Modul MTE3104 Matematik Keputusan

(Matematik Pendidikan Rendah) Tahun 1 Semester 2

MTE 3104 MATEMATIK KEPUTUSAN

Disediakan Oleh

FARM CHOON MOY Institut Pendidikan Guru Kampus Raja Melewar

& Dr HU LAEY NEE

Institut Pendidikan Guru Kampus Sarawak

Januari 2012

MTE3104: Matematik Keputusan

Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM i

Kandungan Topik Muka Surat 1 PENGENALAN MATEMATIK KEPUTUSAN 1-1 1.0 Pengenalan 1-1 1.1 Definisi Matematik Keputusan 1-2 1.2 Alat-Alat Dalam Matematik Keputusan :

Analisis Keputusan Berisiko 1-3 2 JENIS-JENIS CARIAN 2-1

2.1 Pengenalan Kepada Carian (Searching) 2-1

2.2 Algoritma Carian Linear 2-1 2.3 Algoritma Carian Indeks Berurutan 2-3 2.4 Algoritma Carian Binari 2-3

3 PENGATURCARAAN LINEAR 3-1

3.1 Pentaksiran masalah dan pembentukan ketaksamaan atau persamaan yang berkenaan 3-1

3.2 Masalah pengurusan yang ringkas dalam

pengaturcaraan linear 3-4 3.2.1 Model Matematik yang menggunakan

pembolehubah xi 3-4

3.2.2 Menggeneralisasikan Masalah Pengaturcaraan linear 3-5

3.2.3 Penentuan nilai optimum ax + by (ax1 + bx2)

dengan kaedah graf 3-5

3.3 Jenis-Jenis Masalah Pengaturcaraan Linear 3-16

3.3.1 Penyelesaian Tak Terhingga / Penyelesaian Infinit 3-16

3.3.2 Rantau Tersaur adalah Sifar 3-16 3.3.3 Rantau Tersaur adalah Tak Terbatas 3-17 3.3.4 Degenerasi / Degenerat / Kemerosotan 3-18


Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM ii

3.4 Pengaturcaraan Linear Dengan Kaedah Simpleks 3-20

3.4.1 Bentuk Piawai 3-20

3.4.1.1 Bentuk piawai untuk masalah pemaksimuman z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn subjek kepada a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ d 3-20

3.4.1.2 Bentuk piawai untuk masalah pemaksimuman z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn yang berkekangan a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ d 3-22

3.4.2 Terminologi Dan Tatatanda 3-24 3.4.3 Huraian Kaedah Simpleks Secara Geometri 3-24 3.4.4 Algoritma Kaedah Simpleks 3-26 3.4.5 Rumusan Kaedah Simpleks 3-30 3.4.6 Penyelesaian masalah pengaturcaraan linear

dengan MS Excel 3-30 3.4.6.1 MS Excel 2003 dan versi yang lebih

rendah 3-30

3.4.6.2 MS Excel 2007 dan versi yang lebih tinggi 3-31

3.4.6.3 Penyediaan lembaran kerja (worksheet) untuk Solver 3-31

3.4.5.4 Penggunaan Solver 3-32

4 GRAF 4-1

4.1 Definisi 4-1

5 RANGKAIAN 5-1

5.1 Pengenalan 5-1 5.2 Algoritma Kruskal 5-2 5.3 Algoritma Prim 5-3

5.4 Penggunaan Algoritma Prim ke atas jadual atau matriks 5-4


Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM iii

5.5 Algoritma Dijkstra 5-14 6 ANALISIS LALUAN KRITIKAL 6-1

6.1 Pengenalan 6-1

6.2 Definisi elemen-elemen yang digunakan dalam diagram rangkaian 6-1

6.3 Peraturan semasa melukis diagram rangkaian 6-2 6.4 Algoritma untuk membina diagram rangkaian 6-4 6.5 Teknik menomborkan peristiwa Ford-Fulkerson 6-5 6.6 Terminologi 6-7 6.7 Kelebihan menggunakan teknik menomborkan

peristiwa Ford-Fulkerson 6-7

6.8 Kelemahan menggunakan teknik menomborkan peristiwa Ford-Fulkerson 6-7

6.9 Kelebihan / kebaikan analisis laluan kritikal 6-7 6.10 Kelemahan / keburukan analisis laluan kritikal 6-7 6.11 Operasi diagram rangkaian 6-15

6.12 Laluan Ke Depan 6-15 6.13 Laluan ke belakang 6-15

6.14 Pengiraan masa apungan/ lebihan/ lapangan ( float/ slack) 6-16

6.15 Pengiraan Laluan Kritikal 6-17 6.16 Pengurusan resos 6-24 6.17 Pengimbangan/ penambahbaikan resos 6-28

7 ALGORITMA 7-1

7.1 Pengenalan dan definisi algoritma 7-1


Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM iv

8 ALGORITMA HEURISTIK 8-1

8.1 Algoritma Heuristik untuk bin-packing 8-1 8.2 Algoritma First-fit 8-1

8.3 Algoritma menurun First-fit (First-fit decreasing) 8-1

8.4 Algoritma full-bin 8-1 8.5 Aplikasi algoritma heuristik 8-2

9 KAEDAH MENGISIH (SORTING) 9-1

9.1 Pengenalan 9-1

9.2 Isihan Pilihan secara tukar ganti 9-1 9.3 Isihan Buih (Bubble sort) 9-2 9.4 Isihan Shuttle (shuttle sort) 9-3 9.5 Isihan Cepat/ pantas (Quick sort) 9-3

Rujukan


Cik Farm CM, Dr. Hu LN, IPGM 1-1

Pengenalan Matematik Keputusan (1 jam)

1.0 PENGENALAN Cara terbaik untuk memulakan kursus dalam matematik keputusan adalah mengkaji pelbagai masalah yang anda dapat menyelesaikan.

• Bagaimana anda mencari laluan terpendek antara dua tempat? • Bagaimanakah anda membentuk laluan keselamatan di sebuah bangunan? • Bagaimana anda merancang suatu kerja, dalam penggunaan masa yang paling

berkesan? • Bagaimana anda memadankan kemahiran-kemahiran pekerja untuk kerja-kerja

yang perlu dilakukan dengan baik? • Bagaimana pengilang boleh memaksimumkan keuntungan?

Dalam 40 tahun yang lalu, pembangunan kaedah-kaedah untuk menyelesaikan masalah-masalah kompleks di atas telah diiringi dengan kemajuan teknologi komputer. Pembangunan kaedah-kaedah ini membolehkan kita untuk menjana penyelesaian sebenar. Ini sebenarnya bukanlah satu bidang baru dalam matematik tetapi disebabkan perkembangan pesat dalam pembangunan kaedah-kaedah untuk membuat keputusan dalam penyelesaian masalah hanya berlaku dalam beberapa tahun kebelakangan ini. Pada 1666, ahli matematik Jerman, Gottfried Leibniz menerbitkan The Art of Combinatorics - apa yang beliau namakan sebagai kajian penempatan, penyusunaturan dan pemilihan objek-objek. Kita mempertimbangkan semua masalah membuat keputusan berdasarkan empat tajuk. Kewujudan: Adakah penyelesaian wujud terhadap masalah ini? Pembinaan: Jika penyelesaian tidak wujud, bagaimana anda boleh membina

suatu kaedah untuk mencari penyelesaian? Pengangkaan: Berapa banyak penyelesaian yang ada? Bolehkah anda senaraikan

semua? Pengoptimuman: Jika terdapat beberapa penyelesaian, mana yang terbaik?

Bagaimana anda tahu bahawa ini adalah penyelesaian yang terbaik? Matematik diskret, juga dikenali sebagai matematik terhingga atau Matematik Keputusan, merupakan kajian struktur matematik yang asasnya diskret, dalam erti kata tidak menyokong atau memerlukan tanggapan keselanjaran. Kebanyakan, jika bukan semua, objek pembelajaran dalam matematik terhingga merupakan set boleh bilang, seperti integer, graf terhingga, dan bahasa formal. Matematik diskret telah menjadi popular di dekad kebelakangan ini kerana penggunaannya dalam sains komputer. Konsep dan tatatanda dari matematik diskret adalah berguna dipelajari atau menggambarkan objek atau masalah dalam algoritma komputer dan bahasa pengaturcaraan. Dalam kurikulum matematik tertentu, kursus matematik terhingga meliputi konsep matematik diskret untuk perniagaan, sedangkan kursus matematik diskret menekankan konsep-konsep untuk jurusan sains komputer. The best way to start a course in decision mathematics is to look at the sorts of problems that you will be able to solve. • How do you find the shortest route between two places? • How would you design the fire exit routes in a building? • How would you plan a job, to make the most efficient use of your time? • How can you best match the skills-of workers to jobs that need to be done?



• How can a manufacturer maximize profits? In the past 40 years, the development of methods for solving complex problems like those listed above has been accompanied by advances in computer technology that have allowed us to generate real solutions. Although recent years have seen rapid progress in the development of techniques for solving decision-making problems, this is not a new branch of mathematics. In 1666, the German mathematician Gottfried Leibniz published The Art of Combinatorics - what he called the study of placing, ordering and choosing objects. We consider all decision-making problems under four headings. Existence: Does a solution to the problem exist? Construction: If a solution does exist, how can you construct a method to find the solution? Enumeration: How many solutions are there? Can you list them all? Optimisation : If there are several solutions, which is the best one? How do you know that this is

the best solution? Discrete mathematics, also called finite mathematics or Decision Mathematics, is the study of mathematical structures that are fundamentally discrete, in the sense of not supporting or requiring the notion of continuity. Most, if not all, of the objects studied in finite mathematics are countable sets, such as integers, finite graph, and formal languages. Discrete mathematics has become popular in recent decades because of its applications to computer science. Concepts and notations from discrete mathematics are useful to study or describe objects or problems in computer algorithms and Programming languages. In some mathematics curricula, finite mathematics courses cover discrete mathematical concepts for business, while discrete mathematics courses emphasize concepts for computer science majors. 1.1 Definisi Matematik Keputusan Apa itu Matematik Keputusan? (What Is Decision Mathematics?)

• Satu cabang Matematik yang cuba untuk menyelesaikan masalah sebenar. • Terlibat dengan perniagaan, komputer, elektronik, dan sebagainya. • Peraturan-peraturan tetap, intuisi (kebolehan membuat pertimbangan secara sedar),

tradisi, dan analisis kewangan mudah yang sering digunakan tidak mencukupi atau tidak sesuai lagi untuk membuat keputusan

• Secara amnya, kuasa-kuasa persaingan merupakan desakan untuk membuat keputusan yang lebih berkesan di semua peringkat dalam organisasi.

• Biasanya dari satu set masalah praktikal, algoritma diperoleh untuk menyelesaikan semua masalah yang serupa jenis.

• Suatu algoritma ialah satu set arahan yang tepat untuk mencari penyelesaian kepada masalah asal

• Hari ini, algoritma boleh diprogramkan ke dalam komputer untuk menyelesaikan masalah membuat keputusan secara besar-besaran.

• A branch of Mathematics that attempts to solve real-life problems • Involved with business, computing, electronics, etc • Rules of thumb, intuition, tradition, and simple financial analysis are often no longer

sufficient for decisions making • In general, the forces of competition are imposing a need for more effective decision

making at all levels in organizations. • Usually from a set of practical problems, algorithms are derived to solve all problems of

the same type. • An algorithm is a precise set of instructions to find a solution to the original problem



• Today, algorithms could be programmed into a computer to solve very large scale decision-making problems.]

Contoh-contoh situasi yang memerlukan Matematik Keputusan:

• Menghantarkan surat khabar di dalam suatu kawasan perumahan • Mengurangkan kesesakan di pusat bandar raya dengan membentuk rangkaian jalan yang sehala • Mencari pasangan yang sesuai supaya hidup bahagia selama-lamanya • Mencari laluan terpendek antara 2 kota • Mendapatkan keuntungan maksimum perniagaan • Mampatkan data untuk penyimpanan tambahan pada cakera liut • Melindungi alam sekitar dengan mengurangkan bahan buangan • Pembungkusan bagasi dengan cara yang cekap.

[Examples of situations that needs Decision Mathematics:

• Delivering newspapers on a housing estate • Relieving congestion in a city centre by designing a one-way street network • Finding a suitable partner and living happily ever after • Finding the shortest route between 2 cities • Obtaining the maximum profit for a business • Compressing data for extra storage on a floppy disk • Protecting the environment by minimizing waste • Packing luggage in an efficient way.]

1.2 Alat-Alat Dalam Matematik Keputusan : Analisis Keputusan Berisiko

(Tools for Decision Analysis: Analysis of Risky Decisions)

Jika anda mula dengan kepastian, anda akan berakhir dengan keraguan, tetapi jika anda mula dengan keraguan, anda akan berakhir dengan kepastian yang hampir keseluruhan.

If you will begin with certainties, you shall end in doubts, but if you will content to begin with doubts, you shall end in almost certainties.

-- Francis Bacon Membuat keputusan merupakan tugas yang sangat penting bagi seseorang pengurus dan biasanya adalah sangat sukar. Bidang ini menawarkan prosedur membuat keputusan untuk menyelesaikan masalah yang rumit. Proses analisis keputusan kini wujud di dalam kedua-dua jenis keputusan yang dibuat sama ada untuk orang ramai atau persendirian. Proses ini menggunakan kriteria yang berbeza, informasi yang berlainan, dan informasi yang berlainan kualiti. Ia menjelaskan elemen, tujuan dan objektif dalam sesuatu analisis membuat keputusan yang terpilih. Isu-isu penting bagi seseorang pembuat keputusan ialah berkaitan dengan keinginannya, kebiasaannya, kriteria-kriteria membuat pilihan, dan bersama dengan alat penilaian berisiko. Making decisions is certainly the most important task of a manager and it is often a very difficult one. This site offers a decision making procedure for solving complex problems step by step.It presents the decision-analysis process for both public and private decision-making, using different decision criteria, different types of information, and information of varying quality. It describes the elements in the analysis of decision alternatives and choices, as well as the goals and objectives that guide decision-making. The key issues related to a decision-maker's preferences regarding alternatives, criteria for choice, and choice modes, together with the risk assessment tools are also presented.

Professor Hossein Arsham



Emosi dan Keputusan Berisiko • Ramai pembuat keputusan bergantung kepada emosi sewaktu membuat keputusan

berisiko • Ramai orang takut dengan akibat yang mungkin tidak diingini • Walaupun emosi adalah subjektif dan tidak rasional, ia sepatutnya menjadi

sebahagian daripada proses membuat keputusan • Emosi boleh menjadi panduan normatif semasa membuat pertimbangan mengenai

risiko yang boleh diterima dari segi moral. • Kebanyakan orang sering membuat pilihan daripada tabiat atau tradisi, tanpa

melalui langkah-langkah sistematik membuat keputusan. • Keputusan yang dibuat di bawah tekanan atau kekangan masa mengganggu

pertimbangan yang teliti daripada pilihan dan akibat. • Keputusan boleh dipengaruhi oleh keadaan emosi seseorang pada masa keputusan

dibuat. • Apabila manusia kekurangan maklumat atau kemahiran yang mencukupi, mereka

mungkin boleh membuat keputusan kurang optimum. • Walaupun manusia mempunyai masa dan maklumat, mereka sering melakukan

kerja yang kurang cekap terhadap kebarangkalian dan kesan-kesan. • Walaupun mereka tahu statistik, mereka lebih cenderung bergantung kepada

pengalaman peribadi daripada maklumat kebarangkalian. • Pertimbangan asas semasa membuat keputusan ialah menggabungkan maklumat

kebarangkalian serta maklumat kehendak dan minat. Emotions and Risky Decision

• Most decision makers rely on emotions in making judgments concerning risky decisions • Many people are afraid of the possible unwanted consequences • Even though emotions are subjective and irrational, they should be a part of the decision

making process • Emotions can be a normative guide in making judgments about morally acceptable risks. • Most people often make choices out of habit or tradition, without going through the

decision-making process steps systematically. • Decisions made under pressure or time constraints interfere with a careful consideration

of the options and consequences. • Decisions may be influenced by one's emotional state at the time a decision is made. • When people lack adequate information or skills, they may make less than optimal

decisions. • Even when people have time and information, they often do a poor job of understanding

theprobabilities of consequences. • Even when they know the statistics; they are more likely to rely on personal experience

thaninformation about probabilities. • The fundamental concerns of decision making are combining information about

probability with information about desires and interests



Teori Keputusan

Rajah 1.1 Carta alir teori keputusan Proses Membuat Keputusan (The Decision-Making Process)

• Dalam proses membuat keputusan di bawah keadaan ketidaktentuan, pembolehubah sering lebih banyak dan lebih sukar untuk diukur dan dikawal

• Langkah-langkah adalah seperti berikut: • Permudahkan

• Membina model keputusan • Menguji model • Menggunakan model untuk mencari penyelesaian

• Ia boleh digunakan berkali-kali untuk masalah yang serupa atau boleh diubahsuaikan

. • In decision making process under uncertainty the variables are often more numerous and

more difficult to measure and control • The steps are:

• Simplification • Building a decision model • Testing the model • Using the model to find the solution • It can be used again and again for Similar problems or can be modified.

Model Membuat Keputusan (Decision making model)

• Ia merupakan gambaran ringkasan keadaan sebenar • Ia tidak perlu lengkap atau tepat dalam semua aspek

Mengenal pasti situasi membuat keputusan dan memahami objektif

Mengenal pasti pilihan-pilihan yang mungkin

Mengurai dan membentuk masalah

Pilih alternatif terbaik

Analisis Kepekaan

Melaksanakan alternatif yang terpilih

Ya

Tidak

Perlu analisis lanjutan?



• Ia menumpukan kepada hubungan yang paling penting dan mengabaikan yang kurang penting.

• Ia adalah lebih mudah difahami dari keadaan empirik dan, seterusnya masalah akan lebih mudah diselesaikan dengan masa dan usaha yang minimum.

• It is a simplified representation of the actual situation • It need not be complete or exact in all respects • It concentrates on the most essential relationships and ignores the less essential ones. • It is more easily understood than the empirical situation and, hence, permits the problem

to be more readily solved with minimum time and effort. Contoh Aplikasi Membuat Keputusan Dalam Perniagaan Dengan Penggunaan Komputer (Examples of computer business applications in decision making)

• Seseorang juruaudit boleh menggunakan teknik persampelan rawak untuk mengaudit akaun yang diterima dari pelanggan.

• Pengurus kilang boleh menggunakan teknik kawalan kualiti statistik untuk memastikan kualiti pengeluaran dengan ujian atau pemeriksaan yang minimum.

• Seorang penganalisis kewangan boleh menggunakan regresi dan korelasi untuk membantu memahami hubungan suatu nisbah kewangan kepada satu set pembolehubah lain dalam perniagaan.

• Seorang penyelidik pasaran boleh menggunakan ujian signifikan untuk menerima atau menolak hipotesis tentang sekumpulan pembeli di firma mana berhasrat menjual suatu produk tertentu.

• Seorang pengurus jualan boleh menggunakan teknik statistik untuk unjuran jualan bagi tahun yang akan datang.

• An auditor can use random sampling techniques to audit the account receivable for client. • A plant manager can use statistic quality control techniques to assure the quality of his

production with a minimum of testing or inspection. • A financial analyst may use regression and correlation to help understand the relationship

of afinancial ratio to a set of other variables in business. • A market researcher may use test of significant to accept or reject the hypotheses about a

group of buyers to which the firm wishes to sell a particular product. • A sale manager may use statistical techniques to forecast sales for the coming year.


Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM 2-1

2.0 JENIS-JENIS CARIAN (Kuliah 2 jam + Tutorial 2 jam)

2.1 Pengenalan Kepada Carian(Searching)

Mencari senarai bagi item tertentu adalah tugas yang umum. Dalam aplikasi yang sebenar, senarai item yang kerap digunakan adalah rekod (contohnya rekod pelajar), dan senarai pelaksanaan sebagai tata susunan objek. Matlamatnya adalah untuk mencari rekod tertentu, dikenalpastikan dengan nama atau nombor ID seperti nombor pelajar. Mencari senarai elemen sepadan untuk mencapai maklumat sasaran dalam rekod (misalnya alamat pelajar). Perbincangan algoritma carian berikut menggunakan model masalah carian yang mudah - senarai hanya merupakan tata susunan integer-integer. Teknik-teknik carian dengan nyatnya boleh digeneralisasikan kepada data yang lebih realistik.

Konsep kecekapan (atau kerumitan/kompleks) adalah penting apabila membandingkan algoritma. Untuk tugasan dan senarai yang panjang, seperti carian adalah perlu berulang-ulang, maka pilihan algoritma alternatif menjadi penting kerana mereka mungkin berbeza dari pelbagai tahap kecekapan. Untuk menggambarkan konsep kecekapan algoritma (atau kerumitan), dua algoritma umum dipertimbangkan untuk senarai mencari: carian linear dan carian binari.

Searching a list for a particular item is a common task. In real applications, the list items often are records (e.g. student records), and the list is implemented as an array of objects. The goal is to find a particular record, identified by name or an ID number such as a student number. Finding the matching list element provides access to target information in the record - the student's address, for example. The following discussion of search algorithms adopts a simpler model of the search problem - the lists are just arrays of integers. Clearly, the search techniques could generalize to more realistic data.

The concept of efficiency (or complexity) is important when comparing algorithms. For long lists and tasks, like searching, that are repeated frequently, the choice among alternative algorithms becomes important because they may differ in efficiency. To illustrate the concept of algorithm efficiency (or complexity), we consider two common algorithms for searching lists: linear search and binary search.

Jenis-jenis Carian 1. Algoritma carian linear 2. Algoritma carian indeks berurutan (Indexed sequential search algorithm) 3. Algorithma carian binari

2.2 Algoritma Carian Linear Cara yang paling mudah mencari sesuatu adalah bermula dari awal, dan terus mencari sehingga anda mendapat! Ini merupakan carian linear. The very simplest way of searching for something is to start at the beginning, and keep looking until you find it! This is a linear search. Ini merupakan algoritma carian termudah, anda menyemak setiap item data untuk melihat jika ia memenuhi kriteria anda. Tidak terdapat sekatan ke atas data; ia akan bekerja walaupun data tidak tersusun. Bagaimanapun, ianya paling tidak cekap. Jika item



yang anda cari tidak ada, anda masih perlu memeriksa setiap item data. Bayangkan, mencari nama seseorang dengan mencari melalui direktori telefon jika diberikan nombor telefon mereka! Ia biasanya lebih bermakna jika menyusun data dalam suatu cara yang sesuai mengikut kehendak anda. Selalunya. Set data yang sama boleh disusun dengan cara yang berbeza untuk memudahkan pelbagai jenis permintaan carian. Sebagai contoh, katalog perpustakaan adalah disusun mengikut pengarang dan judul buku. Jika data disusun, terdapat dua algoritma yang kita boleh pertimbangkan untuk guna. This is the simplest of the search algorithms, in which you check each item of data in turn to see if it satisfies your criterion. There are no restrictions on the data; it will work even if the data are not ordered. It is, however, most inefficient. If the item for which you are looking is not there, you will still have checked every item of data. Imagine trying to find the name of a person, given their telephone number, by searching the telephone directory! It is usually worth ordering the data in a way that suits your requirements. Often the same set of data will be ordered in different ways to facilitate different types of search request. For example, a library catalogue is ordered both according to author and according to book title. If the data are ordered there are two algorithms that we can consider using. Contoh 2.1:

10 7 1 3 -4 2 20

Rajah 2.1: Tata susunan (array) yang dicari

Berapa perbandingan yang anda perlu buat untuk mencari nombor 3? Penyelesaian 2.1:

10 7 1 3 -4 2 20 Bukan 3

10 7 1 3 -4 2 20 Bukan 3

10 7 1 3 -4 2 20 Bukan 3

10 7 1 3 -4 2 20 Ya → Empat perbandingan Contoh 2.2: Hazel ingin pergi berjumpa dengan kawan barunya Joanne yang tinggal di ‘The Beeches”, Autumn Drive. Bagaimana dia mencari rumah itu dengan menggunakan carian linear? Penyelesaian 2.2: Dia berjalan sepanjang Autumn Drive dari awal, semak setiap nama rumah dalam urutan sehingga dia jumpa ”The Beeches”. Maka dia berhenti.



