Material de Estudio Para Matemáticas II integrales.pdf

7/25/2019 Material de Estudio Para Matemticas II integrales.pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE ELECTROTECNIA Y COMPUTACIN

MATERIAL DE ESTUDIO PARA LA ASIGNATURAMATEMTICAS II DE LA CARRERA DE INGENIERA EN

COMPUTACIN UTILIZANDO EL SOFTWARE MATLAB 6.5

TRABAJO MONOGRFICO PARA OPTAR AL TTULO DEINGENIERO EN COMPUTACIN

AUTORES:LESTHER IGNACIO REYES DE TRINIDAD

BISMARCK ALBERTO GMEZ FLOEGEL

TUTOR:LIC. ALBERTO SILVA

MANAGUA NICARAGUA, MAYO DEL2008


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Dedicatoria

Dedicamos este proyecto a nuestras familias, amistades, profesores y a todas laspersonas que nos brindaron su apoyo incondicional y nos encaminaron acumplir con nuestra meta de convertirnos en profesionales. Esto fue posibleprimero que nadie con la ayuda de Dios, gracias por otorgarnos la sabidura y la

salud para lograrlo.

Agradecemos a nuestro tutor Lic. Alberto Silva por darnos la idea de realizar estetrabajo, gracias por sus aportes tcnicos y por la asistencia prestada en eldesarrollo de este proyecto de titulacin.


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Resumen del tema:

El presente trabajo monogrfico pretende establecerse como un material de estudio y

consulta para la clase de Matemticas II en la carrera de Ingeniera en Computacin dela UNI. Se constituye como una gua terica practica enmarcada en la metodologautilizada para la enseanza de las matemticas que tiene como finalidad la bsquedade la comprensin y anlisis de los problemas propuestos para la clase.

Este trabajo descriptivo se enfoca en la evaluacin de los contenidos estudiados enesta clase y en la solucin prctica con MATLAB. Para esto el procedimiento utilizadofue el siguiente:

Recoleccin de informacin acerca del contenido terico de la asignatura.

Anlisis y seleccin de la informacin obtenida.

Evaluacin de los requisitos prcticos de los estudiantes. Seleccin del contenido prctico de la asignatura y aplicacin en el programa

MATLAB.

Diseo del esquema de trabajo.

Presentacin de la investigacin.

El texto se divide en cinco unidades que cubren de una manera integral el programaanaltico de la asignatura Matemticas II. En cada una de estas unidades sedesarrollan los correspondientes temas presentados mediante definiciones, teoremas yreglas as como un conjunto de ejemplos, ejercicios propuestos, problemas,aplicaciones, grficos y proyectos minuciosamente seleccionados para que los

estudiantes puedan aprovechar la precisin, velocidad y el poder de cmputo delsoftware de apoyo matemtico y simblico MATLAB.

En cada unidad los temas y subtemas van enumerados y sombreados para una fcilidentificacin. En el desarrollo del contenido se presentan encerrados en un recuadrosombreado los teoremas y las definiciones con su correspondiente enumeracin. Lasfiguras, ejemplos y ejercicios propuestos van enumerados consecutivamente y la partede programacin la sealamos mediante la palabra MATLAB acompaada delcorrespondiente cono del programa con su respectivo cdigo en negrita.

En la primera unidad llamada problemas de valor inicial se estudia como primer tema la

antiderivacin, especficamente el mtodo de sustitucin que servir en la segundaunidad como una de las herramientas para resolver ecuaciones diferenciales. Ademsse considera el modelo de cada libre como ejemplo de aplicacin de un problema convalor inicial que es retomado en el proyecto de esta unidad.


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En la segunda unidad se introducen las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) deprimer grado cuya graficacin es representada mediante el campo direccional.Se ejemplifica el mtodo de separacin de variables como solucin analtica de las EDOy como solucin numrica el mtodo de Euler.Como aplicacin particular de las EDO introducimos el modelo de crecimiento logstico

cuya solucin incluye el mtodo de fracciones parciales. Se concluye el captuloestableciendo una comparacin entre el crecimiento natural y el restringido y sepresentan dos proyectos en el cual se evala el mtodo de Euler y un modelomatemtico (ecuacin diferencial) de una solucin real. Proponemos el uso delMATLAB como herramienta de comprobacin y graficacin de las soluciones.

Iniciamos la tercera unidad con el estudio de las sumatorias cuya aplicacin es notableen los apartados de rea bajo la curva, sumas de Riemann y Series. El tema central deesta unidad es la integral definida que nos presenta definiciones, teoremasfundamentales, propiedades, ejercicios propuestos y resueltos con sus respectivascomprobaciones generadas con MATLAB. Se muestran las aplicaciones de la integraldefinida como el rea bajo la curva, rea entre dos curvas, centro de masa, etc. en lascuales se aprovechan las funciones de MATLAB, y al final del capitulo se proponen dosproyectos.

En la cuarta unidad primero nos enfocamos en la descripcin de los mtodos deintegracin numrica; regla trapezoidal, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 en el cualutilizamos la representacin fundamental de datos de MATLAB (matrices y vectores)para realizar los clculos correspondientes. Luego damos lugar a las tcnicas deintegracin: por sustitucin, integracin por partes, y fracciones parciales paracomplementar los temas ya estudiados en unidades anteriores. Los proyectosconsiderados garantizan el aprendizaje de la aplicacin de la regla de Simpson y de ladescomposicin en fracciones parciales.

La quinta unidad nos permite la representacin de funciones mediante una nuevaestructura matemtica: las series o series infinitas que tienen como fundamento unconjunto de leyes que se conocen como criterios de convergencia. Se presentan lasseries telescpicas, geomtricas, armnicas, series p, series alternantes y series depotencia, siendo esta ltima una nueva manera de representacin de funciones.Tambin se aproximan las funciones mediante las series de Taylor y Maclaurin, cuyasimplementaciones en MATLAB nos permiten obtener resultados simblicos quesimplifican los clculos complejos.

Al final del texto se presentan los anexos con informacin del software MATLABincluyendo una breve descripcin de las funciones bsicas utilizadas en este texto;tambin se proporcionan 120 frmulas de la tabla de integrales para resolver lasdiferentes funciones que aparecen en los problemas de las unidades 3 y 4. Tambin semuestra un resumen de las frmulas del lgebra y tablas de uso frecuente:trigonomtricas, exponenciales y logartmicas.

Con este estudio complementamos una serie de trabajos monogrficos elaborados enel rea de matemticas de la carrera.


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ndice

UNIDAD I. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL.

1.1 Antiderivacin (introduccin).. 1 - 2

1.1.1 Antiderivacin (Mtodo de Sustitucin). 1 - 6

1.2 Modelo de Cada Libre.... 1 - 171.3 Ley de Stokes 1 - 26

Proyectos... 1 - 27

UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER GRADO.

