Modul MATEMATIK TAMB.pdf

MATEMATIK TAMBAHAN

PROJEK JAWAB UNTUK JAYA PAHANG 2005

1

Persamaan Kuadratik :: Aplikasi :: Contoh Jawapan :: Latihan :: Fungsi Trigonometri

Penyelesaian Persamaan Kuadratik ax2 + bx + c = 0I. Kaedah Pemfaktoran

- Kaedah ini hanya boleh digunakan jika ungkapam kuadratik yang diberi dapat difaktorkan.CONTOH LATIHAN

C1. Selesaikan persamaan kuadratik x2 + 5x + 6 = 0.Jawapan: x2 + 5x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x + 2 = 0 atau x + 3 = 0 x = -2 atau x = -3

L1. Selesaikan x2 – 4x – 5 = 0.Jawapan:

Ans : – 1 , 5

C2. Selesaikan persamaan kuadratik 2x (x – 1) = 6.Jawapan: 2x (x – 1) = 6 2x2 – x – 6 = 0 (2x + 3) (x – 2) = 0 2x + 3 = 0 atau x – 2 = 0

x =23

− atau x = 2

L2. Selesaikan x ( 1 + x) = 6.

Ans : – 3 , 2

L3. Selesaikan (x – 3)2 = 1.

Ans : 2, 4

L4. Selesaikan 1 + 2x2 = 5x + 4.

Ans : 1, 3/2

L3. Selesaikan (2x – 1)2 = 2x – 1 .

Ans : ½ , 1

L4. Selesaikan 5x2 – 45 = 0.

Ans : – 3 , 3

L5. Selesaikan (x – 3)(x + 3) = 16.

Ans : – 5 , 5

L6. Selesaikan 3 + x – 4x2 = 0.

Ans : – ¾ , 1L7. Selesaikan x( x + 2) = 24.

Ans : – 6 , 4

L8. Selesaikan 2(x2 – 9) = 5x.

Ans : – 2 , 9/2

MATEMATIK TAMBAHAN


2

ATAS

Penyelesaian Persamaan Kuadratik ax2 + bx + c = 0II. Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua - Mengungkapkan ax2 + bx + c dalam bentuk a(x + p)2 + q

JENIS MUDAH (a = 1)CONTOH LATIHAN

C1. Selesaikan x2 + 4x – 5 = 0 dengan kaedahpenyempurnaan kuasa dua.

x2 + 4x – 5 = 0

524

244

222 −

−

++ xx = 0

(x + 2)2 - 4 – 5 = 0 ( x + 2 )2 – 9 = 0 ( x + 2)2 = 9 x + 2 = ± 3 x = -2 ± 3 x = -5 atau x = 1

L1. Selesaikan x2 + 4x + 3 = 0 dengankaedah penyempurnaan kuasa dua.

(Ans : – 1 , – 3 )

C2. Selesaikan x2 – 6x + 3 = 0 dengan kaedahpenyempurnaan kuasa dua, beri jawapanbetul kepada 4 angka bererti.

x2 – 6x + 3 = 0

326

266

222 +

−

−

−

+− xx = 0

(x – 3 )2 - 9 + 3 = 0 ( x - 2 )2 – 6 = 0 ( x + 2)2 = 6 x + 2 = ± 6 x = -2 ± 6 x = - atau x =

L2. Selesaikan x2 - 8x + 5 = 0 , berijawapan anda betul sehingga 4 angkabererti.

Ans : 7.317, 0.6834

L3. Selesaikan x2 – 2x – 9 = 0 dengan kaedahpenyempurnaan kuasa dua, beri jawapanbetul kepada 4 angka bererti.

Ans : – 2.212 , 4.162

L4. Selesaikan x2 + 10x + 5 = 0 , berijawapan anda betul sehingga 4 angkabererti.

