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8/14/2019 mbsbook

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T h e P r i c i n g a n d H e d g i n g o f

M o r t g a g e - B a c k e d S e c u r i t i e s :

A M u l t i v a r i a t e D e n s i t y E s t i m a t i o n A p p r o a c h

J a c o b B o u d o u k h

a

, M a t t h e w R i c h a r d s o n

b

, R i c h a r d S t a n t o n

c

,

a n d R o b e r t F . W h i t e l a w

a

S e p t e m b e r 9 , 1 9 9 8

a

S t e r n S c h o o l o f B u s i n e s s , N Y U ;

b

S t e r n S c h o o l o f B u s i n e s s , N Y U a n d t h e N B E R ;

c

H a a s S c h o o l o f

B u s i n e s s , U . C . B e r k e l e y . T h i s p a p e r i s b a s e d c l o s e l y o n t h e p a p e r , \ P r i c i n g M o r t g a g e - B a c k e d S e c u r i t i e s i n a

M u l t i f a c t o r I n t e r e s t R a t e E n v i r o n m e n t : A M u l t i v a r i a t e D e n s i t y E s t i m a t i o n A p p r o a c h , " R e v i e w o f F i n a n c i a l

S t u d i e s ( S u m m e r 1 9 9 7 , V o l . 1 0 , N o . 2 p p . 4 0 5 - 4 4 6 ) .

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T h e P r i c i n g a n d H e d g i n g o f

M o r t g a g e - B a c k e d S e c u r i t i e s :

A M u l t i v a r i a t e D e n s i t y E s t i m a t i o n A p p r o a c h

A b s t r a c t

T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a n o n - p a r a m e t r i c t e c h n i q u e f o r p r i c i n g a n d h e d g i n g m o r t g a g e -

b a c k e d s e c u r i t i e s ( M B S ) . T h e p a r t i c u l a r t e c h n i q u e u s e d h e r e i s c a l l e d m u l t i v a r i a t e

d e n s i t y e s t i m a t i o n ( M D E ) . W e n d t h a t M B S p r i c e s c a n b e w e l l d e s c r i b e d a s a f u n c t i o n

o f t w o i n t e r e s t r a t e f a c t o r s ; t h e l e v e l a n d s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e . T h e i n t e r e s t

r a t e l e v e l p r o x i e s f o r t h e m o n e y n e s s o f t h e p r e p a y m e n t o p t i o n , t h e e x p e c t e d l e v e l o f

p r e p a y m e n t s , a n d t h e a v e r a g e l i f e o f t h e M B S c a s h o w s , w h i l e t h e t e r m s t r u c t u r e

s l o p e c o n t r o l s f o r t h e a v e r a g e r a t e a t w h i c h t h e s e c a s h o w s s h o u l d b e d i s c o u n t e d . W e

a l s o i l l u s t r a t e h o w t o h e d g e t h e i n t e r e s t r a t e r i s k o f M B S u s i n g o u r m o d e l . T h e h e d g e

b a s e d o n o u r m o d e l c o m p a r e s f a v o r a b l y w i t h e x i s t i n g m e t h o d s .

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m e n t a l s i s t o o c o m p l e x t o b e d e t e r m i n e d p r e c i s e l y f r o m a p a r a m e t r i c m o d e l . F o r e x a m p l e ,

w h i l e i t i s s t a n d a r d t o a s s u m e a t l e a s t t w o f a c t o r s g o v e r n i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s , t h e t i m e

s e r i e s d y n a m i c s o f t h e s e f a c t o r s a n d t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e m a r e n o t w e l l u n d e r s t o o d .

I n c o n t r a s t , M D E h a s t h e p o t e n t i a l t o c a p t u r e t h e e e c t s o f p r e v i o u s l y u n r e c o g n i z e d o r h a r d

t o s p e c i f y i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s o n M B S p r i c e s .

I n t h i s c h a p t e r , w e r s t d e s c r i b e t h e M D E a p p r o a c h . W e p r e s e n t t h e i n t u i t i o n b e h i n d

t h e m e t h o d o l o g y a n d d i s c u s s t h e a d v a n t a g e s a n d d r a w b a c k s o f n o n - p a r a m e t r i c a p p r o a c h e s .

W e a l s o d i s c u s s t h e a p p l i c a b i l i t y o f M D E t o M B S p r i c i n g i n g e n e r a l a n d t o o u r p a r t i c u l a r

a p p l i c a t i o n .

W e t h e n a p p l y t h e M D E m e t h o d t o p r i c e w e e k l y T B A ( t o b e a n n o u n c e d ) G N M A

s e c u r i t i e s

1

w i t h c o u p o n s r a n g i n g f r o m 7 . 5 % t o 1 0 . 5 % o v e r t h e p e r i o d 1 9 8 7 - 1 9 9 4 . W e s h o w

t h a t a t l e a s t t w o i n t e r e s t r a t e f a c t o r s a r e n e c e s s a r y t o f u l l y d e s c r i b e t h e e e c t s o f t h e p r e -

p a y m e n t o p t i o n o n p r i c e s . T h e t w o f a c t o r s a r e t h e i n t e r e s t r a t e l e v e l , w h i c h p r o x i e s f o r t h e

m o n e y n e s s o f t h e p r e p a y m e n t o p t i o n , t h e e x p e c t e d l e v e l o f p r e p a y m e n t s , a n d t h e a v e r a g e

l i f e o f t h e c a s h o w s ; a n d t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e , w h i c h c o n t r o l s f o r t h e a v e r a g e r a t e a t

w h i c h t h e s e c a s h o w s s h o u l d b e d i s c o u n t e d . T h e a n a l y s i s a l s o r e v e a l s c r o s s - s e c t i o n a l d i e r -

e n c e s a m o n g G N M A s w i t h d i e r e n t c o u p o n s , e s p e c i a l l y w i t h r e g a r d t o t h e i r s e n s i t i v i t i e s t o

m o v e m e n t s i n t h e t w o i n t e r e s t r a t e f a c t o r s . T h e M D E m e t h o d o l o g y c a p t u r e s t h e w e l l - k n o w n

n e g a t i v e c o n v e x i t y o f M B S p r i c e s .

F i n a l l y , w e p r e s e n t t h e m e t h o d o l o g y f o r h e d g i n g t h e i n t e r e s t r a t e r i s k o f M B S b a s e d

o n t h e p r i c i n g m o d e l i n t h i s c h a p t e r . T h e s e n s i t i v i t i e s o f t h e M B S t o t h e t w o i n t e r e s t

r a t e f a c t o r s a r e u s e d t o c o n s t r u c t h e d g e p o r t f o l i o s . T h e h e d g e s c o n s t r u c t e d w i t h t h e M D E

m e t h o d o l o g y c o m p a r e f a v o r a b l y t o b o t h a l i n e a r h e d g e a n d a n a l t e r n a t i v e n o n - p a r a m e t r i c

t e c h n i q u e . A s c a n b e e x p e c t e d , t h e M D E m e t h o d o l o g y w o r k s e s p e c i a l l y w e l l i n l o w i n t e r e s t

r a t e e n v i r o n m e n t s w h e n t h e G N M A s b e h a v e l e s s l i k e x e d m a t u r i t y b o n d s .

2 M o r t g a g e - B a c k e d S e c u r i t y P r i c i n g : P r e l i m i n a r i e s

M o r t g a g e - b a c k e d s e c u r i t i e s r e p r e s e n t c l a i m s o n t h e c a s h o w s f r o m m o r t g a g e s t h a t a r e p o o l e d

t o g e t h e r a n d p a c k a g e d a s a n a n c i a l a s s e t . T h e i n t e r e s t p a y m e n t s a n d p r i n c i p a l r e p a y m e n t s

m a d e b y m o r t g a g e e s , l e s s a s e r v i c i n g f e e , o w t h r o u g h t o M B S i n v e s t o r s . M B S b a c k e d b y

r e s i d e n t i a l m o r t g a g e s a r e t y p i c a l l y g u a r a n t e e d b y g o v e r n m e n t a g e n c i e s s u c h a s t h e G N M A

1

A T B A c o n t r a c t i s j u s t a f o r w a r d c o n t r a c t , t r a d i n g o v e r t h e c o u n t e r . M o r e d e t a i l s a r e p r o v i d e d i n S e c t i o n

3 .

2

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a n d F H L M C o r p r i v a t e a g e n c i e s s u c h a s F N M A . B e c a u s e o f t h e r e i n s u r a n c e o e r e d b y t h e s e

a g e n c i e s M B S i n v e s t o r s b e a r v i r t u a l l y n o d e f a u l t r i s k . T h u s , t h e p r i c i n g o f a n M B S c a n b e

r e d u c e d t o v a l u i n g t h e m o r t g a g e p o o l ' s c a s h o w s a t t h e a p p r o p r i a t e d i s c o u n t r a t e . M B S

p r i c i n g t h e n i s v e r y m u c h a n i s s u e o f e s t i m a t i n g t h e m a g n i t u d e a n d t i m i n g o f t h e p o o l ' s c a s h

o w s .

H o w e v e r , p r i c i n g a n M B S i s n o t a s t r a i g h t f o r w a r d d i s c o u n t e d c a s h o w v a l u a t i o n . T h i s

i s b e c a u s e t h e t i m i n g a n d n a t u r e o f a p o o l ' s c a s h o w s d e p e n d s o n t h e p r e p a y m e n t b e h a v i o r

o f t h e h o l d e r s o f t h e i n d i v i d u a l m o r t g a g e s w i t h i n t h e p o o l . F o r e x a m p l e , m o r t g a g e s m i g h t

b e p r e p a i d b y i n d i v i d u a l s w h o s e l l t h e i r h o m e s a n d r e l o c a t e . S u c h e v e n t s l e a d t o e a r l y

r e p a y m e n t s o f p r i n c i p a l t o t h e M B S h o l d e r s . I n a d d i t i o n , M B S c o n t a i n a n e m b e d d e d i n t e r e s t

r a t e o p t i o n . M o r t g a g e h o l d e r s h a v e a n o p t i o n t o r e n a n c e t h e i r p r o p e r t y a n d p r e p a y t h e i r

e x i s t i n g m o r t g a g e s . T h e y a r e m o r e l i k e l y t o d o s o a s i n t e r e s t r a t e s , a n d h e n c e r e n a n c i n g

r a t e s , d e c l i n e b e l o w t h e r a t e o f t h e i r c u r r e n t m o r t g a g e . T h i s r e n a n c i n g i n c e n t i v e t e n d s

t o l o w e r t h e v a l u e o f t h e m o r t g a g e t o t h e M B S i n v e s t o r b e c a u s e t h e m o r t g a g e s ' r e l a t i v e l y

h i g h e x p e c t e d c o u p o n p a y m e n t s a r e r e p l a c e d b y a n i m m e d i a t e p a y o o f t h e p r i n c i p a l . T h e

e q u i v a l e n t i n v e s t m e n t a l t e r n a t i v e n o w a v a i l a b l e t o t h e M B S i n v e s t o r i s , o f c o u r s e , a t t h e

l o w e r c o u p o n r a t e . T h e r e f o r e , t h e p r i c e o f a n M B S w i t h , f o r e x a m p l e , a 8 % c o u p o n i s r o u g h l y

e q u i v a l e n t t o o w n i n g a d e f a u l t - f r e e 8 % a n n u i t y b o n d a n d w r i t i n g a c a l l o p t i o n o n t h a t b o n d

( w i t h a n e x e r c i s e p r i c e o f p a r ) . T h i s o p t i o n c o m p o n e n t i n d u c e s a c o n c a v e r e l a t i o n b e t w e e n

t h e p r i c e o f M B S a n d t h e p r i c e o f d e f a u l t - f r e e b o n d s ( t h e s o c a l l e d \ n e g a t i v e c o n v e x i t y " ) .

2 . 1 M B S P r i c i n g : A n M D E A p p r o a c h

M o d e l i n g a n d p r i c i n g M B S i n v o l v e s t w o l a y e r s o f c o m p l e x i t y : ( i ) m o d e l i n g t h e d y n a m i c

b e h a v i o r o f t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e s , a n d ( i i ) m o d e l i n g t h e p r e p a y m e n t b e h a v i o r

o f m o r t g a g e h o l d e r s . T h e s t a n d a r d p r o c e d u r e f o r v a l u a t i o n o f M B S a s s u m e s a p a r t i c u -

l a r s t o c h a s t i c p r o c e s s f o r t e r m s t r u c t u r e m o v e m e n t s a n d u s e s s p e c i c s t a t i s t i c a l m o d e l s o f

p r e p a y m e n t b e h a v i o r . T h e s u c c e s s o f t h i s a p p r o a c h d e p e n d s c r u c i a l l y o n t h e c o r r e c t p a r a m -

e t e r i z a t i o n o f p r e p a y m e n t b e h a v i o r a n d o n t h e c o r r e c t m o d e l f o r i n t e r e s t r a t e s . W e p r o p o s e

h e r e a d i e r e n t a p p r o a c h t h a t d i r e c t l y e s t i m a t e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n M B S p r i c e s a n d v a r -

i o u s i n t e r e s t r a t e f a c t o r s . T h i s a p p r o a c h c i r c u m v e n t s t h e n e e d f o r p a r a m e t r i c s p e c i c a t i o n

o f i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s a n d p r e p a y m e n t m o d e l s .

T h e b a s i c i n t u i t i o n b e h i n d t h e M D E p r i c i n g t e c h n i q u e w e p r o p o s e i s f a i r l y s t r a i g h t f o r -

w a r d . L e t a s e t o f m v a r i a b l e s , d e n o t e d b y x

t

, b e t h e u n d e r l y i n g f a c t o r s t h a t g o v e r n i n t e r e s t

3

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r a t e m o v e m e n t s a n d p r e p a y m e n t b e h a v i o r . T h e v e c t o r x

t

i n c l u d e s i n t e r e s t r a t e v a r i a b l e s

( e . g . , t h e l e v e l o f i n t e r e s t r a t e s ) a n d p o s s i b l e p r e p a y m e n t s p e c i c v a r i a b l e s ( e . g . , t r a n s a c t i o n

c o s t s o f r e n a n c i n g ) . T h e M B S p r i c e a t t i m e t , d e n o t e d a s P

m b ; t

, i s a f u n c t i o n o f t h e s e f a c t o r s

a n d c a n b e w r i t t e n a s

P

m b ; t

= V ( x

t

; )

w h e r e V ( x

t

; ) i s a f u n c t i o n o f t h e s t a t e v a r i a b l e s x

t

, a n d t h e v e c t o r i s a s e t o f p a r a m e t e r s

t h a t d e s c r i b e t h e i n t e r e s t r a t e d y n a m i c s a n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e v a r i a b l e s x

t

a n d t h e

p r e p a y m e n t f u n c t i o n . T h e v e c t o r i n c l u d e s v a r i a b l e s s u c h a s t h e s p e e d w i t h w h i c h i n t e r e s t

r a t e s t e n d t o r e v e r t t o t h e i r l o n g r u n m e a n v a l u e s a n d t h e s e n s i t i v i t y o f p r e p a y m e n t s t o

c h a n g e s i n i n t e r e s t r a t e s . P a r a m e t r i c m e t h o d s i n t h e e x t a n t l i t e r a t u r e d e r i v e t h e f u n c t i o n V

b a s e d o n e q u i l i b r i u m o r n o - a r b i t r a g e a r g u m e n t s a n d d e t e r m i n e M B S p r i c e s u s i n g e s t i m a t e s

o f i n t h i s f u n c t i o n . T h e M D E p r o c e d u r e , o n t h e o t h e r h a n d , a i m s t o d i r e c t l y e s t i m a t e t h e

f u n c t i o n V f r o m t h e d a t a a n d i s n o t c o n c e r n e d w i t h t h e e v o l u t i o n o f i n t e r e s t r a t e s o r t h e

s p e c i c f o r m s o f p r e p a y m e n t f u n c t i o n s .

