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ECUACIONES INTEGRALESJOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E

INGENIERÍA FÍSICA



ECUACIONES INTEGRALESTEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA

FÍSICA

JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA



PÁGINA LEGALPrimera edición, Editorial Universitaria, 2014.

Calle 23 No. 565 e/ F !, "edado, #a $a%ana, C&%a.

E'mail( ed&niv)mes.ed&.c&

*el+ono( -53 3 453

e N versión electrónica '5'16'225'4

*odos los derec7os reservados José Migue M!"#$ A$%u&!, Profesor

Emérito. Facultad de Física de La Universidad de La Habana. Cuba. E'mail(marin)isica.&7.c&



´Indice

Introduccion

1 Clasificacion de las ecuaciones integrales

1.1 Ecuacion integral de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Ecuacion integral de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Problemas que conducen a ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo 1

2.1 Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Nucleos Iterados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Metodo de aproximaciones sucesivas para la ecuacion integral de Fredholm ho-mogenea de segundo tipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3.1 Desigualdad de Cauchy-Buniakovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3.2 Teorema de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Calculo de todos los autovalores y las autofunciones de nucleos que cumplanla propiedad A. Nucleos degenerados. Autovalores y autofunciones 3

3.1 Ideas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Nucleos degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Nucleos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.5 Teorema de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3



4 INDICE

3.6 Ecuacion integral de Fredholm no homogenea de segundo tipo . . . . . . . . . . 56

3.7 Solucion de la ecuacion integral de Fredholm no homogenea de segundo tipo porel metodo de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Ejemplos de solucion de ecuaciones integrales deFredholm de segundo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.9 Ecuaciones integrales de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.10 Solucion de ecuaciones integrales de Volterra por transformadas integrales . . . . 74

3.11 Ejercicios del Capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Equivalencia entre los problemas de frontera de ecuaciones diferenciales y lasecuaciones integrales con nucleo simetrico 77

4.1 Funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Equivalencia entre un problema deSturm-Liouville y una ecuacion integral con nucleo simetrico. Propiedades delos autovalores y las autofunciones del problema de Sturm-Liouville . . . . . . . 87

4.2.1 Teorema de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.2 Propiedades de los autovalores y de las autofunciones del problema deSturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Equivalencia entre el problema de Sturm-Liouville en varias dimensiones y una

ecuacion integral multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 Ecuacion Integral de Fredholm de Segundo Tipo. Teorıa General 99

5.1 Transformacion de la ecuacion en un sistema algebraico . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Determinante de Fredholm. Menores de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.2 Convergencia de las series de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.3 Relacion entre el determinante de Fredholm y los menores de Fredholm . 109

5.3 Alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3.1 Primer teorema de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3.2 Segundo teorema de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4 Ecuacion no homogenea de Fredholm para D(λ) = 0. Tercer Teorema de Fredholm119



INDICE

5.4.1 Nucleos iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.4.2 Tercer teorema de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Aspectos Complementarios de la Teorıa de Ecuaciones con Nucleo Simetrico 12

6.1 Desarrollo de un nucleo simetrico en serie bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.1.1 Convergencia de la serie bilineal al nucleo de la ecuacion integral . . . . . 12

6.1.2 Series bilineales para nucleos iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.1.3 Nucleos definidos positivos y definidos negativos . . . . . . . . . . . . . . 12

6.2 Resolvente del nucleo simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7 Ecuacion Integral de Fredholm de Primer Tipo 13

7.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.2 Familia regulada de soluciones aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.2.1 Primer teorema de Tıjonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.2.2 Segundo teorema de Tıjonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.2.3 Tercer teorema de Tıjonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 Ecuaciones Integrales entre Lımites Infinitos con Nucleos que dependen dela Diferencia de Variables 14

8.1 Propiedades del operador integral entre lımites infinitos con nucleo dependientede la diferencia de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8.2 Autofunciones de la ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8.3 Solucion de la ecuacion no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9 El Metodo de Wiener-Hopf (Metodo de Factorizacion) 16

9.1 Conceptos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9.2 Propiedades analıticas de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 16

9.3 Ecuaciones integrales en el semieje con nucleos dependientes de la diferencia . . 17

9.4 Esquema general del Metodo de Wiener-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17



6 INDICE

10 Respuestas a los ejercicios 181

Bibliografıa 183



Introduccion

La teorıa de las ecuaciones integrales lineales es un tema de gran elegancia matematica y, a vez, una herramienta eficiente para acometer la solucion de multiples problemas de la FısicMatematica.

El libro que se presenta al lector es el resultado de la experiencia del autor como profesor dun curso homonimo que, como postgrado y dentro del programa de la Maestrıa en Fısica de Facultad de Fısica de la Universidad de La Habana el autor ha impartido por mas de 40 ano

En el libro se desarrollan los aspectos fundamentales de la teorıa de las ecuaciones integrales qutienen importancia para la Fısica Matematica, que son las ecuaciones con nucleo real, continuy simetrico.

Se abordan, tambien, los principales metodos de solucion de tales ecuaciones y la vinculacioexistente entre las ecuaciones integrales y los problemas de frontera de la Fısica Matematica

Luego se desarrolla, aun mas, la teorıa de ecuaciones integrales, estudiando la teorıa general dFredholm para ecuaciones con nucleo arbitrario.

La teorıa general de las ecuaciones integrales de Fredholm de primer tipo y el metodo regulrizador de Andrei Nikolaevich Tıjonov es estudiado en un capıtulo aparte, por su importancpara la solucion de problemas incorrectos de la Fısica Matematica.

De manera especial se desarrolla, tambien, el importante caso particular en el que la ecuaciointegral de Fredholm es planteada entre lımites infinitos, con nucleo que depende de la diferencde las variables.

Por ultimo, se estudian los elementos principales del Metodo de Wiener-Hopf, conocido tambiecon el nombre de Metodo de Factorizacion, que tiene una amplia aplicacion en la solucion decuaciones integrales en el semieje (0, ∞).

7



8 Introduccion



Capıtulo 1

Clasificacion de las ecuacionesintegrales

En terminos generales, se denomina ecuacion integral aquella ecuacion en la que la funcioincognita se encuentra bajo un signo de integracion. Si la funcion incognita aparece solo linalmente, entonces la ecuacion integral es lineal.

Como puede comprenderse, esta definicion es muy amplia; sin embargo, nosotros estudiaremoespecıficamente, aquellas ecuaciones integrales de mayor aplicacion y que son las siguientes.

1.1 Ecuacion integral de Fredholm

Sea f (x) una funcion definida en el segmento a ≤ x ≤ b y K (x, s) una funcion definida en cuadrado {a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b}. Sea ϕ(x) una funcion desconocida en el segmento a ≤ x ≤Entonces, se llama ecuacion integral de Fredholm de primer tipo a la ecuacion que tienla forma que aparece a continuacion:

ba

K (x, s)ϕ(s)ds = f (x) (1.

y se llama ecuacion integral de Fredholm de segundo tipo a la ecuacion que tiene forma

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (1.2

En ambas ecuaciones definidas ası, la funcion f (x) recibe el nombre de inhomogeneidad de lecuacion, de manera que, si f (x) = 0, las expresiones (1.1) y (1.2) nos definiran las ecuacioneintegrales homogeneas de Fredholm de primer y segundo tipo, respectivamente. La funcioK (x, s) se conoce con el nombre de nucleo de la ecuacion integral; λ es cierto parametro

9



10 Jose Marın Antu na

En la definicion dada arriba no se hace ningun tipo de especificacion sobre las caracterısticasdel nucleo K (x, s) de la ecuacion, salvo que esta definido en un cuadrado del plano (x, s).Sin embargo, dada su vinculacion con los problemas fısicos, nosotros nos interesaremos, es-pecıficamente, por aquellos nucleos que cumplan con las condiciones siguientes:

1. K (x, s) = 0 identicamente para a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b,

2. K (x, s) es una funcion real de sus argumentos.

3. K (x, s) es continua y, por tanto, acotada para a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b.

4. K (x, s) ≡ K (s, x), es decir, el nucleo es simetrico.

Para abreviar nuestro desarrollo futuro de la teorıa, al conjunto de estas cuatro condicionesle llamaremos propiedad A, de manera que, si decimos que un nucleo de cierta ecuacionintegral cumple la propiedad A, estaremos suponiendo que satisface las cuatro condicionesarriba expresadas.

1.2 Ecuacion integral de Volterra

Sea f (x) una funcion definida en el segmento a < x < b y K (x, s) una funcion definida en eltriangulo a ≤ s ≤ x ≤ b. Entonces, para la funcion desconocida ϕ(x) en a ≤ x ≤ b, la ecuacion,

x

a

K (x, s)ϕ(s)ds = f (x) (1.3)

se llama ecuacion integral de Volterra de primer tipo y la ecuacion,

ϕ(x) = λ

xa

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (1.4)

se llama ecuacion integral de Volterra de segundo tipo. Como se observa, las ecuacionesde Volterra son aquellas en las que el lımite superior de la integral es variable.

Las ecuaciones de Volterra pueden ser consideradas como un caso particular de las de Fredholm,

ya que, si tomamos el nucleo K (x, s) = 0 para s ≤ x y K (x, s) ≡ 0 para s > x en las ecuacionesde Fredholm (1.1) y (1.2), estas se hacen equivalentes a las ecuaciones de Volterra (1.3) y (1.4).

Las definiciones arriba dadas se refieren a ecuaciones integrales unidimensionales, donde elnucleo es bidimensional. Aunque en el desarrollo teorico trabajaremos con estas ecuaciones,ya que se simplifican de esta manera los calculos y demostraciones, en terminos generaleslos resultados seran extensibles a ecuaciones integrales en varias dimensiones, las cuales sonimportantes tambien en la Fısica Matematica. La ecuacion integral de Fredholm de segundotipo en tres dimensiones, por ejemplo, es de la forma:



Clasificacion de las ecuaciones integrales 1

ϕ(M ) = λ

V

K (M, P )ϕ(P )dP + f (M ) (1.5

donde M = (x,y,z ), P = (ξ ,η ,ζ ) y V es un dominio en el espacio tridimensional.

1.3 Problemas que conducen a ecuaciones integrales

Veremos, ahora, algunos ejemplos de diversa ındole que conducen a ecuaciones integrales.

1. Supongamos que en cierto dominio tridimensional V de frontera S tenemos planteadel primer problema homogeneo para la ecuacion de Helmholtz homogenea, es decir, problema de Sturm-Liouville:

∇2u + λu = 0, ∀M ∈ V (1.6

u|S = 0

Del cursolibro de Metodos Matematicos de la Fısica del autor sabemos que la funcion dGreen para la ecuacion de Poisson es

G(M, P ) = 1

4πrMP + v (1.7

donde la funcion v es armonica en el dominio donde se busca la solucion del problema:

∇2u = −f (M ), ∀M ∈ V (1.8

u|S = 0

La teorıa desarrollada en el libro mencionado nos conduce a que la solucion del problem(1.8) se expresa en la forma:

u(M ) =

V

f (P )G(M, P )dP (1.9

Por consiguiente, la solucion del problema (1.6) puede expresarse como,

u(M ) = λ

V

G(M, P )u(P )dP (1.10

que es una ecuacion integral de Fredholm de segundo tipo homogenea con nucleo

K (M, P ) ≡ G(M, P )

simetrico.




2. En el libro de Metodos Matematicos de la Fısica arriba mencionado vimos que la soluciondel problema de Dirichlet para la ecuacion de Laplace en el interior de cierta regionbidimensional S de frontera formada por la curva cerrada C :

∇2u = 0, ∀M ∈ S (1.11)

u|C = f (M )

podıa ser buscada como un potencial de doble capa,

u(M ) =

C

cos ϕ(M, P )

rMP ν (P )dlP (1.12)

y para la funcion de densidad dipolar ν (M ) obtuvimos la ecuacion,

ν (x) + 1

π l

0

K (x, s)ν (s)ds = 1

πf (x) (1.13)

donde

K (x, s) = cos ϕ(x, s)

r(x, s) (1.14)

es el nucleo de la ecuacion integral (1.13), que es una ecuacion integral de Fredholm desegundo tipo.

3. Consideremos el siguiente problema de Cauchy para una ecuacion diferencial ordinaria deorden n:

ϕ(n) +n−1k=0

ak(x)ϕ(k)(x) = f (x) (1.15)

ϕ(a) = 0, ϕ(a) = 0,...,ϕ(n−1)(a) = 0

Buscamos la solucion de este problema en la forma:

ϕ(x) = 1

(n

−1)!

x

a

y(s)(x − s)n−1ds (1.16)

donde y(x) es una nueva funcion incognita. De (1.16) tenemos:

ϕ(k)(x) = 1

(n − 1 − k)!

xa

y(s)(x − s)n−1−kds (1.17)

para todo 1 ≤ k ≤ n − 1 y

ϕ(n)(x) = y(x) (1.18)



Clasificacion de las ecuaciones integrales 1

Colocando (1.17) y (1.18) en la ecuacion del problema (1.5), se obtiene:

y(x) +

xa

K (x, s)y(s)ds = f (x) (1.19

con

K (x, s) =n−1

k=0

ak(x)(x − s)n−1−k

(n − 1 − k)!

(1.20

La ecuacion (1.19) es una ecuacion integral de Volterra de segundo tipo.



Capıtulo 2

Ecuacion integral de Fredholmhomogenea de segundo tipo

Comenzaremos, ahora, el estudio detallado de la ecuacion de Fredholm homogenea de segundtipo. Esta es:

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (2.

En todo nuestro desarrollo supondremos siempre que el nucleo de (2.1) cumple la propiedad AIntroduzcamos la siguiente notacion operacional. Llamemos A al operador lineal definido po

Au = ba

K (x, s)u(s)ds (2.2

Entonces, en forma operacional la ecuacion (2.1) puede escribirse de manera equivalente:

ϕ = λAϕ (2.3

Introduzcamos el concepto de producto interno de dos funciones u(x) y v(x), integrables eel segmento [a, b], de la siguiente forma:

(u, v) ≡ (v, u) =

ba

u(x)v(x)dx (2.4

Para los nucleos que cumplan la propiedad A se verifica que

(u, Av) = (v, Au) (2.5

15




Efectivamente, tenemos que:

(u, Av) =

ba

u(x)

ba

K (x, s)v(s)dsdx =

= b

a

v(s) b

a

K (x, s)u(x)dxds =

=

ba

v(s)

ba

K (s, x)u(x)dxds = (v, Au)

LQQD.

Aquı, hemos tenido en cuenta que el nucleo K (x, s) es simetrico, pues cumple la propiedad A.

Es evidente que la ecuacion (2.1) o su equivalente (2.3) siempre tiene solucion trivial, ya quela funcion ϕ = 0 la satisface. A continuacion daremos una importante definicion.

Definicion:

Aquellos valores de λ para los cuales la ecuacion (2.1) tiene solucion no trivial se llaman autova-lores de la ecuacion; las soluciones no triviales que les corresponden se llaman autofuncionesde la ecuacion.

Como la ecuacion integral (2.1) se define completamente por la expresion de su nucleo K (x, s),muchas veces se dice que son los autovalores y las autofunciones del nucleo o, equivalentemente,los autovalores y las autofunciones del operador A.

Estos autovalores y autofunciones tienen las siguientes propiedades.

2.1 Propiedades.

1. Las autofunciones de la ecuacion (2.1), correspondientes a distintos autovalores, son or-togonales en el segmento [a, b].

Demostracion:

Sea ϕ1(x) la autofuncion correspondiente al autovalor λ1 y ϕ2(x) la autofuncion corres-pondiente al autovalor λ2 y que λ1 = λ2. Entonces, podemos escribir:

1

λ1ϕ1(x) ≡

ba

K (x, s)ϕ1(s)ds (2.6)

1

λ2ϕ2(x) ≡

ba

K (x, s)ϕ2(s)ds (2.7)

Multipliquemos (2.6) por ϕ2(x) y (2.7) por ϕ1(x) y restemos ambas expresiones. Entonces,utilizando la notacion operacional, obtenemos:



Ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo 1

1

λ1ϕ1(x)ϕ2(x) ≡ ϕ2(x)Aϕ1(s) (2.8

1

λ2ϕ2(x)ϕ1(x) ≡ ϕ1(x)Aϕ2(s) (2.9

Restemos (2.8) y (2.9) e integremos. Nos queda:

1

λ1− 1

λ2

(ϕ1(x), ϕ2(x)) = (ϕ2(x), Aϕ1(s)) − (ϕ1(x), Aϕ2(s)) ≡ 0 (2.10

La igualdad a cero es en virtud de (2.5), ya que el nucleo es simetrico. Como por hipotesλ1 = λ2, finalmente queda:

(ϕ1(x), ϕ2(x)) ≡ ba

ϕ1(x)ϕ2(x)dx ≡ 0 (2.1

Demostrada la propiedad.Debemos senalar que, si a un mismo autovalor λk le corresponden varias autofunciones linealmente independientes, es decir, si el autovalor es degenerado, siempre podemolograr que dichas autofunciones sean ortogonales entre sı, aplicando el metodo de otogonalizacion desarrollado en el curso de Metodos Matematicos de la Fısica. Siempconsideraremos que dicha ortogonalizacion esta ya realizada.

Por otra parte, si ϕ1(x) es una autofuncion correpondiente al autovalor λ1, entoncecomo la ecuacion es homogenea, la funcion ψ1(x) = Cϕ1(x) tambien sera una autofunciocorrespondiente a λ1. Por consiguiente, siempre podemos elegir una constante tal que scumpla que la norma al cuadrado,

ϕ2 ≡ ba

ϕ2(x)dx = 1 (2.12

En tal caso diremos que el sistema de autofunciones es ortonormado (es decir, ortogonal y de norma unitaria). Tambien consideraremos siempre que este proceso estefectuado, es decir, que siempre las autofunciones ya son ortonormales.

2. Todos los autovalores de la ecuacion (2.1) son reales.

Demostracion:

La demostracion la realizaremos por reduccion al absurdo. Supongamos que -contrara la tesis- cierta autofuncion ϕ(x) = α(x) + iβ (x) corresponde a un autovalor complejλ = µ + iν donde ν = 0. Entonces,tenemos la identidad

ϕ ≡ λAϕ (2.13

y, efectuando la conjugacion compleja:

ϕ∗ ≡ λ∗A∗ϕ∗ ≡ Aϕ∗ (2.14




pues, al cumplir K (x, s) la propiedad A y ser, por lo tanto real, A∗ ≡ A.

Como λ = λ∗, ya que ν = 0 y ϕ = ϕ∗, debera cumplirse la primera propiedad, es decir:

ba

ϕ(x)ϕ∗(x)dx ≡ ba

|ϕ(x)|2dx = 0 (2.15)

Pero (2.15) significa que ϕ(x)≡

0, es decir es la solucion trivial. Por consiguiente λ no esun autovalor, ya que -por definicion- autovalor es aquel valor de λ para el que la soluciones no trivial. Por lo tanto, λ tiene que ser real.

Demostrada la propiedad.

3. A cada autovalor de la ecuacion (2.1) pueden corresponder, solamente, un numero finitode autofunciones linealmente independientes.

Demostracion:

Supongamos que al autovalor λ0 de la ecuacion (2.1) le corresponden las autofunciones

ϕ1(x), ϕ2(x),...,ϕn(x) (2.16)

Entonces, tendremos las identidades:

1

λ0ϕk(x) ≡

ba

K (x, s)ϕk(s)ds (2.17)

para todo k = 1, 2,...,n. Las expresiones (2.17) son los coeficientes de Fourier del nucleoK (x, s) en la base (2.16). De la teorıa de Fourier sabemos que si un sistema de funciones{ψi(x)} es ortonormado, es decir, si

(ψi, ψk) = δ ik (2.18)

entonces, para toda funcion f (x) del espacio de funciones ψi(x) tiene lugar la desigualdadde Bessel:

∞k=1

f 2k ≤ f 2 (2.19)

donde f k = (f, ψk) son los coeficientes de Fourier de la funcion f (x) en la base ψk(x) y

f 2= (f, f ) ≡ ba

f 2(x)dx (2.20)

es el cuadrado de la norma de la funcion f (x). La desigualdad (2.19) se cumplira, conmayor razon aun, si la suma es finita. Por consiguiente, los coeficientes (2.17) satisfacenla desigualdad de Bessel:

nk=1

1

λ20

ϕ2k(x) ≤

ba

K 2(x, s)ds (2.21)




Integrando (2.21) respecto a x en [a, b], obtenemos:

nk=1

1

λ20

ba

ϕ2k(x)dx ≤

ba

ba

K 2(x, s)dsdx (2.22

Es decir:

nk=1

ba

ϕ2k(x)dx ≤ λ2

0

ba

ba

K 2(x, s)dsdx (2.23

Llamando M = max |K (x, s)|, pues el nucleo cumple la propiedad A y, teniendo en cuentla ortonormalidad de las autofunciones ϕk(x), de (2.23) obtenemos que:

n ≤ λ20M 2(b − a)2 (2.24

La expresion (2.24) significa que el numero n es acotado y, por consiguiente, al autovalo

λ0 le corresponde, solamente, un numero finito de autofunciones.


En el caso en que n > 1 se dice que el autovalor λ0 es degenerado y al numero n se llama multiplicidad o rango de degeneracion del autovalor.

4. En un segmento acotado [−l, l] del eje λ solo puede haber un numero finito de autovalorede la ecuacion (2.1).

Demostracion:

Supongamos que en el segmento [−l, l] hay N autovalores λ1, λ2,...,λN a los cuales le

corresponden las autofunciones ϕ1(x), ϕ2(x),...,ϕN (x). Obtengamos una valoracion parel numero N. Tenemos las identidades:

1

λkϕk(x) ≡

ba

K (x, s)ϕk(s)ds (2.25

para todo k = 1, 2,...,N . Estos son los coeficientes de Fourier del nucleo K (x, s) en base de las autofunciones consideradas. Por consiguiente, se cumple la desigualdad dBessel:

N k=1

ϕ2k(x)λ2k

≤ ba

K 2(x, s)ds (2.26

Integrando (2.26) respecto a x entre a y b y teniendo en cuenta la ortonormalidad de laautofunciones, obtenemos:

N k=1

1

λ2k

≤ ba

ba

K 2(x, s)dsdx (2.27




Llamando M = max |K (x, s)| y teniendo en cuenta que, como −l < λk < l, para toda kse cumple que λ2

k < l2, de (2.27) obtenemos que:

N

l2 ≤ M 2(b − a)2 (2.28)

Es decir:

N ≤ l2M 2(b − a)2 (2.29)

La expresion (2.29) significa que N es un numero acotado.


Esta cuarta propiedad tiene dos evidentes corolarios:

Corolario 1

Los autovalores de la ecuacion (2.1) con nucleo que cumpla la propiedad A pueden serordenados en forma creciente:

|λ1| < |λ2| < ..... < |λn| < .... (2.30)

Ello es evidente, ya que, por la propiedad 2 son reales y, por la propiedad 4, no existenpuntos de acumulacion en el eje λ.

Corolario 2

Los autovalores de la ecuacion (2.1) cumplen que

limn→∞

|λn| = ∞ (2.31)

lo que es evidente, ya que la propiedad 4 significa que no hay puntos de acumulaci on enel eje λ y, por tanto, la sucesion de autovalores tiene que ser divergente.

Las propiedades de los autovalores y las autofunciones enunciadas y demostradas aquı,nos seran de gran utilidad posteriormente.

2.2 Nucleos Iterados.

Supongamos dada cierta funcion integrable en [a, b] ψ0(x), y consideremos el nucleo K (x, s) dela ecuacion integral (2.1). Construyamos la siguiente sucesion de funciones:

ψ1(x) =

ba

K (x, s)ψ0(s)ds (2.32)

ψ2(x) =

ba

K (x, s)ψ1(s)ds (2.33)




......

ψn(x) =

ba

K (x, s)ψn−1(s)ds (2.34

.......