2.1 Introduccin (diferencial). 2 - 2

2.2 Campo Direccional.. 2 - 3

2.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden... 2 - 8

2.3.1 Mtodo de separacin de variables (solucin analtica). 2 - 11

2.3.2 Dos ejemplos sobre la aplicacin de las EDO en la

resolucin de problemas prcticos. 2 - 20

2.4 Solucin numrica de las EDO de primer orden. 2 - 24

2.4.1 Mtodo de Euler. 2 - 24

2.4.2 Mtodo de Euler mejorado o mtodo de Heun. 2 - 33

2.5 Ecuacin de Crecimiento Logstico.. 2 - 42

2.5.1 Mtodo de fracciones parciales.. 2 - 442.5.1.1 Factores lineales distintos. 2 - 47

2.5.1.2 Factores lineales repetido. 2 - 51

2.5.1.3 Combinacin de factores lineales distintos y repetidos 2 - 52

2.5.2 Solucin de la ecuacin de crecimiento logstico. 2 - 61

2.6 Crecimiento natural versus crecimiento restringido... 2 - 67Proyectos.. 2 - 72

UNIDAD III. INTEGRACION Y SUS APLICACIONES

3.1. Sumatoria (introduccin). 3 - 2

3.1.1 Sumas telescpicas.. 3 - 6

3.2. rea bajo la curva 3 - 11

3.2.1. rea de polgonos inscritos 3 - 12

3.2.2. rea de polgonos circunscritos. 3 - 15


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ndice

3.3. Suma de Riemann... 3 - 19

3.4. Integral definida 3 - 24

3.4.1. Primer teorema fundamental del calculo.. 3 - 27

3.4.2. Propiedades de la integral definida 3 - 29

3.4.3. Segundo teorema fundamental del clculo.. 3 - 38

3.4.4. sustitucin en las integrales definidas.. 3 - 44

3.5. Aplicaciones de la integral definida.. 3 - 47

3.5.1. rea de una curva acotada por los ejes.. 3 - 47

3.5.2. rea entre dos curvas. 3 - 51

3.5.3. Momentos y centros de masa 3 - 61Proyectos . 3 - 81

UNIDAD IV. TECNICAS DE INTEGRACION

4. Introduccin.. 4 - 2

4.1 Mtodos Numricos.. 4 - 2

4.1.1 Regla del trapecio.. 4 - 3

4.1.2 Regla Parablica(Simpson) 4 - 11

4.1.2.1 Simpson 1/3 4 - 12

4.1.2.2 Simpson 3/8 4 - 14

4.2 Mtodos Analticos. 4 - 184.2.1 Integracin por sustitucin.. 4 - 18

4.2.1.1 Sustituciones en integrales definidas. 4 - 20

4.2.1.2 Sustituciones estndar. 4 - 21

4.2.1.3 Integracin usando tablas 4 - 23

4.2.1.4 Sustituciones algebraicas. 4 - 28

4.2.1.5 Sustitucin en funciones trigonomtricas.. 4 - 33

4.2.1.6 Integracin de funciones hiperblicas 4 - 41

4.2.1.7 Sustitucin con integrandos irracionales... 4 - 42

4.2.1.8 Completando cuadrados 4 - 54

4.2.2 Integracin por partes.. 4 - 58

4.2.2.1 Integracin por parte para integrales definidas 4 - 61

4.2.2.2 Integracin repetida por parte. 4 - 63


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ndice

4.2.3 Fracciones parciales 4 - 69

4.2.3.1 Factores cuadrticos no repetidos. 4 - 72

4.2.3.2 Factores cuadrticos repetidos.. 4 - 76Proyectos.. 4 - 81

UNIDAD V. SERIES

5.1 Sucesiones.. 5 - 2

5.1.1 Lmites de Sucesiones. 5 - 3

5.1.2 Convergencia y divergencia de sucesiones. 5 - 12

5.1.3 Sucesiones Montonas 5 - 19

5.2 Series Infinitas 5 - 25

5.2.1 Series Especiales.. 5 - 27

5.2.1.1 Serie Telescpica... 5 - 27

5.2.1.2 Serie Geomtrica.............. 5 - 29

5.2.1.3 Serie Armnica.............. 5 - 31

5.2.1.4 Serie P............ 5 - 33

5.2.2 Criterios de Convergencia... 5 - 41

5.3 Series Alternantes.................. 5 - 545.3.1 Criterios de Convergencia ............... 5 - 54

5.4 Series de Potencias ............... 5 - 62

5.4.1 Representacin de funciones por series de potencias 5 - 72

5.5 Series de Taylor y Maclaurin............. 5 - 78

Proyectos.. 5 - 94


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Introduccin

Material de Estudio de Matemticas II util izando MATLAB 6.5 i

Introduccin

El clculo se origin debido al desarrollo socio econmico del hombre constituyndose

en una necesidad o medio para estudiar los problemas en que intervena el movimientode trayectoria irregular y velocidad variable, no limitndose solamente a resolverproblemas de fsica ya que su utilidad permite que pueda ser aplicado a diferentescampos de estudio, como la qumica, la biologa, la economa, la sociologa, lapsicologa, etc.

La necesidad de resolver problemas matemticos extensos y complejos lleva al hombreal diseo de una herramienta que le permitiera efectuar los clculos matemticos deuna manera eficiente. Esta herramienta ha evolucionado iniciando con la calculadorahasta lo que hoy conocemos por computadora.

El hardware y el software que conocemos como los componentes de una computadorahan evolucionado aceleradamente; el hardware con la denominada nanotecnologa, y elsoftware cada vez ms especializado para responder a necesidades del mundo real yprctico, siendo el caso del programa MATLAB ampliamente utilizado en el campo de laingeniera.

MATLAB es una importante herramienta en las ciencias computacionales y el desarrollodel Software, incluye el ms completo ambiente matemtico computacional y desde sulanzamiento ha producido un significativo desarrollo en la forma de cmo lascomputadoras son usadas en muchos campos cientficos.

El presente trabajo incluye el uso del MATLAB como aplicacin prctica del contenidode la asignatura Matemticas II de la carrera de Ingeniera en Computacin. Ya que seconstituye como una herramienta de apoyo aplicada a la enseanza-aprendizaje de lamatemtica para dar solucin a la necesidad de construir un enlace terico-prctico quepermita lograr un mayor provecho del aprendizaje del clculo en la carrera.

Nuestro propsito consiste en fomentar a los estudiantes un mayor inters en el estudiodel clculo para que sean capaces de construir una representacin matemtica quemodele una situacin del mundo real implementndose en una herramientacomputacional.


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Objetivos

Material de Estudio de Matemticas II util izando MATLAB 6.5 ii

Objetivo General:

Contribuir a elevar la calidad del proceso enseanza-aprendizaje en la asignatura de

Matemticas II en la carrera de ingeniera en computacin, mediante la elaboracin desu material de estudio correspondiente.

Objetivos Especficos:

1. Investigar y desarrollar los contenidos del programa analtico de Matemticas II.

2. Explorar el software MATLAB a fin de desarrollar aplicaciones a los contenidos de la

asignatura de Matemticas II.

3. Motivar el inters en los estudiantes por el estudio de las matemticas al realizaraplicaciones utilizando el software MATLAB.


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Justificacin

Material de Estudio de Matemticas II utilizando MATLAB 6.5 iii

Justificacin:

La evolucin del software de clculo tcnico y cientfico de apoyo a la enseanza-aprendizaje justifica el hecho de desarrollar este material de estudio como alternativaque contribuya a dar solucin a la necesidad de construir un enlace terico-prctico delas matemticas en la carrera de Ingeniera en Computacin de la UNI con la ayuda deun software que permita lograr un mayor provecho del aprendizaje del clculo. Lacarrera ya cuenta con este tipo de material para las clases de Matemticas I y III, sinembargo hasta este momento haca falta el correspondiente para Matemticas II. Con eldesarrollo de la presente monografa se completa esta serie de trabajos.

Los estudiantes ya cuentan entonces con un material de consulta que cumple con losobjetivos de la clase y que incluye un conjunto de ejercicios y programas resueltos ypropuestos, as como proyectos para los cuales se tendr que hacer uso del programaMATLAB.

En el caso de estudio seleccionado nos compete el programa MATLAB en su versin6.5, por ser una potente herramienta de clculo numrico y simblico.


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Primera Unidad Problemas de Valor Inici al

Material de Estudio de Matemticas II util izando MATLAB 6.5 Pgina 1 - 1

1.1 Antiderivacin (introduccin) 1 - 2

1.1.1 Antiderivacin (Mtodo de Sustituc in) 1 - 6

1.2 Modelo de Cada Lib re 1 - 17

1.3 Ley de Stokes 1 - 26

Proyectos 1 - 27

UNIDADPROBL EMAS DE VA LOR IN ICIAL


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1.1 Antiderivacin (Introduccin)

Este tema denominado antiderivacin ya fue estudiado en el curso de Matemticas I por

lo que aqu haremos una breve introduccin que nos servir como base para tratar elmtodo de sustitucin.

En el curso ordinario de Matemticas I se estudi fundamentalmente el tema de lasderivadas, es decir dada una funcin f, determinbamos la derivada f . Ahoraconsideraremos el problema inverso, es decir, dada una derivada f , determinar lafuncin f.

Podemos enunciar el problema de la manera siguiente:

Dada una funcin f , encontrar una funcin F tal que fF .

Por ejemplo sea 4x5)x(f . Al derivar una potencia de x reducimos en uno el

exponente, y por lo tanto, para obtener F hay que aumentar en uno el exponente dado.

Es decir, 5xa)x(F para algn nmero a . Derivando obtenemos 4xa5)x(F y para

que sea igual a )x(f , a debe ser igual a 1. Entonces, la funcin F definida por

5x)x(F tiene la propiedad fF ; o sea F es una antiderivada de .f .

Definicin 1A

Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si

Ien)x(f)x(FDx , esto es, si )x(f)x(F para toda x en I .

A este proceso de encontrar una ant iderivada se le llama ant iderivacin ointegracin indefinida. Hay que hacer notar que las antiderivadas nunca son nicas.Como la derivada de una constante es cero, si )x(F es una antiderivada de )x(f ,

tambin lo es C)x(F para cualquier nmero C .

De nuestro ejemplo Cx)x(F 5 , donde C es cualquier constante (un nmero real no

especificado), es una antiderivada de 4x5)x(f en ),( .


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Si )x(F es una antiderivada de )x(f , entonces cualquier otra antiderivada tiene la

forma C)x(F , donde C es una constante arbitraria. C)x(F se llama

antiderivada ms general de )x(f .

La notacin que utilizaremos para las antiderivadas es la notacin original de Leibniz

dx... como indicacin de la antiderivada con respecto a x .

Teorema 1B. Regla de la potencia para las antiderivadas

Si res cualquier nmero racional, excepto -1, entonces

C1r

xdxx

1r

r

.

Tambin

Cxdx1 si 0r

.

Antiderivar equivale a integrar por lo que en el smbolo

dx)x(f , se llama signo deintegral y )x(f se llama integrando. Integramos el integrando para evaluar la integral

indefinida, para antiderivar.

C)x(Fdx)x(f Se lee el integral indefinido de f(x) respecto a x es C)x(F .

Ejemplo 1

Encontrar la antiderivada ms general de:

a)45

x)x(f

b) 2x1)x(f

Solucin a)

Cx9

4C

4

9

xdxx 49

4945


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Solucin b)

Cx

1C

1

xdxxdx

x

1 122

Para encontrar una antiderivada de rx , se aumenta en uno el exponente r, obteniendo1r

, y luego se divide entre 1r .

Teorema 1C

Cxcosdxxsen

Cxsendxxcos

Teorema 1D. La integral indefinida es un operador lineal

Sean fy g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante.

Entonces:

1) ;dx)x(fkdx)x(fk

2) ;xd)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

3) dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

Ejemplo 2

Evale

dx)7x3xx2( 23

Solucin:

Utilizando el teorema anterior tenemos:


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dx7dxx3dxxdxx2dx)7x3xx2( 2323

dx7dxx3dxxdxx2 23

Cx7x2

3

x3

1

x2

1 234

Teorema 1E. Regla generalizada de la potencia

Sean g una funcin derivable y run nmero racional diferente de 1.

Entonces,

C1r

)]x(g[

dx)x(g)]x(g[

1rr

Para aplicar este teorema es necesario reconocer las funciones g y g en el

integrando.