2.3 Algoritma Carian Indeks Berurutan (Indexed Sequential Search Algorithm) Carian indeks, sebagaimana nama dicadangkan, menggunakan indeks untuk mempercepatkan carian. Manakala ianya mungkin merupakan carian indeks sepenuhnya (iaitu, setiap item dirujuk dalam indeks secara individu), ianya lebih lazim menggunakan satu atau lebih peringkat indeks, diikuti oleh carian linear. Data terlebih dahulu disusun dan kemudian disubbahagikan. Satu senarai tambahan atau indeks yang mengandungi item pertama atau item terakhir dalam setiap subbahagian diwujudkan. Seperti kaedah yang digunakan dalam sebuah kamus di mana indeks ditempatkan di sudut sebelah kanan atas halaman. Untuk mencari perkataan yang diberi, anda membuka halaman secara berurutan, lihat indeks untuk mengesan halaman perkataan itu ada. Kemudian anda laksanakan carian linear pada halaman terpilih. Anda perlu membuat sub-senarai untuk satu set data yang disimpan pada sistem komputer. Sebagai contoh, jika anda mempunyai senarai kod telefon kawasan untuk Malaysia yang disusun nama bandar, sub-senarai boleh mengandungi kedudukan bandar pertama yang namanya bermula dengan A, B, C, ... , dan sebagainya. Oleh itu untuk mencari Kuala Lumpur, sub-senarai pertama dalam carian adalah mencari K. Ini akan memberi kedudukan dari mana untuk memulakan carian linear data utama. An indexed search, as name suggests, uses an index to speed up the search. Whilst it is possible for a search to be fully indexed (that is, every item is individually referenced in the index), it is more common to use one or more levels of index, followed by a linear search. The data are first ordered and then subdivided. An extra list or index is then created containing the first or last item in each subdivision. Such a method is used in a dictionary where the index is positioned at the top right-hand corner of the page. To find a given word, you first leaf through the pages, looking at the index, to locate the page that the word is on. Then you carry out a linear search on the selected page. For a set of data held on a computer system you would need to create a sub-list. For example if you had a list of the telephone area codes for the UK ordered by town name, the sub-list could contain the position of the first town whose name began with A, B, C, ... , etc. Thus to find York, the sub-list would first be searched to find Y. This would give the position from which to start the linear search of the main data. Contoh 2.3: Darren tidak dapat ingat bagaimana mengeja perkataan isomorphic. Kamusnya mempunyai tab halaman bagi setiap abjad, dan perkataan pertama pada setiap muka surat dicetak tebal pada hujung atas halaman berkenaan. Bagaimana dia mencari perkataan itu? Penyelesaian 2.3: Dia lihat ke bawah tab halaman sehingga jumpa abjad I. Dia buka kamus itu pada halaman ini, kemudian lihat satu halaman berikutnya dan seterusnya sehingga dia jumpa perkataan mula dengan IS. Kemudian, dia mencari secara linear dalam halaman berkenaan sehingga jumpa perkataan isomorphic. Catatan: Carian indeks ini menggunakan dua peringkat indeks dan diikuti oleh carian linear. 2.4 Algoritma Carian Binari Jika item yang kita cari berada dalam tata susunan rawak, kami tidak mempunyai banyak pilihan selain daripada melakukan carian linear. Bagaimanapun, jika ianya berada dalam



tata susunan, kita boleh mengurangkan bilangan item yang mesti diperiksa. Salah satu kaedah yang paling umum ialah Carian Binari (dua pilihan sahaja) yang sentiasa menyingkirkan separuh data perbandingan. If the items we are searching through are in random order, we do not have much choice other than to make a linear search. However, if they are ordered, we can considerably reduce the number of items we must check. One of the most common methods is the Binary Search. This works by continually halving the possibilities .Note: - decisions with 2 choices

- eliminate half of the data

Mula-mula data disusun dalam tertib menaik. Kemudian lakukan langkah-langkah berikut: Langkah 1 Lihat item tengah.

Jika item ini dikehendaki, maka carian itu selesai. Jika tidak, item itu sama ada di separuh atas (sebelum) atau bawah (selepas): membuat keputusan separuh perbandingan mana dengan item tengah.

Langkah 2 Gunakan langkah 1 untuk memilih separuh. Pada setiap peringkat bilangan item yang dicari adalah separuh. The data are first sorted into ascending order. The following steps are then carried out: Step 1 Look at the middle item.

If this is the required item the search is finished. If not, the item is in either the top or bottom half: decide which half comparison with the middle item.

Step 2 Apply step 1 to the chosen half. At each stage the number of items to be searched is halved, hence the name the algorithm. Contoh 2.4: Cari huruf “S” dalam perkataan “H E R T F O R D S H I R E”. Penyelesaian 2.4: H E R T F O R D S H I R E Nomborkan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

separuhkan 72131

=+

, 102137

=+

, 5.82107

=+

Contoh 2.5: Henry memikirkan satu nombor di antara 1 dan 100. Paul ingin meneka apa nombor itu. Bagaimana dia harus meneka? Penyelesaian 2.5:

Bil Tekaan Paul Respon Henry 1 50 Terlalu besar 2 25 Terlalu kecil 3 37 Terlalu kecil 4 44 Terlalu besar 5 40 Terlalu kecil 6 42 Terlalu besar 7 41 Betul

- menentukan apa yang perlu dicari - nomborkan data anda - mencari titik tengah (nombor bulat terdekat) - mencari data dan menyingkirkan separuh data - ulang sehingga mendapat keputusan



Latihan Algoritma Carian: 1. Tentukan carian mana yang digunakan untuk yang berikut:

a) mencari 'lexico-graphical' dalam kamus Bahasa Inggeris. b) mencari 'algorithms' dari laman web. c) mencari sebuah buku dalam perpustakaan.

2. Jody sedang mencari sebuah buku yang berkaitan dengan “English Civil War”. Apakah strategi yang sesuai digunakan?

3. Karen hendak membeli sebuah basikal. Dia tahu terdapat sebuah kedai basikal di Jalan Yam Tuan dan boleh sampai ke sana dengan bas, tetapi bas hanya berhenti di hujung Jalan Yam Tuan. Bagaimanakah dia dapat mencari kedai berkenaan dengan menggunakan carian linear?

4. Anda sedang main permainan “hangman” di mana anda perlu meneka huruf mengikut turutan. Setiap kali anda salah teka, anda akan dimaklumkan bahawa huruf itu adalah sebelum atau selepas huruf yang diteka. Apakah strategi yang sesuai digunakan?

1. Decide which search:

a) To find 'lexico-graphical' in a dictionary. b) To find 'algorithms' from the internet. c) To find a book in library.

2. Jody is looking in the library for a book about the English Civil War. What would be a sensible strategy?

3. Karen wants to buy a bicycle. She knows there is a bicycle shop on the High Street, and can catch a bus that will drop her at the end of the High Street. How does she find the shop, using a linear search?

4. You are playing a version of hangman, in which you guess each letter of the word in turn. Each time you guess, if you are wrong you are told whether the correct letter is earlier or later in the alphabet than your guess. What would be a sensible strategy?

Jawapan Latihan algoritma carian: 1. (a) Carian indeks berurutan (b) Carian linear (c) Carian indeks berurutan 2. Mula di seksyen Sejarah Mencari seksyen sejarah British Mencari perang saudara 3. Naik bas sehingga hujung jalan Berjalan sepanjang jalan itu, semak setiap kedai mengikut turutan 4. Mula dengan M atau N Jika diberitahu di sebelum, teka F; Jika selepas, teka U. i.e.: sentiasa separuhkan abjab-abjab yang tinggal.



Tutorial 1.1 (2 jam) Buat aktiviti-aktiviti Dalam Decision Math D1.

(i) Aktiviti 1.3, 1.4 dan 1.5 (page 22-23)



(ii) Latihan 1E (page 28-39) Soalan 8, 15 dan 17.



Jawapan 1E



3.0 Pengaturcaraan Linear ( Linear Programming) - 10 jam Pengaturcaraan linear merupakan pendekatan penyelesaian masalah yang telah dibentuk untuk membantu pengurus-pengurus membuat keputusan. Di dalam terminologi pengaturcaraan linear, memaksimumkan dan meminimumkan kuantiti adalah dirujukkan sebagai objektif kepada masalah. Oleh itu objektif bagi semua masalah pengaturcaraan linear adalah memaksimumkan atau meminimumkan beberapa kuantiti. Terdapat batasan atau syarat atau kekangan yang mengehadkan pencapaian objektif. Biasanya, masalah yang dihadapi oleh seseorang pengurus syarikat atau pemimpin pertubuhan adalah sangat kompleks dan melibatkan banyak pembolehubah serta kekangan. 3.1 Pentaksiran masalah dan pembentukan ketaksamaan atau persamaan yang berkenaan Untuk membentukkan ketaksamaan atau persamaan daripada masalah yang diberikan, kita perlu mentaksirkan masalah itu terlebih dahulu dengan menentukan pembolehubah Pembolehubah ialah suatu kuantiti yang nilainya tidak tetap. Misalnya, suhu ialah satu pembolehubah kerana suhu beruhah-ubah sepanjang hari. Pembolehubah boleh diwakilkan dengan suatu huruf abjad yang sesuai, Misalnya, pembolehubah suhu boleh diwakilkan dengan t. Contoh 3.1: Eddy ingin membeli beberapa buah buku rujukan dan buku kerja dengan menggunakan selebih-lebihnya RM30. Sebuah buku rujukan berharga RM5, manakala sebuah buku kerja berharga RM3. (a) Berapakah bilangan buku rujukan yang dapat dibeli oleh Eddy, jika dia tidak mernbeli

sebarang buku kerja? (b) Berapakah bilangan buku kerja yang dapat dibeli oleh Eddy, jika dia tidak membeli

sebarang buku rujukan? (c) Jika Eddy ingin mernbeli 2 buah buku rujukan sahaja, berapakah bilangan buku kerja

yang dapat dibelinya? (d) Jika Eddy ingin mernbeli 4 buah buku kerja sahaja,berapakah bilangan buku rujukan

yang dapat dibelinya? (e) Bentukkan ketaksamaan bagi bilangan setiap jenis buku yang dapat dibeli oleh Eddy

jika dia ingin membelanjakan selebih-lebihnya RM20 sahaja? Penyelesaian 3.1: Menentukan pembolehubah: Dalam masalah ini, pembolehubah ialah bilangan buku rujukan dan bilangan buku kerja. Katakan x = bilangan buku rujukan yang dibeli oleh Eddy y = bilangan buku kerja yang dibeli oleh Eddy Membentukkan ketaksamaan: (a) Harga bagi x buah buku rujukan = RM 5x. Maka 5x ≤ 30 ← selebih-lebihnya RM 30 sahaja x ≤ 6 Bilangan maksimum buku rujukan yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 6 buah.



(b) Harga bagi y buku kerja = RM 3y. Maka 3y ≤ 30 ← selebih-lebihnya RM 30 sahaja y ≤ 10 Bilangan maksimum buku kerja yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 10 buah. (c) Harga bagi 2 buah buku rujukan = RM 10. Maka 10 + 3y ≤ 30 ← Jumlah harga tidak boleh melebihi RM 30. 3y ≤ 20

y ≤ 320

y ≤ 6 ← Bilangan buku mestilah suatu nombor bulat. Bilangan maksimum buku kerja yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 6 buah. (d) Harga bagi 4 buah buku kerja = RM 12. Maka 5x + 12 ≤ 30 ← Jumlah harga tidak boleh melebihi RM 30. 5x ≤ 18

x ≤ 5

18

y ≤ 3 ← Bilangan buku mestilah suatu nombor bulat. Bilangan maksimum buku rujukan yang dapat dibeli oleh Eddy ialah 3 buah. (e) Jumlah harga bagi x buah buku rujukan dan y buah kerja ialah RM (5x+ 3y ). Jika Eddy ingin membelanjakan selebih-lebihnya RM 20 sahaja, maka 5x+ 3y ≤ 20 Contoh 3.2: Persatuan Ibu Bapa dan Guru Sekolah Menengah Murni ingin menubuhkan sebuah jawatankuasa kecil untuk mengendalikan suatu larian amal, yang bertujuan untuk mengutip derma bagi pembinaan sebuah makmal di sekolah tersebut. Jawatankuasa itu terdiri daripada x orang ibu bapa dan y orang guru. Jawatankuasa itu mesti mempunyai sekurang-kurangnya 6 orang ahli tetapi tidak melebih 12 orang ahli. Bilangan guru yang maksimum ialah 5 orang dan bilangan ibu bapa adalah 2 kali ganda bilangan guru. Tafsirkan masalah ini dan seterusnya bentukkan ketaksamaan atau persamaan yang berkenaan. Penyelesaian 3.2: Jawatankuasa kecil itu mengandungi sekurang-kurangnya 6 orang ahli. Ini bermakna jumlah ahli jawatankuasa itu , iaitu (x+ y) orang adalah lebih besar daripada atau sama dengan 6 orang. Maka ketaksamaan yang berkenaan ialah x + y ≥ 6 Tetapi bilangan ahli jawatankuasa kecil itu tidak melebihi 12 orang. Ini bermakna (x+ y) orang adalah kurang daripada atau sama dengan 12 orang. Maka ketaksamaan yang berkenaan ialah x + y ≤ 12 Bilangan guru yang maksimum ialah 5 orang bermakna y adalah kurang daripada atau sama dengan 5. Maka ketaksamaan yang berkenaan ialah y ≤ 5 Bilangan ibu bapa, x, adalah 2 kali ganda bilangan guru, y, bermakna x = 2y



Bilangan ibu bapa dan guru tidak mungkin bernilai negatif.

Perhatian : x dan y mesti nombor bulat.

Jumlah bilangan pelancong yang boleh dibawa oleh kedua-dua jenis bas mesti melebihi atau sama dengan 250 orang.

Jumlah jisim bagasi yang boleh dibawa oleh kedua-dua jenis bas mesti melebihi atau sama dengan 2500 kg.

Dua ketaksamaan lagi yang boleh dibentukkan bagi masalah ini ialah x ≥ 0 dan y ≥ 0 Jadi, ketaksamaan dan persamaan yang dikehendaki ialah x + y ≥ 6, x + y ≤ 12 , y ≤ 5, x = 2y, x ≥ 0 dan y ≥ 0. Contoh 3.3: Sebuah agensi pelancongan tertentu ingin membawa 250 orang pelancong dan 2500 kg bagasi dari lapangan terbang ke sebuah hotel tertentu. Agensi itu mempunyai dua jenis bas, iaitu bas mini dan bas besar. Bas mini boleh membawa 25 orang penurnpang dan 200 kg bagasi, manakala bas besar pula boleh membawa 45 orang penumpang dan 350 kg bagasi. Jumlah bilangan bas yang digunakan hanya 8 buah. Bentukkan ketaksamaan atau persamaan yang berkenaan. Penyelesaian 3.3: Data yang diberi boleh dijadualkan seperti berikut.

Jenis bas Bilangan pelancong per bas Jisim bagasi per bas Bas Mini 25 orang 200 kg Bas Besar 45 orang 350 kg

Jumlah bilangan pelancong = 250 orang Jumlah jisim bagasi = 2500 kg Bilangan bas yang digunakan = 8 buah Dalam masalah ini, pemboleh ubah ialah bilangan bas mini dan bilangan bas besar. Katakan x = bilangan bas mini dan y = bilangan bas besar Bilangan pelancong yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 25x Bilangan pelancong yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 45y Jumlah bilangan pelancong yang boleh dibawa oleh kedua-dua jenis bas = 25x + 45y Jadi, ketaksamaan yang berkenaan ialah 25x + 45y ≥ 250 iaitu 5x + 9y ≥ 50 Jisim bagasi yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 200x kg Jisim bagasi yang boleh dibawa oleh x buah bas mini = 350y kg Jumlah jisim bagasi yang boleh dibawa oleh kedua-dua jenis bas = (200x + 350y ) kg Jadi, ketaksamaan yang berkenaan ialah 200x + 350y ≥ 2500 iaitu 4x + 7y ≥ 50 Jumlah bilangan kedua-dua jenis bas = x + y Jadi, persamaan yang berkenaan ialah x + y = 8 Dua ketaksamaan lagi bagi bilangan bas mini dan bas besar ialah x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jadi, ketaksamaan dan persamaan yang berkenaan dengan masalah ini ialah 5x + 9y ≥ 50, 4x + 7y ≥ 50, x + y = 8, x ≥ 0 dan y ≥ 0. Perhatian : Dalam masalah ini, x dan y mesti nombor bulat.



3.2 Masalah pengurusan yang ringkas dalam pengaturcaraan linear Contoh 3.4 : Sebuah syarikat kilang alat permainan menghasilkan basikal permainan dan trak permainan dengan menggunakan tiga jenis mesin, iaitu mesin acuan, mesin larik dan mesin pemasangan. Pengurus kilang berhasrat untuk menghitungkan bilangan basikal dan trak permainan yang sepatutnya dihasilkan setiap hari supaya mendapat profit harian yang maksimum. Maklumat-maklumat yang diberikan adalah seperti berikut :

• Menghasilkan sebuah basikal permainan memerlukan satu jam di mesin acuan, tiga jam di mesin larik dan satu jam di mesin pemasangan.

• Menghasilkan sebuah trak permainan memerlukan satu jam di mesin larik dan satu jam di mesin pemasangan. Mesin acuan tidak digunakan untuk membuat trak permainan.

• Mesin acuan hanya boleh digunakan selama tiga jam setiap hari. • Mesin larik hanya boleh digunakan selama dua belas jam setiap hari. • Mesin pemasangan hanya boleh digunakan selama tujuh jam setiap hari. • Semua alat permainan yang dibuat oleh kilang dapat dijual. • Profit sebanyak RM 8 untuk setiap basikal dan RM 5 untuk setiap trak.

3.2.1 Model Matematik yang menggunakan pembolehubah xi Katakan x1 = bilangan basikal permainan yang dihasilkan pada setiap hari x2 = bilangan tak permainan yang dihasilkan pada setiap hari Profit harian sebanyak RM 8x1 untuk setiap basikal dan RM 5x2 untuk setiap trak. Maka jumlah profit harian syarikat itu ialah z = 8x1 + 5x2

Profit syarikat berkenaan akan dikekang dengan kemudahan mesin-mesin yang terdapat. Sebagai contoh, mesin larik boleh digunakan selama dua belas jam sehari. Memandangkan setiap basikal memerlukan tiga jam dan setiap trak memerlukan satu jam pada mesin larik, profit syarikat berkenaan akan dikekangkan dengan ketaksamaan 3x1 + 1x2 ≤ 12 iaitu 3x1 + x2 ≤ 12

Kekangan(constraint) ini dinamakan sebagai kekangan mesin larik. Dengan penjelasan yang sama, kekangan mesin acuan yang terbentuk ialah 1x1 + 0x2 ≤ 3 iaitu x1 ≤ 3

dan kekangan pemasangan ialah 1x1 + 1x2 ≤ 7 iaitu x1 + x2 ≤ 7

Seterusnya, syarikat berkenaan tidak mungkin menghasilkan bilangan alat permainan yang negatif. Dengan itu, profit syarikat berkenaan juga dikekangkan oleh ketaksamaan-ketaksamaan remeh (trivial inequalities) x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0 Gabungkan semua ungkapan di atasm model mathematik untuk maslah pengeluaran alat permainan akan menjadi seperti berikut : Memaksimumkan : z = 8x1 + 5x2

Subjek kepada : 3x1 + x2 ≤ 12 x1 ≤ 3 x1 + x2 ≤ 7 x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0



Masalah seperti yang diterangkan di atas adalah masalah pengaturcaraan linear. Fungsi z = 8x1 + 5x2 dinamakan sebagai fungsi objektif, ketaksamaan-ketaksamaan pula dinamakan sebagai kekangan-kekangan, ketaksamaan-ketaksamaan remeh x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0 digelar sebagai syarat ketidaknegatifan (non-negativity conditions) dan pemboleh ubah x1 dan x2 digelar sebagai pemboleh ubah berstruktur (structural variables). 3.2.2 Menggeneralisasikan Masalah Pengaturcaraan linear Masalah pengaturcaraan linear boleh digeneralisasikan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dalam bentuk berikut :

z = c0 +∑=

n

iii xc

1, ℜ∈ic i∀

subjek kepada : • m kekangan linear. Ini boleh seperti yang berikut :

Jenis 1 : ∑=

≤n

jiiji bxa

1

Jenis 2 : ∑=

=n

jiiji bxa

1

ℜ∈iij ba , ji,∀

Jenis 3 : ∑=

≥n

jiiji bxa

1

di mana 0≥ib i∀ . Jika bi bernilai negatif, kita boleh positifkan ketaksamaan itu dengan mendarabkan dengan -1.

• Syarat ketidaknegatifan iaitu 0≥ix i∀ Kita boleh menggunakan kaedah graf atau kaedah algebra seperti kaedah simpleks untuk menyelesaikan masalah seperti di atas. Kini, kebanyakan masalah yang kompleks dapat diselesaikan dengan bantuan komputer. Walau bagaimanapun, hanya masalah yang melibatkan dua pembolehubah sahaja yang dapat diselesaikan melalui kaedah graf. 3.2.3 Penentuan nilai optimum ax + by (ax1 + bx2) dengan kaedah graf Nilai optimum ax + by atau ax1 + bx2 adalah nilai terbesar atau nilai terkecil bagi ax + by /ax1 + bx2. Satu rantau yang memenuhi semua kekangan secara serentak dinamakan rantau tersaur /kawasan tersaur (feasible region) akan terbentuk apabila kaedah graf digunakan. Memandangkan ketaksamaan masalah pengaturcaraan linear biasanya adalah lemah ( ≤ atau ≥ ), nilai-nilai x1 dan x2 yang terletak di atas sempadan (boundary) juga termasuk dalam rantau tersaur. Kita akan menggunakan contoh 3.4 untuk perbincangan lukisan graf seterusnya.

• x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0 memberi maklumat bahawa rantau tersaur mesti terletak dalam sukuan pertama dalam satah x1 - x2.

• Graf 3x1+ x2 =12 adalah seperti berikut, nilai-nilai x1 dan x2 adalah dalam kawasan tertutup yang berlorek dan atas garisan lurus untuk memenuhi 3x1 + x2 ≤ 12.



14

12

10

8

6

4

2

5 10 x 10

3x 1 + x2 =12

x 2

14

12

10

8

6

4

2

5 10 x 10

x 1 =3

x 2

8

6

4

2

5 10

x 1 + x2 =7

x 10

Rajah 3.1

• Graf x1 = 3 pula berbentuk seperti rajah 3.2, nilai-nilai x1 dan x2 adalah dalam kawasan berlorek yang terbuka pada bahagian atas dan termasuk nilai di atas garisan lurus untuk memenuhi x1 ≤ 3.

Rajah 3.2

• Graf x1 + x2 = 7 terbentuk dalam rajah 3.3, menunjukkan nilai-nilai x1 dan x2 adalah dalam kawasan tertutup yang berlorek dan atas garisan lurus untuk memenuhi x1 + x2 ≤ 7.

Rajah 3.3 Masalah pengaturcaraan linear perlu memuaskan semua kekangan secara serentak. Oleh itu kawasan tersaur merupakan kawasan sepunya untuk semua kekangan. Maka kawasan tersaur bagi contoh 3.4 adalah seperti rajah 3.4.



14

12

10

8

6

4

2

5 10

3x 1 + x2 =12

x 1 =3

x 1 + x2 =7

x 10

x 2

14

12

10

8

6

4

2

-2

5 10

z =10

3x 1 + x2 =12

x 1 =3

x 1 + x2 =7

x 10

x 2

14

12

10

8

6

4

2

-2

5 10

z =40

z =30z =20z =10

3x 1 + x2 =12

x 1 =3

x 1 + x2 =7

x 10

x 2

Rajah 3.4 rantau tersaur Untuk mendapatkan penyelesaian optimum iaitu profit harian yang maksimum, nilai x1 dan x2 mesti berada di atas sempadan atau di dalam kawasan tertutup yang berlorek. Oleh itu, kita boleh melukis garis z pada sebarangan nilai. Untuk tujuan ini, kita akan gunakan z = 8x1+ 5x2 =10 iaitu profit maksimumnya sekurang-kurangnya RM10. Rajah 3.5 Sekarang kita boleh ulang langkah di atas dengan melukis garis- garis bagi 8x1+ 5x2 =20, 8x1+ 5x2 =30 dan 8x1+ 5x2 = 40 ke atas rajah yang sama seperti rajah 3.6. Rajah 3.6



Langkah ①

14

12

10

8

6

4

2

5 10

z =40

3x 1 + x2 =12

x 1 =3

x 1 + x2 =7

x 10

x 2

Langkah ②

Garis z = 40 dalam rajah 3.6 menunjukkan profit harian yang maksimum sekurang-kurangnya RM 40. Kita dapat melihat dari rajah, apabila nilai k bertambah, garis z = k bergerak ke arah jauh dari asalan. Ini bermakna semasa mencari nilai maksimum, garis fungsi objektif perlu bergerak sejauh yang mungkin dari asalan dalam kawasan tersaur, manakala garis z = k akan bergerak ke arah asalan jika ingin menyelesaikan masalah meminimumkan fungsi objektif. Semasa kita menggerakan garis fungsi objektif jauh dari asalan, kita akan dapat satu titik terjauh yang terletak di titik persilangan bagi garis 3x1 + x2 =12 dan x1 + x2 = 7. bucu optimum Rajah 3.7 Titik ini dipanggil bucu optimum. Penyelesaian untuk semua masalah pengaturcaraan linear akan terletak atas sempadan rantau tersaur dan biasanya merupakan satu bucu. Fakta ini akan menolong kita membuat pertimbangan untuk masalah yang lebih rumit. Untuk mendapatkan penyelesaian optimum, kita akan membaca koordinat-koordinat bagi bucu optimum. Walau bagaimanapun, koordinat-koordinatnya yang dicari dengan cara menyelesaikan persamaan serentak adalah lebih jitu. Persamaan-persamaan yang terlibat dalam contoh 3.4 ialah : 3x1 + x2 = 12 x1 + x2 = 7 Penyelesaian untuk persamaan-persamaan di atas ialah x1 = 2.5 dan x2 = 4.5. Gantikan nilai-nilai ini ke dalam fungsi objektif, kita akan mendapat nilai z = 42.5. Kita boleh merumuskan bahawa syarikat kilang permainan dalam contoh 3.4 dapat memaksimumkan profitnya dengan cara membuat 5 unit basikal permainan dan 9 unit trak permainan pada setiap dua hari. Profit harian yang maksimum adalah RM42.50. Contoh 3.5: mencari nilai optimum dengan sesiku dan pembaris Bina rantau yang memuaskan ketaksamaan

3x + 2y ≤ 60, x + 2y ≤ 30, x ≥ 10 dan y ≥ 0. Jika (x, y) ialah satu titik dalam rantau itu, cari nilai minimum bagi x + 2y dan nilai maksimum bagi 2x + y. Penyelesaian 3.5 Lukis garis lurus 3x + 2y = 60, x + 2y = 30, x = 10 dan y = 0. Bina rantau R yang memuaskan ketaksamaan 3x + 2y ≤ 60, x + 2y ≤ 30, x ≥ 10 dan y ≥ 0.



