Konsep Dasar Persamaan Differensial

BAB

Konsep Dasar

BAB

PDB Linier Order Satu

BAB

Aplikasi PDB Order Satu

BAB

PDB Linier Order Dua

BAB

Aplikasi PDB Order Dua

BAB

Sistem PDB

BAB

PDB Nonlinier dan

Kesetimbangan

Dalam fenomena riel sedikit sekali model PDB muncul dalam bentuk linier Se

baliknya persamaan itu muncul dengan model nonlinier yang sulit diselesaikan

secara analitik Suatu metoda yang terus berkembang pesat adalah metoda nu

merik Namun demikian secara teoritis maupun praktis metoda ini memerlukan

pemahaman khusus terutama menyangkut pembuatan komputer programming

Metoda sederhana namun cukup berarti adalah menghampiri persamaan non

linier dengan persamaan linier termasuk didalamnya menganalisa perubahan koe

sien dan syarat awalnya Teknik ini dikenal dengan analisa kualitatif yaitu

mencoba menganalisa solusi PDB nonlinier secara gras Beberapa aspek pen

ting untuk memahami teknik penyelesaian dengan cara ini dapat dijelaskan dalam

bahasan berikut

BAB PDB NONLINIER DAN KESETIMBANGAN

Sistem Linier

Suatu sistem PDB order satu dengan n persamaan yang disajikan sebagai

dx

dt

a

x

a

x

a

n

x

n

dx

dt

a

x

a

x

a

n

x

n

dx

dt

a

x

a

x

a

n

x

n

dapat ditulis dalam bentuk

dx

dt

Ax

Misal solusi persamaan ini adalah x e

rt

dan x

re

rt

maka

re

rt

Ae

rt

A rI

Denisi Misal A R

nn

maka vektor R

n

disebut vektor eigen bila

A r dimana r adalah nilai eigen

Untuk memperoleh nilai eigen dapat dipakai formulasi detA rI yang

sekaligus merupakan persamaan karakteristik dari sistem PDB linier diatas Se

lanjutnya bila persamaan sama dengan nol yaitu

dx

dt

Ax maka solusi

sistem PDB linier akan mencapai titik kritis titik kesetimbangan Suatu con

toh diberikan sistem PDB x

x x x

x x Titik kritis dapat

diperoleh dengan menyelesaikan sistem

x x

x x


dimana titik yang memenuhi adalah sehingga titik kesetimbangannya adalah

Sistem Otonomus dan Trayektori

Dalam hal ini akan dibahas sistem PDB dengan dua variabel terikat x x

Denisi Suatu PDB yang berbentuk

dx

dt

f

x

x

dx

dt

f

x

x

adalah merupakan sistem otonomus karena f

x

x

dan f

x

x

bebas dari t

Dengan demikian bila sarat Lipschitz dipenuhi oleh persamaan diatas maka

x

x

t x

x

t

merupakan solusinya dan memenuhi sarat awal x

t

x

x

t

x

Jelas penyelesaian menentukan sebuah kurva diruang tigadimensi t x

x

Jika kita pandang t sebagai parameter maka bila t berubah dalam selang interval

tertentu a t b titik x

t x

t akan menelusuri sebuah kurva yang disebut

trayektori atau orbit dari penyelesaian di bidang xx Dalam kajian dari

sistem sis pasangan x

x

disebut fase dari sistem oleh karena itu bidang

xx pada umumnya disebut bidang fase phase plan sedangkan gambar semua

trayektori yang berpautan dalam bidang fase disebut potret fase

Untuk menentukan trayektori dari persamaan dapat digunakan atu

ran rantai sebagai berikut

dx

dx

dx

dt

dt

dx

f

x

x

f

x

x


Kemudian dengan menyelesaikan PDB ini akan diperoleh persamaan trayektori

yang melalui titiktitik pada domain D Misal f

x

x

maka persamaan

trayektori yang melalui titiktitik lain misal S adalah

dx

dx

f

x

x

f

x

x

Titiktitik x

x

dalam bidang fase yang membuat f

dan f

sama de

ngan nol merupakan titik setimbang dari sistem dan x

t x

x

t

x

adalah penyelesaian untuk semua t

Contoh Tentukan titik kritis sistem PDB

dx

dt

B

C

A

x

dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi

syarat awal x

x

p

Contoh Tentukan titik kritis sistem PDB

dx

dt

B

C

A

x

dan gambar keluarga trayektori yang berpautan dengan solusi yang memenuhi

syarat awal x

x

p

Penyelesaian Titik kritis ditentukan dengan

B

C

A

x

sehingga adalah satusatunya titik kritis Kemudian dengan menggunakan

persamaan maka persamaan trayektori didapat dari menyelesaikan PDB

dx

dx

x

x

x


dimana penyelesaian umumnya adalah x

x

c

suatu lingkaran yang berpusat

di Dengan menerapkan sarat awal maka solusi khusus didapat sebagai

x

x

Trayektori dari solusi ini adalah berupa lingkaran yang berpusat di

dimana gerakannya dapat dianalisis dari solusi x

x

Semakin besar

nilai x

semakin kecil nilai x

nya dengan demikian gerakan titik berlawanan

dengan arah jarum jam lihat Gambar

x2

x12

Gambar Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal

Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otono

mus

Persamaan otonomus yang ditulis dalam sistem berikut

dx

dt

f

x

x

dx

dt

f

x

x


akan mempunyai x

x

sebagai titik kritis atau kesetimbangan dari sis

tem apabila f

x

x

dan f

x

x

Karena tu

runan suatu konstanta sama dengan nol akibatnya jika titik x

x

meru

pakan titik kritis dari sistem ini maka sepasang fungsi konstan

xt x

xt x

merupakan penyelesaian dari sistem untuk semua nilai t

Dalam banyak keadaan sangat penting mengetahui apakah setiap penyele

saian dari sistem yang memulai cukup dekat dengan penyelesaian

pada t akan tetap dekat dengan untuk seluruh t berikutnya Jika

demikian halnya penyelesaian atau titik kritis x

x

disebut stabil

Untuk lebih jelasnya diberikan denisi berikut

Denisi Titik kritis x

x

atau penyelesaian konstan dari sis

tem disebut stabil jika untuk setiap bilangan e terdapat suatui bi

langan sedemikian hingga setiap penyelesaian x

t x

t yang pada t

memenuhi

x

x

x

x

ujud dan memenuhi

x

t x

x

t x

untuk semua t

Denisi Titik kritis x

x

atau penyelesaian konstan disebut

stabil asimtotik jika titik itu stabil dan sebagai tambahan terdapat

sedemikian


hingga setiap penyelesaian x

t x

t yang pada t memenuhi

x

x

x

x

ujud untuk semua t dan memenuhi

lim

t

x

t lim

t

x

t

Denisi Sebuah titik yang tidak stabil disebut tak stabil

Secara singkat dikatakan stabilitas berarti perubahan kecil dalam syarat awal

hanya menyebabkan pengaruh kecil pada penyelesaian stabil asimtotik berarti

pengaruh dari perubahan kecil cendrung menghilang sama sekali tidak berpe

ngaruh sedangkan ketakstabilan berarti suatu perubahan kecil pada syarat awal

nya akan berakibat perubahan besar pada penyelesaian

Konsep mengenai titik stabil stabil asimtotik dan tak stabil masingmasing

digambarkan dalam Gambar

Gambar Potret fase sistem PDB dengan MAPLE


Contoh Buktikan titik kritis sistem PDB

dx

dt

B

C

A

x

adalah stabil

Penyelesaian Misal diberikan Pilih Solusi sistem ini adalah

x

t c

cos t c

sin t

x

t c

cos t c

sin t

dimana c

c

adalah sebarang konstan Karena titik kritis maka x

x

dan x

c

x

c

dan jelas

x

x

x

x

c

c

c

c

Selanjutnya apakah

x

t x

x

t x

Substitusikan penyelesaian diatas didapat

c

cos t c

sin t

c

cos t c

sin t

c

cos

t c

cos tc

sin t c

sin

t c

cos

t c

cos tc

sin t c

sin

t

c

c

Lengkaplah pembuktian bahwa titik kritis adalah stabil Kita tahu bahwa

trayektori sistem PDB ini merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di