Ans : – 0.5279, – 9.472

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


3

ATAS


[a = 1 , tetapi melibatkan pecahan]

CONTOH LATIHANC3. Selesaikan x2 – 3x – 2 = 0 dengan kaedah

penyempurnaan kuasa dua.

x2 – 3x – 3 = 0

223

233

222 −

−

−

−

+− xx = 0

249

23 2

−−

−x = 0

2

23

−x =

417

417

23

±=−x

x =217

23

±

x = - 0.5616 atau x = 3.562

L5. Selesaikan x2 + 5x – 4 = 0 , berijawapan anda betul sehingga 4 angkabererti.

(Ans : 0.7016, -5.702)

L6. Selesaikan x2 + x – 8 = 0 dengan kaedahpenyempurnaan kuasa dua, beri jawapanbetul kepada 4 angka bererti.

(Ans : 2.372, -3.372)

L7. Selesaikan x2 + 7x + 1 = 0 , berijawapan anda betul sehingga 4 angkabererti.

(Ans : -0.1459, -6.8541)

L8. Selesaikan x( x + 5) = 5 dengan kaedahpenyempurnaan kuasa dua, beri jawapanbetul kepada 4 angka bererti.(Ans : 0.8541, -5.854)

L9. Selesaikan x(2 + x) = 10 , berijawapan anda betul sehingga 4 angkabererti.(Ans : 2.317 , -4.317 )

MATEMATIK TAMBAHAN


4

ATAS


Jika a 1 : Bahagikan kedua-dua belah oleh a terlebih dahulu sebelum melakukanpenyempurnaan kuasa dua.

CONTOH LATIHANC4. Selesaikan 2x2 – 8x + 7 = 0 dengan kaedah

penyempurnaan kuasa dua.

2x2 – 8x + 7 = 0

x2 – 4x +27 = 0 [ ÷ 2 dahulu ]

027

24

244

222 =+

−

−

−

+− xx

( x - 2 )2 – 4 +27 = 0

( x – 2 )2 = ½

x – 2 =21

±

x = 221

±

= 2.707 atau 1.293

L10. Selesaikan 2x2 - 12x + 5 = 0 betulsehingga 2 tempat perpuluhan.

(Ans : 5.55 , 0.45 )

C5. Selesaikan - x2 – 4x + 1 = 0 dengan kaedahpenyempurnaan kuasa dua.

- x2 – 4x + 1 = 0 [bahagikan dengan (-1)] x2 + 4x – 1 = 0

(Ans : 0.2361, -4.236 )

L11. Selesaikan -2x2 + 10x + 9 = 0betul sehingga 2 tempat perpuluhan.

(Ans : -0.78 , 5.78 )

L12. Selesaikan - x2 – 7x + 3 = 0 dengan kaedahpenyempurnaan kuasa dua.

(Ans : -7.405, 0.4051)

L13. Selesaikan x(3 – 2x) = -6 betulsehingga 2 tempat perpuluhan.

(Ans : -1.14 , 2.64

MATEMATIK TAMBAHAN


5

ATAS

Penyelesaian Persamaan Kuadratik ax2 + bx + c = 0

III. Menggunakan rumus

CONTOH LATIHANC1. Selesaikan 2x2 – 8x + 7 = 0 dengan kaedah

rumus, beri jawapan betul sehingga 4 a.b..

a = 2, b = -8 , c = 7

)2(2)7)(2(4)8()8( 2 −−±−−

=x

488 ±

=

= 2.707 atau 1.293

L1. Dengan menggunakan kaedah rumus,selesaikan 2x2 - 12x + 5 = 0 betulsehingga 4 angka bererti.

(Ans : 5.550, 0.4505)

C2. Selesaikan 2x(2 – 3x) = -5 dengan kaedahrumus, beri jawapan betul sehingga 2 t.p..

2x(2 – 3x) = -5 4x – 6x2 = -5 6x2 – 4x – 5 = 0

a = , b = , c =

x =

(Ans : 1.31 , -0.64)

L2. Dengan menggunakan kaedah rumus,selesaikan 3 – x2 = - 3(4x – 3) betulsehingga 2 tempat perpuluhan.