Langkah ③

Langkah ④

y

x10 20 30 40

10

20

30

40

x=10

2x + y = 40

3x + 2y = 60

x + 2y = 30

x + 2y = 102x + y = 102x + y = 10

R

Dengan menggunakan pembaris dan sesiku, lukiskan satu garis lurus yang selari dengan x + 2y = 30, yang merentasi rantau R dan mempunyai nilai pintasan-y terkecil.

Lukis garis lurus 2x + y = 10. Dengan menggunakan pembaris dan sesiku, lukiskan satu garis lurus yang selari dengan 2x + y = 10, yang merentasi rantau R dan mempunyai nilai pintasan-y terbesar. Rajah 3.8 Daripada graf 3.8, didapati garis tebal yang mempunyai nilai pintasan-y terkecil melalui (10, 0) yang terletak dalam rantau R. Jadi, nilai minimum bagi x + 2y ialah 10 + 2(0) = 10. Daripada graf 3.8, juga didapati garis yang mempunyai nilai pintasan-y terbesar (20, 0) yang terletak dalam rantau R. Jadi, nilai maksimum bagi 2x + y ialah 2(20) + 0 = 40. Contoh 3.6: Encik Yunus ialah pengurus bagi sebuah kilang tekstil yang mempunyai 200 orang pekerja. Dia telah menyediakan tidak lebih daripada 4 buah bas besar dan beberapa buah bas mini untuk membawa pekerja-pekerjanya datang bekerja dan menghantar mereka balik apabila tamat bekerja. Muatan sebuah bas besar ialah 40 orang manakala muatan sebuah bas mini pula ialah 20 orang sahaja. Kos operasi bagi setiap bas besar dan bas mini masing-masing ialah RM30 dan RM20 sehari. Diberi bahawa Encik Yunus hanya dapat mengupah 9 orang pemandu bas, cari bilangan bas besar dan bas mini yang harus digunakan supaya kos operasi adalah minimum. Seterusnya, kirakan kos operasi minimum yang diperlukan. Penyelesaian 3.6: Apa yang dikehendaki? ....... (a) Bilangan bas besar dan bas mini (b) Kos operasi minimum Apakah data yang diberi? ...... Jumlah pekerja = 200 orang Jumlah pemandu = 9 orang Muatan bas besar = 40 orang Muatan bas mini = 20 orang Bilangan bas besar tidak melebihi 4 buah Kos operasi sebuah bas besar = RM 30 sehari Kos operasi sebuah bas mini = RM 20 sehari Bagaimanakah menyelesaikannya ? (a) Tentukan pembolehubah, tafsirkan masalah dan bentukkan ketaksamaan (b) Bina rantau yang memuaskan ketaksamaan (c) Tentukan nilai optimum



Bilangan bas tidak mungkin bernilai negatif.

y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

R

x = 4

x + y = 9

2x +y=10

60=30x +20y

k = 30x+20y (4,2)

Katakan bilangan buah bas besar ialah x dan bilangan buah bas mini ialah y. Maka jumlah muatan x buah bas besar = 40x Maka jumlah muatan y buah bas besar = 20y Jadi, jumlah bilangan pekerja yang boleh dibawa oleh x buah bas besar dan y buah bas mini = 40x +20y. Jumlah ini mestilah lebih besar daripada atau sama dengan jumlah bilangan pekerja kilang. Maka ketaksamaan yang berkenaan ialah

40x + 20y ≥ 200 iaitu 2x + y ≥ 10 Oleh kerana bilangan bas besar tidak melebihi 4, maka ketaksamaan yang boleh dibentuk ialah x ≤ 4 Jumlah bilangan bas = x + y Diberi bahawa hanya terdapat 9 orang pemandu bas maka x + y ≤ 9. Dua ketaksamaan lagi yang boleh dibentukkan ialah

x ≥ 0 dan y ≥ 0 Lukiskan garis-garis lurus 2x + y = 10, x = 4, x + y = 9, x = 0 dan y = 0. Lorekkan rantau yang memuaskan ketaksamaan 2x + y ≥ 10, x ≤ 4, x + y ≤ 9, x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jadi, rantau R memuaskan ketaksamaan-ketaksamaan tersebut. Rajah 3.9 Menentukan nilai optimum: Jumlah kos operasi = RM 30x + RM 20y. Maka kos operasi minimum yang diperlukan merupakan nilai minimum bagi 30x + 20y. Lukiskan garis lurus k = 30x + 20y dengan suatu nilai k yang sesuai, katakan k = 60. Ini bermakna lukiskan garis 60 = 30x + 20y. Kemudian, lukiskan suatu garis selari k = 30x + 20y, yang merentasi rantau R dan mempunyai nilai pintasan-y terkecil. Didapati bahawa apabila garis k = 30x + 20y melalui titik (4, 2) yang terletak di dalam R, pintasan-y adalah terkecil. Ini bermakna 30x + 20y mempunyai nilai minimum pada titik (4, 2), iaitu 4 buah bas besar dan 2 buah bas mini harus digunakan supaya kos operasi adalah minimum. Jadi, nilai minimum bagi 30x + 20y ialah 30(4) + 20 (2) = 160, iaitu kos operasi minimum yang diperlukan ialah RM 160 sehari.



Contoh 3.7: Seorang saudagar teh mempunyai 20 kg serbuk teh gred A dan 36 kg serbuk teh gred B. Saudagar teh itu memperkenalkan dua jenis serbuk teh campuran, iaitu Fantasi dan Aromatik kepada pelanggannya. Fantasi dihasilkan dengan mencampurkan serbuk teh gred A dan B dalam nisbah 1 : 3, manakala Aromatik pula dihasilkan dengan mencampurkan serbuk teh gred A dan B dalam nisbah 2 : 3. Saudagar teh itu akan memperoleh keuntungan sebanyak RM4 dengan penjualan 1 kg Fantasi dan RM5 dengan penjualan 1 kg Aromatik, Berapa banyakkah Fantasi dan Aromatik yang harus dijual oleh saudagar teh itu supaya memperoleh profit maksimum? Berapakah profit maksimum saudagar teh itu? Penyelesaian 3.7: Maklumat yang diberi dalam soalan boleh dijadualkan seperti berikut. Jenis teh Nisbah serbuk teh

gred A : gred B Pecahan serbuk teh gred A

Pecahan serbuk teh gred A

Keuntungan se kg

Fantasi 1 : 3 41

43

RM 4

Aromatik 2 : 3 52

53

RM 5

Katakan x kg teh Fantasi dan y kg teh Aromatik harus dijual oleh saudagar teh itu. Maka x ≥ 0 dan y ≥ 0. Ketaksamaan bagi jisim serbuk teh gred A yang digunakan ialah

41 x +

52 y ≤ 20

iaitu 5x + 8y ≤ 400 Ketaksamaan bagi jisim serbuk teh gred B yang digunakan ialah

43 x +

53 y ≤ 36

iaitu 5x + 4y ≤ 240 Rantau yang memuaskan ketaksamaan-ketaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 8y ≤ 400 dan 5x + 4y ≤ 240 adalah seperti yang ditunjukkan dalam graf di bawah. Rajah 3.10

Berat serbuk teh gred A = 20 kg

Berat serbuk teh gred B = 36 kg

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10

20

30

40

50

60 y

x

R

4x + 5y = 100 5x + 8y = 400

5x + 4y = 240

(16,40)



Profit Z = RM (4x + 5y). Andaikan Z = 100, lukiskan garis lurus 4x + 5y = 100. Kemudian menggunakan pembaris dan sesiku, lukiskan satu garis yang selari dengan 4x + 5y = 100 yang merentasi rantau R yang memberi pintasan-y terbesar. Dari graf, garis selari ini melalui titik (16, 40) dalam rantau R, maka Z = RM (4x + 5y) adalah maksimum pada titik(16, 40). Jadi, berat teh Fantasi dan Aromatik yang harus dijual masing-masing ialah 16 kg dan 40 kg. Maka profit maksimum yang diperoleh oleh saudagar teh itu ialah Z = RM (4x16 + 5 x 40) = RM 264. Latihan 3.1: 1. Lukiskan rautau R yang memuaskan ketaksamaan 3x + 2y ≥ 18, 3x + 5y ≤ 30, x ≥ 0 dan y ≥ 0. Jika x dan y ialah integer dan titik (x, y) terletak di dalam rantau R, cari nilai minimum bagi 7x + 6y dan nyatakan koordinat titik (x, y) yang memberikan nilai minimum itu.

2. Lukiskan rautau R yang memuaskan ketaksamaan 3x + 2y ≥ 24, x + y < 30, y ≤ x21

dan y ≥ 0. Jika (x, y) terletak di dalam rantau R, cari (a) nilai maksimum bagi 2x + 3y, (b) nilai minimum bagi x + y, (c) koordinat bagi titik (x, y) yang sepadan dengan (i) nilai maksimum dalam (a), (ii) nilai minimum dalam (b) 3. Sebuah kilang kereta di Kuala Lumpur ingin menghantar 50 buah kereta ke Ipoh dengan menggunakan treler. Kilang kereta tersebut telah memperoleh maklumat seperti dalam jadual berikut daripada sebuah syarikat pengangkutan.

Jenis Treler Muatan Kadar Sewa Treler panjang 100 buah kereta RM 1000 Treler biasa 5 buah kereta RM 600

Bagi setiap treler panjang yang disewa, sekurang-kurangnya 2 buah treler biasa perlu disewa juga. Berapakah bilangan treler panjang dan treler biasa yang mesti disewa oleh kilang kereta tersebut supaya kos pengangkutan yang perlu ditanggungnya adalah minimum? Kirakan nilai optimum itu. 4.

Jenis pil Alfa (unit) Beta (unit) Vitamin A 8 12 Vitamin B 16 4 Vitamin C 2 6 Harga sebiji (sen) 6 5

Kandungan vitamin dalam 2 jenis pil multi-vitamin, Alfa dan Beta, adalah seperti dalam jadual di atas. Jika seseorang memerlukan sekurang-kurangnya 400 unit vitamin A, 320 unit vitamin B dan 120 unit vitamin C, berapakah bilangan setiap jenis pil yang harus dibeli oleh orang itu dengan kos minimum? Berapakah kos minimum itu?



5. Sebuah kilang alat-alat elektrik ingin mengeluarkan 2 jenis kipas elektrik, iaitu kipas meja dan kipas siling. Setiap minggu kilang itu mempunyai bahan yang hanya mencukupi untuk mengeluarkan tidak lebih daripada 600 buah kipas meja dan 800 buah kipas siling. Penghasilan sebuah kipas meja memerlukan 3.5 jam-tenaga manusia, manakala sebuah kipas siling pula memerlukan 2 jam-tenaga manusia. Dalam seminggu, kilang itu mempunyai sebanyak-banyaknya 3000 jam-tenaga manusia. Jika keuntungan yang diperoleh daripada penjualan setiap kipas meja dan kipas siling masing-masing ialah RM8 dan RM5, cari bilangan setiap jenis kipas yang perlu dikeluarkan dalam seminggu supaya keuntungan kilang itu adalah maksimum. (satu jam-tenaga manusia ialah kerja yang dibuat oleh 1 orang dalam masa 1 jam.)

Jawapan Latihan 3.1:

3. Bilangan treler panjang = 4 4. Bilangan pil Alfa = 14 Bilangan treler biasa = 2 Bilangan pil Beta = 24 Sewa minimum = RM 5200 Kos minimum = RM 2.04 5. Bilangan kipas meja = 400 Bilangan kipas siling = 800 Keuntungan maksimum = RM 7200



Tutorial 3.1 1. Gunakan kaedah graf untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear: (i) Memaksimumkan : 212 xxz += Subjek kepada : 52 ≤x 122 21 ≤+ xx 0, 21 ≥xx (ii) Memaksimumkan : 21 32 xxz += Subjek kepada : 82 21 ≤+ xx 621 ≤+ xx 102 21 ≤+ xx 0, 21 ≥xx (iii) Meminimumkan : 21 32 xxz += Subjek kepada : 64 21 ≥+ xx 52 21 ≥+ xx 85 21 ≥+ xx 0, 21 ≥xx 2. Sebuah kilang kain mengeluarkan dua jenis kain iaitu Standard dan Deluxe. Kilang

akan dapat profit sebanyak RM1.00 untuk sekilogram Standard dan RM1.50 untuk sekilogram Deluxe. Kain Standard dihasilkan dengan menggunakan benang berwarna kelabu, merah dan hijau dalam nisbah 0.75: 0.125 : 0.125. Kain Deluxe pula dihasilkan dengan warna benang yang sama tetapi dalam nisbah 0.5: 0.333: 0.167. Pengurus kilang boleh membeli 750 kg benang kelabu, 200 kg benang merah dan 130 kg benang hijau sahaja pada setiap minggu. Pengurus kilang tersebut akan menggunakan model pengaturcaraan linear berikut untuk memaksimumkan profit mingguan kilangnya.

Memaksimumkan : 21 5.1 xxz += Subjek kepada : 7505.075.0 21 ≤+ xx 200333.0125.0 21 ≤+ xx 130167.0125.0 21 ≤+ xx 0, 21 ≥xx (i) Apa yang diwakili oleh pemboleh ubah 1x dan 2x ? (ii) Terangkan makna untuk setiap ungkapan dalam model ini. (iii) Penyelesaian optimum untuk masalah pengaurcaraan linear ini ialah 1x = 480, 2x = 420 dan z = 1110. Berdasarkan penyelesaian ini, terangkan strategi yang harus pengurus ini gunakan. . 3. Syarikat Jamesons Elektrik mengubah 2 orang pekerja sambilan Robyn dan Laura

untuk memperbaiki televisyen, video dan radio yang rosak. Pada setiap permulaan minggu, pengurus akan menentukan tempoh masa kerja mingguan Robyn dan Laura. Upah Robyn ialah RM 25 sehari dan upah Laura ialah RM22 sehari. Robyn boleh memperbaiki 1 televisyen, 2 video dan 6 radio pada setiap hari. Manakala Laura boleh memperbaiki 5 televisyen, 12 video dan 18 radio.



(i) Bentukkan model pengaturcaraan linear supaya pengurus syarikat dapat menentukan bayaran minimum mingguan untuk mengubahkan Robyn dan Laura.

(ii) Gunakan kaedah graf untuk menyelesaikan model di (i). Interprestasikan penyelesaian yang anda dapat.

4. Dengan menggunakan kaedah graf, selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut: (i) Memaksimumkan : 21 48 xxz +−= Subjek kepada : 221 ≤− xx 32 21 −≥− xx 421 −≥− xx 0, 21 ≥xx (ii) Memaksimumkan : 21 xxz += Subjek kepada : 22 ≥x 21 ≤x 121 ≥− xx 0, 21 ≥xx (iii) Memaksimumkan : 21 xxz += Subjek kepada : 12 21 −≥− xx 22 21 ≤− xx 0, 21 ≥xx Jawapan : 1. (i) 1x =12, 2x = 0, z = 24 (i) 1x =2, 2x = 4, z = 16 (iii) 1x =1, 2x = 2, z = 8 2. (i) 1x ialah amaun kain Standard, 2x ialah amaun kain Deluxe. (ii) Fungsi objektif memberikan profit mingguan kilang ini. Kekangan-kekangan menunjukkan keperluan ke atas 3 jenis benang yang berbeza. Ketidaknegatifan pemboleh ubah menunjukkan kilang ini tidak mungkin menghasilkan amaun negatif. (iii) Kilang ini seharusnya menghasilkan 480 kg kain Standard dan 420 kg kain Deluxe pada setiap minggu. Profit mingguan yang maksimum ialah RM 1110. 3. (ii) Pengurus harus mengubah Robyn untuk 2 hari dan 3 hari untuk Laura. Jumlah upah ialah RM 116. 4. (i) Semua titik di atas garis yang melalui (0,3) dan (1,5)--penyelesaian ketakterhinggaan. (ii) Tiada rantau tersaur (iii) Penyelesaian tak terbatas



3.3 Jenis-Jenis Masalah Pengaturcaraan Linear 3.3.1 Penyelesaian Tak Terhingga / Penyelesaian Infinit (Infinitely Many Solutions) Keadaan ini wujud apabila fungsi objektif adalah selari dengan sebelah rantau tersaur (feasible region) ini. Sebagai contoh, pertimbangkan masalah pemaksimuman dalam Rajah 3.11: Semua nilai x1 dan x2 di sepanjang garis yang selari dengan sebelah rantau tersaur memberikan nilai maksimum bagi z, maka masalah ini mempunyai penyelesaian tak terhingga. 3.3.2 Rantau Tersaur adalah Sifar (The Feasible Region is Empty) Rantau teraur akan menjadi sifar jika semua kekangan adalah saling bercanggahan (mutually contradictory) iaitu bercanggah antara satu sama lain. Malangnya, situasi ini bukan mudah dikenalpasti. Sebagai contoh, ianya bukan senang menjelaskan bahawa kekangan-kekangan berikut: 21 ≤x , 121 −≥− xx , 821 ≥+ xx bercanggahan antara satu sama lain. Cuba anda lukiskan rantau yang memuaskannya dan kenalpasti nilai tersaurnya dalam Rajah 3.12 a.

X2

X11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 – 1

2

4

6

8

10

– 2 x1+x2 =8

x1-x2

= -1

x1=2

Rajah 3.12 a

Lakaran seperti dalam Rajah 3.12 b yang diperoleh dan kita akan lihat bahawa tiada rantau dalam satah (x1, x2) yang memuaskan semua ketaksamaan berkenaan. Ini bermakna rantau tersaur adalah sifar. Dalam situasi ini, masalah pengaturcaraan linear dikatakan tak tersaur (infeasible).

Rajah 3.11

Optimum berganda

Garis z = k

Rantau tersaur



X2

X11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 – 1

2

4

6

8

10

– 2 x1+x2 =8

x1-x2

= -1x1=2

Nilai-nilai tersaur

Nilai-nilai tersaur

Nilai-nilai tersaur

Rajah 3.12 b 3.3.3 Rantau Tersaur adalah Tak Terbatas (The Feasible Region is Unbounded) Ini bergantung kepada jenis masalah pengaturcaraan linear yang perlu diselesaikan. Kes 1: Masalah Peminimuman Dalam masalah peminimuman, terdapat dua kemungkinan iaitu 1. Masalah mempunyai penyelesaian unik iaitu

Rajah 3.13

2. Masalah yang mempunyai penyelesaian tak terhingga iaitu Rajah 3.14 Kes 2: Masalah Pemaksimuman Dalam masalah pemaksimuman, terdapat tiga jenis kemungkinan iaitu

Fungsi objektif

Bucu optimum

Rantau tersaur

Fungsi objektif

Berganda (multiple)

Rantau tersaur



1. Masalah yang mempunyai penyelesaian unik iaitu

Rajah 3.15 2. Masalah yang mempunyai penyelesaian tak terhingga iaitu

Rajah 3.16 3. Masalah yang tak terbatas iaitu (tiada penyelesaian terhingga)

Rajah 3.17 Dalam kes ini, semua kekangan masih memuaskan walaupun fungsi objektif menjadi tak terhingga besar.

3.3.4 Degenerasi / Degenerat / Kemerosotan (Degeneracy) Degenerasi berlaku apabila tiga atau lebih kekangan bersilang pada bucu optimum iaitu

Bucu optimum

Fungsi objektif Rantau tersaur

Rantau tersaur Fungsi objektif

Optimum berganda

Fungsi objektif

Rantau tersaur



Rajah 3.18 Masalah ini wujud apabila terdapat kekangan berlebihan dalam masalah ini. Apabila menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dengan menggunakan kaedah graf degenerasi tidak menunjukkan masalah utama. Walau bagaimanapun, apabila menggunakan kaedah algebra seperti kaedah Simpleks, degenerasi menyebabkan algoritma berkitar dan tidak dapat mencari penyelesaian yang optimum. (This problem arises when there are redundant constraints in the problem. When solving a linear programming problem using the graphical method degeneracy does not present a major problem. However, when using algebraic methods like the Simplex method degeneracy causes the algorithms to cycle so that they unable to find the optimal solution.) Contoh 3.8: Dengan menggunakan kaedah graf, selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut: (a) Memaksimumkan : yxf += Subjek kepada : 02 ≤− xy 1002 ≤+ yx 30034 ≤+ yx 0,0 ≥≥ yx (b) Meminimumkan : yxf 32 += Subjek kepada : 4≥+ yx 1653 ≥+ yx 0,0 ≥≥ yx (c) Meminimumkan : yxz 47 += Subjek kepada : 112 ≥+ yx 10≤+ yx 183 ≤+ yx 164 ≥+ yx

Rantau tersaur

Fungsi objektif

Bucu optimum



(d) Memaksimumkan : yxz += Subjek kepada : 04 ≤− xy 10≤+ yx 204 ≤+ yx 0,0 ≥≥ yx Penyelesaian contoh 3.8: (a) x = 60, y = 20, f = 80 (b) x = 2, y = 2, f = 10 (c) x = 4, y = 3, z = 40 (d) z = 10 wujud pada sebarang titik antara A dan B pada garis y = 10-x

Jawab soalan Tutorial 3.1 No. 4 (muka surat 3-15)

3.4 Pengaturcaraan Linear Dengan Kaedah Simpleks Pengaturcaraan linear dengan kaedah simpleks dibangunkan pada tahun 1947 oleh

George Dantzig. Dalam kaedah simpleks, rutin pengiraan merupakan proses lelaran (iterative process). Lelaran bermaksud perbuatan mengulang-ulangkan sesuatu; maka, rutin pengiraan berulang-ulang mengikut pola yang piawai sehingga penyelesaian yang optimum dicapai.

Satu lagi ciri kaedah simpleks adalah bahawa setiap penyelesaian baru menghasilkan nilai fungsi objektif seberapa besar atau lebih besar daripada penyelesaian sebelumnya. Ciri penting ini meyakinkan kita bahawa kita sentiasa bergerak mendekati penyelesaian optimum. Akhirnya, kaedah menunjukkan penyelesaian optimum telah dicapai. 3.4.1 Bentuk Piawai Untuk menggunakan kaedah simpleks, ianya perlu menyatakan masalah dalam bentuk piawai. Bentuk piawai terbentuk apabila semua ketaksamaan kekangan dalam sesuatu model pengaturcaraan linear ditukarkan menjadi persamaan. Bagi masalah minimum yang bukan dalam bentuk piawai boleh ditulis semula dalam bentuk piawai dengan menggunakan konsep kedualan (duality) masalah pengaturcaraan linear dan ini adalah di luar sukatan.

3.4.1.1 Bentuk piawai untuk masalah pemaksimuman z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn subjek kepada a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ d Sekiranya masalah melibatkan pemaksimuman fungsi objektif dengan semua kekangan dengan ketaksamaan yang bersimbol ≤ , maka semua ketaksamaan

a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ d



perlu ditukarkan kepada persamaan dengan menambahkan pemboleh ubah lalai (slack variable). Pemboleh ubah lalai mewakili resos yang tidak digunakan: ini mungkin dalam bentuk masa mesin, jam buruh, wang, ruang gudang atau mana-mana nombor resos dalam pelbagai masalah perniagaan. Proses menambah pemboleh ubah lalai kepada kekangan untuk menjana persamaan dipanggil pengimbuhan (augmentation). Pemboleh ubah asal dalam masalah sebelum pengimbuhan dikenali sebagai pemboleh ubah keputusan atau struktur. Bentuk piawai persamaan akan menjadi

a1x1 + a2x2 + ... + anxn + si = d

dan fungsi objektif z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn akan menjadi z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn + si

Contoh 3.9: Joe Perabot Sdn. Bhd membuat dua jenis produk, meja dan kerusi, yang perlu diproses melalui bahagian pertukangan dan bahagian memvarnis. Bahagian pertukangan diberikan 60 jam; bahagian memvarnis boleh mengendalikan kerja sehingga 48 jam. Pembuatan satu meja memerlukan 4 jam di bahagian pertukangan dan 2 jam di bahagian memvarnis. Untuk sebuah kerusi, memerlukan 2 jam dalam bahagian pertukangan dan 4 jam di bahagian memvarnis. Jika keuntungan untuk sebuah meja ialah RM8 dan sebuah kerusi ialah RM6, cari bilangan meja dan kerusi yang harus dihasilkan supaya memperoleh keuntungan maksimum. Penyelesaian 3.9: Bentukkan model pengaturcaraan linear: Biarkan x1 = bilang meja yang dihasilkan dan telah dijual Biarkan x2 = bilang kerusi yang dihasilkan dan telah dijual Masalah ini boleh diringkaskan seperti yang berikut: Memaksimumkan: f = 8x1 + 6x2 (jumlah profit ) subjek kepada kekangan : 4x1 + 2x2 ≤ 60 ------------① ( kekangan jam pertukangan) 2x1 + 4x2 ≤ 48 ------------② ( kekangan jam memvarnis) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ( kekangan ketidaknegatifan) Interpretasikan konsep pemboleh ubah lalai, maka kekangan ① akan menjadi 4x1 + 2x2 + s1 = 60 -----------③ di mana s1 ialah pemboleh ubah ketidaknegatifan yang mempunyai nilai di antara 0 hingga 60, yang mewakili pembolehubah ubah lalai atau masa pertukangan yang tidak digunakan. Jika x1 = 0 dan x2 = 0, maka s1 = 0. Ini bermakna tiada meja atau kerusi yang dihasilkan dalam satu hari, maka terdapat 60 jam masa pertukangan yang tidak digunakan. Jika x1 = 5 dan x2 = 10, maka s1 = 20. Ini bermakna jika 5 buah meja dan 10 buah kerusi yang dihasilkan dalam satu hari, maka masa pertukangan yang tidak digunakan ialah 20 jam. Jika x1 = 10 dan x2 = 15, maka s1 akan menjadi -10. Bagaimana pun nilai ini adalah tidak tersaur. Ini memberi maksud bahawa tiada sehari pun yang mempunyai masa pertukangan yang cukup untuk menghasilkan 10 meja dan 15 kerusi. Jika x1 = 10 dan x2 = 10, maka s1 = 0. Ini bermakna jika 10 buah meja dan 10 buah kerusi yang dihasilkan dalam satu hari, maka masa pertukangan yang tidak digunakan adalah 0 jam.



