Persamaan Differensial Biasa #1

DEFINISI DAN CONTOH PDB

Persamaan Differensial Biasa (PDB)

• Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi satu peubah. Solusi dari PDB adalah fungsi tertentu yang memenuhi persamaan tersebut. Berikut beberapa contoh PDB :

• dengan c adalah sembarang konstanta yang tidak diketahui. Sehingga solusi PDB di atas disebut juga solusi umum. Solusi khusus bisa diperoleh bila ada lagi sebuah persamaan yang merupakan syarat batasnya. Secara umum, dapat ditulis:

sehingga diperoleh

Walaupun ada banyak metode untuk mencari solusi analitik dari persamaan Diferensial Biasa (PDB), tetapi pada umumnya terbatas pada PDB yang spesifik. Pada kenyataan-nya banyak PDB yang tidak dapat dicari solusi analitiknya tetapi solusi numeriknya dapat diperoleh. Walaupun solusi analitik dapat diperoleh tetapi rumit, biasanya lebih dipilih solusi numeriknya.

PDB dan PDS

• Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam tergantung pada jumlah variabel bebas. Apabila persamaan tersebut mengandung hanya satu variabel bebas, persamaan disebut dengan persamaan diferensial parsial (PDP) atau biasa disebut PDS (persamaan differensial sebagian). Derajat (order) dari persamaan ditentukan oleh derajat tertinggi dari turunannya.

Contoh PDB dan PDS ….1

• PDB berorder satu, karena turunan tertingginya adalah turunan pertama.

• PDB berorder dua mengandung turunan kedua sebagai turunan tertingginya, seperti bentuk di bawah ini:

Contoh PDB dan PDS ….2

• Contoh persamaan diferensial parsial dengan variabel bebas x dan t adalah:

• Misalkan suatu persamaan diferensial biasa berorder satu, sebagai berikut:

• Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah:

(8.1)

(8.2)

Contoh PDB dan PDS ….3

• yang memberikan banyak fungsi untuk berbagai nilai koefisien C. Gambar 8.1, menunjukkan beberapa kemungkinan dari penyelesaian persamaan (8.2), yang tergantung pada nilai C.

• Untuk mendapatkan penyelesaian tunggal diperlukan informasi tambahan, misalnya nilai y(x) dan atau turunannya pada nilai x tertentu. Untuk persamaan order n biasanya diperlukan n kondisi untuk mendapatkan penyelesaian tunggal y(x).

Contoh PDB dan PDS ….4

• Apabila semua n kondisi diberikan pada nilai x yang sama (misalnya x0), maka permasalahan disebut dengan problem nilai awal. Apabila dilibatkan lebih dari satu nilai x, permasalahan disebut dengan problem nilai batas. Misalnya persamaan (8.1), disertai kondisi awal yaitu x = 0, nilai y = 1 atau:

(8.3)

Contoh PDB dan PDS ….5

• Substitusikan persamaan (8.3) ke dalam persamaan (8.2) memberikan:

atau Dengan demikian penyelesaian tunggal yang memenuhi persamaan:

Contoh PDB dan PDS ….6

• Penyelesaian persamaan (8.1) dan persamaan (8.3) adalah mencari nilai y sebagai fungsi dari x. Persamaan diferensial memberikan kemiringan kurva pada setiap titik sebagai fungsi x dan y. Hitungan dimulai dari nilai awal yang diketahui, misalnya di titik (x0, y0).

• Kemudian dihitung kemiringan kurve (garis singgung) di titik tersebut. Berdasar nilai y0 di titik x0 dan kemiringan fungsi di titik-titik tersebut dapat dihitung nilai y1 di titik x1 yang berjarak Δx dari x0. Selanjutnya titik (x1, y1) yang telah diperoleh tersebut digunakan untuk menghitung nilai y2 di titik x2 yang berjarak Δx dari x1.

• Prosedur hitungan tersebut diulangi lagi untuk mendapatkan nilai y selanjutnya, seperti pada Gambar 8.2.

Contoh PDB dan PDS ….7

METODE EULER

Metode Euler

• Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

• Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:

Metode Taylor …… 1

• Metode ini pada dasarnya adalah merepresentasikan solusinya dengan beberapa suku deret Taylor. Misalkan solusi dari persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk deret Taylor:

• Bila hanya sampai suku pada Deret Taylor, maka dinamakan metode Deret Taylor

orde-n .

