Fisica I. Curso 2010/11Dep ar t am en t o de Fis ica Ap l icad a . E TS I I d e Be jar . Un i ver s id ad de S a la m an caP r o fs . Alej andr o M edina Do ming uez y J es us O v ejer o Sa nchezTema 7. Movimientos oscilatorioy ondulatorioIndice1. Introduccion32. Movimiento oscilatorio32.1. Cinematica del movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Dinamica del movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Energia de un oscilador armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Ejemplos de movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2. Pendulo fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Movimiento armonico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. Movimiento ondulatorio143.1. Conceptos basicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Ondas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194. Problemas22 2Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 3Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio1. IntroduccionLos principales objetivos de los capitulos dedicados a la Mecanica Clasica fueron comopredecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velo cidad y posicion)y las fuerzas que actuan sobre el. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional aldesplazamiento del cuerpo desde su posicion de equilibrio. Si dicha fuerza siempre esta dirigidahacia la posicion de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimientoperiodico u oscilatorio. En Fisica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplosde este tipo de movimiento y de ahi la importancia de su estudio:los latidos del corazonel movimiento del pendulo de un relojla vibracion de las moleculas de un solido alrededor de sus posiciones de equilibriola corriente electrica que circula por el filamento de una bombillalas vibraciones de las cuerdas de un violin.El movimiento oscilatorio esta intrinsecamente relacionado con los fenomenos ondulatorios.Cuando vibra la cuerda de un violin se producen oscilaciones de las moleculas del aire que lorodea y, por el contacto o interaccion entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en elespacio en forma de onda. El ejemplo mas sencillo de movimiento oscilatorio es el denominadomovimiento armonico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamenteentre dos posiciones espaciales fijas sin perder energia mecanica. Ademas de ser el tipo de movi-miento oscilatorio mas facil de describir matematicamente, constituye una buena aproximaciona muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.2. Movimiento oscilatorio2.1. Cinematica del movimiento armonico simpleSe dice que una particula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armonicosimple cuando su desplazamiento respecto a su posicion de equilibrio varia con el tiempo de 4Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioacuerdo con la relacion:1x(t) = A cos( t + d),donde A, y d son constantes del movimiento. La representacion grafica de x = x(t) tiene2esta forma:xAt=2pt=p/2tt=pt=3p/2TConceptos basicos en la descripcion de este tipo de movimiento son los siguientes:A: Amplitud - maximo desplazamiento de la particula (negativo o positivo) respectode su posicion de equilibrio.d: Desfase inicial - junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales delmovimiento. Se determina, como veremos mas adelante, a partir de la posicion y velocidadiniciales.t + d: Fase.T : Periodo. Es el tiempo que necesita la particula para realizar un ciclo completo de sumovimiento. Es decir, x(t) = x(t + T ). En el tiempo T la fase aumenta 2p .(t + T ) + d = t + d + 2p - T = 2p - = 2po T = 2pT .: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).f = 1/T : Frecuencia - numero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza laparticula: 2pf = . En el S.I. se mide en 1/s o herzios (Hz).Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son periodicas: sen(x +2np) = sen x; cos(x +2np) = cos x.1Por lo que, como veremos mas adelante esta funcion para x(t) representa un movimiento periodico en el tiempo.Sabiendo que cos x = sen(x + p/2), se puede definir un MAS alternativamente segun x(t) = A sen( t + d +2p/2) = A sen( t + d ). 5Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriod=0x(t)t-Av(t)t-Aa(t)t-2ALa velocidad y la aceleracion de una particula que realiza un MAS se obtienen sin mas quederivar su posicion en funcion del tiempo:v(t) = dxdt = - A sen( t + d) (1)a(t) = dvA cos( t + d) = -x(t). (2)22dt = -v(t) y a(t) son tambien funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferenteamplitud y desfase:x - x= AmaxAmplitudes :v - v= Amaxa - a=A2maxDesfases : x - v - p/2x - a - p 6Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioLa amplitud, A, y el desfase, d, del movimiento se obtienen a partir de las condicionesiniciales del siguiente modo:x(t) = A cos( t + d) - x(t = 0) = x= A cos d0v(t) = -A sen( t + d) - v(t = 0) = v= -A sen d.0Dividiendo ambas ecuaciones:v0= - tan d - tan d = - v0= d = arctan - v0. (3)xxx000Por otra parte:x0A = cos d- v0A = sen dElevando al cuadrado y sumando:1/2x22220+ v0= 1 - A= x+ v0= A = x+ v0. (4)222AA0022222Para concluir este apartado resumiremos las propiedades mas importantes de la cinematica delMAS:1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes ydesfasadas entre si.2. La aceleracion es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto.3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.2.2. Dinamica del movimiento armonico simpleAhora que ya sabemos como describir el movimiento armonico simple, investigaremos susposibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema fisico mas sencillo que da lugara un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecianlos rozamientos). Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posicion de equilibrio el muelleejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongacion pero con signo opuesto a ella y queviene dada por la ley de Hooke,f = -kx, 7Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriodonde k es una constante que depende de las caracteristicas del muelle. Despejando la acelera-cion (f = ma):a = - kmx.Luego al igual que en el MAS, la aceleracion es proporcional en modulo al desplazamiento yde sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando laecuacion de movimiento,dx2= - kdtm x.2Es facil comprobar que la solucion de esta ecuacion puede escribirse:1/2x(t) = A cos( t + d) donde = k.mEn efecto:dxdt = -A sen( t + d)dx2= -Acos( t + d)2dt2-Acos( t + d) = - k= k22m A cos( t + d) = debe serm.Con esto po demos concluir que siempre que sobre una particula actue una fuerza proporcionala su desplazamiento y en sentido opuesto a este, realiza un MAS. El perio do y la frecuencia deldesplazamiento son:1/2T = 2p= 2p mkk1/2f = 1T = 12pmT y f solo dependen de la masa y de la construccion del resorte. La frecuencia es mayorpara un resorte duro y al contrario.2.3. Energia de un oscilador armonico simpleEn temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que suenergia potencial viene dada por:U (x) = 1.22 kxLa energia total del sistema sera:E = E+ U = 1+ 1.22c2 mv2 kx 8Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioPor el principio de conservacion de la energia, E debe ser una constante del movimiento (sidespreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegirel punto mas comodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongacion es maxima y lavelo cidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria:x = A cos( t + d) - x = Av = -A sen( t + d) - v = 0.E=cte.U(t)E (t)ctEn ese punto:E = 1.22 kAEsta es la energia de un MAS. Como vemos solo depende de la amplitud del movimiento y dela constante del muelle. Como la energia mecanica es constante es instructivo representar comose compensan Ey U en un diagrama de energias frente al tiempo (en la figura se ha elegidocd = 0).U = 1= 1cos( t + d)2222 kx2 kAE= 1Asen( t + d) = 1sen( t + d).22222c2 m2 kALa energia cinetica tambien se puede expresar en terminos de la posicion:E= E - 1= 1- x),222c2 kx2 k(Aque es la ecuacion de una parabola invertida y centrada en x = 0.1/2E= 1= 1- x) - v = k- x).22222c2 mv2 k(Am (ADe esta ecuacion se deduce inmediatamente que la velocidad es maxima en x = 0 y que seanula en los puntos de maxima elongacion: x = A. 9Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioEE (x)cU(x)x-AA2.4. Ejemplos de movimiento armonico simple2.4.1. Pendulo simpleEl pendulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, ,inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto auna posicion fija. Demostraremos que el pendulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramentede su posicion vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hayrozamientos.lTmsPLa fuerza en la direccion tangente al movimiento viene dada por:ss222f= -mg sen = md- d= d= -g sentdtdtdt222 10Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio2= d= -g sen .dt2Si es suficientemente pequeno se puede hacer la aproximacion, sen . Esto se debe aque haciendo un desarrollo en serie de la funcion sen x, y cortandolo en el primer termino, ladiferencia entre x y sen x solo es de un 1 % cuando ~ 15.oLuego si el pendulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuacion de movimiento angulares la de un MAS: =cos( t + d). La frecuencia del movimiento y el periodo son:max1/21/2= g; T = 2p.= 2p gAmbos parametros solo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los pendulos de iguallongitud oscilaran del mismo modo.El pendulo simple suele utilizarse en la practica para gran cantidad de aplicaciones que sepodrian dividir en dos blo ques:medir tiempos - su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de por lascondiciones termodinamicas o de g por la latitud o altitud) y es facil visualizar el numerode oscilaciones.medir g - las medidas de g con este metodo son bastante precisas, lo que es importan-te porque cambios lo cales de g pueden dar informacion valiosa sobre la localizacion derecursos minerales o energeticos.2.4.2. Pendulo fisicoCualquier solido rigido colgado de alg un punto que no sea su centro de masas oscilara cuandose desplace de su posicion de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de pendulo fisico ocompuesto.El momento del peso respecto al eje de giro sera t = mg h sen f y la segunda ley de Newtonpara la rotacion se expresara,f2t = Ia = I ddt.2El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el angulo f por lo que:ff22-mgh sen f = I d- d= -mghdtdtI sen f.22 11Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioPara un pendulo simple, I = mly h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado2anterior. Cuando los desplazamientos angulares son pequenos sen f f ydf1/21/22= -mghf donde = mghy T = 2p I.2dtI f = -Imgh2Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de solidos rigidos.eje dezgirohm, Ifhsenfc.m.P2.5. Movimiento armonico amortiguadoLos movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemasideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la accion de una fuerza lineal opuesta al despla-zamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre estan presentes fuerzas disipativas quehacen que la energia mecanica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que elmovimiento armonico esta amortiguado.Un tipo habitual de fuerzas de friccion son las proporcionales a la velocidad f= -bv. Larecuacion de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento seria:x2md= -kx - bv.dt2Un ejemplo fisico de esta situacion seria un muelle sumergido en un uido. Resolviendo laecuacion diferencial anterior se puede obtener que su solucion es de la forma,x(t) = Aecos( t + d),-bt2 m 12Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriodonde la frecuencia viene dada por:2 1/2= k.m - b2mEvidentemente en el limite b = 0 se recupera la solucion de un MAS. Exceptuando la expo-nencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con unafrecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, ademas, el factor exponencial hace quela amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es pequeno laecuacion anterior da como solucion una funcion de la siguiente forma:x-(b/2m) tA Aex(t)tSe dice que el movimiento es subamortiguado. Matematicamente se produce cuando (b/2m) k/m], ni siquiera se producen os-2cilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la solucion matematica es:x(t) = eAe+ Be-btt- t2 mxsobreamortiguadocrticot 13Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioExiste ademas el caso especial en que (b/2m)= k/m. En esta situacion, ademas de no2haber oscilaciones la caida de la amplitud es mas rapida que en el caso sobreamortiguado. Sedice que el amortiguamiento es critico. Matematicamente la solucion es de la forma:x(t) = e(A + B t) con = k- tm.2.6. Oscilaciones forzadas y resonanciasEs posible compensar la perdida de energia de un oscilador amortiguado aplicando unafuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un nino en un columpio para mantenerseen movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen lasfricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer unafuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso mas comun lasfuerzas aplicadas son periodicas , por ejemplo de la forma,f = fcost.00La ecuacion de movimiento ahora sera:x2m d= fcost - b dxdt00dt - kx.2La solucion de esta ecuacion consta de dos partes, la solucion transitoria y la solucion estaciona-ria. La transitoria es analoga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen delas condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externahasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un ciertotiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la solucion de la ecuacion es estacionaria, yano depende de las condiciones iniciales y se puede escribir asi,x(t) = A cos(t - d),0donde = (k/m),es la frecuencia de la fuerza impulsora y:1/20A = f0[m(-)+ b]1/22222220tan d = bm(-)220Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, esfija y variamos la externa, se obtiene una figura asi para la amplitud A: 14Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioAA =f /bmx 00=00El drastico incremento de la amplitud que se produce cuando =se denomina re-0sonancia. Fisicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad deloscilador estan en fase. Entonces como P = f .v, la potencia transferida es maxima. Ejemplosde situaciones con resonancia son los siguientes:Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema pararepetir los impulsos con esa frecuencia.Cuando un peloton de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que lafrecuencia del paso no sea la de resonancia del puente.Un vaso se puede romper si se emite cerca de el un sonido de frecuencia parecida a sufrecuencia de resonancia.Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibracion similara la de su resonancia.Sintonizar un aparato de radio o TV no es mas que buscar la frecuencia con que emite lafuente para que coincida en resonancia con la del circuito electrico del receptor.3. Movimiento ondulatorio3.1. Conceptos basicos y tipos de ondasEl movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energia y cantidadde movimiento de una region a otra del espacio sin que tenga lugar ningun transporte neto de 15Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriomateria.En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondasen dos grandes grupos:Ondas mecanicas : En este caso las ondas se originan mediante una perturbacion en elespacio que se propaga a traves de un medio material debido a sus propiedades elasticas.Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las moleculas deaire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas enuna cuerda, ondas sismicas, etc.Ondas electromagneticas : Estas ondas no necesitan de ningun medio material para propa-garse. Pueden hacerlo en el vacio. La energia y el momento son transportados por camposelectricos y magneticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estasondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o television, las ondas de telefoniamovil, los rayos X, etc.Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras . Sin embargo, hayotro tipo de ondas (que estudiaremos mas adelante con detalle) que se denominan estacionariasy que estan confinadas en una determinada region del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerdade una guitarra se pro duce una onda, pero limitada a la region entre los extremos de la cuerda.Para una onda estacionaria, la energia que lleva asociada permanece acotada en una ciertaregion del espacio.Cuando una onda se propaga a traves de un medio, las particulas de este no acompanan sumovimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimientode una onda hemos de distinguir dos aspectos:el movimiento de la onda a traves del medioel movimiento oscilatorio de las propias particulas del medio. 16Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriopropagacinyxoscilacinyxyxUna forma de clasificar ondas alude precisamente a la relacion entre la direccion de propa-gacion y la direccion en que vibran las particulas del medio. Ondas transversales son aquellas en que las particulas oscilan perpendicularmente a ladireccion de propagacion de la onda. Reproducen el esquema de la figura adjunta. Ejem-plos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arribay abajo uno de sus extremos.3 Ondas longitudinales son aquellas en que las particulas oscilan en la misma direccion enque se propaga la onda.Las ondas electromagneticas tambien son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ninguna3vibracion de las particulas del medio, sino que son los propios campos electrico y magnetico los que vibranperpendicularmente entre si y a la direccion de propagacion. 17Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriopropagacinoscilacinEstas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un mue-lle situado horizontalmente. La compresion entre las espiras del muelle, se transmite atraves de el debido a sus propiedades elasticas y pinzamiento y direccion de propagacioncoinciden. Las ondas sonoras tambien son ondas longitudinales. Se pueden entender comoperturbaciones de la posicion de las particulas del medio (aire) que se propagan por lasinteracciones entre unas y otras.En este tema nos ocuparemos unicamente de ondas mecanicas. Estas ondas requieren treselementos basicos:a) Alguna fuente que produzca la perturbacion.b) Un medio que se pueda perturbar.c) Un mecanismo fisico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagarla perturbacion.Conceptos basicos en cualquier tipo de ondas:* Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante estan a la mismadistancia de su posicion de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos quevibran del mismo modo).* Frecuencia: numero de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbacion.* Velocidad de propagacion: velocidad con que se transmite la perturbacion.* Amplitud: maxima separacion de un punto respecto a su posicion de equilibrio. 18Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio3.2. Pulsos unidimensionalesUn pulso es una onda de extension relativamente corta, interesante desde el punto de vistateorico porque permite visualizar el comportamiento generico de cualquier onda. Matematica-mente, un pulso se puede representar como una cierta funcion, y = f (x), que se mueve con unacierta velocidad.Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estandoel otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo detiempo.propagacinSi la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial,la curva f (x) se movera con la velocidad de propagacion del pulso, v. Es decir, matematicamenteun pulso que se desplaza hacia la derecha sera una funcion:y = f (x - v t),y si se mueve hacia la izquierda:y = f (x + vt).La forma funcional f (x vt) se denomina funcion de ondas. De otro mo do: y = y(x, t) =f (x v t). La velo cidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad conque vibran las particulas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominarvelocidad de fase y se obtiene como:v = dxdt . 19Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriot = 0 tyyy'vty=f(x)y=f(x')=f(x-vt)OO'xx'Ox x'3.3. Ondas armonicasSi el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce untren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquierinstante de tiempo es una funcion senoidal y ademas se propaga con una cierta velo cidad. Estetipo de onda, que tiene como origen una perturbacion de tipo armonico simple, se denominaonda armonica.En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como:y = A sen 2px .Amplitud: Maximo desplazamiento respecto a la posicion de equilibrioLongitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntosadyacentes con la misma fase.y(x) = y(x + n ), n = 1, 2, 3, . . .porque:y (x + n ) = A sen 2p(x + n ) = A sen 2px+ 2np = y(x).Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, lafuncion de onda sera:y(x, t) = A sen 2p(x - vt) .Si la onda via ja hacia la izquierda, seria:y(x, t) = A sen 2p(x + vt) . 20Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioPeriodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a se denominaperiodo:v =T .t = 0yAxtt=0 tyxvtLuego una manera alternativa de expresar la funcion de ondas es:y(x, t) = A sen 2p x- tTEsta funcion muestra el caracter periodico de la onda: y tiene el mismo valor en las posicionesx, x + , x + 2 , x + 3 . . . . Y para cualquier posicion dada, x, y toma el mismo valor en losinstantes: t, t + 2T , t + 3T , . . . Es decir, la periodicidad espacial la determina y la temporalT . Matematicamente:y(x, t) = y(x + n , t) - periodicidad espacialy(x, t) = y(x, t + nT ) - T perio dicidad temporal 21Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorioOtras definiciones usuales son las siguientes:k = 2pumero de onda (1/m)- n= 2pT - frecuencia angular (rad/s)f = 1T - frecuencia (1/s=Hz) (herzio)En terminos de algunos de estos parametros:y(x, t) = A sen(kx - t),y la velocidad se puede expresar:v =kv = f.Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x =0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porque suceder.Para ello matematicamente se puede introducir un desfase inicial, d, de manera que la formamas general de la funcion de ondas es:y(x, t) = A sen(kx - t - d).El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales.La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmitela onda y su aceleracion, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo:v= y= A cos(kx - t)ytx=ctey2a== -A sen(kx - t).2yt2x=cteLos valores maximos son:v= Ay,maxa=A.2y,max 22Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio4. Problemas1. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores alas ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20000 N/m, encuentreseel periodo y la frecuencia de vibracion cuando el automovil pasa por un bache llevandoen su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg.(Respuestas : T = 0,85 s; f = 1,18 Hz )2. Una particula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundoefectua media vibracion. Calculense:a) La ecuacion que rige el movimiento.b) La fuerza que lo produce.c) Los valores de la elongacion para los que sera maxima la velo cidad.d) Los valores de la elongacion para los que sera nula la aceleracion.(Respuestas : a) x(t) = 5 cos pt; b) f = -mpx; c) x(v) = 0; d) x(a = 0) = 0)2max3. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de el se cuelga una masa de 50 gqueda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula:a) La constante de recuperacion del resorte.b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masade 90 g.c) El traba jo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de latrayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm.(Respuestas : a) k = 24,5 N/m; b) f = 2,63 Hz; c) W = 0,053 J)4. El pendulo de un relo j de pared esta constituido por una varilla homogenea de 1 mde longitud y masa men cuyo extremo se encuentra un pequeno cilindro macizo y1homogeneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calculese el radio que debe tener estecilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s.(Respuestas : r = 5,11 cm) 23Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio5. Un anillo de 10 cm de radio esta suspendido de una varilla de modo que puede oscilarlibremente. Determina su periodo de oscilacion.(Respuestas : T = 0,90 s)6. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de unabascula de masa 10 kg . El muelle de la bascula tiene una constante elastica de 8 kg/cm.Suponiendo que despues del cho que el plato y el cuerpo permanecen unidos, calculense:a) el desplazamiento maximo del plato de la bascula y b) la ecuacion del movimiento delconjunto cuerpo-plato.(Respuestas : y= 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t) (S.I.))27. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en su periferia,pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masam y el otro extremo del hilo esta atado a un resorte vertical cuyo extremo esta fijo en elsuelo. Calcula el periodo para pequenas oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g; k = 1600 N/m.(Respuestas : T = 0,16 s)8. La funcion de ondas de una onda armonica que se propaga a traves de una cuerda es,y (x, t) = 0,03 sen(2,2x - 3,5t)en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, pe-riodo, numero de ondas y velo cidad de propagacion.(Respuestas : A = 0,03 m; = 2,9 m; = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s;k = 2,2 m; v = 1,6 m/s)-19. Determina la ecuacion de una onda armonica que se propaga en el sentido negativo deleje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud.Se sabe ademas que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posicion deequilibrio.(Respuestas : y(x, t) = 0,02 cos(2,8 x + 2,5 10t) (S.I.))310. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por:y(x) = a,b + x2 24Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatoriodonde a = 0,12 my b = 4,0 m.32a) Representa graficamente el pulso en ese instante.b) Cual es su funcion de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del eje x convelocidad de 10 m/s?c) Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo del eje x?(Respuestas : b) y(x, t) = 0,12(S.I.); c) y(x, t) = 0,12(S.I.))4 + (x - 10 t)4 + (x + 10 t)22