PengujianHipotesisStatistika

33
Pengujian Hipotesis Statistika (7 sesi) Disusun oleh Sigit Nugroho Sigma Mu Rho

Transcript of PengujianHipotesisStatistika

Page 1: PengujianHipotesisStatistika

Pengujian Hipotesis Statistika(7 sesi)

Disusun oleh

Sigit NugrohoSigma Mu Rho

Page 2: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 127

Hipotesis

Hipotesis merupakan dugaan sementara yang dianggapbenar.Dalam Statistika, Hipotesis merupakan pernyataan yang bisa diuji kebenarannya dan dapat menjadi jawaban terhadapsuatu masalah.Hipotesis Statistik dapat berkenaan dengan rata-rata, ragam, proporsi, perbedaan dua rataan, perbandingan duaragam, perbedaan dua proporsi, atau bentuk fungsikepekatan peluang.

Page 3: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 128

Hipotesis Statistik

Hipotesis nol digunakan untuk menyatakan kondisiparameter yang akan diuji. Pada umumnya menggunakannotasi =, yang mengindikasikan kondisi yang sama atautidak berubah.Hipotesis satu atau hipotesis alternatif atau hipotesistandingan secara umum menyatakan bahwa hipotesis noltidak benar. Umumnya menyatakan hipotesis yang ingindibuktikan kebenarannya.

Hipotesis dikatakan sederhana apabila hanya mencakup nilaitunggal, atau majemuk apabila tidak diberikan nilai tertentuatau dapat memiliki lebih dari satu nilai.

Page 4: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 129

Prinsip Pengujian Hipotesis

Keputusan : Tolak hipotesis nol jika bukti-bukti mendukung hipotesis tandingan, ataudukung hipotesis nol jika tidak terdapatcukup bukti untuk mendukung hipotesistandingan

Page 5: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 130

Tipe Kesalahan

Keputusan Benar SalahTolak Hipotesis Nol Kesalahan Tipe I Keputusan BenarTerima Hipotesis Nol Keputusan Benar Kesalahan Tipe II

Kenyataan Hipotesis Nol

Kesalahan Tipe I sering dinotasikan dgn α

Kesalahan Tipe II sering dinotasikan dgn β

Page 6: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 131

Langkah Pengujian Hipotesis

Merumuskan hipotesis yang akan diuji : H0 dan HaMemilih taraf nyata pengujianMenentukan Kriteria Penolakan Hipotesis

Perhatikan hal-hal berikut:Tanda/Operator pada hipotesis alternatif/tandingan (<, ≠, >) yang akanmenentukan dimana daerah penolakan hipotesis nol berada.Taraf nyata pengujian (α) yang akan menentukan besarnya luas daerahpenolakanStatistik uji yang digunakan (Z, χ2, t, atau F)

Melakukan perhitungan-perhitungan statistikMenghitung statistik-statistik contoh (ukuran contoh, rata-rata contoh, dan simpangan baku contoh)Menghitung nilai statistik pengujian

Menarik Kesimpulan

Page 7: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 132

Rataan Populasi dengan RagamPopulasi σ2 diketahui

σμ nxz )( −

=

Hipotesis Daerah PenolakanH0:μ=μ0 vs H1: μ<μ0 z<zα

H0:μ=μ0 vs H1: μ≠μ0 z<zα/2 atau z>z1-α/2

H0:μ=μ0 vs H1: μ>μ0 z>z1-α

Tipe PengujianStatistik Uji

Kriteria Penolakan

Page 8: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 133

Teladan Pengujian Rataan Populasidengan Ragam Populasi σ2 diketahui

Sebuah perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang dikatakan memiliki kekuatan dengan rata-rata 8 kilogram dan simpangan baku 0,5 kilogram. Ujilah hipotesis bahwa rata-rata kekuatan batang pancingnya 8 kilogram lawan tidak sama dengan 8 kilogram bila suatu contoh acak berukuran 50 batang pancing itu setelah di tes memberikan rata-rata kekuatan 7,8 kilogram. Gunakan taraf nyatapengujian 1%.