Ejemplo 3

Evale

dx2)1x2( 3

Solucin:

Sea .2)x(gentonces;1x2)x(g

Entonces por el teorema 1E,

C4

)]x(g[dx)x(g)]x(g[dx2)1x2(

433

C)1x2(4

1 4


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1.1.1 Antiderivacin (Mtodo de susti tucin)

La antiderivacin o integracin indefinida es el proceso u operacin inversa de laderivacin ya estudiada en el Curso de Matemticas I. Para realizar esta ltima

operacin (derivacin) sobre funciones elementales solo necesitamos aplicarsistemticamente las reglas de derivacin obteniendo siempre una funcin elemental.

La antiderivacin es un tema un poco diferente; vamos a necesitar aprender algunastcnicas y auxiliarnos de algunos trucos para aplicarla y evaluarla.

Pero Por qu es tan importante la antiderivacin para este tema de las ecuacionesdiferenciales?

Es sumamente importante porque para resolver una ecuacin diferencial, muy amenudo tendremos que utilizar las tcnicas de integracin ya sea integracin por

partes, fracciones parciales o sustitucin, por lo que su estudio es un tema obligado enesta unidad.

Las dos tcnicas principales para antiderivacin (integracin indefinida) son sustitucine integracin por partes. Aqu nos ocuparemos slo de la primera ya que ms adelanteen la cuarta unidad se analizar la integracin por partes.

Para desarrollar adecuada y eficazmente el mtodo de sustitucin necesitaremosdisponer de una lista bsica de las integrales ms conocidas. A continuacin sepresentan las formas integrales estndar. Al final del texto aparece una lista msextensa.

Formas integrales bsicas

Constantes

1.

Ckukdu

Potencias

2.

duur C1r

u 1r

1r

C|u|ln

1r

Exponenciales

3. Cedue uu

4. ,Caln

adua

uu

0a,1a


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Funciones trigonomtricas

5.

sen u Cucosdu 6.

cos u sendu

Cu

7.

2sec u tandu

u C 8.

2csc u cotdu

Cu

9.

sec u tan u secdu

u C 10.

csc u cot u cscdu

u C

11.

tan u Cucoslndu 12.

cot u Csenulndu

Funciones Algebraicas

13. Ca

usen

ua

du 1

22

14. Ca

utan

a

1

ua

du 122

15. Cu

a

cosa

1

Ca

u

seca

1

auu

du 11

22

16.

senh u coshdu u C 17.

cosh u senhdu u C

Si la antiderivacin a la que nos enfrentamos es una de estas formas bsicasconocidas, slo tenemos que escribir su respuesta, si no es as, tendremos que analizarel caso y probar una sustitucin inteligente hasta que el problema se reduzca a una deestas formas estndar.

Si la primera sustitucin que intente no funciona, intente con otra. Adquirir la habilidadsuficiente para resolver estos ejercicios requiere de mucha prctica.

Teorema 1F. Mtodo o regla de sust ituc in para integrales indefinidas

Dada la integral indefinida ,dx)x(g))x(g(f

sea )x(gu

y dx)x(gdu . Si

F es una antiderivada de f, entonces:

C))x(g(FC)u(Fdu)u(fdx)x(g))x(g(f


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Demostracin

Lo vamos a demostrar derivando la parte derecha de esta expresin que no es ms(laderivada) que el integrando del lado izquierdo. Nos vamos a auxiliar de la regla de lacadena que ya sido estudiada en Matemticas I junto con el hecho de que fF .

)x(g))x(g(f)x(g))x(g(FC))x(g(FDx .

Ejemplo 4

Evaluar

dxx)1x2( 273

Solucin:

Cuando un integrando contiene una expresin elevada a una potencia como73

)1x2(

,se suele sustituir dicha expresin por una variable. Entonces,

1x2u 3

, aplicando la derivada en ambos lados tenemos:

dxx6du 2

.

Una vez que se ha elegido u , du (la diferencial de u ) queda determinada porderivacin.

Como el integrando tiene una expresin elevada a una potencia debemos aplicar la

regla generalizada de la potencia para funciones o teorema 1E.

Adems es necesario multiplicar el integrando por 6 y compensar esto multiplicando la

integral por6

1 (esto se justifica por el teorema 1.D.1, o sea

dx)x(fkdx)x(fk ; k

es una constante).Tenemos entonces:

dxx6)1x2(6

1dxx)1x2( 273273

Realizando la sustitucin indicada queda:

C8

u

6

1duu

6

1dxx)1x2(

87273


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Cambiando u por la expresin ,1x2 3

C8

)1x2(

6

1dxx)1x2(

83273

= C6

1)1x2(

48

1 83

= C)1x2(48

1 83

Donde Ces una constante arbitraria por lo cual no tiene ninguna importancia prctica

cambiar C6

1por C .

Las sustituciones en las integrales indefinidas se pueden hacer de varias maneras;

aplicando para este mismo ejemplo la siguiente sustitucin:

1x2u 3

, dxx6du 2

, dxxdu6

1 2 ,

Obtenemos sustituyendo dxx 2 por du6

1:

duu6

1du

6

1udxx)1x2( 77273

C)1x2(48

1

Cu48

1 838

.

La sustitucin es un medio eficaz para evaluar integrales indefinidas. Paraaplicarlo es necesario reconocer en el integrando la forma )x(g))x(g(f o bien

))x(g(f k )x(g para un nmero real k . El reconocer esta forma depende en gran

parte de la prctica constante en este tipo de ejercicios .

Ejemplo 5

Realice la siguiente integracin:

dx4x

x

2


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Solucin: Sea 2xu , xdx2du (obtenido por derivacin directa).

24u

1

2

1dx

4x

x

2du

Como multiplicamos el integrando por 2, debemos compensarlo multiplicando tambin

la integral por2

1.

24u

1

2

1dx

4x

x

2du

C)4xln(2

1C4uln

2

1 2 .

Ejemplo 6

Encontrar

dxx67x3 2

Solucin:

Como observamos el integrando contiene un radical; cuando se presentan estos casoslo que se hace es sustituir la expresin bajo el radical por una variable.

Por lo tanto, sean:

2x67u

, xdx12du

Ahora vamos a multiplicar el integrando por 12 que se compensa multiplicando

tambin la integral por12

1 como se muestra a continuacin:

xdx)12(x6712

1dxx67x

3 23 2

3 u12

1duu12

1du 3

1

Cu16

1C

)3

4(

u

12

13

434

Cx6716

1 34

2

.


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Este ejemplo tambin puede ser resuelto mediante otra sustitucin:

2x67u

, xdx12du

, xdxdu12

1

Sustituyendo xdx directamente tenemos:

333 2 u12

1du

12

1uxdxx67 du

El resto del procedimiento es igual al de la sustitucin anterior.

Ejemplo 7

Evaluar

dxxcos

xtan

2

Solucin:

Siendoxsec

1xcos

22

, la integral va a tomar la siguiente forma:

xsecxtan 2 dx

Realizando las sustituciones siguientes tenemos:

xtanu

, derivando esta expresin nos queda xsecdu 2 dx .

Deseamos aplicar la forma integral estndar

duu

Entonces,

dxxcos

xtan

2 xsecxtan 2 dx

u du C2

u2

Cxtan2

1 2 .


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Ejemplo 8

Realice la siguiente integracin:

dx

4x

x3 2

3

Solucin 1:

La sustitucin3 2 4xu , nos lleva a las siguientes expresiones:

3 2 4xu , 4xu 23

, 4ux 32

Diferenciando los dos miembros de la ltima expresin obtenemos:

duu3xdx2 2

, es decir, duu2

3xdx 2

Ahora se reemplaza en la integral dada como sigue:

3 2

2

3 2

3

4x

xdx

4x

x. xdx

u

4u3.

du)u4u(

2

3duu

2

3 42

2525 u3u10

3Cu2u

5

1

2

3

C10uu10

3 32

C6x4x10

3 23/22 .

Solucin 2:

Si sustituimos uen lugar de la expresin bajo el radical, entonces:

4xu 2 , 4ux 2

duxdx2 , du2

1xdx


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En este caso podemos escribir:

3 2

2

3 2

3

4x

xdx

4x

x. xdx

3/1u4u . duu4u

21du

21 3/13/2

3/23/53/23/5 u3u10

3Cu6u

5

3

2

1

C10uu10

3 3/2

C6x4x10

3 23/22 .

Ejemplo 9

Encontrar

dxe94

e

x2

x

Solucin: Considere la integral nmero 14 de la lista bsica de las formas integralesestndar.

du

ua

1

22.

Entonces sea xe3u

, aplicando derivacin obtenemos dxe3du x

Por lo tanto sustituyendo tenemos:

duu4

1

3

1)dxe3(

e94

1

3

1dx

e94

e

2

x

x2x2

x

3

1 . C

2

utan

2

1 1

C2

e3tan

6

1 x1

.

El siguiente ejemplo muestra que a veces antes de hacer una sustitucin es til rescribirel integrando de una manera ms conveniente para facilitar su evaluacin,especialmente cuando se presentan integrandos con expresiones cuadrticas


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irreducibles como cbxax2 . Si 0b , a veces es necesario completar el cuadrado

para reducir la integral a una forma estndar.

cxa

bxacbxax 22

a4

bc

a2

bxa

22

La sustitucin

a2

bxu puede llevar a una integral inmediata.

Ejemplo 10

Evaluar

8x4x

12

dx

Solucin: Notemos que la expresin cuadrtica 8x4x2 es irreducible, ya que

0163216)8)(1(416ac4b2 . Completando el cuadrado:

x4x(8x4x 22 ) 8

4)2x(48)4x4x(8x4x 222

Realizando las siguientes sustituciones: 2xu , 2ux , dudx

Entonces,

8x4x

1

2dx

4)2x(

1

2dx

4)22u(

1

2du

4u

1

2du

C2

utan

2

1 1

1tan2

1

C2x2

1 .


26/396



MATLAB

En MATLAB el comando que ejecuta la antidiferenciacin o integracin indefinida es intcuya sintaxis es la siguiente:

R = int(S)

Que retorna la integral indefinida de S, siendo S una expresin simblica.