Expresemos las funciones (2.32),..., (2.34),... a traves de ψ0(x). Tenemos:

ψ2(x) =

ba

K (x, t)

ba

K (t, s)ψ0(s)ds

dt ≡

≡ ba

ba

K (x, t)K (t, s)dt

ψ0(s)ds ≡

≡ b

a

K 2(x, s)ψ0(s)ds (2.35

donde hemos llamado

K 2(x, s) ≡ ba

K (x, t)K (t, s)dt (2.36

De manera completamente analoga:

ψn(x) =

ba

K (x, t)

ba

K n−1(t, s)ψ0(s)ds

dt ≡

≡ ba

K n(x, s)ψ0(s)ds (2.37

donde

K n(x, s) = b

a

K (x, t)K n−1(t, s)dt (2.38

Obviamente, (2.36) es un caso particular de (2.38) para n = 2, donde K 1(x, s) ≡ K (x, sLas funciones dadas por (2.38), con n = 1, 2,... se denominan nuleos iterados de orden nEvidentemente, pueden ser escritos de la siguiente forma:

K n(x, s) =

ba

...

ba

K (x, t1)K (t1, t2)....K (tn−1, s)dt1...dtn−1 (2.39




donde se integra n − 1 veces.

Utilizando la notacion operacional, tendremos que lo anterior puede ser escrito en forma com-pacta:

ψ1 = Aψ0 (2.40)

ψ2 = Aψ1 ≡ A(Aψ0) ≡ A2ψ0 (2.41)

...........

ψn = Aψn−1 ≡ Anψ0 ≡ A p(Aqψ0) (2.42)

donde p + q = n, ya que -en virtud de (2.39)- podemos escribir que,

K n(x, s) =

ba

K p(x, t)K q(t, s)dt (2.43)

Ası, en forma operacional, el operador Aq debe interpretase como:

Aqψ =

ba

K q(x, s)ψ(s)ds (2.44)

donde K q(x, s) es el nucleo iterado de orden q . Tiene lugar el siguiente teorema.

Teorema

Si el nuleo K (x, s) de la ecuacion (2.1) cumple la propiedad A, entonces, todos sus nucleositerados cumplen, tambien, la propiedad A.

Demostracion:

Es evidente, de acuerdo con (2.39), que si K (x, s) es real, continuo y acotado en el cuadrado

{a

≤x

≤b, a

≤s

≤b

}, K n(x, s) tambien lo sera, de manera que solo tenemos que comprobar

la simetrıa del nucleo iterado y que no es identicamente nulo.

Comprobemos que K n(x, s) = K n(s, x). Para n = 2 tenemos que, como K (x, s) es simetrico:

K 2(x, s) =

ba

K (x, t)K (t, s)dt ≡ ba

K (s, t)K (t, x)dt ≡ K 2(s, x) (2.45)

Suponiendo, ahora, que se cumple que K n−1(x, s) = K n−1(s, x), hallamos que




K n(x, s) =

ba

K (x, t)K n−1(t, s)dt ≡ ba

K (t, x)K n−1(s, t)dt ≡ K n(s, x) (2.46

por lo que, por induccion completa, queda demostrada la simetrıa de todos los nucleos iterado

Comprobemos, ahora, que los nucleos iterados no son identicamente nulos. Supongamos

contrario, es decir, que hay nucleos iterados identicamente iguales a cero y sea K m(x, s) nucleo iterado de menor orden identicamente nulo. Es decir, que

K k(x, s) = 0, ∀1 ≤ k < m (2.47

y

K m(x, s) ≡ 0, K k(x, s) ≡ 0, ∀k > m (2.48

Existen dos posibilidades:

1. que m sea par: m = 2 p. Entonces, por (2.43), tendremos

K 2 p(x, s) =

ba

K p(x, t)K p(t, s)dt ≡ 0 (2.49

En virtud de la simetrıa de los nucleos iterados, (2.49) significa que

K 2 p(x, x) = ba K p(x, t)K p(t, x)dt ≡ b

a K 2 p (x, t)dt ≡ 0 (2.50

lo que significa que K p(x, s) ≡ 0 con p < m = 2 p. Esto contradice (2.47). Por lo tanto, no spuede admitir que haya nucleos iterados identicamente nulos con m par.

2. que m sea impar: m = 2 p + 1. Entonces, por (2.43) de nuevo, tendremos:

K m+1(x, s) ≡ K 2 p+2(x, s) =

ba

K p+1(x, t)K p+1(t, s)dt ≡ 0 (2.5

en virtud de (2.48). Pero, entonces, en virtud de la simetrıa de los nucleos iterados:

K m+1(x, x) =

ba

[K p+1(x, t)]2 dt ≡ 0 (2.52

de donde concluimos que K p+1(x, s) ≡ 0 con p + 1 < m = 2 p + 1 lo que, de nuevo, contradic(2.47). Por consiguiente, debemos concluir que ningun nucleo iterado es identicamente nulPor tanto, los nucleos iterados cumplen la propiedad A.




Demostrado el teorema.

Tiene lugar otro importante teorema.

Teorema

Si la funcion ϕ(x) es autofuncion del nucleo K (x, s) con autovalor λ0, entonces, es autofuncion

del nucleo iterado K n(x, s) con autovalor λ

n

0 .Demostracion:

Por hipotesis, se cumple la identidad:

ϕ ≡ λ0Aϕ (2.53)

Colocando (2.53) reiteradamente en su derecha, obtenemos, automaticamente, que

ϕ ≡ λ0A(λ0Aϕ) ≡ λ20A2ϕ ≡ ... ≡ λn

0Anϕ (2.54)

La identidad (2.54) significa que, efectivamente,

ϕ ≡ λn0

ba

K n(x, s)ϕ(s)ds (2.55)


Los nucleos iterados seran utilizados en la construccion, por aproximaciones sucesivas, de lasolucion de la ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo, a lo que nos dedi-caremos en el proximo epıgrafe.

2.3 Metodo de aproximaciones sucesivas para la ecua-cion integral de Fredholm homogenea de segundo

tipo.

Nos dedicaremos a buscar una autofuncion y su autovalor para la ecuacion

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (2.56)

donde el nucleo K (x, s) cumple la propiedad A. Recordemos, previamente, una relacion util.




2.3.1 Desigualdad de Cauchy-Buniakovsky

En el libro de Metodos Matematicos de la Fısica vimos que, para dos funciones f (x) y g(x) despacio L2[a, b] se cumplıa la llamada desigualdad de Cauchy-Buniakovsky

ba

f (x)g(x)dx ≤ ba

f 2(x)dx ba

g2(x)dx1/2

(2.57

O, de forma compacta:

|(f, g)| ≤

(f, f )(g, g) ≡

f 2 g 2 (2.58

La demostracion de esta desigualdad puede hacerse si nos percatamos de que

ba

[f (x) + λg(x)]2dx ≥ 0 (2.59

Al desarrollar la expresion (2.59) se obtiene:

g 2 λ2 + 2(f, g)λ+ f 2≥ 0 (2.60

Para que (2.60) se cumpla para cualquier λ, debe cumplirse que el discriminante

|(f, g)|2− f 2 g 2≤ 0 (2.6

de donde, automaticamente, se desprende la desigualdad (2.58).

2.3.2 Teorema de existencia

Pasemos a enunciar y demostrar el siguiente teorema de existencia:

Teorema

La ecuacion integral (2.56) con nucleo que cumpla la propiedad A, tiene, al menos, un autovaloy una autofuncion.

Demostracion

Dividiremos la demostracion en cuatro partes.

1. Construccion de las aproximaciones sucesivas.




Como el nucleo K (x, s) cumple la propiedad A, existira al menos, un punto (x0, s0) tal queK (x0, s0) = 0. Escojamos como aproximacion de orden cero la funcion

ψ0(x) = K (x, x0) (2.62)

y construyamos la sucesion de aproximaciones sucesivas de la siguiente forma:

ψ1(x) =

ba

K (x, s)ψ0(s)ds ≡ Aψ0 (2.63)

ψ2 = Aψ1 ≡ A2ψ0 (2.64)

...............

ψn = Aψn−1 ≡ Anψ0 (2.65)

...........

Es evidente que la sucesion funcional {ψn(x)} obtenida no es trivial, ya que, por ejemplo

ψ1(x0) =

ba

K (x0, s)K (s, x0)ds =

ba

K 2(x0, s)ds = 0 (2.66)

pues K (x, s) cumple la propiedad A. Por tanto, ψ1(x)

= 0. Igual razonamiento nos conduce a

concluir que ψn(x) = 0. Introduzcamos la notacion:

N n ≡ ψn 2≡ ba

ψ2n(x)dx (2.67)

Entonces tendremos:

N n = (ψn, ψn) = (Anψ0, Anψ0) = (A(An−1)ψ0, Aψ0) =

= (An−1ψ0, An+1ψ0) = ...

... = (A pψ0, Aqψ0) ≡ ba

ψ p(x)ψq(x)dx (2.68)

Ahora bien, de acuerdo con (2.58), tenemos que:

|N n| ≡ |(ψ p, ψq)| ≤

(ψ p, ψ p)(ψq, ψq) ≡

N pN q (2.69)




y, en particular:

|N n| ≤

N n−1N n+1 (2.70

Es facil ver que ninguna de las funciones ψn(x) de nuestra sucesion es identicamente nula, puesi suponemos, por ejemplo, que ψn(x)

= 0 y ψn+1

≡0, entonces, por (2.70):

|N n| ≤

N n−1 · 0 = 0 (2.7

y, como N n ≡ ψn 2≥ 0, de (2.71) concluirıamos que N n ≡ 0 lo que implicarıa que ψn(x) ≡contrario a lo supuesto.Ası pues, ninguna funcion de la sucesion es identicamente nula y, potanto, ninguna norma N n es igual a cero. Por consiguiente, podemos introducir una sucesionormalizada de funciones dada por:

ϕn(x) =

ψn(x)

√ N n (2.72

Las funciones (2.72) tienen, evidentemente, norma unitaria. Como, de acuerdo con (2.65)

ψn(x) =

ba

K (x, s)ψn−1(s)ds (2.73

tendremos, para las funciones ϕn(x), de (2.73):

ϕn(x) = µn

ba

K (x, s)ϕn−1(s)ds (2.74

donde,

µn =

N n−1

N n(2.75

De esta forma quedan construıdas las aproximaciones sucesivas. Nuestro objetivo sera demostrar que las aproximaciones sucesivas (2.74) convergen a una funcion que satisface ecuacion (2.56). Para ello, demostremos primero la convergencia de la sucesion numerica {µn

definida por (2.75). Es decir, veamos la segunda parte de la demostracion.

2. Convergencia de la sucesion numerica {µn}

Demostraremos que µn → λ0 para n → ∞. Para ello, demostremos que la sucesion {µn} emonotona no creciente y acotada por debajo. Ello implicara su convergencia.

Tenemos:




µn =

N n−1

N n≡

N n−1N nN nN n

=

=

√ N n−1N n

N n≥

√ N n−1N n√

N n−1N n+1

=

N nN n+1

≡ µn+1 (2.76)

donde, en el denominador, hemos tenido en consideracion la expresion (2.70). La desigualdad(2.76) nos dice que, efectivamente, la sucesion {µn} es monotona no creciente. Por otra parte,aplicando a (2.74) la desigualdad de Cauchy-Buniakovsky, tendremos:

|ϕn(x)|2 ≡ µ2n

ba

K (x, s)ϕn−1(s)ds

2 ≤

≤ µ2n

b

a

K 2(x, s)ds b

a

ϕ2(s)ds (2.77)

De (2.77) y teniendo en cuenta que las funciones ϕn(x) son normalizadas, por lo que la segundaintegral es igual a la unidad, obtenemos:

|ϕn(x)|2 ≤ µ2n

ba

K 2(x, s)ds (2.78)

Integrando (2.78) respecto a x entre a y b y teniendo en cuenta que ϕ(x) son normalizadas,obtenemos:

1 ≤ µ2nC 2 (2.79)

donde hemos llamado

C 2 =

ba

ba

K 2(x, s)dxds (2.80)

Por lo tanto:

µ2n ≥

1

C 2 (2.81)

Es decir, tomando solo la raız positiva, pues de (2.75) se ve que µn son numeros positivos:

µn ≥ 1

C (2.82)




donde, de acuerdo con (2.80), 0 < C < ∞, ya que el nucleo K (x, s) cumple la propiedad ALa expresion (2.82) significa que, efectivamente, la sucesion {µn} es acotada por debajo. Polo tanto, esta sucesion converge. Denotemos su lımite por:

limn→∞

µn = λ0 ≥ 1

C (2.83

Pasemos, ahora, a una tercera fase de la demostracion del teorema de existencia.

3. Determinacion del autovalor y de la autofuncion de la ecuacion (2.56).

La convergencia de la sucesion numerica {µn} no implica, necesariamente, la convergencia dla sucesion funcional {ϕn(x)}. Por ello, supongamos que se cumple la convergencia uniformde las subsucesiones par e impar:

{ϕ2m(x)} ⇒ ϕ(x), ∀m = 0, 1, 2,... (2.84

{ϕ2m+1(x)} ⇒ ¯ϕ(x), ∀m = 0, 1, 2... (2.85

que demostraremos en la cuarta parte de esta demostracion del teorema de existencia.

Tendremos, de acuerdo con (2.74):

ϕ2m(x) = µ2m b

a

K (x, s)ϕ2m−1(s)ds (2.86

ϕ2m+1(x) = µ2m+1

ba

K (x, s)ϕ2m(s)ds (2.87

Por consiguiente, haciendo n → ∞, obtenemos, teniendo en cuenta (2.86) y (2.87):

ϕ(x) = λ0

ba

K (x, s) ¯ϕ(s)ds (2.88

¯ϕ(x) = λ0

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (2.89

Evidentemente, las funciones ϕ(x) y ¯ϕ(x) son normadas y no identicamente nulas. Analicemolas funciones:

ϕ(x) = ϕ(x) − ¯ϕ(x) (2.90




˜ϕ(x) = ϕ(x) + ¯ϕ(x) (2.91)

Sumando (2.90) y (2.91), obtenemos:

˜ϕ(x) ≡ λ0 ba

K (x, s) ˜ϕ(s)ds (2.92)

Restando (2.90) y (2.91), obtenemos:

ϕ(x) ≡ −λ0

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (2.93)

Los resultados (2.92) y (2.93) indican que el metodo de aproximaciones sucesivas nos da lasfunciones ˜ϕ(x) y ϕ(x) que satisfacen la ecuacion (2.56). Por lo tanto, queda demostrada laexistencia de la solucion. Aquı son posibles tres casos:

1) ˜ϕ(x) = 0, ϕ(x) = 0. Entonces, de acuerdo con (2.92) y (2.93), concluimos que ˜ϕ(x) es unaautofuncion de la ecuacion (2.56) correspondiente al autovalor λ0 y que ϕ(x) es una autofuncionde la misma ecuacion correspondiente al autovalor −λ0.

2) ϕ(x) ≡ 0. Entonces, de (2.92) y (2.93) concluimos que ϕ(x) ≡ ¯ϕ(x) ≡ ϕ(x) y, por lo tanto,existe la autofuncion ϕ(x) de la ecuacion (2.56) correspondiente al autovalor λ0. En este caso(2.84) y (2.85) nos permiten afirmar que la sucesion {ϕn(x)} converge uniformemente a ϕ(x).

3) ˜ϕ(x)

≡ 0. Entonces, de (2.91) concluimos que ϕ(x)

≡ −¯ϕ(x)

≡ ϕ(x)

= 0 y, por lo tanto,

existe la autofuncion ϕ(x) de la ecuacion (2.56) correspondiente al autovalor −λ0. En estecaso, la sucesion {ϕn(x)} no converge (no tiene lımite), ya que las subsucesiones par e impar,de acuerdo con (2.84) y (2.85), tienen lımites diferentes. Sin embargo, la sucesion {(−1)nϕn(x)}sera convergente uniformemente a ϕ(x).

De esta manera queda demostrada la existencia de, al menos, una autofuncion y un autovalorde la ecuacion (2.56), lo que demuestra el teorema de existencia. Pero, para poder decirque el teorema esta totalmente demostrado, es necesario demostrar aun que las convergenciasuniformes (2.84) y (2.85) tienen lugar. Eso lo abordaremos en la cuarta parte de esta largademostracion.

4. Demostracion de la convergencia uniforme de {ϕn(x)} para ındices pares e im-pares.

En virtud de que las funciones ϕn(x) son normalizadas, llamando M = max|K (x, s)| y uti-lizando la desigualdad de Cauchy-Buniakovsky, tendremos, por (2.74):

|ϕn(x)| = µn

ba

K (x, s)ϕn−1(s)ds

≤ µn

ba

K 2(x, s)ds

ba

ϕ2n−1(s)ds

1/2

(2.94)




de donde:

|ϕn(x)| ≤ µnM √

b − a ≤ µ1M √

b − a ≡ M 0 (2.95

pues, como la sucesion µn es monotona no creciente, µn ≤ µ1. Por consiguiente, la sucesion funcional

{ϕn(x)

} es uniformemente acotada. Por otra parte, como el nucleo K (x, s) es continu

tendremos que, para ε > 0, existira un δ > 0 tal que si |x − x”| < δ , se cumplira que:

|K (x, s) − K (x, s)| < ε

µ1M 0(b − a) (2.96

Por consiguiente:

|ϕn(x) − ϕn(x)| ≤ µn b

a

|K (x, s) − K (x, s)||ϕn−1(s)|ds ≤

≤ µ1M 0

ba

|K (x, s) − K (x, s)|ds < µ1M 0ε(b − a)

µ1M 0(b − a) ≡ ε (2.97

donde hemos tenido en cuenta (2.95), (2.96) y que µn ≤ µ1. La expresion (2.97) nos establecque la sucesion {ϕn(x)} es continua en [a, b].

Como {ϕn(x)} es uniformemente acotada y continua, de acuerdo con el teorema de Arzela, della puede sacarse una subsucesion {ϕnp(x)} convergente en media, es decir, tal que:

I mp,np ≡ ba

|ϕmp(x) − ϕnp(x)|2dx < ε, ∀m p, n p > N (ε) (2.98

Demostremos que la subsucesion que podemos elegir es la de subındices de igual paridad. Seam y n numeros de igual paridad y analicemos la siguiente expresion, donde tenemos en cuentque las funciones son normalizadas:

I m,n =

ba

[ϕm(x) − ϕn(x)]2dx ≡ ba

ϕ2m(x)dx +

ba

ϕ2n(x)dx − 2

ba

ϕm(x)ϕn(x)dx =

= 2 − 2 ba

ϕm(x)ϕn(x)dx = 2 − 2√ N mN n

ba

ψm(x)ψn(x)dx (2.99

Aquı hemos tenido en cuenta la definicion (2.72).

De acuerdo con (2.68), tenemos que:

N k = (ψk, ψk) ≡ (ψ p, ψq) (2.100




donde p + q = 2k. Por consiguiente, si hacemos m + n = 2k, tendremos k = (m + n)/2 que esun numero entero, pues m y n son de la misma paridad. Por lo tanto, tendremos que:

N m+n2

=

ba

ψ2m+n2

(x)dx =

ba

ψm(x)ψn(x)dx (2.101)

Colocando (2.101) en (2.99), tendremos:

I m,n = 2 − 2N m+n

2√ N mN n

(2.102)

Como N k > 0 y, ademas, N m+n2

<√

N mN n, por lo tanto, siempre se cumplira que:

0 < I m,n < 2 (2.103)

Analicemos, ahora, la siguiente expresion:

2 − I m,n

2 − I m−2,n=

2N m+n2√

N mN n

√ N m−2N n

2N m+n−22

=

=2N m+n

2

2N m+n2 −1

√ N m−2N m−1√

N mN m−1

= µmµm−1

N n+m2

N n+m2 −1

(2.104)

donde hemos tenido en cuenta la definicion (2.75). De acuerdo con esa misma definicion, (2.104)nos da:

2 − I m,n

2 − I m−2,n= µmµm−1

1

µ2m+n2

≥ 1 (2.105)

La desigualdad en (2.105) viene dada por ser la sucesi on {µn} monotona no creciente, bajo elsupuesto de que n > m.

De forma completamente analoga, concluimos que:

2 − I m,n

2 − I m,n+2=

µ2m+n2 +1

µn+1µn+2≥ 1 (2.106)

De (2.105) y (2.106) concluimos que:

I m,n ≤ I m−2,n, I m,n ≤ I m,n+2 (2.107)




Es decir, que, en general:

I m,n ≤ I m,n , ∀m ≤ m ≤ n ≤ n (2.108

donde m, m, n y n son todos numeros de la misma paridad.

Tomando, ahora, en (2.108) m = N y n p ≥ n, por el teorema de Arzela tendremos:

I m,n ≤ I N,n ≤ I N,np < ε (2.109

Por consiguiente, queda demostrado que las subsucesiones con ındices de igual paridad de sucesion {ϕn(x)} convergen en media y, como dichas subsucesiones son, a su vez, uniformementacotadas y continuas, tambien convergen uniformemente. De esta manera, quedan rigurosamente establecidas las convergencias uniformes (2.84) y (2.85).

Notese que la relacion (2.108) nos esta diciendo que I m,n es monotona no creciente y, com

ademas, por (2.103), es acotada por debajo con cota igual a cero, se deduce que, para m, n → ∞I m,n → 0 lo que, igualmente, garantiza la convergencia en media de las subsucesiones cosubındices de igual paridad.

Demostrado el teorema de existencia.

Es conveniente hacer las siguientes observaciones:

1. En primer lugar, debemos senalar que este teorema no es valido para la ecuacion dVolterra y puede no ser cierto para las ecuaciones de Fredholm con nucleos no simetrico

es decir, nucleos que no cumplan la propiedad A.

2. En segundo lugar, el lector puede comparar la afirmacion de este teorema con el teoremdemostrado en el capıtulo de Espacios Funcionales del libro de Metodos Matematicos dla Fısica del autor para los operadores autoconjugados totalmente continuos.



Capıtulo 3

Calculo de todos los autovalores y lasautofunciones de nucleos que cumplanla propiedad A. Nucleos degenerados.

Autovalores y autofunciones

3.1 Ideas basicas

El teorema de existencia que acabamos de demostrar en el capıtulo anterior, nos permite afirmala existencia de, al menos, un autovalor y una autofuncion para todo nucleo que cumpla propiedad A.

Desarrollaremos, ahora, un procedimiento para hallar todos los autovalores y todas las autofunciones de una ecuacion integral de Fredholm de segundo tipo con nucleo que cumpla propiedad A, a partir del autovalor y de la autofunci on cuya existencia esta garantizada por teorema del epıgrafe anterior.

Sea K (x, s) un nucleo que satisfaga la propiedad A y sea λ1 el autovalor correspondiente a autofuncion ϕ1(x) de este nucleo, hallados -digamos- por el metodo de aproximaciones sucesiva

Veamos el siguiente nucleo auxiliar:

H 2(x, s) = K (x, s) − ϕ1(x)ϕ1(s)λ1

(3.

Este nucleo casi cumple con la propiedad A. Decimos ”casi”, pues, evidentemente, como K (x, scumple la propiedad A, (3.1) es simetrico, es continuo (pues ϕ1(x) es acotada) y es real.

Pero puede suceder que H 2(x, s) ≡ 0.

Tienen lugar los siguientes teoremas.

35




Teorema.

Cualquier autofuncion del nucleo (3.1), ϕ2(x), correspondiente al autovalor λ2, es, tambien,autofuncion del nucleo K (x, s) y es ortogonal a ϕ1(x).

Demostracion:

Sea ϕ2(x) una autofuncion de H 2(x, s) correspondiente al autovalor λ2. Esto significa que secumple la identidad

ϕ2(x) ≡ λ2

ba

H 2(x, s)ϕ2(s)ds ≡

≡ λ2

ba

K (x, s)ϕ2(s)ds − λ2ϕ1(x)

λ1

ba

ϕ1(s)ϕ2(s)ds (3.2)

Calculemos el producto interno de las funciones ϕ1(x) y ϕ2(x), teniendo en cuenta (3.2). Te-

nemos:

(ϕ1, ϕ2) =

ba

ϕ1(x)ϕ2(x)dx = λ2

ba

ϕ1(x)

ba

H 2(x, s)ϕ2(s)ds

dx =

= λ2

ba

ϕ1(x)

ba

K (x, s)ϕ2(s)ds

− λ2

λ1

ba

ϕ21(x)

ba

ϕ1(s)ϕ2(s)ds

dx =

= λ2

ba

ϕ2(s)

ba

K (x, s)ϕ1(x)dx

ds − λ2

λ1

ba

ϕ1(s)ϕ2(s)ds

ba

ϕ21(x)dx (3.3)

Pero, como ϕ1(x) es autofuncion del nucleo K (x, s) con autovalor λ1 y es, ademas, normalizada,se cumple que

ba

K (x, s)ϕ1(x)dx ≡ 1

λ1ϕ1(s) (3.4)

y

ba ϕ

2

1(x)dx = 1 (3.5)

Sustituyendo (3.4) y (3.5) en (3.3), obtenemos que (ϕ1, ϕ2) = 0 lo que significa que ambasfunciones son ortogonales. Ademas, de (3.2), como la ultima integral a la derecha es cero, nosqueda que

ϕ2(x) ≡ λ2

ba

K (x, s)ϕ2(s)ds (3.6)



Calculo de todos los autovalores y las autofunciones 3

lo que significa que ϕ2(x) es, tambien, autofuncion del nucleo K (x, s) con autovalor λ2.


