MENGOPTIMALKAN MANAJEMEN RESIKO DENGAN …
Transcript of MENGOPTIMALKAN MANAJEMEN RESIKO DENGAN …
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
231
MENGOPTIMALKAN MANAJEMEN RESIKO DENGAN
MENGGUNAKAN OPSI TERTENTU
Adolf Simatupang
Politekhnik Negeri Bandung
Email : [email protected]
Abstract
This study aims to present an analysis of the problem of market risk management so that it is
optimal by minimizing Value at Risk (= VaR), in which case the option is used. Optimal hedging
is in a single option position where the Strike price is mutually free with the cost level desired by
the company at the time of its hedging program. The optimal strike price depends on the
distribution of assets, the range (interval) of speculation and the level of protection desired by the
institution. Furthermore, the costs associated with suboptimal choice should be the Srtike price
economically significant.
Keywords: Cost, European Option, Hedging Ratio, Price Opposition Theory, Value At Risk (Var)
Abstrak
Penelitian ini bertujuan menyajikan analisis tentang masalah pengelolaan resiko pasar
agar optimal dengan cara meminimalkan Value at Risk (=VaR), dalam hal ini yang
digunakan adalah opsi. Hedging optimal adalah pada posisi opsi tunggal dimana harga
Strike price saling bebas dengan tingkat biaya (Cost) yang diinginkan oleh persusahaan
pada saat program hedgingnya. Harga Strike price optimal tergantung dari distribusi asset,
rentang(interval) spekulasi dan tingkat proteksi yang diinginkan institusi. Lebih jauh lagi
biaya-biaya yang berkaitan dengan pilihan suboptimal sebaiknya harga Srtike price secara
ekonomis adalah signifikan.
Kata Kunci: Biaya, Eropa Option, Hedging Rasio, Teori Harga Opsition, Value At Risk
(Var)
PENDAHULUAN
Baru-baru ini akademisi mulai menelaah manajemen resiko dari Institusi financial
dan koperasi lainnya. Hal ini mengherankan menurut hasil survey, teknik keuangan
modern ini ternyata sudah diterapkan sebagian besar perusahaan dalam pengelolaan suku
bunga, ekuitas atau nilai tukar uang. Satu yang menjadi ganjalan dari program
pengelolaan resiko-resiko tersebut oleh institusi dimana konsepnya tentang resiko sangat
berbeda dari ukuran standar model pricing multifactor. Pada kondisi “ceteris” paribus
menurut teori keuangan modern, adalah bahwa pemegang saham mempunyai andil untuk
melakukan perubahan resiko tersebut. Sehingga, upaya untuk menghedging perusahaan
atas resiko sistematik dan tidak sistematik dalam aliran kas mereka adalah sangat sedikit.
Tapi, ada banyak alasan mengapa argumen ini mungkin tidak benar. Pertama, dengan
pendanaan eksternal yang mahal, perusahaan mungkin menginginkan manajemen resiko
dapat mengakses sumber modal yang murah, yaitu modal internal. Kedua, untuk
mereduksi nilai opsi call, pemerintah dapat melakukan melalui pajak, misalnya apabila
nilai Volatilitas turun rendah, maka program manajemen resiko dapat mencapai optimal.
Ketiga tanpa adanya modal manajemen resiko intitusi tersebut, tidak mungkin dapat
menguraikan keuntungan/kerugian dari bisnis tersebut yang berkaitan dengan kondisi
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
pasar. Keempat, untuk menghadapi kebutuhan modal beresiko, Intitusi keuangan dapat
menemukan bahwa untuk mengurangi resiko dapat melakukan dengan cara meningkatkan
penambahan modal. Kelima, program manajemen resiko dapat mereduksi biaya karena
distress keuangan. Tentu sajamotovasi yangmelatar-belakangi manajemen resiko diatas
adalah karena besarnya total resiko perusahaan. Motivasi yang lebih khusus lagi akibat
peluang besarnya potensi kerugian oleh perusahaan dikarenakan oleh pendanaan
eksternal dan distress keuangan, sehingga Institusi ingin melakukan hedging terhadap
perusahaan tersebut. Sebagai hasil perbedaan kriteria resiko ini, konsep Valur-at-Risk
(=VaR) telah menjadi alat standar dalam manajemen dan pengukuran resiko. Secara
singkat, VaR dide.nisikan sebagai berikut seberapa besar kemungkinan potensi kerugian
yang diharapkan oleh Institusi pada tingkat keper Cayaan dan interval waktu tertentu.
Walaupun sudah banyak cara pendekatan untuk menjawab pertanyaan bagaimana
mengukur VaR, namun baik akademisi maupun praktisi masih belum menjawab
pertanyaan, bagaimana mengelola resiko ini.
Penelitian ini menyajikan pendekatan analitis untuk manajemen resiko optimal
ada dua cara. Pertama, Kriteria manajemen resiko Institusi adalah VaR. Kedua, Startegi
hedging Institusi adalah opsi, bukannya forwards, futures atau swap. Masalahnya adalah
bagaimana menentukan strategi opsi put untuk mem inimalkan VaR (dengan pengeluaran
biaya maksimal untuk hedging) sehingga memperoleh trade-o¤ optimal antara
kemampuan opsi put mereduksi VaR dan biaya inisial (initial cost) untuk opsi ini.
Solusinya adalah dalam bentuk harga Srtike price opsi put sebagai fungsi nilai underlying
asset, rata-rata valitilitas aset, tingkat suku bunga bebas resiko, dengan periode hedging
VaR.