Usaremos este comando para verificar las respuestas de las integraciones realizadasanalticamente en los ejemplos 4, 5y 9.

En el ejemplo 4, la integral indefinida a evaluar fue:

dxx)1x2( 273

Aplicando el comando Int de MATLAB para antidiferenciar ejecutamos las siguientes

sentencias desde la ventana de comandos de MATLAB:

syms x;integrando=(2*x^3+1)^7*x^2;resultado=int(integrando);pretty(resultado)

cuya respuesta nos confirma el resultado obtenido analticamente:

3691215182124 x31x37x328x370x3112x3112x364x316

Esta ltima expresin es equivalente a la respuesta obtenida anteriormente que es

83 )1x2(48

1 solo que aqu la expresin es desarrollada completamente.

Cabe mencionar aqu el uso de dos comandos de MATLAB: symspara crear variablessimblicas; y prettyque hace ms legible al usuario la respuesta.


dx4x

x

2


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Aplicando el comando int tenemos

syms x;resultado=int(x/(x^2+4));pretty(resultado)

De lo cual resulta

)4x(log21 2

Que es el resultado obtenido analticamente.


dx

e94

e

x2

x

Aplicando el comando inttenemos

syms x;integrando=exp(x)/(4+9*exp(2*x));resultado=int(integrando);pretty(resultado)

De lo cual resulta

1/6 atan(3/2 exp(x);

Que es el resultado obtenido analticamente.

Ejercicios 1.1.1

Evale cada una de las siguientes integrales indefinidas utilizando el mtodo desustitucin. Posteriormente compruebe sus respuestas auxilindose delcomando correspondiente del software MATLAB.

1)

dt)2t( 5 2) dx)4x( 2

3)

dx)1x(x 52

4)

dx)7x6( 81 5) dt)2t3(cos

6) dxx)x3( 334

7) dx4xsen

8)

dz)7z6(sen 9) dx9xx 3


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10) dx1x23

11) dx)3x(

x5

32

12) dx4xx 2

13) dz

4z

4zsenz

2

2

14) dt

tsen1

tcos

2

15) dxe1e xx3

16) dt)5t(cost 32

17) dx

e1

e6

x2

x

18) dttsen

tcostsen

19) dz)z5senz3(cos

20) dx)1x4x(

2x

22

21) dxesece xx

22) dx)7x6(senx 32

23) dt)3t(t 7122

24) dxx

xsen

25)

dxe2

e

x

x

26) dx)x(senx 2

1.2 Modelo de Cada libre

Un cuerpo tiene una cada libre si desciende sobre la superficie de la Tierra y no sufreninguna resistencia originada por el aire.

De manera prctica cuando la resistencia del aire sobre los cuerpos es tan pequeaque se puede despreciar es posible interpretar su movimiento como una cada libre.

Por cada libre se comprende al movimiento de un objeto motivado nica yexclusivamente por la fuerza de atraccin gravitacional de la Tierra. Esto implicaque para que el modelo de cada libre sea aplicable, ninguna otra fuerza que nosea la de gravedad debe ser relevante.

La aceleracin gravitacional produce sobre los cuerpos con cada libre un movimientouniformemente variado, motivo por el cual su velocidad aumenta en forma constante,

mientras la aceleracin permanece fija.

Si lanzamos hacia arriba un cuerpo desde una altura 0h y denotamos por )t(hh la

altura a la que se encuentra el cuerpo en el instante t , la ecuacin que verifica h es la

siguiente:


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h(t) = - g

Figura 1.1

Tomamos g por que hemos lanzado el cuerpo hacia arriba y por lo tanto laaceleracin es negativa

En la figura 1.1 podemos observar la direccin de los vectores aceleracin y velocidad,de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primerinstante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en elsentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleracin (g) tiene una direccin haciaabajo, en el sentido negativo del eje Y.

En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la direccin de lavelocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vectoraceleracin (g)mantiene su misma direccin, en el sentido negativo del eje Y.

A partir de la ecuacin diferencial del modelo de cada libre se deducen las ecuacionesdel movimiento uniformemente variado.

dt

dv)t(a

dt

dvg Despejando dvtenemos,

gdtdv Integrando dvy dt

dtgdv resulta entonces


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cgtv la condicin inicial es t = 0, 0v)0(v

00 vCC0v

0vgtv Ecuacin de la velocidad en el MRUV

Sidt

dsv , entonces

0vgtdt

ds Despejando ds

dt)vgt(ds 0

dt)vgt(ds 0 Integrando dsy dt

Ctvgt2

1s 0

2

Ecuacin del desplazamiento en funcin del tiempo

Tomando el tiempo inicial 0t 0 con la condicin inicial 0s)0(s nos queda

002 stvgt21s

Se ha de insistir, que las magnitudes cinemticas tienen carcter vectorial, incluso en elmovimiento rectilneo, y que para describir un movimiento se han de seguir lossiguientes pasos:

1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje a lo largo del cual

tiene lugar el movimiento.

2. El valor y signo de la aceleracin

3. El valor y el signo de la velocidad inicial

4. La posicin inicial del mvil

5. Escribir las ecuaciones del movimiento

6. A partir de los datos, despejar las incgnitas


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Ejemplo 11

Una pelota se lanza hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidadinicial de 100 pies por segundo. Cul es la altura mxima que alcanza?

Solucin:

La altura sse considera positiva hacia arriba; la fuerza debida a la gravedad es haciaabajo, es decir la aceleracin es por tanto negativa.

Ct32dt32v

32dt

dv

Como v = 100en t = 0, encontramos que C = 100y as

100t32v

Siendodt

dsv entonces tenemos

100t32dt

ds

Integrando resulta:

dt100t32s

Kt100t16s 2

Ya que s = 0en t = 0entonces K = 0, por lo tanto

t100t16s 2

La pelota alcanza su altura mxima cuando la velocidad final es cero,

100t320

100t32v

Entonces,

125.3t


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Sustituyendo 125.3t

segundos en la ecuacin t100t16s 2

encontramos la

altura mxima:

.pies25.156s

5.31225.156s125.3100125.316s

t100t16s

2

2

Ejemplo 12

Un objeto se mueve a lo largo de una recta, sujeto a la aceleracin, a(en m/s2), que se

indica, con una velocidad inicial 0v (en metros por segundo), y la distancia dirigida 0s

(en m). Encuentre a) la velocidad y b) la distancia despus de 2 segundos.

Siendo las condiciones iniciales:

0s;3v;ta 00

Solucin a)

Tenemos,

ta

dt

dv

Integrando tenemos,

C2

tdttv

2

Si 3vv 0 en 0t , 3C as, la velocidad es:

32

t

v

2

En t = 2, su valor es

s/m5v


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Solucin b)

32

t

dt

dsv

2

integrando tenemos

0

3

2

st36

ts

dt32

ts

En 0s;2t 0 , por tanto la distancia nos queda como:

s/m

3

22s

Ejemplo 13

Suponga que se arroja una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio de 160 piesde altura con una velocidad inicial de 64 pies/seg.

a) Cuando alcanza la altura mxima?b) Cual es la altura mxima?c) Cuando llega al piso?d) Con qu velocidad llega al piso?e) Cual es su aceleracin al momento t = 2?

Anlisis

Aqu 160s0 y 64v0 por lo que

Ct32dt32v

32dt

dv

Como 64v0 en t = 0, encontramos que C = 64y as

64t32v


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Siendodt

dsv entonces tenemos

64t32dt

ds

Integrando resulta:

dt64t32s

Kt64t16s 2

Ya que 160s0 en 0t entonces 160K , por lo tanto

160t64t16s 2

Solucin a)

La bola alcanza su altura mxima en el momento en que su velocidad es cero, esto es,cuando

064t32v

o sea cuando,

segundos2t

Solucin b)

La altura mxima es cuando 2t

segundos, por lo que

160)2(64)2(16s 2

pies224s

Solucin c)

La pelota golpea el piso cuando 0s , es decir cuando

0160t64t16 2


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Si dividimos entre 16 y usamos la formula cuadrtica obtenemos:

010t4t 2

Resolviendo nos queda que

segundos74.5t cuando la pelota llega el piso.

Solucin d)

Cuando 74.5t ,

73.11964)74.5(32v

Entonces la pelota llega al suelo con una velocidad de seg/pies73.119

Solucin e)

La aceleracin es siempre de 2seg/pies32 , esta es la aceleracin de la gravedad

cerca del nivel del mar.

Ejercicios 1.2

Un punto se mueve sobre una recta coordenada sujeto a las condiciones dadas.Determine s(t).

1) 4)0(s,5)0(v,t62)t(a

2) 240)0(s,80)0(v,32)t(a

3) 400)0(s,100)0(v,980)t(a

4) 5)0(s,20)0(v,t3)t(a 2


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Resuelva analticamente cada uno de los siguientes problemas y luegoimplemente una funcin en MATLAB que modele cada situacin planteada.

5)Una bola es arrojada hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad

inicial de 100 pies/seg. Cul es la mxima altura que alcanza?

6)Se lanza una piedra directamente hacia abajo desde una altura de 90 pies con unavelocidad inicial de 18 pies/seg. Halle a) su distancia al suelo a los t segundos, b) elmomento en que llegar al piso y c) la velocidad con la que llega a tierra.

7) La aceleracin de la gravedad para objetos cerca de la superficie de la Luna vale1.62 m/s

2.

a)Determine la altura mxima de una piedra que es lanzada directamente hacia

arriba por un astronauta en la Luna con una velocidad de 18 m/s.

b)Encuentre la altura mxima de una piedra que es lanzada directamente haciaarriba por el mismo astronauta y con la misma velocidad, pero en la Tierra.

