بسم الله الرحمن الرحيم

السورية العربية الجمهورية

تشرين جامعة

الرياضيات- كلية قسم العلوم

دراسة في شبكاتالأسس للحلقات

On Lattices of Radical Rings

إعدادالطالبة رنا علي مبيض

إشرافأ.د. أحمد حسان الغصين

السورية العربية الجمهورية

تشرين جامعة

- الرياضيات قسم العلوم كلية

~i~

تصريح

" قبل " أن يسبق لم للحلقات الأسس شبكة في دراسة البحث هذا بأن أصرحشهادة أي على للحصول مقدم غير أنه كما أخرى، شهادة أي على للحصول

أخرى.

المرشح

مبيض رنا

Declaration

It's herby declared that this work "On Lattices of radical rings" hasn't already been accepted for any degree, nor it's being submitted for any other degree.

Candidate

Rana Mbayed

السورية العربية الجمهورية

تشرين جامعة

الرياضيات - كلية قسم العلوم

~ii~

شهادة

به قامت بحث نتيجة هو الرسالة هذه في الموصوف العمل هذا أن نشهدأحمد الدكتور الأستاذ بإشراف ض مبي رنا العليا الدراسات طالبة المرشحة

وأي – – تشرين، جامعة العلوم كلية الرياضيات قسم في الغصين حسان. النص في موثق الموضوع هذا في آخر بحث أي إلى رجوع

المشرف المرشح

. . الغصين حسان أحمد د أمبيض رنا

Certification

It's certified that this work described in this thesis is the result of the author's own investigations under supervision Professor Ahmad Hassan Alghoussein in the Department of Mathematics, Faculty of Sciences, University of Tishreen, and any references to other researches work has been only acknowledged in the text.

Candidate Prof .

Rana Mbayed A.H.Alghoussein

الإهداء ~iii~

إلى الروح الطاهرة التي كانت وما زالت تنير دربي ...أبي

إلى المناضلة والصابرة التي أحبها ... أميإلى معلمي ومرشدي إلى طريق العلم ... أخي وضاح

إلى من أقتبس منه دروس الحياة... أخي نوارإلى حبي ورفيق دربي ... زوجي

إلى أختي ... ريمةإلى شمعتي المتوهجة ... طفلتي

أهدي هذه الرسالةرنا

شكر وتقديرأتوجه بشكري وامتناني إلى :

الدكتور أحمد الغصين لدعمه لي أثناء بحثي، وتوجيهاته القيمة لانجاز هذا العمل

.

~iv~

وأتوجه بالشكر إلى رئاسة جامعة تشرين والقائمين عليها، وإلى عمادة كلية العلوم وقسم الرياضيات الذي

منحني فرصة التقدم إلى الماجستير، وإلى أساتذتي الذينعلموني السباحة في بحر الرياضيات .........

رنا

الفهرسالمقدمة.................................................

..............1

الفصل الأول: تعاريف ومفاهيمعامة................................

3

الحلقات.1.1الجبرية.........................................

3

العلاقات بين.1.2المجموعات................................

12

صفوف.1.3الحلقات.........................................

13

الشبكات...........................................1.4.......

15

~v~

الفصل الثاني: شبكاتالأسس........................................

26

1.2.

الأساس وصف.2.1الأساس.................................

26

صفات.2.2الأسس...........................................

28

أشهر.2.3الأسس...........................................

33

شبكة جميع.2.4الأسس.....................................

47

شبكة الأسس.2.5ثة................................... المور

50

شبكة جميع الأسس معدومة.2.6القوة.......................

52

شبكة الأسس التي تحقق متطابقة.2.7المصفوفة.............

53

شبكة الأسس.2.8ة................................... الخاص

54

ات في شبكتي الأسس و الفصل الثالث: الذرصفوف الأسس..........

59

1.2.

59

~vi~

3.ات في شبكة.3.1 الذر

الأسس................................

ات في شبكة الأسس.3.2 الذرثة........................ المور

61

ات في شبكة الأسس.3.3 الذرة........................ الخاص

63

ات في شبكة الصفوف.3.4 الذرة...................... الخاص

67

- حلقة بالأسس∗علاقة .3.5ة........................ الخاص

69

المصطلحات والرموز العلمية غيرالمألوفة...........................

72

المراجع...............................................................

74

الملخص باللغةالعربية................................................

75

الملخص باللغةالانكليزية..............................................

77

المقدمة ~vii~

سميت البنى الجبرية باسمها لأنها تبنى بعضها فوق بعض، فمثلا لا حديث عن الحلقة دون الحديث عن الزمرة ولا حديث عن الزمرة دون

الحديث عن المجموعة وهكذا.... وقد تم تطوير هذه المفاهيم الجبرية وأدخلت مفاهيم جديدة كمفهوم

الشبكة، ويعتبر هذا المفهوم من المفاهيم الرياضية الحديثة، برع فيها وذلك في دراسته للمنطق الرياضيGeorge Booleالباحث )جورج بول(

فأدخل مفهوما جديدا للشبكة وبعد ذلك كتب العديد منM.H.Stone وعرف عندئذ بنية بول وبعد ذلك جاء )م.ش.ستون(1850عام الباحثين في هذا المجال. وتعتبر الشبكات بشكلها العام من الدراسات

المنطقية للبنى الجبرية وما إنشاء المخططات الخاصة للشبكات إلا لإعطاء تصور أفضل عن البنية الجبرية المدروسة وقد تم تطوير ذلك عن طريق

الحاسب وتمت مؤخرا دراسة ورسم الشبكات برمجيا. كما أدخل مفهوم الأساس أو الجذر في الحلقات على الرغم من أن

Wedderburnالفكرة الأساسية لتعريف الأساس تعود إلى )ويديربورن( 1930، ولكن يمكن القول أن نشوء نظرية الأسس كان في عام 1908عام

[. وفي8 الأساس المعدوم للحلقات في ]Kötheعندما قدم )كوث( 1958 و 1952بين عامي . العقدين التاليين قدم علماء الجبر نجاحات بارزة

التعريف العام للأسس وأثبتوا النتائج الأساسيةAndrunakievich (أندروكافيتش و)Kurosh،)كوروش( Amitsur)أميتسور( وضع كل من المتعلقة بها.

وتمت بعد ذلك دراسة إنشاء شبكة الأسس للحلقات، ومن أهم من Yu.M.Ryabukhin [1]، B. J. Gardner [4]كتب في ذلك وغيرهم.......

يأتي موضوعنا هذا في إطار دراسة شبكة الأسس للحلقات، وكان الهدف من هذه الرسالة البحث عن إيجاد شبكات الأسس للحلقات

والشبكات الجزئية فيها وخواصها، وتجيب هذه الدراسة عن المسألة[ وهي:13 في ]J.M.Rjabuhinالمطروحة من خلال العالم )راجبوهين(

هي شبكة بول؟Sهل شبكة الأسس الخاصة (1 شبكة الصفوف وSما هي العلاقة بين شبكة الأسس الخاصة (2

؟SCالخاصة هي شبكة ذرية؟ ∗- حلقةهل شبكة الأسس الخاصة المولدة بـ(3

~viii~

ومن أجل الإجابة عن التساؤلات السابقة تم تقسيم هذه الرسالة إلىثلاثة فصول وقائمة بالمصطلحات العلمية وقائمة بالمراجع العلمية.

تضمن الفصل الأول وهو بعنوان " تعاريف ومفاهيم أساسية " أهمالمفاهيم والتعاريف التي سترد في الرسالة.

أما الفصل الثاني والذي عنوانه " شبكات الأسس" فقد احتوى أهم المبرهنات حول الأسس وأشهر هذه الأسس التي درست من قبل كوث

، رغم أنها شبكةLوجاكبسون وغيرهم....، وبينا فيه أن شبكة جميع الأسس تامة، ليست شبكة معيارية وبالتالي ليست شبكة بول. كما ذكرنا أمثلةثة، شبكة جميع الأسس أوضحنا فيها أن كلا من شبكات الأسس المور

معدومة القوة، وشبكة الأسس الخاصة ليست شبكات متممة رغم إنها شبكات توزيعية تامة، وبالتالي فهي ليست شبكات بول. وهذا يجيب عن

السؤال الأول من المسألة المطروحة.ات في شبكتي الأسس و وتحدثنا في الفصل الثالث؛ وهو بعنوان " الذرات التي تعتبر بمثابة القاعدة للشبكة، وخاصة إذا صفوف الأسس " عن الذر

ات في شبكة ه. حيث قمنا فيه بتحديد جميع الذر كانت هذه الشبكة ذريات نا طبيعة الذر الأسس المورثة التي تشكل أساسا أدنى لحلقة بسيطة، وبي

.∗- حلقةفي شبكة صفوف الأسس وشبكة الأسس الخاصة وعلاقتها مع وبذلك عملنا في هذا الفصل على الإجابة على السؤالين الثاني والثالث.

هذا وقد ألحقنا بهذا العمل ملخصين باللغتين العربية والإنكليزية عنأهم ما توصلنا إليه من مبرهنات ونتائج.

الفصل الأولتعاريف ومفاهيم أساسية

1.2.

~ix~

[4] (Algebraic Rings: ) الحلقات الجبرية.1.1 تعتبر نظرية الحلقات الجبرية من الدعائم الأساسية لعلم الجبر الحديث، وخاصة أن مصدر هذا العلم هو المجموعات العددية. كما أن كثرة أنواع هذه الحلقات فتح المجال أمام تطبيقات مختلفة لنظرية الحلقات في العديد من

العلوم الأخرى.( Ring: ) تعريف الحلقة.1.1.1

معرف عليها عمليتين ثنائيتين داخليتين الأولىA هي مجموعة غير خالية ، وتحقق الشروط الآتية:∙ والثانية ضرب +جمع نرمز لها

i)¿.زمرة تبديلية ii) (A , التجميعية∙ مغلقة بالنسبة للعملية A نصف زمرة، أي المجموعة (∙.Aفي iii) من اليمين واليسار.+ توزيعية على العملية ∙العملية

هذا وتسمى الحلقة حسب قانون التشكيل الثاني فمثلا: ( إذا وجدUnitary Ring )حلقة بواحدة )واحدية( إنها A نقول عن الحلقة

، يرمز لهذاA( بالنسبة لعملية الضرب في الحلقة Unitaryعنصر حيادي ) .1العنصر عادة بالرمز

.A إذا كان الضرب تبديلي في المجموعة حلقة تبديلية ونقول عنها ¿A) إذا كانت حلقة قسمة ونقول عنها زمرة غير تبديلية.(∙,

A) وعندما تكون , A) زمرة تبديلية تصبح الحلقة (∙ ,+, ∙) .حقلامعرف عليها الضرب الصفري أي أن: فهي حلقة الحلقة الصفرية أما

x ∙ y=0;∀ x , y ∊ A .Z0ونرمز لصف جميع الحلقات الصفرية ) صفر- الحلقات ( بالرمز

مع عمليتيZ ومن أشهر الحلقات الجبرية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الجمع والضرب العاديتين، وهي حلقة تبديلية بواحدة.

)حيادي الجمع(0{ المؤلفة من عنصر واحد هو الصفر 0 أما الحلقة } فقط.0تدعى الحلقة المبتذلة، وسنرمز لها للسهولة بالرمز

توجد أيضا صفات خاصة تتميز بها بعض العناصر في الحلقة، ونورد ذلكبالتعريف الآتي:

[4:] تعريف.1.1.2 إنه:a، عندئذ نقول عن العنصر A عنصرا من الحلقة a ليكن

∋b( إذا وجد عنصر Regular )نظامي* A بحيث a=aba. ~x~

m( إذا وجد عددان صحيحان Periodic )دوري* ,nمختلفان بحيث يكون am=an.

ويرمز، an=0 بحيث n>1إذا وجد عدد طبيعي ( Nilpotent )معدوم القوة* N بالرمز Aلمجموعة العناصر معدومة القوة في A:أي أن

N A={x∈ A ;∃n∈N , xn=0 }

.a نسميه درجة انعدام العنصر nإن أصغر عدد يرمز، وa2=0إذا كان ( Simple Nilpotent )معدوم القوة بسيط*

SN بالرمز Aلمجموعة العناصر معدومة القوة البسيطة في A :أي أن SN A={x∈ A ;x2=0 }

( Subring:) تعريف الحلقة الجزئية.1.1.3A) لتكن ,+, إنهاB، نقول عن A مجموعة جزئية غير خالية في B حلقة و(∙

∀(i إذا تحقق الشرطان الآتيان:Aحلقة جزئية في x , y ∊ B; x− y ∊ B ii)∀ x , y ∊B ; x ∙ y ∊ B. مجموعة جميع الأعداد الزوجية. عندئذ إذا عرفنا علىE=2Z: لتكن مثال

E)هذه المجموعة عمليتي الجمع والضرب العاديتين، فإن ,+, حلقة جزئية(∙Z)في الحلقة ,+ ,∙).

(Ideal:) تعريف المثالي.1.1.4A) لتكن ,+, إنهI. نقول عن A مجموعة جزئية غير خالية في I حلقة و(∙

.¿ زمرة جزئية في ¿(i إذا تحقق الشرطان الآتيان:Aمثالي يساري )يميني( في ii)من أجل كل I ∍ x وكل A ∍ a فإن (I ∍ xa) I ∍ ax.

ونقول إنه مثالي إذا كان مثاليا يساريا ويمينيا معا، ويدعى أحيانا مثاليا ثنائي⊳Iالجانب، ويرمز له بالرمز A.

⊊A إذا كان Aونقول إنه مثالي خاص في I⊋0. الواردة في المثال السابق هي مثالي لأن2Z إن الحلقة الجزئية مثال:

.ناتج ضرب أي عدد زوجي بعدد صحيح هو حتما عدد زوجي

: العمليات على الحلقات والمثاليات.1.1.5

i)جمع مثاليين :I حلقة وليكن Aلتكن , J مثاليين في Aعندئذ نعرف مجموع مثاليين .

بالشكل الآتي:

~xi~

I+J={x+ y : x∈ I , y∈J }

ii)جداء مثاليين :I حلقة وليكن Aلتكن , J مثاليين في Aعندئذ نعرف جداء مثاليين ،

بالشكل الآتي: IJ={∑

i=1

n

xi y i: x i∈ I , y i∈J }

، نبرهن بالاستقراء:N∋nمن أجل كل عدد محدود I 1=I I n=I n−1 I ;n>1

هوIJ وجداء مثاليينI+J مجموع مثاليينمن الممكن برهان أن كلا من .Aمثالي في الحلقة

iii)عامل الحلقة : بأنهA. عندئذ نعرف عامل الحلقة A مثالي في I حلقة وليكن Aلتكن

المجموعة: A

I={x+ I : x∈ A }

Aنعرف على I:عمليتي جمع و ضرب بالشكل الآتي

+xمن أجل كل I , y+ I∈ AI:يكون

(x+ I )+( y+ I )=(x+ y)+ I (x+ I) ∙( y+ I)=xy+ I

)واضح أن AI,+ تبديلية.A حلقة وتكون تبديلية إذا كانت حلقة (∙,

iv)تعريف المثالي المولد ( :Generated Ideal)⊇X، ولتكن Aالحلقة لتكن Aمجموعة جزئية فيها. عندئذ يسمى

،X مثاليا مولدا بالمجموعة X يحوي المجموعة Aأصغر مثالي في ⟩ويرمز له X ⟩، فيكون ⟨ X والتيA يساوي تقاطع جميع المثاليات في ⟨

.Xتحوي X={x1 إذا كانت المجموعة , x2 ,…, xn} مجموعة منتهية، عندئذ يرمز

⟩للمثالي X ⟩ بالرمز ⟨ X ⟩=⟨ x1 , x2 ,…,xn ، ويسمى مثاليا منتهي التوليد.⟨

v)تعريف الجداء الديكارتي :( Complete Product )A}لتكن λ : λ∈ Λ نعرف الجداء الديكارتي لهذه الأسرة أسرة حلقات. {

بأنه المجموعة: ~xii~

C=∏λ∈ ΛA λ={(aλ)λ∈ Λ: aλ∈ A λ}

عمليتي جمع و ضربCأي أن عناصرها متتاليات. نعرف على بالشكل الآتي:(aλ)من أجل كل ,(bλ)∈C حيث λ∈ Λ:يكون

(aλ)+(bλ)=(aλ+bλ),(aλ)∙(bλ)=(aλ ∙bλ)

C)واضح أن ,+ A حلقة وتكون تبديلية إذا كانت جميع الحلقات (∙, λ تبديلية.

.(Complete Direct Sum)يدعى الجداء الديكارتي أحيانا المجموع المباشر التام

يوجد أيضا المجموع المباشر والمجموع المباشر الجزئي، وسنوردالآن تعريفهما:

vi)تعريف المجموع المباشر :( Direct Sum )A} لتكن λ : λ∈ Λ أسرة حلقات. إن المجموع المباشر لهذه الأسرة{∋λ⊕يرمز له Λ A λ:ويعرف بالشكل الآتي ،

A=⊕λ∈ Λ Aλ ¿ {(aλ)λ∈ Λ :aλ∈ A λ∧ λ∈ Λ الأدلة من محدود أجلعدد من الأكثر aλ≠0على وهو حلقة جزئية{

من المجموع المباشر التام. منتهية فإن مفهومي المجموعΛنلاحظ أنه إذا كانت مجموعة الأدلة

المباشر التام والمجموع المباشر يتطابقان.

vii)تعريف المجموع المباشر الجزئي :( Subdirect Sum )Aλ} لتكن : λ∈ Λ هيA أسرة حلقات. عندئذ نقول إن الحلقة {

Iوجدت مثاليات مجموع مباشر جزئي لهذه الأسرة إذا λ في Aتحقق الشرطين الآتيين:

1 )¿ λ∈ Λ I λ=0.2 )A λ=

AI λ

∋λ من أجل كل Λ.

∑=A وسنرمز لها SA λ.

هناك أنواع من المثاليات والحلقات بحسب الشروط المضافة على تعريف كل منها مثل الحلقات النيوثرية والحلقات الأرتينية وغيرها..