Teorema.

Si ϕ2(x) es autofuncion del nucleo K (x, s) correspondiente al autovalor λ2 y es ortogonal

la autofuncion ϕ1(x) del mismo nucleo correspondiente al autovalor λ1, entonces, ϕ2(x) etambien, autofuncion del nucleo H 2(x, s).

Demostracion:

Por hipotesis, ϕ2(x) es autofuncion del nucleo K (x, s) y se cumple que (ϕ1, ϕ2) = 0. Por tanto, restando a la identidad (3.6) la expresion

λ2

λ1ϕ1(x)(ϕ1, ϕ2) ≡ 0 (3.7

obtenemos:

ϕ2(x) ≡ λ2

ba

K (x, s)ϕ2(s)ds − λ2

λ1ϕ1(x)

ba

ϕ1(s)ϕ2(s)ds =

= λ2

ba

K (x, s) − ϕ1(x)ϕ1(s)

λ1

ϕ2(s)ds = λ2

ba

H 2(x, s)ϕ2(s)ds (3.8

lo que significa que, efectivamente, ϕ2(x) es autofuncion del nucleo H 2(x, s).


Los dos teoremas anteriores sirven de base para hallar todas las autofunciones de un nucleK (x, s) que cumpla la propiedad A. El procedimiento es el siguiente:

1. Por el metodo de aproximaciones sucesivas hallamos ϕ1(x), λ1.

2. Construimos el nucleo auxiliar (3.1). Pueden darse dos posibilidades:

(a) H 2(x, s) ≡ 0.En este caso el nucleo K (x, s) no tiene mas autofunciones, pues la unica ”autofuncion” posible de H 2(x, s) en este caso serıa la funcion cero (ponemos autofuncioentre comillas, pues, por definicion, la autofuncion no puede ser identicamente nula

(b) H 2(x, s) = 0.

Entonces, hallamos por el metodo de aproximaciones sucesivas su autofuncion ϕ2(xy su correspondiente λ2. En virtud de los teoremas demostrados, esta funcion serautofuncion de K (x, s).




3. Construimos el nucleo auxiliar:

H 3(x, s) = H 2(x, s) − ϕ2(x)ϕ2(s)

λ2≡ K (x, s) −

2k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(3.9)

De nuevo pueden darse dos posibilidades:

(a) H 3(x, s) ≡ 0.

En este caso, no existiran mas autofunciones de K (x, s) fuera de ϕ1(x) y ϕ2(x).

(b) H 3(x, s) = 0. En este caso, hallamos la autofuncion ϕ3(x) con el autovalor λ3 que loseran, tambien, del nucleo K (x, s).

Continuando este proceso, en general, llegamos a construir el nucleo auxiliar:

H n(x, s) = K (x, s) −n−1

k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(3.10)

con n entero.

En general, tienen lugar dos casos posibles:

(a) Que ninguno de los nucleos auxiliares (3.10) sea identicamente nulo: H n(x, s) = 0para toda n.

Entonces, obtenemos una sucesion infinita de autofunciones de K (x, s)

ϕ1(x), ϕ2(x),....,ϕn(x),.... (3.11)

y sus correspondientes autovalores:

λ1, λ2,....,λn,.... (3.12)

(b) Que, a partir de cierta n, todos los nucleos auxiliares (3.10) sean identicamenteiguales a cero; es decir, que se cumpla que

H n(x, s) = 0, H n+1(x, s) ≡ 0 (3.13)

En este caso, para K (x, s) hallamos un numero finito de autofunciones y de autova-lores:

ϕ1(x), ϕ2(x),....,ϕn(x) (3.14)

λ1, λ2,....,λn (3.15)

Ademas, como segun (3.13)

H n+1(x, s) = K (x, s) −n

k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk

≡ 0 (3.16)




concluimos que el nucleo K (x, s) se expresa en terminos de sus autofunciones en forma

K (x, s) =n

k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(3.17

3.2 Nucleos degenerados

Surge un importante concepto.

Definicion:

El nucleo K (x, s) se llama degenerado si puede ser escrito en la forma

K (x, s) =n

k=1

uk(x)vk(s) (3.18

donde uk(x) y vk(s) son funciones integrables. Esta definicion es general y no exige la simetrdel nucleo.

El procedimiento de busqueda de todos los autovalores y las autofunciones del nucleo K (x, sdesarrollado arriba nos permite enunciar el siguiente teorema.

Teorema

Si el nucleo K (x, s) cumple la propiedad A y tiene un numero finito de autovalores y dautofunciones, entonces, es degenerado.

Demostracion:

La demostracion de este teorema viene dada por el propio procedimiento arriba indicado. H n+1(x, s) ≡ 0, entonces, el numero de autovalores y de autofunciones del nucleo K (x, ses finito y este puede expresarse por la fomula (3.18), lo que significa que, efectivamente, edegenerado.


Tiene lugar un formidable teorema, recıproco del anterior.

Teorema.

Si el nucleo K (x, s) es degenerado, entonces, tiene un numero finito de autovalores no mayoque el orden de degeneracion n.

Demostracion:




Por hipotesis, el nucleo K (x, s) es degenerado, es decir, tiene la forma dada por la formula (3.18).Entonces, la ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo para este nucleo sera:

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds = λ

ba

n

k=1

uk(x)vk(s)ϕ(s)ds =

= λn

k=1

uk(x) ba

vk(s)ϕ(s)ds (3.19)

Por lo tanto

ϕ(x) =n

k=1

αkuk(x) (3.20)

donde

αk = λ

ba

vk(s)ϕ(s)ds (3.21)

son ciertos numeros. Colocando (3.20) en la ecuacion (3.19), obtenemos:

n

k=1

αkuk(x) = λ b

a

n

k=1

uk(x)vk(s)n

m=1

αmum(s)ds =

= λn

k=1

nm=1

αmuk(x)

ba

vk(s)um(s)ds = λn

k=1

nm=1

αmuk(x)ckm (3.22)

donde

ckm =

ba

vk(s)um(s)ds (3.23)

son ciertos coeficientes. De (3.22) obtenemos, por lo tanto:

αk = λn

m=1

ckmαm (3.24)

Es decir, hemos obtenido el siguiente sistema homogeneo de n ecuaciones algebraicas con nincognitas, para determinar las αk:




(λc11 − 1)α1 + λc12α2 + .... + λc1nαn = 0

λc21α1 + (λc22 − 1)α2 + .... + λc2nαn = 0 (3.25

.......................................................................

λcn1α1 + λcn2α2 + .... + (λcnn − 1)αn = 0

Para que este sistema tenga soluciones no triviales, tiene que cumplirse que su determinantsea nulo, es decir:

(λc11 − 1) λc12 ... λc1n

λc21 (λc22 − 1) ... λc2n... ... ... ...

λcn1 λcn2 ... (λcnn − 1)

= 0 (3.26

(3.26) es una ecuacion algebraica de grado n para determinar λ. Dicha ecuacion tiene, cuand

mas, n raıces λ1, λ2,....,λn.


Como consecuencia de ambos teoremas, podemos concluir la siguiente afirmacion que, de hechya esta demostrada.

Teorema.

Para que el nucleo K (x, s) que cumpla la propiedad A tenga un numero finito de autovalorees necesario y suficiente que sea degenerado.

3.3 Ejemplos

Veamos algunos ejemplos ilustrativos de los procedimientos desarrollados en estos dos epıgrafe

1. Hallar todas las autofunciones y todos los autovalores de la ecuacion integral de Fredholmhomogenea de segundo tipo:

ϕ(x) = λ π0

cos(x − s)ϕ(s)ds (3.27

Tenemos que el nucleo es

K (x, s) = cos(x − s) (3.28

y que, por ejemplo, en x0 = 0, K (x, x0) = cos x = 0. Por lo tanto, por aproximacioinicial tomamos la funcion




ψ0(x) = cos x (3.29)

Construimos las aproximaciones sucesivas:

ψ1(x) =

π

0

cos(x − s)cos sds = π

2 cos x (3.30)

ψ2(x) =

π0

cos(x − s)π

2 cos sds =

π

2

2

cos x (3.31)

.........................................................................

ψn(x) =π

2

ncos x (3.32)

Calculamos el cuadrado de la norma:

N n ≡

ψn

2=

π

0 π

22n

cos2 xdx = π

22n+1

(3.33)

Por consiguiente, las aproximaciones normalizadas son:

ϕn(x) = ψn(x)√

N n=

2

π cos x (3.34)

Evidentemente

limn→∞

ϕn(x) =

2

π cos x ≡ ϕ1(x) (3.35)

Por lo tanto, (3.35) sera la autofuncion de (3.27) buscada por el metodo de aproximacionessucesivas. Ademas, tenemos que:

µn =

N n−1

N n=

2

π (3.36)

Por lo tanto, el autovalor correspondiente a la autofuncion (3.35) sera:

λ1 = limn→∞

µn = 2

π (3.37)

Hallemos, ahora, las demas soluciones. Para ello, construimos el nucleo auxiliar:

H 2(x, s) = K (x, s) − ϕ1(x)ϕ1(s)

λ1≡

≡ cos(x − s) −

2π

cos x

2π

cos s

2π

=

= cos x cos s + sin x sin s − cos x cos s ≡ sin x sin s = 0 (3.38)




Como las autofunciones de H 2(x, s) son autofunciones tambien de K (x, s), hallemos poaproximaciones sucesivas una autofuncion del nucleo auxiliar. Evidentemente, para x0 π/2, H 2(x, x0) = H 2(x,π/2) = sin x = 0. Por lo tanto, por aproximacion inicial tomamo

ψ0(x) = sin x (3.39

y construimos las aproximaciones sucesivas:

ψ1(x) =

π0

sin x sin s sin sds = π

2 sin x (3.40

ψ2(x) =

π0

sin x sin sπ

2 sin sds =

π

2

2sin x (3.4

.........................................................................

ψn(x) = π

2n

sin x (3.42

Calculamos el cuadrado de la norma:

N n ≡ ψn 2=

π0

π

2

2n

sin2 xdx =π

2

2n+1

(3.43

Por consiguiente, las aproximaciones normalizadas son:

ϕn(x) = ψn(x)√

N n=

2

π sin x (3.44

Su lımite nos dara la autofuncion del nucleo auxiliar H 2(x, s), que sera otra autofunciodel nucleo K (x, s):

ϕ2(x) = limn→∞

ϕn(x) =

2

π sin x (3.45

El autovalor correspondiente sera:

λ2 = limn→∞

µn = 2

π (3.46

Notese que el autovalor λ1 coincide con el autovalor λ2.

Continuando el proceso, creamos el nucleo auxiliar

H 3(x, s) = cos(x − s) −

2π

cos x

2π

cos s

2π

−

2π

sin x

2π

sin s

2π

=

= cos x cos s + sin x sin s − cos x cos s − sin x sin s ≡ 0 (3.47




Como H 3(x, s) ≡ 0, podemos afirmar que no existen mas autovalores, ni autofunciones yque el nucleo K (x, s) es degenerado de orden dos y que puede escribirse como:

K (x, s) =2

k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk= cos x cos s + sin x sin s (3.48)

El resultado obtenido mediante el desarrollo teorico es, en el ejemplo visto, evidente, apartir de la identidad trigonometrica del coseno de la diferencia de dos angulos:

K (x, s) = cos(x − s) = cos x cos s + sin x sin s (3.49)

De esta manera hemos hallado las dos autofunciones de la ecuacion (3.27):

ϕ1(x) =

2

π cos x, ϕ2(x) =

2

π sin x (3.50)

Ambas autofunciones corresponden al mismo autovalor:

λ1,2 = 2

π (3.51)

que es, por tanto, degenerado.

En el ejemplo desarrollado hemos querido ilustrar, con lujo de detalles, la aplicaci ondel metodo de aproximaciones sucesivas para la obtencion de una solucion de la ecuacionintegral y el metodo de obtencion del resto de las soluciones con ayuda del nucleo auxiliar.

Sin embargo, es necesario destacar que el penultimo teorema de este epıgrafe nos ofreceun metodo sencillo para hallar las autofunciones y los autovalores de una ecuacion integralde Fredholm homogenea de segundo tipo con nucleo degenerado, ya sea este simetrico ono simetrico.

Efectivamente, si el nucleo de la ecuacion integral tiene la forma (3.18), entonces, lasolucion podra proponerse como la expresion (3.20).

Calculando los coeficientes ckm por la formula (3.23), puede construirse la ecuacion alge-braica para hallar las λn, autovalores de la ecuacion.

Los coeficientes αk de (3.20) se proponen de manera que las autofunciones sean ortonor-madas.

Ilustremos este metodo con los siguientes ejemplos.

2. Resolver por el metodo anteriormente descrito la ecuacion integral (3.27) del primer ejem-plo.

Tenemos que el nucleo es degenerado de orden dos:

K (x, s) = cos(x − s) = cos x cos s + sin x sin s (3.52)

Por lo tanto, de acuerdo con la formula (3.20), proponemos la solucion como:




ϕ(x) =2

k=1

αkuk(x) = α1 cos x + α2 sin x ≡ ϕ1(x) + ϕ2(x) (3.53

Calculamos por (3.23) los coeficientes ckm:

c11 = π0 cos

2

sds =

π

2 , c12 = π0 sin s cos sds = 0 (3.54

c21 =

π0

cos s sin sds = 0, c22 =

π0

sin2 sds = π

2 (3.55

Por lo tanto, la ecuacion (3.26) adquiere, en este caso, la forma:

λπ2 − 1 00 λπ

2 − 1

= 0 (3.56

de donde λπ

2 −12 = 0, es decir, λ = 2/π, que es el unico autovalor del nucleo.

Exigiendo que ϕ1 2= ϕ2 2= 1, obtenemos, para α1 y α2 el valor (2/π)1/2, de manerque las autofunciones del nucleo seran

ϕ1(x) =

2

π cos x, ϕ2(x) =

2

π sin x (3.57

correspondientes, ambas, al autovalor λ = 2/π. Este resultado, por supuesto, es identical obtenido en el ejemplo 1.

3. Resolver la ecuacion integral

ϕ(x) = λ

π0

x cos sϕ(s)ds (3.58

Aquı el nucleo

K (x, s) = x cos s (3.59

aunque no es simetrico, es degenerado de orden uno. De acuerdo con el teorema mencionado, existira un solo autovalor y una sola autofuncion. Esta ultima tendra la formde acuerdo con (3.20):

ϕ(x) = αx (3.60

Colocando (3.60) en (3.58), obtenemos:

αx = λ

π0

x cos sαsds = αλx

π0

s cos sds ≡ αλxc (3.6

donde el coeficiente c -unico en este caso- de acuerdo con (3.23) es, integrando por parte




c =

π0

s cos sds = −2 (3.62)

Por lo tanto, el determinante (3.26) nos da la ecuacion lineal −2λ − 1 = 0, por lo que elautovalor de la ecuacion (3.58) es:

λ = −12

(3.63)

De la condicion ϕ 2= 1 hallamos que el coeficiente α =

3π3

, por lo que la autofuncion

sera:

ϕ(x) =

3

π3x (3.64)

y queda resuelto el problema. De acuerdo con la teorıa desarrollada, esta solucion esunica. Observese que, aunque el nucleo (3.59) en este caso no es simetrico, sin embargola aplicacion de los resultados del teorema mencionado es valida.

3.4 Nucleos cerrados

Daremos el siguiente concepto.

Definicion:

La funcion f (x), integrable en el segmento [a, b], se llama ortogonal en ese segmento alnucleo K (x, s) si,

Af ≡ ba

K (x, s)f (s)ds = 0 (3.65)

Tiene lugar un importante teorema.

Teorema.

Para que la funcion f (x), integrable en [a, b], sea ortogonal al nucleo K (x, s) que cumpla lapropiedad A es necesario y suficiente que sea ortogonal a todas las autofunciones de dichonucleo.

Demostracion:

1. Necesidad.

Por hipotesis, se cumple (3.65). Entonces, si ϕk(x) son las autofunciones del nucleo K (x, s),tendremos que




ϕk ≡ λkAϕk, ∀k = 1, 2,... (3.66

Multiplicando (3.66) por f (x) e integrando entre a y b, obtenemos:

ba f (x)ϕk(x)dx = (f, ϕk) ≡ (f, λkAϕk) ≡ λk(f,Aϕk) ≡ λk(ϕk, Af ) ≡ 0 (3.67

donde hemos tenido en cuenta la propiedad (2.5) del capıtulo 2 para los nucleos que cumplala propiedad A y la expresion (3.65). (3.67) significa que f (x) es ortogonal a las ϕk(x).

Demostrada la necesidad.

2. Suficiencia.

Por hipotesis, (f, ϕk) ≡ 0 y tenemos que demostrar que ello 1implica que Af ≡ 0. Hagamospor reduccion al absurdo; supongamos que Af

= 0. Entonces, podremos construir las aprox

maciones sucesivas, tomando como aproximacion inicial la funcion

ψ0 = f (x) (3.68

Entonces, para las aproximaciones sucesivas tendremos las expresiones:

ψ1(x) = Af = 0 (3.69

ψ2(x) = A2f = 0 (3.70

................................................

ψn(x) = Anf = 0 (3.7

Pero, como (f, ϕk) ≡ 0, teniendo en cuenta la propiedad (2.5) y la f ormula (2.34) de estcapıtulo en el teorema de los nucleos iterados, tendremos:

(ψn, ϕk) = (Anf, ϕk) ≡ (f, Anϕk) =

=

f,

ϕk

λnk

≡ 1

λnk

(f, ϕk) ≡ 0 (3.72

Introduciendo las aproximaciones ya normalizadas,




ϕ∗n =

ψn√ N n

(3.73)

(donde las hemos destacado con un asterisco, para diferenciarlas de las autofunciones ϕn(x))de (3.72) tendremos que

(ϕ∗n, ϕk) ≡ 0, ∀k = 1, 2,... (3.74)

Por otra parte, en el teorema de existencia demostramos que, para la sucesion de aproximacionessucesivas normalizadas se cumplen las convergencias uniformes de las subsucesiones de ındicesde igual paridad:

{ϕ∗2m} ⇒ ϕ∗

{ϕ∗2m+1} ⇒

¯ϕ∗ (3.75)

y, por lo tanto, los lımites dados en (3.75) seran, tambien, ortogonales a las autofunciones, esdecir:

(ϕ∗, ϕk) ≡ 0, ( ¯ϕ∗, ϕk) ≡ 0 (3.76)

La ortogonalidad (3.76) significa que ϕ∗(x) y ¯ϕ∗(x) son linealmente independientes de las au-tofunciones ϕk(x). Pero esto es absurdo, ya que, por el metodo de aproximaciones sucesivas,

las autofunciones del nucleo K (x, s) se obtienen, precisamente, como combinaciones lineales deϕ∗(x) y ¯ϕ∗(x). Por consiguiente, tiene que cumplirse que Af ≡ 0.

Demostrada la suficiencia.


Hagamos la siguiente aclaracion referente a la demostracion de la suficiencia del teorema dearriba. De las formulas del metodo de aproximaciones sucesivas, puede obtenerse que

ϕ(x) + ˜ϕ(x)

−2ϕ∗(x) = 0 (3.77)

ϕ(x) − ˜ϕ(x) − 2 ¯ϕ∗(x) = 0 (3.78)

donde ϕ(x) y ˜ϕ(x) son dos autofunciones del nucleo K (x, s). Las expresiones (3.77) y (3.78)significan que, efectivamente, ϕ∗(x) y ¯ϕ∗(x) son linealmente dependientes con esas autofuncio-nes. Ello implica que seran linealmente dependientes con todas las autofunciones del nucleoK (x, s), pues un teorema del Algebra Lineal establece que si, entre un conjunto de vectores,




existe un subconjunto de ellos linealmente dependientes, entonces, todo el conjunto es lineamente dependiente. Esa afirmacion es extensible a los espacios funcionales en los que estamotrabajando. Ello implica la no ortogonalidad entre ϕ∗(x) y ¯ϕ∗(x) con las autofunciones ϕk(xcontradiciendose, por tanto, (3.76) y, como (3.76) fue obtenido bajo el supuesto de que Af = no queda mas remedio que negar esa tesis por absurda y concluir que tiene que ser Af ≡ 0.

Daremos la siguiente definicion.

Definicion:

El nucleo K (x, s) se llama cerrado si no existe ninguna funcion f (x) = 0 ortogonal a dichnucleo.

Con la definicion anterior podemos enunciar los siguientes corolarios del teorema anterior:

Corolario 1.

Para que un nucleo que cumpla la propiedad A sea cerrado es necesario y suficiente que econjunto de sus autofunciones sea cerrado.

Demostracion:

Recordemos que, en un espacio de Banach, el conjunto de funciones {ϕn(x)} se llama cerradsi es ortogonal, es decir, si

(ϕk, ϕi) = ϕ 2 δ ki (3.79

y no existe ninguna funcion f (x) = 0 del espacio ortogonal al conjunto. Por otra parte, conjunto

{ϕn

(x)}

se llama completo

si, para cualquier funcion f (x)= 0 del espacio se cump

la igualdad de Parseval:

∞n=0

c2n = f 2 (3.80

donde

cn = 1

ϕn 2

(ϕn, f ) (3.8

son los coeficientes de Fourier de la funcion f (x) en el sistema {ϕn(x)}. En la teorıa de laseries de Fourier se demuestra que, cumpliendose (3.80), la serie de Fourier converge en meda su funcion f (x).

Ello significa que un conjunto completo forma una base en el espacio en cuesti on y, comeste espacio es de infinitas dimensiones, el conjunto estara formado por un numero infinito dfunciones.




Para los espacios de Banach se demuestra (ver libro de Metodos Matematicos de la Fısica delautor) que todo conjunto de funciones completo es cerrado y viceversa.

Pues bien, el teorema demostrado establece que toda funcion f (x) ortogonal al nucleo es orto-gonal a sus autofunciones y viceversa.

Si K (x, s) es cerrado, entonces, no existira ninguna funcion f (x) = 0 ortogonal a dicho nucleo

y, por lo tanto, no existira ninguna funcion ortogonal a las autofunciones del mismo y ellosignifica que el conjunto de las autofunciones tambien es cerrado.

Demostrado el corolario.

Corolario 2.

Un nucleo cerrado no es degenerado.

Demostracion:

Efectivamente, pues, si el nucleo es cerrado, por el corolario anterior el conjunto de sus auto-

funciones tambien es cerrado y, por lo tanto, completo; es decir, forma una base en el espaciode infinitas dimensiones. O sea, el conjunto de autofunciones tiene un numero infinito deelementos, lo que significa que el nucleo K (x, s) no es degenerado.


El teorema demostrado y sus corolarios son de gran importancia en la teorıa de las ecuacionesintegrales que estamos desarrollando.

3.5 Teorema de Hilbert-Schmidt

En el presente epıgrafe estableceremos algunos conceptos y demostraremos un importante teo-rema.

Supongamos dado un nucleo K (x, s) que cumpla la propiedad A y sean {ϕk(x)} sus autofuncio-nes, que supondremos ortonormadas. Entonces, si f (x) es cierta funcion integrable, le podemosponer en correspondencia su serie de Fourier a traves de las autofunciones:

f (x) ∼ ∞k=1

f kϕk(x) (3.82)

donde los coeficientes del desarrollo son

f k = (f, ϕk) ≡ ba

f (x)ϕk(x)dx (3.83)





Definicion.

La funcion f (x) se llama emanante del nucleo K (x, s) si puede ser expresada en la forma

f (x) = ba

K (x, s)h(s)ds ≡ Ah (3.84

donde h(s) es cierta funcion seccionalmente continua en [a, b]. Tiene lugar el siguiente teoremde Hilbert-Schmidt.

Teorema.

Cualquier funcion f (x) emanante del nucleo K (x, s) que cumpla la propiedad A puede ser desarrollada en una serie de autofunciones de dicho nucleo convergente absoluta y uniformementen [a, b].