Berdasarkan analisa kerangka formulasi Black-Scholes, sehingga mengakibatkan
lebih tepat untuk masalah faktor-faktor yang mempengaruhi terhadap hedging (eksposur)
seperti nilai factor akuitas(=modal) atau distribusi asset yang sejenis. Hasil utamanya
dapat diringkas sebagai berikut. Pertama, Strategi optimal melibatkan posisi hedging
dalam opsi tunggal yang harga Strike pricenya saling bebas dengan tingkat pengeluaran
yang diinginkan Institusi dalam program hedging. Yaitu dengan memberikan parameter
fundamental bahwa opsi optimal selalu memiliki harga Strike price yang sama. Kedua,
kita dapat menentukan relasi fungsi antara pilihan opsi put dan parameternya. Supaya
harga Strike price optimal, opsi ini meningkat nilai asset, menurunkan volalitas asset
dengan menentukan parameter yang masuk akal (wajar) yaitu penurunan tingkat suku
bunga bebas resiko, dan maturity hedging yang non-monotonik . Distibusi eksposur
adalah faktor yang paling penting , dan pilihan optimalnya sensitive terhadap besaran
relative peningkatan atau penurunan (drift) asset () dan sebaran saham (). Menariknya
adalah bahwa Strike pricenya meningkatkan level proteksi yang diinginkan institusi
(persentase distribusi VaR yang relevan), sehingga pilihan ini tidak merugikan. Ketiga
adalah keuntungan pemilihan opsi optimal adalah signifikan secara ekonomis. Sebagai
contoh, dengan menggunakan parameter yang biasa untuk indeks ekuitas penurunan VaR
pada at-the-money dapat menjadi 45% lebih rendah dari reduksi VaR dengan hedging
optimal. Selain kejadian ini, dengan opsi at-the-money dapat menghasilkan biaya hedging
80% lebih
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
233
Tujuan penelitian ini adalah menyajikan analisis tentang masalah pengelolaan
resiko pasar agar optimal dengan cara meminimalkan Value at Risk (=VaR) dalam hal ini
yang digunakan adalah opsi.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka. Dalam penelitin ini disajikan
analisis tentang masalah pengelolaan resiko pasar agar optimal dengan cara
meminimalkan Value at Risk yang menggunakan opsi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Pembahasan
1. Distribusi Lognormal dari Saham
Misalkan institusi memiliki eksposure (=pembukaan) terhadap harga sebuah saham
pada saat St atau S(t) yang prosesnya dikendalikan pada persamaan differensial
stockhastik berikut ini:
t
t
dS
S= dt + dzt (2.1)
dimana Zt, untuk 0 t T, adalah gerak Brown, dan masing-masing adalah
konstanta untuk simpangan saham dan defusi nilai saham (=volatilitas).Persamaan (2.1)
mempunyai solusi
St = S(t) = ( )2
t1 t dz2
0S e− +
, dengan t [0, T] (2.2)
Bukti:
t
t
dS
S= dt + dZt
dSt = Stdt + StdZt
Asumsikan bahwa S0 = S(0) > 0 dan kontinu pada interval tertentu. Ambil G(t) = ln S(t).
Gunakan Ito.s formula
dG(t) = ( ) ( ) ( )
( )2
2
1
2t
t
S t S t S tdt dz dt
t z t
+ +
+
( ) ( )( )
2 22
2
1...
2t
t t
S t S tdt dz dt
t z z
+ + +
dG(t) = ( ) ( ) ( )
2
1
2t
t t
S t S t S tdt dz dt
t z z
+ +
(2.3)
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
Ambil G(t) = In S(t)
G(t) = In S(t)
( )
( ) ( )1G t
S t S t
=
( )
( ) ( )
2
2 2
1G t
S t S t
= −
( )0
G t
t
=
Persamaan (2.1)
( )
( )
dS t
S t = dt + dzt
( )S t
t
= S(t)
( )
t
S t
z
= S(t)
Persamaan (2.1)
dS(t) = S(t)dt + S(t)dzt
dS(t)2 = (S(t)dt + S(t)dzt)2
= 2.S2(t)dt2 + 2S2(t) 2
tdz + 2S2(t)dtdzt
Sehingga persamaan (2.3) menjadi
dG(t) = ( ) ( ) ( )2
2
1
2t z
S t S t S tdt dz dt
t z z
+ +
= ( )1
S t S(t)dt +
( )( )
1tS t dz
S t +
( )( )
22
2
1 1
2S t dt
S t
−
= dt + dzt − 21
2dt
dG(t) = 21
2tdt dz
− +
( )0
t
dG t = 2
00
1
2
tt
tdt dz
− +
( ) 0
tG t I = 2
0 0
1
2
t t
ttI z I
− +
G(t) − G(0) = 21
2tt z
− +
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
235
In S(t) − In S(0) = 21
2tt z
− +
S(t) =
21
2
0
tt z
S e
− +
, dengan t [0, T]
Persamaan (2.2) dapat ditulis menjadi
In( ) ( )( )2 2
0
1 ,2
S tN t t
S
−
(2.4)
atau
In(S(t)) ~ N(In S0 + ( − 12
2)t, 2t) (2.5)
Persamaan (2.5), nilai saham pada saat t adalah S(t) dan pada saat mula-mula (t = 0)
adalah S0 > 0, mempunyai distribusi log normal.
Analog dengan persamaan (2.5), bila nilai saham pada saat (t + ) yang akan datang
adalah S(t + ) dan pada saat t adalah S(t), mempunyai distribusi log-normal, dapat ditulis
sebagai berikut
ln(S(t + )) ~ N(ln S(t) + ( − 1
22), 2 )
ln(S(t + )) ~ N(m,S2) (2.6)
dengan
m = ln S(t) + ( − 1
22) (2.7)
s = (2.8)
2. Opsi Put
Ada beberapa alasan mengapa opsi itu begitu penting. Pertama, opsi sangat
menarik bagi investor, baik untuk spekulasi maupun untuk pemagaran (hedging). Opsi
call sangatlah cocok bagi orang yang suka berspekulasi. Bila seseorang memiliki
keyakinan bahwa harga suatu saham akan naik pada masa yang akan datang, maka orang
tersebut akan memilih opsi jenis ini. Bila ternyata dugaan itu benar, maka dengan adanya
opsi call, orang tersebut akan mempunyai keuntungan yang lebih besar dibandingkan
dengan membeli saham tersebut secara langsung. Sedangkan opsi yang memberikan
perlindungan bagi pemiliknya adalah opsi put. Bila sesorang khawatir harga saham yang
dimilikinya turun drastis, maka den-gan adanya opsi put ini, pemiliknya akan terhindar
dari kerugian yang lebih besar dibandingkan tanpa mempunyai opsi put. Kejadian yang
terakhir ini sering disebut hedging.
Jadi opsi yang memberikan perlindungan (hedging) dari pemiliknya dari nilai sa-
ham periode berikutnya digunakan opsi put.
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
Defini dan harga pasar (market price) untuk opsi put pada saat t adalah
Pt = P(S(t), X, r,, ) (2.9)
dimana S(t) menyatakan nilai saham pada saat t, dan X menyatakan nilai strike
price, r menyatakan suku bunga, dan menyatkan waktu, dan menyatakan defusi nilai
saham Put option adalah suatu kontrak yang memberikan hak bukan kewajiban bagi
pemegang option untuk menjual sejumlah saham dengan harga yang tertulis (strike price
) pada kontrak sebelum atau saat waktu tertentu. Keuntungan yang diperoleh dari
pembeli put option tanpa memperhitungkan harga premi dari put option itu disebut
payo¤ dari put option.