8)Si una partcula que se mueve sobre el eje x tiene aceleracin 8t15a en el

instante t , y si 44x,6v 00 , encuentre su posicin x en 10t . Suponga que

x se mide pies y t en segundos.

9) Una bola es arrojada hacia arriba desde la superficie de un planeta en donde laaceleracin de la gravedad es K (una constante negativa) pies/seg2. Si la velocidad

inicial es0

v , demuestre que la mxima altura es k2v 2

0.

10)En la superficie de la Luna, la aceleracin de la gravedad es de 5.28 pies/seg2. Sise lanza hacia arriba un objeto desde una altura inicial de 1100 pies con una velocidadde 65 pies/seg, encuentre su velocidad y su altura 6 segundos ms tarde, as como laaltura mxima que alcanza dicho objeto.

11)Desde qu altura sobre la superficie de la Tierra debe dejarse caer una pelota paraque llegue al suelo con una velocidad de - 150 pies/seg?

El siguiente tema a estudiar ser la ley de Stokes; esta se presentar muybrevemente, siendo el objetivo principal de esta seccin el que dada unaecuacin diferencial (que en este caso es la ley de Stokes) resolverlaanalticamente, o sea encontrar la solucin que satisfaga dicha ecuacindiferencial.


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1.3 Ley de Stokes

Para cada pequea gota esfrica de lluvia (con un dimetro de D < = 0.003pulgadas)cayendo en el aire, la experiencia sugiere que la fuerza de resistencia del aire (as

tambin la correspondiente componente de la aceleracin) es proporcional a lavelocidad de la gota.Especficamente este modelo, llamado modelo de Stokes es expresado mediante laecuacin diferencial:

vkgdt

dv

Modelo de Stokes

La constante k es aproximadamente12

5

segD

10x329.0

cuando las unidades son pies

y segundos, g es la gravedad y v es la velocidad de la gota.

Ejercicios 1.3

1) Resolver analticamente la ecuacin diferencial o ley de Stokes para encontrar unafrmula para la velocidad v como una funcin del tiempo t . Posteriormente implemente

la correspondiente funcin en la herramienta matemtica disponible MATLAB.

2) La ecuacin del modelo de Stokes implica la existencia de una velocidad, unavelocidad a la que la gota llega a aproximarse pero que no la puede exceder.

a) Calcular la velocidad final finalv para una gota de lluvia sujeta a la ley de Stokes.

En particular cul es la velocidad final de una gota de lluvia (brisa) con undimetro D = 0.003 pulgadas (0.00025 pies)?

b) Las gotas de este tamao alcanzan su velocidad final rpidamente. Asumiendoque la gota de lluvia est viajando a la velocidad lmite prcticamente en todo surecorrido o trayectoria, cunto tiempo le tomar alcanzar los 3000 pies?

3)a) Use los resultados de los dos ejercicios anteriores para encontrar una frmula

para la relacin finalvv .

b) Cunto tiempo le tomar a una gota de lluvia alcanzar el 99% de la velocidadfinal?


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c) Fue conveniente asumir que estas gotas viajan a la velocidad finalprcticamente en su recorrido (cada) completo?

Proyecto No. 1

Resolver analticamente el siguiente problema. Posteriormente implemente unafuncin en MATLAB que modele la situacin planteada.

En t = 0, una pelota se deja caer desde una altura de 23 pies. Si pega con el piso yrebota a una altura de 16 pies(vea la figura 1.2).

a) Encuentre y desarrolle una frmula de dos partes para la velocidad )t(v que sea

vlida hasta que la pelota choque con el piso por segunda ocasin.

b) Cules son los dos instantes en que la pelota estuvo a una altura de 9 pies?

Figura 1.2


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Segunda Unidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Grado

Material de Estudi o de Matemticas II util izando MATLAB 6.5 Pgina 2 - 1

2.1 Introduccin (diferencial) 2 - 2

2.2 Campo Direccional 2 - 3

2.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden 2 - 8

2.3.1 Mtodo de separacin de variables (solucin analtica) 2 - 11

2.3.2 Dos ejemplos sobre la aplicacin de las EDO en la

resolucin de problemas prcticos. 2 - 20

2.4 Solucin numrica de las EDO de primer orden 2 - 24

2.4.1 Mtodo de Euler 2 - 24

2.4.2 Mtodo de Euler mejorado o mtodo de Heun 2 - 33

2.5 Ecuacin de Crecimiento Logstico 2 - 42

2.5.1 Mtodo de fracciones parciales 2 - 44

2.5.1.1 Factores lineales dist intos 2 - 47

2.5.1.2 Factores lineales repetidos 2 - 51

2.5.1.3 Combinacin de factores lineales dis tintos

y repetidos 2 - 52

2.5.2 Solucin de la ecuacin de crecimiento logstico 2 - 61

2.6 Crecimiento natural versus crecimiento restringido 2 - 67

Proyectos 2 - 72

2UNIDAD

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

DE PRIM ER GRADO


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2.1 Introduccin (diferencial)

Siendo las ecuaciones diferenciales la columna vertebral de muchas reas de estudiode la ciencia y la ingeniera se hace necesario e imprescindible para todos losestudiantes de ingeniera tener una base slida en la comprensin de los conceptos y

aplicaciones bsicas al intentar formular o describir fenmenos o sistemas fsicos entrminos matemticos.

En el Clculo sabemos que, dada una funcin y = f(x), la derivada

dx

dy= f(x)

es tambin una funcin de x, que se encuentra mediante una regla apropiada. Por

ejemplo si y = e2x

entonces

o bien xy2dxdy

El problema se reduce a : si se da una ecuacin tal como dy/dx = 2xy, encontrar dealguna manera una funcin y = f(x) que satisfaga la ecuacin, es decir se desearesolverla ecuacin diferencial.

Definicin 2A. Ecuacin diferencial

Si una ecuacin contiene las derivadas o diferenciales de una o msvariables dependientes con respecto a una o ms variables independientes,se dice que es una ecuacin diferencial(ED).

La forma ms general de expresar una ecuacin diferencial es,

0)y,...,y,y,y,x(F )n(

Donde x es la variable independiente; y la variable dependiente y ,y,y

... ,)n(

y sonlas derivadas de y con respecto a x .

Segn el tipo las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales. A nosotrosnos interesan las primeras.

2xxe2dxdy


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Una ecuacin diferencial ordinaria es una ecuacin que contiene slo derivadasordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variableindependiente. Estos son algunos ejemplos.

20y20dt

dy

0y3dx

dy5

dx

yd

2

2

yx3dx

dy

El orden de una ecuacin diferencial es el correspondiente a la derivada de mayororden que aparezca en la misma.

05dx

dy2

es una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden.

x 0ydx

dy2

dx

yd4

3

3

es una ecuacin diferencial ordinaria de tercer orden.

23

2

2

x4y3dx

dy4

dx

yd

es una ecuacin diferencial de segundo orden ya que,

la derivada de mayor orden que aparece es la segunda.

2.2 Campo direccional

Resolver una ecuacin diferencial equivale a encontrar una funcin que satisfacedicha ecuacin. En este caso a la funcin solucin explcita se le da el nombre desolucin analtica.

Pero sucede que para muchas ecuaciones diferenciales no es posible obtener unasolucin analtica, por lo que se hace necesario utilizar otras herramientas matemticasque nos aproximen a la solucin.

Ahora estudiaremos el campo direccional, un mtodo grfico para aproximar la solucinde una ecuacin diferencial dada.

El concepto de campo direccional permite obtener un bosquejo o forma aproximada dela solucin de una ecuacin diferencial de primer orden, sin resolverla en realidad.


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Nuestro objetivo es investigar el posible comportamiento de la ecuacin diferencial de laforma )y,x(fy por lo cual debemos pensar geomtricamente.

En diversos puntos )y,x( del plano bidimensional, el valor de )y,x(f determina una

pendiente y

. Una solucin de la ecuacin diferencial anterior es una funcindiferenciable cuya grfica tenga la pendiente )y,x(fy en cada punto )y,x( .

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente ecuacin diferencial:

y'y

Solucin:

En trminos geomtricos, resolver esta ecuacin diferencial significa encontrar curvas)x(yy que tengan la siguiente propiedad: la pendiente de la grfica en )y,x( debe

ser y . La figura 2.1 muestra el campo direccional o campo de pendientes para la

ecuacin y'y . A travs de diversos puntos )y,x( se dibujan pequeos segmentos de

recta con pendiente y , los cuales indican el flujo de una posible curva particular.

Se pueden dibujar diversas curvas para las cuales los segmentos de recta seantangentes a ellas. Adems podemos observar que si x tiende a , todas lassoluciones se aproximan a 0. De igual manera se muestra una curva solucinaproximada para la ecuacin diferencial dada.

Figura 2.1

Campo direccional para la ecuacin diferencial y'y y grfica de una solucin de

la ecuacin.


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Ejemplo 2

Grafique el campo direccional para la ecuacin diferencial dada:

2xydxdy

Solucin:

La pendiente de la curva que pasa por el punto )y,x( es igual a 2xy .

Por ejemplo, la pendiente de la solucin en el punto )1,2( para esta ecuacin

diferencial es 2)1)(2(y 2 ; en el punto )1,2( , la pendiente es 2)1)(2(y 2 . Se

puede representar grficamente este ltimo resultado trazando un pequeo segmentode recta que pase por el punto )1,2( y que tenga una pendiente 2.

Este proceso se puede repetir para varios puntos )y,x( obteniendo as el campo

direccional para dicha ecuacin diferencial.

Figura 2.2

Campo de pendientes para la ecuacin diferencial 2xyy y grfica de dos

curvas de solucin aproximadas.

Generalmente para graficar un campo direccional de manera eficiente se utiliza unsoftware matemtico, ya que graficarlo a mano consume mucho tiempo; en este casousaremos MATLAB.