Demostracion:

La demostracion la dividiremos en dos partes:

1. Demostracion de la convergencia absoluta y uniforme de la serie.

Teniendo en cuenta (3.83) y (3.84) y el hecho de que K (x, s) cumple la propiedad A, podemoescribir que:

f k ≡

(f, ϕk) = (Ah,ϕk) = (h,Aϕk) = h, ϕk

λk = 1

λk

(h, ϕk) = hk

λk

(3.85

donde hk = (h, ϕk). Colocando (3.85) en (3.82), obtenemos:

f (x) ∼∞k=1

f kϕk(x) ≡∞k=1

hkϕk(x)

λk(3.86

De acuerdo con el criterio de Cauchy, para que la serie que figura a la derecha en (3.86) converjabsoluta y uniformemente en [a, b] es necesario y suficiente que, para ε > 0 exista una N (ε) >tal que para n, m > N se cumpla que

m

k=n

hkϕk(x)

λk

< ε (3.87

Tratemos de establecer (3.87). La desigualdad de Cauchy-Buniakovsky que demostramos en punto 1 del epıgrafe 2.3 para series establece que, para cualesquiera sucesiones numericas {aky {bk}, se cumple que




N k=1

akbk

≤

N k=1

a2k

N k=1

b2k

1/2

(3.88)

Basados en (3.88), podemos establecer que, para cualesquiera n y m, se cumple que,

m

k=n

hkϕk(x)

λk

≤

mk=n

h2k

mk=n

ϕk(x)

λk

21/2

(3.89)

Valoremos cada suma dentro del radical en la expresion (3.89). Tenemos que:

ϕk(x)

λk=

ba

K (x, s)ϕk(s)ds ≡ Aϕk (3.90)

no son otra cosa que los coeficientes de Fourier del desarrollo del nucleo en serie de sus auto-funciones. Por consiguiente, tiene lugar la desigualdad de Bessel:

∞k=1

ϕk(x)

λk

2≤ ba

K 2(x, s)ds (3.91)

Pero, como K (x, s) cumple la propiedad A, llamando M = max |K (x, s)|, tendremos:

m

k=n

ϕk(x)

λk 2

≤

∞

k=1

ϕk(x)

λk 2

≤ b

a

K 2(x, s)ds≡

(b−

a)M 2

≡M 1 (3.92)

Por otro lado, tenemos que

hk =

ba

h(x)ϕk(x)dx = (h, ϕk) (3.93)

no son mas que los coeficientes de Fourier del desarrollo de la funcion h(x) en serie de auto-funciones del nucleo K (x, s). Por lo tanto, para ellos tiene lugar, tambien, la desigualdad de

Bessel:

∞k=1

h2k ≤

ba

h2(x)dx ≤ m2(b − a) ≡ M 2 (3.94)

donde hemos llamado m = max |h(x)|. Este maximo existe, ya que, por hipotesis del teorema,la funcion h(x) es seccionalmente continua y, por tanto, acotada en [a, b]. La expresion (3.94)esta diciendo que la serie numerica de h es acotada; es decir, convergente. Por consiguiente,




por el criterio de Cauchy para series numericas, podemos afirmar que, para ε > 0, existe uN (ε) > 0 tal que, para n, m > N , se cumple que

mk=n

h2k <

ε2

M 1(3.95

Colocando (3.92) y (3.95) en (3.89), obtenemos que

m

k=n

hkϕk(x)

λk

< ε (3.96

lo que significa que el criterio de Cauchy se cumple para la serie funcional (3.86). Queda, asdemostrada la convergencia absoluta y uniforme de la misma.

Es conveniente hacer algunas aclaraciones a la demostracion de la primera parte del teorema

Siempre que tengamos un sistema cualquiera de funciones ortonormadas {ϕk(x)}, podemocrear la serie de Fourier asociada a la funcion f (x) (3.86).

Observese que en esa expresion pusimos el signo ∼, en vez del signo igual. El signo igual podrcolocarse, solamente, en el caso en que se cumpla la igualdad de Parseval

∞k=1

f 2k = f 2 (3.97

lo que ocurrira si el sistema {ϕk(x)} es cerrado y completo.

Ahora bien, sin entrar en esas consideraciones, para la serie (3.86) siempre tendra lugar desigualdad de Bessel

∞k=1

f 2k ≤ f 2 (3.98

que es lo unico que hemos utilizado en nuestra demostracion.

Es decir, para demostrar la convergencia uniforme de la serie (3.86) no hemos tenido que suponela convergencia de ninguna otra serie; sino que, simplemente, hemos puesto en correspondencia la funcion h(x) su serie de Fourier

h(x) ∼∞k=1

hkϕk(x) (3.99

y nos hemos valido de la desigualdad de Bessel (3.91), que siempre tiene lugar.




La desigualdad de Bessel siempre se cumple, pues ella se deduce de una relacion casi evidente,que es:

0 ≤∞k=1

hkϕk(x) − h(x) 2= h 2 −∞k=1

h2k (3.100)

y que viene a ser algo ası, como una generalizacion del teorema de Pitagoras a los espaciosfuncionales.

La expresion (3.100), teniendo en cuenta que (ϕk, ϕi) = δ ki y que hk = (h, ϕk), es evidente, yaque:

0 ≤∞k=1

hkϕk(x) − h(x) 2=

∞k=1

hkϕk − h,∞k=1

hkϕk − h

=

= ∞k=1

∞i=1

hkhi(ϕk, ϕi) − 2 ∞k=1

hk(h, ϕk) + (h, h) =

=∞k=1

h2k − 2

∞k=1

h2k+ h 2= h 2 −

∞k=1

h2k (3.101)

Ası pues, queda demostrada la convergencia absoluta y uniforme de la serie (3.86).

Demostremos que dicha serie converge, precisamente, a f (x); es decir, veamos la segunda partede la demostracion del teorema de Hilbert-Schmidt.

2. Demostracion de la convergencia de la serie a f(x).

Analicemos la siguiente funcion:

ω(x) = f (x) −∞k=1

f kϕk(x) (3.102)

Multipliquemos (3.102) por ϕk(x) e integremos entre a y b, teniendo en cuenta la ortonormalidadde ϕk(x), o sea, que (ϕk, ϕm) = δ km. Obtenemos que:

(ω, ϕm) = (f, ϕm) −∞k=1

f k(ϕk, ϕm) = (f, ϕm) −∞k=1

f kδ km = f m − f m ≡ 0 (3.103)

Es decir, que ω(x) y ϕk(x) son ortogonales.

Por consiguiente, ω(x) y el nucleo K (x, s) son, tambien, ortogonales, de acuerdo con el teoremademostrado en el epıgrafe anterior. Es decir:




ba

K (x, s)ω(s)ds ≡ Aω = 0 (3.104

Calculemos el cuadrado de la norma de ω(x), teniendo en cuenta (3.84), (3.102), (3.103) (3.104) y el hecho de que el nucleo K (x, s) cumple la propiedad A. Tenemos:

ω 2= (ω, ω) = (f, ω) −∞k=1

f k(ϕk, ω) ≡

≡ (f, ω) = (Ah,ω) = (h,Aω) = (h, 0) ≡ 0 (3.105

De (3.105) concluimos que ω(x) ≡ 0; es decir,

f (x)

≡

∞

k=1

f kϕk(x) (3.106

Es decir, efectivamente, la serie (3.86) converge absoluta y uniformemente en [ a, b] a la funciof (x).


Hagamos la siguiente observacion.

En el epıgrafe 2.2 obtuvimos, para los nucleos iterados,

K n(x, s) = ba

K (x, t)K n−1(t, s)dt (3.107

que las autofunciones ϕk(x) del nucleo K(x,s), correspondientes a los autovalores λk erantambien, autofunciones del nucleo iterado (3.107) con autovalores λn

k . La expresion (3.107) nodice que el nucleo iterado es una funcion emanante del nucleo K (x, s). Por consiguiente, poel teorema de Hilbert-Schmidt, tendra lugar el desarrollo

K n(x, s) =∞

k=1

K nk(s)ϕk(x) (3.108

Calculemos los coeficientes de este desarrollo. Tenemos:

K nk(s) = (K n(x, s), ϕk(x)) ≡ ϕk(s)

λnk

(3.109

Por lo tanto, el desarrollo es:




K n(x, s) =∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λnk

(3.110)

Por ultimo, digamos, sin efectuar ninguna demostracion por ahora, que es posible afirmar quesi el nucleo K (x, s) no es degenerado y si la serie bilineal

∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(3.111)

converge uniformemente en [a, b], lo hace al nucleo K (x, s).

Sin embargo, la afirmacion recıproca, es decir, que el nucleo no degenerado K (x, s) puede serdesarrollado en la serie bilineal (3.111) aun no ha sido demostrada.

3.6 Ecuacion integral de Fredholm no homogenea de se-gundo tipo

Pasaremos, ahora, al estudio de la solucion de la ecuacion

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (3.112)

donde K (x, s) cumple la propiedad A, f (x) es una funcion seccionalmente continua en [a, b] yλ es un parametro dado.

En el desarrollo teorico que efectuaremos a continuacion, podremos ver que las propiedadesde la ecuacion (3.112), ası como de su solucion, estan ıntimamente ligadas a la solucion de lacorrespondiente ecuacion homogenea

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (3.113)

Con vistas a resolver la ecuacion (3.112), buscaremos su solucion en la forma,

ϕ(x) = f (x) + g(x) (3.114)

donde g(x) es cierta funcion. Entonces, colocando (3.114) en (3.112), obtenemos:

f (x) + g(x) = λ

ba

K (x, s)[f (s) + g(s)]ds + f (x) (3.115)




o, llamando h(s) = λ[f (s) + g(s)], de (3.115) obtenemos:

g(x) =

ba

K (x, s)h(s)ds (3.116

La expresion (3.116) significa que la funcion g(x) es emanante del nucleo K (x, s). Por con

siguiente, de acuerdo con el teorema de Hilbert-Schmidt, ella admite un desarrollo en serie dautofunciones de dicho nucleo convergente absoluta y uniformemente en [a, b]:

g(x) =∞k=1

gkϕk(x) (3.117

Supongamos, ademas, que f (x) puede ser desarrollada, tambien, en serie de las autofunciondel nucleo K (x, s):

f (x) =∞k=1

f kϕk(x) (3.118

donde los coeficientes

f k = (f, ϕk) =

ba

f (x)ϕk(x)dx (3.119

son conocidos. Entonces, colocando (3.117) y (3.118) en (3.116), obtenemos:

∞k=1

gkϕk(x) = λ

ba

K (x, s)∞k=1

gkϕk(s)ds + λ

ba

K (x, s)∞k=1

f kϕk(s)ds =

= λ∞k=1

gk

ba

K (x, s)ϕk(s)ds + λ∞k=1

f k

ba

K (x, s)ϕk(s)ds =

= λ

∞

k=1

gkλk

ϕk(x) + λ

∞

k=1

f kλk

ϕk(x) (3.120

donde hemos intercambiado la integracion con la sumatoria, ya que suponemos que (3.117) (3.118) convergen uniformemente y hemos tenido en cuenta que, por definicion de autofuncioy de autovalor del nucleo K (x, s):

ba

K (x, s)ϕk(s)ds = ϕk(x)

λk(3.12




Por consiguiente, de (3.120) obtenemos:

gk = λgk

λk+

λf kλk

, ∀k = 1, 2, 3,... (3.122)

De (3.122), finalmente, nos queda:

(λk − λ)gk = λf k (3.123)

Aquı hay dos casos posibles:

1. Que λ = λk. Es decir, que el parametro λ en la ecuacion (3.112) no coincida con ningunode los autovalores de la ecuacion homogenea correspondiente (3.113).

Entonces, despejando, obtenemos:

gk = λf kλk − λ

(3.124)

y, por lo tanto, la solucion de la ecuacion no homogenea (3.112) vendra dada, de acuerdocon (3.114), por la expresion:

ϕ(x) = f (x) +∞k=1

λf kλk − λ

ϕk(x) (3.125)

que recibe el nombre de formula de Schmidt. En ella, f (x) y λ son conocidas, λk yϕk(x) son los autovalores y las autofunciones del nucleo K (x, s) y f k vienen dados por(3.119).

Del desarrollo efectuado se ve, claramente, que (3.125) satisface la ecuacion (3.112).

Pero todo esto esta hecho formalmente. Para demostrar que, efectivamente, (3.125) es lasolucion de la ecuacion (3.112) es necesario demostrar la convergencia absoluta y uniformede la serie que figura en (3.125).

En primer lugar, tenemos que, como limk→∞ |λk| = ∞, siempre se puede hallar una k losuficientemente grande como para que

|λ| < |λk|

2 (3.126)

En virtud de ello, tendremos:

|λk − λ| ≥ |λk| − |λ| > |λk| − |λk|2

= |λk|

2 (3.127)

Por lo tanto:




1

|λk − λ| ≤ 2

|λk| (3.128

Valoremos la siguiente suma, teniendo en cuenta (3.128):

m

k=n

λf k

λk − λϕk(x) ≤ |

λ|

m

k=n

f kϕk(x)

λk − λ ≤2|λ|

m

k=n

f k

λkϕk(x) (3.129

Pero, para ε > 0, existira un N (ε) > 0 tal que, para n, m > N , se cumplira que

mk=n

f kλk

ϕk(x)

< ε

2|λ| (3.130

ya que esto fue demostrado en la primera parte de la demostracion del teorema de HilberSchmidt. Colocando (3.130) en (3.129), obtenemos:

mk=n

λf kλk − λ

ϕk(x) < ε (3.13

La desigualdad (3.131) significa que se cumple el criterio de Cauchy para nuestra seripor lo que esta converge absoluta y uniformemente. Ası queda demostrado que existe lsolucion de la ecuacion (3.112), que viene dada por la formula de Schmidt (3.125) y qudicha solucion, para el caso en que λ = λk, es unica.

2. Que λ = λk0 . Es decir, que el parametro λ en la ecuacion (3.112) coincide con uno de loautovalores del nucleo.

Entonces, de (3.123), tendremos que:

(λk − λ)gk = λf k, ∀k = k0

0 · gk0 = λf k0, ∀k = k0 (3.132

Por lo tanto, hay dos posibilidades:

1) Si f (x) no es ortogonal a ϕk0(x), o sea, si f k0 ≡ (f, ϕk0) = 0, de (3.132) tendrıa que seλ = 0, lo que es un absurdo. Por consiguiente, en este caso, la ecuaci on (3.112) no tiensolucion.

2) Si f (x) es ortogonal a ϕk0(x), o sea, si f k0 ≡ (f, ϕk0) = 0, entonces, (3.132) se cumppara gk0 = C , donde C es una constante arbitraria.

Por lo tanto, para el caso en que λ = λk0 , o bien no existe solucion para la ecuacio(3.112) (si f (x) no es ortogonal a ϕk0(x)), o bien existe un numero infinito de solucionque vienen dadas por la expresion:

ϕ(x) = f (x) +∞

k=1,(k=k0)

λf kλk − λ

ϕk(x) + Cϕk0(x) (3.133




donde C es una constante arbitraria.

De manera totalmente analoga, si λ coincidiera con un autovalor λk degenerado, cuyasautofunciones son:

ϕk0, ϕk1,...,ϕkr (3.134)

entonces, exigiendo que se cumpla la condicion de ortogonalidad,

f ks ≡ (f, ϕks) = 0, ∀s = 0, 1, 2,...,r (3.135)

la solucion vendra dada en la forma:

ϕ(x) = f (x) +∞

k=1,(k

=k)

λf kλk − λ

ϕk(x) +r

s=0

C sϕks(x) (3.136)

donde C s son constantes arbitrarias (de nuevo, el numero de soluciones es infinito).

Como consecuencia del desarrollo del presente epıgrafe, tiene lugar el siguiente teorema, cono-cido con el nombre de Alternativa de Fredholm:

Teorema.

Si la ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo tiene solo solucion trivial,entonces, la correspondiente ecuacion no homogenea tiene solucion unica y, si la ecuacion ho-mogenea tiene solucion no trivial, entonces, la ecuacion no homogenea, o bien no tiene solucion,o bien tiene infinitas soluciones.

Demostracion:

Efectivamente, si en la ecuacion (3.112) el parametro λ no coincide con ningun autovalor delnucleo, entonces, la ecuacion homogenea correspondiente tendra solo solucion trivial y (3.112)tendra solucion unica, dada por la formula de Schmidt (3.125).

Sin embargo, si el parametro λ en la ecuacion (3.112) es igual a un autovalor del nucleo, laecuacion homogenea correspondiente tendra por solucion no trivial la autofuncion asociada a

dicho autovalor y, por lo tanto, la ecuacion (3.112) -segun vimos arriba- o bien no tiene solucion,si la inhomogeneidad f (x) no es ortogonal a la autofuncion mencionada, o bien tiene infinitassoluciones, dadas por la formula (3.133), si f (x) es ortogonal a dicha autofuncion.


Es conveniente decir que nosotros hemos llegado a la alternativa de Fredholm por medio delestudio de la teorıa de las ecuaciones con nucleos simetricos; sin embargo, es posible demostrarque ella es valida, tambien, para las ecuaciones con nucleos no simetricos.




3.7 Solucion de la ecuacion integral de Fredholm no homogenea de segundo tipo por el metodo de aproxi

maciones sucesivas

En el presente epıgrafe desarrollaremos un metodo general para hallar la solucion de la ecuacio

integral de Fredholm no homogenea de segundo tipo, con nucleo K (x, s) arbitrario.

Veamos la ecuacion,

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (3.137

donde el nucleo K (x, s) puede ser complejo y no simetrico. Buscaremos la solucion de lecuacion (3.137) por el metodo de aproximaciones sucesivas, proponiendo como aproximacioinicial la inhomogeneidad de la ecuacion:

ϕ0(x) = f (x) (3.138

y construyendo las aproximaciones sucesivas de la siguiente manera:

ϕ1(x) = f (x) + λ

ba

K (x, s)ϕ0(s)ds (3.139

ϕ2(x) = f (x) + λ ba

K (x, s)ϕ1(s)ds (3.140

........................................................................

ϕn(x) = f (x) + λ

ba

K (x, s)ϕn−1(s)ds (3.14

Por su construccion, es evidente que, si la sucesion de funciones {ϕn(x)} ası construida converg

a una funcion continua, esta sera la solucion de la ecuacion (3.137). Tiene lugar el siguientteorema.

Teorema.

Si en la ecuacion (3.137) el parametro λ cumple que

|λ| < λ0 = 1

M (b − a) (3.142




donde M = max |K (x, s)|, entonces, para cualquier funcion continua f (x), la sucesion {ϕn(x)}de las aproximaciones sucesivas converge uniformemente a la solucion de la ecuacion (3.137) yesta solucion es unica.

Demostracion:

Analicemos la siguiente serie:

S (x) =∞k=1

[ϕk(x) − ϕk−1(x)] (3.143)

La suma parcial de esta serie es

S n(x) = ϕ1(x) − ϕ0(x) + ϕ2(x) − ϕ1(x) + ...

+... + ϕn(x)

−ϕn

−1(x)

≡ϕn(x)

−ϕ0(x) (3.144)

Por consiguiente, se ve, claramente, que si la serie (3.143) converge, convergira la sucesion{ϕn(x)} y viceversa.

Valoremos la serie (3.143). Tenemos, de acuerdo con (3.138) y (3.139):

|ϕ1(x) − ϕ0(x)| =

f (x) + λ

ba

K (x, s)f (s)ds − f (x)

=

= λ ba

K (x, s)f (s)ds ≤ |λ|mM (b − a) (3.145)

donde m = max |f (x)|, que siempre existira, pues, por hipotesis, f (x) es continua. De formasimilar, teniendo en cuenta (3.140) y (3.139):

|ϕ2(x) − ϕ1(x)| =

f (x) + λ

ba

K (x, s)ϕ1(s)ds − f (x) − λ

ba

K (x, s)ϕ0(s)ds

=

= λ b

a K (x, s)[ϕ1(s) − ϕ0(s)]ds ≤ |λ|2

mM 2

(b − a)2

(3.146)

Continuando este proceso, hallamos que:

|ϕn(x) − ϕn−1(x)| ≤ m|λ|nM n(b − a)n (3.147)

O sea, introduciendo la notacion:




q = |λ|M (b − a) (3.148

de (3.147) obtenemos:

|ϕn(x)

−ϕn

−1(x)

| ≤mq n (3.149

Es decir, hemos obtenido, para la serie (3.143), un mayorante numerico convergente, ya qude acuerdo con (3.142), q < 1.

Por el criterio de Weierstrass, concluimos, por lo tanto, que la serie (3.143) converge uniformemente en [a, b].

Por consiguiente, la sucesion {ϕn(x)} de las aproximaciones sucesivas converge uniformementa la funcion ϕ(x), que sera la solucion de la ecuacion (3.137).

Demostremos, ahora, que esta solucion es unica. Para ello, supondremos que existen do

soluciones ϕ1(x) y ϕ2(x) de la ecuacion (3.137). Analicemos la funcion

ω(x) = ϕ1(x) − ϕ2(x) (3.150

Entonces, obviamente, (3.150) sera solucion de la ecuacion homogenea

ω(x) = λ

ba

K (x, s)ω(s)ds (3.15

Elevando al cuadrado (3.151) y aplicando la desigualdad de Cauchy-Buniakovsky, tendremos

ω2(x) =

λ

ba

K (x, s)ω(s)ds

2≤ λ2

ba

K 2(x, s)ds

ba

ω2(s)ds (3.152

Considerando la posibilidad de expresiones complejas, (3.152) debe escribirse en la forma:

|ω(x)|2 ≤ |λ|2 b

a

|K (x, s)|2ds b

a

|ω(s)|2ds (3.153

Integrando (3.153) entre a y b, obtenemos:

ba

|ω(x)|2dx ≤ |λ|2 ba

ba

|K (x, s)|2dsdx

ba

|ω(s)|2ds ≤

≤ |λ|2M 2(b − a)2 ba

|ω(x)|2dx (3.154




donde hemos tenido en cuenta la cota de K (x, s) en la primera integral y hemos sustituido lavariable muda de integracion por x, ya que es una integral definida. De (3.154) obtenemos que:

[1 − |λ|2M 2(b − a)2]

ba

|ω(x)|2dx ≤ 0 (3.155)

Es decir:

(1 − q 2)

ba

|ω(x)|2dx ≤ 0 (3.156)

donde q < 1 viene dado por (3.148). Por tanto (1 − q 2) > 0 y, como la integral en (3.155),evidentemente, no es negativa, de (3.156) se concluye que

ba |ω(x)|

2

dx ≡ 0 (3.157)

De (3.157) se deduce que ω(x) ≡ 0, o sea, ϕ1(x) ≡ ϕ2(x), lo que demuestra la unicidad.


Hay una consecuencia importante del teorema que acabamos de demostrar y que enunciaremosen forma de corolario del mismo.

Corolario.

La ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (3.158)

no puede tener autovalores menores en modulo que λ0 dado por (3.142). Es decir, que, obliga-toriamente, los autovalores λk de la ecuacion (3.158) cumplen que

λk

≥λ0 =

1

M (b − a)

(3.159)

Demostracion:

El teorema que acabamos de demostrar establece que, para cualquier λ que cumpla con (3.142),la ecuacion no homogenea (3.137) tiene solucion unica. Por la alternativa de Fredholm, elloimplica que la correspondiente ecuacion homogenea (3.158) solo tiene solucion trivial; es decir,no tiene autovalores en el intervalo (−λ0 < λ < λ0). En un eje λ los autovalores estaran fuerade dicho intervalo.





Es conveniente destacar que el teorema demostrado establece que la solucion de la ecuacion nhomogenea (3.137) puede buscarse por el metodo de aproximaciones sucesivas solo en el casen que el parametro λ se encuentre en el intervalo (−λ0 < λ < λ0); en este caso se garantiza unicidad de la solucion.

Si el parametro λ esta fuera de dicho intervalo, habra que tener en cuenta la alternativa dFredholm al buscar la solucion y apoyarse en la formula de Schmidt (3.125) o la formula (3.136que -recordamos- son validas, exclusivamente, para ecuaciones con nucleo simetrico.

Como dijimos arriba, el metodo de aproximaciones sucesivas para encontrar la solucion dentrdel intervalo (−λ0 < λ < λ0) es valido para ecuaciones con nucleo arbitrario.