dengan demikian lingkaran itu tidak menghampiri titik kritis pada saat

t Ini berarti persamaan tidak berlaku oleh karena itu titik kritis

bukan stabil asimtotik


dx

dt

B

C

A

x

adalah stabil asimtotik

Penyelesaian Mulamula harus dibuktikan bahwa adalah stabil

Misal diberikan Pilih Solusi umum sistem pada soal ini adalah

x

t c

e

t

x

t c

e

t

dimana c

c

adalah sebarang konstan Disini x

x

dan x

c

x

c

dan jelas

x

x

x

x

c

c

c

c

Selanjutnya apakah

x

t x

x

t x


c

e

t

c

e

t

c

c

e

t

c

c


dengan demikian titik adalah stabil Karena untuk sebarang c

c

berlaku

lim

t

x

t lim

t

c

e

t

lim

t

x

t lim

t

c

e

t

maka titik adalah stabil asimtotik


dx

dt

B

C

A

x

adalah takstabil

Penyelesaian Misal titik adalah stabil maka untuk terdapat

sedemikian hingga memenuhi persamaan Perhatikan bentuk

penyelesaian sistem ini

x

t

p

e

t

x

t

p

e

t

Disini x

x

dan x

x

p

dan

p

p

Selanjutnya apakah

x

t x

x

t x


p

e

t

p

e

t

e

t


Jelas ini tidak akan berlaku untuk semua nilai t sehingga titik kristis

adalah takstabil

Selanjutnya sifatsifat kestabilan secara umum dari sistem otonomus linier

dx

dt

B

a b

c d

C

A

x

dapat dianalisa dari nilai eigen matriknya Bila ad bc maka titik kritis

adalah satusatunya titik kristis sistem ini dan solusinya akan berbentuk

x

t Ae

t

x

t Be

t

dan sifatsat kestabilan dapat dilihat dalam teorema berikut

Teorema Titik kritis dari sistem PDB otonomus

akan stabil jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan negatif atau