سنورد بعضا منها في التعاريف الآتية: : تعريف بعض أنواع الحلقات.1.1.6، عندئذ: حلقةA لتكن

~xiii~

i) نقول عن A حلقة بسيطة إنها (Simple)إذا لم تحو مثاليات غير )أي لا تحوي مثاليات خاصة(.Aصفرية مخالفة لـ

، هي حلقة بسيطة.3، حلقة الأعداد الصحيحة بالقياس Z3مثال: الحلقة ii) نقول عن A حلقة معدومة القوة إنها( Nilpotentإذا وجد عدد ) .An=0 بحيث n>1طبيعي

a1 لأية مجموعة عناصر a1a2…an=0هذا يعني أن , a2 ,…,an∈ Aومنه an=0 من أجل كل a∈ A. iii) نقول عن A حلقة معدومة إنها( Nil Ringإذا كانت جميع)

.عناصرها معدومة القوة نتيجة: من التعريفين السابقين نستنتج أن كل حلقة معدومة القوة هي

حلقة معدومة. iv) نقول عنA إنها (Locally Nilpotent )حلقة معدومة القوة محليا هي حلقة معدومة القوة.Aإذا كانت كل حلقة جزئية منتهية التوليد في

نستنتج أن كل حلقة معدومة القوة هي حلقة معدومة القوة محليا، وأنكل حلقة معدومة القوة محليا هي حلقة معدومة. v) نقول عنA حلقة أولية إنها( Primeإذا كان من أجل أي مثاليين )

I , J غير صفريين في الحلقة A فإن IJ ≠0 . لصف جميع الحلقات الأولية.πسنرمز بالرمز

{ هي حلقة أولية.0من التعريف الأخير نستنتج أن الحلقة المبتذلة } vi) نقول عن A حلقة نصف أولية إنها( Semi-prime إذا كانت )Aلا I غير صفري بحيث Iتملك مثالي ⊳I، أي إذا وجد مثالي 0=2 Aبحيث

I .I=0 فإن 0=2 نستنتج مباشرة من التعريف أن كل حلقة أولية هي حلقة نصف أولية،

لكن العكس ليس بالضرورة صحيحا. vii) نقول عنA حلقة جامدة )غير نامية( إنها( Idempotentإذا ) .A2=A تحقق الشرط Aكانت

( إذا تحققBoolean Ring )حلقة بوليانية إنها Aنقول عن (viii لصف جميع الحلقات الجامدة.OTسنرمز بالرمز .A∋a من أجل كل عنصر a2=aالشرط ix) نقول عنA حلقة نظامية إنها( Regularإذا كانت جميع عناصرها ) نظامية. x) نقول عن A حلقة موضعية )محلية( إنها( Localإذا كانت تحوي )

وحيد.مثاليا أعظمي xi) نقول عن A اليسار( )حلقة نيوثرية إنها( من اليمين Right Noetheriumإذا كانت كل سلسلة صاعدة من مثاليات يمينية )

~xiv~

من الشكل:A)يسارية( في I 1⊆ I 2⊆…⊆ I i⊆ I i+1⊆…

بحيث:nتتوقف عند عدد منته من الحدود، أي يوجد عدد صحيح معين I n=I n+1=I n+ 2=… xii) نقول عن A اليسار( )حلقة أرتينية إنها( من اليمين Right Artinian)(؛ إذا كانت كل سلسلة هابطة من مثاليات يمينية )يسارية

من الشكل: Aفي I 1⊇ I 2⊇…⊇ I i⊇ I i+1⊇…

بحيث:nتتوقف عند عدد منته من الحدود، أي يوجد عدد صحيح معين I n=I n+1=I n+ 2=….

: أنواع المثاليات.1.1.7ما. عندئذ: حلقة A لتكن

i)المثالي الأولي ( Prime يسمى المثالي :)P في الحلقة A مثاليا ويحقق الشرط الآتي:R≠Pإذا كان أوليا

Iمن أجل أي مثاليين , J في A بحيث I . J⊆P عندئذ إما I⊆P أو J⊆P.نستنتج من تعريفي الحلقة الأولية والمثالي الأولي أنه:

حلقة أولية.A إذا وفقط إذا كانت A{ مثاليا أوليا في حلقة 0تكون }ii)المثالي الأعظمي (Maximal يسمى المثالي : )M في الحلقة A

M يحوي A في I ولا يمكن إيجاد مثالي R≠Mإذا كان مثاليا أعظميا، Iبحيث ≠ M و I ≠ A.

iii)المثالي الرئيسي ( Principle يسمى المثالي :)I في الحلقة A ، وعندها يكونA∋a مولدا بعنصر واحد ما مثل Iإذا كان مثاليا رئيسيا I=aA=Aa.

iv)المثالي نصف الأولي ( Semi-prime يسمى المثالي :)Iفي A إذا كانت الحلقة مثالي نصف أوليAالحلقة

I .نصف أولية

(Core: ) لب الحلقة.1.1.8I} حلقة، ولتكن A لتكن μ . إنA أسرة جميع المثاليات غير الصفرية في {

يسمى لب الحلقة ويرمز لهAتقاطع جميع المثاليات غير الصفرية للحلقة بالرمز:

H (A)=¿μ I μA( Heart of A.)وتسمى أيضا قلب)أو بذرة( الحلقة

~xv~

( Subdirectly Irreducible Ring:) الحلقة غير القابلة للتحليل المباشر.1.1.9H حلقة غير قابلة للتحليل المباشر إذا كان Aتسمى الحلقة (A)≠0 أي أن ،A

تملك مثاليا أصغريا وحيدا.( Essential Extension:) الممدد الجوهري تعريف .1.1.10

⊳I. إذا كان I ممددا جوهريا للحلقةA تسمى الحلقة A & I⋂C≠0من أجل ⊳Cكل A.غير صفري

⋅⊳I ونرمز له A( للحلقة Large Ideal( أو مثاليا أكبر )Essential Ideal مثاليا جوهريا )I يدعى عندها A. ملاحظة: إن كل مثالي غير صفري في حلقة غير قابلة للتحليل المباشر

)وبالأخص لب هذه الحلقة( هو مثالي جوهري.

(Accessible ): تعريف قابلية الوصل.1.1.11 إذاB إنها حلقة قابلة للوصل في B من الحلقة A نقول عن الحلقة الجزئية

A0وجدت متتالية من الحلقات الجزئية , A1 ,…, An في الحلقة B:بحيث أن A=A0⊲A1⊲…⊲ An=B

(Annihilator: ) المعدم تعريف: .1.1.12 مثاليا فيها عندئذ:I حلقة، وليكن A لتكن

annتسمى المجموعة A={x∈ A : xA=Ax=0} معدم الحلقة A.annAتسمى المجموعة I={x∈ A : xI=Ix=0 .A في الحلقة I معدم المثالي {

ann * نلاحظ من التعريف أن كلا من A ،annA I مثاليان في الحلقة A.

(vector Space ): تعريف الفضاء الشعاعي.1.1.13.F، وليكن لدينا الحقل )أو حلقة القسمة( V لتكن لدينا المجموعة

داخلية أي: + عملية جمع Vنعرف على u+v∈V ;∀u , v∈V

أي:Fخارجي فوق الحقل )حلقة القسمة( ⋅ وعملية جداء a ⋅ v∈V ;∀a∈F ,∀ v∈V

. إذا حققF فضاء شعاعي فوق الحقل )حلقة القسمة( Vعندئذ نقول إن aالشروط الآتية، وذلك مهما يكن ,b∈F uو , v ,w∈V:

i)¿.زمرة تبديلية ii)1 ⋅u=u هو حيادي الضرب في 1 حيث F iii)a (b ⋅u)=(ab)⋅u iv)a ⋅(u+v )=a⋅u+a ⋅v

~xvi~

v)(a+b)⋅u=a ⋅u+b ⋅u

[4] : العلاقات بين المجموعات.1.2 إن العلاقات بين المجموعات وبالأخص تشاكلات الحلقات، تساعدنا على

الربط بين الخواص المشتركة للحلقات المختلفة، كما تسهل نقل بعضالنتائج والمبرهنات من حلقة إلى أخرى.

(Map: ) تعريف التطبيق.1.2.1f التطبيق هو علاقة : A⟶ B( تربط بين مجموعتين Aمنطلق و B)مستقر

بحيث لكل عنصر من المنطلق صورة واحدة فقط في المستقرأي:a بحيث a=aإذا كان , a∈ A فإن f (a)= f ( a)

تختلف أنواع التطبيقات بحسب عدد عناصر المنطلق التي ترتبط بالعنصرذاته من المستقر:

(إذا كان كل عنصر من المستقر هوSurjectiveفيكون التطبيق غامرا )صورة لعنصر واحد على الأقل من المنطلق:

∀b∈B⇒∃a∈ A ;f (a)=b ( إذا كان كل عنصر من المستقر هوInjectiveويكون التطبيق متباينا )

صورة لعنصر واحد على الأكثر من المنطلق أي:f إذا كان (a)=f ( a) بحيث a , a∈ A فإن a=a

( فهو غامر ومتباين معا )كل عنصر من Bijective أما التطبيق التقابل )المستقر هو صورة لعنصر واحد فقط من المنطلق(.

(Ring Homomorphism: ) التشاكل الحلقي.1.2.2f حلقتين وB وA لتكن : A→B تطبيقا من Aفي B نقول إن .fتشاكل حلقي

i)f إذا حقق الشرطين:B فيAمن ( x+ y )=f ( x )+ f ( y ) ;∀ x , y ∊ A. ii)f ( x ∙ y )=f ( x ) ∙ f ( y );∀ x , y ∊ A.f: ليكن مثال :Z4⟶Z14 بحيث f ( x )=7 x إن ،f.تشاكل حلقات

هذا ويوجد أنواع من التشاكلات الحلقية بحسب نوع التطبيق: (،Monomorphism(، متباينا )Epimorphismإذ يكون التشاكل غامرا )

( وفي هذه الحالة نكتبIsomorphismأو تقابلا ويدعى عندئذ تماثلا حلقيا )A≅ B.

يدعى تشاكلا داخليا)Aأما إذا كان منطلق التشاكل ومستقره الحلقة ذاتها

~xvii~

Endomorphism( وإن كان التشاكل الداخلي تماثلا يدعى تماثلا ذاتيا ،) Automorphism.) يرمز لهاB في حلقة A إن مجموعة جميع التشاكلات من حلقة

Hom(A , B) ومجموعة جميع التشاكلات الداخلية فوق الحلقة ،Aيرمز لها End (A Aut، أما مجموعة جميع التماثلات الذاتية يرمز لها ( (A).

[4 ]: صفوف الحلقات.1.3 إن ما نقصده بقولنا صف، هو مجموعة من العناصر )الحلقات( تتميز

بصفة معينة، فمثلا صف الحلقات معدومة القوة، صف الحلقات الأولية،.𝒜وصف جميع الحلقات التبديلية الذي سنرمز له بالرمز

، تعتبر خواص الإغلاق من أهم الصفات التي تتميز بها صفوف الحلقاتوهنا نورد التعاريف الآتية:

صفا من الحلقات، عندئذ:ℳ[ ليكن 4:] تعريف.1.3.1i) نقول إن الصفℳ مغلق بالنسبة للتشاكل(Homomorphically Closed إذا كانت صورة كل حلقة من الصف ،) ℳوفق تشاكل

.ℳحلقي ما هي حلقة من الصف ii) مغلق بالنسبة للتمديد نقول إنه(Closed Under Extensions،)

A وI، وكانت الحلقتانA مثاليا في حلقة Iإذا كانI تنتميان للصف ℳ،

أيضا.ℳ تنتمي للصف Aينتج أن الحلقة iii) مغلق بالنسبة للمجموع المباشر نقول إنه(Closed Under Subdirect Sum إذا كان من أجل أية أسرة من الحلقات ،){A λ}

∋λحيث Λو Aλ∈M فإن المجموع ∑λ∈ ΛA λ هو حلقة من الصف M.أيضا

iv) مديد الجوهرينقول إنه ( إذا كان الممدد الجوهري لأية حلقة منClosed Under Essential Extensions)مغلق بالنسبة للت.ℳ هو أيضا حلقة من الصف ℳالصف

(Inductive Property: ) خاصة الاستقراء.1.3.2 صف يحقق خاصة الاستقراء إذا حقق الشرطه إنℳ نقول عن الصف

الآتي:

~xviii~

Iمن أجل أية سلسلة صاعدة 1⊆ I 2⊆…⊆ I λ⊆… من المثاليات في حلقة A، Mبحيث كل ∍ I λ عندئذ I λ ينتمي إلى الصف ℳ.

(Hereditary Class: ) الصف المورث.1.3.3ثا للمثاليات إذا حقق الشرط:ℳ نسمي الصف من الحلقات صفا مور

هيIفإن، A مثاليا في الحلقة I وإذا كان ℳ حلقة من الصف Aإذا كانت .ℳحلقة من الصف

ث القوي.1.3.4 (Strongly Hereditary Class: ) الصف المورℳ نسمي الصف ثا ثا قويا إذا كان مور للحلقات من الحلقات صفا مور

الجزئية. (Regular Class: ) الصف النظامي.1.3.5

من الحلقات صفا نظاميا إذا كان كل مثالي غير صفريℳ نسمي الصف ممكن نقله وفق تشاكل حلقي إلى حلقة غير صفريةℳلحلقة من الصف

.Mمن الصف ∈Mبمعنى أنه إذا كانت الحلقة Aو A⊳ I I، فإنه توجد صورة تشاكلية لـ 0≠

.M∋C≠0ولتكن

[5: ] الشبكات.1.4 يعد بحث الشبكات الجبرية هو التطور الأبرز في علم الجبر والمنطق

الرياضي، وبخاصة الإمكانيات التي فتحتها دراسة الشبكات باستخدام برمجيات الكمبيوتر. لذا نورد بعض المفاهيم والتعاريف الأولية في هذا

المجال، بالإضافة إلى بعض المبرهنات التي تفيدنا في دراستنا هذه.

1.4.1. [5(]Partially Ordered Set()Poset: ) المجموعة المرتبة جزئيا علاقة معرف عليها P هي مجموعة غير خالية المجموعة المرتبة جزئيا

P" ≥" تحقق من أجل كل ثنائية ∍ z , y , x:الشروط الآتيةi) x≤ x.) انعكاسية ( ii)z≤ x⇐z ≤ y∧ y ≤x.) متعدية ( iii)y=x⇐ x≤ y∧ y ≤ x.) تخالفيه (

≠xعندما يكون y& y ≤ x عندئذ نكتب y<x. مرتبة جزئيا لأنه ليس بالضرورة أن يكون كلPلقد سميت المجموعة

y متقارنين بمعنى أن يكون Pعنصرين من المجموعة ≤ xأو x≤ y.

~xix~

xإذا كان كل عنصرين , y من المجموعة Pمتقارنين عندئذ تسمى المجموعة P( مجموعة مرتبة كليا Totally Ordered Set.)[5: ] تعاريف.1.4.2

P) لتكن مجموعة غير خالية مرتبة جزئيا، عندئذ:(≥,i) نقول عن عنصرP ∍ x أعظمي إنه( Maximal Elementفي )

P إذا كان عندما يتحقق الشرط:Pالمجموعة ∍ pحيث x=p⇐ x≤ p.

P نقول عن عنصر ∍ n أصغري إنه( Minimal Elementفي ) P إذا كان عندما يتحقق الشرط:Pالمجموعة ∍ p حيث n=p⇐ p≤n

. ملاحظة: ليس بالضرورة أن يكون لمجموعة مرتبة ما عنصر أعظمي

أو عنصر أصغري أو كليهما.ii) إذا وجد في المجموعة المرتبة جزئيا(P عنصر أعظمي )أصغري((≥,

.1، ونرمز له بالرمز Pوحيد سمي العنصر الأكبر للمجموعة P) إذا وجد في المجموعة المرتبة جزئيا عنصر أعظمي )أصغري((≥,.0، ونرمز له بالرمز Pوحيد سمي العنصر الأصغر للمجموعة

iii) لتكن P⊇X ≠Φعندئذ: مجموعة جزئية ،Pنقول عن عنصر ∍ u حد أعلى إنه( Upper Bound للمجموعة )Xإذا

كان: x≤u ;∀ x∈ X

Pونقول عن عنصر ∍ v حد أدنى إنه( Lower Bound للمجموعة )Xإذا كان:

v≤ x;∀ x∈ X iv) نشكل مجموعة الحدود العليا للمجموعة X ونرمز لها بـ U (X)=UP (X )،

عندئذ:Uنسمي العنصر الأعظمي )في حال وجوده( للمجموعة (X) الحد الأعلى

X( Supremum or Least Upper Bound) للمجموعة الأصغريsupX=¿Pويرمز له: X X={xإذا كانت i : i ∊ I ¿=supX عندئذ نكتب: { i∈ I x i

I={1,2,3أما إذا كانت , ∙ ∙∙ , n X={a أو { ,b )منتهية( فإننا نكتب:{ ¿=x1⋁ x2⋁……⋁ xn=¿ i=1¿n x i أو ¿ (a ,b )=a⋁ b

L(X ونرمز لها بـ X ونشكل مجموعة الحدود الدنيا للمجموعة )=LP(X )،

~xx~

عندئذ:L(Xنسمي العنصر الأصغري )في حال وجوده( للمجموعة الحد الأدنى (

X( Infimum or Greatest Lower Bound ) للمجموعة الأعظميinfX=infويرمز له: P X X={xإذا كانت i : i ∊ I ¿=infX عندئذ نكتب: { i∈ I x i

I={1,2,3أما إذا كانت , ∙ ∙∙ , n X={a أو { ,b )منتهية( فإننا نكتب:{ inf=x1⋀ x2⋀……⋀ xn=¿i=1¿n x i أو inf (a ,b)=a⋀ b .