Por ultimo, es conveniente destacar que el proceso estudiado en este epıgrafe es una particularizacion del visto en el capıtulo Elementos de Espacios Funcionales y Operadores dlibro de Metodos Matematicos de la Fısica del autor.

Las aproximaciones sucesivas aquı construidas no son otra cosa que un caso particular de serie de Neumann estudiada en el epıgrafe de dicho capıtulo titulado Complementos de lteorıa espectral de operadores, al estudiar las ecuaciones operacionales.

El teorema aquı demostrado es la particularizacion del teorema general alla demostrado parlas ecuaciones operacionales en un espacio de Banach.

3.8 Ejemplos de solucion de ecuaciones integrales deFredholm de segundo tipo

1.

ϕ(x) =

π0

cos(x + s)ϕ(s)ds + 1 (3.160

Hagamos un analisis detallado. Tenemos que M = max | cos(x + s)| = 1, b − a = π. Polo tanto

λ = 1 > 1

M (b − a) ≈ 0.31 (3.16

Por lo tanto, la solucion no puede ser hallada por el metodo de aproximaciones sucesivaPor ello, buscaremos la solucion de la ecuacion homogenea correspondiente para, luegaplicar la alternativa de Fredholm. La ecuacion homogenea es

ϕ(x) = λ

π0

cos(x + s)ϕ(s)ds (3.162

con nucleo




K (x, s) = cos(x + s) ≡ cos x cos s − sin x sin s (3.163)

es decir, degenerado. Por lo tanto, la solucion sera de la forma

ϕ(x) = C 1 cos x + C 2 sin x (3.164)

Colocando (3.164) en la ecuacion (3.162), obtenemos:

C 1 cos x + C 2 sin x = λ

π0

[cos x cos s − sin x sin s][C 1 cos s + C 2 sin s]ds =

= λC 1 cos x

π0

cos2 sds − λC 1 sin x

π0

cos s sin sds +

+ λC 2

π0

cos s sin sds − λC 2 sin x

π0

sin2 sds =

= λπ

2C 1 cos x − λ

π

2C 2 sin x (3.165)

ya que cos s y sin s son ortogonales en [0, π]. De (3.165) concluimos que los autovalores ylas autofunciones son:

λ1 = π

2, ϕ1(x) = C 1 cos x

λ2 = −π

2, ϕ2(x) = C 2 sin x (3.166)

Notese que se comprueba lo planteado en el corolario del teorema del epıgrafe anterior:los autovalores estan fuera del intervalo (

−1/π, 1/π) en el eje λ. Tambien se constata

que, por ser el nucleo degenerado de orden dos, existen no mas de dos autovalores ydos autofunciones del nucleo. Los coeficientes C 1 y C 2 los hallamos de la condicion denormalizacion:

ϕ1 2= C 21

π0

cos2 xdx = 1, ϕ2 2= C 22

π0

sin2 xdx = 1 (3.167)

de donde

C 1 = C 2 = 2

π (3.168)

Por lo tanto, finalmente, la solucion de la ecuacion homogenea (3.162) vendra dada porlas autofunciones y los autovalores:

ϕ1(x) =

2

π cos x, λ1 =

2

π

ϕ2(x) =

2

π sin x, λ2 = − 2

π (3.169)




Vemos que λ = 1 en la ecuacion (3.160) no coincide con ningun autovalor del nucleo. Polo tanto, la ecuacion homogenea

ϕ(x) =

π0

cos(x + s)ϕ(s)ds (3.170

solo tiene solucion trivial y, por la alternativa de Fredholm, la ecuacion (3.160) tien

solucion unica, dada por la formula de Schmidt (3.125).

En ella, f (x) = 1, λ = 1.

Tendremos, por tanto:

ϕ(x) = 1 + f 1ϕ1(x)

λ1 − 1 +

f 2ϕ2(x)

λ2 − 1 (3.17

Calculemos los coeficientes:

f 1 = (1, ϕ1) = 2π π

01 · cos xdx = 2π sin x|π0 = 0 (3.172

f 2 = (1, ϕ2) =

2

π

π0

1 · sin xdx =

2

π cos x|0π = 2

2

π (3.173

Por lo tanto:

ϕ(x) = 1 + 2 2

π sin x

− 2π − 1

= 1 − 2 sin x

1 + π2

(3.174

2.

ϕ(x) = 3

20

xsϕ(s)ds + 3x − 2 (3.175

En este ejercicio el nucleo

K (x, s) = xs (3.176

es degenerado. Por consiguiente, como M = max |xs| = 4 y b − a = 2, tendremos que

λ = 3 > 1M (b − a)

= 18

(3.177

Ası pues, buscamos la solucion de la ecuacion homogenea

ϕ(x) = λ

20

xsϕ(s)ds (3.178

en la forma ϕ(x) = Cx. Colocando en (3.178), obtenemos:




Cx = λ

20

xsCsds = λCx

20

s2ds = λCxs3

3|20 =

8

3λCx (3.179)

Ası pues, obtenemos el unico autovalor (ya que el nucleo es degenerado de orden uno):λ = 3

8.

Exigiendo que la autofuncion sea normalizada:

ϕ 2= C 2 20

x2dx = 1 (3.180)

obtenemos la solucion de la ecuacion homogenea (3.178):

ϕ(x) =

3

8x, λ =

3

8 (3.181)

Como el parametro λ = 3 de la ecuacion no homogenea (3.175) no coincide con el autovalor

de la ecuacion homogenea, por la alternativa de Fredholm, la solucion sera unica y vendradada por la formula de Schmidt.

Tenemos que, en este caso, el unico coeficiente f k, correspondiente a la unica autofunciones:

f k =

20

(3x − 2)

3

8xdx =

3

8

20

(3x2 − 2x) = 4

3

8 (3.182)

Por lo tanto:

ϕ(x) = 3x − 2 + 3 · 4 38 38x38 − 3

= 9x7 − 2 (3.183)

3.

ϕ(x) = 3

10

xsϕ(s)ds + 3x − 2 (3.184)

Este es un ejercicio muy parecido al anterior, solo que el intervalo de integracion esdiferente. Resolveremos la ecuacion homogenea

ϕ(x) = λ 1

0 xsϕ(s)ds (3.185)

Como el nucleo es degenerado, proponemos la solucion como ϕ(x) = C x. Colocando en(3.185):

Cx = λ

10

xsCsds = λCxs3

3|10 = C

λ

3x (3.186)

Por lo tanto, el autovalor y la autofuncion ya normada seran:




λ = 3, ϕ(x) =√

3x (3.187

Vemos que, en este caso, el parametro λ en la ecuacion (3.184) coincide con el autovalode la correspondiente ecuacion homogenea (3.185).

De acuerdo con la alternativa de Fredholm, o bien no existe soluci on, o bien existeinfinitas soluciones de (3.184).

Esto se determina, como sabemos, analizando el producto interno de la inhomogeneidacon la autofuncion. Tenemos:

(f, ϕ) =

10

(3x − 2)√

3xdx =√

3

10

(3x2 − 2x)dx =√

3(x2 − x2)|10 = 0 (3.188

Es decir, la inhomogeneidad es ortogonal a la autofuncion, por lo que existiran infinitasoluciones de nuestra ecuacion (3.184).

Como el nucleo es simetrico, aplicando (3.133), obtenemos, como hay una sola autfuncion, cuyo autovalor coincide con λ:

ϕ(x) = 3x − 2 + C √

3x = (C √

3 + 3)x − 2 (3.189

Llamando K = C √

3 + 3, finalmente, nos queda la solucion en la forma:

ϕ(x) = K x − 2 (3.190

donde K es una constante arbitraria.

4.

ϕ(x) = 10

(x + s)ϕ(s)ds + 18x2 − 9x − 4 (3.19

Resolvemos la correspondiente ecuacion homogenea

ϕ(x) = λ

10

(x + s)ϕ(s)ds (3.192

Como el nucleo, K (x, s) = x + s, es degenerado, buscamos la solucion en la forma

ϕ(x) = C 1 + C 2x (3.193

Sustituyendo (3.193) en (3.192), obtenemos la ecuacion para los autovalores λ:

(1 − λ2 ) −λ

3

λ −(1 − λ2

)

= −

1 − λ

2

2

+ λ2

3 = 0 (3.194

o sea:

λ2 + 12λ − 12 = 0




Por consiguiente, los autovalores de la ecuacion (3.192) son:

λ1 = −6 + 4√

3, λ2 = −6 − 4√

3 (3.195)

Las autofunciones, ya normalizadas, que les corresponden son:

ϕ1(x) = 1 + x

√ 3

2 +√

3, ϕ2(x) =

1−

x√

3 2 − √

3(3.196)

Como el parametro λ = 1 en la ecuacion no homogenea (3.191) no coincide con ningunode los autovalores y esta fuera del intervalo (−λ0, λ0), con

λ0 = 1

M (b − a) =

1

2 (3.197)

la solucion unica de la ecuacion (3.191) vendra dada por la formula de Schmidt (3.125)que aquı toma la forma:

ϕ(x) = 18x2 − 9x − 4 + 12

k=1

f kϕk(x)

λk − λ (3.198)

Calculando los coeficientes:

f 1 = (f, ϕ1) = − 5 +√

3

2

2 +√

3(3.199)

f 2 = (f, ϕ2) =

−

5 − √ 3

2 2 − √ 3(3.200)

y, efectuando los calculos algebraicos, se obtiene, finalmente, la solucion como:

ϕ(x) = 18x2 + 12x + 9 (3.201)

5.

ϕ(x) = 2

10

xϕ(s)ds + 2x − 1 (3.202)

Resolvemos la ecuacion homogenea correspondiente:

ϕ(x) = λ 10

xϕ(s)ds (3.203)

cuyo nucleo, K (x, s) = x ≡ u(x)v(s), con u(x) = x, v(s) = 1, es degenerado de ordenuno. Por lo tanto, la solucion la proponemos como ϕ(x) = Cx.

Colocando en (3.203), hallamos el autovalor y la autofuncion normalizada:

λ = 2, ϕ(x) =√

3x (3.204)




Vemos que el parametro λ en la ecuacion no homogenea (3.202) coincide con el autovalode la ecuacion homogenea correspondiente (3.203).

Por lo tanto, hay que analizar el producto interno de la inhomogeneidad con la autofuncion, para determinar si existe la solucion. Tenemos:

(f, ϕ) = 1

0

(2x

−1)

√ 3xdx =

√ 3

1

0

(2x2

−x)dx =

√ 32

3 − 1

2 = 0 (3.205

Es decir, la inhomogeneidad no es ortogonal a la autofuncion y, por la alternativa dFredholm, la ecuacion (3.202) no tiene solucion.

3.9 Ecuaciones integrales de Volterra

La ecuacion integral de Volterra de segundo tipo tiene la forma general

ϕ(x) = λ xa

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (3.206

donde K (x, s) = 0 y continuo en el triangulo a ≤ s ≤ x ≤ b.

Busquemos su solucion por el metodo de aproximaciones sucesivas. Para ello, proponemos laproximacion inicial:

ϕ0(x) = f (x) (3.207

y construimos las aproximaciones sucesivas en la forma siguiente:

ϕ1(x) = f (x) + λ

xa

K (x, s)ϕ0(s)ds (3.208

ϕ2(x) = f (x) + λ

xa

K (x, s)ϕ1(s)ds (3.209

.............................................................

ϕn(x) = f (x) + λ

xa

K (x, s)ϕn−1(s)ds (3.210

Por construccion, si la sucesion {ϕn(x)} converge, lo hace a la solucion de (3.206).

Tiene lugar una importante afirmacion:

Teorema.




Para cualquier funcion f (x) continua en [a, b] y para cualquier λ, la sucesion {ϕn(x)} de lasaproximaciones sucesivas converge uniformemente a la solucion de la ecuacion (3.206) y dichasolucion es unica.

Demostracion:

Analicemos la serie

S (x) =∞k=1

[ϕk(x) − ϕk−1(x)] (3.211)

Su suma parcial, evidentemente, es:

S n(x) = ϕn(x) − ϕ0(x) (3.212)

por lo tanto, si la serie (3.211) converge, tambien converge la sucesion {ϕn(x)} y viceversa.

Valoremos los miembros de la serie (3.211). Tenemos:

|ϕ1(x) − ϕ0(x)| =

f (x) + λ

xa

K (x, s)f (s)ds − f (x)

=

=

λ

xa

K (x, s)f (s)ds

≤ |λ|mM (x − a) (3.213)

donde M = max|K (x, s)| y m = min|f (x)| en virtud de la continuidad de ambas funciones.

De manera analoga, obtenemos:

|ϕn(x) − ϕn−1(x)| ≤ m|λ|nM n(x − a)n

n! (3.214)

y, como b ≥ x, podemos, en definitiva, escribir que:

|ϕn(x) − ϕn−1(x)| ≤ m|λ|nM n (b − a)n

n! (3.215)

De esta manera, hemos hallado para la serie (3.211) un mayorante numerico convergente paracualquier valor de λ debido a la presencia de n! en el denominador.

Por el criterio de Weierstrass concluimos que la serie (3.211) converge uniformemente en [a, b]para cualquier λ y, por consiguiente, la sucesion {ϕn(x)} de las aproximaciones sucesivas con-verge uniformemente en [a, b] para cualquier λ a la solucion ϕ(x) de la ecuacion (3.206).




Demostremos, ahora, la unicidad de la solucion.

Para ello, supondremos que, para cierta λ existen dos soluciones de (3.206), ϕ1(x) y ϕ2(xdiferentes entre sı. Entonces, la funcion:

ω(x) = ϕ1(x) − ϕ2(x) (3.216

satisface, para λ = λ, la ecuacion homogenea:

ω(x) = λ

xa

K (x, s)ω(s)ds (3.217

Suponiendo ω(x) no identicamente igual a cero, veamos la siguiente ecuacion no homogenea:

ϕ(x) = λ x

a K (x, s)ϕ(s)ds + ω(x) (3.218

Construyendo el sistema de aproximaciones sucesivas para (3.218), tendremos lo siguiente:

ϕ0(x) = ω(x)

ϕ1(x) = ω(x) + λ

x

a

K (x, s)ω(s)ds ≡ 2ω(x)

.......................................................

ϕn(x) = (n + 1)ω(x) (3.219

donde hemos tenido en cuenta (3.217).

Pero, la sucesion funcional (3.219) es, evidentemente, divergente, lo que contradice la primerparte de la demostracion de este teorema, donde fue demostrado que, para toda inhomogeneidad continua, las aproximaciones sucesivas convergen uniformemente.

Por consiguiente, debe cumplirse, forzosamente, que ω(x) ≡ 0, lo que implica que ϕ1(x) ϕ2(x), con lo que queda demostrada la unicidad.


Notese que el teorema demostrado nos permite concluir que la ecuacion no homogenea dVolterra (3.206) siempre tiene solucion unica y que la ecuacion homogenea solo tiene soluciotrivial.




3.10 Solucion de ecuaciones integrales de Volterra portransformadas integrales

En ocasiones, es posible utilizar la tecnica de las transformadas integrales para resolver deter-minadas ecuaciones integrales.

En un capıtulo posterior veremos la aplicacion de la transformada de Fourier a la solucionde ecuaciones integrales con nucleo dependiente de la diferencia de las variables entre lımitesinfinitos.

Aquı veremos la aplicacion de la transformada de Laplace a ecuaciones de Volterra con nucleosdependientes de la diferencia de sus variables.

La esencia del metodo radica en la aplicacion consecuente de la transformada de Laplace y desus propiedades -estudiadas en el libro de Teorıa de Funciones de Variable Compleja delautor- a la ecuacion a resolver, por lo que solo lo ejemplificaremos en un par de casos, a modode ilustracion.

1. Supongamos que queremos resolver la ecuacion integral:

ϕ(t) = at +

t0

sin(t − τ )ϕ(τ )dτ (3.220)

Denotando por Φ( p) a la transformada de Laplace de ϕ(t) y teniendo presente que:

t 1

p2

sin t 1

p2 + 1

y que, de acuerdo con el teorema de la convolucion,

t0

sin(t − τ )ϕ(τ )dτ 1

p2 + 1Φ( p)

de (3.220), aplicando la transformada de Laplace, obtenemos la ecuacion operacional:

Φ( p) = a p2 + 1

p2 + 1Φ( p) (3.221)

de donde, para la transformada de la funcion incognita Φ( p), se obtiene:

Φ( p) = a( p2 + 1)

p4 (3.222)

Por consiguiente, aplicando la formula de Mellin para el calculo del original a partir dela transformada, tendremos que (a > 0):




ϕ(t) = 1

2πi

s+i∞s−i∞

a( p2 + 1)

p4 e ptdp =

a

6

d3

dp3[( p2 + 1)e pt] p=0 = a

t +

t3

6

(3.223

que es la solucion buscada de la ecuacion (3.220).

2. Resolvamos, de forma similar, la ecuacion:

ϕ(t) = t2

2 +

t0

et−τ ϕ(τ )dτ (3.224

Como:

t2 2

p3

et 1

p − 1

aplicando la transformada de Laplace a (3.224) y teniendo en cuenta el teorema de lconvolucion, obtenemos la ecuacion operacional:

Φ( p) = 1

2

2

p3 +

1

p − 1Φ( p) (3.225

de donde:

Φ( p) = p − 1

p3( p − 2) (3.226

Aplicando la formula de Mellin, obtenemos:

ϕ(t) = 1

2

d2

dp2 ( p − 1)e pt

p

−2 p=0

+ ( p − 1)e pt

p3 | p=2 =

t4

4 − t

4 − 1

8 +

1

8e2t (3.227

que es la solucion buscada.

Con el empleo de esta tecnica puede acometerse, con relativa facilidad, la solucion de ecuacioneintegrales de Volterra del tipo indicado, ası como de ecuaciones integro-diferenciales, donde funcion incognita se encuentre bajo las operaciones de derivacion y de integracion, a la vez, ela misma ecuacion.




3.11 Ejercicios del Capıtulo

1.

ϕ(x) = λ

10

K (x, s)ϕ(s)ds (3.228)

donde

K (x, s) = x(1 − s), ∀x ≤ s

K (x, s) = s(1 − x), ∀x ≥ s

2.

ϕ =

2π0

sin(x + s)ϕ(s)ds + sin x + cos x (3.229)

3.

ϕ(x) = λ 2π

0 cos(x − s)ϕ(s)ds (3.230)

4.

ϕ(x) = 2

10

xϕ(s)ds + 2x − 1 (3.231)

5.

ϕ(x) = 5

2

1−1

(xs + x2s2)ϕ(s)ds + x (3.232)

6.

ϕ(x) =

1

e2 − 1 1

0 e

x+s

ϕ(s)ds + e

x

(3.233)

7.

ϕ(x) =

21

ϕ(s)

xs ds + x (3.234)

8.

ϕ(x) = 2

21

x

sϕ(s)ds + x (3.235)



Capıtulo 4

Equivalencia entre los problemas defrontera de ecuaciones diferenciales ylas ecuaciones integrales con nucleo

simetrico

En el presente capıtulo estudiaremos uno de los resultados mas importantes de la teorıa de laecuaciones integrales de la Fısica Matematica.

Con el se incrementa la importancia de la teorıa de las ecuaciones integrales en el estudio resolucion de los problemas de esta disciplina.

Con la equivalencia que estableceremos, se logra dar un caracter cerrado, armonico y de gra

belleza a la teorıa y lograremos, ademas, dar justificacion a las propiedades de los autovalorey las autofunciones de los problemas de frontera que hemos enunciado y s olo parcialmentdemostrado en el libro de Metodos Matematicos de la Fısica del autor.

Primeramente, acometeremos la construccion de la funcion de Green de una ecuacion diferencia

4.1 Funcion de Green

En el presente epıgrafe estudiaremos el operador diferencial

L[y] = d

dx

k(x)

dy

dx

− q (x)y (4.

donde k(x) > 0 y q (x) son funciones continuas en cierto intervalo de definicion [a, b].

El operador (4.1) ya es conocido por nosotros desde el libro de Metodos Matematicos de lFısica, cuando estudiamos las funciones especiales de la Fısica Matematica.

77




El operador (4.1) es un operador lineal autoconjugado. En el mencionado libro vimos que, poroperador autoconjugado se entiende al operador A que cumpla que A∗ = A.

En el caso de operadores diferenciales del tipo

L[y] =3

i=1

3

k=1

aik∂ 2y

∂xi∂xk

+3

k=1

bk∂y

∂xk

+ cy (4.2)

estos seran autoconjugados, si pueden ser escritos en la forma:

L[y] =3

i=1

∂

∂xi

3k=1

aik∂y

∂xk+ cy (4.3)

En el caso unidimensional, (4.3) nos da (4.1). Es posible verificar que si el operador L esautoconjugado, se cumple que:

y2L[y1] − y1L[y2] = d

dxh(x) (4.4)

donde h(x) es cierta funcion que se expresa a traves de y1(x) y y2(x) sin cuadraturas.

Planteemos, ahora, el siguiente problema para este operador:

L[y] = −f (x), ∀a < x < by(a) = 0 (4.5)

y(b) = 0

donde f (x) es una funcion continua dada en el intervalo [a, b]. Analicemos, simultaneamente,el problema homogeneo correspondiente:

L[y] = 0, ∀a < x < b

y(a) = 0 (4.6)y(b) = 0

Aclaremos que si en uno de los extremos del intervalo, x = a o x = b, o en ambos, se verifica quek(x) = 0, entonces, en lugar de la condicion de igualdad a cero de la funcion y(x) en ese punto,en el problema (4.5) y su correspondiente (4.6), s olo debemos exigir que la funcion y(x) seaacotada, cosa que ya estudiamos en los capıtulos correspondientes a la teorıa de las FuncionesEspeciales, del libro de Metodos Matematicos de la Fısica.



Equivalencia entre problemas de frontera y ecuaciones integrales 7

Estudiemos el siguiente concepto.

Definicion:

Llamaremos funcion de Green G(x, s) del operador L[y] en el intervalo [a, b] a la funcion ddos variables que cumpla las siguientes condiciones:

1. G(x, s) es continua respecto a x y a s en [a, b].

2. G(a, s) = G(b, s) = 0.

3. G(x, s) tiene en el intervalo abierto (a, b) derivadas ∂G∂x y ∂ 2G

∂x2 continuas para todo x =y cumple la ecuacion

Lx[G] = −δ (x − s) (4.7

El subındice x en el operador L indica que las derivadas estan tomadas con respecto a la variabx, de manera que s juega el papel de un parametro en la misma.

El lector puede percatarse de que, en la definicion dada, estamos en presencia de la soluciofundamental del operador que, ademas, cumple con las condiciones de frontera del problemplanteado.

Con estos conceptos ya hemos tenido que ver anteriormente, en el Capıtulo del Metodo de lFuncion de Green del libro de Metodos Matematicos de la Fısica.

Aquı, no obstante, haremos un estudio detallado, dirigido a los ob jetivos que nos proponemo

en esta teorıa.

La definicion dada nos permite enunciar las dos siguientes propiedades para la funcion de Green

1. La derivada ∂G∂x

tiene una discontinuidad de primer tipo en el punto x = s.

Recordemos que se llama discontinuidad de primer tipo al punto x0 para la funciof (x), si los lımites de esta funcion por la derecha y por la izquierda en el punto xson finitos y desiguales entre sı; (tambien se le conoce con el nombre de singularidaesencial).

Demostracion:Tenemos, por definicion, que la funcion G(x, s) satisface la ecuacion (4.7).

Integremos (4.7) con respecto a x entre s−ε y s+ε, donde ε > 0 es arbitraria. Tendremo

s+εs−ε

d

dx

k(x)

∂G

∂x

dx −

s+εs−ε

q (x)G(x, s)dx = − s+ε

s−εδ (x − s)dx (4.8

Es decir:




k(x)∂G

∂x|s+εs−ε −

s+εs−ε

q (x)G(x, s)dx = −1 (4.9)

La expresion (4.9) significa:

k(s + ε)∂G

∂x(s + ε, s)

−k(s

−ε)

∂G

∂x(s

−ε, s)

− s+ε

s−εq (x)G(x, s)dx =

−1 (4.10)

Teniendo en cuenta que k(x), q (x) y G(x, s) son continuas en [a, b], tomando el lımitepara ε → 0 en (4.10), obtenemos:

k(s)

∂G

∂x(s + 0, s) − ∂ G

∂x(s − 0, s)

= −1 (4.11)

Es decir:

∂G

∂x(s + 0, s)

− ∂ G

∂x(s

−0, s) =

− 1

k(s) (4.12)


Es decir, hemos demostrado que la ecuacion (4.7) implica la condicion (4.12).