3. Nilai Payoff dari Opsi Put dengan melakukan Hedging
Misalkan seorang investor membeli put option dengan strike price X dan kontrak
put option itu berakhir pada saat. Jika pada saat t harga saham dipasar uang adalah S(t),
karena harga saham berfuktuasi, dan untuk melindungi asetnya, maka investor tersebut
melakukan hedging pada periode berikutnya dan ternyata harga saham pada saat (t + )
adalah S(t + ) lebih besar dari harga strike price yang tertera pada kontrak, maka
investor itu tidak akan melaksanakan (exercise) haknya karena investor itu dapat menjual
saham dipasar yang dengan harga yang jauh lebih mahal dari pada dia menjual saham
sesuai dengan harga strike price yang tertera pada kontrak, sehingga ia tidak
mendapatkan keuntungan dari pelaksanaan kontraknya atau dengan kata lain
keuntungannya adalah 0. Sedangkan jika harga saham pada saat (t + ) adalah S(t + )
lebih kecil dari harga strike price yang tertera pada kontrak, maka investor itu akan
segera melaksanakan haknya sebagai pemegang put option, karena investor itu dapat
menjual saham dengan harga yang jauh lebih mahal sesuai dengan strike price yang
tertera pada kontrak daripada dia menjual saham dipasar uang, sehingga keuntungan
yang diperoleh dari pelaksanaan kontraknya adalah sebesar h(X − S(t + )), dimana h
adalah hadging rasio ,nilai saham St+ pada saat (t + ); setelah melakukan hedging pada
saham, maka nilai payoffnya adalah
Vt+ = St+ + h max[X − St+, 0]
= St+ + max[hX − h.St+, 0]
(2.10)
= max[St+ + h(X − h.St+), St+]
= max[hX + (1 − h) St+, St+]
(2.11)
Persamaan (2.11) dapat ditulis sebagai berikut:
( )1 ,
,
t t
t
t t
hX h S untuk S XV
S untuk S X
+ +
+
+ +
+ − =
(2.12)
dimana h adalah nilai dari hedging rasio
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
237
( )
( )P
S
Banyaknya jumlah unit dari optionNh
N Banyaknya jumlah unit dari underlying stock= =
4. Jenis Kondisi pada Opsi Put
Pandang suatu Eropa put option dengan strike price X dan harga saham pada saat
(t + ) adalah S(t + ).
Jika S(t + ) dibandingkan dengan X ada tiga kemungkinan kejadian yang dialami oleh
option, yaitu jika
1. S(t + ) < X : Eropa put option dikatakan berakhir dengan in the money.
2. S(t + ) = X : Eropa put option dikatakan berakhir dengan at the money.
3. S(t + ) > X : Eropa put option dikatakan berakhir dengan out of the money.
Akibat penjelasan (1) s.d (3) diatas, maka persamaan (2.12) Vt+ = hX + (1 −
h)St+, untuk St+ < X adalah nilai pay off dari put option pada periode (t + ) setelah
melakukan hedging pada saham dikatakan berakhir dengan in the money. Sedangkan
persamaan (2.12) Vt+ = St+, untuk St+ X, adalah nilai pay off dari put option pada
periode (t + ) setelah melakukan hedging pada saham dikatakan berakhir dengan out of
the money.
5. Fungsi Padat Peluang dari Nilai Payoff Opsi Put
Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi normal N(, 2) dapat ditulis X ~
N(, 2) dengan fungsi padat peluangnya adalah
( )
21
,21
2
x
Xf x e
− −
=
dengan − ~ < x < ~ (2.13)
Untuk suatu > 0 dan − ~ < x < ~
Misalkan Y = ex, sehingga X = ln Y, maka fungsi padat peluang dari Y adalah
( )Yf y = ( )1
Xf In yy
= ( )1
Xf In yy
=
21 1 1
exp22
In y
y
− −
=
21 1
exp22
In y
y
− −
, y > 0
(2.14)
Distribusi dari Y disebut sebagai distribusi log-normal dengan parameter dan , dapat
ditulis menjadi
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
In Y ~ N(, 2) (2.15)
dengan fungsi distribusinya adalah
( )in
, 0y
f y y−
=
(2.16)
dengan (.) adalah fungsi distribusi normal baku (N(0; 1))
Persamaan (2.15) dapat ditulis menjadi
( )2
1 1exp
22Y
in yf y
− = −
, dengan y > 0 (2.17)
analog dengan persamaan (2.15) dan (2.17), maka persamaan (2.6) ; (2.7) dan (2.8)
In(St+)− N(In St + (− 1
22), 2 )
In(St+)− N(m, s2)
(2.18)
dimana
m = In St + 21
2
−
s =
( )tf S + = ( )
2
1 1exp
22
t
t
In S m
sS
+
+
− −
(2.19)
dengan.
( )tf S + =
( ) 21
21 1exp
22
t t
t
In S In S
sS
+
+
− + −
−
(2.20)
Fungsi padat peluang dari nilai pay off pada priode (t + ) setelah melakukan hedging
pada saham merupakan gabungan dari dua distribusi yaitu
( )( )
( )
| ,
| ,
t t
t
t
f V St r X jika S Xf V
f V St r X jika S X
+ +
+
+
+ =
+
(2.21)
6. Fungsi pdf dari Opsi Put untuk Hedging Rasio 0 h < 1
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
239
Dari persamaan (2.21), St+ X adalah put option pada periode (t + ) setelah
melakukan hedging pada saham dikatakan berakhir dengan out of the money, dengan
nilai pay off nya Vt+ = St+.