[5(]Lattice of Ordered Lattice:) الشبكة.1.4.3L) نقول عن المجموعة المرتبة جزئيا إنها شبكة مرتبة إذا وجد(≥,

a⋁ b و a⋀ b من أجل أي عنصرين a ,b من L. ينتج من التعريف أن أية مجموعة جزئية منتهية غير خالية من الشبكة

¿ تملك Lالمرتبة و inf في L.[14( ]The Algebraic Lattice:) الشبكة الجبرية.1.4.4

L) الشبكة الجبرية هي الثلاثية ,⨅ مزودة مجموعة غير خالية L حيث (⨆, وتحققانL" المعرفتين على ⨆"" والاتحاد ⨅"بعمليتين ثنائيتين: التقاطع

∀الآتية، وذلك الخواص x , y , z ∊ L:i) :الخاصة التجميعيةx⨆ ( y⨆ z )= (x⨆ y )⨆ z∧x⨅ ( y⨅ z )=( x⨅ y ) ⨅ z ii) :الخاصة التبديليةx⨆ y=x⨆ y∧x⨅ y=x⨅ y iii) :خاصة الامتصاصx⨅( x⨆ y)=x=x⨆(x⨅ y ) [14:] مبرهنة.1.4.5

"⨆"" و ⨅" , ≥(شبكة مرتبة،إذا عرفنا عليها العمليتين L لتكن ) بالشكل الآتي:

x⨅ y=inf (x , y ) , x⨆ y =(x , y) ¿

L)فإن ,⨅ شبكة جبرية.(⨆,L)وبالعكس، إذا كانت ,⨅ " شبكة جبرية وعرفنا عليها عملية الترتيب (⨆,

بالشكل الآتي:" ≥ x≤ y⇔x⨅ y=x أو( x≤ y⇔x⨆ y= y)

L)فإن بة.(≥, شبكة مرتمن هذه المبرهنة نجد توافق بة و الشبكات الجبريةا بين الشبكات المرت

⨅,⨆وبالتالي لا فرق في الدراسة بينهما مع ملاحظة التوافق بين الرمزين على الترتيب.⋀,⋁والرمزين

ومن هذا التوافق نستخلص بعض النتائج:x شبكة، عندئذ مهما تكن L لتكن نتائج:.1.4.6 , y , z ∊ L:فإن

~xxi~

i) :خاصة اللانموx⋁ x=x∧x⋀ x=x. ii)inf (x , y )=x⋀ y≤ x≤ x⋁ y=(x , y) ¿. ، مجموعة جميع المجموعاتP({1,2,3}): لنأخذ المجموعة مثال .1.4.7

1,2,3}الجزئية في المجموعة .⊇ مع عملية ترتيب هي عملية الاحتواء { تشكل شبكة، حيث:(⊇,P({1,2,3}))عندئذ المجوعة المرتبة

i nf (X ,Y )=X⋂Y ∧(X ,Y ) ¿ X⋃Y ;∀ X ,Y∈ P({1,2,3 })

وهي العنصر الأصغر والعنصر الأكبر فيها هوΦتحوي المجموعة الخالية 1,2,3}المجموعة }.

[5( ]Sublattice: ) الشبكة الجزئية.1.4.8L) لتكن ,⋀ مجموعة جزئية غير خالية. نقول إنM⊆L شبكة ولتكن (⋁,

M شبكة جزئية من L:إذا تحقق ∀ x , y ∊ M⇒ x ⋀ y=inf L ( x , y ) ∊ M∧x⋁ y=¿L(x , y)∊ M

P({1,2})⊆P({1,2,3: إن المجموعة مثال تشكل شبكة جزئية في الشبكة({(P({1,2,3}),⊆).

[5( ]Hasse Diagram: ) مخطط هاس.1.4.9 إن مخطط هاس هو تمثيل بياني للمجموعات المرتبة، يقوم على تمثيل

>xالعناصر بدوائر صغيرة، وإذا كان y نرسم y أعلى من xونصل بينهما >x<z حيث zبخط، بشرط عدم وجود عنصر y.

⋂,P({1,2,3})): مخطط هاس للشبكة مثال.1.4.10 موضح في الشكل(⋃,

أعلاه: { أو1{ لأنه يوجد خط بينهما يمر عبر }1,3 و }Φنلاحظ بأننا لم نصل بين

ϕ<{1}<{1,3{، أي أن 3} }.

~xxii~

: إن مخطط هاس الآتي يمثل مجموعة مرتبة ولكنها ليستمثال.1.4.11شبكة:

a)¿لأن ,b) غير موجود، حيث كل من c ,d حد أعلى للمجموعة {a , b ولكن{لا يوجد حد أعلى أصغري لها.

[5(]Lattices Homomorphism: ) تشاكل الشبكات.1.4.12f شبكتين وL وLلتكن :L→L تطبيقا من L في L نقول إن ،f تشاكلا شبكياi)f إذا حقق الشرطين الآتيين:L في Lمن ( x⋀ y )=f ( x )⋀ f ( y ) ;∀ x , y ∊ A. ii)f ( x⋁ y )= f ( x )⋁ f ( y );∀ x , y ∊ A.

هذا ويوجد أنواع من التشاكلات الشبكية كما في الحلقية بحسب نوعالتطبيق:

(،Monomorphism(، متباينا )Epimorphismإذ يكون التشاكل غامرا )≅L( وفي هذه الحالة نرمز Isomorphismأو تقابلا ويدعى تماثلا حلقيا ) L.

(، وإن كان التشاكل الداخلي تماثلا يدعى تماثلا ذاتيا )Endomorphism يدعى تشاكلا داخليا)Lأما إذا كان منطلق التشاكل ومستقره الشبكة ذاتها Automorphism.)

هناك العديد من الصفات التي تتميز بها بعض الشبكات مثل التوزيعيةوالمعيارية والتامة.....

قبل الحديث عنها سنبين بعض الخواص المحققة في جميع الشبكات: [5: ] مبرهنة مساعدة.1.4.13

L) لتكن ,⋀ x شبكة. عندئذ إذا كان (⋁, , y , z ∊ L:فإن y ≤ z⇒ x⋀ y≤ x⋀ z∧x⋁ y≤ x⋁ z

⋀x البرهان: بالنسبة للحالة الأولى ) y≤ x⋀ z )⋀x=xنعلم أن x وبما أن ،y ≤ z فإن y= y⋀ zومنه بحسب الخاصتين ،

التبديلية والتجميعية نجد: ~xxiii~

x⋀ y=(x⋀ x )⋀ ( y⋀ z )=(x⋀ y )⋀ (x ⋀ z ) ⋀xو بالتالي y≤ x⋀ z.

⋁xبالأسلوب ذاته نثبت الحالة الثانية y≤ x⋁ z.[5: ] مبرهنة.1.4.14

L) لتكن ,⋀ xشبكة من أجل أية عناصر (⋁, , y , z∊ Lتحقق متراجحتي التوزيع الآتيين:

i) x⋁ ( y ⋀ z )≤(x⋁ y )⋀ (x⋁ z)

ii) x⋀ ( y ⋁ z )≥(x ⋀ y )⋁ (x⋀ z)

البرهان:(i بما أن y⋀ z≤ yو y⋀ z≤ z(فإن:1.4.13 ، وبحسب ) x⋁ ( y ⋀ z )≤ x⋁ y و x⋁ ( y ⋀ z )≤ x⋁ z

⋁xهذا يعني أن ( y ⋀ z ⋁x حدا أدنى لكل من ( y و x⋁ z، ⋁xومنه ( y ⋀ z )≤(x ⋁ y )⋀ (x⋁ z).

(.iiبالأسلوب ذاته يتم برهان )[14: ] مبرهنة.1.4.15

L) في أية شبكة ,⋀ يتحقق الشرط الآتي:(⋁,x≤ z⇒ x⋁ ( y⋀ z)≤(x⋁ y)⋀ z( i`

⋁x البرهان: بما أن z=z⇐x ≤ z 1.4.14 وبحسب المبرهنة(i( يكون )i.)`

[14:] مبرهنة.1.4.16L) لتكن ,⋀ شبكة عندئذ العلاقتين الآتيتين متكافئتين: (⋁,

x⋀ ( y ⋁ z )=(x⋀ y )⋁ (x⋀ z );∀ x , y , z∊ L( Ix⋁ ( y ⋀ z )=(x⋁ y )⋀ (x⋁ z );∀ x , y , z∊ L( II

[14( ]Distributive Lattice ) الشبكة التوزيعية:.1.4.17L) نقول عن الشبكة ,⋀ إنها توزيعية إذا حققت أحد الشرطين(⋁,

.1.4.16المتكافئين في المبرهنة السابقة

[14( ]Modular Lattice ) الشبكة المعيارية:.1.4.18L) نقول عن الشبكة ,⋀ إنها معيارية إذا تحقق الشرط الآتي من أجل(⋁,

xأي عناصر , y , z∈L :x≤ z⇒ x⋁ ( y⋀ z)=(x⋁ y )⋀ z( I.`

~xxiv~

0

a

bc

1

محققة في1.4.15`( في المبرهنة i ملاحظة: بما أن متراجحة الشرط )L)أية شبكة ,⋀ ، فإنه يذكر في بعض المراجع شرط الشبكة المعيارية(⋁,

بالشكل الآتي: x≤ z⇒ x⋁ ( y⋀ z)≥(x⋁ y)⋀ z

[ كل شبكة توزيعية هي شبكة معيارية.14: ] نتيجة.1.4.19L) البرهان: لتكن ,⋀ x شبكة، ولتكن العناصر (⋁, , y , z∊ L حيث x≤ z:عندئذ

x⋀ z=z:ومنه ، x⋁ ( y ⋀ z )=(x⋁ y )⋀ (x ⋁ z )=(x⋁ y )⋀ z لأن( L)شبكة توزيعية

شبكة معيارية.Lبالتالي [14: ] مبرهنة.1.4.20

L)لتكن ,⋀ شبكة عندئذ:(⋁,i)Lشبكة معيارية إذا وفقط إذا لم تحو شبكة جزئية متماثلة مع الشبكة

الخماسية، الممثلة بمخطط هاس الآتي:

ii)Lشبكة توزيعية إذا وفقط إذا لم تحو شبكة جزئية متماثلة مع الشبكة

الماسية، الممثلة بمخطط هاس الآتي:

~xxv~

1

abc

0

g f

c

d

0

a

b

1

: لتكن لدينا الشبكة الممثلة بمخطط هاس الآتي: مثال.1.4.21

إن هذه الشبكة ليست معيارية )وبالتالي ليست توزيعية( لأنها تحوي الشبكة

0}الخماسية , a ,b , f ,1 كشبكة جزئية.{[5 ( ]Complete Lattice: ) الشبكة التامة.1.4.22

L) نقول عن الشبكة ,⋀ إنها شبكة تامة إذا وجد الحد الأعلى الأصغري(⋁, جزئية ) ليس بالضرورة منتهية ( غيرXوالحد الأدنى الأعظمي لأية مجموعة

.Lخالية في مع عملية ترتيب معرفة بالشكل:Z: لنأخذ مجموعة الأعداد الصحيحة مثال

x≤ y إذا وفقط إذا كان x∨ y أي أن( x يقسم y) تشكل شبكة تامة، إذ يكون الحد الأعلى¿إن المجموعة المرتبة جزئيا

yالأصغري لأي عنصرين , xمنها هو المضاعف المشترك الأصغر لهما، والحد الأدنى الأعظمي هو القاسم المشترك الأكبر لهما ، أي أن:

x⋀ y=g . c . d (x , y)∧x ⋁ y=l . c .m(x , y)

[5( ]Complement Element: ) العنصر المتمم.1.4.23L. إن العنصر المتمم لعنصر 1،0 شبكة تحوي العنصرين L لتكن ∍ xهو

Lعنصر ∍ y:بحيث x⋀ y=0 , x⋁ y=1

( إذا وجدComplemented Lattice إنها متممة)L نقول عن الشبكة .L عنصر متمم في Lلكل عنصر من

P(M. ولنأخذ المجموعة M: لتكن المجموعة مثال مجموعة جميع( مع عملية ترتيب هي عملية الاحتواءMالمجموعات الجزئية في المجموعة

P(M)، عندئذ المجوعة المرتبة ⊇ ) تشكل شبكة حيث:(⊇, i nf (X ,Y )=X⋂Y ∧(X ,Y ) ¿X⋃Y ;∀ X ,Y∈ P(M )

.M والعنصر الأكبر وهو المجموعة Φوتملك العنصر الأصغر وهو P(M تملك متمما في X⊆Mإن كل مجموعة جزئية M هو المجموعة ( ¿.

P(M)إذا الشبكة ) ,⋂ متممة.(⋃,

~xxvi~

[5: ] مبرهنة .1.4.24 فإن العنصر المتمم لكل1،0 توزيعية تحوي على L إذا كانت الشبكة

عنصر)إن وجد( وحيد.L البرهان: بفرض أن للعنصر ∍ x عنصرين متممين هما z , y:فيكون

y= y⋀1= y⋀ (x ⋁ z )=( y⋀ x )⋁ ( y ⋀ z )=0⋁ ( y⋀ z)= y⋀ z⇒ y ≤ z ≥zوبالأسلوب ذاته نجد y وبالتالي y=z.

[14( ]Boolean Algebra ) جبر بول:.1.4.25 إن جبر بول هو شبكة متممة توزيعية.

x متمم وحيد، سنرمز لهذا المتمم بـ xبما أنه في جبر بول لكل عنصر '.P(M): وجدنا أن الشبكة مثال ) ,⋂ متممة، وهي توزيعية لأن عمليتي(⋃,

تقاطع واجتماع المجموعات توزيعيتان، بالتالي هي جبر بول.⋂,P({1,2,3}))وكذلك الشبكة .M={1,2,3} هي جبر بول بأخذ (⋃,

[ 14:] مبرهنة.1.4.26x جبر بول عندئذ العلاقات الآتية محققة من أجل أي عنصرين Lليكن , y∈L:i)(x⋀ y )=x ⋁ y ii)(x⋁ y )=x ⋀ y iii)x ≥ y ⇔ x≤ y

ة.1.4.27 [14( ]Atom: ) الذرL شبكة تحوي الصفر عندئذ: ندعو العنصرL لتكن ∍ a ة في إذا كانL ذر

a≠0:ويحقق الشرط الآتي ≤aإذا كان x فإنه: إما x=a أو x=0.

[14( ]Atomic: ) الشبكة الذرية.1.4.28L) نقول عن الشبكة ,⋀ إنها ذرية إذا كان كل عنصر مختلف عن(⋁,

a.أي أن ) Lالصفر فيها يكتب على شكل اجتماع منته لذرات في i, ة ذر∀ x∈L⇒ x=¿ i=1¿nai.)

⋂,P({1,2,3})): وجدنا أن الشبكة مثال .ϕ تملك العنصر الأصغر وهو (⋃,اتها هي المجموعات الوحيدة العنصر ة ذر 1}إن هذه الشبكة ذري },{2},{3 }.

P({a): وجدنا أن الشبكة مثال ,b , c , d }) اتها هي المجموعات(⋃,⋂, ة ذر ذريa}وحيدة العنصر وهي }, {b },{c }, {d ولهذه الشبكة مخطط هاس الآتي:{

~xxvii~

ة.1.4.29 [5( ]Coatom: ) شبه الذرL". عندئذ نسمي العنصر 1 شبكة تحوي هذا العنصر الأكبر "L لتكن ∍ a ويحقق الشرط الآتي:a≠1 إذا كان Lة في شبه ذر≥aإذا كان x عندئذ إما x=a أو x=1.

⋂,P({1,2,3})): وجدنا أن الشبكة مثال تملك العنصر الأكبر وهو(⋃,1,2,3}المجموعة ات في هذه الشبكة هي المجموعات{ ، إن أشباه الذر

1,2}الثنائية العنصر },{1,3 },{2,3 }.

الفصل الثانيشبكات الأسس

2.

~xxviii~

[4(]Radical & Radical class:) الأساس وصف الأساس.2.1 صف جميع الحلقات التبديلية. إن جميع الحلقات المدروسة هنا𝒜 ليكن

وجميع صفوف الحلقات مغلقة بالنسبة للتشاكلات𝒜هي حلقات من الصف .𝒜المختارة للصفوف الجزئية من

: تعريف.2.1.1α بفرض : A→A تطبيقا من الصف𝒜 في نفسه بحيث تقابل كل حلقة A

α بالمثالي 𝒜من (A) من𝒜:عندئذ α ( إذا كانت α– ideal- مثالي ) α نسميه A من الحلقة I* المثالي (I)=I. إذاA ( للحلقة α– radical- أساس ) α نسميه A من الحلقة J * المثالي

.A- مثالي في الحلقة α أكبر Jكان

: : الأساس ف تعري.2.1.2α التطبيق : A→A نسميه أساسا في الصف 𝒜،إذا حقق الشروط الآتية

∈Aوذلك مهما تكن A , A:i) من أجل أي تشاكل حلقيφ : A→A يكون α (φ (A ))⊆φ(α(A)). ii) في أية حلقة اختياريةA المثالي ،α (A) يكون α أساسا للحلقة -A.iii) مهما تكن الحلقةA فإن α ( A

φ (A ) )=0.

: تعاريف.2.1.3α ليكن : A→A أساسا اختياريا في الصف 𝒜:عندئذ

α ( إذا كان α– ring- حلقة ) α نسميها Aالحلقة * (A)=A. ( إذا كانα– semisimple- نصف بسيطة ) α نسميها حلقة Aالحلقة *

α (A)=0.R(α- حلقة سنرمز له بالرمز αصف جميع الحلقات التي لها الشكل * ). - نصف بسيطة سنرمز لهαوصف جميع الحلقات التي لها الشكل *

.P(α)بالرمز

فإن الحلقة المبتذلةα نستنتج من هذا التعريف أنه مهما يكن الأساس - نصف بسيطة معا، أي أنα-حلقة وαهي الحلقة الوحيدة التي تكون

R(α)⋂P(α )=0.

~xxix~

( إذا كان:Radical Class of Rings من الحلقات نسميه صفا أساس ) ℛإن الصف * R=R (α محدد.α من أجل أساس (

( إذا كان:Semisimple Class من الحلقات نسميه صف نصف بسيط )𝒫والصف * P=P (α محدد.α من أجل أساس (

α إن الأساس : A→Aيكون محددا بشكل دقيق ووحيد من خلال كل ، وبالتالي من أجل تعيين أساس يكفي أن نحدد صفP(α) و R(α)من

الأساس له أو صف نصف البسيط المتعلق به.

يمكن ترتيب، كل من صفوف الأسس للحلقات وصفوف الحلقاتنصف البسيطة، جزئيا بعلاقة ترتيب الاحتواء كما يأتي:

γمن أجل أي أساسين ,α فإن R(α )⊆R(γ إذا وفقط إذا كان(P(γ )⊆P(α).

ومنه أيضا نضع: α≤ γ⇔R(α )⊆R (γ )⇔P (γ )⊆P(α ).

صفات الأسس:.2.2

تتميز الأسس بصفات وخواص متنوعة بحسب أنواع الحلقات التيتحويها وعلاقتها بصفوف الحلقات المختلفة.