Para futuros calculos, es conveniente demostrar la afirmacion recıproca, es decir, que(4.12) implica a (4.7).

Demostremoslo. Para ello, supongamos que

Lx[G] = −f (x, s) (4.13)

donde f (x, s) es cierta funcion. Tenemos que demostrar que f ≡ δ .

Por hipotesis, se cumple la discontinuidad de la primera derivada.

Integremos (4.13) en el intervalo x ∈ (x0 − ε, x0 + ε).

x0+ε

x0−εLx[G]dx = −

x0+ε

x0−εf (x, s)dx (4.14)

De aquı:

k(x0 + ε)∂G(x0 + ε, s)∂x

− k(x0 − ε)∂G(x0 − ε, s)∂x

−

− x0+ε

x0−εq (x)G(x, s)dx = −

x0+εx0−ε

f (x, s)dx (4.15)

Sea x0 = s. Entonces, ∂G∂x es continua (pues solo es discontinua en x = s) y k(x), q (x) yG(x, s) son continuas.

Por lo tanto, en este caso para ε → 0 queda




0 =

x0+0

x0−0

f (x, s)dx, x0 = s (4.16

Sea s = x0. En este caso, a la izquierda, para ε → 0 queda −1:

−1 = − x0+0

x0−0 f (x, s)dx (4.17

de donde

x0+0

x0−0

f (x, s)dx = 1, x0 = s (4.18

Por consiguiente, f (x, s) = δ (x − s), ya que esta es la unica funcion posible con tcomportamiento.

Ası queda demostrado que la discontinuidad implica que G(x, s) satisface (4.7)

O sea, (4.7) y (4.12) son equivalentes.

2. Lx[G] = 0 para todo a < x < b y x = s.

Demostracion:

Es evidente, a partir de (4.7) y de la definicion de la funcion delta de Dirac.

Tiene lugar el siguiente teorema relativo a las caracterısticas de la solucion del problema (4.5

Teorema.

Si el problema homogeneo (4.6) tiene solo solucion trivial, entonces:

1. Existe la funcion de Green G(x, s) del operador L[y] unica en [a, b] y simetrica con respecta sus variables.

2. El problema no homogeneo (4.5) siempre tiene solucion unica, que se expresa por formula

y(x) = b

a

G(x, s)f (s)ds (4.19

Demostracion:

Demostremos, primero, la existencia de la funcion de Green del operador L[y] en el interva[a, b]. La ecuacion

L[y] = 0 (4.20




es una ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden; por lo tanto tiene dos soluciones line-almente independientes.

Llamemos y1(x) y y2(x) a dos soluciones linealmente independientes, a las que exigiremos quecumplan que

y1(a) = 0, y1(b) = 0 (4.21)

y2(a) = 0, y2(b) = 0 (4.22)

Evidentemente, y1(x) y y2(x) son linealmente independientes en [a, b]. Propongamos la funcionG(x, s) en la forma:

G(x, s) = c(s)y1(x)y2(s),

∀a

≤x

≤s

≤b

G(x, s) = c(s)y1(s)y2(x), ∀a ≤ s ≤ x ≤ b (4.23)

donde c(s) es cierto parametro, en principio funcion de s. La funcion ası construida cumplelos requisitos 1 y 2 de la definicion de funcion de Green, pues es continua respecto a ambosargumentos y, ademas:

G(a, s) ≡ c(s)y1(a)y2(s) = 0

G(b, s) ≡ c(s)y1(s)y2(b) = 0 (4.24)

en virtud de (4.21) y (4.22).

Por otra parte, para a ≤ x ≤ s ≤ b:

Lx[G] = c(s)y2(s)Lx[y1(x)] ≡ 0 (4.25)

y, para a ≤ s ≤ x ≤ b:

Lx[G] = c(s)y1(s)Lx[y2(x)] ≡ 0 (4.26)

ya que y1(x) y y2(x) son dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion (4.20).

Por lo tanto, la funcion construida cumple una de las propiedades demostradas para la funcionde Green.

La condicion (4.7) de la definicion de funcion de Green, segun vimos, es equivalente a lapropiedad (4.12) demostrada arriba.




Comprobemos, por tanto, que la funcion (4.23) cumple con (4.12).

Es decir, exijamos que:

∂G

∂x(s + 0, s) − ∂ G

∂x(s − 0, s) ≡ c(s)y1(s)y2(s) − c(s)y1(s)y2(s) = − 1

k(s) (4.27

Pero

c(s)y1(s)y2(s) − c(s)y1(s)y2(s) ≡ c(s)W (s) (4.28

donde

W (s) = y(s) y2(s)

y1(s) y2(s)

= 0 (4.29

es el wronskiano de las funciones y1(x) y y2(x), el cual no es identicamente nulo, ya que lafunciones son linealmente independientes.

Por consiguiente, de (4.27) y (4.28) obtenemos, para c(s), la expresion

c(s) =−

1

k(s)W (s) (4.30

de manera que, de (4.23), la funcion de Green queda construida en la forma:

G(x, s) = −y1(x)y2(s)

k(s)W (s), ∀a ≤ x ≤ s ≤ b

G(x, s) = −y1(s)y2(x)

k(s)W (s), ∀a ≤ s ≤ x ≤ b (4.3

Como puede observarse de (4.31), la funcion de Green construida es continua. Sin embargo nes evidente de (4.31) que sea simetrica, ya que al intercambiar x por s en estas ecuaciones elos denominadores aparece k(x) y W (x) en lugar de dichas funciones evaluadas en s.

Analicemos de manera mas detallada las caracterısticas del parametro c(s) dado por (4.30).

Para ello, veamos la siguiente expresion:




d

dx[k(x)W (x)] =

d

dx{k(x)[y1(x)y2(x) − y1(x)y2(x)]} =

y1(x) d

dx[k(x)y2(x)] − y2(x)

d

dx[k(x)y1(x)] ≡

≡ y1(x)L[y2(x)] − y2(x)L[y1(x)] ≡ 0 (4.32)

ya que y1(x) y y2(x) son soluciones de (4.20).

La expresion (4.32) nos indica que

k(x)W (x) ≡ c = constante

Por consiguiente, c(s) -que habıamos, inicialmente, propuesto como funcion de s- resulta seruna constante:

c(s) = − 1

k(s)W (s) ≡ c (4.33)

Por consiguiente, la funcion de Green construida resulta ser, ademas, simetrica como se requerıa.

De esta forma queda demostrada la existencia de la funcion de Green, ya que hemos logradoconstruirla con la expresion (4.31).

Demostremos, ahora, que la funcion de Green es unica. Para ello, supongamos la existencia de

dos funciones de Green G1(x, s) y G2(x, s) del operador L[y].

Entonces, la funcion

w(x, s) = G1(x, s) − G2(x, s) (4.34)

satisfara el problema homogeneo (4.6), ya que

Lx[w] = Lx[G1]

−Lx[G2] =

−δ (x

−s) + δ (x

−s) = 0 (4.35)

y

w(a, s) = G1(a, s) − G2(a, s) = 0, w(b, s) = G1(b, s) − G2(b, s) = 0 (4.36)

Pero, por hipotesis del teorema, el problema (4.6) solo tiene solucion trivial. Por lo tanto,w(x, s) ≡ 0 y G1(x, s) ≡ G2(x, s), lo que demuestra la unicidad de la funcion de Green.




Una vez demostrado que la funcion de Green (4.31) del operador L[y] es unica, queda dmostrado automaticamente que, si la formula (4.19) es solucion del problema (4.5), esta serunica, ya que suponer dos soluciones diferentes del problema (4.5) nos conducirıa a que sdiferencia serıa solucion del problema homogeneo (4.6), el cual solo tiene solucion trivial.

Por lo tanto, solo nos queda demostrar que la funcion (4.19) es solucion del problema (4.5).

Esto es evidente, ya que, aplicando el operador L[y] a la formula (4.19), obtenemos:

L[y] =

ba

Lx[G(x, s)]f (s)ds ≡ − ba

δ (x − s)f (s)ds ≡ −f (x) (4.37

donde hemos tenido en cuenta la ecuacion (4.7) para la funcion de Green.

Ademas:

y(a) = ba G(a, s)f (s)ds = 0 (4.38

y(b) =

ba

G(b, s)f (s)ds = 0 (4.39

pues G(a, s) = 0 y G(b, s) = 0, por definicion de funcion de Green.

Las expresiones (4.37), (4.38) y (4.39) prueban que, efectivamente, la f ormula (4.19) nos da solucion unica del problema (4.5).


Veamos un ejemplo ilustrativo de construccion de la funcion de Green. Supongamos que quremos resolver el siguiente problema de frontera:

y + y = cos x, ∀0 < x < π

2y(0) = 0 (4.40

y(π/2) = 0

El problema (4.40) es un caso particular del problema (4.5), con k(x) = 1, q (x) = −1 f (x) = − cos x, a = 0, b = π/2. Es evidente que el problema homogeneo correspondiente

y + y = 0, ∀0 < x < π

2y(0) = 0 (4.4

y(π/2) = 0




solo tiene solucion trivial. Por consiguiente, tiene validez el teorema demostrado; es decir, existela funcion de Green unica del operador y la solucion unica del problema (4.40) viene dada porla formula (4.19). Construyamos la funcion de Green.

La ecuacion y + y = 0 tiene las soluciones fundamentales

y1(x) = sin x, y2(x) = cos x (4.42)

que cumplen los requisitos establecidos: y1(0) = 0, y1(π/2) = 0, y2(0) = 0, y2(π/2) = 0. Comoaquı k(s) = 1 y el wronskiano

W (s) = sin s cos s

cos s − sin s =

−sin2 s

−cos2 s =

−1 (4.43)

la funcion de Green, de acuerdo con (4.31), sera:

G(x, s) = sin x cos s, ∀0 ≤ x ≤ s ≤ π

2

G(x, s) = sin s cos x,

∀0

≤s

≤x

≤ π

2

(4.44)

La solucion unica del problema (4.40) sera, por lo tanto, de acuerdo con (4.19):

y(x) =

π/20

G(x, s)f (s)ds = − π/20

G(x, s)cos sds =

− x0

sin s cos x cos sds − π/2x

sin x cos s cos sds =

= − cos x

x0

sin s cos sds − sin x

π/2x

cos2 sds =x

2 − π

4

sin x (4.45)

Es facilmente comprobable que la ecuacion (4.45) hallada cumple, efectivamente, la ecuacion ylas condiciones de frontera del problema (4.40).




4.2 Equivalencia entre un problema deSturm-Liouville y una ecuacion integral con nucle

simetrico. Propiedades de los autovalores y las autofunciones del problema de Sturm-Liouville

4.2.1 Teorema de equivalencia

Pasaremos, ahora, al estudio de uno de los problemas de mayor relevancia en la teorıa de laecuaciones integrales con nucleo simetrico y que le confiere a estas una importancia destacaden la Fısica Matematica.

Analicemos el siguiente problema de frontera:

L[y] + λp(x)y = 0, ∀a < x < b

y(a) = 0 (4.46

y(b) = 0

donde L[y] es el operador (4.1) definido en el epıgrafe anterior, p(x) > 0 es una funcion continuen [a, b] y λ es cierto parametro.

Buscaremos las soluciones no triviales del problema (4.46).

Notese que la ecuacion del problema (4.46) es la misma ecuacion generatriz de las funcioneespeciales que estudiamos en el libro de Metodos Matematicos de la Fısica.

A diferentes casos particulares de esta ultima se llega al efectuar el proceso de separacion dvariables en diferentes sistemas de coordenadas.

En el problema (4.46) hemos supuesto condiciones de frontera de primer tipo homogeneas parbasar nuestro futuro desarrollo en lo elaborado en el epıgrafe anterior.

Sin embargo, es necesario expresar que todo el desarrollo que a continuacion efectuaremos puedser demostrado con rigor para condiciones de frontera de segundo tipo, de tercer tipo y mixtaen el problema (4.46).

Ademas, en dependencia de las caracterısticas de la funcion k(x) en los puntos x = a y x = las condiciones de frontera impuestas podran ser sustituidas -en el caso en que k(x) = 0 en unde dichos puntos- por la exigencia de que la solucion sea acotada en dicho punto.

El problema (4.46) es, pues, un problema de Sturm-Liouville.

Durante todo el analisis que efectuaremos a continuacion, consideraremos siempre que λ = 0 nes autovalor del problema (4.46), es decir, que el problema homogeneo para el operador L[y]




L[y] = 0, ∀a < x < b

y(a) = 0 (4.47)

y(b) = 0

solo tiene solucion trivial.

Simultaneamente con el problema (4.46), analizaremos la siguiente ecuacion integral:

y(x) = λ

ba

G(x, s) p(s)y(s)ds (4.48)

donde G(x, s) es la funcion de Green del operador L[y] definida en el epıgrafe anterior.

Tiene lugar la siguiente afirmacion.

Teorema.

La ecuacion integral (4.48) es equivalente al problema (4.46); es decir, cualquier solucion delproblema (4.46) es solucion de la ecuacion (4.48) y viceversa.

Demostracion:

El problema (4.46) puede ser escrito en la forma:

L[y] = −λp(x)y, ∀a < x < by(a) = 0 (4.49)

y(b) = 0

El problema (4.49) es identico al problema (4.5) del epıgrafe anterior con inhomogeneidadf (x) = λp(x)y(x).

Como, por hipotesis, λ = 0 no es autovalor del problema (4.46) y el problema (4.47), por tanto,solo tiene solucion trivial, se cumplen los requisitos del teorema demostrado en el epıgrafeanterior y la solucion unica de (4.46) sera (4.48).


Llamemos

ϕ(x) = y(x)

p(x) (4.50)

y multipliquemos (4.48) por

p(x). Obtenemos:




y(x)

p(x) = λ

ba

G(x, s)

p(x) p(s)y(s)

p(s)ds (4.5

Si llamamos

K (x, s) = G(x, s) p(x) p(s) (4.52

entonces, para la funcion (4.50), obtenemos la ecuacion integral de Fredholm homogenea dsegundo tipo:

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (4.53

cuyo nucleo (4.52) es, evidentemente, real, continuo y simetrico; es decir, cumple la propieda

A.

Ası pues, hemos transformado el problema (4.46) en una ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo equivalente (4.53), cuyo nucleo cumple la propiedad A.

Enunciemos y demostremos un importante teorema.

Teorema.

El nucleo K (x, s) de la ecuacion (4.53), dado por la expresion (4.52), es cerrado.

Demostracion:

Por definicion, un nucleo es cerrado si no existe ninguna funcion f (x) = 0 que sea ortogonal mismo (y, por tanto, ortogonal a sus autofunciones).

Por consiguiente, tenemos que demostrar que, para toda funcion f (x), la igualdad

ba

K (x, s)f (s)ds = 0 (4.54

implica que f (x) ≡ 0.

Como p(x) > 0, dividiendo (4.54) por

p(x), obtenemos la siguiente funcion nula:

y(x) = 1

p(x)

ba

K (x, s)f (s)ds = 0 (4.55

O sea, en virtud de (4.52):




y(x) =

ba

G(x, s)

p(s)f (s)ds = 0 (4.56)

La expresion (4.56) es la solucion (nula) del problema

L[y] = −

p(x)f (x), ∀a < x < b

y(a) = 0 (4.57)

y(b) = 0

de acuerdo con lo desarrollado en el epıgrafe anterior.

Como L[y] = L[0] ≡ 0, ya que, de (4.56), y(x) = 0, ello significa que

−

p(x)f (x) ≡ 0 (4.58)

y, como p(x) > 0, de aquı concluimos que f (x) ≡ 0.


Del teorema demostrado sacamos la importantısima conclusion de que, como el nucleo K (x, s)es cerrado, por lo tanto no es degenerado y ello significa que tiene un numero infinito deautovalores y de autofunciones.

4.2.2 Propiedades de los autovalores y de las autofunciones del pro-blema de Sturm-Liouville

Con ayuda de la equivalencia establecida entre el problema de frontera (4.46) y la ecuacionintegral (4.48), pasaremos a enunciar y demostrar las propiedades de los autovalores y de lasautofunciones del problema de frontera (4.46).

Con ello quedaran definitivamente establecidas estas propiedades para los problemas de fronterade Sturm-Liouville en una dimension espacial, que hemos estudiado a lo largo de todo el librode Metodos Matematicos de la Fısica, incluyendo los de la ecuacion generatriz de lasfunciones especiales.

De esta manera, la teorıa de las ecuaciones diferenciales y de los problemas de Sturm-Liouvilleadquieren un caracter cerrado y armonico.

Veamos las propiedades.

Propiedad 1




El problema (4.46) tiene un conjunto infinito de autovalores {λn}, que pueden ser ordenadoen forma creciente:

λ1 < λ2 < ..... < λn < .... (4.59

y que cumplen que

limn→∞

λn = ∞ (4.60

A cada autovalor λn le corresponde una autofuncion yn(x) y el sistema de las autofuncione{yn(x)} es cerrado.

Demostracion:

Como el problema (4.46) es equivalente a la ecuacion integral (4.53), donde ϕ(x) y K (x, svienen dados, respectivamente, por (4.50) y (4.52) y como nosotros demostramos que el nucleK (x, s) de la ecuacion (4.53) es cerrado y, por tanto, no degenerado, la ecuaci on (4.53) y sproblema equivalente (4.46) tendran un numero infinito de autovalores y de autofunciones.

Los autovalores son reales y cumplen (4.60), en virtud del corolario 2 de la propiedad estudiaden el epıgrafe 3 del capıtulo anterior.

Ademas, como el nucleo es cerrado, el sistema de las autofunciones es tambien cerrado.


Propiedad 2

Todos los autovalores λn del problema (4.46) cumplen que

λn > min

q (x)

p(x)

, ∀a < x < b (4.6

Demostracion:

Supongamos que las autofunciones son normalizadas; es decir, que

ϕn 2≡ ba

ϕ2n(x)dx ≡

ba

y2n(x) p(x)dx = 1 (4.62

Analicemos la siguiente expresion:




ba

yn(x){L[yn] + λn p(x)yn(x)}dx ≡ ba

yn(x) d

dx

k(x)

dyndx

dx −

− ba

q (x)y2n(x)dx + λn

ba

y2n(x) p(x)dx ≡ 0 (4.63)

La igualdad a cero en (4.63) esta dada por el hecho de que, en el integrando a la izquierda, laexpresion entre llaves es identicamente nula.

Teniendo en cuenta (4.62), de (4.63) obtenemos, integrando por partes la segunda integral:

λn =

ba

q (x)y2n(x)dx −

ba

yn(x) d

dx

k(x)

dyndx

dx =

= b

a q (x)y

2

n(x)dx − yn(x)k(x)y

n(x)|

b

a + b

a k(x)[y

n(x)]

2

dx (4.64)

En (4.64) el segundo sumando es cero en virtud de las condiciones de frontera del problema(4.46) y la ultima integral a la derecha es definida positiva, pues k(x) > 0.

Por consiguiente, tenemos que:

λn > b

a

q (x)y2n(x)dx ≡

b

a

q (x)

p(x)y2n(x) p(x)dx =

= q (x∗)

p(x∗)

ba

y2n(x) p(x)dx =

q (x∗)

p(x∗) (4.65)

donde x∗ ∈ [a, b].

Aquı, hemos aplicado el teorema del valor medio integral y tenido en cuenta (4.62).

Como q (x) y p(x) son continuas en [a, b], se cumple que

q (x∗) p(x∗)

≥ min q (x) p(x)

(4.66)

Sustituyendo (4.66) en (4.65), queda demostrada la propiedad.

Propiedad 3

Las autofunciones del problema (4.46) correspondientes a distintos autovalores son ortogonalesen [a, b] con peso p(x); es decir:




ba

yn(x)ym(x) p(x)dx = yn 2 δ nm (4.67

donde δ nm es la delta de Kroneker.

Demostracion:En virtud de las propiedades demostradas en el epıgrafe 3 del capıtulo anterior, las autofuncionede la ecuacion integral (4.53) correspondientes a distintos autovalores son ortogonales, o sea:

ba

ϕn(x)ϕm(x)dx = ϕn 2 δ nm (4.68

Sustituyendo en (4.68) las autofunciones ϕn(x) y ϕm(x) por su expresion (4.50), queda demostrada la propiedad.

Propiedad 4: Teorema del desarrollo

Cualquier funcion f (x) continua y dos veces diferenciable en (a, b) y que cumpla las condciones de frontera del problema (4.46), puede ser desarrollada en una serie de autofuncioneconvergente absoluta y uniformemente en (a, b):

f (x) =∞n=1

f nyn(x) (4.69

donde los coeficientes del desarrollo vienen dados por:

f n =

ba

f (x)yn(x) p(x)dx (4.70

Demostracion:

Sea f (x) una funcion continua y dos veces diferenciable en (a, b) y tal que f (a) = f (b) = 0.

Entonces, aplicando el operador L a esta funcion, obtenemos:

L[f ] = d

dx[k(x)f ] − q (x)f (x) ≡ k(x)f + k(x)f − q (x)f (x) ≡ −h(x) (4.7

Es decir, el operador L aplicado sobre f (x) nos da cierta funcion continua que llamamos −h(x

Esto significa que f (x) es una funcion que es solucion del problema:




L[f ] = −h(x), ∀a < x < b

f (a) = 0 (4.72)

f (b) = 0

De acuerdo con lo estudiado por nosotros en el epıgrafe anterior, la solucion del problema (4.72),es decir, la funcion f (x), tiene la forma:

f (x) =

ba

G(x, s)h(s)ds (4.73)

donde G(x, s) es la funcion de Green del operador L.

Multiplicando (4.73) por

p(x), obtenemos:

f (x)

p(x) =

ba

G(x, s)

p(x)

p(s) h(s)

p(s)ds (4.74)

Es decir:

F (x) =

ba

K (x, s)H (s)ds (4.75)

donde hemos introducido las notaciones:

F (x) = f (x)

p(x) (4.76)

H (s) = h(s)

p(s)(4.77)

y el nucleo K (x, s) = G(x, s)

p(x) p(s) es el mismo dado por la expresion (4.52).

Pero, (4.75) significa que la funcion F (x) es emanante del nucleo K (x, s) que cumple lapropiedad A.

Por consiguiente, se cumplen los requisitos del teorema de Hilbert-Schmidt demostrado en elcapıtulo anterior: F (x) admite un desarrollo en serie de autofunciones del nucleo K (x, s):

F (x) =

∞n=1

F nϕn(x) (4.78)




donde

F n =

ba

F (x)ϕn(x)dx ≡ ba

p(x)f (x)yn(x)

p(x)dx ≡

≡ b

a

f (x)yn(x) p(x)dx≡

f n (4.79

Sustituyendo (4.50) y (4.76) en (4.78), obtenemos:

p(x)f (x) =

∞n=1

f nyn(x)

p(x) (4.80

Demostrado el teorema del desarrollo.

Como conclusion de las propiedades demostradas podemos decir que el sistema de autofuncione{yn(x)} del problema de Sturm-Liouville (4.46) es cerrado y completo y define, por tanto, unbase en un espacio funcional de infinitas dimensiones de Hilbert dado por todas las funcionecontinuas y dos veces diferenciables en (a, b) y que cumplen las condiciones de frontera d(4.46). Cualquier funcion de ese espacio podra ser expresada como una combinacion lineal ddicha base.

4.3 Equivalencia entre el problema de Sturm-Liouvill

en varias dimensiones y una ecuacion integral multidimensional

En el presente epıgrafe haremos una extension, en forma breve, de los resultados establecidoanteriormente, al caso multidimensional. No nos detendremos en las demostraciones de lapropiedades, ya que ellas no aportan nada nuevo, sustancial; simplemente enunciaremos loresultados fundamentales.

El problema de Sturm-Liouville que se obtiene a consecuencia de efectuar el procedimiento dseparacion de variables en varias dimensiones espaciales, segun vimos en el libro de MetodoMatematicos de la Fısica, es:

∇2v + λv = 0, ∀M ∈ V

v |S = 0 (4.8

donde S es la superficie frontera del dominio V . Aquı, para fijar ideas, hemos tomado el primeproblema de frontera.