(Ans: 0.52 , 11.48 )

L3. Selesaikan x(2x –1) = 2 dengan kaedahrumus, beri jawapan betul sehingga 2 t.p..

(Ans : 1.28, -0.78)

L4. Selesaikan persamaan kuadratik2x(x – 4) = (1-x) (x+2). Tuliskan jawapananda betul kepada empat angka bererti. (SPM 2003)

(Ans : 2.591 , - 0.2573 )

aacbb

x2

42 −±−=

MATEMATIK TAMBAHAN


6

L5. Selesaikan x2 – 4x = 2 dengan kaedahrumus, beri jawapan betul sehingga 4 a.b..

(Ans : 4.449 , -0.4495)

L6. Selesaikan persamaan kuadratik x(x – 4) = (3 – x )(x + 3). Tuliskanjawapan anda betul kepada dua t.p. .

(Ans : 3.35 , -1.35 )

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


7

ATAS

Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

iaitu x2 + x + = 0

CONTOH LATIHANC1. Bentuk persamaan kuadratik dengan punca-

punca 2 dan - 4.

x = 2 , x = - 4 x – 2 = 0 atau x + 4 = 0 (x – 2) ( x + 4) = 0

x2 + 2x – 8 = 0

L1. Bentuk persamaan kuadratik denganpunca-punca -3 dan 5.

Ans : x2 – 2x – 15 = 0

L2. Bentuk persamaan kuadratik dengan punca-punca 0 dan - 3.

x = 0 , x = - 3 x = 0 atau x + 3 = 0

Ans : x2 + 3x = 0

L3. Bentuk persamaan kuadratik denganpunca-punca - ½ dan 6.

x = - ½ , x = 6 2x = -1 , x = 6 2x + 1 = 0 , x – 6 = 0

Ans : 2x2 – 11x – 6 = 0

C2. Diberi punca-punca persamaan kuadratik2x2 + (p+1)x + q - 2 = 0 ialah -3 dan ½ . Carinilai p dan nilai q.

x = -3 , x = ½ x + 3 = 0 atau 2x – 1 = 0 (x + 3) ( 2x – 1) = 0 2x2 + 5x – 3 = 0Bandingkan dengan persamaan asal yangdiberi : p + 1 = 5 , q - 2 = -3 p = , q =

L4. Diberi punca-punca persamaankuadratik 3x2 + kx + p – 2 = 0 ialah 4 dan- . Cari nilai k dan nilai p.

(Ans : k = -10 , p = -6)

L5. Diberi punca-punca persamaan kuadratikx2 + (h – 2)x + 2k = 0 ialah 4 dan -2 . Carinilai h dan nilai k.

(Ans : h = 0, k = -4)

L6. Diberi punca-punca persamaankuadratik 2x2 + (3 – k)x + 8p = 0 ialah pdan 2p , p 0. Cari nilai k dan nilai p.

(Ans: p = 2, k = 15)

Jika punca-punca suatu persamaan kuadratik ialah dan ,iaitu x = , x = ;Maka x – = 0 atau x – = 0 , (x – ) ( x – ) = 0Persamaan Kuadratik ialah x2 – ( + ) x + = 0.

Hasil Tambah Punca Hasil Darab Punca

MATEMATIK TAMBAHAN


8

ATAS

Persamaan Kuadratik ax2 + bx + c = 0Hubungan di antara nilai “b2 – 4ac” dan jenis punca P.K.

b2 – 4ac > 0P.K. mempunyai dua punca yang nyata dan berbeza.Graf y = f(x) memotong paksi-x pada dua titik yang berbeza.

KES 1

b2 – 4ac = 0P.K. mempunyai punca-punca yang nyata dan sama.Graf y = f(x) menyentuh paksi-x [ Paksi-x ialah TANGEN kepadalengkung]

KES 2

b2 – 4ac < 0P.K. TIDAK mempunyai punca yang nyata.Graf y = f(x) TIDAK menyentuh paksi-x.

KES 3

Lengkung berada di atas paksi-xsebab f(x) sentiasa positif.