mempunyai bagian riel yang takpositif

akan stabil asimtotik jika dan hanya jika kedua nilai eigennya riel dan

negatif atau mempunyai bagian riel yang negatif

akan takstabil jika dan hanya jika salah satu atau kedua nilai eigennya riel

dan positif atau paling sedikit satu nilai eigen mempunyai bagian riel yang

positif

Ketiga contoh yang diberikan semuanya adalah sistem otonomus linier Dalam

contoh persamaan kuadratik nilai eigen persamaan karakteristik

Akarakarnya adalah i jelas mempunyai bagin riel yang tak positif yaitu

maka menurut teorema titik kritis ini adalah stabil Dalam contoh


persamaan karakteristiknya berbentuk

Akarakarnya

Karena akarakarnya riel dan negatif maka titik kritis adalah

stabil asimtotik Terakhir contoh persamaan karakteristiknya

akarakarnya dan sehingga titik kritisnya takstabil

Sekarang perhatikan kembali sistem otonomus Misal titik kritis itu

x

x

mengalami transformasi karena pemetaan yang berbentuk X

x

x

dan X

x

x

dan memetakan sistem otonomus kedalam

sistem sepadan dengan sebagai titik kritis tanpa mengurangi perumuman

dimana juga merupakan titik kritis sistem maka inilah suatu teknik

untuk menghampiri bentuk sistem non linier dengan sistem linier

Sistem hampiran ini akan menjadi sistem yang hampir linier dengan bentuk

umum sebagai berikut

dx

dt

B

a b

c d

C

A

x F x

x

dengan ad bc dan F Jadi tetap merupakan titik kritis

sistem ini Kemudian bila fungsifungsi F C

I didekat titik kritis asal dan

juga terjadi bahwa

lim

x

x

F x

x

p

x

x

dikatakan bahwa sistem linier

dx

dt

B

a b

c d

C

A

x

merupakan hampiran yang baik terhadap sistem PDB hampir linier diatas Selan

jutnya berkenaan dengan kestabilan titik kritis akan mengikuti teorema berikut


Teorema Titik kritis dari sistem PDB hampir linier

akan stabil asimtutik jika titik kritis dari sistem PDB linier adalah

stabil asimtutik

akan takstabil jika titik kritis dari sistem PDB linier adalah takstabil

Contoh Buktikan bahwa titik kritis sistem PDB hampir linier

x

x

x

x

x

x

x

x

x

adalah stabil asimtutik

Penyelesaian Di sini a b c d dan ad bc

sedang F

x

x

x

x

F

x

x

x

x

Juga F

F

sehingga syarat terpenuhi Dengan demikian sistem liniernya sekarang

adalah

x

x

x

x

x

Persamaan karakteristik persamaan ini adalah

dimana akar

akarnya adalah

dan

Karena kedua akarnya bernilai riel dan

negatif maka titik kritis sistem linier ini adalah adalah stabil asimtutik yang

berakibat bahwa sistem yang hampir linier itu juga stabil asimtutik

Contoh Buktikan bahwa titik kritis sistem PDB hampir linier

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x


adalah stabil asimtutik

Penyelesaian Di sini a b c d dan ad bc

sedang F

x

x

x

x

F

x

x

x

x

juga F

F

Kita nyatakan x

dan x

dalam koordinat polar x

r cos x

r sin maka

syarat x dan x sepadan dengan r Maka

lim

r

F

x

x

p

x

x

lim

r

r

cos

sin

r

lim

r

r cos

lim

r

F

x

x

p

x

x

lim

r

r

cos sin

r

lim

r

r cos sin

Jadi syarat terpenuhi sehingga kajian difokuskan pada bagian sistem linier

x

x

x

x

x

x

dimana nilai eigennya adalah

dan

Karena salah satu akarnya

adalah positif dan titik adalah titik kritis dari sistem linier ini sehingga men

jadi takstabil maka sistem hampir linier diatas merupakan sistem PDB dengan

titik keritis takstabil

Potret Fase Sistem Otonomus

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya gambar semua trayektori yang berpautan

dari suatu sistem PDB disebut potret fase Bila sistem PDB itu adalah otonomus

linier

dx

dt

B

a b

c d

C

A

x


maka solusi umumnya adalah x

t Ae

rt

x

t Be

rt

dimana r adalah nilai

eigen dari matrik

B

a b

c d

C

A

yaitu r merupakan akar dari persamaan karakteristik

detA rI

Potret fase dari sistem otonomus linier diatas hampir seluruhnya tergantung pada

akarakar r

r

dari persamaan Tabel merupakan rangkuman potret

fase sistem PDB dengan sifatsifat stabilitasnya Sedangkan tipetipe titik kritis

x

Ax detA rI detA

Nilai eigen Tipe titik kritis Stabilitas

r

r

Simpul Tidak stabil

r

r

Simpul Stabil asimtotik

r

r

Titik plana Tidak stabil

r

r

Simpul sempurna atau tak sempurna Tidak stabil

r

r

Simpul sempurna atau tak sempurna Stabil asimtotik

r

r

i Titik spiral Fokus

Tidak stabil

Stabil asimtotik

r

i r

i Pusat Stabil

Tabel Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier

pada kolom dua dapat dijelaskan melalui Gambar

Contoh Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier

x

x

x

x

x

x


x2

x1(a)