وفي هذا السياق نذكر هذه المبرهنة الهامة الآتية حول صفوف الأسس:

[1:] مبرهنة.2.2.1 هو صف أساس إذا وفقط إذا كان:ℛ صف الحلقات

i)ℛ.صفا مغلقا تشاكليا ii)ℛ.يحقق خاصة الاستقراء iii)ℛ.مغلقا بالنسبة للتمديد

ومن هذه المبرهنة نحصل على النتيجتين الآتيتين:

[1 ] : نتيجة.2.2.2αi} إذا كان : i∊ N ¿ أسرة أسس فإن الصف{ i∈N R (α i)يكون أيضا صف

~xxx~

( نسميه الأساس المرافق لهذه الأسرة، وسنرمزradical classأساس )¿له i∈N αi :أي أن ، R (¿ i∈N αi )=¿ i∈N R(αi)

[1 ] نتيجة:.2.2.3 بحيث إنα من الحلقات يوجد أصغر أساس ℳ من أجل أي صف اختياري

M⊆R (α R(α ويكون ( .ℳ مساويا لتقاطع جميع صفوف الأسس التي تحوي (دا بالصف أساسا أدنىنسمي هذا الأساس .lM سنرمز له ℳ (The Lower Radical of Class ℳ) مول

.lA نرمز له lM فقط فإن A مؤلفا من حلقة واحدة Mإذا كان الصف حول الصفوف نصف2.2.1 ونذكر أيضا مبرهنة مشابهة للمبرهنة

البسيطة.

[15:] مبرهنة.2.2.4 صفا نصف بسيط إذا وفقط إذا كان:𝒫 يكون صف الحلقات

i)𝒫.ثا للمثاليات مغلقا بالنسبة للمجموع المباشر. iii)𝒫 مغلقا بالنسبة للتمديد.ii)𝒫 صفا مور من هذه المبرهنة نحصل على النتيجة الآتية:

[15 ] نتيجة:.2.2.5 - نصف البسيطة )تنتميα إن الجزء المشترك من أية أسرة من الحلقات

منℳ(هو أيضا صف نصف بسيط. بالتالي من أجل أي صف 𝒫للصف الحلقات يوجد أصغر صف .ℳ يحوي الصف المعطى 𝒫 نصف بسيط من ا

(The Upper Radical of Class ℳ: ) تعريف الأساس الأعلى.2.2.6[15]

هو أكبر أساسℳ المرافق للصف α الأساس ويكون، M⊆P(α) بحيث أن اP(α) مساويا لتقاطع جميع الصفوف نصف البسيطة التي تحوي ℳ.هذا

، ونرمزℳالأساس نسميه الأساس الأعلى المعرف من خلال صف الحلقات Uلهذا الأساس M.

من هذا التعريف نحصل على النتيجة الآتية:

[15: ] نتيجة.2.2.7 صفℳ ليكن من الحلقات عندئذ:ا

~xxxi~

i) جميع حلقات الصفM هي UM نصف بسيطة، ومنه هي -𝛾نصف - γبسيطة مهما يكن الأساس ≤U M. ii) إنM⋂R(U M M⋂R(U، لأن 0=( M )⊆P(U M )⋂R(U M )=0.

[1: ] مبرهنة.2.2.8 صفℳ إذا كان نظاميا U من الحلقات، يوجد عندئذ أساس أعلى ا Mمعرف ،ℳمن خلال U تكون Aوالحلقة M حلقة إذا وفقط إذا كانت الحلقة –Aلا يمكن نقلها

، أي أن:ℳتشاكليا إلى حلقة غير صفرية من الصف R(U M )={A :M في ية صفر غير تشاكلية صورة تملك Aلا }

α=U يكون αومن أجل كل أساس P (α).

[4(]Hereditary Radical:) تعريف الأساس المورث.2.2.9ث إذا كان صف الأساس المرافق له α نقول عن أساس R(α إنه مور )

ثا. مور

[1: ] مبرهنة.2.2.10ث إذا وفقط إذا كان α إن الأساس يحقق أحد الشرطينα هو أساس مور

الآتيين المتكافئين:i) من أجل كل مثاليI للحلقة A يكون α (I )=I⋂α (A). ii)P(α).مغلق بالنسبة للتمديد الجوهري

[4 ]: فوق معدومي القوة الأساس تعريف صف الأساس و.2.2.11 ( Overnilpotent Radical Class & Overnilpotent Radical )

ثا واحتوى علىفوق معدوم القوة صف أساس إنه نقول عن ، إذا كان مور )الحلقات المعرف عليها الضرب الصفري(.Z0صفر- الحلقات صف

ونقول عن أساس إنه فوق معدوم القوة إذا كان صفه الأساس كذلك.

[4:] نتيجة.2.2.12 بما أن صفوف الأسس مغلقة بالنسبة للتمديد، ومن كون صف الحلقات

ثا،Z0صفر- الحلقات معدومة القوة يحوي على صف ، بالإضافة لكونه مور من الواضح أن كل صف أساس فوق معدوم القوة يحوي صف جميعف

(.Nilpotent Ringsالحلقات معدومة القوة )

~xxxii~

[4 ]: الجزئي الجامد الأساس صف الأساس و تعريف.2.2.13 (Subidempotent Radical Class & Subidempotent Radical )

ثا ومؤلفا من كل صف أساس جزئيا جامدانسمي ، إذا كان مورحلقات جامدة.

ونقول عن أساس إنه أساس جزئي جامد، إذا كان صفه الأساسكذلك.

[4:] مبرهنة.2.2.14ة، عندئذ العبارات الآتية متكافئة: صف من الحلقات نصف الأوليℳليكن

i)I⊲ A , I∈M ,annA I=0⇒ A∈M. ii)I⊲ A , I∈M ,⇒ AannA I

∈M.iii)ℳ.مغلق بالنسبة للتمديد الجوهري

، فإن هذه المبرهنة أولية هي حلقة نصف أولية ملاحظة: بما أن كل حلقةصحيحة أيضا على صف من الحلقات الأولية.

[4(]Weakly Special Class: ) تعريف:الصف الخاص الضعيف.2.2.15 من الحلقات نصف الأولية إنه صف خاص ضعيف إذاℳ نقول عن الصف

ثا ويحقق أحد الشروط المتكافئة الواردة في المبرهنة السابقة ) كان مور2.2.14.)

[4:] مبرهنة.2.2.16α=U صفا خاصا ضعيفا عندئذ يكون أساسه الأعلى ℳ ليكن Mفوق معدوم

القوة. ويكون كل أساس فوق معدوم القوة هو أساس أعلى لصف خاصضعيف.

[4(]Special Class: ) تعريف:الصف الخاص.2.2.17 إنه صف خاص إذاℳنقول عن الصف صفا من الحلقات الأولية، ℳ ليكن

ثا ويحقق أحد الشروط المتكافئة الواردة في المبرهنة ) (.2.2.14كان مور

[4(]Special Radical ) تعريف:الأساس الخاص:.2.2.18α=U أساسا خاصا، إذا كان α نسمي الأساس Mوذلك من أجل صف

.ℳخاص

[4: ] مبرهنة.2.2.19، عندئذ العبارتين الآتيتين متكافئتين: صف من الحلقات الأوليةℳ ليكن

~xxxiii~

i)ℳ.مغلق بالنسبة للتمديد الجوهري ii) إذا كانIمثالي ∈M وكانA غير صفري أولي للحلقة ا I فإن ،M∋ A.أيضا

[4: ] مبرهنة.2.2.20 صفℳ ليكن صفا خاصا إذاℳعندئذ يكون الصف من الحلقات الأولية، ا

مثاليI الآتي: إذا كان حقق الشرط وكانA غير صفري أولي من الحلقة اM∋ I فإن M∋ A.أيضا

.2.2.19 البرهان: واضح من تعريف الصف الخاص والمبرهنة

[4: ] نتيجة.2.2.21 إن كل صف خاص هو صف خاص ضعيف، بالتالي كل أساس خاص هو

ث. أساس فوق معدوم القوة ومور البرهان: واضح من تعريفي كل من الصف الخاص والصف الخاص

الضعيف.

أشهر الأسس:.2.3 درس الكثير من الباحثين منذ بدء البحث في مفهوم الأسس وصفوف

الأسس العديد منها، وسنعرض أبرز هذه الأسس وأكثرها انتشاراواستخداما.

[4(]Köthe's Nil Radical:) أساس كوث المعدوم.2.3.1 ،𝒩(، ويرمز له 1930 يعد أساس كوث المعدوم أول أساس مدروس )

{ حلقة معدومة Aوهو معرف بصف الأساس المرافق له كما يلي: ℛ(𝒩) = {A.

~xxxiv~

i)[ 4: ] مبرهنةR(Nإن الصف من الحلقات هو صف أساس.(

R(N البرهان: من الواضح أن مغلق تشاكليا ويحقق خاصة الاستقراء.(⊳I و Aلإثبات أنه مغلق بالنسبة للتمديد نأخذ حلقة اختيارية A بحيث أن I

R(N، ولنبرهن أن ℛ(𝒩) تنتميان إلى AIو )∋ A.∋aمن أجل أي عنصر A عندئذ a=a+ Iهو عنصر معدوم القوة لأن

AI∈R (N ∋an، أي أن ( I من أجل عدد طبيعي معين n>1 ولكن المثالي ،I

I∈Rمعدوم لأن (N k>1 عنصر معدوم القوة، أي يوجد عدد طبيعي an، إذا (an)بحيث )k=0 عندئذ ،ank=0 ، أيa ومنه أيضا، القوة حلقة Aمعدوم

.ℛ(𝒩) تنتمي إلى A معدومة،إذا

A البنية köthe لقد درس N (A)[ وهي حلقة لا تملك مثاليات8 في ]

Nمعدومة، وحتما جميع عناصر (A)معدومة القوة وبالتالي هي جذور Köthe لذلك أطلق radixللصفر، وبما أن الاسم اللاتيني لكلمة جذر هو

Nعلى (A)( اسم radical of A أساس الحلقة )A.ii)[4: ] مبرهنة

ث قوي، وبالتالي إن أساس كوث المعدوم هو أساس مورث وأساس مورهو أساس فوق معدوم القوة.

حلقةB-حلقة، ولتكن N هي A حلقة معدومة، أي أن A البرهان: لتكن -حلقة،N هي B حلقة معدومة أيضا أي أن B، عندئذ Aجزئية في الحلقة

ث قوي ومنه هو أساس مورث. وبالتالي أساس كوث أساس مور أما بالنسبة لكونه أساسا فوق معدوم القوة فذلك لأنه مورث ولأن

Z0⊆R(Nكل صفر-حلقة هي حلقة معدومة، أي أن ).

iii)[4: ] مبرهنةإن أساس كوث المعدوم هو أساس خاص.

[4( ]Jacobson Radical: ) أساس جاكبسون.2.3.2 يعتبر أساس جاكبسون أكثر الأسس انتشارا، وأهمها منذ البدء بدراسة

.𝒥بنى الحلقات الجبرية، ويرمز له A)لتعريف هذا الأساس نأخذ الحلقة ,+, ونعرف فيها عملية ثنائية أخرى،(∙

، بالشكل الآتي:∘نرمز لها a∘b=a+b−ab ∀a ,b ∊ A

~xxxv~

من أجل كلa=a∘0=a∘0 نجد مباشرة أن هذه العملية تجميعية، وأيضا A ∍ a بالتالي .(A , ، ولكي تكون زمرة يكفي0 نصف زمرة مع عنصر حيادي (

نظيرا فيها.Aأن نثبت أنه يوجد لكل عنصر من يعرف بصف الأساس المرافق له كما يلي:𝒥ومنه أساس جاكبسون

R(J )={A : A)زمرة ,∘)}i)[4: ] مبرهنة

R(Jإن الصف هو صف أساس.( مغلق تشاكليا ويحقق خاصة الاستقراء.ℛ(𝒥) البرهان: من الواضح أن

⊳I وAلإثبات أنه مغلق بالنسبة للتمديد لتكن الحلقة A بحيث Iو AI

R(Jتنتميان إلى R(J، ولنبرهن أن ( )∋ A.aليكن ϵ A/ I عندئذ يوجد ،x ϵ A /Iبحيث x∘a=0 لأن ( A

I, زمرة، ومنه(

x∘a∈ I وبما أن ،(I , I زمرة يوجد ( ∍ y بحيث y ∘(x∘a)=( y∘x )∘a=0 A)وبالتالي , R(J تنتمي إلى A زمرة، إذا ( ).

ii)[4: ] مبرهنةث. 𝒥إن الأساس هو أساس مور

⊳I- حلقة و𝒥 هي A البرهان: لتكن A إذا كان .a ∊ I فإن a ∊ Aوبالتالي ، xيوجد ∊ A بحيث a+x−ax=0 عندئذ x=−a+ax ∊ I أي أن ،I أيضا 𝒥.حلقة –

ن ذلك:𝒥إن أساس جاكبسون ثا قويا، وسنورد مثالا يبي ليس أساسا مور

iii)لنأخذ المجموعة مثال :J={ 2x2 y+1

; x , y∈Z ,g .c . d (2 x ,2 y+1 أي أن{1=(J.مجموعة جميع الأعداد الكسرية ذات بسط زوجي ومقام فردي

J) – حلقة أي لنبرهن أن 𝒥 حلقة، لنتأكد أنها Jواضح أن , زمرة.(=aليكن 2x

2 y+1∈J إن المعادلة ،a∘b=a+b−ab=0

تملك الحل b= a

a−1= 2 x

2(x− y−1)+1∈ J

J)وبالتالي , زمرة.(2Z)لنأخذ الآن حلقة الأعداد الزوجية ,+, ، والتي هي حلقة جزئية في(∙

(J ,+, a=a يكتب بالشكل a لأن كل عدد زوجي (∙ 2Z ، ولكن هل y=0 بأخذ 1

~xxxvi~

– حلقة؟ 𝒥هي =bإن العلاقة a

a−1∈2Z 0محققة فقط عندما=a=b أو a=2أي أن ،

(2Z , –حلقة.𝒥 ليست 2Z ليست زمرة، وهذا بدوره يعني أن (iv)[4: ] مبرهنة

هو أساس فوق معدوم القوة.𝒥إن الأساسث يكفي إثبات أن كل صفر– حلقة هي 𝒥 البرهان: بما أن –𝒥 مور

حلقة. ∀ Aϵ Z0∧∀a ,−a∈ A⇒ a∘−a=a+(−a)+0=0 هو أساس فوق معدوم القوة.𝒥وبالتالي

v)[ 4:] مبرهنة هو أساس خاص. 𝒥إن الأساس

ير )الأساس الأولي(.2.3.3 (Baer Radical: ) أساس بين أن صف الحلقات معدومة القوة ليس ير سنبي قبل تعريف أساس بي صف أساس، رغم أن هذا الصف يحقق شرطي الإغلاق بالنسبة للتشاكل

والإغلاق بالنسبة للتمديد.i)[4: ] مبرهنة

إن صف الحلقات معدومة القوة لا يحقق خاصة الاستقراء، فهو ليسصف أساس.

T البرهان: لنأخذ الحلقة nحلقة المصفوفات المثلثية العليا من القياس n×n فوق الحلقة Q:حلقة الأعداد العادية( أي(

T n={(aij ): aij∈Q;i ≥ jمنأجلa ij=0 }

T إن n≥2نلاحظ أنه من أجل n هي حلقة معدومة القوة درجة انعدامها n، T)أي أن n )

n=0 ولكن (T n )n+ 1≠0.

A=⊕n=2لنأخذ الآن المجموع المباشر ∞ (T n) توجد عندئذ في الحلقة .A

سلسلة صاعدة من المثاليات T 1⊂T 2⊕T 3⊂…⊂⊕n=2

k (T n)⊂… ∞¿A=¿k=2حيث (⊕n=2

k (Tn))هو اجتماع عناصر هذه السلسلة، وكل عنصر n=2⊕)من هذه السلسلة معدوم القوة لأن

k (T n))k=0.

ليست معدومة القوة، إذا صف جميع الحلقات معدومةAولكن الحلقة القوة ليس صف أساس.

~xxxvii~

ii)[4: ] تعريفر بأنه الأساس الأدنى لصف جميع الحلقات معدومة يعرف أساس بيي

.𝛽القوة. ويرمز له بالرمز iii)[4: ] مبرهنة

ير هو إن صف جميع صفر- الحلقات ليس صف أساس، وإن أساس بي .β=lZ0الأساس الأدنى لصف جميع صفر- الحلقات،

iv)[ 4: ] مبرهنةا( فإن أساسه الأدنى ℳ إذا كان ثا قوي ثا )مور lM صف حلقات مور

مورث )مورث قوي( أيضا.

v)[4: ] نتيجة هو أساس مورث قوي. 𝛽إن الأساس

البرهان: بما أن صف الحلقات معدومة القوة هو صف مورث قوي،ر بأنه الأساس الأدنى لصف جميع الحلقات معدومة ومن تعريف أساس بيي

هو أساس مورث قوي.𝛽( أن الأساس ivالقوة، نجد بحسب المبرهنة )

vi)[4: ] نتيجة هو أساس فوق معدوم القوة. 𝛽إن الأساس

(.v( و )iv البرهان: واضح مباشرة من المبرهنتين السابقتين )

vii):[4] مبرهنةير π إن الأساس الأعلى لصف جميع الحلقات الأولية ،𝛽 هو أساس بي

β=Uأي π كما أن صف جميع الحلقات الأولية .π .هو صف خاص ير هو أساس خاص، وذلك لأن 𝛽نستنتج من هذه المبرهنة أن أساس بي

β=U πوالصف π.خاص

[4( ]Levitzki Radical: ) أساس ليڤيتزكي.2.3.4 إن أساس ليڤيتزكي يقوم على الحلقات معدومة القوة محليا، مع ملاحظة أن كل حلقة معدومة القوة أو حلقة معدومة هي حلقة معدومة القوة محليا،

ولكن العكس ليس بالضرورة صحيحا، لنبين ذلك في المثال الآتي:

i)لنعرف الحلقة مثال :A 2.3.3 كما في المبرهنة(iمن أجل أي ،) a1} أو أية مجموعة جزئية منتهية A∋aعنصر ,a2 ,…,an}⊂ Aفإن هذه ،

a1}المجموعة ,a2 ,…,an} محتواة في المجموع المباشر ⊕n=2∞ (T n)من أجل

~xxxviii~

هي حلقة معدومة القوة محليا ولكنها ليستA، وبالتالي kعدد ما معدومة القوة.

ii)[4: ] تعريفف أساس ليڤيتزكي بصف الأساس المرافق له ويرمز له كماℒ يعر

يلي: A حلقة معدومة القوة محليا}ℛ(ℒ) = {Aiii) [4: ]مبرهنة

هو صف أساس.ℛ(ℒ)إن الصف مغلق تشاكليا و يحقق خاصةℛ(ℒ) البرهان: واضح أن الصف

الاستقراء، لنبرهن أنه مغلق بالنسبة للتمديد.⊳I و المثالي Aلنأخذ الحلقة A بحيث أن I , A

I∈R (L).

a1} مولدة بمجموعة منتهية A مجموعة جزئية في Sلتكن ,a2 ,…,an}عندئذ ، +a1}تكون مجموعة الصفوف المرافقة I , a2+ I ,…,an+ I S مولدة لمجموعة {

Aجزئية في I ومنه نجد أن ،S معدومة القوة لأن A

I∈R (L)وبالتالي يوجد ،

⊇Sk أي أن Sk=0 حيث k≥1عدد ما I ولكن المجموعة .Skمنتهية التوليد aوذلك بمجموعة جميع الجداءات i1ai2…aik لـ kعنصر من المجموعة

{a1 ,a2 ,…,an} وبما أن ،I∈R (L) فإن Sk 1 معدومة القوة، أي يوجد عدد≤l Sk)حيث ) l=Skl=0 ومنه ،S مجموعة معدومة القوة وبالتالي A∈R(L).

iv)[4:] مبرهنةث قوي، وهو أساس فوق معدوم إن أساس ليڤيتزكي هو أساس مور

القوة وخاص.