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MATLAB

El siguiente cdigo escrito en MATLAB es una funcin que genera el campo direccionalpara una ecuacin diferencial de primer orden de la forma )y,x(fy , usando valores

para xde x1hasta xn con incremento de dx; para valores de y desde y1hasta yn conincrementos de dy.

En la llamada a la funcin campodirel orden de los argumentos es:

campodir( f, x1:dx:xn, y1:dy:yn )

f es el nombre de una funcin inline que es un tipo de expresin propia de MATLAB yque tiene invocarse antes de hacer la llamada a campodir.

function campodir(f,xval,yval)

[xm,ym]=meshgrid(xval,yval);dx = xval(2) - xval(1);dy = yval(2) - yval(1);yp=feval(vectorize(f),xm,ym);s = 1./max(1/dx,abs(yp)./dy)*0.35;h = ishold;quiver(xval,yval,s,s.*yp,0,'.r'); hold on;quiver(xval,yval,-s,-s.*yp,0,'.r');xlabel('x'); ylabel('y');

if hhold on

elsehold off

end

axis tight;

Todo el cuerpo de esta funcin tiene que escribirse en el editor de MATLAB yposteriormente guardarse con el nombre de archivo campodir.

Por ejemplo vamos a generar el campo direccional del ejercicio anterior.

Para la ecuacin diferencial: 2xyy , graficar su campo direccional en el

intervalo siguiente: en x [-2,2]; en y [-2,2] con decrementos de 0.2 en ambosintervalos.


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Escribimos entonces desde la lnea de comandos de MATLAB:

f = inline('x*y^2','x','y');campodir(f,-2:0.2:2,-2:0.2:2)

graficndose el campo direccional mostrado en la figura 2.2.

Ejemplo 3

Grafique el campo direccional para y3

2y .

Solucin:

Decidiendo que los intervalos de la grfica sean:

En x [-4,4]; y [ -3,3], con incrementos de 0.3,

Tenemos en MATLAB:

f = inline('2*y/3','x','y');campodir(f,-4:0.3:4,-3:0.3:3)

Figura 2.3

Campo direccional para y3

2y .


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Ejercicios 2.2

Grafique un campo direccional para las ecuaciones diferenciales indicadas utilizando lafuncin campodir de los ejemplos anteriores. Elija los intervalos e incrementos

convenientes.

1) xy 2) yx2.0y 2 3) yxy

4) y2x6dx

dy 5) y2x3y 6) 22 yxy

7) 2xydx

dy 8) xy1y 9) 3)2x(y

10) 32yy 11) 22yx2y 12) 33 yxy

Disee una funcin en MATLAB que adems de graficar el campo direccional de unaecuacin diferencial, tambin grafique las curvas solucin aproximadas. (Puedeapoyarse para esta tarea de la funcin campodir descrita anteriormente). Despusgrafique tanto el campo direccional como las curvas solucin posibles para cada una delas siguientes ecuaciones diferenciales:

13) xyy 14) xyy 15) yx2dx

dy

16) 22 yxy 17) 1yy 2 18) 21)yx(y

19)x

yy 20) xy4y 21) yy

22) y6y

2.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primerorden

En la seccin de la primera unidad tcnicas y problemas de antiderivacin, el objetivofue integrar (antiderivar) una funcin fpara obtener una nueva funcin F. Es decir,

C)x(Fdx)x(f (1)

Esto es correcto siempre y cuando )x(f)x(F . Ahora )x(f)x(F en el lenguaje de

derivadas es equivalente a dx)x(f)x(dF en el lenguaje de diferenciales.


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Por lo tanto se puede interpretar (1) como:

C)x(F)x(dF

O sea, integramos la diferencial de una funcin para obtener la funcin (ms unaconstante).

Una funcin ))x(fo(f es una soluc in de una ecuacin diferencial si al sustituir y

por )x(f se obtiene una identidad para todo x en un intervalo . Por ejemplo, la

ecuacin diferencial

5x6y 2

Tiene como solucin (antiderivando)

Cx5x2)x(f 3

Para todo nmero real C (constante arbitraria), porque al sustituir y por )x(f se llega a

la identidad 6x2- 5 = 6x2 - 5. Se dice que Cx5x2)x(f 3 es la solucin generalde

5x6y 2 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solucin

particularasignando valores especficos a C .

Por ejemplo, tomando 7C se obtiene la solucin particular 7x5x2y 3 .

Tambin se pueden dar condiciones inicialespara determinar una solucin particularcomo se ver en la siguiente seccin.

Hasta este momento las ecuaciones diferenciales ordinarias consideradas han sido dela forma

)x(fdx

dy

que se pueden resolver aplicando directamente las frmulas de integracin bsicasestudiadas en la primera unidad, es decir tenemos una solucin por integracin directa.

Si )x(f es una funcin continua, entonces al antiderivar o integrar ambos lados de la

ecuacin anterior se obtiene

C)x(Fdx)x(fy

siendo )x(F una antiderivada (integral indefinida) de )x(f .


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La ecuacin )x(fdx

dy , es solo un caso especial cuando la funcin f en la forma

normal )y,x(fdx

dy se puede factorizar en una funcin de x multiplicada por una

funcin de y .

Definicin 2B. Ecuacin separable

Se dice que una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

)y(h)x(fdx

dy

es separable o que tiene variables separables.

Por ejemplo, la ecuacin

2

3

x

y

dx

dy es separable.

En esta2

3

x

y)y,x(f que se puede factorizar como

)x1()y(x

y)y,x(f 23

2

3

La solucin de estas y otras ecuaciones diferenciales las estudiaremos en la siguienteseccin.

h (y) f (x)


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2.3.1 Mtodo de separacin de variables (solucin analtica)

Las ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables son ecuacionesque incluyen slo a la primera derivada de la funcin desconocida y son tales que las

variables pueden separarse, una en cada lado de la ecuacin.

Ejemplo 4

Resuelva la ecuacin diferencial y encuentre aquella solucin para la cual y = 1en x =1.

1xdx

dy 2 ; 1y en 1x

Solucin: Si multiplicamos ambos lados por dxtenemos:

dx1xdy 2

As, la ecuacin diferencial tiene separadas sus variables; los trminos que incluyen ay estn en un lado de la ecuacin y los de x en el otro, entonces podemos integrar

ambos lados, igualar los resultados y simplificar.

dx1xdy 2

Cxx3

1y 3

Para encontrar la constante C, utilizamos la condicin 1y cuando 1x , con lo cual,

3

1C

Por tanto,3

1xx

3

1y 3

Ejemplo 5

Resuelva la ecuacin diferencial encontrando primero la solucin general y despus laparticular que satisfaga la condicin que se indica.

;1t4t16dt

ds 2 100s en .0t


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Solucin:

La ecuacin dada es equivalente a:

dt1t4t16ds 2

Ya separadas las variables, se integran ambos lados igualando y simplificando losresultados

dt1t4t16ds 2

dtt16ds 2

td t4

dt

Ctt2t3

16s 23

Sustituyendo s = 100cuando t = 0, queda

100C por tanto,

100tt2t3

16s 23

Ejemplo 6

Resuelva la ecuacin diferencial dada por separacin de variables.

2

3

x

y

dx

dy

Solucin:

3

2

y

x

dx

dy

dxxdyy 23

dxxdyy 23 Integrando y simplificando tenemos,

21

12 CxCy

2

1

21

12 C2x2C2y


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1212 C2C2x2y

Cx2y 12 .

En una ecuacin separable no hay necesidad de usar dos constantes de integracin,estas constantes se pueden rescribir de manera que convenga a la ecuacin dada.

La separacin de variables debe hacerse cuidadosamente para tener la seguridad quelos divisores no se anulan.

Ejemplo 7

Encuentre primero la solucin general para la ecuacin diferencial dada. Despus

encuentre la solucin particular que satisfaga la condicin que se indica.

41x2dx

dy ; 6y en 0x

Solucin: Integrando tenemos,

dx1x2dy 4

Resolviendo segn la regla de la potencia para integrales indefinidas,

1x2u , dx2du

Cu1n

1duu 1nn , 1n

du2u2

1dx1x2 44

= Cu10

1 5

C1x2101y 5

Si y=6en x=0entonces,10

59C

10

591x2

10

1y 5


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Ejemplo 8

Resolver el problema de valor inicial

y

x

dx

dy , 34y

Solucin: De la igualdad xdxydy se obtiene

xdxydy y 1

22

C2

x

2

y

La solucin se expresa como 222 Cyx . La solucin representa una familia de

circunferencias concntricas.

Cuando 4x se tiene 3y , de modo que 2C25916

.

El problema de valor inicial tiene la solucin: 25yx 22 siendo la nica

circunferencia que pasa por el punto (4, 3).

Ejemplo 9

Resuelva la ecuacin diferencial

2

2

yx3x

dxdy

Luego encuentre aquella solucin para la cual 6y y 0x .

Solucin: La ecuacin dada es equivalente a:

dxx3xdyy 22

As,

dxx3xdyy 22

23

2

1

3

Cx2

xC

3

y

123

23 C3C3x3

2

x3y


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Cx32

x3 32

3 32

Cx3

2

x3y

Para encontrar la constante C, utilizamos la condicin 6y cuando 0x .

Entonces 216C .

Por lo tanto segn la condicin dada el resultado es: 3 32

216x32

x3y

Para verificar el trabajo podemos sustituir este resultado en ambos lados de la ecuacindiferencial original para ver que d una igualdad. Tambin se debe verificar que 6y

cuando 0x .