(( ) , ( ) )x x1 0 2 0

x1

x2

(b) x1(c)

x2

Gambar Ringkasan potret fase

Penyelesaian Akarakar karakteristik sistem ini adalah r

dan r

sehingga penyelesaian umumnya adalah

x

t c

e

t

c

e

t

x

t c

e

t

c

e

t

Akan ditentukan trayektori dari semua penyelesaian yang diberikan oleh penye

lesaian umum ini untuk semua nilai c

c

yang berbeda Bila c

c

maka

didapat penyelesaian x

x

dimana trayektorinya merupakan titik asal

Bila c

dan c

didapat penyelesaian

x

t c

e

t

x

t c

e

t

dan bila c

dan c


x

t c

e

t

x

t c

e

t

Untuk c

semua penyelesaian mempunyai trayektori yang sama

y x Demikian pula untuk c

trayektorinya adalah y x Pada

persamaan bila c

dan c

berturutturut akan diperoleh


trayektori y x dan y x Keempat trayektori ini akan berupa

setengah garisgaris lurus sebagaimana terlihat dalam Gambar Panahpanah

pada setengah garis itu menunjukkan arah gerakan pada trayektori bila t bertam

bah Untuk mendapatkan trayektori lainnya secara eksplisit kita harus mengeli

minasi t pada persamaan dan menyelidiki semua kurva yang diperoleh

untuk nilai konstanta c

c

yang tidak nol Bila ini sulit dilakukan maka dapat

dianalisa dari jelas bahwa bila t setiap trayektori dari sistem

PDB pada soal ini akan menuju Selanjutnya untuk c

dan c

kita punyai

lim

t

x

y

lim

t

y

x

c

e

t

c

e

t

c

e

t

c

e

t

lim

t

c

c

e

t

c

c

e

t

y x

Jadi semua trayektori ini menuju titik asal dan menyinggung garis y x Gam

bar menunjukkan beberapa potret fase sistem

y

x

y x= > 0

y x= < 0

y x= > 0

y x= < 0

Gambar Potret fase untuk nilai awal tertentu

Selanjutnya dengan MAPLE potret fase ini dapat digambar dengan mudah

melalui fungsi DEplot


Menggunakan fungsi DEplot

withDEtools

odedixttxtxt

odedixttxtxt

DEplotodeodextxttxx

Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini

Gambar Potret fase sistem secara umum

Contoh Buatlah gambar potret fase dari sistem otonomus linier

x

x

x

x

x

x

Penyelesaian Akarakar karakteristik sistem ini adalah r

dan r

sehingga penyelesaian umumnya adalah

x

t c

e

t

c

e

t

x

t c

e

t

c

e

t


Bila c

c

maka didapat penyelesaian x

x

dimana trayektorinya

merupakan titik asal Bila c

dan c


x

t c

e

t

x

t c

e

t

dan bila c

dan c


x

t c

e

t

x

t c

e

t

Untuk c

trayektori sistem persamaan berupa setengah garis

lurus x

x

sedangkan untuk c

trayektorinya adalah setengah garis

x

x

Kemudian untuk c

dan c

berturutturut akan diperoleh

trayektori setengah garis x

x

dan x

x

Arah gerakan titiknya

menuju ke titik asal sebagaimana terlihat dalam Gambar Untuk c

dan

c

kita peroleh

lim

t

x

x

lim

t

c

e

t

c

e

t

c

e

t

c

e

t

lim

t

c

e

t

c

c

e

t

c

x

x

dan untuk

lim

t

x

x

lim

t

c

e

t

c

e

t

c

e

t

c

e

t

lim

t

c

c

e

t

c

c

e

t

x

x

Hal ini menyatakan bahwa untuk t semua trayektori asimtotis ke garis

x

x

sedangkan untuk t semua trayektori asimtotis ke garis x

x

Gambar menggambarkan beberapa trayektori dari potret fase sistem

dan menunjukkan bahwa hanya ada dua trayektori yang menuju titik asal

selebihnya menjauhi yaitu menuju bila t

Selanjutnya melalui penerapan fungsiDEplot didapat potret fase umum berikut


y

x

y x= >12

0

y x= >2 0

y x=

Konsep Dasar Persamaan Differensial

Documents

Transcript of Konsep Dasar Persamaan Differensial