Dari persamaan (2.21) yang sama, St+ < X adalah put option pada periode (t + )
setelah melakukan gedging pada saham dikatakan berakhir dengan in the money, dengan
nilai pay off nya Vt+ = hX + (1 − h)St+
Jika harga saham pada saat (t + ) adalah St+ X, maka saham tersebut tidak
dijual, sehingga nilai pay offnya Vt+ = St+ atau
Vt+ | St+ X = St+
dan fungsi padat peluangnya
f(Vt+ | St+ X) =
21 1
exp22
t
t
In V m
ss V
+
+
− −
(2.23)
Jika harga saham pada saat (t + ) adalah St+ < X, maka saham tersebut dijual, karena
memperoleh keuntungan, sehingga nilai pay offnya
Vt+ | St+ < X = hX + (1 − h)St+ (2.24)
atau
Vt+ = hX + (1 − h)St+ (2.25)
Persamaan (2.25) menjadi
Vt+ − hX = (1 − h)St+ (2.26)
ruas kiri dan kanan di ln kan, sehingga
ln(Vt+ − hX) = ln(1 − h) + ln(St+)
Dari persamaan (2.27) bahwa
ln(St+) N(m, s2)
ln(1 − h) + ln(St+) ln(1 − h) + N(m; s2)
ln(1 − h) + ln(St+) N(ln(1 − h) + m; s2)
Dari persamaan (2.27), karena
ln(Vt+ − hX) = ln(1 − h) + ln(St+); maka ln(Vt+ − hX) N(ln(1 h) + m, s2) (2.29)
Dari persamaan (2.29) fungsi padat peluangnya adalah
f(Vt+ | St+ < X) = (2.29)
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
( )
( ) ( )( )2
11 1exp
22
t
t
In V hX In h m
ss V hX
+
+
− − − + −
−
Fungsi padat peluang dari persamaan (2.23) dan (2.30) bila disatukan adalah
( )( )
( ) ( )( )
2
2
1 1exp ,
22
11 1exp ,
22
0,
tts
t
tt
s
t
t
t
In V mjika V X
s V
In V hx In h mf V
s V hX
jika hX V
jika V hX
+
+
+
++
+
+
+
− −
− − − += −
−
(2.31)
Dari persamaan (2.31) bahwa harga nilai hedging ratio = h berlaku pada selang 0 h < 1
Gambar 1: Grafik pdf dengan hedging rasio 0 h < 1
Gambar 1 Grafik pdf dengan hedging rasio 0 h < 1, dengan h yang berubah-ubah
yaitu h = [0, 0.25, 0.50, 0.75]. Pada kondisi in-the-money St+ < X nilai posisi hedging
tergantung pada nilai hedging rasionya, semakin nilai h naik, proteksinya semakin tinggi,
akibatnya VaR semakin turun. Pada kondisi out-the-money St+ > X grafik distribusinya
satu yaitu pada distribusi h = 0.
7. Fungsi pdf dari Opsi Put untuk Hedging Ra-sio 0 h < 1 dengan Cost C.
Strategi opsi put terjadi dalam rentang h yaitu 0 h < 0 dengan harga strike price
X. Biaya total cost C dari strategi opsi put yaitu h.Pt. Sehingga persamaan cost C dapat
ditulis sebagai berikut
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
241
C = h:Pt (2.42)
atau
C = h.P (St, X, , r, ) (2.43)
dengan X adalah nilai strike price, r adalah suku bunga, h adalah hedging rasio,
adalah waktu, adalah volatilitas, St adalah harga saham pada saat t, dan nilai h
diasumsikan tidak dilakukan hedging sepenuhnya 0 h < 1 .
Misalkan nilai saham mendatang (t + ) dengan perlakuan hedging dinotasikan
adalah Vt+. Jika opsi put berakhir pada kondisi out-of-the-money dengan biaya cost opsi
put, maka nilai payo¤nya adalah
Vt+ | St+ X = St+ − hPt exp(r) (2.44)
dan distribusinya adalah lognormal condong ke kiri akibat adanya nilai mendatang
biaya cost C dari opsi put.
Jika nilai saham pada saat (t + ) adalah St+ X, dengan biaya cost C dari opsi put,
maka nilai payo¤nya
Vt+ | St+ X = St+ − hPt exp(r) (2.45)
atau
Vt+ = St+ − hPt exp(r) (2.46)
atau
Vt+ + hPt exp(r) = St+ (2.47)
ruas kiri dan kanan di ln kan, sehingga
ln(Vt+ + hPt exp(r )) = ln(St+) (2.48)
Dari persamaan (2.48) bahwa
ln(St+) N(m, s2) (2.48)
ln(Vt+ + hPt exp(r)) = ln(St+) N(m, s2) (2.50)
Dari persamaan (2.50) fungsi padat peluangnya adalah
f(Vt+ | St+ X) =
( )( )
( )( )( )2
exp1 1exp
22 exp
t t t
t t
In V hP r hX V m
ss V hP r
+ +
+
+ − − −
+
(2.51)
Jika opsi put berakhir pada kondisi in-the-money dengan biaya cost C dari opsi put,
maka nilai payoffnya adalah
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
Vt+ | St+ < X = (1 − h)St+ + hX − hPt exp(r) (2.52)
yang juga berdistribusi lognormal, karena tidak terjadi hedging penuh, condong ke
kanan karena besaran opsi kurang dari nilai biaya cost C mendatang.
Jika nilai saham pada saat (t + ) adalah St+ < X, dengan biaya cost C dari opsi
put, maka nilai payoffnya
Vt+ | St+ < X = (1 − h)St+ + hX − hPt exp(r) (2.53)
atau
Vt+ = (1 − h)St+ + hX − hPt exp(r) (2.54)
atau
Vt+ − hX + hPt exp(r) = (1 − h)St+ (2.55)
ruas kiri dan kanan di ln kan, sehingga
ln(Vt+ − hX + hPt exp(r)) = ln(1 − h) + ln(St+) (2.56)
Dari persamaan (2.56) bahwa
ln(St+) N(m; s2) (2.57)
ln(1 − h) + ln(St+) ln(1 − h) + N(m, s2) (2.58)
ln(1 − h) + ln(St+) N(In(1 − h) + m, s2) (2.59)
ln(Vt+ − hX + hPt exp(r)) ln(1 − h) + ln(St+) N(ln(1 − h) + m; s2) (2.60)
maka
ln(Vt+ − hX + hPt exp(r)) N(ln(1 − h) + m; s2) (2.61)
Dari persamaan (2.61) fungsi padat peluangnya adalah
f(Vt+ | St+ < X) = ( ) ( )
1
2 expt ts V hX hP r+ − +
( )( ) ( )( )
2
exp 11exp
2
t tIn V hX hP r In h m
s
+ − + − − − −
(2.62)
Mengkombinasikan kedua distribusi diatas maka diperoleh sebagai berikut
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
243
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2
2
exp1 1exp
22 exp
, exp
exp 11 1exp ,
22 exp
0,
t t
s
t t
t t
tt t
s
t t
t
t
In V hP r m
s V hP r
jika V X hP r
f VIn V hx hP r In h m
s V hX hP r
jika X V hX
jika V hX
+
+
+
++
+
+
+
+ − −
+ −
= − + − − − −
− +
(2.63)
B. Analisis (Meminimumkan VaR dengan Opsi)
1. Meminimumkan VaR
Terdapat tradeo¤ antara strike price (X) dengan hedging rasio (h). Jika hedging
rasio meningkat,maka harga strike price harus menurun untuk mempertahankan biaya
hedging yang fix. Hubungan ongkos biaya total C , dengan harga exercise price X dan
hedging rasio h, adalah sebagai berikut
C = hP (St, X, r, , ) (3.1)
Membeli opsi put dengan harga exercise yang lebih tinggi menghasilkan rentang
distribusi yang lebar, tapi juga menghasilkan hedging rasio lebih rendah. Jadi semakin
ekstrim ekor distribusi yang tidak ada hedging. Pada bagian berikutnya, kami menyajikan
solusi untuk masalah memini-mumkan VaR dengan menggunakan opsi put melalui
hedging rasio .