Page 9: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 134

Teladan Pengujian Rataan Populasidengan Ragam Populasi σ2 diketahui

H0: μ = 8 vs H1: μ ≠ 8α = 0,01Tolak H0, jika zhit < z0,005 = -2,575 atau zhit > z0,995 =2,575n = 50 xbar = 7,8 dan σ = 0,5

828,25,0

50)88,7()(−=

−=

−=

σμ nxzhit

Karena zhit = -2,828 < -2,575 maka hipotesis nol ditolak. Artinya : Terdapat cukup bukti dengan taraf nyata pengujian1%, bahwa rata-rata kekuatan batang pancing tersebut kurangdari 8 kg

Page 10: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 135

Rataan Populasi dengan Ragam Populasi σ2

tak diketahui dan ukuran contoh besar(n>30)

snxz )( μ−

=

Hipotesis Daerah PenolakanH0:μ=μ0 vs H1: μ<μ0 z<zα

H0:μ=μ0 vs H1: μ≠μ0 z<zα/2 atau z>z1-α/2

H0:μ=μ0 vs H1: μ>μ0 z>z1-α

Tipe PengujianStatistik Uji

Kriteria Penolakan

Page 11: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 136

Teladan Pengujian Rataan Populasi denganRagam Populasi σ2 tak diketahui dan

ukuran contoh besar (n>30)

Suatu contoh acak 100 catatan kematian di Amerika Serikat selama tahun lalu menunjukkan umur rata-rata 71,8 tahun, dengan simpangan baku 8,9 tahun. Apakah ini menunjukkan bahwa harapan umur sekarang ini lebih dari 70 tahun ? Gunakantaraf nyata pengujian 5%. Bagaimana bilataraf nyata pengujian 1% ?

Page 12: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 137

Teladan Pengujian Rataan Populasidengan Ragam Populasi σ2 tak

diketahui

H0: μ = 70 vs H1: μ > 70α = 0,05Tolak H0, jika zhit > z0,95 =1,645n = 100 xbar = 71,8 dan s = 8,9

022,29,8

100)708,71()(=

−=

−=

snxzhit

μ

Karena zhit = 2,022 > 1,645 maka hipotesis nol ditolak. Artinya : Terdapat cukup bukti dengan taraf nyata pengujian5%, bahwa rata-rata umur (harapan hidup) saat ini lebih dari70 tahun

Page 13: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 138

Teladan Pengujian Rataan Populasidengan Ragam Populasi σ2 tak

diketahui

H0: μ = 70 vs H1: μ > 70α = 0,01Tolak H0, jika zhit > z0,99 =2,326n = 100 xbar = 71,8 dan s = 8,9

022,29,8

100)708,71()(=

−=

−=

snxzhit

μ

Karena zhit = 2,022 < 2,326 maka hipotesis nol diterima. Artinya : Belum terdapat cukup bukti dengan taraf nyatapengujian 1%, bahwa rata-rata umur (harapan hidup) saat inilebih dari 70 tahun

Page 14: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 139

Rataan Populasi dengan Ragam Populasi σ2

tak diketahui dan ukuran contoh kecil(n≤30)

snxt )( μ−

=

Hipotesis Daerah PenolakanH0:μ=μ0 vs H1: μ<μ0 t<-tα;n-1

H0:μ=μ0 vs H1: μ≠μ0 t<-tα/2;n-1 atau t>tα/2;n-1

H0:μ=μ0 vs H1: μ>μ0 t>tα;n-1

Tipe PengujianStatistik Uji

Kriteria Penolakan

Page 15: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 140

Teladan Pengujian Rataan Populasi denganRagam Populasi σ2 tak diketahui dan ukuran

contoh kecil (n≤30)

Waktu rata-rata yang diperlukan oleh seorang nasabah Britama di Kanca BRI X untuk bertransaksi adalah 2,8 menit. Seorang teller baru sedang melakukan uji coba, dan dari sebanyak 12 nasabah Britama, diperoleh rata-rata waktu layanan nasabahnya 2,4 menit dengan simpangan baku 1,4 menit. Ujilah bahwa teller baru tersebut dapat melayani lebih cepat. Gunakan taraf nyata 5% dan asumsikan bahwa populasi waktu yang diperlukan menghampiri sebaran normal.

Page 16: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 141

Teladan Pengujian Rataan Populasidengan Ragam Populasi σ2 tak

diketahui

H0: μ = 2,8 vs H1: μ < 2,8α = 0,05Tolak H0, jika thit < -t0,05;11 = -1,796n = 12 xbar = 2,4 dan s = 1,4

99,04,1

12)8,24,2()(−=

−=

−=

snxthit

μ

Karena thit = -0,99 > -1,796 maka hipotesis nol diterima. Artinya : Belum terdapat cukup bukti dengan taraf nyatapengujian 5%, bahwa rata-rata waktu layanan nasabah kurangdari 2,8 menit

