(x)dx = -3 dx = -3x Sehingga menjadi : l(x) = ep(x)dx = e-3x

Click..

Temperatur

Hukum pendinginan Newton, menyatakan bahwa laju perubahan temperatur suatu benda adalah proporsional terhadap perbedaan temperatur antara benda tersebut dan medium sekitarnya. Laju perubahan temperatur dinotasikan dengan dT/dt dimana T adalah temperatur. Sedangkan hukum pendinginan Newton dirumuskan sebagai dT/dt = -k(T-Tm). Dimana k adalah konstanta proporsionalitas positif. Sedangkan Tm melambangkan temperatur medium di sekitarnya.

Click..

Benda Jatuh

Sebuah benda jatuh secara vertikal karena dipengaruhi oleh gravitasi bumi dan hambatan udara yang proporsional terhadap kecepatan benda tersebut. Hukum kedua Newton berbunyi Gaya netto yang bekerja pada benda sebanding dengan laju perubahan momentum benda tersebut atau untuk massa konstan Sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut ini : F = m (dv/dt)

Next slide

Benda Jatuh

Jika sebuah benda yang massanya m, jatuh bebas, maka sekalian gaya berat benda, benda juga mengalami hambatan udara, yang menurut penelitian besarnya berbanding lurus, dengan kuadrat kecepatannya. Jika kecepatan benda pada saat t adalah v dan konstanta perbandingan b maka besar hambatan udara itu adalah u = b.v Menurut hukum newton kedua (Massa) (Percepatan) = Gaya

Next slide

Benda Jatuh

Contoh : Sebuah benda dilemparkan tegak lurus ke atas, dari permukaan tanah yang dianggap datar dengan kecepatan awal 1960 cm/s. Jika hambatan udara pada gerakan benda diabaikan, tentukan tinggi max benda dan waktu yang diperlukan benda sampai ketanah. Jawab

Benda Jatuh

Jawab : Misal massa benda m , terletak x meter di atas permukaan tanah pada saat t detik. Dengan menggunakan hukum kedua Newton diperoleh pada:

Click..

RANGKAIAN LISTRIK

Persamaan dasar yang mengatur besaran arus dalam I (dalam ampere) pada sebuah rangkaian RL sederhana yang terdiri dari sebuah tahanan R (dalam ohm), sebuah induktor L (dalam henry), dan sebuah gaya elektromotif (emf) E (dalam volt) adalah

Untuk sebuah rangkaian RC yang terdiri dari sebuah tahanan, sebuah kapasitas C (dalam farad), sebuah emf, dan tanpa induktansi, persamaan yang mengatur besaran muatan listrik (dalam coloumb) pada kapasitor adalah

Hubungan antara q dan l adalahClick..

CONTOH SOALSuatu benda dengan temperatur 50oF diletakkan diluar ruangan dimana temperatur berada pada 100oF. Jika setelah 5 menit temperatur benda tersebut menjadi 60oF, carilah a) berapa lama yang dibutuhkan benda tersebut untuk meencapai temperatur 75oF dan b) temperatur benda tersebut setelah 20 menit. Jawab?

JAWABANDengan persamaan Yang memiliki solusi: Karena T = 50 ketika t = 0, maka dari persamaan Didapat bahwa c = -50. Dengan memasukkan nilai ini maka didapat: Pada t = 5, kita mengetahui bahwa T = 60; maka Menghitung k didapatkan: atauNext slide

Dengan memasukkan nilai ini kedalam (2) maka kita peroleh temperatur benda tersebut pada setiap waktu t sebagai Dengan memasukkan T = 75 maka diperoleh atau Menghitung t mendapat Atau t = 15,4 menit. b) Memasukkan t = 20 dan menghitung T didapatkan

Click..

LATIHAN SOAL1. Tuliskan persamaan diferensial berikut dalam bentuk standar. 2. Tuntukan apakah persamaan berikut homogen atau tidak. a. b. 3. Selesaikan persamaan berikut. 4. Konversikan persamaan berikut menjadi persamaan diferensial eksak. 5. Selesaikan persamaan linear berikut: a. b.