Lengkung berada di bawah paksi-xsebab f(x) sentiasa negatif.

x

a > 0

y=f(x)

x

a < 0y=f(x)

x

a > 0

y=f(x) x

a < 0

y=f(x)

x

a > 0

y=f(x) x

a < 0

y=f(x)

MATEMATIK TAMBAHAN


9

ATAS

Aplikasi hubungan di antara nilai “b2 – 4ac” dan jenis punca P.K.CONTOH LATIHAN

C1 (SPM 2000)Persamaan kuadratik 2x2 + px + q = 0mempunyai punca-punca - 6 dan 3.Carikan (a) nilai p dan nilai q, (b) julat nilai k supaya 2x2 + px + q = k tidak mempunyai punca yang nyata.

Jawapan :(a) x = -6 , x = 3 (x + 6) (x – 3) = 0 x2 + 3x - 18 = 0

2x2 + 6x – 36 = 0Bandingkan : p = 6 , q = - 36.

(b) 2x2 + 6x – 36 = k 2x2 + 6x – 36 – k = 0 a = 2, b = 6, c = -36 - k b2 – 4ac < 0 62 – 4(2)(-36 – k) < 0 324 + 8 k < 0

k < – 40.5

L1. Persamaan kuadratik 2x2 + px + q = 0mempunyai punca-punca 2 dan -3.Carikan (a) nilai p dan nilai q, (b) julat nilai k supaya 2x2 + px + q = k tidak mempunyai punca yang nyata.

L2 Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik2x2 – x = k mempunyai punca nyata yangberbeza.

( Ans : k > - 1/8 )

L3. Persamaan kuadratik 9 + 4x2 = pxmempunyai punca-punca yang sama. Carinilai-nilai p yang mungkin.

( Ans : p = -12 atau 12)

L4 Cari julat nilai p jika persamaan kuadratik2x2 + 4x + 5 + p = 0 mempunyai punca-punca yang nyata.

(Ans : p - 3 )

L5. Cari julat nilai p jika persamaankuadratik x2 + px = 2p tidak mempunyaipunca nyata.

( Ans : -8 < p < 0 )

L6 Persamaan kuadratik 2x2 + 8 = (k – 3)xmempunyai punca-punca nyata yangberbeza. Tentukan julat nilai k.

( Ans : k < -5 , k > 11 )

L7. Cari nilai-nilai k jika persamaankuadratik x2 + 2kx + k + 6 = 0 mempunyaipunca-punca yang sama.

( Ans : k -2 , 3 )

MATEMATIK TAMBAHAN


10

ATAS

Latihan Pengayaan (Soalan Bentuk SPM)

LATIHAN LATIHANL1 (a) Diberi persamaan x2 – 6x + 7 = h(2x – 3)

mempunyai punca-punca yang sama. Cari nilai-nilai bagi h. [4](b) Diberi dan ialah punca-puncapersamaan x2 – 2x + k = 0 , manakala 2 dan 2ialah punca-punca persmaan x2 + mx + 9 = 0.Hitungkan nilai-nilai yang mungkin bagi k dan m.[SPM 1999] [6]

( h = -1 , -2 ; k =49

L2. Satu daripada punca persamaan2x2 + 6x = 2k – 1 ialah dua kali punca yangsatu lagi. Cari punca-punca tersebut dannilai k. [1999]

( x = -1 , x = -2 ; k =23

− )

L2. (SPM 2003 , K1, S3). Selesaikan persamaankuadratik 2x(x – 4) = (1 – x)(x + 2). Tulisjawapan anda betul kepada 4 a.b. [3]

( x = 2.591, - 0.2573)

L3. (SPM 2003, K1, S4) Persamaankuadratik x (x+1) = px – 4 mempunyai duapunca berbeza. Cari julat nilai p. [3]

( p , -3 , p > 5)L4 (SPM 2002) Cari julat nilai k jika persamaan

kuadratik x2 + 3 = k (x – 1), k pemalar,mempunyai dua punca nyata yang berbeza. [3]