2. Hegding VaR dengan Opsi
a. Solusi masalah minimasi
Institusi akan menghadapi masalah berikut: berapa nilai optimal opsi put yang dapat
meminimumkan VaR pada cost tertentu?. Dengan mendefinisikan V aRt+ adalah
kerugian maksimum (dolar) yang dialami oleh pemegang saham pada tingkat
kepercayaan tertentu (1 − )% dari distribusi saham pada waktu (t + ) tertentu relatif
terhadap portofolio bebas resiko.
Jadi VaR dapat ditulis sebagai berikut
VaRt+r = St exp(r) − [(1 − h) St exp (()) + hX − hPt exp(r)] (3.2)
dengan () = ( − ½2) + c() dan c() adalah nilai bagian dis-tribusi
kumulatif normal standar.
Formulasi VaR yang bentuk kedua ini [(1 − h) St exp(()) + hX hPt exp(r)] adalah
nilai payo opsi put pada kondisi in-the-money dengan biaya cost C (yang di harapkan
Institusi pada tingkat %).
Perlakuan hedging opsi put mempengaruhi VaR ada dua cara:
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
(1) Biaya hedging mengurangi nilai aliran cash ‡ows mendatang
(2) Nilai payo¤ opsi put meningkatkan aliran cash ‡ows ketika meng-hasilkan pada
kondisi in-the-money.
Disini opsi put tidak akan optimal bila harga exercise price (X) dibawah nilai
harapan payoff pada tingkat %, karena harga exercise tersebut tidak akan
mempengaruhi VaR. Sehingga untuk tujuan perhitungan VaR, kita dapat mengasumsikan
bahwa opsi put mencapai pada kondisi in-the-money. Jadi VaR tergantung nilainya pada
% faktor pengaruh opsi put dengan unhedging parsial, payoff opsi put, dan nilai biaya
cost hedging mendatang.
Nilai formulasi VaR yang bentuk kedua ini [(1 − h) St exp(()) + hX hPt exp(r)]
dapat di intrepetasikan bahwa perusahaan meminjam biaya cost C opsi put dan
mengembalikan pinjaman tersebut pada masa jatuh tempo. Hedging rasio diasumsikan
tanpa full hedging dengan 0 h < 1:
Ketika terjadi overhedging (h >1), VaR menjadi lebih rumit karena terdapat dua level
yaitu payo¤ unhedging dan payoff hedging, menghasilkan jumlah distribusi yang sama.
Konsekuensinya, VaR tergantung distribusi ketika opsi berakhir in-the-money dan juga
pada out-of-the-money. Sehingga tidak ada solusi yang sederhana.
Sangat jelas dari persamaan (3.2) bahwa V aRt+ adalah fungsi menu-run dari X dan
h. Tetapi, dengan meningkatkan X dan h juga akan meningkatkan cost dari hedging. Bab
sebelumnya juga sudah di jelaskan bahwa dewasa ini perdagangan opsi dipandang cukup
menjanjikan, paling tidak karena alasan berikut(Higham, 2004)
(1). Bagi para investor opsi dipandang menarik baik untuk spekulasi maupun untuk
keperluan hedging.
(2). Terdapat cara sistimatis untuk menentukan besarnya harga opsi, sehingga opsi dapat
diperjual belikan dengan suatu tingkat kepercayaan cukup tinggi. Diawal tahun 70 an,
Black and Scoles (1973) merupakan orang pertama yang mengemukakan rumus eksak
untuk penentuan harga opsi Eropa. Mereka memodelkan pergerakan saham sebagai suatu
proses stokastik. Dengan menam-bahkan sejumlah asumsi yang berkaitan dengan pasar
opsi dan no-arbitrage prin-ciple dalam ekonomi, mereka sampai pada rumusan untuk
harga opsi put Eropa:
Dengan menggunakan Black-Scholes (1973) biaya cost hedging ditentukan.
C = hP (St; X; r; ; ) (3.3)
dengan nilai opsi put ditentukan sebagai berikut
Pt = Xe−rr(d1) − St(d2) (3.4)
d1 = ( )
2
2ln( / ) aX S r r
a
− − (3.5)
d2 = ( )
2
2ln( / ) aX S r r
a
− + (3.6)
d2 = d1 − (3.7)
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
245
dan (:) adalah distribusi normal kumulatif. Dengan persamaan VaR dan
persamaan cost C sehingga, masalah optimasi dapat ditentukan sebagai berikut
Minh;X VaRt+ = St exp(r) − [(1 − h)St exp(()) + hX − hPt exp(r)] (3.7)
C = h.P1, 0 h < 1 (3.9)
dan subtitusikan persamaan (3.9) ke persamaan (3.8) sehingga menjadi
MinX VaRt+r = St exp(r) − [(1 − t
C
P)St exp(()) +
t
C
PX − C exp(r)] (3.10)
Pembahasan solusi masalah optimasi , ada tiga aspek khusus yang harus di
perhatikan, yaitu
1. Kreteria manajemen resiko institusi adalah var
2. Strategi hedging institusi adalah opsi put.
3. Diasumsikan tidak dilakukan full hedging.
Walaupun VaR bukanlah optimasi untuk seluruh manajemen resiko, tetapi
merupakan langkah pendekatan yang munkin. VaR adalah ukuran jenis yang da-pat
dijadikan dasar kebutuhan pemodalan institusi, atau pemenuhan kebutuhan modal yang di
perlukan untuk perputaran bisnis yang wajar pada koperasi. VaR menjadi standar industri
dan menghasilkan ukuran resiko yang objektif.
Masalah optimasi dari persamaan (3.10) hasilnya dapat disederhanakan.
(1) Strategi hedging optimal dengan menggunakan opsi put tunggal. Den-gan kata lain
hanya ada satu harga exercise price dari himpunan harga strike price yang tersedia, yang
akan menghasilkan tradeo¤ optimal antara biaya cost dengan VaR. Karena tidak terjadi
hedging secara penuh, maka opsi put untuk perlakuan hedging terhadap faktor saham lain
pada tingkat biaya cost yang bersesuaian akan selalu sama.
(2) Dengan adanya pembatasan ekspenditur hedging, dan diasumsikan tidak dilakukan
full hedging dan penggunaan harga strike price tunggal, nilai dolar terakhir yang
dikeluarkan menghasilkan tradeofff biaya/benefit sama seperti nilai dolar yang pertama.
Menyelesaikan masalah optimasi pada tingkat biaya cost C yang bervariasi akan
menghasilkan tingkat VaR minimum untuk setiap tingkat ekspenditur.