( Von Neumann Regular Radical: ) أساس نيومان النظامي.2.3.5

i)[4:] تعريفف أساس نيومان النظامي بصف الأساس المرافق له ويرمز له ν يعر

كما يلي: R(ν)={A : نظامية حلقة A }

ii)[ إن الصف 4: ] مبرهنةR(ν).هو صف أساس مغلق تشاكليا و يحقق خاصةR(ν) البرهان: واضح أن الصف

الاستقراء، لنبرهن أنه مغلق بالنسبة للتمديد.

~xxxix~

⊳I والمثالي Aلنأخذ الحلقة A بحيث إن I , AI∈R (ν ، عندئذ نحصل على(

الآتي: ∀a∈ A⇒ a∈ A

I

⇒∃ b+ I∈ AI; (a+ I ) (b+ I ) (a+ I )=a+ I

⇒ aba+ I=a+ I⇒ a−aba∈ I∈R (ν ) ⇒∃ c∈ I : (a−aba ) c (a−aba )=a−aba

⇒ a=aba+ (ac−abac ) (a−aba ) ¿aba+aca−acaba−abaca+abacaba

¿a (b+c−cab−bac+bacab )a=ada ;d∈ AA∈R حلقة نظامية، أي أن Aوبالتالي ( ν R، ومنه الصف ( (ν .صف أساس ( iii) [4: ]مبرهنة

ث.ν إن الأساس هو أساس مور⊲A- حلقة وν هي A البرهان: لتكن I إذا كان .a ∊ I فإن a ∊ Aوبالتالي

xيوجد ∊ A بحيث a=axa:عندئذ a=axa=ax (axa)=a(xax )a

∋xaxوبما أن I أي أن ،I أيضا حلقة نظامية وبالتالي ν.حلقة – iv)[4: ] مبرهنةهو أساس جزئي جامد.v إن الأساس

ث، يكفي برهان أن كل ν البرهان: بما أن - حلقة هي حلقةν أساس مورجامدة؛∋a- حلقة، وليكن ν هي Aلتكن A عندئذ a∈aAa لأن Aنظامية، وبالتالي

A⊆A3⊆A أي أن A.حلقة جامدة وهو المطلوب

v)[4: ] مبرهنةRإن صف الأساس (ν يحقق الخاصتين الآتيتين: (

R( الصف 1 (ν لا يضم أية حلقة معدومة. (Rالصف ( 2 (ν M يحوي كل حلقة مصفوفات ( n(D) فوق حلقة قسمة D.

البرهان: R حلقة معدومة من الصف A≠0( لتكن 1 (ν A∋a≠0عندئذ يوجد عنصر (

أي أن:A عنصر نظامي في aحيث a=aba ;b∈ A ⇒ ab=(ab)2=…=(ab)n=…∧0≠ab∈ A

~xl~

، ولكن أي عنصر غير صفري جامدA هو عنصر جامد من الحلقة abومنه معدومةAلا يمكن أن يكون معدوم القوة، وهذا تناقض مع كون الحلقة

)جميع عناصرها معدومة القوة(.Rبالتالي الصف (ν لا يضم حلقات معدومة.(

M( لتكن 2 n(D) حلقة مصفوفات فوق حلقة قسمة Dولنأخذ عنصرا غير ، Mصفري n(D)∋a عندئذ ،a هو تحويل خطي لفضاء شعاعي V n ذو nبعد -

.Dفوق الحلقة a}لتكن y1, a y2 ,…,a ym V قاعدة لصورة الفضاء { n وفق التحويل aإذا كان ، v∈V عندئذ av يكتب بشكل تركيب خطي لـ a y1 , a y2,…,a ym:وبالتالي

ker (a)⋃ {a y1 , a y2 ,…,a ym V هو طيف لـ { n بمعنى كل عنصر من( V nيكتب a}بشكل تركيب خطي لعناصر الطيف(، وبما أن y1 , a y2 ,…,a ym مجموعة{

Vمستقلة خطيا )أي يمكن أن تمدد إلى قاعدة لـ nإذا يوجد تحويل ،) بحيث:xخطي

xa y i= y i من أجل i=1,2 ,…,m axa ومنه y i=a y i من أجل i=1,2 ,…,m

∋uبأخذ ker (a) يكون axa=a ومنه M n(D) هي ν.حلقة-

ثة و لكن ليس نلاحظ أن جميع الأسس التي ذكرت هي أسس مور بالضرورة أن تكون جميع الأسس كذلك، وسنورد الآن مثالا لأساس غير

ث... مور

OT صف جميع الحلقات الجامدة )غير النامية(. إن OT: ليكن مثال.2.3.6ث. صف أساس ولكنه غير مور

صف أساس.OT أولا: لنثبت أن من أجل ذلك نأخذ صف جميع صفر- الحلقات الذي هو صف مورث فهو

U يملك أساسا أعلى 2.2.8أيضا نظامي، بالتالي بحسب المبرهنة Z0:بحيث R(U Z0)={A :Z0 في تشاكلية صورة تملك لا A }

ن أن TD=Rلنبي (UZ0) أي أن صف الحلقات الجامدة ،TDيساوي صف .Z0الأساس المرافق للأساس الأعلى لصف صفر- الحلقات

∈TDلتكن الحلقة A أي أن ،A2=A ومنه ،Aلا تملك صورة تشاكلية تكون TD⊆R ومنه A∈R(UZ0)صفر-حلقة، بالتالي (UZ0)( I.)

R(Uبالعكس لتكن الحلقة Z0)∋ A ومنه A هي U Z0:حلقة أي أن - A=UZ0(A)

¿⋂ {I :0≠ I⊲ A , U−حلقة Z0 هو I } U لا تملك مثاليا خاصا غير صفري يكون Aإذا الحلقة Z0حلقة، وهذا بدوره -

~xli~

)إن وجد( هو صورة تشاكلية لصفرAيعني أن أي مثالي غير صفري في حلقة.

فإنه: A2⊲Aبما أن كون A2=0إما مع تناقض Uهي Aوهذا Z0- حلقة )لأنه في هذه الحالة تكونA

هي صفر-حلقة(. ≠Aأو A2≠0 وبالتالي A2 وبالتالي هي صورة تشاكلية لصفر حلقة A4=0وهذا،

U هي Aأيضا تناقض مع كون Z0.حلقة-∈TD أي أن A2=Aومنه نجد أن A إذا R(U Z0)⊆TD( II)

R(U( نجد أن II( و )Iمن ) Z0)=TD وبالتالي TD.صف أساس ثانيا: لنبين أنه غير مورث.

وهي حلقة جامدة، أي أنZ من أجل ذلك نأخذ حلقة الأعداد الصحيحة Z∈OT إذا ،Z2=Z 2، ولكن المثاليZ هي الحلقة Zليس كذلك، وذلك لأنه لا

2Z)، أي أن 2يوجد عددان زوجيان جداؤهما يساوي )2≠2Z 2∋2 لأنZولكن 2∉ (2Z )2.

ومنه نستنتج أيضا أن صف جميع الحلقات الجامدة رغم أنه صف أساس ولهذا السبب أطلقت على الأسسولكنه ليس صف أساس جزئيا جامدا،

الجزئية الجامدة صفة الجزئية.

(Antisimple Radical: ) الأساس غير البسيط.2.3.7

i)[ 4:] تعريف إن الأساس الأعلى لصف جميع الحلقات غير القابلة للتحليل المباشر

.βφ( ويرمز له antisimple radicalوالتي تملك لبا معدوم القوة يدعى الأساس غير البسيط ) -𝛽𝜑: إن سبب تسمية الأساس غير البسيط بهذا الاسم هو أن كل ملاحظة

حلقة لا يمكن نقلها تشاكليا إلى حلقة غير صفرية بسيطة معدومة القوة.

ii)[4:] مبرهنةث.𝛽𝜑 إن الأساس غير البسيط هو أساس فوق معدوم القوة، فهو مور

iii)[4:] مبرهنة هو أساس خاص.𝛽𝜑 إن الأساس غير البسيط

[ أن العناصر غير الصفرية الجامدة من لب3 من المعلوم في ] البرهان: تشكل حلقة بسيطة، وبالتالي صف جميع الحلقات غير القابلةAالحلقة

~xlii~

للتحليل المباشر والتي تملك لبا معدوم القوة يكون صفا خاصا، ومنه أساس خاص وذلك لأنه أساس أعلى لصف خاصβφالأساس غير البسيط

من الحلقات.

أيضا نلاحظ أن الأسس التي ذكرت هي أسس فوق معدومة القوة، وهي أسس خاصة أيضا في آن واحد، ولكن ليس بالضرورة أن تكون

جميع الأسس كذلك. سوف نورد المثال الآتي لأساس فوق معدوم القوةولكنه ليس أساسا خاصا، وذلك بعد أن نذكر في البدء المبرهنتين الآتيتين:

[1:] مبرهنة .2.3.8π، فإن α من أجل أي أساس مورث (α )=π⋂P(α صف جميع الحلقات(

- نصف بسيطة، يكون صفا خاصا، ويكون أكبر صفαالأولية خاصا محتوىاU، وبالتالي الأساس P(α)في π (α هو أصغر أساس خاص يعلو الأساس(

.αالمعطى

[1:] مبرهنة .2.3.9α=U هو أساس خاص إذا وفقط إذا كانα الأساس المورث π (α)=U π⋂ P(α).

: مثال.2.3.10لنأخذ صف الحلقات الآتي:

K= { بوليانية حلقة A :0≠ I⊲A⇒ منته غير I }. غير خال.K أولا: لنبرهن أن الصف

من أجل ذلك نشكل فضاء شعاعيا قابلا للعد )بمعنى يوجد تقابل بينه وبين فوق الحقل المكون منVمجموعة الأعداد الطبيعية( غير منته التوليد

e}عنصرين مع القاعدة λ ; λ∈Q بالشكل V، ونعرف الضرب على { e λeμ=emax ( λ, μ)

r=eλ من أجل أي عنصر 1+eλ2

+…+eλn∈V r2=eλ1نجد أن

+3e λ2+…+(2n−1 ) eλn=eλ1

+eλ2+…+eλn=r

حلقة بوليانية.Vوبالتالي ≠0لنأخذ الآن مثالي I⊲V وليكن ،i=eμ1

+eμ2+…+eμn∈ I.عنصرا غير صفري

≥μn عددا فرديا عندئذ من أجل nإذا كان λ 2 )وبما أنeλ=0 لأن Vحلقة بوليانية( نحصل على

e λ=neλ=eλ+eλ+…+eλ⏟مرة n

=eμ1eλ+eμ2

eλ+…+eμneλ=i eλ∈ I غير منته.Iوبالتالي

نحصل علىμn−1≤λ<μn عددا زوجيا عندئذ من أجل nأما إذا كان e λ+eμn=0+eλ+eμn= (n−2 ) eλ+eλ+eμn=i eλ∈ I

~xliii~

.K∋V غير منته، ومن ثم Iأي أنه أيضا في هذه الحالة ن الآن أن صف خاص ضعيف.K ثانيا: لنبي

هو صفK مؤلف من حلقات نصف أولية وأن Kمن السهل ملاحظة أن مورث

(K⊲ I⊲A∈K⇒K⊲A لأن أي مثالي في الحلقة Aهو جامد(، بقي أن نبرهن الإغلاق بالنسبة للتمديد الجوهري.

⊳Iبفرض ⋅ A وبفرض I∈ Kبما أن كل حلقة بوليانية هي مجموع مباشر . جزئي من صور للحقل المؤلف من عنصرين، إذا فإن الحلقات البوليانية

تشكل الصف نصف البسيط للأساس الأعلى للحقل المؤلف من عنصرين، وبما أن هذا الأساس هو أساس خاص فإن صفه نصف البسيط مغلق

حلقة بوليانية.A، أي أن 2.2.10بالنسبة للتمديد الجوهري بحسب المبرهنة ≠0ومن أجل أي مثالي K⊲ A 0 نجد≠ I⋂K⊲ I∈K وبالتالي ،I⋂K،غير منته

هو صف خاصK. مما تقدم نستنتج أن A∈K غير منته، أي أن Kومنه Uضعيف، وبالتالي K 2.2.16 هو أساس فوق معدوم القوة بحسب المبرهنة.ن أن ليس صفا خاصا:K ثالثا: لنبيUلنفرض جدلا أن K 2.3.9 أساس خاص، فيكون بحسب المبرهنة

U K=U (P (U K )⋂π ) في ضوء ما ورد سابقا عن تمثيل الحلقات البوليانية كمجموع مباشر جزئي، نجد أن الحلقة البوليانية الأولية الوحيدة هي الحقل ذو العنصرين، وهو ليس

U ولكنه ينتمي إلى Kفي K وبالتالي ،P (U K )⋂π.خالية، وهذا تناقض U ليس صفا خاصا وبالتالي Kإذا K.ليس أساسا خاصا

~xliv~

سنبين في الجدول الآتي أشهر الأسسوالصفات التي تتميز بها

اسمالأساس

صفـــــــــــــاته

مورث

ث مورقوي

فوق معدومالقوة

خاص

جزئيجامد

كوثالمعدوم

Nــنعمنعمنعمنعم

جاكبسون Jــنعمنعملانعم

بيير βــنعمنعمنعمنعم

ليڤيتزكي Lــنعمنعمنعمنعم

نيومانالنظامي

vنعمــلاــنعم

غيرالبسيط

βφــنعمنعمــنعم

~xlv~

𝕃 : شبكة جميع الأسس.2.4 بما أن الأسس يمكن ترتيبها جزئيا بما يتوافق مع ترتيب صفوف الأسس

للحلقات أو الصفوف نصف البسيطة الموافقة لها بالشكل الآتي:γمن أجل أي أساسين ,α:فإن

α≤ γ⇔R(α )⊆R (γ )⇔P (γ )⊆P(α )

فإننا سندرس في الفقرات الآتية مجموعات الأسس المرتبة جزئيا، ونبين أيا من هذه المجموعات تشكل شبكات، وإن كانت كذلك، ما الصفات

التي تتميز بها هذه الشبكات؟

[3:] مبرهنة.2.4.1⋀ مع العمليتين 𝒜 في الصف المؤلفة من جميع الأسس𝕃 الأسرة ,⋁

تشكل شبكة تامةαi}حيث من أجل أية أسرة من الأسس : i∊ N ¿(i يكون:{ i∈N αi هو الأساس الموافق لصف الأساس ¿ i∈N R (α i). ii)l¿ i∈ NR (α i)

=¿i∈N α i.

X={α البرهان: لتكن i : i ∊ N . لإثبات أنها𝕃 مجموعة جزئية في المجموعة { Xشبكة تامة يجب إيجاد الحد الأعلى الأصغري والحد الأدنى الأعظمي لـ

بالنسبة للعمليتين المعرفتين: أن التقاطع غير المنتهي لأسرة صفوف من الأسس2.2.2وجدنا في النتيجة

¿هو صف أساس أي أن i∈N R (α i)هو الصف الأساس لتقاطع الأسس ¿ i∈N αi :إذا ،

R (¿ i∈N αi )=¿ i∈N R(αi) أما بالنسبة لاتحاد الأسس فليس بالضرورة أن يكون اجتماع صفوف الأسس

¿lهو صف أساس لذلك نأخذ الأساس الأدنى للاجتماع i∈ NR (α i)هو موجود، و .2.2.3بحسب النتيجة

هي شبكة𝒜 المؤلفة من جميع الأسس في صف الحلقات 𝕃إذا الأسرة تامة.

من المبرهنة السابقة نستنتج أن: منA من أجل كل حلقة ϴ(A)=0 حيث 𝛳هو الأساس 𝕃أصغر عنصر في

من أجل كلΣ(A)=A حيث Σ فهو الأساس 𝕃. أما أكبر عنصر في 𝒜الصف A ∊ A.

~xlvi~

αi}ويكون لدينا من أجل أي أسرة }i∈N:من الأسس P (¿ i∈N αi )=¿i∈N P(α i) & R (¿ i∈ N αi )=¿ i∈N R(αi)

αi} كما أن هذه الشبكة تحقق عدة خواص من أجل أية أسرة }i∈Nما من الأسس، نذكرها في المبرهنات الآتية:

[3 ]: مبرهنة.2.4.2¿) حلقة ما. تكون المساواة A لتكن i∈N αi ) (A )=Aمحققة إذا وفقط إذا

تحقق ما يلي:A في {Iμ}وجدت سلسلة صاعدة من المثاليات i)I 0=0. ii)I μ+1/I μ هي α i أساس من أجل بعض الأسس -α i حيث ،i∈ N. iii)I υ=¿μ<υ I μ من أجل عدد محدود ν. iv)¿ μ I μ=A.

البرهان: إن برهان لزوم الشرط في هذه المبرهنة يسير بشكل مشابه[، لذا ليس من الضروري ذكره.10كما في ]

Iأما فيما يخص كفاية الشرط فإنه كون الحلقة μ+1/I μ هي ¿ i∈N αiأساس - وبما أن صفوف الأسس مغلقة بالنسبة للتمديد والاجتماع يتم الشرط

الكافي.