( k < -2 , k > 6)

L5. ( SPM 2001) Tunjukkan bahawa garislurus y = 2 – x tidak bertemu lengkung2x2 – y2 + k = 0 jika k > 8. [3]

MATEMATIK TAMBAHAN


11

ATAS

LATIHAN LATIHANL6 (SPM 2002) Diberi

2p dan

2q ialah punca-punca

bagi persamaan kx(x – 1) = m – 4x. Jika p + q =4 dan pq = - 5, cari nilai k dan nilai m. [5]

( k = -4 , m = -5 ) P.S. Agak Mencabar !!!

L7. (SPM 2001) Diberi 2 dan m ialah punca-punca persamaan (2x – 1)(x + 3) = k (x – 1),dengan k dan m pemalar, cari nilai k dan nilaim. [4]

( k = 15 , m = 3 )

L8. (SPM 2000) Cari julat nilai k jika garis lurus y = 2x + k tidak bersilang dengan lengkung x2 + y2 – 6 = 0. [5]

(k < -5.477 atau k > 5.477)

L9. (SPM 2000) Persamaan kuadratik2x2 + px + q = 0 mempunyai punca-punca -2dan 3. Carikan nilai p dan nilai q.Seterusnya cari julat nilai k supaya2x2 + px + q = k mempunyai punca nyata.

( p = -2 , q = -12 ; k ≥ - 12.5 )

MATEMATIK TAMBAHAN


12

L10. (SPM 1995)(c) Diberi ½ dan -5 ialah punca bagi suatu

persamaan kuadratik. Tuliskan persamaan kuadratik itu dalam bentuk ax2 + bx + c = 0. [2](b) Carikan jukat nilai k supaya persamaan x2 + kx + 2k – 3 = 0 tidak mempunyai punca. [3]

( 2x2 + 9x – 5 = 0 ; 2 < k < 6 )

(c) Buktikan bahawa punca-punca persamaan(1 – p)x2 + x + p = 0 adalah nyata dan negatifjika 0 < p < 1. [5]

Untuk renungan : Gred MT anda adalah berkadar songsang dengan latihan yang anda buat !

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


13

ATAS

PERSAMAAN KUADRATIKNOTA PENTING :(i) Bentuk am satu persamaan kuadratik ialah ax2 + bx + c = 0; a, b, c pemalar dan a 0.(ii) Ciri-ciri suatu persamaan kuadratik :

(a) melibatkan satu pembolehubah sahaja,(b) mempunyai tanda persamaan “ = ” dan boleh dinyatakan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0,(c) kuasa tertinggi pembolehubah ialah 2.

Punca Suatu Persamaan Kuadratik (P.K)

Punca satu P.K. merujuk kepada satu nilai yang memenuhi syarat P.K. itu.Contoh : Diberi persamaan kuadratik x2 + 2x – 3 = 0 Secara Penggantian, didapati : x = 1 , 12 + 2(1) – 3 = 0Maka 1 ialah satu punca bagi persamaan kuadratik x2 + 2x – 3 = 0. Akan tetapi jika x = 2, 22 + 2(2) – 3 0, maka 2 BUKAN PUNCA persamaan kuadratik itu.

CONTOH LATIHANC1. Tentukan sama ada -2 ialah satu punca persamaan

3x2 + 2x -7 = 0.

x = -2, 3(-2)2 + 2(-2) – 7 = 12 – 4 – 7 0Maka - 2 bukan satu punca persamaan yangdiberi.

L1. Tentukan sama ada 3 ialah satu puncapersamaan 2x2 – x – 15 = 0.

L2. L1. Tentukan sama ada 3 ialah satu puncapersamaan x2 – 2x + 3 = 0.

L3. Tentukan sama ada ½ ialah satupunca persamaan 4x2 + 2x – 2 = 0.