Page 17: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 142

Proporsi Populasi

)1()(

00

0

ppnpp

z−

−=

Hipotesis Daerah PenolakanH0:π=π0 vs H1: π<π0 z<zα

H0:π=π0 vs H1: π≠π0 z<zα/2 atau z>z1-α/2

H0:π=π0 vs H1: π>π0 z>z1-α

Tipe PengujianStatistik Uji

Kriteria Penolakan

Page 18: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 143

Teladan Pengujian Proporsi Populasi

Untuk meningkatkan pelayanan, PT KAI melakukan sebuahsurvai untuk mendapatkan proporsi penumpang KA yang merasa puas dengan pelayanan selama dalam perjalanan. Dari survai sebanyak 1348 orang penumpang kereta api Argo Lawudiperoleh data bahwa 805 orang merasa puas dengankenyamanan, ketepatan, dan pelayanan menggunakan jasatransportasi tersebut. Apakah kita dapat simpulkan bahwakurang dari 60% penumpang kereta api Argo Lawu yang merasa puas dengan layanan mereka ? Gunakan taraf nyatapengujian 5%.

Page 19: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 144

Kesamaan RagamDua Populasi

22

21

ssF =

22

211

22

210 :: σσσσ <= HvsH

22

211

22

210 :: σσσσ ≠= HvsH

22

211

22

210 :: σσσσ >= HvsH

α−−−< 1;1;1 21 nnFF

α;1;1 21 −−> nnFF

2/1;1;1 21 α−−−< nnFF2/;1;1 21 α−−> nnFF atau

Page 20: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 145

Teladan Pengujian Kesamaan RagamDua Populasi

Data berikut berupa besarnya kredit yang diambil oleh nasabah BRI di dua BRI Unit yang berbeda.

Besarnya kredit (Rp. Juta)

BRI Unit A 10,3 9,4 11,0 8,7 9,8BRI Unit B 9,7 8,2 12,3 9,2 17,5 8,8 12,8

Apakah kita dapat simpulkan bahwa ragam / varian besarnya kredit yang diambil nasabah BRI di kedua BRI Unit sama ? Gunakan taraf nyata pengujian 5%.

Page 21: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 146

Teladan Pengujian KesamaanRagam Dua Populasi

071,0278,3873,0

2

2

==hitF

H0: σ12 = σ2

2 vs H1: σ12 ≠ σ2

2

α = 0,05Tolak H0, jika Fhit < F4;6;0,975=0,109 atau Fhit > F4;6;0,025=6,23n1 = 5 n2 = 7 s1 = 0,873 s2 = 3,278

Karena Fhit = 0,071 < 0,109 maka hipotesis nol ditolak. Artinya : Terdapat cukup bukti dengan taraf nyata pengujian5%, bahwa ragam kedua populasi besarnya kredit di keduaunit berbeda

025,0;4;6975,0;6;4

1F

F =

Page 22: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 147

Beda Rataan Dua Populasi yang Saling Bebasdengan Ragam kedua Populasi diketahui

2

22

1

21

21

nn

xxzσσ

+

−=

Hipotesis Daerah PenolakanH0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1<μ 2 z<zα

H0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1≠μ 2 z<zα/2 atau z>z1-α/2

H0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1>μ 2 z>z1-α

Tipe PengujianStatistik Uji

Kriteria Penolakan

Page 23: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 148

Beda Rataan Dua Populasi yang Saling Bebas denganRagam kedua Populasi tidak diketahui tetapi sama,

jumlah kedua sampel kecil

dsxxt 21 −

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+

−+−=

21

21

21

222

211

2)1()1(

nnnn

nnsnsnsd

ν=n1+n2-2

Hipotesis Daerah PenolakanH0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1<μ 2 t<-tα ;ν

H0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1≠μ 2 t<-tα /2;ν atau t>tα /2;ν

H0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1>μ 2 t>tα ;ν

Page 24: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 149

Beda Rataan Dua Populasi yang Saling Bebas denganRagam kedua Populasi tidak diketahui dan tidak

sama, jumlah kedua sampel kecil

2

22

1

21

21

ns

ns

xxt+

−=

( ) ( )

2

11 2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nns

nns

ns

ns

ν

Hipotesis Daerah PenolakanH0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1<μ 2 t<-tα ;ν

H0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1≠μ 2 t<-tα /2;ν atau t>tα /2;ν

H0:μ 1=μ 2 vs H1: μ 1>μ 2 t>tα ;ν

Page 25: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 150

Teladan Soal Pengujian Beda Rataan DuaPopulasi yang Saling Bebas

Suatu ujian statistika diberikan pada 20 siswa perempuan dan 15 siswa laki-laki. Siswa-siswa perempuan mencapai rata-rata 76, sedangkan siswa-siswa laki-laki memperoleh rata-rata 82. Diperoleh keterangan bahwa simpangan baku nilai siswa laki-laki 6, sedangkan simpangan baku nilai siswa perempuan 8. Apakah nilai ujian siswa laki-laki dan perempuan sama ? Gunakan taraf nyata pengujian 5%.