T h e M D E p r o c e d u r e s t a r t s w i t h a s i m i l a r b a s i c i d e a a s p a r a m e t r i c m e t h o d s , v i z . t h a t

M B S p r i c e s c a n b e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f a s m a l l n u m b e r o f i n t e r e s t r a t e f a c t o r s . M B S

p r i c e s a r e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f t h e s e f a c t o r s p l u s a p r i c i n g e r r o r t e r m . T h e e r r o r t e r m

a l l o w s f o r t h e f a c t t h a t m o d e l p r i c e s b a s e d o n a n y s m a l l n u m b e r o f p r i c i n g f a c t o r s w i l l n o t

b e i d e n t i c a l t o q u o t e d m a r k e t p r i c e s . T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n w h y m a r k e t p r i c e s c a n b e

e x p e c t e d t o d e v i a t e f r o m m o d e l p r i c e s . F i r s t , b i d p r i c e s m a y b e a s y n c h r o n o u s w i t h r e s p e c t

t o t h e i n t e r e s t r a t e q u o t e s . F u r t h e r m o r e , t h e b i d - a s k s p r e a d s f o r t h e M B S i n t h i s p a p e r

g e n e r a l l y r a n g e f r o m

1

3 2

n d t o

4

3 2

n d s , d e p e n d i n g o n t h e l i q u i d i t y o f t h e M B S . S e c o n d , t h e M B S

p r i c e s u s e d i n t h i s p a p e r r e f e r t o p r i c e s o f u n s p e c i e d m o r t g a g e p o o l s i n t h e m a r k e t p l a c e ( s e e

S e c t i o n 3 . 1 ) . T o t h e e x t e n t t h a t t h e u n i v e r s e o f p o o l s c h a n g e s f r o m p e r i o d t o p e r i o d , a n d

i t s c o m p o s i t i o n m a y n o t b e i n t h e a g e n t ' s i n f o r m a t i o n s e t , t h i s i n t r o d u c e s a n e r r o r i n t o t h e

p r i c i n g e q u a t i o n . F i n a l l y , t h e r e m a y b e p r i c i n g f a c t o r s t h a t a r e n o t s p e c i e d i n t h e m o d e l .

T h e r e f o r e , w e a s s u m e o b s e r v e d p r i c e s a r e g i v e n b y

P

m b ; t

= V ( x

t

) +

t

( 1 )

w h e r e

t

r e p r e s e n t t h e a f o r e m e n t i o n e d p r i c i n g e r r o r s . A w e l l s p e c i e d m o d e l w i l l y i e l d s m a l l

p r i c i n g e r r o r s . E x a m i n a t i o n o f

t

b a s e d o n o u r m o d e l w i l l t h e r e f o r e e n a b l e u s t o e v a l u a t e i t s

s u i t a b i l i t y i n t h i s p r i c i n g a p p l i c a t i o n .

4

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T h e r s t t a s k i n i m p l e m e n t i n g t h e M D E p r o c e d u r e i s t o s p e c i f y t h e f a c t o r s t h a t d e t e r -

m i n e M B S p r i c e s . T o p r i c e M B S w e n e e d f a c t o r s t h a t c a p t u r e t h e v a l u e o f x e d c a s h o w

c o m p o n e n t o f M B S a n d r e n a n c i n g i n c e n t i v e s . T h e p a r t i c u l a r f a c t o r s w e u s e h e r e a r e t h e

y i e l d o n 1 0 - y e a r T r e a s u r y n o t e s a n d t h e s p r e a d b e t w e e n t h e 1 0 - y e a r y i e l d a n d t h e 3 - m o n t h

T - b i l l y i e l d . T h e r e a r e g o o d r e a s o n s t o u s e t h e s e f a c t o r s f o r c a p t u r i n g t h e s a l i e n t f e a t u r e s o f

M B S . T h e M B S a n a l y z e d i n t h i s p a p e r h a v e 3 0 y e a r s t o m a t u r i t y ; h o w e v e r , d u e t o p o t e n -

t i a l p r e p a y m e n t s a n d s c h e d u l e d p r i n c i p a l r e p a y m e n t s , t h e i r e x p e c t e d l i v e s a r e m u c h s h o r t e r .

T h u s , t h e 1 0 - y e a r y i e l d s h o u l d a p p r o x i m a t e t h e l e v e l o f i n t e r e s t r a t e s w h i c h i s a p p r o p r i a t e

f o r d i s c o u n t i n g t h e M B S ' s c a s h o w s . F u r t h e r , t h e 1 0 - y e a r y i e l d h a s a c o r r e l a t i o n o f 0 . 9 8

w i t h t h e m o r t g a g e r a t e ( s e e T a b l e 1 B a n d F i g u r e 1 ) . S i n c e t h e s p r e a d b e t w e e n t h e m o r t g a g e

r a t e a n d t h e M B S ' s c o u p o n d e t e r m i n e s t h e r e n a n c i n g i n c e n t i v e , t h e 1 0 - y e a r y i e l d s h o u l d

p r o v e u s e f u l w h e n v a l u i n g t h e o p t i o n c o m p o n e n t .

T h e s e c o n d v a r i a b l e , t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e ( i n t h i s c a s e , t h e s p r e a d b e t w e e n t h e

1 0 - y e a r a n d 3 - m o n t h r a t e s ) p r o v i d e s i n f o r m a t i o n o n t w o f a c t o r s : t h e m a r k e t ' s e x p e c t a t i o n s

a b o u t t h e f u t u r e p a t h o f i n t e r e s t r a t e s , a n d t h e v a r i a t i o n i n t h e d i s c o u n t r a t e o v e r s h o r t a n d

l o n g h o r i z o n s . S t e e p t e r m s t r u c t u r e s l o p e s i m p l y l o w e r d i s c o u n t r a t e s f o r s h o r t - t e r m c a s h

o w s a n d h i g h e r d i s c o u n t r a t e s f o r l o n g - t e r m c a s h o w s . F u r t h e r , s t e e p t e r m s t r u c t u r e s m a y

i m p l y i n c r e a s e s i n f u t u r e m o r t g a g e r a t e s , w h i c h s h o u l d d e c r e a s e t h e l i k e l i h o o d o f m o r t g a g e

r e n a n c i n g .

2 . 2 M u l t i v a r i a t e D e n s i t y E s t i m a t i o n I s s u e s

T h i s s u b s e c t i o n e x p l a i n s t h e d e t a i l s o f t h e m u l t i v a r i a t e d e n s i t y e s t i m a t i o n t e c h n i q u e p r o p o s e d

i n t h i s c h a p t e r . T o u n d e r s t a n d t h e i s s u e s i n v o l v e d , s u p p o s e t h a t t h e e r r o r t e r m i n e q u a t i o n

( 1 ) i s u n i f o r m l y z e r o a n d t h a t w e h a v e u n l i m i t e d d a t a o n t h e p a s t h i s t o r y o f M B S p r i c e s .

N o w s u p p o s e t h a t w e a r e i n t e r e s t e d i n d e t e r m i n i n g t h e f a i r p r i c e f o r a M B S w i t h a p a r t i c u l a r

c o u p o n a n d p r e p a y m e n t h i s t o r y a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n t i m e w h e n , f o r e x a m p l e , t h e 1 0 - y e a r

y i e l d i s 8 % a n d t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e i s 1 % . I n t h i s c a s e a l l w e h a v e t o d o i s l o o k

b a c k a t t h e h i s t o r i c a l d a t a a n d p i c k o u t t h e p r i c e o f a n M B S w i t h s i m i l a r c h a r a c t e r i s t i c s a t a

p o i n t i n t i m e h i s t o r i c a l l y w h e n t h e 1 0 - y e a r y i e l d w a s 8 % a n d t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e

w a s 1 % . W h i l e t h i s e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e s i m p l i c i t y o f u n d e r l y i n g i d e a b e h i n d t h e M D E

p r o c e d u r e , i t a l s o h i g h l i g h t s t h e s o u r c e s o f p o t e n t i a l p r o b l e m s i n e s t i m a t i o n . F i r s t o f a l l ,

f o r r e a s o n s d i s c u s s e d i n t h e l a s t s u b s e c t i o n , i t i s u n r e a l i s t i c t o a s s u m e a w a y t h e e r r o r t e r m s .

S e c o n d l y , i n p r a c t i c e w e d o n o t h a v e u n l i m i t e d h i s t o r i c a l d a t a , a n d a p a r t i c u l a r e c o n o m i c

5

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s c e n a r i o , s u c h a s a n 8 % 1 0 - y e a r y i e l d a n d a 1 % t e r m s t r u c t u r e s l o p e , m a y n o t h a v e b e e n

p l a y e d o u t i n t h e p a s t . T h e e s t i m a t i o n t e c h n i q u e t h e r e f o r e s h o u l d b e c a p a b l e o f o p t i m a l l y

e x t r a c t i n g i n f o r m a t i o n f r o m t h e a v a i l a b l e d a t a .

T h e M D E p r o c e d u r e c h a r a c t e r i z e s t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f t h e v a r i a b l e s o f i n t e r e s t , i n

o u r c a s e t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f M B S p r i c e s a n d i n t e r e s t r a t e f a c t o r s . W e i m p l e m e n t M D E

u s i n g a k e r n e l e s t i m a t i o n p r o c e d u r e .

2

I n o u r a p p l i c a t i o n , t h e k e r n e l e s t i m a t o r f o r M B S p r i c e s

a s a f u n c t i o n o f i n t e r e s t r a t e f a c t o r s s i m p l i e s t o :

̂

P

m b ; c

( r

l

; r

l

r

s

) =

P

T

t = 1

P

m b ; c ; t

K

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

P

T

t = 1

K

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

; ( 2 )

w h e r e T i s t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s , K ( ) i s a s u i t a b l e k e r n e l f u n c t i o n a n d h i s t h e w i n d o w

w i d t h o r s m o o t h i n g p a r a m e t e r .

̂

P

m b ; c

( r

l

; r

l

r

s

) i s o u r m o d e l p r i c e f o r a M B S w i t h c o u p o n

c w h e n t h e l o n g r a t e i s r

l

a n d t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e i s r

l

r

s

. P

m b ; c ; t

i s t h e m a r k e t p r i c e

o f t h e t

t h

o b s e r v a t i o n f o r t h e p r i c e o f a M B S w i t h c o u p o n c . N o t e t h a t t h e l o n g r a t e a t t h e

t i m e o f o b s e r v a t i o n t a r e i s r

l ; t

a n d t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e i s r

l ; t

r

s ; t

.

T h e e c o n o m e t r i c i a n h a s a t h i s o r h e r d i s c r e t i o n t h e c h o i c e o f K ( ) a n d h . I t i s i m p o r t a n t

t o p o i n t o u t , h o w e v e r , t h a t t h e s e c h o i c e s a r e q u i t e d i e r e n t f r o m t h o s e f a c e d b y r e s e a r c h e r s

e m p l o y i n g p a r a m e t r i c m e t h o d s . H e r e , t h e r e s e a r c h e r i s n o t t r y i n g t o c h o o s e f u n c t i o n a l f o r m s

o r p a r a m e t e r s t h a t s a t i s f y s o m e g o o d n e s s - o f - t c r i t e r i o n ( s u c h a s m i n i m i z i n g s q u a r e d e r r o r s

i n r e g r e s s i o n m e t h o d s ) , b u t i s i n s t e a d c h a r a c t e r i z i n g t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n f r o m w h i c h t h e

f u n c t i o n a l f o r m w i l l b e d e t e r m i n e d .

O n e p o p u l a r c l a s s o f k e r n e l f u n c t i o n s i s t h e s y m m e t r i c b e t a d e n s i t y f u n c t i o n , w h i c h

i n c l u d e s t h e n o r m a l d e n s i t y , t h e E p a n e c h n i k o v ( 1 9 6 9 ) \ o p t i m a l " k e r n e l , a n d t h e c o m m o n l y

u s e d b i w e i g h t k e r n e l a s s p e c i a l c a s e s . R e s u l t s i n t h e k e r n e l e s t i m a t i o n l i t e r a t u r e s u g g e s t t h a t

a n y r e a s o n a b l e k e r n e l g i v e s a l m o s t o p t i m a l r e s u l t s , t h o u g h i n s m a l l s a m p l e s t h e r e m a y b e

d i e r e n c e s ( s e e E p a n e c h n i k o v ( 1 9 6 9 ) ) . I n t h i s p a p e r , w e e m p l o y a n i n d e p e n d e n t m u l t i v a r i a t e

n o r m a l k e r n e l , t h o u g h i t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t o u r r e s u l t s a r e r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o

t h e c h o i c e o f k e r n e l w i t h i n t h e s y m m e t r i c b e t a c l a s s . T h e s p e c i c f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e

K ( ) t h a t w e u s e i s :

K ( z ) = ( 2 )

1

2

e

1

2

z

2

;

2

F o r e x a m p l e s o f M D E m e t h o d s f o r a p p r o x i m a t i n g f u n c t i o n a l f o r m s i n t h e e m p i r i c a l a s s e t p r i c i n g l i t -

e r a t u r e , s e e P a g a n a n d H o n g ( 1 9 9 1 ) , H a r v e y ( 1 9 9 1 ) a n d A i t - S a h a l i a ( 1 9 9 6 ) . A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h t o

e s t i m a t i n g n o n l i n e a r f u n c t i o n a l s i n t h e d e r i v a t i v e s m a r k e t i s d e s c r i b e d b y H u t c h i n s o n , L o a n d P o g g i o ( 1 9 9 4 ) .

T h e y e m p l o y m e t h o d s a s s o c i a t e d w i t h n e u r a l n e t w o r k s t o e s t i m a t e t h e n o n l i n e a r r e l a t i o n b e t w e e n o p t i o n

p r i c e s a n d t h e u n d e r l y i n g s t o c k p r i c e .

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w h e r e z i s t h e a p p r o p r i a t e a r g u m e n t f o r t h i s f u n c t i o n .