C2. Jika -2 ialah satu punca persamaan kuadratikx2– kx – 10 = 0, cari nilai k.

x = -2, (-2)2 – k(-2) – 10 = 0 -4 + 2k – 10 = 0 2k = 14 k = 7

L4. Jika 3 ialah satu punca persamaankuadratik x2– 2kx + 12 = 0 ,

L5. Jika -2 dan p ialah punca-punca persamaankuadratik 2x2 + 3x + k = 0, cari nilai k dannilai p.

L6. Jika -1 ialah punca-punca persamaankuadratik px2 – 4x + 3p – 8 = 0, cari nilai p.

MODUL PEMBELAJARAN KENDIRI

MATEMATIK TAMBAHAN


14

ATAS

Tahukah anda bahawa :

Jika Hasil Darab dua nomborialah sifar, maka salah satuatau kedua-dua nombor itumesti sifar ?

Jika x y = 0 ,maka x = 0 atau y = 0atau x = y = 0 (kedua-duanya sifar)

Contoh : Jika (x – 2) (x + 3) = 0 ,maka x – 2 = 0 atau x + 3 = 0 ;iaitu x = 2 atau x = - 3 .

2 dan -3 dinamakan punca-puncabagi persamaan (x-2)(x+3) = 0.

MATEMATIK TAMBAHAN


15

ATASMengenal pasti Persamaan Kuadratik

CONTOHBIL Persmaan Kuadratik (P.K.) BUKAN P.K. SEBAB

1. x2 + 2x -3 = 0 2x – 3 = 0 Tiada sebutan x2 ( a = 0)

2. x2 = ½x

x 22 + = 0 Sebutanx2

3. 4x = 3x2 x3 – 2 x2 = 0 Sebutan x3

4. 3x (x – 1) = 2 x2 – 3x -1 + 2 = 0 Sebutan x -1

5. p – 4x + 5x2 = 0, p pemalar x2 – 2xy + y2 = 0 Dua pembolehubah

Latihan : Nyatakan sama ada setiap fungsi berikut adalah Persamaan Kuadratik (P.K.) atau tidak.

Bil. Fungsi P.K. Bukan P.K. SEBAB

0. 3x - 2 = 10 – x Tiada sebutan dalam x2

1. x2 = 102

2. 12 – 3x2 = 0

3. x2 + x = 6

4. 2x2 + ½ x - 3 = 0

5.x6

− = x

6. 0 = x ( x – 2)

7. 2x2 + kx -3 = 0, k pemalar

8. (m-1) x2 + 5x = 2m , m pemalar

9. 3 – (p+1) x2 = 0 , p pemalar

10. p(x) = x2 + 2hx + k+1, h, k pemalar

11. f(x) = x2 – 4

12. (k-1)x2 – 3kx + 10 = 0 , k pemalar

MATEMATIK TAMBAHAN


16

ATASEnam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut – Nisbah trigonometri

1. Diberi sin x = p dan kos x = q untuk 00 < x < 900. Cari setiap nilai berikut dalam sebutan pdan/atau q.

(a) sek x = (b) kosek x =

(c) tan x = (d) kot x =

(e) sin ( 900- x) = (f) kos (900- x) =

(g) sek (900- x) = (h) kosek (900 – x) =

(i) tan ( 90o - x) = (j) kot ( 90o – x ) =

(k) sin(-x) = (l) kos (-x) =

MATEMATIK TAMBAHAN


17

2. Diberi178sin −=x dengan 2700< x < 3600.

Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, carisetiap nilai berikut.

3. Diberi17

8−=xkos dengan 1800< x < 2700.

Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, carisetiap nilai berikut.