Untuk mencapai pilihan harga strike price optimal adalah melalui tradeo¤ antara
biaya cost C dengan faktor ekspenditur terhadap saham. Opsi put dengan harga strike
price yang lebih rendah menghasilkan proteksi yang rendah , tetapi murah, sehingga
institusi dapat menerima perlakuan hedging yang perbanding dengan faktor eksposur-nya
lebih besar.
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
Gambar 2. Grarik VaR dengan cost C = 0.35
Gambar 2. grafik VaR dengan menggunakan nilai parameter St =100, = 0.10, =
0.15, r = 0.05, = 1, = 2.5 %, dan C = 0.35. nilai exercise price optimal X adalah
$87.59 dan institusi mendapatkan opsi 12.41% pada kondisi out-the-money. Dan nilai
VaR adalah %21.15 dengan hedging rasionya adalah 0.002358.
Gambar 3. Grafik VaR dengan cost C = 0
= 0.10, = 0.15, r = 0.05, = 1, = 2.5 %, dan C = 0 atau tanpa hedging , nilai VaR
nya adalah %23.68. VaR adalah fungsi linier dengan ekspenditur hedging sehingga pada
contoh ini yaitu gambar 3.1 dan gambar 3.2 setiap %0.10 opsi put mengurangi VaR
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
247
sebanyak $0.72. Institusi kemudian dapat membandingkan reduksi VaR atau reduksi
biaya cost.
Gambar 4. Grafik VaR dengan cost C = [0.35 ,0.50, 0.70
Gambar 4. grafik VaR dengan menggunakan nilai parameter St = 100, = 0.10, =
0.15, r = 0.05, r = 1, = 2.5 %, dan yang berubah-ubah C = [0.35, 0.50, 0.70]. Nilai
posisi minimum VaR tergantung pada nilai cost C, semakin tinggi C nya , semakin
rendah nilai minimum VaR nya yaitu VaR = [21.15, 20.06,18.61], dan nilai hedging rasio
nya adalah h = [ 0.0023, 0.0033, 0.0047], namun ketiga nilai C yang berbeda
menghasilkan minimum yang VaR yang berbeda juga dan mempunyai exercise price
optimal yang sama. Karena nilai cost C saling bebas terhadap strike price optimalnya.
Bila Institusi menginginkan nilai VaR adalah tertentu maka nilai cost C mempunyai
rumus
Bukti: 1[ exp( ) exp( ( )) ]
exp( ( )) exp( )
t t t r
t t
P S rr S VaRC
X S P rr
+− −
=− −
(3.11)
Persamaan (3.10) semua ruas dikalikan dengan Pt sehingga menghasilkan
V aR:Pt = PtSt exp(rr) − [(Pt − C)St exp(()) + CX − CPt exp(rr)] (3.12)
VaR:Pt = PtSt exp(rr) PtSt exp(()) + CSt exp(()) − CX + CPt exp(rr) (3.13)
C(X − St exp(()) − Pt exp(rr)) = Pt[St exp(rr) − St exp () − VaR] (3.14)
1[ exp( ) exp( ( )) ]
exp( ( )) exp( )
t t
t t
P S rr S VaRC
X S P rr
− −=
− − (3.15)
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
Gambar 5 grafik VaR dengan menggunakan nilai parameter St =100, = 0.10, =
0.15, r = 0.05, = 1, = 2.5 %, dan VaR = 21.5. Bila Institusi menginginkan nilai VaR
nya adalah 21.5 maka mereka harus membayar ongkos biaya sebesar 0.30125. dan
hedging rasio h = 0.002029.
Gambar 6 grafik VaR dengan menggunakan nilai parameter St=100, =0.10, = 0.15, r
= 0.05, = 1, = 2.5 %, dan VaR berubah-ubah VaR = [20.0, 21.5, 23]. Dari gra…k
menunjukkan bahwa semakin besar nilai VaRnya semakin kecil nilai cost C nya dan
hedging rasionyapun semakin kecil juga. Dengan VaR = [20.0, 21.5, 23] menghasilkan C
= [0.508, 0.301, 0.094 ]dan menghasilkan hedging rasionya h = [0.0034, 0.0020, 0.0006].
Gambar 5: Grafik VaR dengan VaR=21.5
3. Ilustrasi Optimal Hedging
Untuk tujuan ilustrasi dari hasil diatas, dan untuk kuanti…kasi optimal hedging,
disini disajikan contoh numerik, dengan menggunakan nilai parameter-parameter berikut
St = 100; = 0; 10; = 0; 15; r = 0; 05; = 1 dan = 2; 5 %.
a. Cost Hedging dan VaR
Dengan parameter diatas, nilai optimal Strike price X adalah $87; 59 dan disini
institusi mendapatkan opsi put 12,41% pada kondisi out-of-the money. Jika tidak terjadi
hedging, nilai VaR adalah $23:68; tetapi dengan membeli opsi put seharga $0; 35, maka
VaR tereduksi menjadi 21; 15%. VaR adalah fungsi linier dengan ekspenditur hedging
sehingga pada contoh ini tiap $0; 10 opsi put mengurangi VaR sebanyak $0; 72, Institusi
kemudian dapat membandingkan reduksi VaR atau reduksi biaya (=cost).
Kunci level Optimal pada opsi put adalah invarian terhadap biaya (cost). Dengan
kata lain seiring dengan meningkatnya kemampuan membayar biaya cost institusi,
keputusan tidak mempengaruhi stike price optimal.
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
249
b. Benefit Hedging Optimal
Gambar 6. Grafik VaR dengan VaR = [20.0, 21.5, 23]
Hal yang penting adalah mengkuanti.kasikan pilihan optimal dengan suboptimal.
Untuk itu bandingkan VaR dengan biaya (cost) pada posisi yang dilakukan hedging rasio
dengan menggunakan opsi put, dengan beragam harga exercise price.Pertanyaannya
adalah
1. Dengan adanya alokasi biaya (cost) hedging rasio tertentu, bagaimana VaR dengan
harga exercise pricenya dibandingkan dengan VaR menggunakan harga exercise
price lainnya? Jawabannya adalah pada gambar 3.3.
2. Dengan adanya target level VaR tertentu, bagaimana implementasi biaya cost
berbeda untuk pilihan harga exercise yang berbeda? Jawabannya adalah pada gambar
3.5.
Gambar diatas adalah memplot data VaR sebagai fungsi dari harga exercise. Setiap
garis menyatakan level exspendetur tertentu pada opsi put yang dilakukan hedging rasio
yaitu (C = 0; 35;C = 0; 50;C = 0:70).