[3 ]: مبرهنة.2.4.3¿) حلقة ما. تكون المساواة A لتكن i∈N αi)(A)=0محققة إذا وفقط إذا

I}وجدت سلسلة هابطة من المثاليات μ تحقق ما يلي:A في {

i)I 0=0. ii)I μ+1/I μ هي α i نصف بسيطة من أجل بعض الأسس -α iحيث ، i∈N.. iii)I υ=¿μ<υ I μ من أجل عدد محدود ν. iv)¿ μ I μ=0. البرهان: إن برهان لزوم الشرط في هذه المبرهنة يسير بشكل مشابه

[ لذا ليس من الضروري ذكره، أما كفاية الشرط فهو واضح.10كما في ]

[3 ]: مبرهنة.2.4.4αi} وفق تقاطع أسرة الأسس A حلقة ما. إن صورة A لتكن }i∈Nتعطى بالشكل:

~xlvii~

(¿ i∈N αi)(A)=∑{I⊲A :αiأساس أجلكل αمن i (I )=I }

.2.4.1 البرهان: واضح مباشرة من المبرهنة

وهنا يتبادر للذهن السؤال الآتي: هل هذه الشبكة هي شبكة بوليانية؟ن أن الشبكة ليست شبكة معيارية )وبالتالي𝕃من أجل ذلك نورد مثالا يبي

ليست بوليانية(، أي لا تحقق شرط المعيارية:αمن أجل أي أسس ,σ , γ بحيث أن γ ≤σ : فإن γ⋁ (α⋀ σ )=(γ⋁ α)⋀ σ.

مثال:.2.4.5q لنأخذ كثيري الحدود (x) , p (x) بأساس مشترك ( p ,q)[ من المعلوم في .

) تكون A[ أن الحلقة 11 p , q)حلقة نظامية إذا وفقط إذا كان من أجل كل - a ∊ A يوجد b ∊ A :بحيث إن a=p(a)bq(a).

γ=(x أساس جاكبسون، αليكن , x ) ،σ=(x γ من الواضح أن (1, ≤ σ. ⋁γ) نجد أن Z4من أجل الحلقة (α⋀ σ ))(Z4)=0 ولكن ،((γ⋁ α)⋀ σ )(Z4)=Z4،

⋁γهذا يعني أن (α⋀ σ )≠(γ⋁ α)⋀ σ. ليست معيارية وبالتالي ليست شبكة توزيعية ومنه ليست𝕃 إذا الشبكة

شبكة بول.

ثة.2.5 𝕋 : شبكة الأسس المورثة وسنبين أنها شبكة ولكنها ندرس في هذه الفقرة أسرة الأسس المور

ليست شبكة بول.

[12: ] مبرهنة.2.5.1ث على المثاليات، فإن ℳإذا كان هو أيضا أساسlM صف حلقات مورث. مور

: مبرهنة.2.5.2ثة هو شبكة جزئية تامة في شبكة جميع𝕋 صف جميع الأسس المور

.𝕃الأسس

αi} البرهان: لتكن }i∈ N.ثة أسرة من الأسس المورثة هو أساس مورث. لنبرهن أولا أن تقاطع أسس مور

¿ هي Aلتكن i∈N αi حلقة، و -I⊲ A:عندئذ A∈R (¿ i∈N αi )=¿ i∈ N R (αi)

⇒ A∈R (αi ) ;∀ i∈N

~xlviii~

A هي α i حلقة من أجل كل -i∈N ⇒α)لأن i ث من أجل كل α هو i∈N )I مور i حلقة من أجل كل -i∈ N ⇒

⇒ I∈ R (α i) ;∀ i∈ N R (¿ i∈ N αi ) ⇒ I∈ ¿ i∈N R(αi)=¿

I هو ¿ i∈N αi إذا⇒- حلقة ¿ i∈ N αi ث. ثة هو أساس مور ث، أي أن تقاطع أسس مور هو أساس مور

ثة هو أساس مورث. لنبرهن الآن أن اتحاد أسس مور¿)لنفرض أن i∈N αi)(I ، عندئذ يكون:A مثالي أكبر في حلقة I حيث 0=(

α i( I)=0;∀ i∈Nαوبما أن i ث وبحسب المبرهنة يكون:2.2.10 مور

α i(A)=0 ;∀ i∈N ¿) نحصل على: 2.4.1من هذا ومن المبرهنة i∈N αi)(A)=0.

¿إذا i∈ N αi ث بحسب المبرهنة .2.2.10 مور

ثة. ونورد المبرهنة الآتية التي تعطي بعض صفات الأسس المور

[4: ] مبرهنة.2.5.3 i) ثة هي شبكة توزيعية، أي من أجل أي𝕋شبكة جميع الأسس المورαأسرة i حيث i ∊ N ثة ومن أجل أي أساس آخر γ من الأسس المور

ث أيضا يكون: مور γ (¿ i∈N αi )=¿i∈N ( γ αi )

ii) من أجل أي أسرةα i حيث i ∊ Nمن الأسس، ومن أجل أي أساس يكون:γمورث

γ (¿ i∈N αi )=¿i∈N ( γ αi )

ن أن الشبكة ليست شبكة بول، مما يفتح𝕋 سنعطي الآن مثالا يبيالمجال أمام دراسة جديدة في الشبكات التوزيعية التامة.

ث بحسب المبرهنة Jنعلم أن أساس جاكبسون .)2.3.2 هو أساس مور ii ن أنه لا يوجد أساس متمم له في الشبكة ، من خلال المثال𝕋(، وسنبيالآتي:

: مثال.2.5.4ث J لنثبت أنه لا يوجد أساس مور J بحيث أن' ⋀ J '=ϴ, J ⋁ J '=Σحيث ، 𝒥.أساس جاكبسون

J- حلقة بسيطة تكون 𝒥بالحقيقة إذا وجد مثل هذا الأساس عندئذ كل '–

~xlix~

نصف بسيطة. من جميع الأعداد الصحيحة الزوجية، بما أن لكل مثالي2Zلنشكل الحلقة

(2n) 2 في الحلقةZ تكون الحلقة (2n)(4n) هي 𝒥 حلقة بسيطة، فإن الحلقة -A

Jهي ⋁ J J- نصف بسيطة، أي أن ' ⋁ J ' ≠Σ.وهذا غير ممكن ،

ثة التي تصغر2 في ]Armendariz) لقد حدد ) [جميع الأسس المورير ∑⨁l، وبين أن كل أساس منها له الشكل 𝛽أساس بي

p∈PZp

مجموعةP، حيث 0Zp، وpجميع الأعداد الأولية

حلقة الأعداد الصحيحة معرف عليها الجداء0 . في هذه الحالة شبكة جميع الأسسZpالصفري والجمع كما في الحقل

ثة التي تصغر تكون إيزومورفية مع شبكة جميع المجموعات الجزئية𝛽المورلمجموعة قابلة للعد.

𝕂: شبكة جميع الأسس معدومة القوة.2.6 أن كل صف أساس فوق معدوم القوة يحوي2.2.12 وجدنا في النتيجة

على صف جميع الحلقات معدومة القوة، من ذلك نحصل على النتيجة الآتية:

: نتيجة.2.6.1 بما أن صفوف الأسس مغلقة بالنسبة للتمديد، ومن الواضح أن كل صف

فإن جميعأساس فوق معدوم القوة يحوي جميع الحلقات معدومة القوة، ير هو أصغر𝛽الأسس فوق معدومة القوة حاوية على ، وبالتالي أساس بي

أساس فوق معدومة القوة.

[1 ] مبرهنة:.2.6.2 تشكل شبكة توزيعية تامة،𝕂 أسرة جميع الأسس فوق معدومة القوة

.Lوهي شبكة جزئية من

: نتيجة.2.6.3 ،𝒥، ومن تعريف الأساس فوق معدوم القوة لجاكبسون 2.5.4 من المثال

ليست شبكة بول، ومنه نجد𝕂 ليست شبكة متممة وبالتالي𝕂ينتج أن ليست شبكة بول.𝕃بطريقة أخرى أن

~l~

M: شبكة الأسس التي تحقق متطابقة المصفوفة.2.7[4: ] تعريف.2.7.1

α إنه يحقق متطابقة المصفوفة إذا كان α نقول عن أساس (An)=(α (A ))n تدل على حلقة المصفوفات من الدرجةAn، حيث Aمن أجل جميع الحلقات

n×n والتي عناصرها من الحلقة A.

: مبرهنة.2.7.2 أساسα ليكن α ما. عندئذ ا (An)=I n من أجل بعض المثاليات Iلكل حلقة

A. An، فتكون 1 مع واحدة B كمثالي في حلقة Aالبرهان: يمكن إدخال الحلقة

α، وبالتالي Bnمثالي في (An) مثالي في Bn[ وبما أن 3 بحسب ،]Bحلقة α، عندئذ 1بواحدة (An)=I n من أجل بعض المثالياتI للحلقة Bولكن ،

α (An)⊆ An ومنه ،I⊆ A.

مبرهنة:.2.7.3 أساسα حلقة، وليكن A لتكن . عندئذ القضايا الآتية متكافئة:ا

i) الأساسα.يحقق متطابقة المصفوفة ii) يكونα (An)=An إذا وفقط إذا كان α (A)=A . iii) يكونα (An)=0 إذا وفقط إذا كان α (A)=0 .α أساس فإن α: بما أن i⇐iii واضح.ii⇐i & iii⇐ii البرهان: إن إثبات (A ⁄ α(A))=0وبالتالي فإن ،

α (An ⁄ (α (A))n)=α ((A ⁄ α (A))n)=0ومنه ،α (An)⊆ (α (A))n( I)

α نجد 2.7.2أيضا بحسب المبرهنة (An)=I n من أجل بعض المثاليات Iفي A:فيكون ، α ((A ⁄ I )n)=α (An ⁄ I n)=α (An ⁄ α(An))=0

α( فإن iiiو بحسب ) (I α، ومنه 0=( (A)⊆ Iوبالتالي ، (α (A))n⊆ I n=α (An)( II)

α( نجد أن II( و )Iمن العلاقتين ) (An)=(α (A ))n أي أن الأساس ،αيحقق متطابقة المصفوفة.

~li~

مبرهنة:.2.7.4 هو شبكة جزئيةM صف جميع الأسس التي تحقق متطابقة المصفوفة

.Lتامة في شبكة جميع الأسس αi} البرهان: لتكن }i∈ N،أسرة من الأسس تحقق متطابقة المصفوفة

ولنثبت أن كل ¿ من الأساسين ا i∈N αi & ¿ i∈ N αi.يحقق متطابقة المصفوفة ¿) لتكن i∈N αi)(A)=A أي أن A هي α i أساس، وبالتالي-An هيα iأساس-

αمن أجل جميع i ومنه ،(¿ i∈N αi)(An)=An.¿)بشكل مشابه نجد أن i∈ N αi)(An)=An يعطي (¿ i∈ N αi)(A)=A.

¿إذا i∈ N αi 2.7.3 يحقق متطابقة المصفوفة بحسب المبرهنة.ن أن ¿) وبذات الأسلوب نبي i∈N αi)(A)=Aإذا وفقط إذا كان

(¿ i∈N αi)(An)=An نجد أن الأساس 2.7.3، وبحسب المبرهنة ¿ i∈N αiيحقق متطابقة المصفوفة.

𝕊: شبكة الأسس الخاصة.2.8 تعتبر الأسس الخاصة من أهم الأسس المدروسة باعتبار كل منها أساسا

أعلى لصف خاص يتكون من حلقات أولية.

[1 ] مبرهنة:.2.8.1 ، صف جميع الحلقات الأولية، هو أكبر صف خاص، وإن أصغرπ إن الصف

.Φصف خاص هو المجموعة الخالية

: نتيجة.2.8.2β=U بما أن π فإن 𝛽.هو أصغر أساس خاص

هو أكبر أساس خاص.Σ=UΦ وكذلك الأساس المبتذل

[1:] مبرهنة.2.8.3، يكون:ℳ ومن أجل كل صف خاص Aمن أجل كل حلقة

U M (A)=⋂ {I : I⊲A , AI∈M }

Uأي أن M ( A بحيث تكون الحلقةA في الحلقة I هي تقاطع جميع المثاليات (AI هي حلقة من الصف M.

U من هذه المبرهنة نستنتج أن M (A)هي حلقة نصف بسيطة، وهي والتي لا يمكن تطبيقهاMبالتحديد مجموع جزئي بسيط لحلقات من الصف

.Mتشاكليا مع حلقات غير صفرية من الصف

~lii~

: مبرهنة .2.8.4α إذا كان 1 , α α أساسين خاصين عندئذ: 2 1≤α إذا وفقط إذا كان2

π (α 2)⊆ π (α 1).

α البرهان: بما أن 1≤α 2

⇔P (α 2)⊆P (α1)

⇔π⋂ P(α 2)⊆π⋂P(α 1)

⇔π (α2)⊆ π (α1)

وهو المطلوب.

[1:] مبرهنة.2.8.5i) من أجل أي أسرة{M i iحيث { ∊ Γ:من الصفوف الخاصة فإن

R (U ¿ i∈ Γ M i)=¿ i∈ Γ R (UM i)وذلك لأن اجتماع صفوف خاصة هو أيضا صف خاص.

من الحلقات يوجدℳينتج من هذه المبرهنة أنه من أجل أي صف M⊆R بحيث أن lMأساس خاص أصغري ( lM )( lower special radical of class ℳ.)

ii) في حالة كون الصفℳيحوي فقط )مؤلف فقط( من حلقة واحدة A عندئذ نرمز للأساس الخاص الأصغري بالرمز،lA بدلا من lM.

lM=Uπ من الحلقات M وبالتالي يكون: من أجل أي صف (l ⟨M M⟩ حيث (⟨ ⟩ ℳ في A بحيث أنه يوجد حلقة Bالصف المؤلف من جميع الحلقات

.B حلقة جزئية قابلة للوصل فيAتكون

: نتيجة.2.8.6 المؤلفة من جميع الأسس الخاصة مع𝕊 مما سبق نستنتج أن الأسرة

⋀العمليتين تشكل شبكة تامة:⋁,αi}حيث من أجل أية أسرة من الأسس الخاصة }i ∊ Γ:يكون

i)¿ i∈ Γ αi هو الأساس الموافق لصف الأساس ¿ i∈ Γ R(α i)

ii)¿ i∈ Γ αi=l¿ i∈Γ R (αi )

αi} كذلك من أجل أي أسرة }i∈Γ من الأسس الخاصة والأساس الخاص γ لدينا:

γ (¿ i∈Γ αi )=¿ i∈Γ ( γ α i ) هي شبكة معيارية.𝕊 هي شبكة توزيعية، وبالتالي تكون 𝕊أي إن الشبكة

~liii~

ليست شبكة𝕊 لا تشكل شبكة متممة وبالتالي الشبكة 𝕊وسنبين الآن أن بول.

، بحيث لا𝕊 من الشبكة αمن أجل ذلك نعطي مثالا عن أساس خاص αيوجد أساس متمم له في هذه الشبكة ، أي لا يوجد أساس خاص '

بحيث أن: α⋀ α '=ϴ ,α⋁ α '=Σ

: مثال.2.8.7 ، والصفℳ. بالطبع الصف Zp المؤلف من جميع الحقول ℳ لنأخذ الصف

π يكونان صفين خاصين،ℳ )صف جميع الحلقات الأولية التي لا تنتمي لـ )¿πعلاوة على ذلك يكون: (α )=π¿ ; α=U π ¿

π من الصفAبالحقيقة إذا كانت الحلقة (α A≃Z، فإن ℳ ، وكانت من ( pمن A، الحلقة 2.8.3، هذا من ناحية ثانية، واستنادا للمبرهنة pأجل عدد محدد

πحلقة جزئية بسيطة في الصف ⊳B هذا يعني أنه إذا كانت ¿ A فإن Bهي πحلقة من الصف π هي حلقة من Zp، وبالتالي فإن ¿ وهذا غير ممكن.¿α=Uلنبرهن الآن أن π¿.)هو الأساس المطلوب )الذي نبحث عنه

α حيث αمن أجل أساس خاص معطى α=ϴ,α α=Σ:فإننا نحصل على π=π (α α ')=π (α)⋃π (α ')=(π ¿)⋃π (α ') &Φ=π (α α ' )=π (α )⋂ π (α ')=(π ¿)⋃ π (α ' )

πو بالتالي (α ' )=M أي أن ،α '=U M وعندئذ تكون حلقة الأعداد الصحيحة ،Z P(αحلقة من الصف ' Zp مجموع نصف بسيط من الحقل Z، لأن الحلقة (

P(αومن الصف ' ، وكون صف الحلقات نصف البسيطة مغلق استنادا إلى(المجموع الجزئي.π حلقة من الصف Z من ناحية ثانية ¿⊆P(α ⋁α)، وبالتالي ( α ')(Z )=0≠Z

⋁αأي أن α ' ≠ Σ.وهذا غير ممكن

نتيجة:.2.8.8α من المثال السابق ينتج أيضا أنه لا يوجد أساس فوق معدوم القوة '

بحيث أن: α α '=ϴ,α α '=Σ

πلأنه إذا كان ذلك محققا فإن: (α )=π¿∧P(α )⋂P(U M)=0

لا تشكل شبكة بول.𝕂و هذا غير ممكن وبالتالي الشبكة

~liv~

نبين في الجدول الآتي أهم شبكاتالأسس وخواصها

الشبكة

خواصــــــــــــــها

معيارية

توزيعية

تامة

متممة

بول

الحدالأعلى

الحدالأدنى

ΣθلالانعملالاLجميع الأسس

ثة ــΣلالانعمنعمنعمTالأسس المور

الأسسلالانعمنعمنعمKمعدومة القوة

Σ

β

الأسس التي تحقق متطابقة

المصفوفةMــــنعمــــΣــ

ΣβلالاــنعمنعمSالأسس الخاصة

~lv~

الفصل الثالثات في شبكتي الأسس و الذر

صفوف الأسس في هذا الفصل سنعرض بعض المبرهنات والنتائج للإجابة عن

ات في شبكات الأسس؟ وإن وجدت ما هي ميزات التساؤل: هل يوجد ذرات؟ تلك الذر

3.

ات في شبكة جميع الأسس.3.1 : الذرات في شبكة جميع الأسس، نناقش في هذه الفقرة مسألة وجود الذر

ات. وسنعطي بعض الخصائص المميزة لهذه الذر ، لديناA مثالي في A2، وبما أن Aمن المعلوم أنه من أجل أية حلقة بسيطة

جامدة أما حالةA نقول إن الحلقة A2=A، ففي حالة A2=0 أو A2=Aإما A2=0 فتكون A.حلقة مع الضرب الصفري

في الفقرات الآتية ومن خلال قولنا إن الحلقة بسيطة نفهم أنها حلقة بسيطة جامدة. وإذا كان غير ذلك تكون حلقة بسيطة مع الضرب الصفري

وسنشير إلى ذلك صراحة.