Page 26: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 151

Petunjuk Penyelesaian Teladan Soal PengujianBeda Rataan Dua Populasi yang Saling Bebas

1. Uji terlebih dahulu apakah ragam kedua populasi (yang tidak diketahui tersebut) sama ?

2. Lakukan uji beda rata-rata populasi dengan memperhatikan hasil uji kesamaan dua ragam diatas.

Page 27: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 152

Beda Rataan Dua Populasi yang SalingTidak Bebas dan ukuran contoh kecil

21 iii XXd −=

21

2

11d

nn

n

ds

n

ii

d −−

−=

∑=ds

nt

)( 0δδ −=

0:0: 10 <= δδ HvsH

0:0: 10 ≠= δδ HvsH

0:0: 10 >= δδ HvsH

t<-tα;n-1

t<-tα/2;n-1 atau t>tα/2;n-1

t>tα;n-1

Page 28: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 153

Beda Rataan Dua Populasi yang SalingTidak Bebas dan ukuran contoh besar

21 iii XXd −=

21

2

11d

nn

n

ds

n

ii

d −−

−=

∑=

dsnz )( 0δδ −

=

0:0: 10 <= δδ HvsH

0:0: 10 ≠= δδ HvsH

0:0: 10 >= δδ HvsH

z<zα

z<zα/2 atau z>z1-α/2

z>z1-α

Page 29: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 154

Teladan Soal

Dinyatakan bahwa suatu diet baru dapat mengurangi bobot badan seseorang secara rata-rata 4,5 kilogram dalam dua minggu. Berikut ini dicantumkan bobot badan wanita sebelum dan sesudah mengikuti program diet selama 2 minggu tersebut.

Dengan taraf nyata pengujian 5%, tunjukkan apakah bahwa pernyataan diatas benar, bila sebaran bobot badan itu menghampiri sebaran normal.

WanitaBobot

1 2 3 4 5 6 7

Sebelum 58,4 60,3 61,7 69,2 64,0 62,6 56,7

Sesudah 60,0 54,8 58,1 62,1 58,5 59,9 54,4

Page 30: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 155

Beda Proporsi Dua Populasi denganasumsi kedua proporsi populasi

diketahui

z<zα

z<zα/2 atau z>z1-α/2

z>z1-α

21

21

pp

ppz−

−=

σ2

22

1

11 )1()1(21 nnpp

ππππσ

−+

−=−

211210 :: ππππ <= HvsH

211210 :: ππππ ≠= HvsH

211210 :: ππππ >= HvsH

Page 31: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 156

Beda Proporsi Dua Populasi denganasumsi kedua proporsi populasi tidak

diketahui

z<zα

z<zα/2 atau z>z1-α/2

z>z1-α

211210 :: ππππ <= HvsH

211210 :: ππππ ≠= HvsH

211210 :: ππππ >= HvsH

21

21

ppsppz

−= ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−

21

11)1(21 nn

pps pp

p adalah proporsi gabungan keduacontoh populasi

Page 32: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 157

Teladan Pengujian Beda Dua Proporsi

Suatu jajak pendapat dilakukan terhadap penduduk kota dan sekitar kota untuk menyelidiki kemungkinan diajukannya rencana pembangunan Mall. Bila 2400 di antara 5000 penduduk kota dan 1200 di antara 2000 penduduk sekitar kota yang diwawancarai setuju akan rencana tersebut. Dengan taraf nyata 10%, lakukan pengujian apakah proporsi penduduk kota dan penduduk sekitar kota yang setuju pendirian mall sama ?

Page 33: PengujianHipotesisStatistika

Sigit Nugroho 158

Teladan Pengujian Beda DuaProporsi Populasi

073,9

20001

50001)49,0)(51,0(

)60,048,0(

11)1(

)(

21

21 −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=

nnpp

ppzhit

Karena zhit = -9,073 < -1,645 maka hipotesis nol ditolak. Artinya : Terdapat cukup bukti dengan taraf nyata pengujian10%, bahwa proporsi kedua populasi yang setuju terhadappembangunan mall berbeda.

H0: π1 = π2 vs H1: π1 ≠ π2

α = 0,10Tolak H0, jika zhit < z0,05= -1,645 atau zhit > z0,95=+1,645p1 = 2400/5000 p2 = 1200/2000 p = 3600/7000