Al sustituir en el lado izquierdo se obtiene,

2

32

32

x9x3216x32

x3

3

1

dx

dy

3232

2

216x3x

2

3

x3x

En el lado derecho, se obtiene

3232

2

2

2

216x3x2

3

x3x

y

x3x

Como observamos las dos expresiones son iguales. Ahora cuando 0x , tenemos

62162160.32

0.3y 33 3

2

Se confirma que 6y cuando 0x .


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MATLAB

En MATLAB el comando que nos permite obtener la solucin analtica de una ecuacindiferencial ordinaria es dsolve cuya sintaxis es:

r = dsolve( 'eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', ' v ' )

Donde eq1, eq2 son ecuaciones diferenciales ordinarias, siendo cond1, cond2 lascondiciones iniciales y vla variable independiente.

Comprobemos las soluciones analticas obtenidas en los ejemplos 5,7 y 8, aplicando elcomando dsolve a la ecuacin diferencial correspondiente junto con su condicininicial.

Solucin 1:

La ecuacin diferencial del ejemplo 5 es:

;1t4t16dt

ds 2 100s en .0t

Entonces, aplicando el comando dsolve tenemos:

solucion1 = dsolve('Ds = 16*t^2 + 4*t - 1','s(0) = 100', 't');pretty(solucion1)

Al ejecutarlo comprobamos la solucin analtica obtenida anteriormente

100tt2t3/16 23

Como podemos notar llamamos a la funcin de MATLAB dsolve con los tresargumentos requeridos como son la ecuacin diferencial, la condicin inicial y comoltimo argumento tenemos la variable independiente; cada uno de estos argumentos sepone entre comillas simples ; adems la letra D (en mayscula) que acompaa a laecuacin diferencial denota la diferenciacin.

Debemos observar tambin que la sentenciadsolve('Ds=16*t^2+ 4*t -1','s(0)=100','t'); se

ha asignado a solucion1, una variable de tipo simblica en MATLAB; Adems se utilizael comando pretty, para presentar de forma ms legible y clara la respuesta.

Solucin 2:


41x2dx

dy ; 6y en 0x


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Al aplicar el comando dsolve tenemos:

solucion2 = dsolve('Dy = (2*x+1)^4', 'y(0) = 6', 'x' );pretty(solucion2)

La respuesta que obtenemos es:

6xx4x8x8x5/16 2345

En este caso esta ltima expresin es igual que la solucin analtica:

10

591x2

10

1y 5 salvo que MATLAB presenta esta expresin ya desarrollada.

Solucin 3:


y

x

dx

dy , 34y

Luego al llamar al comando dsolve con los argumentos correspondientes:

solucion3 = dsolve('Dy = -x/y', 'y(4) = 3', 'x');pretty(solucion3)

La respuesta es:

212 25x , confirmando de esta manera la solucin correcta del procedimiento

analtico del ejemplo 8.

Ejercicios 2.3.1

En cada uno de los siguientes prob lemas verifique por sust itucin que la funcin

indicada es una soluc in de la ecuacin diferencial considerada.

1) 7xy;x3y 32 2) x2e3y;0y2y

3) xxx eey;e2yy 4)2

2

x1

1y;0xy2y


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5) 2x1y;0y

x

dx

dy 6) 2xey;0yy2

7) x2x3x3 e10ey;ey2dx

dy 8) x5tan5y;y25y 2

9) xe10xcos2

1xsen

2

1y;xsenyy

10)2

2

x

1y;0dxxy2dyx

En los siguientes problemas escriba una ecuacin diferencial que sea un modelomatemtico de la situacin descrita.

11)La tasa de cambio de una poblacin P con respecto al tiempo t es proporcional a laraz cuadrada de P.

12)La tasa de cambio con respecto al tiempo de la velocidad v de un bote costero demotor es proporcional al cuadrado de v.

13) La aceleracin dv/dt de cierto automvil deportivo es proporcional a la diferenciaentre 250 kilmetros por hora (km/h) y la velocidad del automvil.

14)En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la tasa de cambio conrespecto al tiempo del nmero N de personas que han odo un cierto rumor esproporcional al nmero de las que todava no lo han odo.

15)En una cuidad con poblacin fija de P personas, la tasa de cambio con respecto altiempo del nmero N de personas que han contrado cierta enfermedad es proporcionalal producto del nmero de personas enfermas y el nmero de las que no lo estn.

Encuentre las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas.Despus compruebe las respuestas obtenidas haciendo uso del software deapoyo MATLAB.

16) 1x2dx

dy

17) 1x

10

dx

dy

2

18) 3xydx

dy 19) 22 yxy

20) 1xyy 21) 6xdx

dy)1x(


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22) 21)yx(y 23) ylnxy

24) xcos)1y(dx

dyy 43 25)

)yy2(x

y)1x(

dx

dy

32

5

26) 22222 yxyx1yx 27) 0dx)xyx(dy)yxy( 22

28) 0dyedxe yx2y2x 29) 0dyedx x3

30) 0dx

dyey x24 31) 0

dx

dy)x1()y1( 22

32) 0dx

dyyx3xy2 223

33) x5sendx

dy

34) 0dxydyxcos 35) 0dyxcosdxxsene 2y

Encuentre la solucin particular de cada una de las siguientes ecuacionesdiferenciales sujetas a las condiciones iniciales que se indican. Posteriormentehaciendo uso del comando dso lve de MATLAB verifique su respuesta.

36) 1)1(y;1xdx

dy 2 37) 0)4(y;x

dx

dy 21

38) 1)2(y;)2x(dx

dy 21

39) 1)2(y;)2x(dx

dy 3

40) 1)0(y;x2cosdx

dy 41) 0)4(y;)9x(x

dx

dy 212

42) 1)1(y;y21dx

dy 43) 1)1(y;

y

x

dx

dy

44) e2)0(y;ye

dx

dy x 45) 1)1(y;yx3xy2

dx

dy 222

46) 4)1(y;)yx(dx

dy 21 47) 31)1(u;ut

dt

du 22

48) 4)0(z;)tt(zdt

dz 34 49) 1)0(y;)2x(xy

dx

dy 422


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50) 3)1(y;yyx4dx

dy 3 51) 2)5(y;)16x(x

dx

dyy2 212

52) 2)1(y;

1y3

1x

dx

dyx

2

22

53) 2)1(y;0dxe)1x2(dyx y

54) 1)0(y;0dyx4dx)xxy( 2

2.3.2 Dos ejemplos sobre la aplicacin de las EDO en la resolucinde problemas prcticos

Ahora estudiaremos algunas aplicaciones en las cuales utilizaremos las ecuacionesdiferenciales para plantear o modelar una situacin del mundo real.

Determinando las soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales que modelanel problema obtendremos las respuestas que satisfacen dicho problema.

Ejemplo 10

La ley de enfriamiento de Newton enuncia que, la tasa de cambio con respecto altiempo de la temperatura T(t) de un cuerpo inmerso en un medio de temperatura

constanteAes proporcional a la diferenciaA T. Esto es,

)TA(kdt

dT

En la que k es una constante positiva. Utilice esta informacin para resolver elsiguiente ejercicio.

Un trozo de carne de 2 Kg, originalmente a 50 F, se pone en el horno a 375 F a las8:00 PM; se encontr que la temperatura T(t)de la carne era de 125 F despus de 75minutos. A qu hora estar a 150 F?

Solucin:

Vamos a tomar el tiempo t en minutos, con t = 0 correspondiente a las 8:00 PM.Suponemos tambin (no del todo en realidad) que a cualquier instante la temperaturaT(t)es uniforme de principio a fin en el trozo de carne. Tenemos que 375A)t(T ,

50)0(T , 125)75(T .


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Entonces segn la ley de enfriamiento de Newton,

)T375(kdt

dT

Separando las variables correspondientes tenemos,

kdtdTT375

1

Integrando,

Ckt)T375(ln

Aplicando la funcin exponencial a ambos lados y siendoc

eB

nos queda,

ktBeT375

Si 325B50)0(T , entonces

kte325375)t(T

Tambin sabemos que 125T cuando 75t . Sustituyendo estos valores en la ltimaecuacin determinamos el valor de la constante k ,

0035.0325

250ln

75

1k

Deseamos determinar t cuando F150T , entonces resolvemos la ecuacin

t0035.0e325375150

Despejando la incgnita t,

1050035.0

325225ln

t

Minutos, el tiempo total de coccin requerido.

Dado que el trozo de carne se introdujo en el horno a las 8:00 PM, debe sacarse de alla las 9:45 PM.


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En las aplicaciones a la economa, una funcin se puede obtener a partir de su funcinmarginal por antiderivacin, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 11

Un fabricante sabe que el costo marginal correspondiente a la produccin de xunidades de cierto componente de una fotocopiadora est dado por 30 - 0.02x. Si elcosto de producir una unidad es de $ 35(dlares), cul ser el costo de producir 150unidades?

Solucin:

Sea Cla funcin de costo, entonces el costo marginal es la razn de cambio de C conrespecto a x, es decir,

x02.030)x(C

Antiderivando obtenemos

Kx01.0x30)x(C 2

Donde K es un nmero arbitrario. Tomando 1x y usando 35)1(C , obtenemos

K01.03035

Siendo 01.5K . Entonces,

01.5x01.0x30)x(C 2

Entonces, el costo de producir 150 unidadeses

01.4280$01.52254500)150(C

MATLAB

Verificar la solucin obtenida en el ejemplo 11 mediante la funcin dsolve de MATLAB.

Solucin:

La ecuacin diferencial a resolver es:

x02.030)x(C con la condicin inicial 35)1(C ,


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Aplicando dsolvenos queda,

Solucion = dsolve('Dc = 30 - 0.02*x', 'c(1) = 35', 'x');pretty(solucion)

La solucin de esta ecuacin diferencial sujeta a la condicin inicial dada es:

100

501x1001x30 2

Ejercicios 2.3.2

En los ejercicios siguientes modele cada situacin planteando una ecuacin diferencial

que se ajuste a las condiciones descritas; luego encuentre su funcin solucin pararesponder las preguntas indicadas e implemente una funcin en MATLAB que drespuesta a cada una de estas problemticas.