ة في الشبكة 3]من المعلوم في 𝕃[ إن كل ذر إما إن تكون أساساlZجزئيا جامدا، أو أساسا أدنى p∞0مولدا بحلقة مع عملية الضرب الصفري

Zpعلى الزمرة الجمعية ∞ عدد أولي.p حيث 0

ات زات الذر إن السؤال الذي لا يزال مفتوحا هو: "ما خصائص ومي؟" 𝕃الشبكة كأسس جزئية جامدة في

ة Q[ أن كل حلقة بسيطة 3 من المعلوم في ] فيlQ مع واحدة تولد ذر المبرهنة الآتية:[4]، ومن المعلوم أيضا في 𝕃الشبكة

[4:] ة مبرهن.3.1.1 -حلقةlM تكون A صفا اختياريا من الحلقات. عندئذ الحلقة ℳ ليكن

،Aوفق تشاكل للحلقة ، Aإذا وفقط إذا وجدت صورة غير صفرية صورة وفقB، وتكون A غير صفرية قابلة للوصل في Bتحوي حلقة

~lvi~

.ℳالتشاكل ذاته لحلقة محددة من الصف ة د أيضا ذر نعطي الآن مثالا عن حلقة بسيطة غير واحدية لكنها تول

.في هذه الشبكة

: مثال.3.1.2 حلقة.A غير واحدية ولتكن K لنشكل حلقة بسيطة

⊳B عندئذ يوجد K⊲Aإذا كانت A بحيث إنه إما A=K⨁B أو Aحلقة ⨁Kمولد بـ B ومن خلال العنصر ،z∈ A:المحقق للخواص الآتية

zk=kz=z , z2−z∈B ,2 z∈B وذلك مهما تكن k∈Kن أن ة في الشبكة lKلنبي :L هو ذر

-α هي A والحلقة lK أساس محتوى في αبالحقيقية إذا فرضنا أن - حلقة، فإنه استنادا إلىlK هي أيضا Aحلقة غير صفرية، بما أن

A بسيطة، فإن الحلقة K وكون الحلقة 3.1.1المبرهنة تحوي مثالياA '≃K.

هي حلقةA مثالي محدد والحلقة 'B، حيث B'⊲Aفي حالة كون Aمولدة بـ '⨁ B ∋z والعنصر ' Aالذي يحقق الشروط السابقة، فإن

Aالحلقة A '⨁B lK يكون Z2، وعندئذ الحقل Z2 تكون متماثلة مع الحقل '

المذكورة أعلاه أيضا نحصل على3.1.1- حلقة، واستنادا للمبرهنة Z2≃K وهذا غير ممكن لأن الحلقة ،K غير واحدية وبالتالي A=A '⨁B،

⋍Kواستنادا لذلك فإن AB ومنه نجد أن ،K تكون α حلقة و -lK≤α،

ة في الشبكة lKوهذا يعني أن .𝕃 هي ذر

: مبرهنة.3.1.3ة في الشبكة .L لا توجد حلقة بسيطة مع عملية الضرب الصفري تولد ذر

ة في lA البرهان: إذا كان ، لأن الزمرةlA=lZp∞0[ 3 فإنه استنادا إلى ]L ذر∞Zpالجمعية في الحلقة

- زمرة قسمة وأن صف الحلقات التي فيهاp هي 0lZ−- زمرة قسمة هو صف أساس، ومنه فإن كل الـ pالزمر الجمعية هي p∞0

-زمرة، وبالتالي الزمرة الجمعيةpحلقة تملك زمرة قسمة جمعية وتكون مجموع مباشر لحلقات منA لها أيضا هذه الخاصة، مما يعني أن Aللحلقة حلقة بسيطة،A، وهذا بدوره يعني أنه لا يمكن أن تكون الحلقة ∞Zpالشكل

وهو المطلوب.

ات في الشبكة ات فوق معدومة𝕂 نشير هنا إلى أن صفات الذر )الذرالقوة( غير معروفة حتى الآن، وتعتبر مسألة مفتوحة، ولكن نعلم فقط من ]

~lvii~

[ المبرهنة الآتية:4

[4: ] مبرهنة.3.1.4ة في الشبكة α إذا كان الأساس المورث فإنβ غير محتواة في T ذر

β⋁ α ة في الشبكة فوق معدومة القوة. كذلك إذا كان الأساسانT هو ذرα 2 ,α تين مختلفتين في الشبكة 1 ⋁β فإن: β غير محتويتين في T ذر α 2≠ β⋁ α1

.

ات في شبكة الأسس المورثة .Tوسنتحدث الآن عن الأسس المورثة كذر

ثة.3.2 ات في شبكة الأسس المور : الذر منℳ للصف المورثlM أن الأساس الأدنى2.5.1 لقد بينت المبرهنة

ث، وسنبين أن الأساس الأدنى ة في شبكةlQالحلقات هو أيضا مور هو ذرثة ة،Q حيثTالأسس المور حلقة بسيطة، وأن كل أساس مورث يحوي ذر

ات فقط من الشكل حلقة بسيطة.Q من أجلlQوهذه الذر.ملاحظة: ستكون الحلقات البسيطة ذات جداء صفري

: مبرهنة.3.2.1ثة lQ حلقة بسيطة. عندئذ Q لتكن ة في شبكة الأسس المور .T ذر

أساسα البرهان: نفرض ثا مور α>0 بحيث ا ≤lQ.T- أساس، ولتكن الحلقة α هي Aلتكن الحلقة غير القابلة للتحليل،0≠

حيثH تملك لب Aوهي عامل في المجموع المباشر للحلقة α (H )=H.

ز حالتين إما H حلقة بسيطة أو Hبالتالي نمي 2=0:Hإذا كان ≠0 لنأخذ ،0=2 x∈H عندئذ المثالي في ،H المولد بـ xيكون

زمرة دورية بجداء صفري وبالتالي لديه عامل حلقة بسيطة. -حلقة بسيطة ولتكن𝛼 حلقة بسيطة فسنحصل على Hأما إذا كانت

K وبما أن ،α≤ lQ فإن K هي lQأساس، وبما أنه يحوي حلقة جزئية - .lK=lQ≤α(، عندئذ 3.1.1 )مبرهنة Qقابلة للوصل متشاكلة مع

Q: إذا كانت نتيجة.3.2.2 ,K حلقتين بسيطتين غير متشاكلتين، فإن lK≠ lQ.

: نتيجة.3.2.3ات فقط من الشكل ة، وهذه الذر منlQ كل أساس مورث يحوي ذر

حلقة بسيطة.Qأجل ثا، وبالتالي يمكن أنه مورث نحصل 𝛼 البرهان: ليكن أساسا مور

~lviii~

- أساس، وبذات الأسلوب في المبرهنة𝛼 حلقة بسيطة هي Qعلى ≠0 نجد 3.2.1 lQ≤α.

ات في شبكة الأسس الخاصة.3.3 : الذر هي شبكة تامةS وجدنا في الفصل الثاني أن شبكة الأسس الخاصة

توزيعية ومعيارية ولكنها ليست شبكة متممة وبالتالي ليست شبكة بول.ات في الشبكة .𝕊سندرس في هذه الفقرة الذر

في البدء نذكر بالتمهيدية الآتية:

(:Andrunakievich ) أندروكافيتش تمهيدية .3.3.1⊳C إذا كان I⊲ Aو ،Cمثالي مولدA في ا ، عندئذ منC من خلال ا

C) فإن: mأجل عدد طبيعي محدد )m⊆C.

فإن الأساسQ[ أنه من أجل أية حلقة بسيطة 9 لقد برهن في ]lQ ة خاصة في الشبكة ، وتم وضع الأسئلة الآتية:S ذري خاص له الشكل 1 من أجل حلقة محددةlQ( هل كل أساس ذر

؟Qبسيطة ية؟𝕊( هل الشبكة 2 هي شبكة ذرية الخاصة؟ 3 ( هل يمكن أن نكتب جميع العناصر الذر

للإجابة على هذه الأسئلة نعطي المبرهنة الآتية:

: مبرهنة.3.3.2يا خاصا، عندئذ إما أن يكون α إذا كان من أجلα=lQ أساسا ذر

α محددة، أوQحلقة بسيطة ≤ βφي خاص. بما أن α البرهان: نفرض أن أساس خاص فإنβφ ذر

α⋀ βφ يشكل أساسا خاصا أيضا. إضافة لذلك β≤α⋀ βφ≤αمن هنا نجد ⋀β=αإما βφ أو α=α⋀ βφ.

αفي الحالة الأولى ≤U βφ & α=lQ من أجل حلقة بسيطة Q،محددة ≥αوفي الحالة الثانية βφ.وهو المطلوب

( ليست2( و)1 من هذه المبرهنة نجد أن الإجابة على السؤالين )

~lix~

إيجابية بآن واحد، ومن هنا ينتج أيضا أنه لدراسة الموضوع يكفي فقطية الخاصة المحتواة في .βφدراسة العناصر الذر

: مبرهنة.3.3.3يا خاصا فيα . عندئذ يكون β<α أساسا خاصا حيثα ليكن ذر غير صفريةA من أجل كل حلقة α=lA إذا وفقط إذا كان Sالشبكة

π⋂R(αمن الصف ).

يا خاصا، وα البرهان: ليكن ≥β-حلقة أولية. عندئذ α هي A ذر lA≤α، ة(α=lAمن هذا نجد . )استنادا إلى تعريف الذر

من أجلα=lA بحيث إن β<α أساسا خاصا، وليكن αالعكس: ليكن .π⋂R(α) غير صفرية من الصف Aكل حلقة

β<γبحيث 𝛾لنأخذ الأساس الخاص ≤α .حلقة توجد صفرية Aعندئذ غيرالصف أي π⋂R(γ)من ،0≠ A∈π⋂R(γ)⊆π⋂R(α).

lA≤γ، ومن كون أن α=lA-حلقة فإنه، من الفرض α هي أيضا Aبما أن α=lA≤γ أساس خاص، من هنا نجد أن 𝛾وذلك لأن ≤αوهذا يعني أن ،

α=γ وبالتالي ،α ة خاصة في الشبكة .S ذر

: مبرهنة.3.3.4يا خاصا إذا وفقط إذاlA حلقة أولية. عندئذ الأساس A لتكن يكون ذر

تحقق الشرط الآتي:Aكانت الحلقة ، ومن أجل كلA غير صفري للحلقة I )*( من أجل كل مثالي

A، فإن الحلقة A الذي هو حلقة أولية في I للمثالي Iصورة تشاكلية -حلقة.lIهي

ي خاص. بما أن lA البرهان: بفرض أن الأساس -حلقةlA هي A ذر A للحلقة I يكون كل مثالي غير صفري 2.2.21فإنه استنادا للنتيجة

يكونI للمثالي I -حلقة، من هنا نجد أن كل صورة تشاكلية lAهو lI –حلقة، وبالتالي lAحلقة أولية، وتكون أيضا ≤ lAعلاوة على ذلك .

β< lI لأنI هو lI حلقة ولا يشكل-𝛽 حلقة، ومنه، ومن الشرط أن-lA ي خاص، فإن -حلقة.lI تكون A، وبالتالي فإن الحلقة lA=lIهو ذر

تحقق الشرط )*(A الآن بالعكس لنفرض أن الحلقة الأولية ة في شبكة الأسس lAولنبرهن أن الأساس الأدنى الخاص هو ذر

.Sالخاصة A-حلقة ولنبرهن أن lA أولية بحيث تكون Bلهذا الغرض نشكل حلقة

~lx~

l ليست B-حلقة فإن lA هي حلقة أولية وB بما أن -حلقة.lBتكون ⟨ A ⟩- ،3.1.1(، من هذا، واستنادا للمبرهنة ii)2.8.5نصف بسيطة بسبب

φ مثل Bتوجد حلقة جزئية غير صفرية قابلة للتمديد في (C) تكون C، وتكون C لحلقة غير صفرية φصورة تشاكلية وفق تشاكل مختار

صف مورثπ حلقة أولية وA، وبما أن Aحلقة قابلة للتمديد في هي كذلك حلقة أولية.Cللمثاليات فإن

⊇Cm، ومن كون 3.3.1 واستنادا إلى التمهيدية (C )mومن أولية الحلقة ، C فإن الحلقة ،Cm غير صفرية، وبالتالي الحلقة I=(C )mمثالي غير

φ، وبما أن Aصفري للحلقة (C) هي حلقة قابلة للتمديد في Bو φ (I )⊲ φ(C) فإن φ (I) حلقة قابلة للتمديد في B ومنه φ (I -lB يكون (

.حلقةφعلاوة على ذلك ( I تشكل حلقة غير صفرية لأنها تحوي الحلقة غير(

φ)الصفرية (C))m إن .φ ( I) تكون أيضا حلقة أولية وبالتالي استنادا بالتالي استنادا إلى المبرهنة-حلقة، وlB تكون Aللشرط )*( فإن

ة خاصة في الشبكة lA يكون 3.3.3 وهو المطلوب.S ذر

: مبرهنة.3.3.5يα أساسا خاصا. عندئذ يكون الأساس α ليكن ذر خاصا إذا وفقط إذاا

R(αكان الصف )⋂P(β وتحقق الشرط الآتي:0≠()R(α)P من الصف A )**( من أجل كل حلقة β)ومن أجل كل أساس ،

- نصف بسيطة.𝛾-حلقة، أو حلقة 𝛾 هي A تكون الحلقة 𝛾خاص

يا خاصا ولتكن α البرهان: ليكن حلقة غير صفرية من الصفA ذرR(α )P( β) وليكن ،𝛾.أساسا اختياريا خاصا

γ إذا كان (A)=0 فإن A هي 𝛾.نصف بسيطة ويتم المطلوب -γ أما إذا فرضنا (A)≠0 لنبرهن أن الحلقة ، A تكون 𝛾.حلقة-

γ فإن 2.2.21 استنادا للنتيجة (A) هي حلقة من الصف P(β )⋂R(α )⋂R(γ )، ⋀β<γولكون α وبما أن ،γ⋀ α ≤α و ،γ⋀ α فإن خاص أساس αهو ≤ γ لأن α

ي خاص، من هنا نجد أن الـ -حلقة.𝛾 هي أيضا A-حلقة αذرR(α)⋂P(β هو أساس خاص، ولنفرض أن α العكس: لنفرض أن )≠0

ي خاص.𝛼يحقق الشرط )**(، ولنبرهن أن هو ذر هو أساس خاص بحيث يكون𝛾. لنفرض أن β<α من الطبيعي أن

β<γ ≤α ولنشكل الحلقة غير الصفرية ،A من الصف R(γ )⋂P(β )، -حلقة وذلكα يكون A⊕B غير صفرية فإن B-حلقة اختيارية αمن أجل أية

هيA، وA⊲A⊕Bلأن صف الأساس مغلق بالنسبة للمجموع المباشر، ولأن

~lxi~

-حلقة.𝛽 لا تشكلA⊕B نجد أن 3.3.4- نصف بسيطة، من هنا ومن المبرهنة βحلقة A⊕B لنأخذ الحلقة

β(A⊕B)

A+β والمثالي غير الصفري (A⊕B)β (A⊕B)

-حلقة فإن:𝛾 هي Aبما أن A+β الصورة التشاكلية لها (A⊕B)

β (A⊕B) تكون أيضا 𝛾.حلقة-

(A⊕B)علاوة على ذلك β(A⊕B)هي حلقة من R(α )⋂P(β )،

(A⊕B)واستنادا للشرط )**( فإن β(A⊕B) تكون γ،حلقة-

B نجد أن 3.3.4وبالتالي استنادا للمبرهنة (β (A⊕B)⋂B -حلقة،𝛾 هو أيضا (

βلأن (A⊕B)⋂B تكون 𝛾 حلقة، ومنه تكون -B هي أيضا 𝛾حلقة، هذا يعني- β<γ بحيث 𝛾أنه من أجل أي أساس خاص ≤α لدينا α ≤ γ وبالتالي يكون α

يا خاصا وهو المطلوب. ذر

ات في شبكة الصفوف الخاصة.3.4 : الذر مرتبة بعلاقة الاحتواء وتشكل شبكة بول،SC إن أسرة الصفوف الخاصة

من أجل أية أسرة اختيارية من الصفوف الخاصةوذلك عندما نعرف، {M i : i∈Γ ⋀، العمليتين { بالشكل الآتي:⋁,

¿ i∈ Γ Mi=¿ i∈Γ M i ,¿ i∈Γ M i=¿ i∈Γ M i

إذ من المعلوم أن تقاطع الصفوف الخاصة واجتماع الصفوف الخاصة هو أيضا صف خاص، فنحصل بذلك على شبكة تسمى شبكة الصفوف الخاصة

SC.π فإن M علاوة على ذلك من أجل أي صف خاص ، صف جميع الحلقات¿

، هو أيضا صف خاص. من هذا ينتج بشكل عامMالأولية التي لا تنتمي إلى π يوجد أصغر صف خاص Aأنه من أجل أية حلقة أولية Aيحوي الحلقة

. بالتالي يمكن أن نذكر المبرهنة الآتية:Aالمعطاة

[1:] مبرهنة.3.4.1π تنتمي إلى B الحلقة الأولية A إذا وفقط إذا كانت B تحوي مثاليا

.Aمتماثلا حلقيا مع حلقة قابلة للتمديد في غير صفري

~lxii~

[6]: مبرهنة.3.4.2π أولية فإن A إذا كانت الحلقة A=π B من أجل كل حلقةBمن

πالصف A.

π من الصف Bبما أن الحلقة البرهان: A فإن πB⊆ π Aوبالتالي يكفي ، ∈πBالبرهان على أن الحلقة A.

π من الصف Bبما أن A 3.4.1، فإنها ستحوي، استنادا إلى المبرهنة، متماثلا حلقيا مع حلقة محددة قابلة للتمديد Iمثاليا غير صفري مثل

A0، بالتالي يوجد حلقات جزئية C مثل Aفي , A1 ,…, An من الحلقة A ⊳…⊳C=A0⊲A1≠0بحيث An=A،

C) ( نحصل علىAndrunakievich ) واستنادا إلى تمهيدية )n−1⊆C، حلقة أوليةA، وبما أن الحلقة C مولد بـ A مثالي في الحلقة Cحيث =Dفإن (C )3

n−1 مثالي غير صفري للحلقةA محتوى في C فإذا كانت .D I بالنسبة لذات التماثل )الذي ينقل Dهي الصورة التماثلية للحلقة

،B كحلقة قابلة للتمديد في D (، فإنه يمكن أن نتعامل مع Cإلى A∈π مرة ثانية نحصل على 3.4.1استنادا إلى المبرهنة و Bوبذلك يتم ،

المطلوب.