T h e o t h e r p a r a m e t e r , t h e w i n d o w w i d t h , i s c h o s e n b a s e d o n t h e d i s p e r s i o n o f t h e o b s e r -

v a t i o n s . F o r t h e i n d e p e n d e n t m u l t i v a r i a t e n o r m a l k e r n e l , S c o t t ( 1 9 9 2 ) s u g g e s t s t h e w i n d o w

w i d t h

̂

h

i

= k

i

̂

i

T

1

m + 4

;

w h e r e ^

i

i s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e i t h v a r i a b l e ( i . e . , i m a y d e n o t e e i t h e r v a r i a b l e r

l

o r r

l

r

s

) , m i s t h e d i m e n s i o n o f t h e v a r i a b l e s , w h i c h i n o u r c a s e i s 2 , a n d k

i

i s a s c a l i n g

c o n s t a n t o f t e n c h o s e n v i a a c r o s s - v a l i d a t i o n p r o c e d u r e . I n o u r a p p l i c a t i o n w e n e e d t o c h o s e

t w o s u c h s c a l i n g c o n s t a n t s , o n e f o r t h e l o n g r a t e r

l

a n d o n e f o r t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e

r

l

r

s

. N o t e t h a t t h e w i n d o w w i d t h i s l a r g e r w h e n t h e v a r i a n c e o f t h e v a r i a b l e u n d e r

c o n s i d e r a t i o n i s l a r g e r i n o r d e r t o c o m p e n s a t e f o r t h e f a c t t h a t o b s e r v a t i o n s a r e , o n a v e r a g e ,

f u r t h e r a p a r t . T h i s w i n d o w w i d t h ( w i t h k

i

= 1 ) h a s t h e a p p e a l i n g p r o p e r t y t h a t , f o r c e r t a i n

j o i n t d i s t r i b u t i o n s o f t h e v a r i a b l e s , i t m i n i m i z e s t h e a s y m p t o t i c m e a n i n t e g r a t e d s q u a r e d

e r r o r o f t h e e s t i m a t e d d e n s i t y f u n c t i o n . U n f o r t u n a t e l y , o u r d a t a a r e s e r i a l l y c o r r e l a t e d a n d

t h e r e f o r e t h e n e c e s s a r y d i s t r i b u t i o n a l p r o p e r t i e s a r e n o t s a t i s e d .

W e e m p l o y a c r o s s - v a l i d a t i o n p r o c e d u r e t o n d t h e k

i

t h a t m i n i m i z e s t h e e s t i m a t i o n e r r o r .

T o i m p l e m e n t c r o s s - v a l i d a t i o n , t h e i m p l i e d M D E p r i c e a t e a c h d a t a p o i n t i s e s t i m a t e d u s i n g

t h e e n t i r e s a m p l e , e x c e p t f o r t h e a c t u a l d a t a p o i n t a n d i t s n e a r e s t n e i g h b o r s .

3

W e i d e n t i f y

t h e k

i

' s t h a t m i n i m i z e t h e m e a n - s q u a r e d e r r o r b e t w e e n t h e o b s e r v e d p r i c e a n d t h e e s t i m a t e d

k e r n e l p r i c e . O n c e t h e k

i

' s a r e c h o s e n b a s e d o n c r o s s - v a l i d a t i o n , t h e a c t u a l e s t i m a t i o n o f t h e

M B S p r i c e s a n d a n a l y s i s o f p r i c i n g e r r o r s i n v o l v e s t h e e n t i r e s a m p l e .

T o g a i n f u r t h e r i n t u i t i o n i n t o t h e e s t i m a t i o n p r o c e d u r e , n o t e t h a t e q u a t i o n ( 2 ) t a k e s a

s p e c i a l f o r m ; t h e e s t i m a t e o f t h e M B S p r i c e c a n b e i n t e r p r e t e d a s a w e i g h t e d a v e r a g e o f

o b s e r v e d p r i c e s :

̂

P

m b ; c

( r

l

; r

l

r

s

) =

T

X

t = 1

w

i

( t ) P

m b ; c ; t

; ( 3 )

w h e r e

w

r

( t ) =

K

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

P

T

t = 1

K

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

:

N o t e t h a t t o d e t e r m i n e t h e M B S p r i c e w h e n t h e i n t e r e s t r a t e f a c t o r s a r e ( r

l

; r

l

r

s

)

t h e k e r n e l e s t i m a t o r a s s i g n s t o e a c h o b s e r v a t i o n t a w e i g h t w

r

( t ) t h a t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e

3

D u e t o t h e s e r i a l d e p e n d e n c e o f t h e d a t a , w e p e r f o r m e d t h e c r o s s - v a l i d a t i o n o m i t t i n g o n e y e a r o f d a t a ,

i . e . , s i x m o n t h s i n e i t h e r d i r e c t i o n o f t h e p a r t i c u l a r d a t a p o i n t i n q u e s t i o n .

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M a r k e t s ) ,

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a n d t h e y i e l d s o n t h e 3 - m o n t h T r e a s u r y b i l l a n d 1 0 - y e a r T r e a s u r y n o t e ( p r o v i d e d

b y t h e B o a r d o f G o v e r n o r s o f t h e F e d e r a l R e s e r v e ) .

3 . 2 D a t a C h a r a c t e r i s t i c s

B e f o r e d e s c r i b i n g t h e p r i c i n g r e s u l t s a n d e r r o r a n a l y s i s f o r M B S u s i n g t h e M D E a p p r o a c h ,

w e b r i e y d e s c r i b e t h e e n v i r o n m e n t f o r i n t e r e s t r a t e s a n d m o r t g a g e r a t e s d u r i n g t h e s a m p l e

p e r i o d , 1 9 8 7 - 1 9 9 4 .

C h a r a c t e r i s t i c s o f M o r t g a g e s ( 1 9 8 7 - 1 9 9 4 )

S i n c e t h e m o r t g a g e r a t e r e p r e s e n t s t h e a v a i l a b l e r a t e a t w h i c h h o m e o w n e r s c a n r e n a n c e ,

i t p l a y s a n e s p e c i a l l y i m p o r t a n t r o l e w i t h r e s p e c t t o t h e p r e p a y m e n t i n c e n t i v e . F i g u r e 1

g r a p h s t h e m o r t g a g e r a t e f o r 1 9 8 7 t h r o u g h 1 9 9 4 . F r o m 1 9 8 7 t o 1 9 9 1 , t h e m o r t g a g e r a t e

v a r i e d f r o m 9 % t o 1 1 % . I n c o n t r a s t , f r o m 1 9 9 1 t o 1 9 9 4 , t h e m o r t g a g e r a t e g e n e r a l l y d e c l i n e d

f r o m 9 . 5 % t o 7 % .

7

F o r p r i c i n g G N M A T B A s , i t i s m o s t r e l e v a n t t o u n d e r s t a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e

u n i v e r s e o f p o o l s a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n t i m e . T h a t i s , t h e f a c t t h a t a n u m b e r o f p o o l s

h a v e p r e p a i d c o n s i d e r a b l y m a y b e i r r e l e v a n t i f n e w l y o r i g i n a t e d p o o l s h a v e e n t e r e d i n t o t h e

M B S m a r k e t s i n c e t h e M B S f r o m n e w o r i g i n a t i o n s a r e t h e o n e t y p i c a l l y d e l i v e r e d i n T B A

c o n t r a c t s . T o g e t a b e t t e r i d e a o f t h e t i m e s e r i e s b e h a v i o r o f t h e G N M A T B A s d u r i n g t h i s

p e r i o d , F i g u r e 2 g r a p h s a n a r t i c i a l l y c o n s t r u c t e d i n d e x o f a l l t h e o r i g i n a t i o n s o f 7 . 5 % t o

1 0 . 5 % G N M A p o o l s f r o m J a n u a r y 1 9 8 3 t o M a y 1 9 9 4 .

8

T h e r e i s a w i d e r a n g e o f o r i g i n a t i o n b e h a v i o r a c r o s s t h e c o u p o n s . A s m o r t g a g e r a t e s

m o v e d w i t h i n a 9 % t o 1 1 % b a n d b e t w e e n 1 9 8 7 t o 1 9 9 1 , F i g u r e 2 s h o w s t h a t G N M A 9 s , 9 . 5 s ,

1 0 s a n d 1 0 . 5 s w e r e a l l n e w l y o r i g i n a t e d d u r i n g t h i s p e r i o d . C o n s i s t e n t w i t h t h e d e c l i n e i n

m o r t g a g e r a t e s i n t h e p o s t 1 9 9 1 p e r i o d , G N M A 7 . 5 s , 8 s a n d 8 . 5 s o r i g i n a t e d w h i l e t h e G N M A

9 s { 1 0 . 5 s b e c a m e s e a s o n e d i s s u e s . T h u s , i n t e r m s o f t h e s e a s o n i n g o f t h e p o o l s m o s t l i k e l y

t o b e d e l i v e r e d i n t h e T B A m a r k e t , t h e r e a r e c l e a r l y c r o s s - s e c t i o n a l d i e r e n c e s b e t w e e n t h e

c o u p o n s .

6

B l o o m b e r g ' s s o u r c e f o r t h i s r a t e i s \ F r e d d i e M a c ' s P r i m a r y M o r t g a g e M a r k e t S u r v e y " , w h i c h r e p o r t s

t h e a v e r a g e r a t e o n 8 0 % o f n e w l y o r i g i n a t e d 3 0 - y e a r , r s t m o r t g a g e s o n a w e e k l y b a s i s .

7

N o t e t h a t t h e M B S c o u p o n r a t e i s t y p i c a l l y 5 0 b a s i s p o i n t s l e s s t h a t t h e i n t e r e s t r a t e o n t h e u n d e r l y i n g

m o r t g a g e . T h e 5 0 b a s i s p o i n t i s r e t a i n e d t o c o v e r t h e s e r v i c i n g f e e a n d r e i n s u r a n c e c o s t .

8

T h e d o l l a r a m o u n t o u t s t a n d i n g f o r e a c h c o u p o n i s n o r m a l i z e d t o 1 0 0 i n J a n u a r y 1 9 8 7 . A c t u a l d o l l a r

a m o u n t s o u t s t a n d i n g i n t h a t m o n t h w e r e $ 1 0 , 1 7 2 , $ 2 7 , 0 9 6 , $ 1 0 , 2 7 7 , $ 6 3 , 3 9 2 , $ 2 8 , 5 0 3 , $ 1 5 , 6 9 4 , a n d $ 5 , 7 4 9

( i n m i l l i o n s ) f o r t h e 7 . 5 % { 1 0 . 5 % c o u p o n s , r e s p e c t i v e l y .

1 0

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F i g u r e 2 s h o w s t h a t t h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s f o r c h o o s i n g t h e T B A m a r k e t d u r i n g t h e

p o s t 1 9 8 6 t i m e p e r i o d t o i n v e s t i g a t e M B S p r i c i n g u s i n g t h e M D E m e t h o d o l o g y . F i r s t , d u r i n g

1 9 8 5 a n d 1 9 8 6 , i n t e r e s t r a t e s d r a m a t i c a l l y d e c l i n e d , l e a d i n g t o m o r t g a g e o r i g i n a t i o n s f o r a

w i d e v a r i e t y o f c o u p o n r a t e s . T h u s , t h e G N M A T B A s i n 1 9 8 7 - 1 9 9 4 c o r r e s p o n d t o m o r t g a g e

p o o l s w i t h l i t t l e p r e p a y m e n t h i s t o r y ( i . e . , n o b u r n o u t ) a n d l o n g m a t u r i t i e s . I n c o n t r a s t ,

p r i o r t o t h i s p e r i o d , t h e 7 : 5 % t o 1 0 : 5 % G N M A s w e r e b a c k e d b y m o r t g a g e s o r i g i n a t e d i n t h e

1 9 7 0 ' s a n d t h u s r e p r e s e n t e d a d i e r e n t s e c u r i t y ( i n b o t h m a t u r i t y a n d p r e p a y m e n t l e v e l s ) .

S e c o n d , M D E p r i c i n g r e q u i r e s j o i n t s t a t i o n a r i t y b e t w e e n M B S p r i c e s a n d t h e i n t e r e s t r a t e

v a r i a b l e s . T h i s p o s e s a p o t e n t i a l p r o b l e m i n e s t i m a t i n g t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f a n y x e d

m a t u r i t y s e c u r i t y , s i n c e t h e m a t u r i t y c h a n g e s o v e r t i m e . R e c a l l t h a t t h e T B A m a r k e t r e f e r s

t o u n s p e c i e d m o r t g a g e p o o l s a v a i l a b l e i n t h e m a r k e t p l a c e . T h u s , t o t h e e x t e n t t h a t t h e r e

a r e o r i g i n a t i o n s o f m o r t g a g e s i n t h e G N M A c o u p o n r a n g e , t h e m a t u r i t y o f t h e G N M A T B A

i s l e s s a p t t o c h a n g e f r o m w e e k t o w e e k . F i g u r e 2 s h o w s t h a t t h i s i s t h e c a s e f o r t h e h i g h e r

c o u p o n G N M A s p r e 1 9 9 1 , a n d f o r t h e l o w c o u p o n G N M A s p o s t 1 9 9 1 . O f c o u r s e , w h e n n o

o r i g i n a t i o n s o c c u r i n t h e c o u p o n r a n g e ( e . g . , t h e G N M A 1 0 s i n t h e l a t t e r p a r t o f t h e s a m p l e ) ,

t h e n t h e m a t u r i t y o f t h e a v a i l a b l e p o o l w i l l d e c l i n e . I n t h i s c a s e , t h e r e s e a r c h e r m a y n e e d

t o a d d v a r i a b l e s t o c a p t u r e t h e m a t u r i t y e e c t a n d p o s s i b l y a n y p r e p a y m e n t e e c t s . I n o u r

a n a l y s i s , w e c h o o s e t o l i m i t t h e d i m e n s i o n a l i t y o f t h e m u l t i v a r i a t e s y s t e m , a n d i n s t e a d f o c u s

o n t h e r e l a t i o n b e t w e e n M B S p r i c e s a n d t h e t w o i n t e r e s t r a t e f a c t o r s .

C h a r a c t e r i s t i c s o f M B S P r i c e s a n d I n t e r e s t R a t e s ( 1 9 8 7 - 1 9 9 4 )

T a b l e 1 p r o v i d e s r a n g e s , s t a n d a r d d e v i a t i o n s a n d c r o s s - c o r r e l a t i o n s o f G N M A p r i c e s

( T a b l e 1 A ) , a n d m o r t g a g e a n d i n t e r e s t r a t e s ( T a b l e 1 B ) d u r i n g t h e 1 9 8 7 - 1 9 9 4 p e r i o d . A b s e n t

p r e p a y m e n t s , M B S a r e x e d - r a t e a n n u i t i e s , a n d t h e d o l l a r v o l a t i l i t y o f a n a n n u i t y i n c r e a s e s

w i t h t h e c o u p o n . I n c o n t r a s t , f r o m T a b l e 1 , w e n d t h a t t h e l o w e r c o u p o n G N M A s a r e m o r e

v o l a t i l e t h a n t h e h i g h e r c o u p o n G N M A s . T h e l o w e r v o l a t i l i t y o f t h e h i g h e r c o u p o n G N M A s

i s d u e t o t h e e m b e d d e d c a l l o p t i o n o f M B S . T h e i m p o r t a n t e l e m e n t o f t h e o p t i o n c o m p o n e n t

f o r M B S v a l u a t i o n i s t h e r e n a n c i n g i n c e n t i v e . F o r m o s t o f t h e s a m p l e ( e s p e c i a l l y 1 9 9 0 o n ) ,

t h e e x i s t i n g m o r t g a g e r a t e l i e s b e l o w 1 0 . 5 % a n d t h e p r e p a y m e n t o p t i o n i s a t - o r i n - t h e -

m o n e y .

9

H i s t o r i c a l l y , g i v e n t h e c o s t s a s s o c i a t e d w i t h r e n a n c i n g , a s p r e a d o f a p p r o x i m a t e l y

1 5 0 b a s i s p o i n t s b e t w e e n t h e o l d m o r t g a g e r a t e a n d t h e e x i s t i n g r a t e i s r e q u i r e d t o i n d u c e

9

F i g u r e 1 a l s o g r a p h s o n e o f t h e i n t e r e s t r a t e f a c t o r s , t h e 1 0 - y e a r y i e l d . T h e r e i s a d i e r e n c e i n t h e l e v e l

b e t w e e n t h e t w o s e r i e s ( i . e . , o n a v e r a g e 1 . 5 6 % ) , r e p r e s e n t i n g t h e c o s t o f o r i g i n a t i o n , t h e o p t i o n v a l u e , a n d

t h e b a n k p r o t s , a m o n g o t h e r f a c t o r s .