( Ejercicios sobre costo marginal )

1)Un fabricante de ropa deportiva sabe que el costo marginal de producir x prendas esx025.030 y el costo de producir una es $35(dlares). Encuentre la funcin de costo

y el costo de producir 50 unidades.

2) La funcin de costo marginal de un producto est dada por31x

2 y el costo de

producir 8 unidades es $30. Encuentre la funcin de costo y el costo de producir

70 unidades.

(Ejercicios sobre ley de enfriamiento)

3) Un tarro de crema, inicialmente a 35 C, se va a enfriar colocndolo en el prticodonde la temperatura es de 0 C. Suponga que la temperatura de la crema hadescendido a 25 Cdespus de 20 minutos. Cundo estar a 15 C?

4) Un pastel es retirado del horno a 210 F y dejado enfriarse a la temperaturaambiente, 70 F. Despus de 30 minutos, la temperatura del pastel es de 140 F.Cundo estar a 100 F?

5) Una placa de metal se enfra de 80 Ca 65 Cen 20 minutosal estar rodeada deaire a una temperatura de 15 C. Estime la temperatura de la placa de metal al cabo deuna hora de enfriamiento. Cundo llegar la temperatura a 40 C?


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2.4 Solucin numrica de las EDO de primer orden

Los mtodos que a continuacin estudiaremos son el mtodo de Euler comn y elmtodo de Euler mejorado. Estas tcnicas son unas de las ms simples para aproximar

soluciones de ecuaciones diferenciales. Hay muchas otras pero estas nos servirn paracontinuar con nuestro aprendizaje sobre las ecuaciones diferenciales.

2.4.1 Mtodo de Euler

El mtodo de Euler o de las rectas tangentes es un procedimiento y solucin numricano analtica para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales.

Muchas ecuaciones diferenciales no tienen una solucin analtica por lo que debemosrecurrir a aproximaciones o mtodos numricos. Este es uno de ellos.

Supongamos que deseamos aproximar la solucin del problema de valor inicial:

,y,xfy 00 yxy

Figura 2.4


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Si hes un incremento positivo en el eje x, entonces la figura 2.4 muestra que podemos

encontrar un punto 1011 y,hxy,x sobre la recta tangente a la curva de solucin

desconocida en 00 y,x .

Por la forma de punto y pendiente de la ecuacin de una resta se tiene:

bien ,yhyy 001

Donde 000 y,xfy . Si denominamos x1 x0+h, entonces el punto 11 y,x sobre la

recta tangente es una aproximacin al punto 11 xy,x en la curva de solucin; es

decir 1y es nuestra aproximacin de )x(y 1 . La precisin de la aproximacin depende

fuertemente del tamao del incremento h, denominado tamao de paso quecomnmente se elige razonablemente pequeo.

Figura 2.5

Entonces podemos obtener una sucesin de puntos ,y,x 11 ,y,x 22 ... ,

nn y,x suponiendo un valor constante de h, los cuales son de esperar que se

encuentren cercanos a los puntos nn2211 xy,x,...,xy,x,xy,x . Vase la

figura 2.5.

000

01y

xhx

yy


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Utilizando 1,1 yx , nos es posible obtener el valor de 2y , el cual es la ordenada de un

punto sobre una nueva recta tangente; Entonces:

yh

yy 12 1 bien 111112 y,xhfyyhyy .

Elmtodo de Eulerse expresa as:

Para aproximar la solucin de la ecuacin diferencial y,xfy con

condicin inicial 00 yxy , elija un tamao de paso hy repita los siguientes

pasos para n=1,2,...

1. Haga hxx 1nn

2. Haga 1n1n1nn

y,xfhyy

Este mtodo nos va a proporcionar un conjunto de puntos o parejas ordenadasque aproximan la solucin y que con frecuencia son suf icientes para describir lagrfica solucin de la ecuacin diferencial.

Ejemplo 12

Considrese el problema de valor inicial

,xy2.0y 11y

Usar el mtodo de Euler para obtener una aproximacin a y(1.5) utilizando h = 0.1 yposteriormente h = 0.05

Solucin:

Identificamos que xy2.0y,xf , siendo x0= y0= 1.

Entonces para h = 0.1tenemos aplicando el procedimiento de Euler:

x1 = x0+h=1+0.1 = 1.1

y1 = y0+hf(x0,y0)=y0+h(0.2x0y0)=1+(0.1)[0.2(1)(1)] = 1.02

y2 = y1+hf(x1,y1)=1.02+0.1[0.2(1.1)(1.02)] = 1.0424

y3= y2+hf(x2,y2)=1.0424+0.1[0.2(1.2)(1.0424)] = 1.0675

y as sucesivamente hasta completar el resto de los clculos.


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Podemos observar que y1=1.02, es una estimacin al valor de y(1.1).

Si se usa h = 0.05, nos tomar dos iteraciones el alcanzar x = 1.1. Se tiene que

x1= x0+h=1+0.05 = 1.05

y1= y0+hf(x0,y0)=1+0.05[0.2(1)(1)] = 1.01

y2= y1+hf(x1,y1)=1.01+0.05[0.2(1.05)(1.01)] = 1.020605

y3= y2+hf(x2,y2)=1.020605+0.05[0.2(1.1)(1.020605)] = 1.031831

Observamos que y1

y(1.05) y y2

y(1.1). El resto de los clculos aparecen en lassiguientes tablas:

Tabla 1. Mtodo de Euler con h = 0.1

n xn yn Soluc.real

0 1.00 1.0000 1.00001 1.10 1.0200 1.02122 1.20 1.0424 1.04503 1.30 1.0675 1.07144 1.40 1.0952 1.10085 1.50 1.1259 1.1331


n xn yn Soluc.real

0 1.00 1.0000 1.00001 1.05 1.0100 1.01032 1.10 1.0206 1.02123 1.15 1.0318 1.03284 1.20 1.0437 1.0450

5 1.25 1.0562 1.05796 1.30 1.0694 1.07147 1.35 1.0833 1.08578 1.40 1.0980 1.10089 1.45 1.1133 1.116610 1.50 1.1295 1.1331


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h=0.05

La solucin real de la ecuacin diferencial planteada es: )1x(1.02

ey . Esto nos sirve

para comparar los valores de y estimados mediante este mtodo con los valores

exactos de y como se muestran en las tablas. Al elegir un valor menor de hse obtiene

por lo general una aproximacin ms precisa.

En este ejemplo podemos observar que con un tamao de paso (h=0.05), laaproximacin a y(1.5)mejora.

Cuando h = 0.05, el error es aproximadamente:

0037.01295.11331.1ye 10]1)50.1([1.0 2

En la figura 2.6 se compara la grfica de la solucin exacta ( )1x(1.02

ey ) del

problema de valor inicial con las grficas obtenidas por el mtodo de Euler, utilizando

los tamaos de pasoh = 0.1

yh = 0.05

.Podemos observar que la aproximacin

mejora a medida que el tamao de paso disminuye.

Figura 2.6

En la siguiente tabla se muestran las aproximaciones del error para los dos tamaos depaso considerados.

H Aproximaciones de Euler para y(1.5) Error = Exacto - Estimado

0.1 1.1259 0.00730.05 1.1295 0.0037

solucin

exacta

h=0.1


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El error se divide a la mitad aproximadamente cuando se divide a la mitad el tamao depaso h, o sea que el error en un punto dado es aproximadamente proporcional altamao de paso h.

Ejemplo 13

Use el mtodo de Euler para aproximar la solucin de yy ; 1)0(y con h=0.05en el

intervalo [0,1].

Solucin:

Identificamos que y)y,x(f , x0=0, y0=1.

Entonces para h = 0.05tenemos:

x1= x0+h=0+0.05 = 0.05

y1= y0+hf(x0,y0)=1+0.05[1] = 1.05

y2= y1+hf(x1,y1)=1.05+0.05[1.05] = 1.1025

y3= y2+hf(x2,y2)=1.1025+0.05[1.1025] = 1.1576

y as sucesivamente hasta completar los clculos que se muestran de manera total enla siguiente tabla:


n xn yn n xn yn

0 0.00 1.0000 11 0.55 1.71031 0.05 1.0500 12 0.60 1.79582 0.10 1.1025 13 0.65 1.88563 0.15 1.1576 14 0.70 1.97994 0.20 1.2155 15 0.75 2.0789

5 0.25 1.2762 16 0.80 2.18286 0.30 1.3400 17 0.85 2.29207 0.35 1.4071 18 0.90 2.40668 0.40 1.4774 19 0.95 2.52699 0.45 1.5513 20 1.00 2.653210 0.50 1.6288


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Figura 2.7

La figura 2.7 muestra la aproximacin (conjunto de parejas ordenadas) as como la

grfica de la solucin real o analtica: xe)x(y .

Ejemplo 14

Utilice la frmula de Euler para obtener una aproximacin con cuatro decimales al valorindicado usando primero a) h = 0.1y luego b) h = 0.05.

;1y3x2y 5)1(y ; )5.1(y

Solucin:

a)Siendo 1y3x2)x(f y aplicando la frmula tenemos: X0= 1; y0 = 5

x1= x0+h=1+0.1 = 1.10

y1= y0+hf(x0,y0)=5+0.1[2(1)-3(5)+1] = 3.8000

y2= y1+hf(x1,y1)=3.8000+0.1[2(1.1)-3(3.8000)+1] = 2.9800

y3= y2+hf(x2,y2)=2.9800+0.1[2(1.2)-3(2.9800)+1] = 2.4260

...y4...y5.

Solucin real

Solucin

aproximada


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