(a) kos x = (a) sin x =

(b) tan x = (b) tan x =

(c) kosek x = (c) kosek x =

(d) sek x = (d) sek x =

(e) kos (900 – x) = (e) sek (900 – x) =

(f) sin ( 900 – x ) = (c) kot ( 900 – x ) =

(g) sin (-x) = (d) sin (-x) =

(h) tan (-x) = (e) kos (-x) =

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


18

ATASEnam Fungsi Trigonometri bagi Sebarang Sudut – Penyelesaian persamaan

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut untuk 00< x < 3600.1. sin x + kos 40o = 0 2. kos x – sin 40o = 0

3. sin( x + 10o) = 0.5 4. kos( x – 40o) = 0.5

5. sin (2x + 10o) = 0.5 6. kos(2x – 40o) = 0.5

7. =)80+x21

sin( o - 0.5 8. =− )1021( oxkos - 0.5

MATEMATIK TAMBAHAN


19

9. 4 tan 2x = -1 10. 2 sin 3x = 1

11. sek 2x = 212. 4=x

21

kot

13. 2 sin x kos x = sin x 14. 2 sin x kos x = kos x

MATEMATIK TAMBAHAN


20

15. 2 tan2x + tan x – 3 = 0 16. 6 sin2 x + sin x – 2 = 0

17. 3 sin x = 2 + kosek x 18. 3 kot x = 2 tan x - 1

19. 3 kos x + 2 sek x + 7 = 0 20. 3 sin2 x = 4 kos2 x

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


21

ATASIdentiti Asas Trigonometri – Pembuktian Identiti

Buktikan setiap identiti berikut1. kos2 x – sin2 x = 2 kos2 x – 1 2. kos 2 x – sin2 x = 1 - 2 sin2 x

3. sin2 x – kos2 y = sin2 y – kos2 x 4. tan2 x + sin2 x = sek2 x – kos2x

5. tan2 x – sin2 x = tan2 x sin2x 6. kot2 x – kos2 x = kot2 x kos2x

MATEMATIK TAMBAHAN


22

7. xkosekxkosxkos

22-1

11

1=+

+8. xsek

xx22

sin11

sin11

=−

++

9. xkotxkosekxxxkosxsek

+=−−

sintan10. xxsek

xkosxkotxxkosek tansin

+=−

−

MATEMATIK TAMBAHAN


23

11. xkosek2=kosx+1

xsin+

xsinxkos+1

12. xsek2=xsin+1

xkos+

xkosxsin+1

13. yxkosxx 22

2

2

sintan1tan1

−=+−

14.xxkosxsek

xsek222

2

sin1

11

−=

−+

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


24

ATASIdentiti Asas Trigonometri – Penyelesaian Persamaan

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut untuk 00< x < 3600.1. sin2 x + 5 kos2 x = 4 2. sek 2 x + 3 tan2 x = 5

3. 4 sin2 x - 4 kos x – 1 = 0 4. 4 kos2 x + 12 sin x – 9 = 0

MATEMATIK TAMBAHAN


25

5. 4 sek2 x – 12 tan x + 5 = 0 6. 3 sek2 x – 5 ( tan x + 1) = 0

7. 2 kot2 x – 5 kosek x + 4 = 0 8. 2 kot2 x = 7 kosek x - 8

MATEMATIK TAMBAHAN


26

9. 3 sin x -2 kosek x + 1 = 0 10. 6 kos x -2 sek x – 1 = 0

11. sin x - 2 kos x = 0 12. kot x – 2 kos x = 0

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


27

ATAS

Sudut Majmuk dan Sudut Berganda – Pembuktian identity

Buktikan setiap identiti berikut1. sin( 600 + x) – sin ( 600 - x) = sin x 2. sin( x + 300) + kos ( x + 600) = kos x

3. kos(x – y) – kos(x + y) = 2 sin x sin y 4. sin(x + y) – sin(x - y) = 2 kos x sin y

MATEMATIK TAMBAHAN


28

5. ykotyxyxyxkosyxkos

=−−+−++

)sin()sin()()(

6. xkotyxkosyxkos

yxyx=

−−−−+

)()()-sin()(sin

7. xkotxkosx

xxkos=

+−+

12sin2sin

8. xtan=x2kos+xkos+1

x2sin+xsin

MATEMATIK TAMBAHAN


29

9. kos 3x = 4 kos3 x – 3 kos x 10. sin 3x = 3sin x – 4 sin3 x

11. kot x ( 1 – kos 2x) = sin 2x 12. tan x ( kos 2x + 1) = sin 2x

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


30

ATAS

Sudut Majmuk dan Sudut Berganda – Penyelesaian Persamaan

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut untuk 00< x < 3600.1. 3 sin 2x = sin x 2. 4 sin 2x = kos x