1 1

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r a p i d p r e p a y m e n t s .

1 0

T h e l a c k o f s e a s o n i n g a s i d e , t h i s w o u l d s u g g e s t t h a t t h e h i g h e r c o u p o n

G N M A s b e g a n t o p r e p a y i n t h e e a r l y 9 0 ' s .

A s m e n t i o n e d a b o v e , F i g u r e 1 g r a p h s t h e 1 0 - y e a r y i e l d a g a i n s t t h e m o r t g a g e r a t e . D u r i n g

t h e 1 9 8 7 t o 1 9 9 4 p e r i o d , t h e r e a r e m u l t i p l e o b s e r v a t i o n s o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t r a t e s . S i n c e

t h e s e m u l t i p l e o b s e r v a t i o n s o c c u r a t d i e r e n t p o i n t s o f t h e s a m p l e , t h i s w i l l h e l p M D E i s o l a t e

t h e p o t e n t i a l i m p a c t o f a d d i t i o n a l i n t e r e s t r a t e f a c t o r s , a s w e l l a s r e d u c e m a t u r i t y e e c t s n o t

c a p t u r e d b y t h e M D E p r i c i n g ( s e e C h a r a c t e r i s t i c s o f M o r t g a g e s a b o v e ) . S i m i l a r l y , w h i l e t h e

s p r e a d b e t w e e n t h e 1 0 - y e a r y i e l d a n d t h e 3 - m o n t h r a t e i s f o r t h e m o s t p a r t p o s i t i v e , t h e r e

i s s t i l l v a r i a t i o n o f t h e s p r e a d d u r i n g t h e p e r i o d o f a n o r d e r o f m a g n i t u d e s i m i l a r t o t h e

u n d e r l y i n g 1 0 - y e a r r a t e ( s e e T a b l e 1 B ) . M o r e o v e r , t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e s e v a r i a b l e s i s

o n l y - 0 . 4 5 , i n d i c a t i n g t h a t t h e y p o t e n t i a l l y c a p t u r e i n d e p e n d e n t i n f o r m a t i o n , w h i c h m a y b e

u s e f u l f o r p r i c i n g G N M A s .

4 E m p i r i c a l R e s u l t s

T h i s s e c t i o n i m p l e m e n t s t h e M D E p r o c e d u r e a n d i n v e s t i g a t e s h o w w e l l t h e m o d e l p r i c e s

m a t c h m a r k e t p r i c e s .

4 . 1 O n e - F a c t o r P r i c i n g

A s a r s t p a s s a t t h e M B S d a t a , w e d e s c r i b e t h e f u n c t i o n a l r e l a t i o n b e t w e e n G N M A p r i c e s

a n d t h e l e v e l o f i n t e r e s t r a t e s ( t h e 1 0 - y e a r y i e l d ) . A s a n i l l u s t r a t i o n , F i g u r e 3 g r a p h s t h e

e s t i m a t e d 9 % G N M A p r i c e w i t h t h e a c t u a l d a t a p o i n t s . T h e s m o o t h i n g f a c t o r , w h i c h i s

c h o s e n b y c r o s s - v a l i d a t i o n , i s 0 . 3 5 ( i . e . , k

i

= 0 : 3 5 ) .

S e v e r a l o b s e r v a t i o n s a r e i n o r d e r . F i r s t , t h e g u r e i l l u s t r a t e s t h e w e l l - k n o w n n e g a t i v e

c o n v e x i t y o f M B S . S p e c i c a l l y , t h e M B S p r i c e i s c o n v e x i n i n t e r e s t - r a t e l e v e l s a t h i g h i n t e r e s t

r a t e s ( w h e n i t b e h a v e s m o r e l i k e a s t r a i g h t b o n d ) , y e t c o n c a v e a t l o w i n t e r e s t r a t e s ( a s t h e

p r e p a y m e n t o p t i o n b e c o m e s i n - t h e - m o n e y ) . S e c o n d , t h e e s t i m a t e d f u n c t i o n a l r e l a t i o n i s n o t

s m o o t h a c r o s s t h e e n t i r e r a n g e o f s a m p l e i n t e r e s t r a t e s . S p e c i c a l l y , b e t w e e n 1 0 - y e a r y i e l d s

o f 7 . 1 % t o 7 . 8 % , t h e r e i s a b u m p i n t h e e s t i m a t e d r e l a t i o n . W h i l e t h i s f e a t u r e i s m o s t

1 0

S e e B a r t l e t t ( 1 9 8 9 ) a n d B r e e d e n ( 1 9 9 1 ) f o r s o m e h i s t o r i c a l e v i d e n c e o f t h e r e l a t i o n b e t w e e n p r e p a y m e n t

r a t e s a n d t h e m o r t g a g e s p r e a d . N o t e t h a t i n t h e 1 9 9 0 ' s t h e t h r e s h o l d s p r e a d r e q u i r e d t o i n d u c e r e n a n c i n g

h a s b e e n s o m e w h a t l o w e r { i n s o m e c a s e s , 7 5 t o 1 0 0 b a s i s p o i n t s . S o m e h a v e a r g u e d t h a t t h i s i s d u e t o

t h e p r o l i f e r a t i o n o f n e w t y p e s o f m o r t g a g e l o a n s ( a n d e n s u i n g m a r k e t i n g e o r t s b y t h e m o r t g a g e c o m p a n i e s )

( B a r t l e t t ( 1 9 8 9 ) ) , t h o u g h i t m a y a l s o b e r e l a t e d t o a g g r e g a t e e c o n o m i c f a c t o r s , s u c h a s t h e i m p l i c a t i o n s o f a

s t e e p t e r m s t r u c t u r e .

1 2

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t h e e x i s t e n c e o f a s e c o n d f a c t o r , w i t h R

2

s i n c r e a s i n g w i t h t h e c o u p o n f r o m a l o w o f 2 . 0 % t o

4 0 . 1 % . F u r t h e r m o r e , t h i s s e c o n d f a c t o r c o m e s i n n o n l i n e a r l y a s b o t h t h e l i n e a r a n d n o n l i n e a r

t e r m s a r e l a r g e a n d s i g n i c a n t .

M o s t i n t e r e s t i n g i s t h e f a c t t h a t t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e h a s i t s b i g g e s t i m p a c t

o n h i g h e r c o u p o n G N M A s . T h i s s u g g e s t s a n i m p o r t a n t r e l a t i o n b e t w e e n t h e p r e p a y m e n t

o p t i o n a n d t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e . D u e t o t h e r e l a t i v e l y l o w e r v a l u e o f t h e p r e p a y m e n t

o p t i o n , l o w c o u p o n G N M A s b e h a v e m u c h l i k e s t r a i g h t b o n d s . T h u s , t h e 1 0 - y e a r y i e l d m a y

p r o v i d e e n o u g h i n f o r m a t i o n t o p r i c e t h e s e M B S . I n c o n t r a s t , t h e c a l l o p t i o n c o m p o n e n t o f

h i g h e r c o u p o n G N M A s i s s u b s t a n t i a l e n o u g h t h a t t h e d u r a t i o n o f t h e b o n d i s h i g h l y v a r i a b l e .

C l e a r l y , t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e p r o v i d e s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e v a r i a t i o n i n y i e l d s

a c r o s s t h e s e m a t u r i t i e s ; h e n c e , i t s a d d i t i o n a l e x p l a n a t o r y p o w e r f o r h i g h e r c o u p o n G N M A s .

T h e n e g a t i v e c o e c i e n t o n t h e s p r e a d i m p l i e s t h a t t h e 1 - f a c t o r M D E i s u n d e r p r i c i n g w h e n

t h e s p r e a d i s h i g h . I n o t h e r w o r d s , w h e n s p r e a d s a r e h i g h , a n d s h o r t r a t e s a r e l o w f o r a x e d

l o n g r a t e , h i g h c o u p o n G N M A s a r e m o r e v a l u a b l e t h a n w o u l d b e s u g g e s t e d b y a 1 - f a c t o r

m o d e l . T h e p o s i t i v e c o e c i e n t s o n t h e s q u a r e d s p r e a d s u g g e s t t h a t t h e r e l a t i o n i s n o n l i n e a r ,

w i t h a d e c r e a s i n g e e c t a s t h e s p r e a d i n c r e a s e s . N o t e t h a t i n a d d i t i o n t o i n f o r m a t i o n a b o u t

v a r i a t i o n i n d i s c o u n t r a t e s a c r o s s m a t u r i t i e s , t h e s p r e a d m a y a l s o b e p r o x y i n g f o r v a r i a t i o n

i n e x p e c t e d p r e p a y m e n t r a t e s t h a t i s n o t c a p t u r e d b y t h e l o n g r a t e .

4 . 2 T w o - F a c t o r P r i c i n g

M o t i v a t e d b y t h e r e s u l t s i n T a b l e 2 B , i t s e e m s i m p o r t a n t t o c o n s i d e r a s e c o n d i n t e r e s t r a t e

f a c t o r f o r p r i c i n g M B S . T h e r e f o r e , w e d e s c r i b e t h e f u n c t i o n a l r e l a t i o n b e t w e e n G N M A p r i c e s

a n d t w o i n t e r e s t - r a t e f a c t o r s , t h e l e v e l o f i n t e r e s t r a t e s ( t h e 1 0 - y e a r y i e l d ) a n d t h e s l o p e o f t h e

t e r m s t r u c t u r e ( t h e s p r e a d b e t w e e n t h e 1 0 - y e a r y i e l d a n d t h e 3 - m o n t h y i e l d ) . I n p a r t i c u l a r ,

w e e s t i m a t e t h e p r i c i n g f u n c t i o n a l g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 ) f o r e a c h o f t h e G N M A c o u p o n s . F o r

c o m p a r i s o n p u r p o s e s w i t h F i g u r e 3 , F i g u r e 4 g r a p h s t h e 9 % G N M A a g a i n s t t h e i n t e r e s t r a t e

l e v e l a n d t h e s l o p e . T h e s m o o t h i n g f a c t o r f o r t h e l o n g r a t e i s x e d a t t h e l e v e l u s e d i n t h e

1 - f a c t o r p r i c i n g ( i . e . , 0 . 3 5 ) , a n d t h e c r o s s - v a l i d a t i o n p r o c e d u r e g e n e r a t e s a s m o o t h i n g f a c t o r

o f 1 . 0 0 f o r t h e s p r e a d .

T h e w e l l - k n o w n n e g a t i v e c o n v e x i t y o f M B S i s v e r y a p p a r e n t i n F i g u r e 4 . H o w e v e r , t h i s

f u n c t i o n a l f o r m d o e s n o t h o l d i n t h e n o r t h w e s t r e g i o n o f t h e g u r e , t h a t i s , a t l o w s p r e a d s

a n d l o w i n t e r e s t r a t e s . T h e e x p l a n a t i o n i s t h a t t h e M D E a p p r o a c h w o r k s w e l l i n t h e r e g i o n s

o f t h e a v a i l a b l e d a t a , b u t e x t r a p o l a t e s p o o r l y a t t h e t a i l s o f t h e d a t a a n d b e y o n d . F i g u r e 5

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g r a p h s a s c a t t e r p l o t o f t h e i n t e r e s t r a t e l e v e l a g a i n s t t h e s l o p e . A s e v i d e n t f r o m t h e g u r e ,

t h e r e a r e p e r i o d s i n w h i c h l a r g e s l o p e s ( 3 % - 4 % ) a r e m a t c h e d w i t h b o t h l o w i n t e r e s t r a t e s

( i n 1 9 9 3 - 1 9 9 4 ) a n d h i g h i n t e r e s t r a t e s ( i n 1 9 8 8 ) . H o w e v e r , f e w o b s e r v a t i o n s a r e a v a i l a b l e a t

l o w s p r e a d s j o i n t w i t h l o w i n t e r e s t r a t e s . T h u s , t h e r e s e a r c h e r n e e d s t o b e c a u t i o u s w h e n

i n t e r p r e t i n g M B S p r i c e s i n t h i s r a n g e .

W i t h i n t h e s a m p l e p e r i o d , t h e l a r g e s t r a n g e o f 1 0 - y e a r y i e l d s o c c u r s a r o u n d a s p r e a d o f

2 . 7 0 % . T h e r e f o r e , w e t a k e a s l i c e o f t h e p r i c i n g f u n c t i o n a l f o r t h e 8 % , 9 % a n d 1 0 % G N M A s ,

c o n d i t i o n a l o n t h i s l e v e l o f t h e s p r e a d . F i g u r e 6 g r a p h s t h e r e l a t i o n b e t w e e n G N M A p r i c e s

f o r e a c h o f t h e s e c o u p o n s a g a i n s t t h e 1 0 - y e a r y i e l d . S e v e r a l o b s e r v a t i o n s a r e i n o r d e r . F i r s t ,

t h e n e g a t i v e c o n v e x i t y o f e a c h M B S i s s t i l l a p p a r e n t e v e n i n t h e p r e s e n c e o f t h e s e c o n d

f a c t o r . T h o u g h t h e b u m p i n t h e f u n c t i o n a l f o r m i s s t i l l v i s i b l e , i t h a s b e e n s u b s t a n t i a l l y

r e d u c e d . T h u s , m u l t i p l e f a c t o r s d o p l a y a k e y r o l e i n M B S v a l u a t i o n . S e c o n d , t h e p r i c e

d i e r e n c e s b e t w e e n t h e v a r i o u s G N M A s e c u r i t i e s n a r r o w a s i n t e r e s t r a t e s f a l l . T h i s j u s t

r e p r e s e n t s t h e f a c t t h a t h i g h e r c o u p o n G N M A s a r e e x p e c t e d t o p r e p a y a t f a s t e r r a t e s . A s

G N M A s p r e p a y a t p a r , t h e i r p r i c e s f a l l b e c a u s e t h e y a r e p r e m i u m b o n d s , t h u s r e d u c i n g t h e

d i e r e n t i a l b e t w e e n t h e v a r i o u s c o u p o n s . T h i r d , t h e G N M A p r i c e s c h a n g e a s a f u n c t i o n o f

i n t e r e s t r a t e s a t d i e r e n t r a t e s d e p e n d i n g o n t h e c o u p o n l e v e l , i . e . , o n t h e m a g n i t u d e o f t h e

r e n a n c i n g i n c e n t i v e . T h u s , t h e e e c t i v e d u r a t i o n o f G N M A s v a r i e s a s t h e m o n e y n e s s o f t h e

p r e p a y m e n t o p t i o n c h a n g e s .

T h e r e s u l t s o f S e c t i o n 4 . 1 , a n d F i g u r e s 5 a n d 6 , s u g g e s t t h e p o s s i b l e p r e s e n c e o f a s e c o n d

f a c t o r f o r p r i c i n g M B S . T o u n d e r s t a n d t h e i m p a c t o f t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e , F i g u r e 7

g r a p h s t h e v a r i o u s G N M A p r i c e s a g a i n s t i n t e r e s t r a t e l e v e l s , c o n d i t i o n a l o n t w o d i e r e n t

s p r e a d s ( 2 . 7 0 % a n d 0 . 3 0 % ) .