Persamaan untuk kekangan ② akan menjadi seperti yang berikut: 2x1 + 4x2 + s2 = 48 ------------④

di mana ialah pemboleh ubah ketidaknegatifan yang mempunyai nilai dari 0 hingga 48, dan mewakili bilangan unit lalai atau masa memvarnis yang tidak digunakan. Bentuk Piawai model pengaturcaraan linear yang terbentuk adalah seperti yang berikut: Memaksimumkan: f = 8x1 + 6x2 + 0 s1 + 0s2 subjek kepada : 4x1 + 2x2 + s1 = 60 2x1 + 4x2 + s2 = 48 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0 3.4.1.2 Bentuk piawai untuk masalah pemaksimuman z = A1x1 + A2x2 +... + Anxn yang berkekangan a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ d Secara umumnya, dalam suatu model pengaturcaraan linear, bukan semua kekangan mempunyai ketaksamaan yang sama (contohnya, ≤). Terdapat juga kekangan dalam ketaksamaan yang berlainan (contohnya, ≥). Sekiranya masalah melibatkan pemaksimuman fungsi objektif dengan kekangan yang bersimbol ≥ , salah satu cara yang senang ialah mendarabkan ketaksamaan dengan -1 untuk menukarkan ≥ kepada ≤. Selepai itu persamaan yang terbentuk ditambahkan pemboleh ubah lalai. Contoh 3.10: Tuliskan model pengaturcaraan linear berikut dalam bentuk piawai. Memaksimumkan zyxf 32 ++= Subjek kepada 6≤++ zyx -------① 63 ≤+ yx ----------② 92 ≥− zx ----------③ 0,0,0 ≥≥≥ zyx Penyelesaian 3.10: Kekangan ① dan ② boleh terus ditukarkan kepada bentuk piawai dengan senang seperti yang berikut: x + y + z + s1 = 6 x + 3y + s2 = 6 Kekangan ③ mempunyai simbol ≥, maka darabkan kekangan ③ dengan -1, dan ketaksamaan akan menjadi -2x + z ≤ -9 dan apabila ditambahkan pemboleh ubah lalai, persamaan yang terbentuk akan menjadi -2x + z + s3 = -9 Dengan itu bentuk piawai model pengaturcaraan linear yang terbentuk adalah: Memaksimumkan: zyxf 32 ++= + 0 s1 + 0s2 + 0s3 Subjek kepada : x + y + z + s1 = 6 x + 3y + s2 = 6 -2x + z + s3 = -9 di mana x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0, s3 ≥ 0 Nota: Sekiranya fungsi objektif adalah meminimumkan, maka bentuk piawai persamaan fungsi ini boleh juga ditukarkan menjadi memaksimumkan –f.



Sebenarnya kekangan bersimbol lebih besar atau sama dengan (≥), misalnya 300510 ≥+ yx boleh menggunakan pendekatan yang berbeza dengan kekangan yang bersimbol ≤. Ia melibatkan penolakan pemboleh ubah lebihan (surplus variable) dan bukannya penambahan pemboleh ubah lalai. Pemboleh ubah lebihan memberitahu kita berapa banyak penyelesaian melebihi resos kekangan. Oleh kerana analoginya kepada pembolehubah lalai, pemboleh ubah lebihan kadang-kadang dipanggil lalai negatif (negative slack). Menukar kekangan 300510 ≥+ yx , kita menolak pemboleh ubah lebihan, katakan s1 untuk mendapatkan persamaan:

300510 1 =−+ syx Jika x = 25 dan y = 20, maka pemboleh ubah lebihan atau resos yang tidak digunakan boleh dihitung seperti yang berikut:

300510 1 =−+ syx ( ) ( ) 3002052510 1 =−+ s

250 + 100 – s1 = 300 – s1 = 300 – 350 s1 = 50 unit lebihan

Pemboleh ubah lebihan ini menginterpretasikan resos lebihan yang digunakan atau hasilan lebihan yang melebihi kehendak minimum sesuatu masalah. Pemboleh ubah lalai dan pemboleh ubah lebihan sebenarnya tiada perbezaan yang jelas. Ini kerana jika

300510 ≥+ yx didarabkan -1 akan menjadi 300510 −≤−− yx . Apabila ditambahkan pemboleh ubah lalai, persamaan akan menjadi 300510 1 −=+−− syx , dan ini adalah sama dengan 300510 1 =−+ syx . Secara amnya, masalah pengaturcaraan linear mungkin mempunyai kekangan-kekangan yang berlainan simbol iaitu simbol ≤, ≥ dan = wujud bersama dalam satu model. Contoh 3.11: Tuliskan model pengaturcaraan linear berikut dalam bentuk piawai. Memaksimumkan yxf 22 += Subjek kepada 123 ≤+ yx 133 ≥+ yx 3=− zx 0,0 ≥≥ yx Penyelesaian 3.11: Bentuk piawai untuk model pengaturcaraan linear ini ialah Memaksimumkan: yxf 22 += + 0 s1 + 0s2 Subjek kepada : x + y + s1 = 12 3x + y - s2 = 13 atau -3x - y + s2 = -13 x - y = 3 x ≥ 0, y ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0 Bentuk piawai model ini telah menunjukkan pemboleh ubah lalai diperlukan untuk kekangan yang bersimbol ≤ dan pemboleh ubah lebihan diperlukan untuk kekangan yang bersimbol ≥, tetapi persamaan tidak memerlukan sebarang pemboleh ubah.



3.4.2 Terminologi Dan Tatatanda • Suatu penyelesaian masalah pengaturcaraan linear yang diperoleh dengan menetapkan

beberapa pemboleh ubah kepada sifar dipanggil penyelesaian asas. • Penyelesaian asas yang memenuhi syarat-syarat ketaknegatifan dipanggil

penyelesaian asas tersaur (basic feasible solution). • Pemboleh ubah yang nilainya sifar dipanggil pemboleh ubah bukan asas (non-basic

variables) . • Pemboleh ubah yang nilainya bukan sifar dipanggil pemboleh ubah asas (basic

variables). Contoh 3.12: Pertimbangkan masalah pengaturcaraan linear (dalam bentuk piawai) berikut: Meminimumkan : 043 21 =++− xxz Subjek kepada : 5321 =++ xxx 72 421 =+− xxx 0,,, 4321 ≥xxxx Model ini ada dua persamaan dengan empat pemboleh ubah iaitu darjah kebebasan = 4 - 2 = 2. Penyelesaian asas kepada masalah ini adalah:

5,0, 321 === xxx dan 74 =x

Di sini, x1 dan x2 adalah pemboleh ubah bukan asas dan x3 dan x4 pemboleh ubah asas. Memandangkan penyelesaian ini memuaskan syarat ketaknegatifan, ianya juga penyelesaian asas tersaur. Contoh 3.13: Pertimbangkan contoh 3.9, kekangan-kekangan dalam bentuk piawai boleh ditulis sebagai: 4x + 2y + s1 = 60 --------① 2x + 4y + s2 = 48 --------② dan x ≥ 0, y ≥ 0, s1 ≥ 0, s2 ≥ 0 Model ini didapati mempunyai dua persamaan serentak dengan 4 pemboleh ubah, tidak akan mempunyai penyelesaian unik. Dalam kes ini,

Darjah kebebasan = Bilangan pemboleh ubah – bilangan persamaan

= 4 - 2 = 2

Jika 2 pemboleh ubah dari model ini disamakan dengan sifar, sistem model ini akan mempunyai 2 persamaan linear dan dua pemboleh ubah sahaja, maka penyelesaian model ini akan menjadi unik. Penyelesaian yang terhasil ini dinamakan penyelesaian asas. Pemboleh ubah yang disamakan dengan sifar itu akan dinamakan sebagai pemboleh ubah bukan asas dan pemboleh ubah yang diselesaikan itu dinamakan pemboleh ubah asas. Di sini akan

mempunyai ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

iaitu 6 pilihan untuk mensifarkan 2 pemboleh ubah pada setiap kali (xy, xs1,

xs2, ys1, ys2, s1s2). Penyelesaian asas boleh tersaur atau tidak tersaur. Penyelesaian asas tersaur ialah penyelesaian asas yang mematuhi syarat-syarat ketidaknegatifan. 3.4.3 Huraian Kaedah Simpleks Secara Geometri Semasa penyelesaian masalah pengaturcaraan linear secara graf, selain daripada menggunakan pembaris dan sesiku, kita boleh menyemak setiap titik bucu pada rantau tersaur,



kerana penyelesaian optimum adalah terletak pada salah satu titik bucu ini. Rajah 3.19 ialah graf penyelesaian untuk contoh 3.9.

y

x5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30 P

A

B(12,6)

QC

4x + 2y = 60

2x + 4y = 48

O

Rajah 3. 19 Tetapkan x = 0, y = 0, dan selesaikan persamaan, maka s1= 60 dan s2 = 48. Dengan itu (0, 0, 60, 48) ialah penyelesaian asas dan juga merupakan penyelesaian asas tersaur. Ini ditunjukkan oleh titik O dalam Rajah 3.19. Tetapkan x = 0, s1 = 0, dan selesaikan persamaan, maka y = 30 dan s2 = -72. Dengan itu (0, 30, 0, -72) ialah penyelesaian asas tetapi merupakan penyelesaian asas tidak tersaur kerana nilai s2 adalah negatif. Ini ditunjukkan oleh titik P(0, 30) dalam Rajah 3.19 yang terletak di luar rantau tersaur yang berlorek. Tetapkan x = 0, s2 = 0, dan selesaikan persamaan, maka y = 12 dan s1= 36. Dengan itu (0, 12, 36, 0) ialah penyelesaian asas tersaur yang diwakili oleh titik A(0, 12) dalam Rajah 3.19. Tetapkan y = 0, s1 = 0, dan selesaikan persamaan, maka x = 24 dan s2 = 18. Dengan itu (15, 0, 0, 18) ialah penyelesaian asas tersaur yang diwakili oleh titik C(15, 0) dalam Rajah 3.19. Tetapkan y = 0, s2 = 0, dan selesaikan persamaan, maka x = 24 dan s1= -36. Dengan itu (24, 0, -36, 0) ialah penyelesaian asas tetapi merupakan penyelesaian asas tak tersaur. Ini digambarkan pada titik Q(24, 0) dalam Rajah 3.19 yang terletak di luar rantau tersaur. Tetapkan s1= 0, s2 = 0, kemudian selesaikan 4x + 2y = 60 dan 2x + 4y = 48, maka x = 12 dan y = 6. Dengan itu (12, 6, 0, 0) ialah penyelesaian asas tersaur yang diwakili oleh titik B(12, 6) dalam Rajah 3.19. Sebenarnya terdapat banyak penyelesaian tersaur untuk persamaan ① dan ② , sebagai contoh: x = 10, y = 4, maka s1= 12 dan s2 = 12, di mana tiada pemboleh ubah yang sifar. Walau bagaimana pun, tujuan kita ialah mencari profit maksimum untuk fungsi objektif f = 8x + 6y , kita perlu mempertimbangkan titik-titik O, A, B, C yang mempunyai dua pemboleh ubah yang sifar.

Titik Penyelesaian asas tersaur f = 8x + 6y O(0, 0) (0, 0, 60, 48) 0 A(0, 12) (0, 12, 36, 0) 72 B(12, 6) (12, 6, 0, 0) 132 maksimum C(15, 0) (15, 0, 0, 18) 120

Profit maksimum ialah RM 132 when x = 12, y = 6, s1= 0, s2 = 0.



Dari perbincangan di atas, secara amnya, kita boleh menyimpulkan bahawa kaedah simpleks ialah satu tatacara peredaran dari bucu ke bucu rantau tersaur untuk mendapatkan penyelesaian optimum fungsi objektif. 3.4.4 Algoritma Kaedah Simpleks 1. Tuliskan persamaan kekangan-kekangan dan fungsi objektif dalam bentuk piawai dengan menambahkan pemboleh ubah lalai. 2. Pindahkan data ke dalam tablo (tableau). 3. Cari nilai paling negatif dalam baris fungsi objektif untuk menentukan lajur pangsi (pivot column) 4. Kirakan nisbah ke atas nilai positif dalam lajur pangsi dengan nilai sebelah lajur kanan untuk mencari unsur pangsi (pivot element). Baris pangsi akan mempunyai nisbah terendah. (Jika terdapat nisbah yang sama, pilih unsur pangsi yang terletak di lajur pangsi dan baris pangsi) 5. Bahagi baris pangsi dengan unsur pangsi. Gantikan pemboleh ubah asas baris pangsi dengan pemboleh ubah dari lajur pangsi. 6. Tambah/tolak gandaan baris pangsi dengan baris lain untuk mewujudkan sifar dalam

lajur pangsi. 7. Ulangi langkah 3 hingga 6 sehingga tidak terdapat nilai negatif dalam baris objektif. 8. Tuliskan nilai pemboleh ubah asas (dengan lajur yang mengandungi 1 dan 0) sama

dengan nilai sebelah kanan yang sepadan, dan pemboleh ubah bukan asas ( yang tiada dalam tablo akhir) dituliskan sebagai sifar.

Contoh 3.14: Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan kaedah simpleks. Memaksimumkan : yxz 1510 += Subjek kepada : 4054 ≤+ yx 132 ≤+ yx 0,0 ≥≥ yx Penyelesaian 3.14:

Langkah 1

Tuliskan bentuk piawai

Memaksimumkan: yxz 1510 += Subjek kepada : 4054 1 =++ syx 132 2 =++ syx

0,0,0,0 21 ≥≥≥≥ ssyx

Memaksimumkan: yxz 1510 −− 000 21 =−− ss Subjek kepada:

40054 21 =+++ ssyx 1302 21 =+++ ssyx 0,0,0,0 21 ≥≥≥≥ ssyx

Langkah 2

Pindahkan data ke tablo

Pemboleh ubah asas

x y s1 s2 Penyelesaian

z -10 -15 0 0 0 s1 4 5 1 0 40 s2 1 2 0 1 13

Penyelesaian awal: x = 0, y = 0, s1= 40, s2 =13

baris fungsi objektif kekangan pertama kekangan kedua



Langkah 3

Tentukan lajur

pangsi

nilai paling negatif Pemboleh ubah asas


z -10 -15 0 0 0 s1 4 5 1 0 40 s2 1 2 0 1 13

lajur pangsi

Langkah 4

Dapatkan Nisbah

dan dapatkan pemboleh

ubah masuk

dan keluar

y = pemboleh ubah masuk Pemboleh ubah asas


z -10 -15 0 0 0 s1 4 5 1 0 40 s2 1 2 0 1 13

unsur pangsi s2 = pemboleh ubah keluar

40÷5 = 8 13÷2 = 6.5 (baris pangsi)

Langkah

5 Bahagi dengan unsur pangsi

Pemboleh ubah asas


z -10 -15 0 0 0 s1 4 5 1 0 40 y

21

22 2

0

21

213

Langkah 6

Wujudkan sifar pada

lajur pangsi

R1-(-15)R3 R2-(5)R3

Pemboleh ubah asas


R1 z 25

− 0 0 2

15 2

192

R2 s1 23 0 1

25

− 2

15

R3 y 21 1 0

21

213

Langkah 7

Ulangi langkah

3 –6

lajur pangsi Pemboleh

ubah asas x y s1 s2 Penyelesaian

R1 z 25

− 0 0 2

15 2

192

R2 s1

23 0 1

25

− 2

15

R3 y 21 1 0

21

213

unsur pangsi

baris pangsi

215 ÷

23 = 5

213 ÷

21 = 13



Pemboleh ubah asas


R1 z 0 0 35

310 110

R2 x 1 0 32

35

− 5

R3 y 0 1 31

− 34 4

R1-(-25 )R2

R1-(21 )R2

Langkah 8

Inter-pretasi

Oleh kerana tiada nilai negatif dalam baris fungsi objektif, maka proses lelaran berhenti, tablo yang terbentuk ini merupakan tablo akhir. Daripada tablo ini, didapati nilai maksimum ialah 110 apabila

x = 5, y = 4, s1= 0, s2 = 0 - Syarat optimum Jika baris fungsi objektif dalam tablo mempunyai pemasukan sifar dalam lajur

pemboleh ubah asas (contoh x dan y) dan tiada pemasukan negatif dalam lajur yang ditandakan pemboleh ubah asas (cth s1 dan s2), maka penyelesaian menunjukkan tablo optimum telah dicapai.

Contoh 3.15: Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan kaedah simpleks. Memaksimumkan yx 54 + terhadap 1823 ≤+ yx 2442 ≤+ yx 112 ≤y Penyelesaian 3.15: Memaksimumkan: yxz 54 −− 0000 321 =+++ sss Subjek kepada: 180023 321 =++++ sssyx 130042 321 =++++ sssyx 110020 321 =++++ sssyx 0,0,0,0,0 321 ≥≥≥≥≥ sssyx (i) Tablo 1 (awal) – initial tableau

Pemboleh ubah asas

x y s1 s2 s3 Penyelesaian Nisbah

R1 z -4 -5 0 0 0 0 R2 s1 3 2 1 0 0 18 18÷2 = 9 R3 s2 2 4 0 1 0 13 24÷ 4 = 6 R4 s3 0 2 0 0 1 11 11÷ 2 = 5.5

(ii) semua unsur R4 dibahagikan dengan 2 newR4 s3 0 1 0 0

21

211



(iii) Tablo 2 Pemboleh

ubah asas x y s1 s2 s3 Penyelesaian Nisbah

R1-(-5) R4 z -4 0 0 0 25

255

R2-(2) R4 s1 3 0 1 0 -1 7 7÷3 R3-(4) R4 s2 2 0 0 1 -2 2 2 ÷ 2 = 1

R4 y 0 1 0 0 21

211

(iv) semua unsur R3 dibahagikan dengan 2 newR3 s2 1 0 0

21 -1 1

(v) Tablo 3 Pemboleh

ubah asas x y s1 s2 s3 Penyelesaian Nisbah

R1-(-4) R3 z 0 0 0 2 23

−263

R2-(3) R3 s1 0 0 1 23

− 2 4 4÷2 = 4

R3 x 1 0 0 21 -1 1

1 ÷ -1 (abaikan)

R4 y 0 1 0 0 21

211

211÷

21 =11

(vi) semua unsur R2 dibahagikan dengan 2 newR2 s2 0 0

21

43

− 1 2

(vii) Tablo 4 (akhir) Pemboleh

ubah asas x y s1 s2 s3 Penyelesaian

R1-( 23

− ) R2 z 0 0 43

87 0

269

R2 s3 0 0 21

43

− 1 2

R3-(-1) R2 x 1 0 21

41

− 0 3

R4-( 21 ) R2 y 0 1

41

−83 0

29

(vii) Memandangkan sudah tiada nilai negatif dalam fungsi objektif, maka ini merupakan

tablo terakhir. Keuntungan maksimum sebanyak 2

69 unit diperoleh apabila x = 3 unit, y

= 29 unit dengan lalai pada kekangan ketiga ialah 2 unit.

Keputusan ini menunjukkan pemboleh ubah asas ialah x, y, dan s3. Pemboleh ubah bukan asas ialah s1 dan s2.



3.4.5 Rumusan Kaedah Simpleks Terdapat 6 langkah dalam mengira nilai bagi tablo simpleks yang seterusnya seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. Rajah 3.20 • Model pengaturcaraan linear boleh ditulis dalam bentuk piawai dengan mengunakan

kaedah simpleks. • Kaedah simpleks mengandungi satu siri peraturan, setiap langkah adalah menuju

kepada penyelesaian optimal. • Tablau simpleks dibinakan untuk memudahkan pengiraan dengan menggunakan proses

penyelesaian simpleks. • Syarat optimum wujud dalam tablo simpleks. Optimum tercapai apabila pekali

pemboleh ubah bukan asas bagi baris objektif adalah semua bernilai positif bagi kes masalah maksimum dan pekali pemboleh ubah bukan asas bagi baris objektif adalah semua bernilai negatif bagi kes masalah minimum.

3.4.6 Penyelesaian masalah pengaturcaraan linear dengan MS Excel Anda wajib untuk memuatkan Solver ke dalam Excel. Muatan adalah berbeza untuk versi yang berlainan semasa memuatkan Solver ke dalam Excel. Solver mempunyai kapasiti untuk mengoptimumkan fungsi objektf subjek kepada kekangan-kekangan. 3.4.6.1 MS Excel 2003 dan versi yang lebih rendah Klik tools, kemudian Add-ins, pilih Solver Add-in. Selepas itu boleh terus ke penggunaan Solver seperti dalam bahagian 3.4.5.3.

Kenal pastikan pemboleh ubah bukan asas. Lajur berkenaan dikenali sebagai lajur pangsi (pivot column)

Kenal pastikan pemboleh ubah asas yang dikeluarkan. Baris berkenaan dikenali sebagai baris pangsi (pivot row)

Kenal pastikan elemen pangsi (element)

Dapatkan pekali baru untuk baris pangsi (pivot row)

Dapatkan pekali baru untuk baris pangsi yang lain

Ulangi prosedur ini sehingga mencapai penyelesaian optimum



3.4.6.2 MS Excel 2007 dan versi yang lebih tinggi

1. Klik butang Microsoft Office , dan kemudian klik Excel Options. 2. Klik Add-Ins, dan kemudian di dalam kotak Manage, pilih Excel Add-ins. 3. Klik Go. 4. Di dalam kotak Add-Ins available, pilih Solver Add-in dalam kotak semak, dan

kemudian klik OK. (a) Tip - jika Solver Add-in tidak disenaraikan di dalam kotak Add-Ins available, klik

Browse untuk mencari add-in. (b) Jika anda mendapati bahawa Solver Add-in ini tidak dipasang (install) pada

komputer anda, klik yes untuk memasang. 5. Selepas anda memuatkan Solver Add-in, arahan Solver didapati dalam kumpulan

Analysis pada tab Data. 3.4.6.3 Penyediaan lembaran kerja (worksheet) untuk Solver Menyediakan lembaran kerja (Worksheet) ialah langkah pertama menggunakan Solver untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear. Format lembaran adalah mengikut kehendak pengguna. Template asas ini dapat menerima masalah yang berkaitan dan menyediakan ruang penyelesaian. Ia boleh digunakan atau diubahsuaikan untuk masalah pengaturcaraan linear yang lain. Gunakan lembaran kerja Excel yang kosong, taipkan label-label seperti rajah 3.21:

Rajah 3.21 Contoh 3.16 Max P = RM50X1 +RM60X2 subjek kepada: 2X1+ 1X2 ≤ 6 1X1 + 2X2 ≤ 6 X1 , X2 ≥ 0

1. Dalam sel A1, taipkan Contoh 3.16. Dalam sel E3, taipkan Max P. Dalam sel F3, taipkan

Profit. 2. Taipkan pemalar-pemalar untuk fungsi keuntungan ( 50, 60) dalam sel B3 dan C3. 3. Taipkan pemalar-pemalar untuk pembolehubah (2, 1) dan nilai sebelah kanan-RHS (6)

untuk kekangan 1 dalam sel B4, C4 dan E4. 4. Taipkan pemalar-pemalar untuk pembolehubah (1, 2) dan nilai sebelah kanan-RHS (6)

untuk kekangan 2 dalam sel B5, C5 dan E5. 5. Taipkan simbol ≤ dalam sel D4 dan D5.



Rajah 3.22 Lembaran kerja menyediakan Solver bagi maklumat yang diperlukan dan ruang untuk memaparkan jawapan masalah ini. Sekarang, taipkan rumus dalam ruangan sebelam kanan seperti yang berikut:

1. Taipkan formula =SUMPRODUCT(B3:C3,B$10:C$10) untuk menghitung profit dalam sel G3.

2. Salinan formula ke sel G4:G5. 3. Dalam sel H4, taipkan =ABS(E4-G4) untuk mencari lalai bagi kekangan 1. Salin

formula ini ke H5. 4. Lembaran kerja anda sekarang adalah seperti rajah 3.22:

Rajah 3.23 3.4.5.4 Penggunaan Solver

MS Excel 2007 dan versi yang lebih tinggi: Klik Data, cari Analysis untuk memilih Solver

MS Excel 2003: klik Tools dan kemudian Solver. Tetingkap parameter Solver yang lengkap adalah seperti rajah 3.23:

Rajah 3.24

3.16

3.16



Kemudian, klik options, memilih Assume linear Model dan Assume Non-Negative. Klik OK.

Rajah 3.25

Kemudian klik Solve. Lembaran kerja akan menunjukkan penyelesaian masalah berkenaan.