Nilai VaR menurun seiring dengan alokasi biaya (=cost) hedging meningkat, tetapi
juga sensitif terhadap harga exercise opsi put. Posisi VaR diminimalkan untuk opsi put
dengan harga exercise $87; 59 untuk sembarang tingkat biaya ekspenditur, karena harga
exercise optimal saling bebas dengan biaya (=cost). Sebagai contoh untuk biaya (=cost)
sebesar $0; 35, VaR diminimalkan pada level $21; 15, terjadi reduksi sebanyak $2; 53
dibandingkan dengan kejadian pada kondisi tanpa hedging.
Meningkatkan harga exercise menjadi $100, dengan opsi in the money,
menghasilkan VaR $22;30, reduksinya hanya $1; 38. Dengan kata lain mempunyai
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
makna ekonomis 45% dari los bene.t hedging dengan menggunakan harga exercise
suboptimal.
Dari persamaan (3.10) adalah
X* = arg minx . St . exp(r) – [(1 – t
CP
) . St . exp(()) + t
CP
. X – C exp (r.)]
= arg minx . St . exp(r.) – St . exp(()) + t
CP
exp(()) – t
CP
X + C exp(.)
= arg maxx C( )( )t
t
X S .exp
P
−
= arg maxx( )( )t
t
X S .exp
P
−
(3.16)
Optimal X* ditentukan oleh cash flow saham, dan menentukan nilai hedging rasio
tergantung dari biaya (cost) hedging. Nilai VaR adalah linier terhadap expenditur
hedging, jadi setiap tambahan dolar mengakibatkan reduksi terhadap VaR. Juga
persamaan (3.16) meminimumkan VaRt + adalah ekivalen dengan memaksimumkan
jarak rasio(=perbandingan) antara harga exercise dan level dari payoff saham tanpa
hadging, dan harga opsi put. Meningkatkan harga strike price opsi pada fraksi distribusi
lebih besar, opsi put menjadi semakin mahal. Kondisi pertama untuk memaksimalkan
persamaan (3.16) yaitu
X* = ( )( )x t
t
maks X S exp
P
− (3.17)
Pt = maksx( )( )t
*
X S exp
X
− −
(3.18)
Pt = maksx [X – St – exp(())] . X–1
Pt = maksx [1 – St – exp(()) . X–1]
tP
X
= St . exp (()) . X–2 =
( )( )t
2
S .exp
X
tP
X
= t
2
X X P
X
− =
( )t
2
X 1 P
x
− − = t1 P
X
−
tP
X
=
( )
( )( )t t
t
1 P . P
X S .exp
−
− (3.19)
tP
X
=
( )( )
2t t
t
P P
X S .exp
−
−
( )( )( )t t
2t
P X S .exp
P
−
= 0
atau (X – St . exp(())) . tP
X
= Pt, Sehingga solusi X* menghasilkan persamaan non
linier
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
251
(X* – St . exp(())) = t
t
P
P
X
(3.20)
St . e() = St . er .
( )( )
2
1
d
d
(3.21)
Persamaan (3.21) dapat diinteprestasikan sebagai berikut. Harga Strike price dipilih
sedemikian rupa sehingga nilai payooff saham pada level % pada posisi tanpa hedging
sama dengan ekspektasi risk-netral, dimana faktor eksposur tergantung pada kondisi opsi
yang ditentukan.
Dari Solusi di atas terdapat batasan budget C = h.P(X), sehingga h* = ( )*
C
P X, yaitu
hedging rasio pada harga exercise price optimal secara sederhana adalah biaya (cost)
dibagi dengan nilai opsi put pada harga strike price.
Karena tidak ada solusi yang mendekati X*, maka persamaan untuk itu terdapat pada
teorema comparative statistik yang menggunakan fungsi Implisit.
4. The Horizon (the time to maturity = )
Turunan harga exercise price optimal terhadap waktu adalah :
X
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1
C1X N d d N d d 2 d d r2 2
2 N d d N d d
− − − − +
−
(3.30)
dimana 1 = d2 + 2r
2 = d1 + 2r
meningkatnya nilai waktumengakibatkan bagian opsi hedging secara dramatis, tetapi
tidak monoton terhadap tingkat uang dari opsi optimal. Disatu sisi ketika meningkatnya
waktu, maka drift positif () return saham akan dominan, dan harga strike price
meningkat karena perubahan nilai distribusi saham yang menjauhi nilai awal. Volatilitas
saham menigkat seiring dengan meningkatnya sumbu horizon dan distribusi semakin
menyebar, dan mengarah pada harga exercise price optimal yang rendah.
Ketika garis horizon menjadi lebih panjang, efek awalpun mendominasi, dan harga
strike price meningkat. Bila untuk garis horizon yang pendek, efek volatilitas
mendominasi dan harga strike price menurun. Secara umum, kondisi kebalikan akan
selalu terjadi selama drift () adalah bernilai positif, tetapi tergantung pada parameter-
parameternya.
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
Gambar 7. Grafik Waktu terhadap Exercise Price
Gambar 7 adalah Grafk waktu terhadap exercise price optimal dengan menggunakan
nilai parameter St =100, =0.10, = 0.15, r = 0.05, = 1, = 2.5 %, dan VaR = 21.5
dan cost C = 0.35. Kurvanya berbentuk turun kemudian naik. Pada t = 1, menghasilkan X
= 87.59 dan VaR minimal. Jika t naik, maka X naik juga, menghasilkan VaR
minimumnya juga naik.
5. Tingkat proteksi
Pertanyaan yang tidak kalah menarik adalah bagaimana harga strike price optimal
untuk memperoleh level VaR misalnya % dari distribusi yang institusi ingin lindungi.
Secara khusus, kami ingin menelaah sensitive harga strike price X terhadap persentil ,
dimana c() disebut sebagai titik potong yang memenuhi
( ) ( )( )( )c
N x dx c
−
= = (3.31)
kita defnisikan disini invers fungsi komulatif normal density adalah –1().
Misalkan jika = 25%, maka c() = –1.96
sehingga c = –1()
fungsi (c) merupakan fungsi monotonic dari C maka
( )1c 0− =
(3.32)
Terakhir adalah bagaimana harga strike price optimal sebagai fungsi level proteksi yang
diinginkan institusi, yaitu persentase bagian distribusi yang diinginkan untuk menghitung
VaR, dengan menggunakan fungsi implisit
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 11 2
1 2 2 1
d d XX 0N d d N d d
−− = −
(3.33)
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
253
dimana –1 adalah fungsi invers turunan distribusi normal komulatif.
Penyebut dan pembilang negatif, sehingga harga exercise price optimal tercapai dengan
menigkatnya . Dalam hal ini tingkat harga exercise price adalah variabel pilihan bagi
institusi, sehingga dapat menentukan trade off antara pilihan opsi put dengan besarnya
kemampuan membayar institusidan tingkat protesi institusi. Denga perkataan lain dengan
menggunakan hasil-hasil ini untuk membantu institusi mempertukarkan pilihan opsi
terhadap jumlah yang ingin mereka bayarkan dengan tingkat proteksi yang diinginkan.