1 1

R e c a l l t h a t t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e i s d e n e d u s i n g t h e

y i e l d o n a f u l l - c o u p o n n o t e , n o t a t e n - y e a r z e r o - c o u p o n r a t e . A s a r e s u l t , p o s i t i v e s p r e a d s

i m p l y u p w a r d s l o p i n g f u l l - c o u p o n y i e l d c u r v e s a n d e v e n m o r e s t e e p l y s l o p i n g z e r o - c o u p o n

y i e l d c u r v e s . I n c o n t r a s t , w h e n t h e s p r e a d i s c l o s e t o z e r o , b o t h t h e f u l l - c o u p o n a n d z e r o -

c o u p o n y i e l d c u r v e s t e n d t o b e a t . T h u s , h o l d i n g t h e 1 0 - y e a r f u l l - c o u p o n y i e l d c o n s t a n t ,

s h o r t - t e r m ( l o n g - t e r m ) z e r o - c o u p o n r a t e s a r e l o w e r ( h i g h e r ) f o r h i g h s p r e a d s t h a n w h e n t h e

t e r m s t r u c t u r e s p r e a d i s l o w .

I n t e r m s o f M B S p r i c i n g , n o t e t h a t a t h i g h i n t e r e s t r a t e l e v e l s , t h e o p t i o n t o p r e p a y i s

o u t - o f - t h e - m o n e y . C o n s e q u e n t l y , m a n y o f t h e c a s h o w s a r e e x p e c t e d t o o c c u r a s s c h e d u l e d ,

a n d G N M A s h a v e l o n g e x p e c t e d l i v e s . T h e a p p r o p r i a t e d i s c o u n t r a t e s f o r t h e s e c a s h o w s

1 1

T h e s p r e a d s a n d i n t e r e s t r a t e r a n g e s a r e c h o s e n t o c o i n c i d e w i t h t h e a p p r o p r i a t e r a n g e s o f a v a i l a b l e

d a t a , t o i n s u r e t h a t t h e M D E a p p r o a c h w o r k s w e l l .

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a r e t h e r e f o r e l o n g e r - t e r m z e r o - c o u p o n r a t e s . C o n s i d e r r s t t h e e e c t s o n t h e p r i c e o f a n

8 % G N M A . S i n c e t h i s s e c u r i t y h a s i t s c a s h o w s c o n c e n t r a t e d a t l o n g m a t u r i t i e s , i t s p r i c e

s h o u l d b e l o w e r f o r h i g h e r s p r e a d s , j u s t a s w e o b s e r v e i n F i g u r e 7 . O n t h e o t h e r h a n d , t h e

o p t i o n c o m p o n e n t o f t h e 1 0 % G N M A i s m u c h c l o s e r t o b e i n g a t - t h e - m o n e y , e v e n f o r t h e

h i g h e s t i n t e r e s t r a t e s s h o w n i n t h e g u r e . H e n c e , a t t h e s e i n t e r e s t r a t e s , 1 0 % G N M A p r i c e s

d o n o t f o l l o w t h e s a m e o r d e r i n g a s 8 % G N M A s v i s - a - v i s t h e l e v e l o f t h e s p r e a d .

A s i n t e r e s t r a t e s f a l l , p r e p a y m e n t s b e c o m e m o r e l i k e l y , a n d t h e e x p e c t e d l i f e o f t h e M B S

f a l l s f o r G N M A s o f a l l c o u p o n s . A s t h i s l i f e d e c l i n e s , t h e l e v e l s o f t h e s h o r t e r - t e r m z e r o -

c o u p o n r a t e s b e c o m e m o r e i m p o r t a n t f o r p r i c i n g . I n t h i s c a s e , h i g h s p r e a d s i m p l y l o w e r

d i s c o u n t r a t e s a t t h e r e l e v a n t m a t u r i t i e s , f o r a x e d 1 0 - y e a r f u l l - c o u p o n y i e l d . C o n s e q u e n t l y ,

w h e n t h e G N M A s a r e p r i c e d a s s h o r t e r - t e r m s e c u r i t i e s d u e t o h i g h e x p e c t e d p r e p a y m e n t s ,

h i g h s p r e a d s i m p l y h i g h e r p r i c e s f o r a l l c o u p o n s . T h i s i m p l i c a t i o n i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e

7 . W h i l e p r i c e s a l w a y s i n c r e a s e f o r d e c l i n i n g l o n g r a t e s , t h e i n c r e a s e i s m u c h l a r g e r w h e n

s p r e a d s a r e h i g h . F o r t h e 8 % G N M A , t h i s e e c t c a u s e s t h e p r i c e s t o c r o s s a t a l o n g r a t e o f

a p p r o x i m a t e l y 8 . 3 % , w h i l e f o r t h e 1 0 % G N M A i t c a u s e s t h e p r i c i n g f u n c t i o n a l s t o d i v e r g e

f u r t h e r a s r a t e s d e c r e a s e . T h e e e c t i n F i g u r e 7 i s p r i m a r i l y d r i v e n b y c h a n g e s i n e x p e c t e d

c a s h o w l i f e . T h e 1 0 - y e a r y i e l d p r o x i e s f o r t h e m o n e y n e s s o f t h e o p t i o n , t h e e x p e c t e d l e v e l

o f p r e p a y m e n t s , a n d t h e a v e r a g e l i f e o f t h e c a s h o w s . T h e a d d i t i o n o f t h e s e c o n d f a c t o r ,

t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e , a l s o c o n t r o l s f o r t h e a v e r a g e r a t e a t w h i c h t h e s e c a s h o w s s h o u l d

b e d i s c o u n t e d .

I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e i m p a c t o f 2 - f a c t o r p r i c i n g m o r e c l e a r l y , T a b l e 3 p r o v i d e s a n

a n a l y s i s a l o n g t h e l i n e s o f T a b l e 2 f o r 1 - f a c t o r p r i c i n g . S p e c i c a l l y , T a b l e 3 A r e p o r t s s o m e

s u m m a r y s t a t i s t i c s o n t h e p r i c i n g e r r o r s f o r t h e 7 . 5 % t o 1 0 . 5 % G N M A s . T h e a d d i t i o n o f a

s e c o n d i n t e r e s t r a t e f a c t o r r e d u c e s t h e p r i c i n g e r r o r v o l a t i l i t y a c r o s s a l l t h e G N M A c o u p o n s ,

i . e . , f r o m $ 0 . 7 0 t o $ 0 . 6 5 f o r t h e 7 . 5 s , $ 0 . 8 3 t o $ 0 . 6 1 f o r t h e 9 s , a n d $ 0 . 8 4 t o $ 0 . 5 2 f o r t h e

1 0 . 5 s . M o s t i n t e r e s t i n g , t h e l a r g e s t r e d u c t i o n i n p r i c i n g e r r o r v o l a t i l i t y o c c u r s w i t h t h e h i g h e r

c o u p o n G N M A s , w h i c h c o n r m s t h e c l o s e r e l a t i o n b e t w e e n t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e

a n d t h e p r e p a y m e n t o p t i o n . T a b l e 3 B l o o k s a t w h e t h e r t h e r e i s a n y r e m a i n i n g l e v e l o r s l o p e

e e c t o n t h e 2 - f a c t o r M B S p r i c e s . W e r u n n o n l i n e a r r e g r e s s i o n s o f t h e p r i c i n g e r r o r s o n t h e

l e v e l a n d t h e s l o p e s e p a r a t e l y . N e i t h e r t h e l e v e l n o r t h e s l o p e h a v e a n y r e m a i n i n g e c o n o m i c

e x p l a n a t o r y p o w e r f o r t h e p r i c i n g e r r o r s , w i t h R

2

s r a n g i n g f r o m 3 . 6 % t o 4 . 5 % f o r t h e f o r m e r

a n d R

2

s u n d e r 1 . 0 % f o r t h e l a t t e r . T h e t e s t s o f j o i n t s i g n i c a n c e o f t h e c o e c i e n t s e x h i b i t

m a r g i n a l s i g n i c a n c e f o r t h e l e v e l , s u g g e s t i n g t h a t r e d u c i n g t h e s m o o t h i n g p a r a m e t e r w i l l

g e n e r a t e a s m a l l i m p r o v e m e n t i n t h e m a g n i t u d e o f t h e p r i c i n g e r r o r s .

1 6

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5 H e d g i n g I n t e r e s t R a t e R i s k

5 . 1 H e d g i n g M e t h o d o l o g y

T h i s s e c t i o n i l l u s t r a t e s h o w t o h e d g e t h e i n t e r e s t r a t e r i s k o f M B S u s i n g t h e p r i c i n g m o d e l

p r e s e n t e d h e r e . S i n c e t h e r e a r e t w o i n t e r e s t r a t e f a c t o r s t h a t a r e i m p o r t a n t f o r p r i c i n g M B S

w e n e e d t w o x e d - i n c o m e a s s e t s t o h e d g e o u t i n t e r e s t r a t e r i s k . T h e h e d g i n g i n s t r u m e n t s

w e u s e a r e a 3 - m o n t h T - b i l l a n d a 1 0 - y e a r T r e a s u r y N o t e f u t u r e s c o n t r a c t . L e t !

t b i l l

a n d

!

f u t u r e s

d e n o t e t h e a p p r o p r i a t e p o s i t i o n s i n T - B i l l s a n d T - n o t e f u t u r e s c o n t r a c t s r e s p e c t i v e l y

t o h e d g e t h e i n t e r e s t r a t e r i s k o f o n e u n i t o f a M B S . T h e h e d g e p o s i t i o n t a k e n i n e a c h o f t h e

i n s t r u m e n t s s h o u l d e n s u r e t h a t :

!

t b i l l

@ P

t b i l l

@ r

l

+ !

f u t u r e s

@ P

f u t u r e s

@ r

l

=

@ P

m b

@ r

l

!

t b i l l

@ P

t b i l l

@ ( r

l

r

s

)

+ !

f u t u r e s

@ P

f u t u r e s

@ ( r

l

r

s

)

=

@ P

m b

@ ( r

l

r

s

)

;

w h e r e

@ P

@ r

l

a n d

@ P

@ ( r

l

r

s

)

a r e t h e s e n s i t i v i t i e s o f t h e s e i n s t r u m e n t s w i t h r e s p e c t t o t h e l o n g r a t e

r

l

a n d s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e r

l

r

s

. T h e e q u a t i o n s a b o v e s p e c i f y t h a t t h e s e n s i t i v i t y o f

M B S p r i c e t o c h a n g e s i n t h e l o n g r a t e a n d t h e s l o p e o f t h e t e r m s t r u c t u r e a r e e x a c t l y o s e t

b y t h e c o r r e s p o n d i n g s e n s i t i v i t i e s o f t h e h e d g e d p o s i t i o n s .

S o l v i n g f o r !

t b i l l

a n d !

f u t u r e s

g i v e s

!

t b i l l

=

@ P

m b

@ ( r

l

r

s

)

@ P

f u t u r e s

@ r

l

+

@ P

m b

@ r

l

@ P

f u t u r e s

@ ( r

l

r

s

)

@ P

t b i l l

@ r

l

@ P

f u t u r e s

@ ( r

l

r

s

)

@ P

t b i l l

@ ( r

l

r

s

)

@ P

f u t u r e s

@ r

l

; ( 4 )

!

f u t u r e s

=

@ P

m b

@ r

l

@ P

t b i l l

@ ( r

l

r

s

)

+

@ P

m b

@ ( r

l

r

s

)

@ P

t b i l l

@ r

l

@ P

t b i l l

@ r

l

@ P

f u t u r e s

@ ( r

l

r

s

)

@ P

t b i l l

@ ( r

l

r

s

)

@ P

f u t u r e s

@ r

l

: ( 5 )

U s i n g e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) , t h e s e h e d g e d p o r t f o l i o s t h e n c a n b e c o n s t r u c t e d e x a n t e

b a s e d o n t h e e c o n o m e t r i c i a n ' s e s t i m a t e o f t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e t h r e e x e d - i n c o m e

a s s e t s w i t h r e s p e c t t o t h e t w o f a c t o r s . T h e s e e s t i m a t e s c a n b e g e n e r a t e d f r o m h i s t o r i c a l d a t a

( p r i o r t o t h e f o r m i n g o f t h e h e d g e ) u s i n g k e r n e l e s t i m a t i o n . F o r e x a m p l e , a n e s t i m a t e o f

@ P

m b

@ r

l

c a n b e c a l c u l a t e d f r o m e q u a t i o n ( 2 ) u s i n g

@ P

m b

@ r

l

=

P

T

t = 1

P

m b ; t

K

0

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

P

T

t = 1

K

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

1 7

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P

T

t = 1

P

m b ; t

K

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

P

T

t = 1

K

0

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

P

T

t = 1

K

r

l

r

l ; t

h

r

l

K

r

l

r

s

] r

l ; t

r

s ; t

]

h

r

l

r

s

2

;

w h e r e K

0

( z ) = ( 2 )

1

2

z e

1

2

z

2

. U n f o r t u n a t e l y , i t i s d i c u l t t o e s t i m a t e t h e d e r i v a t i v e a c c u -

r a t e l y ( s e e S c o t t ( 1 9 9 2 ) ) ; t h e r e f o r e , w e a v e r a g e t h e e s t i m a t e d d e r i v a t i v e w i t h p r i c e s e n s i t i v -

i t i e s e s t i m a t e d o v e r a r a n g e o f l o n g r a t e s o r s l o p e s . F o r e x a m p l e , w e c a l c u l a t e t h e e l a s t i c i t y

P

m b

r

l

=

P

m b

( r

a

l

) P

m b

( r

b

l

)

r

a

l

r

b

l

f o r t w o d i e r e n t p a i r s o f i n t e r e s t r a t e s , ( r

a

l

; r

b

l

) , a n d a v e r a g e t h e s e v a l u e s w i t h t h e k e r n e l

d e r i v a t i v e . T h e p o i n t s a r e c h o s e n t o s t r a d d l e t h e i n t e r e s t r a t e o f i n t e r e s t . S p e c i c a l l y , w e

u s e t h e 1 0 t h a n d 2 0 t h n e a r e s t n e i g h b o r s a l o n g t h e i n t e r e s t r a t e d i m e n s i o n w i t h i n t h e s a m p l e ,

i f t h e y e x i s t , a n d t h e h i g h e s t o r l o w e s t i n t e r e s t r a t e s w i t h i n t h e s a m p l e i f t h e r e a r e n o t 1 0

o r 2 0 o b s e r v a t i o n s w i t h h i g h e r o r l o w e r i n t e r e s t r a t e s . T h e r e t u r n o n t h e h e d g e d p o r t f o l i o i s

t h e n g i v e n b y

P

m b ; t + 1

+ ̂!

t b i l l

( P

1 ; t + 1

P

1 ; t

) + ̂!

f u t u r e s

( P

2 ; t + 1

P

2 ; t

)

P

m b ; t

;

w h e r e i t i s a s s u m e d t h a t t h e i n v e s t o r s t a r t s w i t h o n e u n i t o f G N M A s a t t i m e t . T h e h e d g e d

p o r t f o l i o c a n t h e n b e f o l l o w e d t h r o u g h t i m e a n d e v a l u a t e d b a s e d o n i t s v o l a t i l i t y a n d c o r r e -

l a t i o n w i t h t h e x e d - i n c o m e f a c t o r s , a s w e l l a s o t h e r f a c t o r s o f i n t e r e s t .