ات في الشبكة ةM الصف الخاص، أثبتا أنSC لتحديد الذر يكون ذرM=π إذا وفقط إذا كان SCفي الشبكة Aمن أجل حلقة أولية محددة

A، ة إذا وفقط إذا كان M=π ويكون شبه ذر {π ¿Aمن أجل حلقة أولية ، وذلك من خلال المبرهنات والنتائج الآتية:Aمحددة

: مبرهنة.3.4.3ة في الشبكة M صفا خاصا. عندئذ يكون M ليكن إذا وفقطSC ذرM=πإذا كان A من أجل حلقة أولية محددة A.

M≠Φ حلقة أولية. عندئذ إذا كان الصف الخاص Aلتكن البرهان: πمحتوى في A فإننا نأخذ الحلقة ،B من الصف Mواستنادا للمبرهنة ،

π فإن 3.4.2 A=π B لكن ،πB⊆M من ذلك نجد ،π A=M وبالتالي ،π Aة ذر.SCفي الشبكة

ة M بالعكس: لنفرض أن فإنM≠Φ. بما أن SCفي الشبكة هو ذرM يحوي حلقة أولية A وبالتالي يكون ،π A⊆M ولكن الصف ،Mة ذر

πأي أن A=M.وهو المطلوب

ة في الشبكةشبه M صفا خاصا. عندئذ يكون M: ليكن نتيجة.3.4.4 ذرSC إذا وفقط إذا كان M=π {π ¿A من أجل حلقة أولية محددة A.

~lxiii~

: مبرهنة.3.4.5ة من الشبكة .SC كل صف خاص غير خال يحوي ذر

أولية من هذا حلقة A صفا خاصا، ولتكن M≠Φ البرهان: ليكن πالصف، عندئذ A⊆M تكون 3.4.3، واستنادا إلى المبرهنة π Aة في ذر

.SCالشبكة

: نتيجة.3.4.6≠M كل صف خاص π ة للشبكة .SC محتوى في شبه ذر≠M البرهان: ليكن π حلقة ، إذا توجدA من الصف π ، عندئذ¿

π A⊆ π ⊇M، وبالتالي نحصل على ¿ π {π ¿A ، 3.4.4واستنادا إلى النتيجة πتكون {π¿ A ة في الشبكة .SC شبه ذر

ةM بالإضافة إلى ذلك أثبتنا أنه عندما يكون الصف الخاص شبه ذرβ≠U، بحيث إن SCفي الشبكة M فإن أساسه الأعلى ،U Mة هو ذر

خاصة.

: مبرهنة.3.4.7ة M ليكن الصف الخاص β≠U بحيث أن SCفي الشبكة شبه ذر M،

ة خاصة.UMعندئذ يكون ذرة في اM البرهان: بفرض β≠Uبحيث أن SCلشبكة شبه ذر M .

⊇Mبما أن π (U M )⊆ π فإنه إما π (UM )=π أو M=π (U M ).β≠Uإن الحالة الأولى غير ممكنة لأن M وبالتالي M=π (U M ) .β<α≤U بحيث αالآن من أجل كل أساس خاص Mنحصل على

M⊆ π (α)⊊ π من هذا ومن شرط أن .M ة في ينتجSCالشبكة شبه ذرα=Uأن M وبالتالي نحصل على أن ،U M.ة خاصة ذر

: علاقة ∗- حلقة بالأسس الخاصة.3.5[7:] تعريف.3.5.1

لا تحو مثاليات حلقة أولية وA نسميها ∗- حلقة إذا كانت A الحلقة .Aأولية غير صفرية مخالفة لـ

: مبرهنة.3.5.2β≠U هي ∗- حلقة فإن A إذا كانت U، واستنادا لذلك يكون ¿¿ ¿¿=lA يا خاصا. ذر

M=π فإن 3.4.4 البرهان: استنادا للنتيجة {π ¿A ة في شبه ذر

لا يمكن نقلهاA هي ∗- حلقة فإن الحلقة A، وبما أن SCالشبكة

~lxiv~

U تكون A، وبالتالي Mتشاكليا إلى حلقة غير صفرية من الصف M- حلقة.

-حلقة، ومنβ ليست A حلقة أولية، وبالتالي فإن Aمن ناحية ثانية β<Uهذا نجد أن M نحصل على أن 3.4.7، واستنادا للمبرهنة U Mيكون

ة خاصة لأن >βذر lA≤UM ومنه نجد U M=lA.

ةAجل أية ∗- حلقة من هنا يظهر السؤال الآتي: من أ ، هل الذر حلقة بسيطة؟ للإجابة عن هذاQحيث lQ لها الشكل lAالخاصة

السؤال نعطي المبرهنة الآتية:

: مبرهنة.3.5.3 ،Q، من أجل أية حلقة بسيطة lA=lQ هي ∗- حلقة فإن A إذا كانت

تحوي مثاليAإذا وفقط إذا كانت الحلقة أصغريا بشكل حلقة جامدة.ا.Q من أجل حلقة بسيطة محددة lA=lQ البرهان: بفرض أن

Q∉πإذا كانت A فإن Q ليست U -حلقة، من هذا ومن المبرهنة¿¿-lQتكون Q-حلقة، ومن ناحية ثانية lA ليست أيضا Q ينتج أن 3.4.7

≠lAحلقة، وبالتالي lQ وهذا غير ممكن. استنادا لذلك نجد أن الحلقةQ πهي من الصف A 3.4.1، بالتالي، من هذا ومن المبرهنة واستنادا

متماثلة حلقيا مع حلقة قابلة Q حلقة بسيطة، فإن الحلقة Qلكون Q أن 3.4.2، وعند ذلك نجد استنادا للمبرهنة Q مثل Aللتمديد في

.Aتكون مثاليا في الحلقة ،Q2=Q، بحيث Q تحوي مثاليا أصغريا Aالعكس: لنفرض أن الحلقة

مثاليT حيث T=Q فإن T⊲Q≠0 هي حلقة بسيطة. إذا كان Qعندئذ (Andrunakievich، من هذا ومن تمهيدية )T مولد بـ Aفي الحلقة

نحصل3.4.1، وباستخدام المبرهنة Q=T، وبالتالي Q=Q3=T3فإن π هي حلقة من الصف Qعلى أن A يكون3.4.2، واستنادا للمبرهنة πQ=π A نحصل على:3.4.7، وبالاعتماد على المبرهنة

lA=U ¿¿=U ¿¿=lQ.

: مثال.3.5.4 F تشاكلا داخليا للحقل φ حقلا مميزه يساوي الصفر، وليكن F ليكن

ليس تطبيقا تطابقا.φn فإن nبحيث إنه من أجل كل عدد طبيعي z، حلقة جميع كثيرات الحدود لمتحولات منتهية Rلنشكل الآن الحلقة

. من المعلوم في ]T=zR، ولنشكل أيضا الحلقة Fبأمثال من الحقل حلقة غير تبديلية أولية والتي تكون حلقة بسيطة.T[ أن 3

يوجد عدد طبيعيT للحلقة A≠0علاوة على ذلك من أجل كل مثالي

~lxv~

m بحيث إن T m⊆ A وبالتالي ،Tلا تحوي مثاليات غير صفرية أولية، أي هي ∗- حلقة. Tأن

غير المستخدمة الرموزو المصطلحاتالمألوفة

List of Uncommon Symbols

Englishالرمزاللغة العربيةϴThe smallest radical الأساس الأصغرΣThe largest radical الأساس الأكبر

ℳ UMالأساس الأعلى لصف الحلقات The upper radical of class ℳ

د بصف الحلقات الأساس الأدنى المولℳ lMThe lower radical of class ℳ

lMThe special lower radical of الأساس الخاص الأدنى المولد بصف ~lxvi~

ℳالحلقات

ير βBaer radical أساس بيJJacobson radical أساس جاكبسون

βφAntisimple radical الأساس غير البسيطNKöthe's nil radical أساس كوث المعدوم

LLevitzki radical أساس ليتيفزكيνVon neumann regular radical أساس نيومان النظامي

A πأصغر صف خاص يحوي الحلقة ASmallest special radical contain A

Direct sum⨁ المجموع المباشر∑ المجموع المباشر الجزئي

S❑Subdirect sum

المجموع المباشر التام )الجداءComplete direct sum∏ المباشر(

(Complete product)

ZRing of integer numbers حلقة الأعداد الصحيحة حلقة الأعداد الصحيحة مع الضرب

Z0Zero-ring on the ring of integers الصفريQField of rational numbers حقل الأعداد العادية

Englishالرمزاللغة العربيةLLattice of all radicals شبكة جميع الأسس

ثة TLattice of all hereditary radicals شبكة الأسس المورKLattice of all overnilpotent radicals شبكة الأسس معدومة القوة

شبكة الأسس التي تحقق متطابقةMLattice of all radicals which satisfy the matrix equality المصفوفة

~lxvii~

SLattice of all special radicals شبكة الأسس الخاصةSCLattice of all special classes شبكة الصفوف الخاصة

صف الحلقات المعرف عليها الضربZ0Class of zero-rings الصفري

AClass of all associative rings صف جميع الحلقات التبديليةR(α - حلقات αصف جميع الـ )Class of all α –rings

- نصفαصف جميع الحلقات P(α)Class of all α –semisimple rings البسيطة

πClass of all prime rings صف جميع الحلقات الأولية - نصفαصف جميع الحلقات الأولية

π بسيطة (α )Class of all prime α –semisimple rings

صف جميع الحلقات الجامدة )غيرOTClass of all idempotent rings النامية(

A H لب )قلب( الحلقة (A)Core (heart) of ring A

Ideal⊳ مثالي⊳ مثالي جوهري ⋅Essential ideal

NSet of normal numbers مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة العناصر معدومة القوة في

A N A

Set of nilpotent elements in A

مجموعة العناصر معدومة القوةAالبسيطة في

SN ASet of simple nilpotent elements in A

A annمعدم الحلقة AAnnihilator of A

المراجع ~lxviii~

1) Andrunakievich V. A. and Ryabukhin Yu.M., 1979, Radicalsofalgebrasandstructuretheory, (Russian), Nauka, Moscow.

2) Armendariz E.P., 1968, HereditarysubradicalsofthelowerBaerradical, Publ. Math. Debrecen.15, page 91-93.3) Divinsky N. J., 1965, RingsandRadicals, Univ. of Toronto Press, Toronto.4) Gardner B.J. , Wiegandt R., 2004, Radicaltheoryofrings , Marcel Dekker.5) Grätzer G.A., 2003 ,Generallatticetheory , 663 pages.6) Korolczuk H., 1981, Anoteonthelatticespecialradicals , Bull. Acad. Polo. Sc. Sci. Math. Vol XXIX ,No 3-4 , pages 103-104.7) Korolczuk H., 1982 , KratyRadykalowPierscieni , Warszawa.8) Köthe G.,1930, DieStmkturderRinge,derenRestklassenringnachdemRadikalvollständigreduzibelist, Math. Zeitschr. 32, page161-186.

9) Krempa J., 1972, Lowerradicalpropertiesforalternativerings, Bull. Acad. Polon. Sci.23, page 139-142.10)Leavitt W.G., 1967, Setsofradicalclasses, Publ. Math. Debrecen, 14, page 321-324.11)Musser G.L., On linear semiprime (p; q) radicals, Pacific J. Math., Vol. 37, No. 3, 1971, page 749-757.12)Puczylowski E.R., 1980, Onunequivocalrings, Acta Math. Acad. Sci. 36, page57-62.13)Ryabukhin Yu.M., 1993, OvernilpotentandSpecialradicalsofalgebraandModule, Kisiniev (Steinke). 80 - 93.

14)Steinberg S.A., 2010, Lattice-orderedRingsandModules , Toledo ,OH, USA.15)van Leeuwen L. C. A. , Roos C. and Wiegandt R., 1977, Characterizationsofsemisimpleclasses, J. Austral. Math. Soc. 23, page 172-182.

~lxix~

الملخص قمنا في هذه الأطروحة بإثبات مجموعة من النتائج والنظريات التي

أجبنا بها عن الأسئلة المطروحة من خلالتخص شبكة الأسس للحلقات، [ وهي:13 في ]J.M.Rjabuhinالعالم )راجبوهين(

هي شبكة بول؟Sهل شبكة الأسس الخاصة (1SCشبكة الصفوف الخاصة وSما العلاقة بين شبكة الأسس الخاصة (2

؟ هي شبكة ذرية؟ ∗- حلقةهل شبكة الأسس الخاصة المولدة بـ(3

رغم أنها شبكة تامة ليست شبكةLحيث بينا أن شبكة جميع الأسس معيارية، وبالتالي ليست شبكة بول، كما ذكرنا أمثلة وضحنا فيها أن كل منثة، شبكة جميع الأسس معدومة القوة، وشبكة الأسس شبكة الأسس المور الخاصة ليست شبكات متممة رغم أنها شبكات توزيعية تامة، وبالتالي فهي

ليست شبكات بول، وهذا يجيب عن السؤال الأول.ات في شبكة الأسس المورثة هي حتما من كما أثبتنا أن جميع الذر

(.Q )أي أساس أدنى لحلقة بسيطة lQالشكل ات في شبكة الأسس الخاصة أثبتنا الآتي:Sأما بالنسبة للذر

إذا كانα يا خاصا، عندئذ إما أن يكون من أجلα=lQ أساسا ذرα محددة أوQحلقة بسيطة ≤ βφ.

ليكنαأساسا خاصا حيث β<α عندئذ يكون αيا خاصا في ذر غير صفرية منA من أجل كل حلقة α=lA إذا وفقط إذا كان Sالشبكة π⋂R(αالصف ).

لتكنA حلقة أولية، عندئذ الأساس lAيا خاصا إذا وفقط يكون ذر تحقق الشرط الآتي:Aإذا كانت الحلقة

ومن أجل كل صورةA غير صفري للحلقة I )*( من أجل كل مثالي -lI هي A، فإن الحلقة A الذي هو حلقة أولية في I للمثالي Iتشاكلية

حلقة. يكون الأساس في حينα ة في إذاشبكة الأسس الخاصة ذر

R(αوفقط إذا كان الصف )⋂P(β وتحقق الشرط الآتي:0≠()R(α)P من الصف A)**( من أجل كل حلقة β)ومن أجل كل أساس

- نصف بسيطة.𝛾-حلقة أو حلقة 𝛾 هي A تكون الحلقة 𝛾خاص وجدنا الآتي:SCوفي شبكة صفوف الأسس الخاصة

~lxx~

ات في الشبكة π هي من الشكل SCالذر A الصف. إذ برهنا أن ة في الشبكة Mالخاص M=π إذا وفقط إذا كان SC يكون ذر Aمن أجل

، ومنه استنتجنا أن كل صف خاص غير خال يحويAحلقة أولية محددة ة من الشبكة .SCذر

ات في شبكة صفوف الأسس وبالمقابل أشباه هي منSCالذرπالشكل {π¿ A الصف الخاص . إذ برهنا أنMة في يكون شبه ذرM=π إذا وفقط إذا كان SCالشبكة {π ¿A من أجل حلقة أولية محددة A،

ة من ومنه استنتجنا أن كل صف خاص غير خال محتوى في شبه ذر.SCالشبكة

شبكة وS الأسس الخاصة وحصلنا من ذلك على العلاقة بين شبكة M من خلال المبرهنة الآتية: إذا كان الصف الخاص SCالصفوف الخاصة

ة β≠U، بحيث إن SCفي الشبكة شبه ذر M فإن ،U M.ة خاصة هو ذر من أجل أية حلقةlA=lQ هي *- حلقة فإن Aكما برهنا أنه إذا كانت

تحوي مثاليا أصغريA إذا وفقط إذا كانت الحلقة Qبسيطة بشكل حلقةاجامدة.

AbstractIn this dissertation we proved some of results and theorems about the lattice of radicals of rings. To answer on the questions of J.M.Rjabuhin in [13 ]:1) Is the lattice of special radicals S is a Boolean lattice?2) What is the relationship between the lattice of special radicals S and the lattice of special radical classes SC?

~lxxi~

3) Is the lattice of special radicals which is Generated by *-ring is an atomic lattice? For that we showed that the lattice of all radicals L is not a modular lattice, so it is not a Boolean one. And we gived examples show that all of the lattices of hereditary , overnilpotent and special radicals are not complemented lattices , so also they are not Boolean ones; so we answered the first question. And we proved that all the atoms in the lattice of hereditary radicals are as lQ where Q is a simple ring. However about the atoms in the lattice of special radicalS we proved the following:

If the special radical α is an atom in S, then either α=lQ where A is a simple ring or α ≤ βφ. Let α is a special radical where β<α, then α is an atom in the lattice S if and only if α=lA for every nonzero ring A from π⋂R(α ). Let A is a prime ring, then the radical lA is an atom in S if and only if the ring A satisfy this condition:(**) For every nonzero ideal I in A, and for every homomorphic image I of I which is a prime ideal in A, then the ring A is lI –ring. The radical α is an atom in the lattice of special radicals if and only if R(α )⋂P(β )≠0 and satisfy the condition: (**) For every ring A from the class R(α )P( β), and for every special radical 𝛾 ,the ring A is 𝛾-ring or 𝛾-semisimple.

And about the lattice of special radical classes SC we showed that: ~lxxii~

the atoms in the lattice of special radical classes are as π A. Because we proved that the special class M is an atom in SC if and only if M=π A for a specific prime ring A. So every nonempty special class contain an atom from the lattice SC. On the other side; the coatoms in the lattice of special radical classes are as π {π¿ A. Because we proved that the special class M is a coatom in SC if and only if M=π {π ¿A for a specific prime ring A. So every nonempty special class is contained in a coatom from the lattice SC.So we realized the relationship between the lattice of special radicals S and the lattice of special radical classes SC from this theorem:Let the special class M is a coatom in SC where β≠U M, then U M is a special atom. And we proved that if the ring A is *-ring , then lA=lQ for any simple ring Q if and only if the ring A contain a smallest ideal as an idempotent ring.

~lxxiii~