Rajah 3.26 Penyelesaian untuk Contoh 3.16 mendapat profit maksimum = RM 220, bila X1 = 2, X2 = 2, dan kedua-dua kekangan tidak mempunyai lalai. Contoh 3.17 Min C= RM100X1 + RM150X2 + RM120X2 subjek kepada: 1X1 + 1X2+ 1X3 = 6 1X1 + 2X2+ 1X3 ≥ 8 1X1 + 1X2 + 2X3 ≤ 9 X1 , X2 , X3 ≥ 0

Masukkan data masalah ini ke dalam lembaran kerja – anda perlukan lajur tambahan untuk pemalar X3. Kemudian masukkan formula seperti berikut:

1. Taipkan sel H3 =SUMPRODUCT(B3:D3,B$10:D$10) untuk menghitungkan kos. 2. Salin formula berkenaan ke H5:H6. 3. Taipkan =ABS(F4-H4) untuk mendapatkan lalai/lebihan kekangan 1. salin formula

ini ke I5:I6



4. Lembaran kerja anda adalah seperti yang berikut:

Rajah 3.27 Klik pada Tools, kemudian Solver. Tetingkap parameter Solver yang lengkap diisi dipapar seperti yang berikut:

Rajah 3.28 Sekarang, klik Options, pilih Assume linear Model dan Assume Non-Negative, klik OK.

Rajah 3.29



Klik pada Solve. Lembaran kerja ini akan menunjukkan penyelesaian masalah ini.

Rajah 3.30 Penyelesaian bagi Contoh 3.17 ialah kos minimum = RM700, apabila bila X1 = 4, X2 = 2, X3 = 0, di mana kekangan 1 dan kekangan 2 tiada lalai. Nota: Formula boleh ditaipkan pada mana-mana sel. Yang penting ialah sel yang terlibat dalam formula mesti betul. Sila rujuk bahan nota TMK untuk penggunaan Excel yang mudah, atau laman-laman web berikut: http://spreadsheets.about.com/, http://www.free-training-tutorial.com/ dan lain-lain.

Tutorial 3.2 Dari Decision Math D2/C pg 11-12, Latihan 1A No. 1, 2, 3. Sharing solution 1. Dengan menggunakan algoritma simpleks, selesaikan masalah pembuatan minuman

tetapi dengan menggunakan lajur y sebagai lajur pangsi pertama.

Memaksimumkan yxl 8.0+= Subjek kepada 1000≤+ yx 15002 ≤+ yx 240023 ≤+ yx 2. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan kaedah simpleks.

Memaksimumkan yxP 2416 += Subjek kepada 2432 ≤+ yx 162 ≤+ yx 6≤y 0,0 ≥≥ yx 3. Selesaikan masalah pengaturcaraan linear berikut dengan menggunakan algoritma

simpleks.

Memaksimumkan zyxP 6109 ++= Subjek kepada 3432 ≤++ zyx 8266 ≤++ zyx 0,0,0 ≥≥≥ zyx



Jawapan: 1. x = 400, y = 600, P = 880 2. x = 4.8, y = 6.4, P = 230.4 3. x = 6, y = 4, P = 192

Tutorial 3.3 1. Gunakan kaedah simpleks untuk selesaikan masa pengaturcaraan linear berikut: Memaksimumkan : 21 34 xxz += Subjek kepada : 4021 ≤+ xx 502 21 ≤+ xx 0, 21 ≥xx 2. Kedai Fortesque membuat dan menjual dua jenis campuran kopi iaitu campuran biasa Breakfast dan campuran khas Dinner. Setiap campuran ini dihasilkan dengan menggunakan tiga jenis kacang kopi iaitu Arabia, Blue Mountain dan Costa Rica. Campuran biasa memerlukan 1 bahagian Arabia, 3 bahagian Blue Mountain dan 3 bahagian Costa Rica. Manakala campuran khas memerlukan 2 bahagian Arabia, 2 bahagian Blue Mountain dan 1 bahagian Costa Rica. Pengimport kopi dapat membekalkan Starbucks sebanyak 120 kg Arabia, 180 kg Blue Mountain dan 150 kg Costa Rica pada setiap minggu. Profit yang diperoleh dari penjualan campuran biasa ialah 25 sen per kg dan campuran khas ialah 50 sen per kg. Kedai Fortesque dapat menjual semua campuran kopinya. (i) Rumuskan masalah pengaturcaraan linear ini untuk mendapatkan profit mingguan yang maksimum. (ii) Gunakan kaedah simpleks untuk menyelesaikan masalah di (i). Interpretasikan dapatan anda. 3. Sebuah kilang mengeluarkan dua jenis tali, iaitu Domestic dan Heavy Duty dengan menggunakan 3 jenis gred nilon yang berlainan. Jadual 1 menunjukkan amaun setiap jenis gred nilon dalam gram yang diperlukan untuk menghasilkan 1 meter tali.

Tali Nilon Domestic Heavy Duty Gred 1 3 6 Gred 2 4 7 Gred 3 5 4

Jadual 1 Kilang ini mendapat profit sebanyak 40 sen per meter untuk tali Domestic dan 25 sen untuk tali Heavy Duty. Bekalan nilon mengikut gred yang dapat disediakan ditunjukkan dalam Jadual 2.

Nilon Bekalan (dalam gram) Gred 1 1100 Gred 2 1900 Gred 3 1400

Jadual 2



Pengurus kilang ingin menghitungkan amaun setiap jenis tali untuk memaksimumkan profit mingguan. (i) Rumuskan masalah pengaturcaraan linear untuk memaksimumkan profit mingguan. (ii) Selesaikan masalah pengaturcaraan linear di (i) dengan kaedah simpleks. Interprestasikan dapatan anda. (iii) Gunakan hasil dapatan dari (ii) untuk menentukan amaun nilon setiap gred yang tidak digunakan. Jawapan : 1. 1x =10, 2x = 30, z = 130 2. (ii) Kedai Fortesque harus menghasilkan 210 kg campuran kopi Breakfast dan 225 kg campuran kopi Dinner pada setiap minggu. Profit mingguan yang maksimum ialah RM165. 3. (iii) Kilang ini harus menghasilkan 280 meter tali Domestic dan 0 meter tali Heavy Duty pada setiap minggu. Profit mingguan yang maksimum ialah RM112. Nilon yang tidak digunakan: Gred 1 = 260 g, Gred 2= 780 g, Gred 3 = 0 g.

MTE3104 – MATEMATIK KEPUTUSAN

Cik Farm CM, Dr. Hu LN, IPGM 4 - 1

TOPIK 4: GRAF ( 1 jam kuliah 2 jam tutorial) 4.1 Definisi 1. Graf adalah suatu diagram yang menggunakan satu set titik, V (bukan set kosong) dan

dikait dengan satu set garis, E untuk menyambungkan titik. 2. Titik-titik dinamakan sebagai bucu(vertex/ node), dan garis-garis dinamakan sisi (edge)

bagi yang tiada arah atau lengkok bagi yang berarah (arc). Jika satu sisi bermula dan tamat pada satu titik sahaja, maka digelar gelung(loop). Sekiranya sesuatu bucu itu tiada sisi, maka ia dinamakan bucu terpencil (isolated vertex).

bucu terpencil

Rajah 4.1(a) Rajah 4.1(b) Rajah 4.1(c)

3. Darjah (degree/ order) sesuatu bucu merujuk kepada bilangan sisi yang terdapat pada

sesuatu bucu. Darjah bucu yang mempunyai gelung ialah 2. Bilangan sisi ialah jumlah sisi yang terdapat dalam satu graf. Jumlah darjah (total of degrees) = 2 x bilangan sisi

Contoh 4.1 : Carikan darjah bagi setiap bucu yang terdapat pada rajah 4.2(a) dan 4.2(b). Rajah 4.2 (a) Rajah 4.2(b) Penyelesaian 4.1:

Bucu Darjah

E 2 F 2 G 4

Contoh 4.2: Lukiskan graf-graf yang mungkin bagi set bucu = {2, 3, 4, 5, 6} Penyelesaian 4.2: Rajah 4.3(a) Rajah 4.3(b) Rajah 4.3(c)

Bucu Darjah A 2 B 2 C 3 D 1

B

D

C

A

F

G

E

bucu sisi gelung Sisi selari

2

4

3

5 6

2

4

3

56

2

4

3

5 6



Contoh 4.3: Lukiskan graf yang mempunyai empat bucu di mana satu bucu dengan darjah 4, satu bucu dengan darjah 2 dan dua bucu dengan darjah 1.

Penyelesaian 4.3: (graf adalah tidak unik).

atau Rajah 4.4(a) Rajah 4.4(b)

Contoh 4.4: Lukiskan graf yang mempunyai bucu dengan label 2,3, ..., 9. Lukiskan sisi antara bucu-bucu yang tiada faktor sepunya. Dapatkan jumlah sisi dan jumlah darjah untuk semua bucu.

Penyelesaian 4.4: Rajah 4.5 4. 2 Jenis-jenis graf 1. Graf ringkas (simple) tidak mempunyai gelung atau yang tiada sisi selari pada sebarang

bucu. Bilangan sisi maksimum yang mungkin bagi graf ringkas ialah ( )121

−nn .

Contoh 4.5 : Manakah yang berikut dalam rajah 4.6 merupakan graf ringkas?

Rajah 4.6

2

3

4

56

7

8

9 Bilangan sisi = 19 Darjah bagi setiap bucu ialah 4, 5, 4, 7, 2, 7, 4 dan 5 Jumlah darjah = 4 + 5 + 4 + 7 + 2 + 7 + 4 + 5 = 38 = 2 x 19



Penyelesaian 4.5: a dan d adalah graf ringkas. 2. Satu perjalanan (walk/ journey) ialah satu turutan sisi yang mana hujung satu sisi

merupakan titik permulaan sisi yang satu lagi.

Contoh: CD, DA, AB, BD, DA

3. Satu trail ialah satu walk yang tiada sisi yang berulang.

Contoh: CD, DA, AB, BC, CA

4. Satu Laluan(path) ialah satu trail yang tiada bucu yang berulang. ABCDEFGH ialah laluan dalam rajah 4.7.

Rajah 4.7 5. Kitaran (cycle/ circuit) ialah laluan tertutup. Penghujung sisi terakhir ialah permulaan

sisi pertama. ABCDEFA ialah satu laluan dalah rajah 4.8.

Rajah 4.8

6. Kitaran Hamiltonian ialah laluan tertutup yang mana setiap bucunya akan dilawati dan hanya dilawat sekali saja. Rajah 4.9 menunjukkan kitaran Hamiltonian yang mempunyai bucu-bucu {a, b, c,d, e, f, g, a}. Begitu juga graf dalam rajah 4.8 juga merupakan kitaran Hamiltonian.

Rajah 4.9

7. Graf dikatakan berkait (connected) apabila laluan wujud di antara setiap pasang bucu,

iaitu tiada bucu terpencil. Graf di bawah adalah contoh graf tidak berkait kerana v2 tidak dikait dengan v5 dan mempunyai bucu terpencil v4 .

Rajah 4.10

A B

C D

E

FG

H

A

B

C D

E

F



8. Perentang pokok (spanning tree/ connector) ialah graf ringkas yang tiada kitaran.

Rajah 4.11

9. Graf-terarah (digraph/ directed graph) ialah graf yang mempunyai sekurang-kurangnya satu sisi yang berarah.

Rajah 4.12

10. Graf lengkap (complete), Kn ialah graf ringkas yang mana setiap pasang bucu dihubung dengan satu sisi.

K2 K3 K5 Rajah 4.13(a) Rajah 4.13(b) Rajah 4.13(c)

11. Matrik insidens (incident matrix) ialah satu cara untuk menggambarkan graf dengan matriks. Perhatikan dua graf dalam rajah 4.14(a)dan (b) serta matriks insidensnya.

A B C D

DCBA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0101101201011210

Rajah 4.14(a) A B C D

DCBA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0111101111011110

Rajah 4.14(b) Contoh 4.6 : Penyelesaian 4.6:

Lukiskan graf bagi matrik insidens berikut : A B C D

DCBA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2111100110021120

Rajah 4.15

B

C

A

D

B

C

A

D

C

D

A

B



12. Graf planar (satah) bermakna graf yang sisinya tidak bersilang.

13. Graf bipartite merujuk kepada bucu-bucu terletak dalam dua set dan setiap sisi dihubungi dengan bucu dari set pertama dan bucu dari set kedua. Katakan X = {A, B, C} dan Y = { P, Q }, rajah 4.16 telah menunjukkan setiap sisi telah berkait dengan satu bucu di set X dan satu bucu di set Y.

Rajah 4.16 14. Dua graf dikatakan isomorfisme (isomorphic) jika ia boleh diregang (stretch),

dipulas(twist), atau diputarbalikkan (distort) ke dalam yang lain. Contoh 4.7: Graf rajah 4.17 (a) dan (b) adalah isomorfisme.

Rajah 4.17 (a) Rajah 4.17 (b)

Catatan: kedua-duanya mempunyai matrik insidens yang sama iaitu A B C D E

EDCBA

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0100010111010100110001000

Tutorial 4.1 ( 2 jam ) Dalam kumpulan, bincangkan dan bentang jawapan bagi Exersice 2B soalan 1-7 dalam buku rujukan utama Decision Mathematics 1 ( muka surat 58 -59)

A

B

C

D E A

BC

D

E

A

B

C

P

Q



Tutorial 4.2: Sesebuah oktahedron boleh diwakili dengan satu graph seperti dalam rajah di bawah. Dalam graf ini, 8 bucu graf mewakili 8 permukaan oktahedron. Bucu-bucu ini dihubung dengan satu sisi atau lengkung jika permukaan-permukaan ini bersebelahan. i) Lukiskan satu graph untuk mewakili satu tetrahedron.

ii) Lukiskan satu graph untuk mewakili satu piramid bertapak segiempat sama.



iii) Lukiskan satu graph untuk mewakili satu tetrahedron selinder yang mempunyai 3 permukaan.

iv) Apakah bentuk yang diwakili oleh graf di bawah.

MTE3104 – Matematik Keputusan


TOPIK 5: RANGKAIAN (Network) 5.1 Pengenalan 1. Rangkaian atau graf pemberatan (weighted graph). Ini bermakna setiap sisi diberikan

nilai pemberatannya. Sebagai contoh, pemberatan bagi (a, b) ialah 8 bagi rangkaian di Rajah 5.1.

2. Contoh-contoh rangkaian termasuklah peta dan rangkaian yang melibatkan bidang

geografi. Nilai pemberatan sisi yang terdapat dalam peta akan menunjukkan jarak di antara dua tempat. Manakala nilai pemberatan pada rangkaian untuk bidang geografi mungkin melibatkan kos dan masa.

3. Katakan G ialah graf pemberatan yang mempunyai 6 bucu seperti Rajah 5.2: Graf pemberatan ini dapat membentuk tiga perentang pokok (spanning tree) 5 sisi

seperti Rajah 5.3. Rajah 5.3 (a) Rajah 5.3 (b) Rajah 5.3 (c) Pemberatan bagi ketiga-tiga perentang pokok ini ialah 16, 13 dan 15 masing-masing.

Perentang pokok rajah 5.3(b) mempunyai pemberatan terendah, maka ia dikenali sebagai perentang pokok minimum (minimum spanning tree/ minimum connector) bagi graf pemberatan di Rajah 5.2. Perentang pokok bagi graf yang mempunyai n bucu akan mempunyai n-1 sisi.

4. Terdapat dua idea utama untuk menyelesaikan masalah rangkaian. Pertama ialah

membina perentang pokok minimum dengan Algoritma Kruskal atau Algoritma Prim dari graf pemberatan. Kedua ialah menggunakan Algoritma Dijkstra untuk mencari laluan tersingkat atau nilai laluan yang rendah antara dua bucu dalam graf pemberatan.

Rajah 5.2

2

3

5 1 43

3

51 4 3

2

3

143

2

3

51

4

Rajah 5.1



5. Penggunaan perentang pokok minimum adalah luas dalam rangkaian telefon. Perentang pokok minimum dapat mencari kos laluan yang paling minimum. Penggunaan yang lain ialah mencari laluan jalan udara yang paling kurang kosnya.

5.2 Algoritma Kruskal

Algoritma Kruskal oleh Martin Kruskal hanya memilih beberapa sisi-sisi yang paling rendah pemberatannya untuk membentuk perentang pokok minimum.

Contoh 5.1: Cari perentang pokok minimum untuk rangkaian dalam rajah 5.4.

Penyelesaian 5.1 1. Mempertimbangkan satu rangkaian yang mempunyai ”n” bucu. Graf dalam Rajah 5.4

ialah rangkaian 6 bucu, maka perentang pokok mesti mempunyai 5 sisi.

2. Pilih sisi yang terpendek/terendah pemberatannya (jika lebih dari satu, pilih mana-mana yang terpendek)

3. Pilih sisi yang kedua terpendek dan sambung ke atas yang pertama. 4. Pilih sisi yang terpendek seterusnya di mana tidak akan membentuk kitaran dan tambah

pada yang sebelumnya.

Rajah 5.4 (a)

2

34

43

3

2

4 F

B

A

C

D

E

Langkah 1 Senaraikan semua sisi yang berpemberatan mengikut turutan menaik. Langkah 2 Bermula dengan sisi yang paling rendah pemberatannya. Langkah 3 Bagi sisi-sisi yang tinggal, pilih sisi yang mempunyai pemberatan terendah

yang tidak akan membentuk kitaran. (jika ada dua sisi, pilih mana-mana.) Langkah 4 Ulangi Langkah 3 sehingga semua bucu dihubungkaitkan .

Rajah 5.4

2

34

43

3

2

4 F

B

A

C

D

E

D

Rajah 5.4 (b)

2

34

43

3

2

4 F

B

A

CE



5. Pilih sisi yang terpendek seterusnya di mana tidak akan membentuk kitaran dan tambah

pada yang sebelumnya. 6. Ulangi langkah-langkah di atas sehingga semua bucu dihubungkan. Jumlah nilai

pemberatan perentang pokok minimum ialah 14. atau

5.3 Algoritma Prim Algoritma ini memilih satu bucu sahaja pada setiap kali dalam proses mendapatkan perentang pokok minimum. Contoh 5.2: Cari perentang pokok minimum graf dalam Rajah 5.4 dengan algoritma Prim. 1. Katakan bucu B dipilih. Pilih bucu yang paling dekat dengannya, iaitu C. B 2. Kemudian bucu E dipilih kerana mempunyai nilai terendah

2B

C

2 2B

CE

Rajah 5.4 (g)

Rajah 5.4 (h)

Langkah 1 Bermula dengan mana-mana bucu, hubungkan ke bucu bersebelahan yang terdekat.

Langkah 2 Hubungkan ke bucu terdekat dengan bucu-bucu lain, dengan syarat tidak boleh membentuk kitaran. . (jika ada dua sisi, pilih mana-mana sahaja.)

Langkah 3 Ulangi Langkah 2 sehingga semua bucu telah dipilih.

Rajah 5.4 (c)

2

34

43

3

2

4 F

B

A

CE

Rajah 5.4 (d)

2

34

43

3

2

4 F

B

A

CE

Rajah 5.4 (e)

2

34

43

3

2

4 F

B

A

C E

Rajah 5.4 (f)

2

34 3

2

F

B

A

CE



3. Seterusnya bucu D akan dipilih. 4. Sekarang bucu F akan dipilih. 5. Akhir sekali bucu A akan dipilih. Perentang pokok minimum bukanlah unik bagi rajah 5.4. Bolehkah anda membentuk perentang pokok minimum yang lain? Jawapan : Atau 5.4 Penggunaan Algoritma Prim ke atas jadual atau matriks Algoritma Prim akan memindahkan satu bucu dari set tak berkait (unconnected set) kepada set berkait (connected set) pada setiap peringkat. Pada setiap matriks atau jadual yang digunakan, singkirkan bucu dari set tak berkait dengan pangkahkan baris bucu berkenaan. Turutan akan dilabelkan di atas setiap lajur.

2

3

2B

C

D

E

2

34

32

F

B

A

C

D

E

2

33

2

F

BC

D

E

2

34 3

2

E

B

A

C

D

E

2

3

4

3

2

F

B

A

C

D

E

Rajah 5.4(i)

Rajah 5.4(j)

Rajah 5.4(k)

Rajah 5.4(l) Rajah 5.4(m)

Langkah 1 Memilih bucu pertama (mana-mana bucu) Langkah 2 Pangkahkan baris bucu terpilih Langkah 3 Tuliskan turutan di atas lajur terpilih. Langkah 4 Bulatkan nombor terkecil dalam lajur-lajur terpilih. Langkah 5 Ulangi langkah 2, 3 dan 4 sehingga semua bucu dipilih.



Contoh 5.3: Jadual 5.1 menunjukkan matriks bagi graf dalam rajah 5.4.

A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3 F 4 3 3 -

Jadual 5.1 Berikut adalah langkah-langkah penggunaan Algoritma Prim ke atas jadual.

1 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Pilih satu lajur dan pangkahkan barisnya. Katakan D dipilih. Maka 1 ditulis di atas lajur D, kemudian pangkahkan baris D.

F 4 3 3 -

1 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Pilih nombor terkecil dalam lajur D (1) dan bulatkan nilai terkecil. jika mempunyai dua nilai yang sama, pilih mana-mana sahaja.

F 4 3 3 -

2 1 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Bagi nombor yang baru dibulatkan, pangkahkan baris itu dan tuliskan 2 di atas lajur C.

F 4 3 3 -

2 1 3 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Pilih nombor terkecil yang belum dipangkahkan dalam lajur yang berlabel. Katakan bucu E dipilih, maka 3 dituliskan di atas lajur E.

F 4 3 3 -



4 2 1 3 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Pangkahkan baris E. Bulatkan nilai terkecil dalam lajur berlabel yang belum dipangkah. Bulatkan 2, dan tuliskan 4 di atas lajur B.

F 4 3 3 -

4 2 1 3 5 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Pangkahkan baris B. Bulatkan nilai terkecil dalam lajur berlabel yang belum dipangkah. Bulatkan 3 di baris F dan lajur D (kerana turutannya 1 berbanding dengan lajur E). Tuliskan 5 di atas lajur F.

F 4 3 3 -

6 4 2 1 3 5 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Pangkahkan baris F. Bulatkan nilai terkecil dalam lajur berlabel yang belum dipangkah. Bulatkan 4 di baris A dan lajur C (kerana turutannya 2 berbanding dengan lajur B) dan labelkan 6 di atas lajur A.

F 4 3 3 -

6 4 2 1 3 5 A B C D E FA - 4 4 B 4 - 2 C 4 2 - 3 2 4 D 3 - 3 E 2 - 3

Pangkahkan baris A. Jumlahkan nilai-nilai yang dibulatkan. Nilainya ialah 14 di mana sama dengan nilai yang terdapat untuk perentang pokok minimum.

F 4 3 3 - Contoh 5.4: A, B, C, D, E, F, G, H adalah 8 bandar yang akan dibina rangkaian keretapi. Trek-trek yang mungkin dan kos yang diperlukan adalah seperti jadual yang berikut:

Trek antara Kos Trek antara Kos A dan B A dan D A dan G B dan C C dan D C dan E

155 145 120 145 150 95

D dan F E dan F F dan G F dan H G dan H

100 150 140 150 160

Jadual 5.2



Tentukan satu rangkaian keretapi yang mempunyai kos minimum untuk menghubungkan kelapan-lapan bandar ini dengan algoritma Kruskal. Penyelesaian 5.4: Graf pemberatan untuk jadual 5.2 adalah seperti dalam rajah 5.5.

Graf pemberatan ini mempunyai 8 bucu, maka perentang pokok minimumnya akan mempunyai 7 sisi. Kita boleh menyusun semua sisi ini dari yang terendah nilai pemberatnya sehingga yang terbesar untuk menyenangkan proses kita.

Sisi CE DF AG FG AD BC CD EF FH AB GH Pemberatan 95 100 120 140 145 145 150 150 150 155 160 Pilih? ya ya ya ya tidak ya ya tidak ya

Kos minimum rangkaian keretapi ialah 95 + 100 + 120 +140 + 145 + 150 + 150 = 900 Contoh 5.5: Gunakan algoritma Prim untuk mencari perentang pokok minimum bagi jadual 5.3.

V1 V2 V3 V4 V5 V1 - 4 ∞ ∞ 5 V2 4 - 3 6 1 V3 ∞ 3 - 6 2 V4 ∞ 6 6 - 7 V5 5 1 2 7 -

Jadual 5.3 Penyelesaian 5.5: Kita akan dapat graf pemberatan seperti dalam Rajah 5.7: Kita boleh pilih V1 dan kemudian pilih V2. Selepas sisi V1V2 dibentuk, maka bucu V5 boleh dipilih untuk membentuk sisi V2V5. Kemudian pilih V3 untuk membentuk sisi V5V3.

Rajah 5.7

Rajah 5.5

AB

CD

EF

G

H

155

145

95150150

160 140

120

150

100

145

Rajah 5.6

AB

CD

EF

G

H

145

95150

140

120

150

100

1

V4

264 6

3

75

V3 V2

V1 V5



Akhir sekali V4 dipilih untuk sisi V2V4. Perentang pokok minimum yang terbentuk adalah seperti dalam Rajah 5.7(a). Sekiranya langkah terakhir membentuk sisi V3V4, maka terdapat perentang pokok minimal seperti dalam rajah 5.7(b). Rajah 5.7(a) Rajah 5.7(b) Sekiranya menggunakan Algortima Prim ke atas jadual secara terus: a) katakan bucu V1 dipilih, maka baris V1 akan dikeluarkan seperti yang berikut: 1

V1 V2 V3 V4 V5 V1 - 4 ∞ ∞ 5 V2 4 - 3 6 1 V3 ∞ 3 - 6 2 V4 ∞ 6 6 - 7 V5 5 1 2 7 -

b) Nilai terendah yang dihubung ialah bucu V2. maka baris V2 akan dikeluarkan. 1 2

V1 V2 V3 V4 V5 V1 - 4 ∞ ∞ 5 V2 4 - 3 6 1 V3 ∞ 3 - 6 2 V4 ∞ 6 6 - 7 V5 5 1 2 7 -

c) Kita dapati nilai terendah ialah bucu V5, maka baris V5 akan dikeluarkan. 1 3 2

V1 V2 V3 V4 V5 V1 - 4 ∞ ∞ 5 V2 4 - 3 6 1 V3 ∞ 3 - 6 2 V4 ∞ 6 6 - 7 V5 5 1 2 7 -

d) kemudian nilai yang terendah ialah V3, maka baris V3 akan dikeluarkan . 1 3 2

V1 V2 V3 V4 V5 V1 - 4 ∞ ∞ 5 V2 4 - 3 6 1 V3 ∞ 3 - 6 2 V4 ∞ 6 6 - 7 V5 5 1 2 7 -

1

V4

2 6 4

V3 V2

V1 V5

1

V4

24 6

V3 V2

V1 V5



e) akhir sekali, perentang pokok seperti dalam rajah 5.7(a). Catatan : Kita biasanya tidak melukis semula jadual berkenaan dalam praktik tetapi

hanya melukis bulatan kecil untuk bucu yang masuk dan pangkahkan baris yang dikeluarkan sahaja.