En el libro de Metodos Matematicos de la Fısica vimos que la solucion del problema de Dirichlethomogeneo:

∇2v = −f (M ), ∀M ∈ V

v

|S = 0 (4.82)

tiene por solucion la expresion:

v(M ) =

V

G(M, P )f (P )dP (4.83)

donde

G(M, P ) =

1

4πrMP + u (4.84)

con ∇2u = 0, ∀M ∈ V . La funcion (4.84), como sabemos, es la funcion de Green del problemade Dirichlet, que cumple que G|S = 0.

Aplicando la formula (4.83) al problema (4.81), obtenemos que la solucion de este puede serescrita en la forma:

v(M ) = λ V K (M, P )v(P )dP (4.85)

con K (M, P ) ≡ G(M, P ).

La expresion (4.85) es una ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipo en tresdimensiones con nucleo simetrico.

De forma analoga puede llegarse a una expresion similar para el segundo y el tercer problemade frontera de Sturm-Liouville; la funcion G(M, P ) sera, entonces, la funcion de Green delproblema de Neumann o la del tercer problema de frontera para la ecuacion de Poisson.

En general, es posible demostrar que toda la teorıa desarrollada en los capıtulos anteriores

para las ecuaciones integrales de Fredholm en una dimension espacial es valida para las ecua-ciones multidimensionales del tipo (4.85), incluyendo las propiedades de los autovalores y delas autofunciones.

En el caso que nos ocupa, se ve que el nucleo de la ecuacion (4.85) es real, simetrico y no trivial,ya que esas propiedades son cumplidas por la funcion de Green.

Lo unico de la propiedad A que este nucleo no cumple es la continuidad, ya que, para M = P ,tiene una singularidad.




Sin embargo, esta es una singularidad debil, ya que las integrales

V

|K (M, P )|dP,

V

K 2(M, P )dP (4.86

son convergentes, en virtud de que

K (M, P ) ∼ K

rαMP

(4.87

con α = 1 < 3, lo que garantiza dicha convergencia, de acuerdo con la teorıa desarrollada en libro de Metodos Matematicos de la Fısica.

Por consiguiente, la ecuacion integral (4.85) tiene solucion y es valida toda la teorıa expuesten los capıtulos anteriores.

Por ultimo, podemos senalar que, ademas de simetrico, el nucleo de la ecuacion (4.85) ecerrado, lo que se deduce del hecho de que el problema (4.82) homogeneo, es decir, el problem

∇2v = 0, ∀M ∈ V

v |S = 0 (4.88

como sabemos, solo tiene solucion trivial. Ello significa, de acuerdo con (4.83), que, efectivmente

V

K (M, P )f (P )dP = 0 (4.89

solo para f (P ) ≡ 0, lo que, por tanto, significa que el nucleo es cerrado.

De aquı concluimos que el sistema de autovalores y de autofunciones de la ecuacion (4.85) tieninfinitos elementos, es cerrado y completo y cumple las propiedades estudiadas en el epıgraanterior.

En el caso bidimensional todo es similar.

Para el problema de Sturm-Liouville:

∇2v + λv = 0, ∀M ∈ S

v |C = 0 (4.90

obtenemos la ecuacion integral equivalente




v(M ) =

S

K (M, P )v(P )dS (4.91)

donde el nucleo

K (M, P ) = G(M, P ) = 1

2π ln 1

rMP + u (4.92)

con ∇2u = 0 ∀M ∈ S es real, simetrico, no trivial y su singularidad en M = P es debil.

Para las ecuaciones integrales del tipo (4.91) son validas todas las conclusiones hechas en lateorıa desarrollada en los capıtulos anteriores y el nucleo (4.92) es cerrado, por lo que el sistemade los autovalores y las autofunciones es infinito, cerrado y completo y cumple las propiedadesvistas en el epıgrafe anterior.



Capıtulo 5

Ecuacion Integral de Fredholm deSegundo Tipo. Teorıa General

En el presente capıtulo estudiaremos la teorıa general de Fredholm para ecuaciones integralcon nucleos arbitrarios. De esta manera complementamos lo estudiado sobre ecuaciones intgrales y brindamos algunos elementos teoricos y practicos de utilidad para las aplicaciones.

5.1 Transformacion de la ecuacion en un sistema alge

braico

Estudiaremos la ecuacion de Fredholm de segundo tipo

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (5.

donde K (x, s) y f (x) son continuas para a < x < b, a < s < b.

Proponiendo la funcion incognita en la forma

ϕ(x) = ψ(x) + f (x) (5.2

y colocando (5.2) en (5.1), obtenemos para ψ(x) la ecuacion:

ψ(x) = λ

ba

K (x, s)ψ(s)ds + λ

ba

K (x, s)f (s)ds (5.3

donde la inhomogeneidad que aparece a la derecha en (5.3) esta expresada como emanante dnucleo K (x, s).

99




Hagamos una particion del segmento [a, b] en n partes:

xi = a + ih, s j = a + jh, h = b − a

n , i, j = 1, 2,...,n (5.4)

y sustituyamos la integral por la suma integral. Obtenemos:

ψ(xi) = λn

j=1

K (xi, s j)ψ(s j)h + λn

j=1

K (xi, s j)f (s j)h (5.5)

Introduciendo las siguientes notaciones:

ψi ≡ ψ(xi), K ij ≡ K (xi, s j), f j ≡ f (s j) (5.6)

hemos obtenido el siguiente sistema algebraico de ecuaciones:

ψi − λhn

j=1

K ijψ j = λhn

j=1

K ijf j, i = 1, 2,...,n (5.7)

El determinante de la parte izquierda del sistema (5.7) se expresa de la siguiente forma:

∆(λ) =

1 − λhK 11 −λhK 12 ... −λhK 1n−λhK 21 1 − λhK 22 ... −λhK 2n

... ... ...−λhK n1 −λhK n2 ... 1 − λhK nn

(5.8)

Llamemos ∆i al determinante (5.8) en el que, en la columna i, se encuentra colocada la partederecha del sistema (5.7); es decir:

∆i =

1 − λhK 11 ... λh

n j=1 K 1 jf j ... −λhK 1n

−λhK 21 ... λhn

j=1 K 2 jf j ...

−λhK 2n

... ... ... ...

... ... ... ...

−λhK n1 ... λhn

j=1

K njf j ... 1 − λhK nn

columna i

≡ λh

n j=1

∆ijf j (5.9)

donde hemos llamado:



Ecuacion Integral de Fredholm de Segundo Tipo. Teorıa General 10

∆ij =

1 − λhK 11 ... K 1 j ... −λhK 1n−λhK 21 ... K 2 j ... −λhK 2n

... ... ... ...−λhK n1 ... K nj

... 1 − λhK nn

columna i

(5.10

En la expresion de arriba, la columna con los elementos K mj , con m = 1, 2,...,n se encuentren la columna i de la matriz. Teniendo en consideracion (5.8), (5.9) y (5.10), la solucion dsistema (5.7), por la regla de Kramer, es:

ψi = ∆i

∆(λ) =

1

∆(λ)λh

n j=1

∆ijf j, i = 1, 2,...,n (5.1

y, por consiguiente, de acuerdo con (5.2):

ϕi = f i + 1

∆(λ)λh

n j=1

∆ijf j, i = 1, 2,...,n (5.12

Analicemos la estructura de los determinantes (5.8) y (5.10) y veamos cual es su expresiolımite, para h → 0, ya que, al efectuar dicho lımite, el sistema algebraico (5.7) se convierte ela ecuacion integral que estamos analizando. Para ello, desarrollemos estos determinantes epotencias de λh. Llamando

t = − 1λh (5.13

podemos escribir:

∆(t) = t−n

K 11 + t K 12 ... K 1n

K 21 K 22 + t ... K 2n... ... ...

K n1 K n2 ... K nn + t

≡ t−nδ (t) (5.14

Como se sabe del Algebra Matricial, si tenemos una matriz cuyos elementos son funciones d

la variable t:

A(t) =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ...an1 an2 ... ann

(5.15

entonces, su derivada se expresa por




A(t) =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ...an1 an2 ... ann

+

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ...an1 an2 ... ann

+ ...

... +

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ...

an1 an2 ... ann

(5.16)

por lo tanto, para la matriz δ (t), definida en (5.14), tendremos:

δ (t) =

1 K 12 ... K 1n0 K 22 + t ... K 2n

... ... ...0 K n2 ... K nn + t

+

K 11 + t 0 ... K 1nK 21 1 ... K 2n

... ... ...K n1 0 ... K nn + t

+ ...

... +

K 11 + t K 12 ... 0

K 21 K 22 + t ... 0... ... ...

K n1 K n2 ... 1

≡ δ 1 + δ 2 + ... + δ n (5.17)

Es decir, dada la estructura del determinante δ (t), su derivada se expresa como

δ (t) =n

α=1

δ α(t) (5.18)

donde δ α(t) es el determinante de orden n−1 que se obtiene al tachar en δ (t) la fila y la columnaα. Analogamente:

δ (t) =n

α1,α2=1;α1=α2δ α1α2(t) (5.19)

donde δ α1α2(t) es el determinante de orden n − 2 que se obtiene al tachar en δ (t) las filas ycolumnas α1 y α2.

De manera similar:

δ (m)(t) =

α1,α2,...,αm=1;α=α2=...=αm

δ α1α2...αm(t) ≡ m!1→n

α1<α2<...<αm

δ α1α2...αm(t) (5.20)




donde δ α1α2...αm(t) es el determinante de orden n − m que se obtiene a partir de δ (t) al tachalas filas y columnas α1, α2,...,αm. La igualdad de la extrema derecha en (5.20) es evidente, se tiene en cuenta que, al ordenar de menor a mayor los ındices de sumatoria α1, α2,...,αm, sobtiene la permutacion de los sumandos.

Es evidente que

δ (n)(t) = 1, δ (k) = 0, ∀k > n (5.2

Por consiguiente, el desarrollo en serie de Taylor del determinante δ (t) queda en la forma:

δ (t) = δ (0) + δ (0)t + ... + 1

m!δ (m)(0)tm + ... + tn (5.22

Llamemos l = n − m e introduzcamos la representacion:

δ α1α2...αm(0) =

K β 1β 1 K β 1β 2 ... K β 1β lK β 2β 1 K β 2β 2 ... K β 2β l

... ... ...K β lβ 1 K β lβ 2 ... K β lβ l

≡ K

β 1 ... β lβ 1 ... β l

(5.23

Entonces, de acuerdo con (5.20), podemos escribir:

1

m!δ (m)(0) =

1→n

β 1<β 2<...<β l

K β 1 ... β lβ 1 ... β l ≡ 1

l!

n

β 1,β 2,...,β l=1

K β 1 ... β lβ 1 ... β l (5.24

donde, a la derecha en (5.24), hemos dividido por l! al quitar el ordenamiento de los ındicβ . Colocando (5.24) en (5.22) y, a su vez, en (5.14), obtenemos, para el determinante ∆(λ), expresion:

∆(λ) = t−nn−1m=0

tm 1

(n − m)!

nβ 1,...,β n−m=1

K

β 1 ... β lβ 1 ... β l

=

= 1 +

nl=1

(−λh)l

l!

nβ 1,...,β n−m=1

K β 1 ... β lβ 1 ... β l (5.25

De manera completamente analoga, para los determinantes ∆ij se obtiene:

∆ij = K ij +nl=1

(−λh)l

l!

nβ 1,...,β l=1

K

β 1 ... β l, iβ 1 ... β l, j

(5.26




donde

K

α1 ... αs

β 1 ... β s

=

K α1β 1 K α1β 2 ... K α1β sK α2β 1 K α2β 2 ... K α2β s

... ... ...K αsβ 1 K αsβ 2 ... K αsβ s

(5.27)

Veamos, ahora, el paso al lımite en la solucion del sistema (5.7), cuando h → 0. Para ello, a(5.25) pongamos en correspondencia la expresion:

D(λ) = 1 +∞l=1

(−λ)l

l! dl (5.28)

donde

dl = ba

ba

... ba

K

t1 ... tlt1 ... tl

dt1...dtl (5.29)

y

K

t1 ... tlt1 ... tl

es el determinante cuyos elementos son el nucleo evaluado en las variables t1, t2, ..., tl, respec-

tivamente.

De manera similar, a (5.26) pongamos en correspondencia la expresion:

D(xi, s j, λ) = K (xi, s j) +∞l=1

(−λ)l

l!

ba

ba

...

ba

K

t1 ... tl xi

t1 ... tl s j

dt1...dtl (5.30)

y a la solucion (5.12) pongamos en correspondencia la expresion:

ϕ(xi) = f (xi) + λ ba

D(xi, s , λ)f (s)dsD(λ)

(5.31)

De esta manera es logico esperar que la solucion de la ecuacion integral de Fredholm de segundotipo tenga la forma:

ϕ(x) = f (x) + λ

ba

R(x,s,λ)f (s)ds (5.32)




donde la resolvente de la ecuacion es

R(x,s,λ) = D(x,s,λ)

D(λ) (5.33

La serie D(λ) se conoce con el nombre de determinante de Fredholm y la serie D(x,s,λ) co

el nombre de primer menor de Fredholm. La definicion de estas series ha sido efectuada dmanera formal. Los teoremas de Fredholm, que veremos mas adelante, justifican la existencde las series como paso al lımite para h → 0.

5.2 Determinante de Fredholm. Menores de Fredholm

5.2.1 Introduccion

Veamos a continuacion la afirmacion siguiente:

Lema.

Si los elementos aij del determinante A son reales y cumplen que

n j=1

a2ij = 1 (5.34

entonces, |A| ≤ 1.

Demostracion:

Un determinante es una funcion de n variables, donde n es el orden del mismo. Analicemoel extremo condicional de esta funcion, bajo las condiciones de ligadura (5.34). Para ellutilizando el metodo de Lagrange, analizamos el extremo de la funcion

F (a11,....,ann) = A +ni=1

λi

n j=1

a2ij − 1

(5.35

Derivando e igualando a cero, obtenemos:

∂F

∂aij= Aij + 2λiaij = 0, i, j = 1, 2,...,n (5.36

donde Aij es el complemento algebraico del determinante A para el elemento aij. Multipliqumos (5.36) por aij y sumemos respecto a j ; obtenemos:




n j=1

Aijaij + 2λi

n j=1

a2ij = 0, i = 1, 2,...,n (5.37)

El primer sumando en (5.37) no es otra cosa que el determinante A. Por consiguiente, teniendoen cuenta (5.34), nos queda:

A + 2λi = 0 (5.38)

Por lo tanto, los multiplicadores de Lagrange son:

λi = −A

2 , i = 1, 2,...,n (5.39)

Colocando (5.39) en (5.36), obtenemos, para los elementos aij la expresion:

aij = Aij

A ≡ a−1

ji , i, j = 1, 2,...,n (5.40)

La igualdad (5.40) nos indica que la matriz aij y su inversa transpuesta a−1 ji son iguales.

Por consiguiente, tienen iguales determinantes. Es decir:

A = 1

A (5.41)

Es decir, A2 = 1. Esto significa que los valores extremos del determinante A son ±1 , por loque, efectivamente, |A| ≤ 1.

Demostrado el lema.

El lema que acabamos de demostrar sirve de base para la demostracion del siguiente teorema.

Teorema de Hadamard.

Si los elementos bij del determinante B son reales, entonces, se cumple que

|B| ≤ n

i=1

n j=1

b2ij

(5.42)

Demostracion:

Analicemos el determinante A, cuyos elementos aij vienen dados por:




aij = bij√

si(5.43

donde

si =

n j=1

b2ij (5.44

Dada su construccion, el determinante A satisface las condiciones del lema anterior. Por consiguiente, |A| ≤ 1 y, como

B = Ani=1

√ si (5.45

obtenemos que

|B| = |A|

ni=1

√ si

≤ni=1

√ si ≡

ni=1

si (5.46


Corolario.

Si los elementos bij del determinante B son reales y cumplen que

|bij

|< M , entonces,

|B| ≤ M nnn/2 (5.47

Demostracion:

Para las sumas (5.44) tenemos, evidentemente, que:

si =

n

j=1

b2ij ≤ M 2n (5.48

Por consiguiente, teniendo en cuenta (5.48) en (5.42), obtenemos :

|B| ≤ n

i=1

si ≤√

M 2nnn = M nnn/2





5.2.2 Convergencia de las series de Fredholm

De acuerdo con lo desarrollado en el primer epıgrafe, escribamos el determinante de Fredholmde la siguiente manera:

D(λ) =

∞n=0

(

−1)nλn

n! dn (5.49)

donde

dn =

ba

...

ba

K

t1 ... tnt1 ... tn

dt1...dtn (5.50)

y donde hemos utilizado la notacion:

K

ξ 1 ... ξ mη1 ... ηm

=

K ξ1η1 ... K ξ1ηm

... ...K ξmη1 ... K ξmηm

(5.51)

Llamemosle menor de Fredholm de orden p a la serie:

D p(x1,...,x p, s1,...,s p) =∞n=0

(−1)nλn

n! dn(x1,...,x p, s1,...,s p) (5.52)

donde

dn(x1,...,x p, s1,...,s p) =

ba

...

ba

K

t1 ... tn x1 ... x pt1 ... tn s1 ... s p

dt1...dtn (5.53)

Para p = 1, de (5.52) obtenemos el primer menor de Fredholm, definido en el epıgrafe 1.

Demostremos la convergencia de las series de Fredholm para cualquier p, incluyendo el caso p = 0, que nos da (5.49). Para ello, consideraremos el nucleo de la ecuacion integral acotado;

es decir, que

|K (x, s)| ≤ m (5.54)

Entonces, evidentemente, de (5.53) tendremos:

|dn(x1,...,x p, s1,...,s p)| ≤ mn+ p(n + p)(n+ p)/2(b − a)n (5.55)




en virtud del corolario del teorema de Hadamard. Por lo tanto, valorando los terminos de serie (5.52), obtenemos un mayorante numerico:

(−1)nλn

n! dn(x1,...,x p, s1,...,s p)

≤ |λ|n(b − a)nmn+ p(n + p)(n+ p)/2

n! ≡ cn (5.56

Como es evidente que

cn+1

cn= |λ|(b − a)

m(n + p + 1)(n+ p+1)/2

(n + p)(n+ p)/2 =

= |λ|(b − a)m

√ n + p + 1

n + 1

1 +

1

n + p

(n+ p)/2

→ 0 < 1, ∀n → ∞ (5.57

por consiguiente, de acuerdo con el criterio de D’Alembert, la serie mayorante converge partoda λ y, por el criterio de Weierstrass, obtenemos que la serie de Fredholm (5.52) converguniformemente para toda λ; es decir, es una funcion entera de λ.

La demostracion efectuada es valida, inclusive, para el caso en que p = 0, por lo que, automaticamente, queda demostrada la convergencia uniforme de la serie (5.49) que tambien duna funcion de λ analıtica en todo el plano complejo λ.

5.2.3 Relacion entre el determinante de Fredholm y los menores dFredholm

Analicemos la expresion:

ba

...

ba

D p(τ 1,...,τ p, τ 1,...,τ p, λ)dτ 1...dτ p (5.58

donde el menor D p(τ 1,...,τ p, τ 1,...,τ p, λ) viene dado por (5.52). No es difıcil ver que, de acuerdcon (5.53):

ba

...

ba

d p(τ 1,...,τ p, τ 1,...,τ p)dτ 1...dτ p =

=

ba

...

ba

dτ 1...dτ p

ba

...

ba

K

t1 ... tn τ 1 ... τ pt1 ... tn τ 1 ... τ p

dt1...dtn

≡ dn+ p (5.59

Por consiguiente, para (5.58) obtenemos, haciendo el cambio de ındice de sumatoria m = n + p




ba

...

ba

D p(τ 1,...,τ p, τ 1,...,τ p, λ)dτ 1...dτ p =∞n=0

(−1)nλn

n! dn+ p =

= (−1) p∞

m= p

(−1)mλm− p

(m − p)! dm ≡ (−1) p

d pD(λ)

dλ p (5.60)

Ası pues, obtenemos la Primera Relacion entre el determinante de Fredholm y los menoresde Fredholm:

ba

...

ba

D p(τ 1,...,τ p, τ 1,...,τ p, λ)dτ 1...dτ p = (−1) pd pD(λ)

dλ p (5.61)

En lo adelante, cuando aparezca el sımbolo ...α.. entenderemos que el miembro xα no esta enla expresion que lo contenga. Igualmente, ...β .. significara que el miembro sβ no esta.

De manera similar, la simbologıa ...tα... y ...tβ ... significaran que la variable t se encuentra enlugar de xα o de sβ , respectivamente.

Las llamadas Relaciones Fundamentales de Fredholm se expresan por las siguientes ecua-ciones:

D p(x1,...,x p, s1,...,s p, λ) = p

β =1

(−

1)α+β K (xα

, sβ

)D p−1

(x1,....α...,x

p, s

1,....β ...,s

p, λ) +

+λ

ba

K (xα, t)D p(x1,..., tα,...,x p, s1,...s p, λ)dt (5.62)

para 1 ≤ α ≤ p.

D p(x1,...,x p, s1,...,s p, λ) = pβ =1

(−1)α+β K (xα, sβ )D p−1(x1,....α...,x p, s1,....β ...,s p, λ) +

+λ

ba

D p(x1,...,x p, s1,..., tβ ,...,s p, λ)dt (5.63)

para 1 ≤ β ≤ p.

Demostremos la validez de (5.62). Tenemos que, en la expresion (5.53)




K

t1 ... tn x1 ... x pt1 ... tn s1 ... s p

≡

K (t1, t1) ... K (t1, tn) K (t1, s1) ... K (t1, s p)...

K (tn, t1) ... K (tntn) K (tn, s1) ... K (tn, s p)K (x1, t1) ... K (x1tn) K (x1, s1) ... K (x1, s p)

...

K (x p, t1) ... K (x ptn) K (x p, s1) ... K (x p, s p)

(5.64

Desarrollemos el determinante (5.64) en complementos algebraicos para la fila α; obtenemos

K

t1 ... tn x1 ... x pt1 ... tn s1 ... s p

=

=n

m=1

(−1)n+α+mK (xα, tm)K

t1 ... tn x1 ..α. x pt1 ..m. tn s1 ... s p

+

+

pβ =1

(−1)n+α+m+β K (xα, sβ )K t1 ... tn x1 ..α. x p

t1 ... tn s1 ..β . s p

(5.65

Para eliminar la antisimetrıa en el primer sumando de la expresion (5.65), traslademos la fitm a la posicion de la fila α.

Ello implica multiplicar el primer sumando por (−1)n−m+α−1, de manera que obtenemos:

K t1 ... tn x1 ... x pt1 ... tn s1 ... s p

= −n

m=1K (xα, tm)K t1 ..m. tn x1 .. tm

α.. x p

t1 ..m. tn s1 ... s p

+

pβ =1

(−1)α+β K (xα, sβ )K

t1 ... tn x1 ..α. x pt1 ... tn s1 ..β . s p

(5.66


dn(x1,...,x p, s1,...,s p) =

p

β =1

(

−1)α+β K (xα, sβ )dn(x1, ..α., x p, s1, ..β ., s p)

−−

nm=1

ba

K (xα, tm)dn−1(x1, .. tmα

..,x p, s1,...,s p)dtm ≡

≡ pβ =1

(−1)α+β K (xα, sβ )dn(x1, ..α., x p, s1, ..β ., s p) −

−n

ba

K (xα, t)dn−1(x1, ..tα..,x p, s1,...,s p)dt (5.67




ya que el segundo sumando es la suma de n terminos iguales.

Colocando en (5.52) la expresion (5.67), queda, automaticamente, demostrada la relacion (5.62).De manera similar se demuestra (5.63), lo que se deja al lector como ejercicio.

Tomando en (5.62) y (5.63) p = 1, obtenemos, para el primer menor de Fredholm, las relacionessiguientes:

D(x,s,λ) = K (x, s)D(λ) + λ

ba

K (x, t)D(t,s,λ)dt (5.68)

D(x,s,λ) = K (x, s)D(λ) + λ

ba

D(x,t,λ)K (t, s)dt (5.69)

Si llamamos


D(λ) (5.70)

entonces, de (5.68) y (5.69), obtenemos:

R(x,s,λ) = K (x, s) + λ

ba

K (x, t)R(t,s,λ)dt (5.71)

R(x,s,λ) = K (x, s) + λ ba

R(x,t,λ)K (t, s)dt (5.72)

La funcion (5.70) es una funcion meromorfa en el plano complejo λ, tiene puntos singularestipo polo en los ceros de D(λ).