Metode Taylor …… 2

• Metode Deret Taylor orde-1 disebut metode Euler. Untuk mencari solusi numerik dari PDB:

• sepanjang selang [a, b ], dua suku pertama pada deret Taylor yaitu:

• Sehingga dapat ditulis

Metode Taylor …… 3yang dapat digunakan mulai t = a sampai ke t = b dengan n -langkah yang panjang langkahnya h = (b − a) /n .• Co nto h: Tentukan x (2) dengan menggunakan Metode

Euler (n = 4) untuk persamaan diferensial

bila diketahui syarat awal x (1) = − 4

Penyelesaian• Untuk memperoleh hampiran yang lebih akurat, dapat

digunakan Metode Deret Taylor orde yang lebih tinggi. Perhatikan persamaan diferensial berikut ini:

Metode Taylor …… 4

• Bila PD tersebut diturunkan beberapa kali terhadap t , diperoleh:

Metode Taylor …… 5

sehingga dapat diperoleh:

Metode Euler

Contoh Metode Euler ….. 1

Selesaikan persamaan di bawah ini:

• dari x = 0 sampai x = 4 dengan panjang langkah x = 0,5 dan Δx = 0,25.

Contoh Metode Euler ….. 2

Penyelesaian: • Penyelesaian eksak dari persamaan diatas adalah:

Penyelesaian numerik dilakukan secara bertahap pada beberapa titik yang berurutan. Dengan menggunakan persamaan (8.6), dihitung nilai yi + 1 yang berjarak Δsx = 0,5 dari titik awal yaitu x = 0. Untuk i = 0 maka persamaan (8.6), menjadi:

Contoh Metode Euler ….. 3

Penyelesaian: Dari kondisi awal, pada x = 0 nilai fungsi y(0)= 1,

sehingga:Kemiringan garis di titik (x0 ; y0) adalah:

sehingga:

Contoh Metode Euler ….. 4

Penyelesaian:Nilai eksak pada titik x = 0,5 adalah:

Jadi kesalahan dengan metode Euler adalah:

PDB#2RUNGE-KUTTA

Runge-Kutta orde 2

• Penggunaan metode Taylor memerlukan penurunan fungsi f (t, y ) secara analitik. Berikut akan diperkenalkan metode untuk menghasilkan y i dengan akurasi yang sama seperti metode Taylor tanpa melakukan penurunan terhadap fungsi f (t, y ). Metode yang paling sederhana adalah metode Runge Kutta orde 2 .

Runge-Kutta orde 2

• Perhatikan deret Taylor untuk y (t + h ) sebagai berikut:

• Bentuk y’(t ) dan y’’(t ) diubah menjadi bentuk f (t, y ) dan turunan - turunan parsialnya.

• Perhatikan bahwa(9.1)

Runge-Kutta orde 2

• Dengan menggunakan aturan rantai untuk fungsi dua peubah persamaan dan mensubsti-tusikan persamaan (9.1) ke bentuk berikut diperoleh

Runge-Kutta orde 2

• Sehingga deret Taylor untuk y (t + h ) dapat diubah menjadi sebagai berikut

• Perhatikan metode Runge - Kutta orde 2 yang menggunakan kombinasi linear 2 fungsi untuk menyatakan y (t + h ) :

(9.2)

Runge-Kutta orde 2

• Dengan

• Kita perlu mencari nilai - nilai A, B , P , Q sehingga persamaan (9.2) akurat. Ekspansi Taylor untuk fungsi dua peubah f 1 sebagai berikut.

Runge-Kutta orde 2

• Substitusikan persamaan ini ke persamaan (9.2) diperoleh persamaan untuk y (t + h )

sehingga diperoleh persamaan - persamaan berikut

Runge-Kutta orde 2

• Solusi yang sesuai dengan keadaan ini adalah

Runge-Kutta orde 2

• Secara umum, metode Runge - Kutta orde 2 adalah sebagai berikut

• dengan

Runge-Kutta orde 4

• Dengan cara yang sama, diperoleh metode Runge-Kutta orde 4 sebagai berikut

• dengan