Gambar 8. Grafik Proteksi Alpha terhadap Exercise Price
Gambar 8 adalah Grafik alpha terhadap exercise price optimal dengan menggunakan nilai
parameter St = 100, = 0.10, = 0.15, r = 0.05, = 1, = 2.5 %, dan VaR = 21.5 dan C
= 0.35. Pada = 0.025, menghasilkan X = 87.59, untuk menghasilkan nilai VaR
minimumnya. Jika naik , maka nilai X nya naik juga, untuk menghasilkan VaR
minimumnya. Fungsi ini adalah fungsi naik.
SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil penelitian, dapat disimpulkan bahwa, dari grafik fungsi pdf opsi
put, dengan hedging rasio 0 h < 1, menggukanh yang berubah-ubah yaitu h = [0, 0.25,
0.50, 0.75]. Pada kondisi in-the-money St + < X, nilai posisi hedging tergantung pada
nilai hedging rasionya, semakin nilai h naik, proteksinya semakin tinggi, akibatnya VaR
semakin turun. Pada kondisi out-the-money St + > X grafik distribusinya menjadi satu
buah yaitu pada distribusi dengan h = 0. Dengan menggunakan nilai parameter St = $100,
= 0.10, = 0.15, r = 0.05, = 1, = 2.5%, C = $0.35, nilai exercise price X* adalah
%87.59 dan institusi mendapatkan opsi 12.41% pada kondisi out-the-money. Dan VaR
adalah $21.15 dengan hedging rasionya adalah 0.002358. Bila tanpa hedging C = 0, nilai
p-ISSN: 2579-941X
e-ISSN: 2579-9444
VaR nya adalah $23.68, sehingga tereduksi sebesar $2.53. Bila dinaikkan nilai exercise
price menjadi %100, menghasilkan VaR sebesar %22.30, sehingga tereduksi sebesar
$1.38. Dengan kata lain ada makna ekonomisnya yaitu sebesar 45% dari loss bene.t
hedging dengan menggunakan harga exercise suboptimal.
Menggunakan parameter diatas dengan mengubah-ubah nilai cost C nya yaitu C =
[$0.35, $0.50, $0.70] , menghsilkan nilai VaR minimum sebesar [$21.15, $20.06,
$18.61], dari sini terlihat bahwa semakin besar nilai C nya semakin kecil nilai VaR nya,
dan dari gra.k nilai C yang berbeda-beda tersebut menghasilkan nilai exercise price
optimal yang sama yaitu sebesar %87.59. Karena strategi hedging optimal dengan
menggunakan opsi put tunggal. Dengan kata lain hanya ada satu harga exercise price dari
himpunan harga strike price yang tersedia, yang akan menghasilkan tradeoff optimal
antara biaya cost dengan VaR. Karena tidak terjadi hedging secara penuh, maka opsi put
untuk perlakuan hedging terhadap faktor saham lain pada tingkat biaya cost yang
bersesuaian akan selalu sama. Jadi harga strike price optimal adalah saling bebas dengan
level biaya cost C.
Demikian sebaliknya, tetap dengan menggunakan parameter yang diatas, bila
institusi menginginkan VaR sebesar nilai = [$20, $21.5, $23] akan meng-hasilkan nilai
biaya cost C sebesar = [$0.508, $0.301, $0.094]. Disini terlihat bahwa semakin besar nilai
VaRnya, semakin kecil nilai C nya.
Penelitian ini menyajikan analisis formal untuk pengendalian risiko optimal opsi
dalam kerangka yang disederhanakan untuk keinginan institusi meminimasi VaR.
Kerumitan muncul ketika menentukan pasangan yang mungkin antara harga exercise(X)
dengan rasio hedging (h) pada tingkat ekspenditur tertentu, karena perbedaan pilihan
tersebut menjadikan perebedaan level VaR. Kita dapat melihat bahwa harga strike
optimal adalah saling bebas dengan level biaya Cost, sehingga biaya cost C dan VaR
adalah linier. Sehingga dengan parameter-parameter yang digunakan pada distribusi
return asset dan tingkat kepercayaan diinginkan institusi menghadapi pilihan untuk
meningkatkan harga exercise opsi, sehingga menurunkan nilai VaR. Pilihan harga
exercise optimal adalah sensitif terhadap tingkat kepercayaan.
Pada analisis di sini banyak adanya penggunaan distribusi tidak normal, rata-rata
kebalikan dan sekuritas pendapatan tetap, juga dengan faktor eksposur asset
multiple.sebagai contoh eksposur yang mempengaruhi perusahaan ekspor/impor adalah
nilai tukar, perusaahaan manajemen pensiun dipengaruhi pasar ekuitas dan obligasi, atau
perusahaan energi yang terpengaruh biaya sumber daya energi. Optimasi dapat diperluas
untuk menjawab masalah pilihan optimal opsi pada faktor eksposur yang berbeda, dengan
mengambil parameter yang lebih luas, misalnya relasi antar asset (yang mungkin
menghasilkan hedging natural). Tapi, karena sebuah portofolio opsi umumnya lebih
mahal dari opsi dalam sebuah portofolio, manajemen risiko sebaiknya dilakukan dengan
pendekatan opsi pasar over-the-counter dan menentukan opsi dalam posisi campuran.
Jika demikian, analisisnya masih dalam kapasitas yang dilakukan pada penelitian ini,
selama memenuhi asumsi distribusi normal.
Berdasarkan kesimpulan dari hasil penelitian, ada beberapa hal yang perlu peneliti
sarankan untuk kelanjutan penelitian ini yaitu menggunakan over hedging (h >1 ), VaR
menjadi lebih rumit karena menghasilkan dua level payoff unhedging dan payoff hedging
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2019
UIN Raden Intan Lampung
255
dengan jumlah distribusi yang sama. Konsekuensinya, VaR tergantung distribusi ketika
opsi berakhir in-the-money dan juga pada out-the-money. Tidak ada solusi yang
sederhana untuk mencari nilai minimum VaR. Mencari nilai minimum VaR, gunakan
tanpa opsi put tunggal, misalnya strategi opsi put terjadi dalam rentang hedging rasio hi,
dengan i = 1, 2, 3, ..., n, dengan harga strike price X dengan i = 1, 2, 3, ... , n. Sehingga
biaya total opsi put yaitu i ith P .
DAFTAR PUSTAKA
Higham, D. . (2004). Financial Option Valuation. Cambridge: Cambridge University
Press.