Latihan 5.1 1. Gunakan Algoritma Kruskal untuk membentuk dua perentang pokok minimum bagi graf pemberatan di bawah.

2. Gunakan Algoritma Prim untuk membentuk satu perentang pokok minimum bagi graf pemberatan di bawah.

3. Jadual berikut menunjukkan jarak aerial dalam km di antara enam bandar A, B, C, D, E,

F. B C D E F A 800 900 1800 700 650 B 650 1300 1350 1200C 850 1650 1500D 2500 2350E 200

Carikan jarak perjalanan udara terpendek yang menghubungi kesemua enam bandar ini dengan (i) Algoritma Kruskal (ii) Algoritma Prim Jawapan 5.1 1. Perentang pokok minimum yang terbentuk dari sisi PA, AC, CQ, CB atau PA, AB, AC,

CQ. kedua-duanya akan memberi nilai pemberatannya 22 unit. 2. 3. EF, FA, AB, BC, CD Tutorial 5.1 (1 jam): Jawab soalan di muka surat 88-90, Exercise 3E, No. 1, 2, 3, 5 dan bentangkan penyelesaian anda.

P Q

A B

C8

9

67

53

5

12

6

119 8

710

21

3

4

5

6

9

8

2

1 3

5



0.2

0.2

0.1

0.1

0.1



Tutorial 5.2 1. Pertimbangkan rangkaian berikut:

(a) Bermula dengan bucu A, dapatkan penyambung minimum bagi rangkaian di atas dengan menggunakan algoritma Prim.

i. Berikan turutan bucu yang dipilih ii. Lukiskan penyambung minimum ini dan dapatkan jumlah pemberatannya. (b) i. Berikan turutan sisi yang dipilih apabila algoritma Kruskal digunakan untuk mendapatkan penyambung minimum. ii. Terangkan kenapa sisi DE tidak dipilih dalam algoritma Kruskal.

AB

C

D

E

F

10

9

711

G

85

6

12

12

1213

8

Rajah 1



2. Satu rangkaian mempunyai 10 bucu, dari A ke J. Jadual 1 menunjukkan jarak antara setiap pasang bucu yang dihubung dengan sisi.

A B C D E F G H I J A 3 4 B 3 2 7 1 6 C 2 3 6 D 2 2 5 E 2 4 F 4 7 3 1 G 1 2 3 H 1 6 1 I 6 J 5 4 3

Jadual 1

Panjang penyambung = ..... Jadual 1.1

i. Gunakan jadual 1.1 di muka surat depan, aplikasikan algoritma Prim ke atas rangkaian yang bermula dari bucu A. Tunjukkan algoritma akan berhenti apabila bucu A, B, C, F, H dan I disambung. Lukiskan penyambung minimum anda ke atas bucu- bucu yang terdapat dalam rajah 1.1. dan berikan jumlah panjangnya.

ii. Gunakan jadual 1.2, mulakan algoritma Prim sekali lagi pada bucu D untuk

mendapatkan penyambung minimum bagi bucu-bucu yang tinggal. Lukiskan penyembung minimum anda dalam rajah 1.2 dan dapatkan jumlah panjangnya.

Panjang penyambung = .....

Jadual 1.2



Rajah 1.1

C

H

F I

A

B

Rajah 1.2

G

E D

J



3. Dalam rangkaian di bawah, pemberatan pada sisi menunjukkan jarak. i. aplikasikan algoritma Dijkstra ke rajah di bawah untuk mendapatkan laluan

terpendek dari A ke D. Berikan laluan terpendek anda dan jaraknya. Laluan terpendek dari A ke D :__________ Jarak laluan terpendek = __________

ii. Terangkan secara ringkas bagaimana laluan ini diperoleh sehingga bucu destinasi dilabelkan kekal.

5.5 Algoritma Dijkstra Algoritma Dijkstra merupakan salah satu algoritma melabel yang digunakan untuk mendapatkan laluan terpendek sesuatu graf pemberatan. Algoritma ini banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah laluan terpendek dalam suatu rangkaian pengangkutan. Algoritma ini mirip dengan algoritma Prim yang mencari perentang pokok minimum, iaitu menyemak sisi-sisi yang menghubungkan bucu berkenaan dan memindahkan bucu ini ke bucu yang memenuhi kriteria tertentu pada setiap iterasi. Langkah-langkah Algoritma Dijkstra Langkah 1

i) label bucu permulaan sebagai 0 dalam petak segi empat sebagai label kekal. ii) semak semua bucu yang menghubung terus dengan bucu permulaan,

letakkan jarak sebagai label sementara. iii) pilih label sementara yang terkecil dan tukar sebagai label kekal. Ini

bermakna label kekal menunjukkan jarak terpendek dari bucu permulaan ke bucu tersebut.

AB

C D

EF

21

178

15

G

7

12

11

27

129

5

AB

C D

EF

21

178

15

G

7

12

11

27

129

5



Langkah 2 i) bagi bucu yang baru ditukar ke label kekal, semak semua bucu yang

menghubung terus ke bucu baru ini. ii) label sementara yang diletakkan pada setiap bucu berkenaan haruslah

merujuk kepada jumlah jarak label kekal dan laluan terus darinya. Jika label sementara ini wujud pada suatu bucu, ia mesti diganti hanya jika jumlah jarak baru yang lebih kecil.

Langkah 3

i) langkah 2 diulang sehingga sampai ke destinasi dan dapatkan jarak laluan terpendek.

ii) mengesan balik dari bucu destinasi ke bucu permulaan di mana bagi sebarang sisi MN,

label kekal M – label kekal N = jarak sisi MN Kita biasanya menggunakan petak-petak untuk menempatkan label kekal, label sementara dan turutan label kekal. Label sementara ini juga dikenali sebagai nilai kerja. Turutan label kekal label kekal

label sementara / nilai kerja Contoh 5.6: Dapatkan laluan terpendek dari D ke C dengan menggunakan algoritma Dijkstra. Penyelesaian 5.6

Dalam petak-petak di D, masukkan nilai jarak 0 di sebelah kanan atas dan turutan 1 di sebelah kiri atas. Bucu permulaan D mempunyai 3 sisi ke bucu A, B dan F di mana jarak DA = 5 DB = 9 DF = 10

Rajah 5.8

5 7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

25

3

G

3

Rajah 5.8 (a)

5

7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

2

5

3

G

3

1 0



Didapati DA < DB < DF Tuliskan semua nilai jarak dalam petak bawah di bucu A, B dan F. Disebabkan jarak terpendek ialah DA, maka petak atas kanan juga dimasukkan 5 dan 2 sebagai turutannya.

Sekarang A mempunyai 2 sisi iaitu ke C dan ke B. Kita perlu dapatkan jumlah jaraknya, maka DA ke AC = 5 + 15 = 20 DA ke AB = 5 + 7 = 12 Jadi masukkan 20 ke petak bawah C. Manakala B tidak perlu ubah nilainya di petak bawah kerana 9 < 12, tetapi 9 ini boleh dimasukkan ke dalam petak kanan atas sebagai label kekal dan masukkan 3 ke dalam petak kiri atas sebagai turutan.

Sekarang B mempunyai 2 sisi iaitu ke E dan ke G. Kita perlu dapatkan jumlah jaraknya, maka 9 + BE = 9 + 3 = 12 9 + BG = 9 + 7 = 16 Jadi masukkan 12 ke petak bawah E. Manakala petak bawah G dimasukkan 16. Pada masa yang sama, petak kanan atas boleh dimasukkan nilai 12 dan turutannya sebagai 4.

Rajah 5.8 (b)

5

7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

2

5

3

G

3

1 0

2 5 5

9

10

Rajah 5.8 (c)

5

7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

2

5

3

G

3

1 0

2 5 5

3 9 9

20

10

Rajah 5.8 (d)

5

7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

2

5

3

G

3

1 0

2 5 5

3 99

20

10

16

4 1212



Sekarang E mempunyai 1 sisi ke G. jumlah jarak sekarang ialah 12 + 2 = 14, maka tukarkan label sementara dari 16 ke 14. Pada masa yang sama, petak kanan atas di F boleh dimasukkan nilai 10 dan turutannya sebagai 5.

Sekarang F mempunyai 1 sisi ke G. jumlah jarak sekarang ialah 10 + 3 = 13, maka tukarkan label sementara dari 14 ke 13. Pada masa yang sama, petak kanan atas di G boleh dimasukkan nilai 13 dan turutannya sebagai 6.

Sekarang pada bucu C, tukarkan nilai 20 ke 18 di petak bawah kerana 13 + 5 = 18. Nilai 18 ini merupakan jumlah jarak bagi laluan terpendek dari D ke C. Maka petak kanan atas dimasukkan nilai 18 dan turutannya sebagai 7.

Rajah 5.8 (e)

5

7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

2

5

3

G

3

1 0

2 55

3 99

20

5 1010

16 14

4 1212

Rajah 5.8 (f)

5

7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

2

5

3

G

3

1 0

2 5 5

3 9 9

20

5 1010

6 1316 14 13

4 1212

Rajah 5.8 (g)

5

7

9

10

15

7

A

B

C

D

E

F

2

5

3

G

3

1 0

2 5 5

3 9 9

7 1820 18

5 1010

6 1316 14 13

4 1212



Perbandingan di antara algoritma Kruskal, Prim dan Dijkstra adalah seperti berikut:

Algoritma Kruskal Algoritma Prim Algoritma Dijkstra

• cari perentang pokok minimum

• pilih sisi terpendek (jika lebih dari satu, pilih mana-mana)

• ulang sehingga dapat perentang pokok minimum

• cari perentang pokok minimum

• pilih bucu • pilih bucu

seterusnya yang mempunyai nilai sisi terpendek

• cari laluan terpendek • mempunyai bucu permulaan dan

bucu destinasi. • Setiap kali pilihan akan tukar

jumlah jarak yang terkecil sebagai label kekal sehingga ke destinasi.

• Mengesan balik untuk mendapat laluan terpendek.

Tutorial (2 jam): 1. Jawab soalan latihan No. 3 dalam Tutorial 5.2. 2. Jawab soalan 1 dan 2 Exercise 3D Decision Math D1 (m/s 80 – 81)

1

6

T



3. Perbincangan contoh-contoh aplikasi.



Topik 6 : Analisis Laluan Kritikal ( 2 jam kuliah) 6.1 Pengenalan Setiap projek perlu dirancang dengan baik terutamanya projek yang melibatkan tenaga pekerja yang ramai. Ini merupakan tugas pihak pengurusan untuk merancang serta memastikan setiap perancangan dapat diselesaikan mengikut jangka masa yang ditetapkan. Perancangan ini boleh dilakukan melalui analisis rangkaian yang biasanya dikenali sebagai analisis laluan kritikal (critikal path analysis). Analisis ini telah diperkenalkan selepas Peperangan Dunia Kedua untuk projek yang besar yang bermulti-peringkat supaya sesuatu projek itu dapat disiapkan pada masa minimum dengan penggunaan bahan dan sumber tenaga secara optimum. Sebenarnya laluan kritikal ialah laluan rangkaian yang paling panjang tempoh masanya. Sesuatu projek tidak akan dapat selesai jika masanya kurang daripada masa yang diperlukan dalam laluan kritikal. Analisis laluan kritikal menggunakan diagram rangkaian (network diagram) untuk merancang serta memantau peristiwa-peristiwa dan aktiviti-aktiviti dari permulaan hingga ke penghabisan sesuatu projek. Maklumat pengurusan ini dapat memastikan sesuatu projek itu dapat dilaksanakan dengan seberapa cekap yang boleh. 6.2 Definisi elemen-elemen yang digunakan dalam diagram rangkaian

1. Aktiviti (activities) Aktiviti merujuk kepada tugas/ kerja yang menggunakan masa, usaha, wang dan lain- lain sumber, sebagai contoh tenaga pekerja yang diperlukan. Aktiviti adalah diwakili oleh anak panah dari kiri ke kanan. Sebagai contoh aktiviti A boleh digambarkan seperti dalam rajah 6.1a, 6.1b atau 6.1c.

aktiviti A aktiviti A A

(tempoh) (tempoh) ( __ ) Rajah 6.1a Rajah 6.1b Rajah 6.1c. 2. Peristiwa (events) Peristiwa merupakan titik masa dan simbolnya ialah . Ia tidak menggunakan masa atau sumber tetapi hanya penanda sesuatu aktiviti itu bermula atau tamat. Peristiwa bermula Peristiwa hujung Aktiviti A Aktiviti A bermula Aktiviti A tamat Rajah 6.2 Peristiwa yang memulakan sesuatu projek dinamakan peristiwa mula (start event) atau punca(source). Manakala aktiviti yang menamatkan sesuatu projek ialah peristiwa tamat (end event) or tenggelam (sink). Biasanya pihak pengurus akan menggunakan simbol untuk mewakilkan peristiwa mula dan untuk mewakili peristiwa tamat.



3. Peristiwa utama ( key event/ milestone) dengan simbol Peristiwa utama merupakan peristiwa yang dicadangkan oleh pengurus. Biasanya pengurus akan memberitahu masa bermulanya peristiwa ini. 4. Aktiviti dami (dummy activity) Dami meyerupai aktiviti tetapi tidak menggunakan masa dan sumber. Keadaan yang memerlukan dami adalah seperti berikut: (a) apabila dua aktiviti itu mempunyai peristiwa bermula dan peristiwa hujung yang sama. Diagram rangkaian adalah seperti dalam rajah 6.3b dan bukannya rajah 6.3a. Rajah 6.3a Rajah 6.3b (b) menggambarkan kekangan aktiviti bersandar secara logik. Katakan aktiviti C bersandar dengan aktiviti A dan B, dan aktiviti D pula hanya bersandar dengan aktiviti A. Dalam keadaan ini, dami adalah diperlukan seperti dalam rajah 6.4b.

Peristiwa akan dilabelkan nombor untuk membolehkan setiap aktiviti itu dapat dirujuk dengan pasangan peritiwa i, j di mana j > i. Rajah 6.5 Dalam rajah 6.5, aktiviti D boleh bermula sekiranya aktiviti B selesai. Aktiviti C pula hanya bermula sekiranya aktiviti A dan B selesai. maka dami adalah perlu dipamerkan dari peristiwa 3 ke peristiwa 4. 6.3 Peraturan semasa melukis diagram rangkaian

1. Rangkaian yang lengkap seharusnya mempunyai satu peristiwa mula dan satu peristiwa tamat.

1 4 5A C

2 3 6B D

dami A

B

A

B

C

D A

B

Rajah 6.4a - salah

dami

C

A

B

D

Rajah 6.4b - betul



2. Setiap peristiwa (selain daripada peristiwa mula dan peristiwa tamat) perlu mempunyai sekurang-kurangnya satu aktiviti sebelumnya dan sekurang-kurangnya satu aktiviti selepasnya iaitu tiada aktiviti tergantung (dangles) seperti dalam rajah 6.6.

Rajah 6.6 3. Sebelum suatu aktiviti bermula, semua aktiviti sebelumnya mesti selesai dahulu. 4. Tidak boleh mempunyai dua aktiviti yang mempunyai peristiwa bermula dan peristiwa hujung yang sama (lengkok selari). 5. Tidak boleh mempunyai gelung (loop) iaitu aktiviti bermula dan tamat pada peristiwa yang sama seperti dalam rajah 6.7.

Rajah 6.7 Contoh 6.1 Semasa projek pembinaan besar dilaksanakan, paip-paip diletakkan di dalam parit yang dalam. Operasi –operasi yang terlibat dalam bahagian ini adalah seperti Jadual 6.1:

Aktiviti Penerangan Tempoh ( jam) Kekangan A Mendapatkan penggali 1.0 - B Menggali parit 2.0 A C Memeriksa parit 2.0 B, E D Meletakkan paip 1.0 C, F, H E Mendapatkan paip 2.0 - F Menguji paip 4.0 E, G G Menyediakan tapak 4.0 - H Kerikirkan parit 3.0 G

Jadual 6.1 Diberitahu aktiviti C adalah aktiviti penting, maka diagram rangkaian bahagian ini dalam projek berkenaan ialah seperti rajah 6.8. Rajah 6.8

Simbol yang digunakan dalam buku rujukan utama pula tidak membezakan peristiwa

mula, penamat atau utama. Semuanya akan menggunakan simbol peristiwa biasa sahaja. Ini bermakna rajah 6.8 di atas boleh dibentuk menjadi rajah 6.9.

Mendapatkan penggali 1.0

Menggali parit 2.0

Memeriksa parit2.0

Meletakkan paip 1.0

Mendapatkan paip 2.0

Menyediakan tapak 4.0

Menguji paip

4.0

Kelikirkan parit

3.0



Rajah 6.9

Disebabkan peraturan 1 di atas, maka diagram rangkaian yang terbentuk pada peringkat akhir adalah seperti rajah 6.10.

Rajah 6.10 6.4 Algoritma untuk membina diagram rangkaian Diagram rangkaian adalah senang dibentuk bagi masalah yang mudah. Tetapi bagi projek yang besar dan rumit, algoritma adalah perlu digunakan untuk membina diagram rangkaian. Algoritma yang boleh digunakan adalah seperti berikut:

Katakan contoh 6.1 digunakan untuk tujuan ini, maka langkah-langkahnya adalah seperti berikut: Iterasi 1:

Bucu asal •A

•B

•C

•D

•E

•F

•G

•H

Bucu imej o

A o

B o

C o

D o

E o

F o

G o

H

Kita akan dapati A, E, G tiada bucu imejnya, maka A, E dan G akan dikeluarkan. Iterasi 2: A, E, G

Bucu asal •B

•C

•D

•F

•H

Bucu imej o

B o

C o

D o

F o

H

Sekarang B, F, H tiada bucu imejnya, maka

Mendapatkan penggali 1.0

Menggali parit 2.0

Memeriksa parit2.0

Meletakkan paip 1.0


Menyediakan tapak 4.0

Menguji paip

4.0

Kelikirkan parit

3.0

Permulaan : Tuliskan semua bucu asal ( titik permulaan aktiviti) dalam sebaris dan bucu imejnya dalam baris kedua. Jika aktiviti B mesti diikuti C, maka sisi akan dibuat antara bucu asal C dan bucu imej B.

Langkah 1: Senaraikan bucu-bucu asal yang tiada sisi dengan imej. Langkah 2: Singkirkan semua bucu asal yang ditemui dan imejnya pada Langkah 1. Langkah 3: Ulangi langkah 1 dan 2 sehingga semua bucu telah digunakan.

Mendapatkan penggali

1.0

Menggali parit 2.0

Memeriksa parit 2.0

Meletakkan paip 1.0


Menyediakan tapak

4.0

Menguji paip

4.0

Kelikirkan parit

3.0



Iterasi 3: B, F, H Bucu asal

•C

•D

Bucu imej o

C o

D

Sekarang C tiada bucu imejnya dan D merupakan aktiviti terakhir, maka kita dapat susun bucu-bucu seperti yang berikut:

A B C D E F G H

Dengan turutan di atas, maka kita dapat melukiskan diagram rangkaian dengan tepat.

Rajah 6.11 6.5 Teknik menomborkan peristiwa Ford-Fulkerson (Ford-Fulkerson event

numbering technique) Sebelum menganalisis diagram rangkaian, kita perlu melabelkan turutan bagi setiap peristiwa. Salah satu sistem menombori secara rawak ialah teknik menomborkan peristiwa Ford-Fulkerson. Algoritma ini adalah seperti berikut: 1. Nomborkan peristiwa mula dalam sebarang turutan. 2. Tandakan semua aktiviti yang keluar dari peristiwa yang telah dinomborkan. 3. Nomborkan semua peristiwa yang mana aktiviti masuk. 4. Berhenti jika semua peristiwa telah dilabelkan, jika tidak ulangi 2. Contoh 6.1 digunakan untuk algoritma ini. Peringkat 1 Rajah 6.12a Peringkat 2 Rajah 6.12b

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

1

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

2

1



Peringkat 3 Rajah 6.12c Peringkat 4 Rajah 6.12d Peringkat 5 Rajah 6.12e Peringkat 6 Rajah 6.12f Peringkat 7 Rajah 6.12g

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

2

4

3

1

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

52

4

3

1

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

652

4

3

1

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

7652

4

3

1

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

2

3

1



Sekiranya nombor 2 dan 3 saling bertukar, diagram rangkaian adalah seperti rajah 6.12h. Rajah 6.12h 6.6 Terminologi Setelah menombori diagram rangkaian, maka sudah boleh mengidenfikasikan aktiviti-aktiviti kita dengan nombor. Sebagai contoh, dengan merujuk rajah 6.12h, aktiviti ” mendapatkan penggali” sudah boleh dirujuk sebagai ”aktiviti 1 ke 2” atau ” 1-2”. Dalam kes ini, peristiwa ”1” dinamakan peristiwa sebelum (preceding event) dan peristiwa ”4” digelar sebagai peristiwa selepas (succeeding event). 6.7 Kelebihan menggunakan teknik menomborkan peristiwa Ford-Fulkerson

1. Sebarang gelung atau kitaran dapat dikesan semasa proses menomborkan diagram rangkaian. Proses menomborkan akan terus putus jika terdapat gelung.

2. Ia memberikan struktur rangkaian di mana semua aktiviti adalah dari nombor yang kecil ke nombor yang lebih besar. Ini adalah penting semasa menganalisiskan sesuatu diagram rangkaian dengan komputer dan semasa menyusun semula diagram rangkaian daripada senarai aktiviti.

6.8 Kelemahan menggunakan teknik menomborkan peristiwa Ford-Fulkerson

Kelemahan teknik ini ialah semua aktiviti perlu dinomborkan semula jika terdapat peritiwa atau aktiviti baru ditambahkan.

6.9 Kelebihan / kebaikan analisis laluan kritikal a) Memerlukan juru rancang yang berfikiran logik

b) Sesuai untuk projek yang besar dan rumit c) Kemampuan menunjukkan hubungkait antara aktiviti-aktiviti d) Membantu pengurusan mengenal pasti aktiviti-aktiviti kritikal dan tidak kritikal e) Mengenal pasti pada halangan/ kekangan untuk memulakan aktiviti dalam

perancangan awal 6.10 Kelemahan / keburukan analisis laluan kritikal

a) Sukar difahami kerana keterangan dalam bentuk grafik b) Rangkaian perlu didraf semula semasa mengemaskini c) Rangkaian lebih sukar dan mahal untuk dikemaskini d) Tidak sesuai untuk projek yang kecil e) Maklumat projek dan lukisan seringkali dipinda dan diubahsuai selepas sesuatu

kerja dimulakan

A(1.0) B(2.0) C(2.0) D(1.0)

E(2.0)

G(4.0)

F(4.0)

H(3.0)

7653

4

2

1



Latihan 6.1 : Lukiskan diagram rangkaian bagi projek pembinaan garaj dalam jadual 6.2 : Aktiviti Penerangan Tempoh

( hari) Kekangan

A menyediakan tapak 7 - B membuat kerangka pintu 2 - C menggali parit, simen tapak 15 - D memasangkan kelengkapan 8 E E mendirikan dinding 10 A, B F memplaster siling 2 D, G G membuat bumbung 5 E H memasang pintu dan tingkap 8 G, D I memasang paip dan longkang 2 C, F J mengecat 3 I

Jadual 6.2 Jawapan latihan 6.1 Atau Tutorial 6.1 (1 jam) Jawab soalan dalam Decision Math 1

1. Exercise 4A (m/s 108 – 109) : No. 1, 2, 3

A(7) E(10) G(5)

F(2) B(2)

C(15)

D(8) 7

8

4 5

1

2

H(8)

I(2) 9 J(3) 1063

A(7) E(10) G(5)

F(2) B(2)

C(15)

D(8) 6

7

3 4

1

H(8)

I(2) 8 J(3) 952



2. Exercise 4C (m/s 118 – 122) : No. 1, 2, 3, 4, 5



6.11 Operasi diagram rangkaian Operasi diagram rangkaian terbahagi kepada empat iaitu laluan ke depan (forward pass), laluan ke belakang (backward pass), pengiraan masa apungan/ lapangan/ lebihan (float calculations) dan pengiraan laluan kritikal (critical path calculation). Ini merupakan tugas pihak pengurusan untuk merancang serta memastikan setiap perancangan dapat diselesaikan mengikut jangka masa, kos dan sumber yang ditetapkan. Perancangan ini boleh dilakukan melalui empat operasi ini yang biasanya dikenali sebagai analisis laluan kritikal (critikal path analysis). 6.12 Laluan Ke Depan Laluan ke depan melibatkan operasi pada permulaan peringkat awal aktiviti ke penghujungnya dalam sesuatu diagram rangkaian. Tujuannya ialah mengira masa mula terawal (earliest start time) dan masa siap terawal (earliest finish time) bagi setiap peristiwa. Algoritma operasi ini adalah seperti yang berikut:

• Menetapkan masa mula terawal bagi setiap peristiwa mula (start event). Jika bukan, tetapkan masa sebagai 0.