3. kos 2x + kos x = 0 4. 3 kos 2x – 7 kos x + 5 = 0

MATEMATIK TAMBAHAN


31

5. 3 kos 2x + 8 sin x + 5 = 0 6. 3 kos 2x + sin x – 2 = 0

7. 3 tan 2x + 2 tan x = 0 8. tan 2x – 10 tan x = 0

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


32

ATASSudut Majmuk dan Sudut Berganda – Penyelesaian masalah

1. Dibei53

=xsin dan1312

=ykos , dengan sudut x dan y ialah sudut tirus. Tanpa menggunakan

sifir atau kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut.(a). sin (x + y) = (b). sin ( x - y)

(c). kos (x + y) = (d). kos (x – y)

(e) tan ( x + y) (f) tan ( x – y)

(g) sin 2x (h) kos 2x

MATEMATIK TAMBAHAN


33

2. Dibei34

=xtan , dan sudut x ialah sudut tirus. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari

nilai bagi setiap yang berikut.(a) sin 2x (b) kos 2x

(c) tan 2x (d) kos 4x

(e)2x

tan (f) )2

45(tan xo −

ATAS

MATEMATIK TAMBAHAN


34

ATASJawapan Modul : Tajuk Trigonometri

5.1.1 5.1.2 5.2.2

1(a)q1 1. 230o , 310o 1. 30o , 150o, 210o, 330o

(b)p1 2. 50o , 310o 2. 45o , 135o, 225o, 315o

(c) qp 3. 20o , 140o 3. 60o , 300o

(d)pq 4. 100o , 340o 4. 30o, 150o

(e) q 5. 10o , 70o, 190o, 250o 5. 56.31o , 231.31o

(f) p 6. 50o , 170o, 230o, 350o 6. 63.43o , 161.57o, 243.43o, 341.57o

(g)p1 7. 260o 7. 30o, 150o

(h)q1 8. 260o 8. 30o , 41.81o, 138.19o, 150o

(i)pq 9. 82.980, 172.98o, 262.98o,352.98o 9. 41.81o , 138.19o, 270o

(j)qp 10. 10o , 50o, 130o, 170o, 250o, 290o 10. 48.19o , 120o, 240o, 311.51o

(k) -p 11. 30o , 150o, 210o, 330o 11. 63.43o , 243.43o

(l) q 12. 28.08o 12. 30o , 90o, 150o, 270o

2.(a)1715 13. 60o , 180o, 300o

(b)158 14. 30o , 90o, 150o, 270o

(c)8

17 15. 45o , 123.69o, 225o, 303.69o

(d)1517 16. 30o , 150o, 221.81o, 318.20o

(e)178

−17. 90o, 199.47o , 340.53o

(f)1715 18. 56.31o , 135o, 236.31o, 315o

(g)178 19. 109.47o , 250.53o

(h)158

−20. 49.1o , 130.9o, 229.1o, 310.9o

MATEMATIK TAMBAHAN


35

ATAS

1. 80.41o , 180o, 279.51o

1(a)6556

2. 7.18o , 90o, 172.82o, 270o

(b)6516

3. 60o , 180o, 300o

(c)6533

4. 48.19o, 60o, 300o,311.41o

(d)6563

5. 221.81o , 318.19o

(e)3356

6. 30o, 150o, 199.47o , 340.53o

(f)6316

7. 63.43o, 116.57o, 180o, 243.43o , 296.57o

(g)2524

8. 41.81o, 138.19o ,180o, 221.81o , 318.19o

(h)257

2 (a)2524

(b)25

7−

(c)724−

(d)625527−

(e)21

(f )31

Modul MATEMATIK TAMB.pdf

Documents

Transcript of Modul MATEMATIK TAMB.pdf