1 2

5 . 2 H e d g i n g A n a l y s i s

W e c o n d u c t e d a n o u t - o f - s a m p l e h e d g i n g e x e r c i s e o v e r t h e p e r i o d J a n u a r y 1 9 9 0 t o M a y 1 9 9 4

t o e v a l u a t e t h e h e d g e p e r f o r m a n c e . S t a r t i n g i n J a n u a r y 1 9 8 7 , a p p r o x i m a t e l y t h r e e y e a r s

o f d a t a ( 1 5 0 w e e k l y o b s e r v a t i o n s ) w e r e u s e d o n a w e e k l y r o l l i n g b a s i s t o e s t i m a t e t h e M B S

p r i c e s a n d i n t e r e s t r a t e s e n s i t i v i t i e s a s d e s c r i b e d a b o v e . F o r t h e T - b i l l a n d T - n o t e f u t u r e s ,

w e a s s u m e t h a t t h e y m o v e o n e - f o r - o n e w i t h t h e s h o r t r a t e a n d l o n g r a t e , r e s p e c t i v e l y . T h i s

a s s u m p t i o n s i m p l i e s t h e a n a l y s i s a n d i s a g o o d r s t - o r d e r a p p r o x i m a t i o n . F o r e a c h r o l l i n g

p e r i o d , s e v e r a l d i e r e n t h e d g e s w e r e f o r m e d f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s :

1 . T o c o i n c i d e w i t h e x i s t i n g p r a c t i c e , a l i n e a r h e d g e o f t h e G N M A s a g a i n s t t h e T - n o t e f u -

t u r e s w a s e s t i m a t e d u s i n g r o l l i n g r e g r e s s i o n s . T h e h e d g e r a t i o i s g i v e n b y t h e s e n s i t i v i t y

o f t h e M B S p r i c e c h a n g e s t o f u t u r e s p r i c e c h a n g e s .

1 2

T h e m e t h o d d e s c r i b e d h e r e f o r m s a n i n s t a n t a n e o u s h e d g e , w h i c h i n t h e o r y w o u l d r e q u i r e c o n t i n u o u s

r e b a l a n c i n g . F o r a n a l t e r n a t i v e h e d g e b a s e d o n h o r i z o n l e n g t h , s e e B o u d o u k h , R i c h a r d s o n , S t a n t o n a n d

W h i t e l a w ( 1 9 9 5 ) .

1 8

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2 . B r e e d e n ( 1 9 9 1 ) s u g g e s t s a r o l l - u p / r o l l - d o w n a p p r o a c h t o c o m p u t i n g h e d g e r a t i o s . S p e c i f -

i c a l l y , t h e h e d g e c a n b e f o r m e d f o r a G N M A b y c o m p u t i n g t h e r a t i o b e t w e e n t h e T - n o t e

f u t u r e s p r i c e e l a s t i c i t y a n d t h e G N M A p r i c e e l a s t i c i t y . ( T h e G N M A p r i c e e l a s t i c i t y

o f , s a y , a 8 % G N M A i s c a l c u l a t e d f r o m t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e p r i c e s o f 8

1

2

% a n d a

7

1

2

% G N M A . W e i n v e s t i g a t e h e d g i n g o f 8 % , 9 % a n d 1 0 % G N M A s u s i n g G N M A s w i t h

7 . 5 % t h r o u g h 1 0 . 5 % c o u p o n s ) .

3 . W e i n v e s t i g a t e t h e t w o - f a c t o r M D E h e d g e d e s c r i b e d b y t h e p o r t f o l i o w e i g h t s g i v e n i n

e q u a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) .

4 . T o t h e e x t e n t t h a t t h e s e c o n d f a c t o r ( t h e s l o p e ) s e e m s t o p l a y a s m a l l r o l e i n p r i c i n g

i t i s p o s s i b l e t h a t t h e s l o p e f a c t o r m a y n o t b e i m p o r t a n t f o r h e d g i n g . T o e v a l u a t e t h i s ,

w e e m p l o y a o n e - f a c t o r M D E h e d g e u s i n g t h e T - n o t e f u t u r e s a n d G N M A a s a f u n c t i o n

o f o n l y t h e 1 0 - y e a r y i e l d .

T a b l e 4 c o m p a r e s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e f o u r h e d g e s f o r t h e 8 % ( T a b l e 4 A ) , 9 % ( T a b l e

4 B ) a n d 1 0 % G N M A s ( T a b l e 4 C ) o v e r t h e 1 9 9 0 t o 1 9 9 4 s a m p l e p e r i o d . C o n s i d e r r s t t h e

1 0 % G N M A . T h e u n h e d g e d G N M A r e t u r n h a s a v o l a t i l i t y o f 0 . 4 1 4 % ( 4 1 . 4 b a s i s p o i n t s ) o n

a w e e k l y b a s i s . T h e t w o - f a c t o r M D E h e d g e r e d u c e s t h e v o l a t i l i t y o f t h e p o r t f o l i o t o 2 6 . 1

b a s i s p o i n t s w e e k l y . I n c o n t r a s t , t h e o n e - f a c t o r M D E h e d g e , t h e r o l l - u p / r o l l - d o w n h e d g e a n d

l i n e a r h e d g e m a n a g e o n l y 3 0 . 0 , 2 9 . 4 a n d 3 4 . 9 b a s i s p o i n t s , r e s p e c t i v e l y . T h e 1 0 % G N M A

i s t h e m o s t i n - t h e - m o n e y i n t e r m s o f t h e r e n a n c i n g i n c e n t i v e , a n d i t i s c o m f o r t i n g t o n d

t h a t , i n t h e G N M A ' s m o s t n o n l i n e a r r e g i o n , t h e M D E a p p r o a c h w o r k s w e l l .

F i g u r e 8 i l l u s t r a t e s h o w t h e v o l a t i l i t y o f t h e h e d g e d a n d u n h e d g e d r e t u r n s m o v e t h r o u g h

t i m e . W h i l e t h e v o l a t i l i t y o f t h e u n h e d g e d r e t u r n s d e c l i n e s o v e r t i m e , t h i s p a t t e r n i s n o t

m a t c h e d b y t h e h e d g e d r e t u r n s . T o q u a n t i f y t h i s e v i d e n c e T a b l e 4 C b r e a k s u p t h e s a m p l e

i n t o f o u r s u b p e r i o d s : J a n u a r y 1 9 9 0 { F e b r u a r y 1 9 9 1 , M a r c h 1 9 9 1 { A p r i l 1 9 9 2 , M a y 1 9 9 2

{ J u n e 1 9 9 3 , a n d J u l y 1 9 9 3 { M a y 1 9 9 4 . T h e m o s t t e l l i n g f a c t i s t h a t t h e M D E a p p r o a c h

d o e s v e r y w e l l i n t h e l a s t s u b p e r i o d r e l a t i v e t o t h e o t h e r h e d g e s ( 1 9 . 2 v e r s u s 3 9 . 4 b a s i s

p o i n t s f o r t h e r o l l - u p / r o l l - d o w n a p p r o a c h ) . T h i s i s a p e r i o d i n w h i c h m a s s i v e p r e p a y m e n t s

o c c u r r e d i n t h e r s t p a r t o f t h e p e r i o d . D u e t o t h e s e p r e p a y m e n t s , 1 0 % G N M A s a r e m u c h

l e s s v o l a t i l e t h a n i n p r e v i o u s p e r i o d s . T h u s , t h e l i n e a r a n d r o l l - u p / r o l l - d o w n a p p r o a c h e s

t e n d e d t o o v e r h e d g e M B S , r e s u l t i n g i n l a r g e e x p o s u r e s t o i n t e r e s t r a t e r i s k s . T h i s m i g h t

e x p l a i n s o m e o f t h e l o s s e s s u e r e d b y W a l l S t r e e t d u r i n g t h i s p e r i o d .

O n t h e o t h e r h a n d , t h e M D E a p p r o a c h d o e s n o t f a r e a s w e l l i n t h e r s t t w o s u b p e r i o d s .

F o r e x a m p l e , t h e o n e - a n d t w o - f a c t o r h e d g e s h a v e 3 8 . 8 a n d 2 9 . 6 b a s i s p o i n t s o f v o l a t i l i t y

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s t r u c t u r e s l o p e p l a y s a r o l e i n p r i c i n g a s t h e m o n e y n e s s o f t h e p r e p a y m e n t o p t i o n c h a n g e s

t h r o u g h t i m e . T h e s u b p e r i o d a n a l y s i s c o n r m s t h e i n t u i t i o n b a s e d o n o u r n d i n g s f o r t h e 1 0 %

G N M A s . W h i l e t h e r e l a t i v e h e d g i n g p e r f o r m a n c e o f t h e v a r i o u s a p p r o a c h e s i s s t i l l r e l a t e d t o

t h e s u b p e r i o d s , i t i s l e s s p r e v a l e n t f o r t h e l o w e r c o u p o n G N M A s . T h e M D E a p p r o a c h f a r e s

r e l a t i v e l y b e s t i n p e r i o d s w i t h s u b s t a n t i a l n o n l i n e a r i t i e s , e . g . , t h e 1 0 % G N M A s d u r i n g J u l y

1 9 9 3 t o M a y 1 9 9 4 . T h e l a r g e p r e p a y m e n t s w h i c h i n d u c e d 1 0 % G N M A p r i c e s t o f a l l ( c e t e r i s

p a r i b u s ) d i d n o t o c c u r f o r t h e 8 % G N M A s . A f t e r a l l , t h e 8 % G N M A s a r e b a c k e d b y 8 . 5 %

m o r t g a g e s , a n d t h e l o w e s t 3 0 - y e a r x e d - r a t e m o r t g a g e o n l y b r i e y d r o p p e d b e l o w 7 % .

O f p a r t i c u l a r i n t e r e s t , b o t h t h e M D E a p p r o a c h a n d t h e r o l l - u p / r o l l - d o w n h e d g e s s u b -

s t a n t i a l l y r e d u c e t h e i n t e r e s t r a t e e x p o s u r e o f t h e i r 8 % a n d 9 % G N M A h e d g e p o r t f o l i o s .

F o r e x a m p l e , f o r t h e 8 % ( 9 % ) G N M A , t h e u n h e d g e d G N M A h a s 5 9 . 0 ( 4 1 . 1 ) b a s i s p o i n t o f

v o l a t i l i t y d u e t o t h e i n t e r e s t r a t e f a c t o r s , w h i l e t h e M D E a n d r o l l - u p / r o l l - d o w n a p p r o a c h e s

h a v e o n l y 4 . 3 ( 3 . 9 ) a n d 6 . 8 ( 1 . 2 ) b a s i s p o i n t s r e s p e c t i v e l y .

6 C o n c l u s i o n

T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a n o n - p a r a m e t r i c m o d e l f o r p r i c i n g m o r t g a g e - b a c k e d s e c u r i t i e s a n d

h e d g i n g t h e i r i n t e r e s t r a t e r i s k e x p o s u r e s . I n s t e a d o f p o s t u l a t i n g a n d e s t i m a t i n g p a r a m e t r i c

m o d e l s f o r b o t h i n t e r e s t r a t e m o v e m e n t s a n d p r e p a y m e n t s , a s i n p r e v i o u s a p p r o a c h e s t o

m o r t g a g e - b a c k e d s e c u r i t y v a l u a t i o n , w e d i r e c t l y e s t i m a t e t h e f u n c t i o n a l r e l a t i o n b e t w e e n

m o r t g a g e - b a c k e d s e c u r i t y p r i c e s a n d t h e l e v e l o f e c o n o m i c f u n d a m e n t a l s . T h i s a p p r o a c h

c a n y i e l d c o n s i s t e n t e s t i m a t e s w i t h o u t t h e n e e d t o m a k e t h e s t r o n g a s s u m p t i o n s a b o u t t h e

p r o c e s s e s g o v e r n i n g i n t e r e s t r a t e s a n d p r e p a y m e n t s r e q u i r e d b y p r e v i o u s a p p r o a c h e s .

W e i m p l e m e n t t h e m o d e l w i t h G N M A M B S w i t h v a r i o u s c o u p o n s . W e n d t h a t M B S

p r i c e s c a n b e w e l l d e s c r i b e d a s a f u n c t i o n o f t h e l e v e l o f i n t e r e s t r a t e s a n d t h e s l o p e o f t h e t e r m

s t r u c t u r e . A s i n g l e i n t e r e s t r a t e f a c t o r , a s u s e d i n m o s t p r e v i o u s m o r t g a g e v a l u a t i o n m o d e l s ,

i s i n s u c i e n t . T h e r e l a t i o n b e t w e e n p r i c e s a n d i n t e r e s t r a t e s d i s p l a y s t h e u s u a l s t y l i z e d

f a c t s , s u c h a s n e g a t i v e c o n v e x i t y i n c e r t a i n r e g i o n s , a n d a n a r r o w i n g o f p r i c e d i e r e n t i a l s

a s i n t e r e s t r a t e s f a l l . M o s t i n t e r e s t i n g , t h e t e r m s t r u c t u r e s l o p e p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n

v a l u i n g M B S v i a i t s r e l a t i o n t o t h e i n t e r e s t r a t e l e v e l a n d t h e r e n a n c i n g i n c e n t i v e a s s o c i a t e d

w i t h a p a r t i c u l a r M B S . W e a l s o n d t h a t t h e i n t e r e s t r a t e h e d g e e s t a b l i s h e d b a s e d o n o u r

m o d e l c o m p a r e s f a v o r a b l y w i t h e x i s t i n g m e t h o d s .

O n a m o r e g e n e r a l n o t e , t h e M D E p r o c e d u r e w i l l w o r k w e l l ( i n a r e l a t i v e s e n s e ) u n d e r t h e

f o l l o w i n g t h r e e c o n d i t i o n s . F i r s t , s i n c e d e n s i t y e s t i m a t i o n i s d a t a i n t e n s i v e , t h e r e s e a r c h e r

2 1

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e i t h e r n e e d s a l a r g e d a t a s a m p l e o r a n e s t i m a t i o n p r o b l e m i n w h i c h t h e r e i s l i t t l e d i s t u r b a n c e

e r r o r i n t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e v a r i a b l e s . S e c o n d , t h e p r o b l e m s h o u l d b e d e s c r i b e d b y a

r e l a t i v e l o w d i m e n s i o n a l s y s t e m , s i n c e M D E ' s p r o p e r t i e s d e t e r i o r a t e q u i c k l y w h e n v a r i a b l e s

a r e a d d e d t o t h e e s t i m a t i o n . T h i r d , a n d e s p e c i a l l y r e l e v a n t f o r c o m p a r i s o n a c r o s s m e t h o d s ,

M D E w i l l w o r k r e l a t i v e l y w e l l f o r h i g h l y n o n l i n e a r f r a m e w o r k s . A s i t h a p p e n s , t h e s e f e a t u r e s

a l s o d e s c r i b e d e r i v a t i v e p r i c i n g . H e n c e , w h i l e t h e r e s u l t s w e o b t a i n h e r e f o r G N M A s a r e

e n c o u r a g i n g , i t i s l i k e l y t h a t t h e M D E a p p r o a c h w o u l d f a r e w e l l f o r m o r e c o m p l e x d e r i v a t i v e

s e c u r i t i e s . T h o u g h t h e T B A m a r k e t i s e s p e c i a l l y s u i t e d f o r M D E a n a l y s i s d u e t o i t s r e d u c t i o n

o f t h e m a t u r i t y e e c t o n b o n d s , i t m a y b e w o r t h w h i l e i n v e s t i g a t i n g t h e p r i c i n g o f i n t e r e s t o n l y

( I O ) a n d p r i n c i p a l o n l y ( P O ) s t r i p s , a n d c o l l a t e r a l i z e d m o r t g a g e o b l i g a t i o n s ( C M O s ) . S i n c e

t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e p r i c e s o f t h e s e s e c u r i t i e s a n d i n t e r e s t r a t e s i s m o r e h i g h l y n o n l i n e a r

t h a n t h a t o f a G N M A , a m u l t i f a c t o r a n a l y s i s m i g h t s h e d l i g h t o n t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n

v a r i o u s i n t e r e s t r a t e f a c t o r s a n d t h e u n d e r l y i n g p r i c e s . T h e a d v a n t a g e o f t h e M D E a p p r o a c h

i s i t s a b i l i t y t o c a p t u r e a r b i t r a r y n o n l i n e a r r e l a t i o n s b e t w e e n v a r i a b l e s , m a k i n g i t i d e a l l y

s u i t e d t o c a p t u r i n g t h e e x t r e m e c o n v e x i t y e x h i b i t e d b y m a n y d e r i v a t i v e m o r t g a g e - b a c k e d

s e c u r i t i e s .