• Bagi setiap peristiwa berikutnya: o tambahkan tempoh masa aktiviti sebelumnya dengan masa mula terawal

pada peristiwa mula. o Tetapkan masa siap terawal sesuatu peristiwa kepada masa yang terlama.

Catatan : - Jika sesuatu peristiwa itu bukan peristiwa penamat, maka masa siap terawal menjadi masa mula terawal dalam peringkat seterusnya untuk laluan ke depan. - semasa operasi laluan ke depan, masa mula terawal/ masa siap terawal bagi sesuatu peristiwa boleh dicatatkan di atas peristiwa. Masa ini, ei dicatatkan di sebelah petak kiri. Contoh 6.2 Dapatkan masa mula terawal X dalam diagram rangkaian dalam rajah 6.13. Rajah 6.13 Penyelesaian 6.2 X = maksimum antara {4 + 4, 5 + 7} = maksimum antara {8, 12} = 12 6.13 Laluan ke belakang

Laluan ke belakang menggunakan peristiwa penamat sebagai permulaan dan berundur ke belakang sehingga ke peristiwa permulaan dalam diagram rangkaian. Pengiraan ini melibatkan masa siap terlewat (latest finish time) dan masa mula terlewat (latest start time) untuk setiap peristiwa. Algoritmanya adalah seperti yang berikut:

• Menetapkan masa siap terlewat bagi setiap peristiwa penamat (end event). Jika bukan, tetapkan masa kepada masa penghabisan terawal. .

• Bagi setiap peristiwa berikutnya: o tolakkan tempoh masa aktiviti berikutnya dari masa siap terlewat bagi

peristiwa penamat.

ei

4

7

43

2

4

5

X



o Tetapkan masa mula terlewat sesuatu peristiwa kepada masa yang tersingkat.

Catatan : - Jika sesuatu peristiwa itu bukan peristiwa mula, maka masa mula terlewat menjadi masa siap terlewat dalam peringkat seterusnya untuk laluan ke belakang. - semasa operasi laluan ke belakang, masa siap terlewat/ masa mula terlewat bagi sesuatu peristiwa boleh dicatatkan di bawah peristiwa. Masa ini, li dicatatkan di sebelah petak kanan.

Contoh 6.3 Dapatkan masa mula terlewat Y dalam diagram rangkaian dalam rajah 6.14.

Rajah 6.14

Penyelesaian 6.3 Y = minimum antara {9 - 3, 8 – 4, 14 - 7} = minimum antara {6, 4, 7} = 4 6.14 Pengiraan masa apungan/ lebihan/ lapangan( float/ slack)

Masa apungan/ lebihan sesuatu aktiviti ialah masa penangguhan/ kelewatan yang

dibenarkan untuk melengkapkan aktiviti berkenaan. Apungan bebas (free float) ialah masa kelewatan yang tidak akan menjejas masa mula terawal untuk peristiwa berikutnya. Formula apungan bebas:

Apungan masa masa tempoh bebas = siap – mula – masa

terawal terawal aktiviti Jumlah apungan(total float) ialah masa penangguhan yang tidak menjejaskan masa tamat sesuatu projek. Formulanya ialah :

Jumlah masa masa tempoh Apungan = siap – mula – masa

terlewat terawal aktiviti Apungan tak bersandar (independent float) ialah masa penangguhan suatu aktiviti yang mana aktiviti-aktiviti seterusnya akan disiapkan seawal yang mungkin dan aktiviti-aktiviti sebelumnya disiapkan selewat yang mungkin.

Apungan tak masa masa tempoh bersandar = siap – mula – masa

terawal terlewat aktiviti

li

3

9

8 X

4

7 14



Apungan Mencelah = Jumlah Apungan – apungan tak

(interfering float) bersandar (independent float) Katakan aktiviti A mempunyai masa mula terawal 8 hari, masa mula terlewat 10 hari, masa siap terawal 15 hari dan masa siap terlewat 19 hari. Rajah 6.15 akan menggambarkan ketiga-tiga jenis apungan dengan lebih jelas.

Rajah 6.15

6.15 Pengiraan Laluan Kritikal Terdapat banyak tafsiran terhadap laluan kritikal, kursus ini akan menggunakan definisi berikut : ” the path of activities on which the total float is a minimum. ” Ini bermakna kita akan cuba dapatkan laluan aktiviti yang memberikan nilai minimum dalam jumlah apungan. Biasanya syarikat akan menetapkan masa mula terawal untuk menyiapkan sesuatu projek tetapi pelanggan yang menentukan masa tamat terlewat. Apabila masa ini adalah secocok, maka syarikat ini efisien dalam pengurusan masa dan jumlah apungan laluan kritikalnya ialah sifar atau positif. Sebaliknya, jumlah apungan akan menjadi negatif jika pengurusan masa kurang efisien. Catatan: Pakej komputer yang sesuai dan yang biasa digunakan untuk menganalisis diagram rangkaian ialah Microsof Project dan Artemis. Contoh 6.4 : (Rajah 6.12h digunakan untuk pengiraan )

A(3)

8 10 15 19

8 Hari ke 10 1513 19

Tempoh masa maksimum yang boleh digunakan (11 hari)

Jumlah apungan (8 hari)

11

A (3 hari)

Apungan bebas (4 hari) A (3 hari)

Apungan tak bersandar (2 hari)

A (3 hari)

8 Hari ke 10 1513 19 11



Penyelesaian : Laluan ke depan Langkah 1: Masa siap awal aktiviti 2-6 mesti 4 jam (dami)

Rajah 6.13 a Langkah 2: Masa siap terawal mesti 4, bukan 3 Rajah 6.13 b Langkah 3: Mesti 8 (terbesar) Rajah 6.13 c Langkah 4: Mesti 8 (terbesar) Rajah 6.13 d

A (1.0)

E(2.0)

G(4.0)

2

4

3

10

1

4

4

B(2.0) 54

A (1.0)

E(2.0)

G(4.0)

2

4

3

1 0

1

4

4

C(2.0) 68

B(2.0) 54

A (1.0)

E(2.0)

G(4.0)

2

4

3

1 0

1

4

4

F(4.0)

H(3.0)

C(2.0) 68

B(2.0) 54

A (1.0)

E(2.0)

G(4.0)

2

4

3

1 0

1

4

4

79

D(1.0)

F(4.0)

H(3.0)



Penyelesaian : laluan ke belakang Langkah 1: (mula dari belakang)

Rajah 6.13 e Langkah 2: Rajah 6.13 f Langkah 3: mesti 4 (dami)

Rajah 6.13 g Langkah 4: Rajah 6.13 h Penyelesaian tentang masa apungan :

aktiviti tempoh masa

masa mula

terawal

masa siap

terawal

masa mula

terlewat

masa siap

terlewat

Apungan bebas

Jumlah apungan

Apungan tak

bersandar

laluan Kritikal

1 A 1-2 1 0 1 3 4 0 3 2 E 1-4 2 0 2 2 4 2 2 2 3 G 1-3 4 0 4 0 4 0 0 * 4 B 2-5 2 1 4 4 6 1 3 5 dami 3-4 0 4 4 4 4 0 0 * 6 H 3-6 3 4 7 5 8 1 1 1 7 dami 4-5 0 4 4 6 6 0 2 8 F 4-6 4 4 8 4 8 0 0 * 9 C 5-6 2 4 6 6 8 2 2 10 D 6-7 1 8 9 8 9 0 0 *

Jadual 6.3

68 8

79 9

D(1.0)

C(2.0) 68 8

54 6

79 9

D(1.0)

C(2.0) 68 8

B(2.0) 54 6

A (1.0)

E(2.0)

G(4.0)

2

4

3

1 0 0

1 4

4 4

4 4

79 9

D(1.0)

H(3.0)

F(4.0)

C(2.0) 68 8

B(2.0) 54 6

2

4

3

1 4

4 4

4 4

79 9

D(1.0)

H(3.0)

F(4.0)



Keterangan ringkas:

Laluan kritikal ialah G-F-D iaitu aktiviti-aktiviti 1-3, 3-4, 4-6, 6-7. Ini kerana jumlah masa apungan aktiviti-aktiviti ini ialah sifar. Semua aktiviti ini boleh diselesaikan dalam masa 9 jam. Ini merupakan masa minimum yang diperlukan untuk menyiapkan projek. Ia dikatakan kritikal kerana sebarang kelewatan untuk memulakan aktiviti-aktiviti ini akan melewatkan aktiviti seterusnya dan menjejaskan keseluruhan projek. Contoh 6.5: Jadual 6.4 menyenaraikan aktiviti-aktiviti persediaan Jane ke temuduga dengan bantuan dua orang kawan Sue dan Meena. Kirakan masa laluan kritikal bagi Jane.

Aktiviti Penerangan Tempoh ( minit)

Kekangan

A mandi 3 - B keringkan rambut 8 A C mengambil kereta 7 - D seterikakan pakaian 12 - E memakai pakaian & bersolek 10 B, D F bertolak ke destinasi 20 C, E

Jadual 6.4 Penyelesaian 6.5: a) Diagram rangkaian Rajah 6.14 a b) Laluan ke depan dan ke belakang Rajah 6.14 b

A 3

C 7

D 12

52 1

4

3

B 8

E 10

F 20

A 3

C 7

D 12

52 1

4

3

0 0

12 12

3 4

22 22

42 42

B 8 E

10

F 20



Pengiraan masa apungan dan laluan kritikal:


masa mula

terawal

masa siap

terawal

masa mula

terlewat

masa siap

terlewat

Apungan bebas

Jumlah apungan

Apungan tak

bersandar

laluan Kritikal

1 1-2 3 0 3 1 4 0 1 2 1-3 12 0 12 0 12 0 0 * 3 1-4 7 0 7 15 22 15 15 15 4 2-3 8 3 11 4 12 0 1 5 3-4 10 12 22 12 22 0 0 * 6 4-5 20 22 42 22 42 0 0 *

Jadual 6.5 Laluan kritikal ialah pakaian sterika, memakai pakaian dan bertolak ke destinasi. Masa minimum yang diperlukan ialah 12 + 10 + 20 = 42 minit. Sekiranya menggunakan diagram rangkaian dalam rajah 6.6c, maka pengiraan masa apungan adalah seperti jadual 6.4 . Perubahan hanya pada label aktiviti sahaja. Rajah 6.14 c


masa mula

terawal

masa siap

terawal

masa mula

terlewat

masa siap

terlewat

Apungan bebas

Jumlah apungan

Apungan tak

bersandar

laluan Kritikal

1 1-4 3 0 3 1 4 0 1 2 2-5 12 0 12 0 12 0 0 * 3 3-6 7 0 7 15 22 15 15 15 4 4-5 8 3 11 4 12 0 1 5 5-6 10 12 22 12 22 0 0 * 6 6-7 20 22 42 22 42 0 0 *

Jadual 6.6

Sterika pakaian 12

Memakai pakaian dan

bersolek 10

Bertolak ke destinasi

20

mandi 3

Mengambil kereta 7

Keringkan rambut

8 7 65

2

4

3

1

0 0

0 1

0 15

3 4 12 12 22 22 42 42



Tutorial 6.2 (1 jam): Kongsikan penyelesaian di antara ahli kumpulan. 1. Jadual 6.7 menyenaraikan aktiviti-aktiviti yang terlibat semasa menyediakan secawan teh.

Aktiviti rujukan

Penerangan Tempoh ( saat)

Aktiviti sebelum

A mendapatkan cerek 10 -

B mengisi air cerek 20 A, H

C mendidihkan air cerek 180 B

D memanaskan teko 60 C, I

E membuat tea 20 D, J

F mengembangkan teh(brew tea) 120 E

G menuang teh 20 F, M

H mendapatkan air 10 -

I mendapatkan teko 10 -

J mendapatkan teh 10 -

K mendapatkan cawan 10 -

L menambahkan gula ke dalam cawan 15 K, N, O

M menambahkan susu ke dalam cawan 15 L, P

N mendapatkan sudu 10 -

O mendapatkan gula 10 -

P mendapatkan susu 10 -

Jadual 6.7 Penyiapan aktiviti C telah dilabelkan sebagai peristiwa utama. (a) Bentukkan diagram rangkaian untuk projek ini. (b) Mencari laluan kritikal dan mengirakan masa tersingkat untuk menyiapkan projek ini. (c) Sekiranya teko terjatuh ke lantai dan pecah. Berapa lamakah anda perlu mendapatkan

sebuah teko lain tanpa melewatkan masa siap projek, contoh menuang teh ke cawan? (d) Sekiranya daun teh didapati kurang baik, dan memerlukan masa 135 saat untuk

mengembang. Berapa lamakah masa siap ditunda untuk projek ini? (e) Sekiranya gula sudah habis digunakan dan anda telah menggunakan 6 minit untuk

meminjam dari jiran. Berapa lamakah kelewatan untuk menuangkan teh.



2. Jadual 6.8 menyenaraikan aktiviti-aktiviti utama semasa memberi sebuah kereta baru. Aktiviti rujukan

Penerangan Tempoh ( saat)

Kekangan

A mengkaji kebolehlaksanaan 3 - B mencari pembeli kereta terpakai 14 A C menyenaraikan model-model yang mungkin 1 A D mengkaji model-model yang mungkin 3 C E membincangkan dengan mekanik 1 C F mengumpul risalah-risalah dari peniaga 2 C G membuat rumusan terhadap maklumat 1 D, E, F H memilih tiga model yang paling miniat 1 G I memandu uji ketiga-tiga model 3 H J mendapatkan maklumat kewangan 2 H K memilih satu kereta 2 I, J L memilih peniaga 2 K M memilih warna dan pilihan lain 4 L N memandu uji sekali lagi model terpilih 1 L O membeli kereta baru 3 B, M, N

Jadual 6.8 (a) Bentukkan diagram rangkaian untuk projek ini. (b) Mencari laluan kritikal dan mengirakan masa tersingkat untuk menyiapkan projek ini. (c) Jadual 6.9 menunjukkan resos projek ini yang diperlukan pada sehari:

Aktiviti rujukan Bilangan pekerja Aktiviti rujukan Bilangan pekerja A 2 I 2 B 1 J 2 C 1 K 1 D 2 L 2 E 6 M 2 F 2 N 1 G 2 O 2 H 1

Jadual 6.9 Membina carta masa Excel untuk projek ini.

(d) Gunakan Excel untuk melukis carta palang mengufuk untuk menunjukkan tenaga pekerja

yang diperlukan lawan dengan masa. (e) Gunakan carta masa anda dari (c) dan carta palang mengufuk dari (d) untuk

mengimbangkan resos yang dikehendaki melawan tempoh projek. Cetakkan jadual aktiviti akhir anda.

(f) Sekiranya kos tenaga pekerja yang digunakan dalam projek ini ialah RM 18.75 seorang

dalam sehari. Gunakan Excel untuk menghasilkan kos terputus untuk projek ini. Jawapan Tutorial 6.2: 1b) laluan kritikal : A-B, H-B-C-D-E-F-G. Masa tersingkat untuk melengkapkan = 430 saat c) 200 saat d) 15 saat e) 0 saat 2b) laluan kritikal : A-C-D-G-H-I-K-L-M-O



Tutorial 6.3: menyelesaikan soalan dalam Exercise 4C (m/s 118-120) No. 1- 3. (muka surat 6-11, 6-12, 6-13) 6.16 Pengurusan resos ( 1 jam kuliah) Aktiviti-aktiviti sesuatu projek biasanya memerlukan resos/ sumber seperti tenaga pekerja, kelengkapan, bahan-bahan dan sebagainya untuk menyiapkannya. Pengurus projek boleh mendapat maklumat dari diagram rangkaian untuk menguruskan dan mengagihkan kesemua sumber ini. Sebagai contoh, pengurus akan menyediakan kelengkapan sepanjang tempoh aktiviti berkenaan dengan kekangan-kekeangan tertentu. Ini bermakna pengurus perlu mengimbangkan resos dengan aliran masa sesuatu projek. Oleh demikian, objektif utama pengurusan resos adalah supaya tiada kelewatan berlaku yang menjejaskan masa siap sesuatu projek. Kedua ialah menilai kesan-kesan resos yang sukar diperoleh. Carta masa/ carta Gantt (time chart/ cascade chart) akan dibina untuk tujuan ini. Carta masa dapat mempersembahkan maklumat dengan lebih jelas. Rajah 6.15 menunjukkan carta masa bagi suatu projek. Rajah 6.15 Dari rajah 6.15, kita mengetahui masa minimum untuk menyiapkan projek ini ialah 6 hari. Semasa membina carta masa, aktiviti-aktiviti kritikal akan dilukis dahulu. Sekiranya setiap aktiviti memerlukan seorang pekerja, maka dua orang pekerja diperlukan untuk menyiapkan projek ini dalam masa 6 hari. Carta masa boleh disediakan dengan menggunakan pengisian Excel. Katakan contoh 6.1 dan diagram rangkaian 6.13h digunakan untuk perbincangan kita. Lembaran Excel adalah seperti dalam rajah 6.16a.

0 1 2 3 4 5 6 hari

A B D G

E

C

F

Julat masa yang mungkin bagi aktiviti C

Aktiviti E dan F boleh diapungkan di antara julat ini

Aktiviti A, B, D dan G ialah aktiviti kritikal.

Aktiviti C mesti siap dalam 2 hari dan aktiviti E tidak dimulakan sebelum 2 hari.



Rajah 6.16a

Sekiranya setiap aktiviti memerlukan 2 orang untuk menyiapkannya, maka kita hanya menaipkan 2 dalam setiap petak dan dapatkan jumlah tenaga pekerja pada setiap jam. Rajah 6.16b menunjukkan hasilnya.

Rajah 6.16b

Dari rajah 6.16b, kita akan mendapati bilangan pekerja untuk jam pertama dan kedua ialah 6 orang, jam ketiga ialah 4 orang, jam keempat ialah 2 orang, jam kelima dan keenam pula perlu tambah pekerja kepada 6 orang, kemudian kurangkan pekerja kepada 4 orang, dan 2 jam terakhir hanya memerlukan 2 orang sahaja. Tetapi bagi kebanyakan masalah, agihan tenaga pekerja merupakan masalah yang rumit.Katakan contoh 6.1 dan diagram rangkaian 6.13h digunakan untuk mempertimbangkan agihan tenaga pekerja seperti yang tersenarai dalam jadual keperluan resos iaitu jadual 6.10.



Jadual 6.10 Jadual 6.10 menunjukkan 4 jenis petugas berlainan iaitu pengurus tapak, pengurus forman, pemeriksa bangunan dan pekerja biasa. Bilangan pekerja pada setiap jam juga berlainan. Untuk mendapatkan jumlah tenaga pekerja mengikut bidang masing-masing, maka kita akan menaipkan semua maklumat di jadual 6.10 ke dalam perisian Excel secara teliti. Kemudian mendapatkan jumlah tenaga pekerja pada pertama dengan formula “=sum (D7:D26)” dan tekan Enter di sel D28. Kemudian highlight D28 dan tarik ke L28. Hasilnya akan menjadi seperti dalam rajah 6.17.



Rajah 6.17

Keterangan: 1. Sel A7: A26 menunjukkan rujukan aktiviti. 2. Sel B7 : B26 mengandungi perkaitan keutamaan (precedence relationships) aktiviti-

aktiviti yang terlibat. Sebagai contoh, rujukan 1-4 dan 3-4 untuk aktiviti 4-6 menunjukkan aktivti 4-6 mesti dimulakan selepas aktiviti 1-4 dan mesti siap sebelum aktiviti 5-6.

3. Palang mendatar menunjukkan ruang waktu (time slots) bagi aktiviti-aktiviti berkenaan

bermula. Sebagai contoh, selang masa di antara masa mula terawal dan masa siap terakhir sesuatu aktiviti.

4. Petak berwarna kelabu mewakili tempoh masa sesuatu aktiviti. Carta masa ini

menganggapkan semua aktiviti bermula pada masa mula terawal. Petak mewakili aktiviti kritikal. Carta masa ini menganggapkan semua aktiviti bermula pada masa mula terawal.

5. Nombor dalam petak kelabu mewakili keperluan resos melawan masa. Maklumat ini

adalah dari jadual 6.10. 6. Sel D28 : L28 mempunyai formula penambahan keperluan lajur berkenaan. Sebagai

contoh, ”6” dalam sel D30 menunjukkan jumlah tenaga pekerja yang diperlukan ialah 6 untuk jam pertama projek tersebut.

Maklumat dalam sel Sel D28 : L28 boleh dipamerkan sebagai carta palang seperti rajah 6.18.



Rajah 6.18

Carta palang ini telah menunjukkan keperluan resos projek ini adalah berlainan pada setiap jam dan maksimumnya ialah 8 orang pekerja. Untuk mempertingkatkan keberkesanan dalam pengurusan, pengurus biasanya akan mengimbangkan keperluan resos, di mana aktiviti-aktiviti yang tidak kritikal dijadualkan di mana-mana ruang masa asalkan perkaitan keutamaan dalam sel B7: C26 dikekalkan. 6.17 Pengimbangan/ penambahbaikan resos (resources levelling) Dalam projek yang besar dan rumit, carta palang resos boleh digunakan sebagai alat perancang untuk memastikan pengimbangan di antara kerja yang dibuat dan resos yang diperlukan. Proses ini dinamakan sebagai pengimbangan resos. Dalam Excel, operasi ini boleh dikemaskinikan secara automatik dengan tarik dan lepas petak kelabu sahaja. rajah 6.19 menunjukkan penambahbaikan taburan resos projek.

Rajah 6.19



Carta palang dalam rajah 6.20 menunjukkan pengagihan resos yang lebih seimbang dan keperluan resos maksimum telah diturunkan dari 8 orang pekerja ke 6 orang pekerja.

Rajah 6.20

Catatan: Pakej pengurusan projek seperti Microsoft Project dan Artemis menggunakan program secara heuristik untuk mendapatkan penyelesaian. Pakej-pakej ini sesuai untuk projek yang besar dan rumit supaya lebih senang mendapatkan penyelesaian optimum dalam masalah pengimbangan resos. Setelah mendapat jadual resos yang dikehendaki, kita boleh mengirakan kos yang diperlukan. Sekiranya upah tenaga pekerja projek ini adalah seperti dalam jadual 6.11.

Resos Kos / jam (RM) pengurus tapak 21.00

pengurus forman 17.50 pemeriksa bangunan 23.50

pekerja 12.45 Jadual 6.11

Jadual 6.12



Dengan menggunakan jadual keperluan resos iaitu jadual 6.10, jadual aktiviti (rajah 6.11) dan jadual kos (jadual 6.11), pengiraan kos iaitu upah pekerja secara keseluruhan adalah seperti dalam jadual 6.12. Berdasarkan contoh yang dibincangkan, kos upah selama 9 jam adalah RM714.60. Tutorial 6.4 (2 jam): Penyelesaian masalah dan mengkongsikan penyelesaian di antara ahli kumpulan untuk 1. Latihan tutorial lembaran kursus No. 1 -2 (m/s 6-22 hingga 6-23)



Topik 7 : Algoritma

7.1 Pengenalan dan definisi algoritma Formula atau langkah-langkah yang teratur banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah. Algoritma ialah siri tatacara yang disusun langkah demi langkah untuk menyelesaikan masalah dalam masa yang terhingga ( an algoritma is well-defined sequence of steps leading to the solution of a problem of a given type). Algoritma mesti mempunyai kenyataan yang jelas dan titik penamat yang jelas. Algoritma boleh dituliskan dalam pelbagai cara, mulai dari sebarang bahasa yang digunakan, simbol, grafik sehingga ke penggunaan bahasa pengaturcaraan. Manusia menggunakan algoritma pada setiap hari. Sebagai contoh, resipi membuat kek ialah satu algoritma. Penyediaan algoritma elegan yang seberapa ringkas yang boleh dan jelas merupakan cabaran utama dalam pembentukan algoritma. Algoritma boleh dikomunikasikan dalam pelbagai cara, ini termasuklah

Tulisan (written word) Kod-pseudo (pseudo code) yang menggunakan simbol dan tulisan Bahasa pengaturcaraan komputer (computer programming language) Carta-alir (flowcharts) Diagram berstruktur (structure diagrams)

Ciri penting bagi sesebuah algoritma ialah: • Penyelesaian masalah yang terhingga (ada penamat) • Setiap arahan yang dikemukakan adalah jelas • Mempunyai input, untuk memulakan perlaksanaan • Mempunyai output, hasil perlaksanaan

Contoh-contoh: 1. Berikut adalah satu algoritma yang digunakan untuk nombor positif dari 2 hingga 99. Langkah 1: Bulatkan nombor 2 dan pangkahkan semua nombor gandaan 2. Langkah 2: Bulatkan nombor seterusnya yang belum dipangkah, kemudian pangkahkan semua nombor gandaa nombor tersebut. Langkah 3: Ulang langkah 2 sehingga semua nombor telah dibulatkan atau dipangkahkan.