2 2

8/14/2019 mbsbook


T A B L E 1 : S U M M A R Y S T A T I S T I C S

T a b l e 1 A { G N M A P r i c e s

C o u p o n

7 . 5 % 8 . 0 % 8 . 5 % 9 . 0 % 9 . 5 % 1 0 . 0 % 1 0 . 5 %

M e a n 9 3 . 1 3 2 9 5 . 5 7 8 9 7 . 8 7 6 1 0 0 . 0 8 4 1 0 2 . 2 0 4 1 0 4 . 3 4 7 1 0 6 . 3 3 1

M a x . 1 0 5 . 1 5 6 1 0 6 . 5 6 3 1 0 7 . 5 0 0 1 0 8 . 2 8 1 1 0 9 . 4 6 9 1 1 0 . 9 3 8 1 1 2 . 7 1 9

M i n . 7 8 . 3 7 5 8 1 . 6 2 5 8 3 . 6 5 6 8 6 . 5 3 1 8 9 . 5 3 1 9 2 . 6 8 8 9 5 . 7 5 0

V o l . 6 . 5 5 9 6 . 2 8 7 5 . 8 3 1 5 . 2 6 0 4 . 7 2 2 4 . 2 9 4 3 . 9 7 8

C o r r e l a t i o n s

7 . 5 % 8 . 0 % 8 . 5 % 9 . 0 % 9 . 5 % 1 0 . 0 % 1 0 . 5 %

7 . 5 % 1 . 0 0 0 0 . 9 9 8 0 . 9 9 3 0 . 9 8 6 0 . 9 8 1 0 . 9 8 3 0 . 9 7 7

8 . 0 % 0 . 9 9 8 1 . 0 0 0 0 . 9 9 7 0 . 9 9 2 0 . 9 8 7 0 . 9 8 7 0 . 9 7 9

8 . 5 % 0 . 9 9 3 0 . 9 9 7 1 . 0 0 0 0 . 9 9 8 0 . 9 9 5 0 . 9 9 3 0 . 9 8 2

9 . 0 % 0 . 9 8 6 0 . 9 9 2 0 . 9 9 8 1 . 0 0 0 0 . 9 9 9 0 . 9 9 5 0 . 9 8 3

9 . 5 % 0 . 9 8 1 0 . 9 8 7 0 . 9 9 5 0 . 9 9 9 1 . 0 0 0 0 . 9 9 7 0 . 9 8 5

1 0 . 0 % 0 . 9 8 3 0 . 9 8 7 0 . 9 9 3 0 . 9 9 5 0 . 9 9 7 1 . 0 0 0 0 . 9 9 4

1 0 . 5 % 0 . 9 7 7 0 . 9 7 9 0 . 9 8 2 0 . 9 8 3 0 . 9 8 5 0 . 9 9 4 1 . 0 0 0

T a b l e 1 B { I n t e r e s t R a t e s

L o n g R a t e S p r e a d M o r t g a g e R a t e

M e a n 7 . 7 7 9 2 . 1 1 9 9 . 3 3 7

M a x . 1 0 . 2 3 0 3 . 8 4 0 1 1 . 5 8 0

M i n . 5 . 1 7 0 - 0 . 1 9 0 6 . 7 4 0

V o l . 1 . 1 2 3 1 . 1 0 1 1 . 2 0 6

C o r r e l a t i o n s

L o n g R a t e S p r e a d M o r t g a g e R a t e

L o n g R a t e 1 . 0 0 0 - 0 . 4 5 0 0 . 9 8 0

S p r e a d - 0 . 4 5 0 1 . 0 0 0 - 0 . 5 1 8

M o r t g a g e R a t e 0 . 9 8 0 - 0 . 5 1 8 1 . 0 0 0

S u m m a r y s t a t i s t i c s f o r p r i c e s o f T B A c o n t r a c t s o n 7 . 5 % t o 1 0 . 5 % G N M A s , t h e l o n g r a t e

( 1 0 - y e a r ) , t h e s p r e a d ( 1 0 - y e a r m i n u s 3 - m o n t h ) , a n d t h e a v e r a g e m o r t g a g e r a t e . A l l d a t a

a r e w e e k l y f r o m J a n u a r y 1 9 8 7 t h r o u g h M a y 1 9 9 4 . I n t e r e s t r a t e s a r e i n p e r c e n t p e r y e a r .

2 3

8/14/2019 mbsbook


T A B L E 2 : 1 - F A C T O R G N M A P R I C I N G

T a b l e 2 A { P r i c i n g E r r o r s

C o u p o n

7 . 5 % 8 . 0 % 8 . 5 % 9 . 0 % 9 . 5 % 1 0 . 0 % 1 0 . 5 %

M e a n 0 . 0 0 3 0 . 0 0 6 0 . 0 0 7 0 . 0 1 0 0 . 0 1 0 0 . 0 1 0 0 . 0 0 9

M e a n A b s . 0 . 5 2 9 0 . 6 0 5 0 . 6 4 9 0 . 6 7 9 0 . 6 6 0 0 . 5 9 7 0 . 6 6 6

V o l . 0 . 7 0 3 0 . 7 4 7 0 . 8 0 0 0 . 8 3 2 0 . 8 2 4 0 . 7 6 7 0 . 8 4 1

A u t o c o r r . 0 . 8 6 1 0 . 8 9 8 0 . 9 1 8 0 . 9 2 7 0 . 9 2 1 0 . 9 1 7 0 . 9 1 6

T a b l e 2 B { P r i c i n g E r r o r R e g r e s s i o n A n a l y s i s

C o u p o n

7 . 5 % 8 . 0 % 8 . 5 % 9 . 0 % 9 . 5 % 1 0 . 0 % 1 0 . 5 %

C o n s t . 3 . 2 2 6 3 . 6 1 3 3 . 8 8 7 3 . 8 5 7 3 . 7 2 1 3 . 2 4 9 2 . 7 5 5

( 3 . 1 9 0 ) ( 3 . 4 1 3 ) ( 4 . 1 3 3 ) ( 4 . 4 1 9 ) ( 4 . 4 0 2 ) ( 4 . 0 2 8 ) ( 4 . 3 2 0 )

L o n g R a t e - 0 . 9 6 3 - 1 . 0 6 2 - 1 . 1 3 0 - 1 . 1 1 7 - 1 . 0 7 4 - 0 . 9 4 2 - 0 . 8 0 5

( 0 . 8 8 7 ) ( 0 . 9 4 1 ) ( 1 . 1 3 5 ) ( 1 . 2 1 6 ) ( 1 . 2 1 0 ) ( 1 . 1 1 9 ) ( 1 . 2 1 6 )

( L o n g R a t e )

2

0 . 0 6 9 0 . 0 7 5 0 . 0 8 0 0 . 0 7 8 0 . 0 7 5 0 . 0 6 6 0 . 0 5 7

( 0 . 0 5 9 ) ( 0 . 0 6 3 ) ( 0 . 0 7 5 ) ( 0 . 0 8 1 ) ( 0 . 0 8 0 ) ( 0 . 0 7 5 ) ( 0 . 0 8 2 )

R

2

0 . 0 2 8 0 . 0 2 6 0 . 0 2 3 0 . 0 2 0 0 . 0 1 8 0 . 0 1 7 0 . 0 1 1

J o i n t T e s t 2 . 7 9 5 2 . 1 5 7 1 . 7 0 9 1 . 4 4 1 1 . 3 2 7 1 . 2 2 8 0 . 7 0 7

p - v a l u e 0 . 2 4 7 0 . 3 4 0 0 . 4 2 6 0 . 4 8 7 0 . 5 1 5 0 . 5 4 1 0 . 7 0 2

A C ( e ) 0 . 8 5 3 0 . 8 9 1 0 . 9 1 3 0 . 9 2 3 0 . 9 1 6 0 . 9 1 2 0 . 9 1 4

C o n s t . 0 . 4 9 1 0 . 2 3 6 0 . 4 1 1 0 . 6 0 7 0 . 8 8 7 1 . 1 3 7 1 . 4 9 4

( 0 . 1 4 8 ) ( 0 . 1 9 4 ) ( 0 . 2 1 2 ) ( 0 . 2 1 1 ) ( 0 . 1 9 4 ) ( 0 . 1 6 5 ) ( 0 . 1 3 5 )

S p r e a d - 0 . 6 7 3 - 0 . 3 7 3 - 0 . 4 4 6 - 0 . 6 0 5 - 0 . 9 4 8 - 1 . 2 3 4 - 1 . 5 8 2

( 0 . 2 7 5 ) ( 0 . 3 3 0 ) ( 0 . 3 6 5 ) ( 0 . 3 7 4 ) ( 0 . 3 4 2 ) ( 0 . 2 8 6 ) ( 0 . 2 6 1 )

( S p r e a d )

2

0 . 1 6 5 0 . 0 9 8 0 . 0 9 5 0 . 1 2 0 0 . 1 9 9 0 . 2 6 1 0 . 3 2 8

( 0 . 0 7 4 ) ( 0 . 0 9 0 ) ( 0 . 1 0 1 ) ( 0 . 1 0 3 ) ( 0 . 0 9 4 ) ( 0 . 0 7 9 ) ( 0 . 0 7 2 )

R

2

0 . 0 7 2 0 . 0 2 0 0 . 0 3 3 0 . 0 6 8 0 . 1 4 5 0 . 2 7 6 0 . 4 0 1

J o i n t T e s t 6 . 4 8 0 1 . 2 8 1 2 . 6 0 8 5 . 9 1 6 1 4 . 1 0 2 3 4 . 8 9 9 7 9 . 1 9 5

p - v a l u e 0 . 0 3 9 0 . 5 2 7 0 . 2 7 1 0 . 0 5 2 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0

A C ( e ) 0 . 8 4 8 0 . 8 9 5 0 . 9 1 4 0 . 9 2 0 0 . 9 0 4 0 . 8 7 7 0 . 8 4 7

S u m m a r y s t a t i s t i c s a n d r e g r e s s i o n a n a l y s i s f o r t h e p r i c i n g e r r o r s f r o m a 1 - f a c t o r ( l o n g r a t e )

M D E G N M A p r i c i n g m o d e l . T h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s i n v o l v e s r e g r e s s i n g t h e p r i c i n g e r r o r s o n

l i n e a r a n d s q u a r e d e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s . H e t e r o s c e d a s t i c i t y a n d a u t o c o r r e l a t i o n c o n s i s t e n t

s t a n d a r d e r r o r s a r e r e p o r t e d i n p a r e n t h e s e s b e l o w t h e c o r r e s p o n d i n g r e g r e s s i o n c o e c i e n t .

A C ( e ) i s t h e a u t o c o r r e l a t i o n o f t h e r e s i d u a l s f r o m t h e r e g r e s s i o n .

2 4

8/14/2019 mbsbook


T A B L E 3 : 2 - F A C T O R G N M A P R I C I N G

T a b l e 3 A { P r i c i n g E r r o r s

C o u p o n

7 . 5 % 8 . 0 % 8 . 5 % 9 . 0 % 9 . 5 % 1 0 . 0 % 1 0 . 5 %

M e a n 0 . 0 1 8 0 . 0 2 0 0 . 0 2 2 0 . 0 2 3 0 . 0 2 5 0 . 0 2 3 0 . 0 1 8

M e a n A b s . 0 . 5 0 3 0 . 4 8 9 0 . 4 9 9 0 . 4 9 4 0 . 4 8 3 0 . 4 1 2 0 . 3 9 6

V o l . 0 . 6 4 6 0 . 6 1 6 0 . 6 2 7 0 . 6 2 3 0 . 6 1 3 0 . 5 3 2 0 . 5 2 3

A u t o c o r r . 0 . 8 3 2 0 . 8 4 3 0 . 8 5 9 0 . 8 6 9 0 . 8 6 4 0 . 8 4 0 0 . 8 1 9

T a b l e 3 B { P r i c i n g E r r o r R e g r e s s i o n A n a l y s i s

C o u p o n

7 . 5 % 8 . 0 % 8 . 5 % 9 . 0 % 9 . 5 % 1 0 . 0 % 1 0 . 5 %

C o n s t . 3 . 4 7 0 3 . 9 2 4 4 . 1 9 3 4 . 1 8 8 4 . 0 8 8 3 . 5 5 9 3 . 0 0 2

( 2 . 7 5 1 ) ( 2 . 7 8 4 ) ( 3 . 1 1 2 ) ( 3 . 0 6 4 ) ( 2 . 9 2 4 ) ( 2 . 2 2 8 ) ( 1 . 8 7 5 )

L o n g R a t e - 1 . 0 3 6 - 1 . 1 5 0 - 1 . 2 1 5 - 1 . 2 0 7 - 1 . 1 7 6 - 1 . 0 3 0 - 0 . 8 7 8

( 0 . 7 6 3 ) ( 0 . 7 5 4 ) ( 0 . 8 3 0 ) ( 0 . 8 1 4 ) ( 0 . 7 8 0 ) ( 0 . 6 0 5 ) ( 0 . 5 2 6 )

( L o n g R a t e )

2

0 . 0 7 5 0 . 0 8 2 0 . 0 8 5 0 . 0 8 5 0 . 0 8 2 0 . 0 7 2 0 . 0 6 2

( 0 . 0 5 1 ) ( 0 . 0 4 9 ) ( 0 . 0 5 4 ) ( 0 . 0 5 3 ) ( 0 . 0 5 1 ) ( 0 . 0 4 0 ) ( 0 . 0 3 6 )

R

2

0 . 0 4 1 0 . 0 4 5 0 . 0 4 3 0 . 0 4 0 0 . 0 3 9 0 . 0 4 2 0 . 0 3 6

J o i n t T e s t 4 . 7 7 5 5 . 8 4 6 5 . 1 8 5 5 . 0 5 9 4 . 6 0 8 5 . 3 3 2 3 . 7 9 2

p - v a l u e 0 . 0 9 2 0 . 0 5 4 0 . 0 7 5 0 . 0 8 0 0 . 1 0 0 0 . 0 7 0 0 . 1 5 0

A C ( e ) 0 . 8 2 5 0 . 8 3 4 0 . 8 5 2 0 . 8 6 5 0 . 8 5 6 0 . 8 3 3 0 . 8 1 4

C o n s t . 0 . 1 2 4 0 . 0 9 6 0 . 0 8 2 0 . 0 9 3 0 . 1 1 7 0 . 1 5 1 0 . 2 1 0

( 0 . 2 0 0 ) ( 0 . 1 8 2 ) ( 0 . 1 7 5 ) ( 0 . 1 7 1 ) ( 0 . 1 7 8 ) ( 0 . 1 7 1 ) ( 0 . 1 5 1 )

S p r e a d - 0 . 2 0 3 - 0 . 1 5 8 - 0 . 1 0 5 - 0 . 1 0 5 - 0 . 1 2 6 - 0 . 1 8 3 - 0 . 3 0 8

( 0 . 2 7 9 ) ( 0 . 2 6 5 ) ( 0 . 2 6 5 ) ( 0 . 2 5 5 ) ( 0 . 2 4 3 ) ( 0 . 2 1 0 ) ( 0 . 1 7 7 )

( S p r e a d )

2

0 . 0 5 7 0 . 0 4 5 0 . 0 2 8 0 . 0 2 7 0 . 0 3 1 0 . 0 4 6 0 . 0 8 1

( 0 . 0 7 2 ) ( 0 . 0 6 8 ) ( 0 . 0 6 9 ) ( 0 . 0 6 5 ) ( 0 . 0 6 1 ) ( 0 . 0 5 2 ) ( 0 . 0 4 3 )

R

2

0 . 0 0 9 0 . 0 0 6 0 . 0 0 2 0 . 0 0 2 0 . 0 0 3 0 . 0 0 9 0 . 0 2 7

J o i n t T e s t 0 . 6 6 5 0 . 4 8 6 0 . 1 7 2 0 . 1 7 3 0 . 2 7 0 0 . 7 7 7 3 . 4 7 4

p - v a l u e 0 . 7 1 7 0 . 7 8 4 0 . 9 1 7 0 . 9 1 7 0 . 8 7 4 0 . 6 7 8 0 . 1 7 6

A C ( e ) 0 . 8 3 0 0 . 8 4 1 0 . 8 5 7 0 . 8 6 8 0 . 8 6 2 0 . 8 3 6 0 . 8 0 9

S u m m a r y s t a t i s t i c s a n d r e g r e s s i o n a n a l y s i s f o r t h e p r i c i n g e r r o r s f r o m a 2 - f a c t o r ( l o n g r a t e ,

s p r e a d ) M D E G N M A p r i c i n g m o d e l . T h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s i n v o l v e s r e g r e s s i n g t h e p r i c i n g

e r r o r s o n l i n e a r a n d s q u a r e d e x p l a n a t o r y v a r i a b l e s . H e t e r o s c e d a s t i c i t y a n d a u t o c o r r e l a t i o n

c o n s i s t e n t s t a n d a r d e r r o r s a r e r e p o r t e d i n p a r e n t h e s e s b e l o w t h e c o r r e s p o n d i n g r e g r e s s i o n

c o e c i e n t . A C ( e ) i s t h e a u t o c o r r e l a t i o n o f t h e r e s i d u a l s f r o m t h e r e g r e s s i o n .

2 5

8/14/2019 mbsbook


T A B L E 4 : H E D G I N G R E S U L T S

T a b l e 4 A { 8 % G N M A

R o l l - U p M D E

P e r i o d G N M A L i n e a r R o l l - D o w n 1 - f c t r 2 - f c t r

1 / 9 0 - 5 / 9 4 6 8 . 3 3 5 . 0 2 7 . 6 3 0 . 0 2 9 . 4

1 / 9 0 - 2 / 9 1 8 5 . 5 2 6 . 9 2 7 . 6 2 7 . 8 3 0 . 1

3 / 9 1 - 4 / 9 2 7 2 . 2 3 0 . 5 3 1 . 7 3 4 . 8 3 2 . 1

5 / 9 2 - 6 / 9 3 6 1 . 3 3 7 . 7 2 5 . 9 2 9 . 3 2 7 . 8

7 / 9 3 - 5 / 9 4 4 5 . 5 4 3 . 2 2 4 . 8 2 6 . 9 2 7 . 2

r

l

; ( r

l

r

s

)

5 9 . 0 1 5 . 0 6 . 8 6 . 1 4 . 3

r

l

5 9 . 0 1 5 . 0 6 . 8 6 . 1 4 . 2

T a b l e 4 B { 9 % G N M A

M D E

P e r i o d G N M A L i n e a r B r e e d e n 1 - f c t r 2 - f c t r

1 / 9 0 - 5 / 9 4 5 3 . 0 3 6 . 8 2 4 . 6 2 9 . 3 2 5 . 6

1 / 9 0 - 2 / 9 1 7 3 . 9 2 4 . 3 2 3 . 5 2 6 . 0 2 7 . 2

3 / 9 1 - 4 / 9 2 5 5 . 2 3 2 . 3 2 5 . 8 3 8 . 1 2 8 . 2

5 / 9 2 - 6 / 9 3 4 3 . 8 4 6 . 4 2 5 . 3 2 9 . 3 2 5 . 3

7 / 9 3 - 5 / 9 4 2 3 . 8 3 9 . 6 2 3 . 7 1 9 . 7 2 0 . 8

r

l

; ( r

l

r

s

)

4 1 . 1 1 8 . 7 1 . 2 5 . 5 3 . 9

r

l

4 1 . 1 1 8 . 6 0 . 7 5 . 3 0 . 1

T a b l e 4 C { 1 0 % G N M A

M D E

P e r i o d G N M A L i n e a r B r e e d e n 1 - f c t r 2 - f c t r

1 / 9 0 - 5 / 9 4 4 1 . 4 3 4 . 9 2 9 . 4 3 0 . 0 2 6 . 1

1 / 9 0 - 2 / 9 1 5 8 . 2 2 4 . 0 2 2 . 3 2 7 . 6 2 7 . 8

3 / 9 1 - 4 / 9 2 4 8 . 1 3 3 . 8 2 6 . 4 3 8 . 8 2 9 . 6

5 / 9 2 - 6 / 9 3 3 4 . 8 4 4 . 6 2 9 . 2 2 9 . 5 2 7 . 8

7 / 9 3 - 5 / 9 4 2 0 . 3 3 2 . 2 3 9 . 4 1 8 . 8 1 9 . 2

r

l

; ( r

l

r

s

)

2 8 . 6 1 6 . 4 1 1 . 3 5 . 9 5 . 4

r

l

2 8 . 6 1 6 . 4 1 1 . 3 5 . 7 1 . 4

R e s u l t s o f h e d g i n g t h e 8 % , 9 % a n d 1 0 % G N M A s w i t h v a r i o u s m e t h o d s . E a c h m e t h o d ' s h e d g e r a t i o s

a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e p a s t 1 5 0 w e e k s , f o r t h e n e x t w e e k . H e n c e t h e h e d g i n g p e r i o d i s J a n u a r y

1 9 9 0 t h r o u g h M a y 1 9 9 4 . T h e m e t h o d s a r e ( i ) G N M A { t h e t o t a l v o l a t i l i t y o f a n o p e n p o s i t i o n ( n o

h e d g i n g ) , i n b a s i s p o i n t s , ( i i ) l i n e a r { h e d g i n g v i a l i n e a r r e g r e s s i o n o n T - n o t e f u t u r e s r e t u r n s , ( i i i )

r o l l - u p / r o l l - d o w n { a m e t h o d w h i c h i n f e r s h e d g e r a t i o s f r o m c o n t e m p o r a n e o u s m a r k e t p r i c e s o f n e a r

c o u p o n M B S , ( i v ) M D E { h e d g e r a t i o s d e t e r m i n e d v i a a o n e f a c t o r ( l o n g r a t e o n l y ) a n d t w o f a c t o r

( l o n g r a t e a n d s p r e a d ) m o d e l s , t r a d i n g i n T - n o t e f u t u r e s a n d T - b i l l s i n t h e c o r r e s p o n d i n g h e d g e

r a t i o s . T h e l a s t t w o r o w s p r o v i d e a m e a s u r e o f t h e q u a n t i t y o f i n t e r e s t r a t e r i s k ( t w o f a c t o r r i s k o r

o n e f a c t o r r i s k ) , w h i c h r e m a i n s u s i n g e a c h m e t h o d ' s h e d g i n g r e s u l t s . I n a l l c a s e s t h e n u m b e r s i n t h e

t a b l e s r e p r e s e n t t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f w e e k l y r e t u r n s i n b a s i s p o i n t s .

2 6

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F i g u r e 1 : T h e y i e l d o n t h e \ o n - t h e - r u n " 1 0 - y e a r T r e a s u r y n o t e a n d t h e a v e r a g e 3 0 - y e a r

m o r t g a g e r a t e , f r o m J a n u a r y 1 9 8 7 t o M a y 1 9 9 4 .

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F i g u r e 3 : O b s e r v e d w e e k l y p r i c e s a n d e s t i m a t e d p r i c e s f r o m a 1 - f a c t o r ( l o n g r a t e ) M D E

m o d e l f o r a 9 % G N M A f o r t h e p e r i o d J a n u a r y 1 9 8 7 t o M a y 1 9 9 4 .

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F i g u r e 4 : T h e p r i c e o f a 9 % G N M A a s a f u n c t i o n o f t h e p r i c i n g f a c t o r s : t h e l o n g r a t e a n d

t h e s p r e a d . T h e p r i c i n g f u n c t i o n a l i s e s t i m a t e d u s i n g t h e M D E a p p r o a c h a n d w e e k l y d a t a

f r o m J a n u a r y 1 9 8 7 t o M a y 1 9 9 4 .

3 0

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F i g u r e 6 : P r i c e s o f 8 % , 9 % a n d 1 0 % G N M A s f o r v a r i o u s i n t e r e s t r a t e s , w i t h t h e s p r e a d

x e d a t 2 . 7 0 % , a s e s t i m a t e d v i a t h e M D E a p p r o a c h u s i n g w e e k l y d a t a f r o m J a n u a r y 1 9 8 7

t o M a y 1 9 9 4 .

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F i g u r e 7 : P r i c e s o f 8 % , 9 % a n d 1 0 % G N M A s f o r v a r i o u s i n t e r e s t r a t e s , w i t h t h e s p r e a d x e d

a t 2 . 7 0 % a n d 0 . 3 0 % , a s e s t i m a t e d v i a t h e M D E a p p r o a c h u s i n g w e e k l y d a t a f r o m J a n u a r y

1 9 8 7 t o M a y 1 9 9 4 .

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F i g u r e 9 : R e s u l t s f r o m h e d g i n g t h e 1 0 % G N M A u s i n g a r o l l i n g r e g r e s s i o n m e t h o d , w h e r e

\ L i n e a r " i s h e d g i n g v i a l i n e a r r e g r e s s i o n o f r e t u r n s o n T - n o t e f u t u r e s , \ R o l l - U p / R o l l - D o w n "

i n f e r s h e d g e r a t i o f r o m m a r k e t p r i c e s o f n e a r c o u p o n M B S , a n d \ 2 F a c t o r M D E " u s e s t h e

t w o f a c t o r M D E a p p r o a c h .

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R e f e r e n c e s

1 ] A i t - S a h a l i a , Y . , 1 9 9 6 , \ N o n p a r a m e t r i c P r i c i n g o f I n t e r e s t R a t e D e r i v a t i v e S e c u r i t i e s , " E c o n o -

m e t r i c a , 6 4 , 5 2 7 - 5 6 0 .

2 ] B a r t l e t t , W . W . , 1 9 8 9 , M o r t g a g e - B a c k e d S e c u r i t i e s : P r o d u c t s , A n a l y s i s , T r a d i n g , N e w Y o r k

I n s t i t u t e o f F i n a n c e .

3 ] B o u d o u k h , J . , M . R i c h a r d s o n , R . S t a n t o n , a n d R . F . W h i t e l a w , 1 9 9 5 , \ A N e w S t r a t e g y f o r

D y n a m i c a l l y H e d g i n g M o r t g a g e - B a c k e d S e c u r i t i e s , " J o u r n a l o f D e r i v a t i v e s , 2 , 6 0 - 7 7 .

4 ] B o u d o u k h , J . , M . R i c h a r d s o n , R . S t a n t o n , a n d R . F . W h i t e l a w , 1 9 9 7 , \ P r i c i n g M o r t g a g e -

B a c k e d S e c u r i t i e s i n a M u l t i f a c t o r I n t e r e s t R a t e E n v i r o n m e n t : A M u l t i v a r i a t e D e n s i t y E s t i -

m a t i o n A p p r o a c h , " R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , 1 0 , 4 0 5 - 4 4 6 .

5 ] B r e e d e n , D . T . , 1 9 9 1 , \ R i s k , R e t u r n a n d H e d g i n g o f F i x e d R a t e M o r t g a g e s , " J o u r n a l o f F i x e d

I n c o m e , 1 , 8 5 - 1 0 7 .

6 ] E p a n e c h n i k o v , V . , 1 9 6 9 , \ N o n p a r a m e t r i c E s t i m a t e s o f M u l t i v a r i a t e P r o b a b i l i t y D e n s i t y , " T h e -

o r y o f P r o b a b i l i t y a n d A p p l i c a t i o n s , 1 4 , 1 5 3 - 1 5 8 .

7 ] H a r v e y , C . , 1 9 9 1 , \ T h e S p e c i c a t i o n o f C o n d i t i o n a l E x p e c t a t i o n s , " w o r k i n g p a p e r , F u q u a

S c h o o l o f B u s i n e s s .

8 ] H u t c h i n s o n , J . M . , A . W . L o , a n d T . P o g g i o , 1 9 9 4 , \ A N o n p a r a m e t r i c A p p r o a c h t o P r i c i n g

a n d H e d g i n g D e r i v a t i v e S e c u r i t i e s V i a L e a r n i n g N e t w o r k s , " J o u r n a l o f F i n a n c e , 4 9 , 8 5 1 - 8 8 9 .

9 ] P a g a n , A . , a n d Y . S . H o n g , 1 9 9 1 , \ N o n - P a r a m e t r i c E s t i m a t i o n a n d t h e R i s k P r e m i u m , " i n

W . B a r n e t t , J . P o w e l l a n d G . T a u c h e n ( e d s ) , S e m i p a r a m e t r i c a n d N o n p a r a m e t r i c M e t h o d s i n

E c o n o m e t r i c s a n d S t a t i s t i c s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e .

1 0 ] R i c h a r d , S . F . , a n d R . R o l l , 1 9 8 9 , \ P r e p a y m e n t s o n F i x e d - R a t e M o r t g a g e - B a c k e d S e c u r i t i e s , "

J o u r n a l o f P o r t f o l i o M a n a g e m e n t , 1 5 , 7 4 - 8 2 .

1 1 ] S c h w a r t z , E . S . , a n d W . N . T o r o u s , 1 9 8 9 , \ P r e p a y m e n t a n d t h e V a l u a t i o n o f M o r t g a g e - B a c k e d

S e c u r i t i e s , " J o u r n a l o f F i n a n c e , 4 4 , 3 7 5 - 3 9 2 .

1 2 ] S c o t t , D . W . , 1 9 9 2 , M u l t i v a r i a t e D e n s i t y E s t i m a t i o n : T h e o r y , P r a c t i c e a n d V i s u a l i z a t i o n ,

J o h n W i l e y & S o n s , I n c .

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