Implikasikan algoritma di atas dengan jadual 7.1 berikut. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Jadual 7.1 Apakah tujuan algoritma ini? Jawapan : _____________________________________________________________ Mencari nombor perdana yang kurang dari 100



2. Pada hari apakah anda lahir? Anda boleh gunakan algoritma Zeller ke atas tarikh lahir anda untuk menentukannya.

Langkah 1: Katakan D sebagai hari anda lahir ( katakan 4) Katakan M sebagai bulan anda lahir (katakan 11) Katakan Y sebagai tahun anda lahir (katakan 1985) Langkah 2: Jika M<3, maka M: = M + 12 dan Y: = Y - 1 Langkah 3: Katakan C = INT(Y/100) Katakan Y’ = Y – (100 X C)

Langkah 4: Katakan S = INT(2.6 X M -5.39) + INT(Y’/4) + INT(C / 4) + D + Y’- (2 X C)

Langkah 5: Katakan Hari = S – (7 X INT(S / 7)

3. Contoh algoritma yang menggunakan salah satu bahasa pengaturcaraan komputer untuk

mengira luas segi empat yang panjang 5 unit dan lebar 6 unit. Algoritma kod-pseudo Algoritma Kod Aturcara C

Data input: tiada Data output: ?

Mula algoritma: i. Pamer @ cetak Logo aturcara ii. Set nilai panjang=5 & lebar=6 iii. Kira luas, iaitu, ? iv. Pamer @ cetak nilai ? v. Pamer @ cetak Logo akhir aturcara Akhir algoritma.

main() { int panjang, lebar, luas; printf(“Aturcara 4.”); panjang = 5; lebar=6; luas = ? printf(“nilai ?”) printf(“Akhir aturcara”) }

Jadual 7.2 Sumber : http://yazid.blog.umt.edu.my/files/2010/08/LatihanSelesaiMasalah-unisza220810.pdf

4. Gunakan carta-alir dalam rajah 7.1 untuk mendapatkan faktor sepunya terbesar

apabila x = 24, dan y = 32.

Baca x, y

Hasil x

x > y?

x < y?

x = y?

Yes

Yes

No

No

Yes

No

Tolak y dari x untuk mendapatkan nilai baru

bagi x

Tolak x dari y untuk mendapatkan nilai baru

bagi y

Rajah 7.1



Tutorial 7.1: (1 jam) 1. Langkah-langkah berikut ialah algoritma yang melibatkan operasi ke atas dua nombor.

Langkah 1: Tuliskan dua nombor itu bersebelahan Langkah 2: Di bawah kedua-dua nombor ini, tuliskan nombor gandaan dua bagi

nombor di sebelah kiri, dan tuliskan bahagian integer pembahagian dua di bawah nombor di sebelah kanan, tinggalkan sebarang baki.

Langkah 3: Ulangi Langkah 2 sehingga nombor di sebelah kanan itu mendapat 1.

Langkah 4: Memotong baris-baris yang mempunyai nombor genap di sebelah kanan. Jumlahkan semua nombor di sebelah kiri yang tidak dipotong untuk mendapatkan jawapan.

i) aplikasikan algoritma ini ke atas nombor 50 dan 56.

ii) gunakan jawapan di (i), dan sebarang contoh yang mudah untuk mendapatkan tujuan algoritma ini.

2. Algoritma berikut ialah untuk mendapatkan bilangan hari dari tahun 2000 ke satu tarikh

yang diberikan dalam format d /m /y, di mana d ialah hari, m ialah bulan dan y ialah tahun, y ≥ 2000.

• mula dengan d – 1 • tambah 365 x ( y – 2000)

• jika m > 2, tambah bahagian integer bagi 41 (y -1996);

jika tidak, tambah bahagian integer bagi 41 (y -1997)

• jika m = 2, tambahkan 31 • jika m = 3, tambahkan 59 • jika m = 4, tambahkan 90 • jika m = 5, tambahkan 120 • jika m = 6, tambahkan 151 • jika m = 7, tambahkan 181 • jika m = 8, tambahkan 212 • jika m = 9, tambahkan 243 • jika m = 10, tambahkan 273 • jika m = 11, tambahkan 304 • jika m = 12, tambahkan 334

(i) aplikasikan algoritma di atas ke 14/12/2008 (ii) aplikasikan algoritma di atas ke tarikh 29/09/2012 (iii) berapa harikah yang terdapat di antara 14/12/2008 dan 29/09/2012



3. Algoritma berikut ialah untuk mencari faktor sepunya tertinggi.

(i) laksanakan algoritma ini dengan A = 84 dan B= 660, tunjukkan langkah-langkah pengiraan.

(ii) laksanakan algoritma ini dengan A = 660 dan B= 84, tunjukkan langkah-langkah pengiraan yang mungkin.

(iii) apabila A = 30, B = 42, hasil daripada algoritma ini adalah seperti jadual yang diberi .

A B Q R1 R2 30 42 1 12 12 30 2 6 6 6 12 2 0

Baris pertama jadual menunjukkan 12 = 42 – 1 x 30 Gunakan baris kedua untuk mencari ungkapan yang serupa untuk 6 dalam sebutan 30 dan 12. Dengan itu ungkapkan 6 dalam bentuk m x 30 – n x 42 di mana m dan n adalah integer.

4. Tuliskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang menggunakan

formula a

acbbx2

42 −±−=

Input A dan B (nombor positif)

R2 > 0? Yes

No

Katakan Q = int(B/A) Katakan R1 = B - AxQ

Katakan B = A Katakan A = R1 Katakan Q = int(B/A) Katakan R2 = B - AxQ

Print R1 Stop

Katakan R1 = R2



5. (a) Perhatikan carta-alir di atas, menanya jika terdapat soalan. (b) Laksanakan algoritma mengikut carta-alir dengan (i) a = 24 dan b = 32 (ii) a = 16 dan b = 46 (iii) a = 105 dan b = 180 (c) Dari keputusan (b), apakah yang anda carikan? Jawapan:

Input a dan b

S = 0?

Yes

No

Katakan R = int (b/a)

Katakan S = b - R x a

Print R1

Katakan a = S b = a

Mula

Tamat



4.



Topik 8: Algoritma Heuristik (2 jam) Algoritma heuristik ialah suatu cara penyelesaian masalah yang menggunakan cara penjelajahan serta cuba jaya. Algoritma heuristik ini mungkin tidak memberi penyelesaian yang optimum.

8.1 Algoritma Heuristik untuk bin-packing

Bin-packing bererti objek-objek yang berlainan saiz dan isipadu disusunkan ke dalam kotak yang bersaiz lebih besar dengan muatan tertentu. Biasanya proses ini akan cuba mendapat bilangan kotak besar yang minimum.

Semasa pindah rumah, kotak barang-barangan biasanya diangkut dengan lori atau kereta. Kita akan cuba memastikan kita berkemas dengan cara yang efisien supaya mengurangkan bilangan perjalanan yang diperlukan. Sekiranya saiz barangan kita terlalu besar, maka sukarlah bagi kita membentuk satu algoritma untuk berkemas dan menyusun dengan efisien. Bin-packing ini juga menimbulkan masalah semasa menyalin fail komputer ke disket. Jika saiz fail kita adalah 10 MB dan saiz sebuah disket ialah 1.44MB, dari pengiraan 7 X 1.44 = 10.08, kita akan memerlukan 7 disket untuk tujuan ini. Tetapi ini hanya satu kemungkinan sahaja.

Soal di sini ialah mesti menyalin fail-fail ini dalam satu disket sahaja di mana fail tidak boleh dipisahkan. Ini mungkin boleh diselesaikan dengan program pemampatan yang canggih. Ataupun setiap disket disalin ke satu fail sahaja. Mana satu merupakan penyelesaian terbaik akan bergantung kepada penggunaan ruang seseorang dengan berkesan.

Jika menggunakan bilangan fail yang banyak, ini mungkin mengambil masa yang panjang untuk memeriksa semua gabungan yang mungkin dalam disket. Pendekatan yang kedua ialah dengan cara algoritma fisrt-fit: susun fail-fail ini mengikut turutan, masukkan setiap satu ke dalam ruang yang dikhaskan. 8.2 Algoritma First-fit

Algoritma ini pantas tetapi biasanya tidak memberikan penyelesaian optimum. 1. Letakkan kotak pertama ke dalam ruang pertama tanpa sebarang susunan.

2. Letakkan kotak kedua dalam ruang pertama, jika tidak muat, masukkan ke dalam ruang kedua.

3. Ulang langkah 2 sehingga semua kotak dimuatkan ke dalam ruang yang disediakan. 8.3 Algoritma menurun First-fit (First-fit decreasing) 1. Susun semula kotak-kotak mengikut turutan menurun. 2. Aplikasikan algoritma first-fit untuk susunan baru ini. 8.4 Algoritma full-bin 1. Lihat gabungan kotak-kotak untuk mengisi ruang tempat (fill bins). 2. Bungkuskan kotak-kotak ini (ikat bersama).

3. Bagi yang tinggal, tempatkan kotak seterusnya dalam slot pertama yang sesuai mengisi kotak itu.

Diagram berstruktur (structure diagrams)

Anda sepatutnya boleh membuat pertimbangan tentang kecekapan relatif antara setiap algoritma ini. Algoritma Full-bin memerlukan banyak gabungan kotak yang berlainan untuk disemak dan dilihat supaya boleh mencapai full-bin. Algoritma menurun first-fit memerlukan isihan/ penyusunan sebelum algoritma first-fit digunakan, ini bermakna algoritma ini memerlukan lebih banyak resos.



Kita boleh mendapatkan bilangan kotak besar dengan formula kotaksaiz

saizsemuajumlah .

Nombor ini hanya menunjukkan sempadan bawah bilangan kotak yang diperlukan dan biasanya bukan penyelesaian. Contoh 8.1 Sebelas kotak akan disusun ke dalam beberapa kotak besar (crates) di mana kapasiti maksimumnya ialah 100kg. Berat bagi sebelas kotak itu ialah tiga kotak 50 kg, tiga kotak 40 kg, tiga kotak 30 kg dan dua kotak 20kg.

1. Aplikasikan algoritma menurun first-fit dan nyatakan bilangan kotak besar yang diperlukan. 2. Tunjukkan bahawa terdapat penyelesaian lain yang memerlukan bilangan kotak

besar yang kurang daripada bahagian (1). Penyelesaian 8.1 1. Menyusun semula semua kotak mengikut saiz dalam turutan menurun. Susun kotak-kotak ini dalam kotak besar secara menambahkan kotak asalkan kotak itu tidak melebihi 100 kg. ∴5 kotak besar diperlukan jika algoritma menurun first-fit digunakan. 2. Penggunaan algoritma full-bin ∴4 kotak besar sahaja yang diperlukan jika algoritma full-bin digunakan. 8.5 Aplikasi algoritma heuristik (Kuliah 1 jam + tutorial 1 jam) 1. Masalah tukang paip (m/s 9 Decision Math D1)

Seorang tukang paip ingin memotong sebatang paip berukuran 12 kaki kepada panjang paip seperti jadual 1.

50 50 50 40 40 40 30 30 30 20 20

50

50

50

40

40

40

30

30

30

20

20

Kotak besar 1

Kotak besar 2

Kotak besar 3

Kotak besar 4

Kotak besar 5

50

50 404040

30

3030

2020

50 Kotak besar 1

Kotak besar 2

Kotak besar 3

Kotak besar 4



Panjang (kaki) Bilangan 2 2 3 4 4 3 6 1 7 2

Jadual 8.1 Apakah cara yang terbaik untuk dia mendapat baki yang minimum? 2. Masalah muatan feri (m/s 10 Decision Math D1)

Sebuah feri kecil mempunyai empat lorong kereta yang panjangnya 20 m. Kenderaan seperti dalam jadual 2 sedang tunggu giliran untuk masuk ke dalam feri. Bolehkah semua kenderaan ini boleh dimuatkan ke dalam feri dalam satu perjalanan sahaja? Kenderaan panjang (m) Kenderaan panjang (m) Lori minyak 14 kereta & treler 8 kereta 4 kereta 3 range rover 5 bas persiaran 12 kereta 4 lori 11 kereta 3 kereta 4 van 4 lori 10

Jadual 8.2



3. Masalah penyimpanan cakera (m/s 10 Decision Math D1) Seorang pengilang perisian ingin menyimpan program komputer dalam jadual 3 ke dalam empat cakera yang muatannya 400kB. Dapatkah dia laku demikian?

Program A B C D E F G H I J Saiz (kB) 100 80 60 65 110 25 50 60 90 140

Program K L M N O P Q R Saiz (kB) 75 120 75 100 70 200 120 40



4. Masalah rak (ms 8 Decision Math 1) 11 buah kotak yang berlabel A sehingga ke K perlu disusun ke dalam beberapa rak yang tingginya 15dm. Dapatkan bilangan rak terendah untuk menyimpan ke semua kotak itu.

A B C D E F G H I J K 8 7 4 9 6 9 5 5 6 7 8

Tutorial 8.1: 1. Enam item yang mempunyai berat tertentu disenaraikan dalam jadual perlu dikemaskan

ke dalam kotak yang berkapasiti 10 kg. Item A B C D E F berat 2 1 6 3 3 5

i) Gunakan algoritma first-fit untuk menyusun enam item ini, nyatakan bilangan kotak yang diperlukan. ii) Berikan satu penyelesaian optimum. 2. Tigabelas buku disusunatur ke dalam sebuah rak buku yang mempunyai lebar 20 cm. Tebal setiap buku (cm) adalah seperti yang berikut.

4 1 5.5 2 6 1.5 1.5 2 2 4 5 3 2.5

i) Susunkan buku-buku ini mengikut saiz dalam turutan menaik. Bermula dengan buku ternipis, susun ke dalam rak satu demi satu mengikut turutan. Tunjukkan susunan buku dalam rak yang digunakan.

ii) Susunkan buku mengikut saiz dan gunakan algoritma first-fit untuk menyusunkan buku ke dalam rak. Tunjukkan susunan buku dalam setiap rak yang digunakan. iii) Gunakan algoritma first-fit untuk susunan buku yang asal untuk menunjukkan hanya dua rak buku sahaja diperlukan.



3. Jurulatih dalam sebuah pasukan bola sepak perlu menyusun tiga sesi latihan untuk pertandingan. Setiap sesi adalah 90 minit. Dia ingin susunkan aktiviti-aktiviti yang terdapat dalam jadual berikut. Beberapa aktiviti perlu dijadualkan lebih dari satu kali.

Aktiviti Tempoh (minit)

Bilangan kali yang dijadualkan

A Latihan jaringan gol 10 3 B Latihan hantaran bola 15 3 C Latihan halangan bola 12 3 D Larian pecut 5 3 E Larian jarak sederhana 14 2 F Larian jarak jauh 20 1 G Permainan pasukan 12 3 H Latihan 5-sebelah (5-a-side) 20 2 I Latihan perlawanan sebenar 20 1

i) Gunakan algoritma menurun first-fit untuk mengagihkan aktiviti ke dalam tiga sesi latihan. ii) Penyelesaian dari algoritma menurun first-fit adalah tidak memuaskan kerana aktiviti yang sama diulangi dalam sesi yang sama. Algoritma menurun first-fit telah diubahsuaikan supaya aktiviti seterusnya dipilih dahulu jika dan hanya jika aktiviti itu sesuai dan belum lagi dijadualkan ke dalam sesi yang sama. iii) Tunjukkan bahawa adalah tiada kemungkinan untuk menyusun tiga sesi latihan sahaja,

jika tiada sesi latihan yang dibenarkan mempunyai aktiviti ulangan. Jawapan: 1.

2.



3.



Topik 9 : Kaedah Mengisih (sorting) – 1 jam

9.1 Pengenalan

Dalam sains komputer dan matematik, algoritma isihan (sorting) merupakan algoritma yang menyusun sekumpulan data dalam tertib tertentu. Senarai data terisih adalah penting kerana memudahkan proses pemahaman dan proses analisa koleksi data yang disimpan dan seterusnya mempercepatkan operasi carian. Sebagai contoh, nombor telefon disusun secara menaik mengikut abjad nama pelanggan dalam direktori telefon. Tertib yang paling banyak digunakan ialah tertib bernombor dan tertib berleksikograf (lexicographical order).

Dua aktiviti utama dalam proses isihan ialah perbandingan elemen-elemen untuk menentukan kedudukan elemen dan peralihan kedudukan elemen-elemen untuk menyusun elemen-elemen tersebut. Bilangan perbandingan elemen dan bilangan peralihan elemen dalam algoritma isihan menentukan keberkesanan algoritma tersebut. Keberkesanan kedua-dua aktiviti ini juga bergantung kepada bilangan elemen yang perlu ditukar kedudukan dalam proses isihan. Isihan yang efisien adalah penting untuk mengoptimumkan penggunaan algoritma yang lain. 9.2 Isihan Pilihan secara tukar ganti (selection with interchange sort)

Dalam laluan pertama, nombor terkecil dalam senarai dicari dan ditukar ganti dengan nombor pertama. Dalam senarai di bawah yang mempunyai 5 nombor akan melibatkan 4 perbandingan.

Bagi laluan kedua, nombor terkecil dari nombor kedua ke bawah dicari dan ditukar gantikan dengan nombor kedua. Senarai sekarang melibatkan 3 perbandingan.

Dalam laluan ketiga, nombor terkecil dari nombor ketiga ke bawah dicari dan ditukargantikan dengan nombor ketiga. Senarai ini melibatkan 2 perbandingan.

Laluan keempat pula hanya melibatkan 1 perbandingan untuk contoh di atas yang mempunyai 5 nombor. Jumlah bilangan perbandingan ialah 4 + 3 + 2 + 1 = 10 dan bilangan pertukaran yang maksimum ialah 4.

76135

16735

16735

13765

13765

13567



Ini bermakna ini jika senarai mempunyai n data, maka proses ini akan berterusan

untuk (n-1) pertukaran dan ( )

21−nn

perbandingan.

9.3 Isihan Buih (Bubble sort) Isihan buih mudah difahami tetapi hanya sesuai untuk melakukan isihan bagi bilangan data yang kecil kerana masa proses isihan adalah lama. Secara am, laluan pertama akan memindahkan nilai terbesar ke penghujung data, laluan kedua akan menempatkan nilai kedua besar di kedua akhir penghujung dan proses ini berterusan sehingga data tersusun. Dalam laluan pertama contoh berikut, nombor pertama 7 akan dibanding dengan yang kedua 3. Nombor yang nilainya terkecil 3 akan dianggap sebagai nombor pertama. Nombor yang kedua 7 dibanding dengan nombor ketiga 1 dan ulangi proses ini untuk nombor-nombor seterusnya. Pada akhir laluan pertama, nombor terbesar 7 akan berada di bawah sekali. Contoh berikut yang dibincangkan memberi 4 perbandingan dan 4 pertukaran dalam laluan pertama.

Laluan pertama:

Laluan kedua: 3 perbandingan dan 2 pertukaran kerana tidak termasuk 7 Laluan ketiga : 2 perbandingan dan tiada pertukaran kerana mengecualikan 6,7 Laluan keempat: tidak perlu dilakukan kerana data sudah tersusun. Jumlah bilangan perbandingan ialah 4 + 3 + 2 = 9. Bilangan pertukaran ialah 4 + 2 = 6 dan bilangan laluan ialah 3.

Jika senarai mempunyai n data, maka proses ini akan berterusan untuk (n -1)

laluan, ( )

21−nn

pertukaran dan ( )

21−nn

perbandingan.

7 3 1 6 5

37165

31765

31675

31657

13657

13657

13567

3 1 6 5 7

1 3 5 6 7

13567

13567



9.4 Isihan Shuttle (shuttle sort)

Isihan shuttle membandingkan nombor ke-n dan ke-(n+1) untuk memastikan nilai terkecil disusun dahulu. Setiap kali pertukaran, kita akan bandingkan dengan turutan sebelumnya dan tukar jika perlu. Bilangan maksimum perbandingan bagi laluan ke-n ialah n. Bilangan laluan maksimum bagi n data ialah n-1, dan bilangan

perbandingan yang maksimum untuk n data ialah ( )

21−nn .

Contoh:

9.5 Isihan Cepat/ pantas (Quick sort)

Isihan cepat memisahkan senarai data kepada dua sub-bahagian, di mana sub-bahagian mengandungi nombor-nombor yang kurang atau sama dengan nombor

Laluan pertama : Bandingkan dua nombor di depan dan tukar lokasi untuk mendapatkan tertib menaik.

73165

37165

Laluan kedua : Bandingkan nombor kedua dan ketiga dan tukar lokasi jika perlu, kemudian bandingkan nombor pertama dan kedua.

37165

31765

1 3 7 6 5

Laluan ketiga : Bandingkan nombor ketiga dan keempat dan tukar lokasi jika perlu, kemudian bandingkan nombor kedua dan ketiga, akhir sekali bandingkan nombor pertama dan nombor kedua.

13765

13675

1 3 6 7 5

13675

Laluan keempat : Bandingkan nombor keempat dan kelima dan tukar lokasi bila perlu. kemudian bandingan antara nombor ketiga dan keempat dan tukar lokasi jika perlu, selepas itu bandingkan nombor kedua dan ketiga, akhir sekali bandingkan nombor pertama dan nombor kedua.

13675

13657

13567

13567

1 3 5 6 7



pertama (pivot), bahagian yang satu lagi mengandungi nombor-nombor yang lebih besar daripadanya. Kita tidak menyusun dalam sub-bahagian. Letakkan nombor pertama di antara dua sub-bahagian itu dan ulangi proses ini ke atas sub-bahagian sehingga tiada sub-bahagian yang terbentuk. Gambaran adalah seperti rajah berikut:

pivot

Contoh: Pivot pivot pivot Senarai laluan pertama laluan kedua Laluan ketiga Contoh di atas memerlukan 3 laluan sahaja dan jumlah bilangan perbandingan ialah 4 + 3 + 1 = 8 Tutorial (2 jam)

Aktiviti 1.11, 1.2 pada m/s 18, 20 Decision Math D1

Rekursif (Recursive call) x ≤ p p

x > p

Bahagikan

Bahagian ke-1 Bahagian ke-2

p A:

x ≤ p p x > p

Isihan bahagian 1 Isihan bahagian 2

tteerriissiihh

7 3 1 6 5

3 1 6 5 7

13657

13567



Latihan

1. Dalam suatu ujian, markah Ali ialah 57, markah Bill ialah 67, markah Cleo ialah 42 dan Debbie mendapat markah 73. i) Aplikasikan isihan buih untuk menyusun individu dari nama mengikut huruf abjad ke

markah mengikut tertib menurun. Tunjukkan senarai markah selepas setiap laluan. Markah Ewan ialah 60 kemudian dimasukkan. Dia diselit ke dalam senarai dengan cara membandingkan markahnya dengan markah yang terbaik, kemudian dengan markah kedua terbaik dan sebagainya sehingga markahnya dalam kedudukan yang betul.

ii) Berapakah perbandingan yang perlu dibuat dalam isihan buih dan kemudian selitkan Ewan ke dalam senarai.

iii) Berapa perbandingan yang perlu dibuat jika markah Ewan diletakkan selepas Debbie pada mulanya, dan disusun mengikut tertib menurun.

2. i) Gunakan isihan shuttle untuk mengisih senarai berikut dalam tertib menaik.

Tuliskan senarai selepas setiap laluan dan dapatkan bilangan perbandingan yang telah anda lakukan. (Laluan pertama telah dilengkapkan).

Senarai : { 13, 27, 1, 20, 2, 22, 14, 21}

Bilangan perbandingan

selepas laluan pertama 13 27 1 20 2 22 14 21 selepas laluan kedua

Jumlah bilangan perbandingan = __________________

ii) Gunakan isihan cepat untuk mengyisih senarai yang sama dalam tertib menaik. Tunjukkan semua langkah anda dan dapatkan jumlah perbandingan anda. ( Langkah pertama proses berkenaan telah dilengkapkan, bilangan perbandingan telah dicatatkan ke dalam lajur kanan.)

Senarai : { 13, 27, 1, 20, 2, 22, 14, 21}

13 27 1 20 2 22 14 21 1 2 13 27 20 22 14 21

7



3. i) Satu senarai yang mempunyai 5 item disusun dalam tertib menurun. Berikan bilangan perbandingan yang diperlukan dalam isihan shuttle dan cepat untuk menyusun senarai dalam tertib menaik. ( Tidak perlu menunjukkan isihan).

Senarai = { 5, 4, 3, 2, 1}

Bilangan perbandingan dalam isihan shuttle = _________________ Bilangan perbandingan dalam isihan cepat = __________________

ii)Anda diberikan satu senarai 5 item yang dikatakan disusun dalam tertib menaik. Anda ingin menyemaknya. Anggapkan senarai berkenaan adalah dalam tertib yang betul, dapatkan bilangan perbandingan dalam isihan shuttle dan isihan cepat yang anda perlu buat.

Bilangan perbandingan dalam isihan shuttle = _________________ Bilangan perbandingan dalam isihan cepat = __________________

Jawapan:


Cik Farm CM, Dr Hu LN, IPGM

Rujukan Brian Jefferson. (2008). Decision D1. UK: Oxford University Press. Brian Jefferson. (2009). Decision D2. UK: Oxford University Press. Ian Bloomfield and John Stevens. (2002). Discrete & Decision. United Kingdom: Nelson

Thornes Ltd. Nor Hayati Md. Yusof. (2010). HBMT 4403 Teaching Mathematics In Form Six.

Selangor: Open University Malaysia Parramore, K. et. al (2004). Decision mathematics 1 D1. 3rd ed. UK. British Library

Publication. Parramore. K. et. al (2004). Decision mathematics 2 and C. 3rd ed. UK. British Library

Publication. Soon C. L., Tong S. F. and Lau T.K. (2005). Pre-U Mathematics S paper 2. Selangor:

Pearson Malaysia Stan Dolan. (2001). Discrete Mathematics 2. UK: Cambridge University Press. Sue De Pomerai and John Berry. (1998). Decision mathematics. London : Collins

Educational Wan Rosmanira Ismail. (2010). SBMP 4203 Linear Programming. Selangor: Open

University Malaysia.

Modul MTE3104 Matematik Keputusan

Documents

Transcript of Modul MTE3104 Matematik Keputusan