Una vez obtenidas las relaciones de Fredholm, pasaremos al estudio de los teoremas de Fred-holm.

5.3 Alternativa de Fredholm

5.3.1 Primer teorema de Fredholm

Se enuncia en los siguientes terminos:

Teorema




Si λ no es raız de la funcion D(λ), entonces, para dicho valor de λ, la ecuacion integral dFredholm de segundo tipo

ϕ(x) = λ

ba

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (5.73

tiene solucion continua y unica, que se determina por la formula

ϕ(x) = f (x) +

ba

R(x,s,λ)f (s)ds (5.74

donde


D(λ) (5.75

es la resolvente de la ecuacion.

Demostracion:

Existencia:

Coloquemos, explıcitamente, (5.74) en (5.73), teniendo en cuenta la relacion fundamental dFredholm (5.71), obtenida en el epıgrafe anterior. Obtenemos:

ϕ(x) = f (x) + ba

K (x, s) f (s) + λ ba

R(s, s, λ)f (s)ds ds =

= f (x) +

ba

K (x, s)f (s)ds + λ

ba

K (x, s)

λ

ba

R(s, s, λ)f (s)ds

ds =

= f (x) +

ba


ba

λ

ba

K (x, s)R(s, s, λ)ds

f (s)ds ≡

≡ f (x) +

ba


ba

λ

ba

K (x, t)R(t,s,λ)dt

f (s)ds =

= f (x) + λ b

a K (x, s) + λ b

a

K (x, t)R(t,s,λ)dt f (s)ds =

= f (x) + λ

ba

R(x,s,λ)f (s)ds ≡ ϕ(x) (5.76

En las operaciones de (5.76) hemos sustituido oportunamente la variable muda s por t y variable muda s por s.

En (5.76) hemos obtenido la identidad ϕ(x) ≡ ϕ(x), lo que demuestra que la formula (5.74nos da la solucion de la ecuacion (5.73).




Por lo tanto, la existencia queda demostrada.

Unicidad:

Multipliquemos (5.74) por la resolvente R(x,s,λ) e integremos.

Teniendo en cuenta la relacion λRA = R − A para la resolvente, obtenemos:

ba

R(x,s,λ)ϕ(s)ds =

ba

R(x,s,λ)

f (s) + λ

ba

K (s, s)ϕ(s)ds

ds =

=

ba

R(x,s,λ)f (s)ds +

ba

R(x,s,λ)

λ

ba

K (s, s)ϕ(s)ds

ds =

=

ba

R(x,s,λ)f (s)ds +

ba

{R(x,s,λ) − K (x, s)}ϕ(s)ds (5.77)

De (5.77) concluimos que:

ba

R(x,s,λ)ϕ(s)ds =

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (5.78)

La relacion (5.78) debe ser satisfecha por toda solucion de la ecuacion (5.73).

Por consiguiente, cualquier solucion de la ecuacion (5.73) tiene que venir dada por la formula(5.74), lo que demuestra la unicidad de la solucion.


El Primer Teorema de Fredholm tiene el siguiente corolario evidente:

Corolario

Si λ no es raız de D(λ), entonces, la ecuacion integral de Fredholm homogenea de segundo tipotiene solo solucion trivial.

5.3.2 Segundo teorema de Fredholm

Supongamos que λ0 es una raız de D(λ) de multiplicidad p. Es decir, que

D(λ0) = 0, dmD(λ0

dλm = 0, ∀m = 1, 2,...,p − 1,

d pD(λ0)

dλ p = 0 (5.79)

Entonces, de la primera relacion de Fredholm (5.61) tenemos que




ba

...

ba

D p(x1,...,x p, x1,...,x p, λ0)dx1...dx p = (−1) pd pD(λ0)

dλ p = 0 (5.80

de donde se deduce que

D p(x1,...,x p, x1,...,x p, λ0) = 0 (5.8

Escribamos los menores de Fredholm hasta el orden p evaluados en λ0:

D1(x1, s1, λ0), D2(x1, x2, s1, s2, λ0),...

D p−1(x1,...,x p−1, s1,...,s p−1, λ0), D p(x1,...,x p, s1,...s p, λ0) = 0

En este conjunto existe un menor no identicamente nulo. Siempre se encuentra tal menor.

Tiene lugar el siguiente concepto.

Definicion:

Se llama rango r de la raız λ0 del determinante de Fredholm D(λ) al menor orden de lomenores de Fredholm no iguales identicamente a cero: 1 ≤ r ≤ p.

Con estas ideas previas, pasaremos a enunciar y demostrar el segundo teorema de Fredholm.

Teorema.

Si λ0 es raız de rango r del determinante de Fredholm D(λ), entonces, la ecuacion homogene

ϕ(x) = λ0

ba

K (x, s)ϕ(s)ds (5.82

tiene, solamente, r soluciones linealmente independientes.

Demostracion:

Demostraremos, inicialmente, que existen r soluciones linealmente independientes.

Como, por definicion de rango, se cumple que Dr(x1,...,xr, s1,...sr, λ0) = 0 identicamenttendremos que existe al menos un punto x0

1,...,x0r, s01,...,s0r tal que

Dr(x01,...,x0

r, s01,...s0r, λ0) = 0 (5.83

Analicemos el siguiente sistema de funciones:




ϕα(x) = Dr(x0

1,..., xα,...,x0r, s01,...,s0r, λ0)

Dr(x01,...,x0

r, s01,...,s0r, λ0) , α = 1,...,r (5.84)

Para la funcion (5.84) ası definida, evidentemente, se cumple que ϕα(x0α) = 1 y, ademas, que

ϕα(x0β ) = 0, ya que, en este ultimo caso, el determinante en el numerador tiene dos columnas

iguales.

Si analizamos la combinacion lineal

rα=1

cαϕα(x) = 0 (5.85)

entonces, teniendo en cuenta lo dicho arriba, tendremos que, evaluando (5.85) para x = x01,

obtenemos c1 = 0, evaluando para x = x02, obtenemos c2 = 0 y ası sucesivamente, hasta llegar

a que, evaluando para x = x0r, cr = 0.

Por consiguiente, concluimos que el sistema de funciones (5.84) es linealmente independiente.

Demostremos, ahora, que este sistema (5.84) satisface la ecuacion (5.82).

De acuerdo con la relacion fundamental de Fredholm (5.62) del epıgrafe anterior, tenemos que:

Dr(x1,...,x p, s1,...,s p, λ0) =r

β =1

(−1)α+β K (xα, sβ )Dr−1(x1,....α...,xr, s1,....β ...,sr, λ0) +

+λ0

ba

K (xα, t)Dr(x1,..., tα,...,xr, s1,...sr, λ0)dt (5.86)

Pero, por definicion de rango

Dr−1(x1,....α...,xr, s1,....β ...,sr, λ0) = 0 (5.87)

Por lo tanto, de (5.86) obtenemos:

Dr(x1,...,x p, s1,...,s p, λ0) =

λ0

ba

K (xα, t)Dr(x1, ..., tα,...,xr, s1, ...sr, λ0)dt (5.88)

En (5.88) evaluemos para si = s0i , (i = 1, 2,...,r), xα = x y xi = x0

i para i = α, i = 1, 2,...,r.Entonces, dividiendo por Dr(x0

1,...,x0r, s01,...,s0r, λ0) la expresion (5.88), obtenemos:




ϕα(x) = λ0

ba

K (x, t)ϕα(t)dt (5.89

lo que significa que, efectivamente, el sistema de funciones (5.84) es soluci on de la ecuacio(5.82).

Demostremos, por ultimo, que no existen otras soluciones que sean linealmente independientees decir, que cualquier otra solucion de la ecuacion (5.82) es combinacion lineal del sistem(5.84).

Para ello, introduzcamos la funcion:

H (x,s,λ0) = Dr+1(x0

1,...,x0r, x , s01,...,s0r, s , λ0)

Dr(x01,...,x0

r, s01,...,s0r, λ0) (5.90

Teniendo en cuenta la relacion fundamental de Fredholm (5.63) del epıgrafe anterior con p

r + 1 y β = r + 1, obtenemos para la funcion (5.90) la relacion:

H (x,s,λ0) =r

α=1

(−1)α+r+1K (x0α, s)

Dr(x01,....α...,x0

r, sr1,...s0r, λ0)

Dr(x01,...,x0

r, sr1,...s0r, λ0) +

+K (x, s) · 1 + λ0

ba

H (x,t,λ0)K (t, s)dt (5.9

En el numerador del primer sumando de la expresion (5.91) traslademos la columna x a posicion α que esta ausente con la ayuda de r −α saltos. Ello, como se sabe, implica multiplicael determinante por (−1)r−α.

Teniendo en cuenta (−1)α+r+1+r−α = −1 y la expresion (5.84), este sumando se transforma en

rα=1

(−1)α+r+1K (x0α, s)

Dr(x01,....α...,x0

r, sr1,...s0r, λ0)

Dr(x01,...,x0

r, sr1,...s0r, λ0) =

=−

r

α=1

K (x0

α, s)ϕ

α(x) (5.92

Entonces, para la funcion (5.90) -que llamaremos resolvente generalizada- obtenemos, de (5.91teniendo en cuenta (5.92), la expresion:

H (x,s,λ0) = K (x, s) + λ0

ba

H (x,t,λ0)K (t, s)dt −r

α=1

K (x0α, s)ϕα(x) (5.93




Una vez obtenida esta relacion y apoyados en ella, demostremos que cualquier solucion de laecuacion (5.82) es combinacion lineal del sistema (5.84).

Para ello, supongamos que la funcion ϕ(x) es solucion de la ecuacion (5.82); ello significa quese cumple la identidad:

ϕ(x) ≡ λ0 ba

K (x, s)ϕ(s)ds (5.94)

Multipliquemos por H (x,s,λ0) la identidad (5.94) e integremos. Obtenemos:

ba

H (x,s,λ0)ϕ(s)ds − λ0

ba

H (x,s,λ0)

ba

K (s, s)ϕ(s)ds

ds ≡ 0 (5.95)

Restemos a la derecha de (5.94) la expresion (5.95); como esta es cero, el resultado no se altera.

Teniendo en cuenta (5.93), obtenemos:

ϕ(x) ≡ λ0

ba

K (x, s)ϕ(s)ds − ba

H (x,s,λ0)ϕ(s)ds +

+λ0

ba

H (x,s,λ0)

ba

K (s, s)ϕ(s)ds

ds =

= λ0

ba

rα=1

K (x0α, s)ϕα(x)ϕ(s)ds = λ0

rα=1

ϕα(x)

ba

K (x0α, s)ϕ(s)ds (5.96)

Llamemos:

Aα = λ0

ba

K (x0α, s)ϕ(s)ds (5.97)

que son ciertos coeficientes dependientes de α. Entonces, de (5.96) obtenemos:

ϕ(x) ≡r

α=1

Aαϕα(x) (5.98)

lo que significa que, efectivamente, cualquier solucion de la ecuacion (5.82) es combinacionlineal del sistema de soluciones ϕα(x) dado por (5.84).


Como resultado del primer y segundo teorema de Fredholm, ası como del corolario del primerteorema, podemos enunciar el teorema conocido como Alternativa de Fredholm:




Teorema.

Si la ecuacion integral de Fredholm de segundo tipo homogenea solo tiene solucion triviaentonces, la ecuacion no homogenea tiene solucion unica.

Si la ecuacion homogenea tiene solucion no trivial, entonces, la ecuacion no homogenea, o bieno tiene solucion, o bien tiene un numero infinito de soluciones.

Demostracion:

El primer teorema de Fredholm garantiza que, efectivamente, si D(λ) = 0, entonces, la ecuaciono homogenea tiene solucion unica y, por su corolario, la ecuacion homogenea tiene solo soluciotrivial.

El segundo teorema de Fredholm nos dice que si D(λ) = 0, entonces, la ecuacion homogenetiene solucion no trivial; pero en ese caso, de acuerdo con el primer teorema, no podemogarantizar nada sobre la ecuacion no homogenea, pues la resolvente, dada por la formula (5.75no esta definida.

Por consiguiente, o no existe solucion para la ecuacion no homogenea o esta tiene infinitasoluciones.

Esta situacion quedara precisada con el tercer teorema de Fredholm, que estudiaremos en proximo epıgrafe.


5.4 Ecuacion no homogenea de Fredholm para D(λ) = 0

Tercer Teorema de Fredholm

En el presente epıgrafe precisaremos la segunda afirmacion de la Alternativa de Fredholmreferente a la existencia o no de la solucion de la ecuacion no homogenea para el caso en quD(λ) = 0; es decir, para el caso en que la ecuacion homogenea tiene solucion diferente de cer

5.4.1 Nucleos iterados

Estableceremos, a continuacion, el siguiente concepto.

Definiciones

1. Llamaremos nucleo conjugado del nucleo K (x, s) a la expresion

K (x, s) = K ∗(s, x) (5.99




2. El menor de Fredholm de orden p para el nucleo conjugado K (x, s) es:

D p(x1,...,x p, s1,...,s p, µ) = D∗ p(s1,...,s p, x1,...,x p, µ∗) (5.100)

3. Los autovalores del nucleo conjugado se definen como aquellos valores de µ para los cuales

¯D(µ) = 0 (5.101)

Es decir:

D∗(µ∗) = 0 (5.102)

El asterisco que indica la conjugacion de D en (5.102) realidad no juega ningun papel, yaque igualar a cero un numero complejo significa que son iguales a cero su parte real y suparte imaginaria, pero, por seguir una notacion, lo escribimos.

Es obvio que, si λ0 es raız de la ecuacion D(λ) = 0, entonces, µ0 = λ∗0 sera raız deD(µ) = 0.

4. Las autofunciones ψα(x) del nucleo conjugado se definen por la expresion:

ψα(x) =Dr(x0

1,..., xα,...,x0r, s01,...,s0r, µ0)

Dr(x01,...,x0

r, s01,...,s0r, µ0) ≡

≡ D∗r(s01,...,s0r, x0

1,..., xα,...,x0r, λ∗0)

D∗r(s01,...,s0r, x0

1,...,x0r, λ∗0)

(5.103)

Por ultimo, para la conjugada de la resolvente generalizada, tendremos la relacion:

H (x,s,µ0) = K (x, s) + µ0

ba

H (x,t,µ0) K (t, s)dt −

−r

α=1

K (x0α, s)ψα(x) (5.104)

que se deduce, directamente, de la expresion (5.93) del epıgrafe anterior y donde

H (x,s,µ0) = H ∗(s,x,λ∗0) (5.105)

Por consiguiente, si a (5.104) le aplicamos la operacion de conjugacion y, a la vez, cam-biamos x por s, obtenemos:

H (x,s,λ0) = K (x, s) + λ0

ba

K (x, t)H (t,s,λ0)dt −

−r

α=1

K (x, x0α)ψ∗

α(s) (5.106)




5.4.2 Tercer teorema de Fredholm

Con las consideraciones previas del punto anterior, pasaremos a enunciar y demostrar el terceteorema de Fredholm que se expresa en los siguientes terminos.

Teorema.

Sea D(λ0) = 0. Para que la ecuacion integral de Fredholm de segundo tipo no homogenea

ϕ(x) = λ0

ba

K (x, s)ϕ(s)ds + f (x) (5.107

tenga solucion es necesario y suficiente que la funcion f (x) sea ortogonal a la autofuncion dnucleo conjugado correspondiente al autovalor µ0 = λ∗0.

Demostracion:

1. Necesidad.

Supongamos que la ecuacion (5.107) tiene por solucion la funcion ϕ(x). Entonces, la ecuacio(5.107) se convierte en identidad.

Aplicando la operacion de conjugacion a esta identidad, obtenemos:

ϕ∗(x) ≡ ba

K ∗(X, s)ϕ∗(s)ds + f ∗(x) (5.108

Multipliquemos (5.108) por la autofuncion ψ(x) del nucleo conjugado correspondiente al autovalor µ0 e integremos entre a y b.

Como resultado obtenemos, teniendo cuenta la definicion (5.99):

ba

f ∗(x)ψ(x)dx ≡ ba

ϕ∗(x)ψ(x)dx − µ0

ba

ba

K ∗(x, s)ϕ∗(s)ψ(x)dxds =

= b

a

ϕ∗(x)ψ(x)dx−

b

a

ϕ∗(s)µ0 b

a

K (s, x)ψ(x)dx ds =

=

ba

ϕ∗(x)ψ(x)dx − ba

ϕ∗(s)ψ(s)ds ≡ 0 (5.109

lo que demuestra la ortogonalidad.

En el penultimo paso hemos tenido en cuenta el hecho de que ψ(x) es la autofuncion del nucleconjugado correspondiente al autovalor µ0 es decir, que




ψ(s) ≡ µ0

ba

K (s, x)ψ(x)dx (5.110)

Demostrada la necesidad.

2. Suficiencia.

Supongamos que la ortogonalidad se cumple. Demostremos la existencia de la solucion.

De existir, la solucion tendra que expresarse a traves de la resolvente mediante la formula

ϕ(x) = f (x) + λ0

ba

H (x,s,λ0)f (s)ds (5.111)

Coloquemos (5.111) en la parte derecha de la ecuacion (5.107). Obtenemos:

ϕ(x) = f (x) + λ0

ba

K (x, s)

f (s) + λ0

ba

H (s, s, λ0)f (s)ds

ds =

= f (x) + λ0

ba

K (x, s)f (s)ds + λ20

ba

ba

K (x, s)H (s, s, λ0)f (s)dsds (5.112)

Sustituyamos en (5.112) K (x, s) de la primera integral por su expresion sacada de (5.106) y enla segunda integral sustituyamos las variables mudas de integracion, llamando t a s y s a s.Entonces, se obtiene:

ϕ(x) = f (x) +

+λ0

ba

H (x,s,λ0) − λ0

ba

K (x, t)H (t,s,λ0)dt +r

α=1

K (x, x0α)ψ∗

α(s)

f (s)ds +

+λ20

ba

ba

K (x, t)H (t,s,λ0)f (s)dsdt =

= f (x) + λ0

ba

H (x,s,λ0)f (s)ds − λ20

ba

ba

K (x, t)H (t,s,λo)f (s)dsdt +

+λ0r

α=1

K (x, x0α) ba

ψ∗α(s)f (s)ds + λ2

0

ba

ba

K (x, t)H (t,s,λ0)f (s)dsdt ≡ ϕ(x) (5.113)

donde hemos tenido en cuenta (5.111) y el hecho de que la integral dentro de la sumatoria escero, en virtud de la ortogonalidad de f (x) con las autofunciones.

Al obtener la identidad ϕ(x) ≡ ϕ(x) queda comprobado que (5.111) satisface la ecuacion, loque significa la existencia de la solucion.





Con los teoremas de Fredholm demostrados queda concluida la teorıa general de las ecuacionintegrales de Fredholm de segundo tipo con nucleo arbitrario.

Dada la importancia que revisten los nucleos simetricos para la Fısica estudiaremos en proximo capıtulo algunos aspectos complementarios de la teorıa para las ecuaciones con nucle

simetrico.



Capıtulo 6

Aspectos Complementarios de la Teorıade Ecuaciones con Nucleo Simetrico

En el presente capıtulo analizaremos las ecuaciones integrales de Fredholm de segundo tipo conucleo simetrico.

6.1 Desarrollo de un nucleo simetrico en serie bilineal

Analizaremos en este epıgrafe la ecuacion integral de Fredholm de segundo tipo homogenea

ϕ(x) = ba

K (x, s)ϕ(s)ds (6.

De acuerdo con la teorıa desarrollada en el epıgrafe anterior, la ecuacion (6.1) tiene solucion ntrivial para aquellos valores de λ que sean raıces de la ecuacion D(λ) = 0.

Dichos valores, λ1, λ2,..., λn,... son los autovalores del nucleo, a los que les corresponden laautofunciones ϕ1(x), ϕ2(x),..., ϕn(x), ...

El conjunto de autovalores puede ser finito o numerable.

Consideraremos que el nucleo de la ecuacion (6.1) es simetrico. Ello significa que se cumple igualdad:

K (x, s) = K (s, x) (6.2

Dado el sistema de autovalores y autofunciones del nucleo simetrico K (x, s), pongamos ecorrespondencia a dicho nucleo la serie bilineal:

125




K (x, s) ∼∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(6.3)

6.1.1 Convergencia de la serie bilineal al nucleo de la ecuacion in-

tegral


Teorema.

Si la serie bilineal (6.3) converge uniformemente para a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b, lo hace al nucleoK (x, s).

Demostracion:

Analicemos el nucleo

H (x, s) = K (x, s) −∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(6.4)

de la ecuacion

ϕ(x) = λ b

a H (x, s)ϕ(s)ds (6.5)

que, de acuerdo con el teorema de existencia, tiene, al menos, un autovalor λ0 y una autofuncionϕ0(x).

Demostremos, primeramente, que la autofuncion ϕ0(x) es ortogonal a todas las autofuncionesϕk(x) del nucleo K (x, s).

Tenemos que, para cualquier m:

ba

ϕ0(x)ϕm(x)dx ≡ ba

ba

K (x, s)ϕ0(s) −

∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λkϕ0(s)

ds

ϕm(x)dx ≡

≡ λ0

ba

ba

K (x, s)ϕm(x)dx −∞k=1

ϕk(s)

λk

ba

ϕk(x)ϕm(x)dx

ϕ0(s)ds =

= λ0

ba

ϕm(s)

λm− ϕm(s)

λm

ϕ0(s)ds ≡ 0 (6.6)



Aspectos Complementarios de la Teorıa de Ecuaciones con Nucleo Simetrico 12

En las operaciones de (6.6) hemos tenido en cuenta, despues de sustituir ϕ0(x) por la identidaque se obtiene de (6.5), que ϕm(x) son autofunciones del nucleo K (x, s) correspondientes a λy que, por lo tanto, son ortogonales, es decir:

ba

ϕk(x)ϕm(x)dx = δ km (6.7

El intercambio de la integracion con la sumatoria se basa en la convergencia uniforme de lserie.

La expresion (6.6) nos indica que, efectivamente, ϕ0(x) es ortogonal a todas las autofuncioneϕk(x) del nucleo K (x, s).

Demostremos, ahora, que ϕ0(x) es, tambien, autofuncion del nucleo K (x, s). Teniendo ecuenta (6.6), obtenemos:

ϕ0(x) ≡ λ0 ba

K (x, s) − ∞

k=1

ϕk(x)ϕk(s)λk

ϕ0(s)ds = λ0

ba

K (x, s)ϕ0(s)ds −

−λ0

∞k=1

ϕk(x)

λk

ba

ϕk(s)ϕ0(s)ds ≡ λ0

ba

K (x, s)ϕ0(s)ds (6.8

Como conclusion llegarıamos al absurdo de que, al ser ϕ0(x) ortogonal a todas las autofuncionedel nucleo K (x, s) y ser, a su vez, autofuncion de dicho nucleo, deberıa ser ortogonal a sı mism

Por consiguiente, tiene que ser H (x, s) ≡ 0, es decir

K (x, s) ≡∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(6.9

O sea, efectivamente, la serie converge al nucleo K (x, s).


6.1.2 Series bilineales para nucleos iterados

Como sabemos, los nucleos iterados se definen mediante la expresion:

K n(x, s) =

ba

K (x, s)K n−1(t, s)dt,n = 1, 2,... (6.10

Segun vimos en el Capıtulo 2, las autofunciones ϕk(x) del nucleo K (x, s), correspondienteslos autovalores λk, son tambien autofunciones del nucleo iterado (6.10) con autovalores λn

k .




Pongamos en correspondencia al nucleo iterado (6.10) la siguiente serie bilineal:

K n(x, s) ∼∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λnk

(6.11)

Se cumple la siguiente afirmacion:

Teorema.

Para el nucleo iterado (6.10) la serie bilineal (6.11) converge absoluta y uniformemente a el.

Demostracion:

De acuerdo con (6.10), el nucleo iterado es emanante del nucleo K (x, s). Por lo tanto, porel teorema de Hilbert-Schmidt, admite un desarrollo en serie de autofunciones convergenteabsoluta y uniformemente:

K n(x, s) =∞k=1

K nk(s)ϕk(x) (6.12)

donde

K nk(s) =

ba

K n(x, s)ϕk(x)dx ≡ ϕk(s)

λnk

(6.13)

ya que las funciones ϕk(x) son autofunciones del nucleo iterado con autovalores λnk . Por con-

siguiente:

K n(x, s) =∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λnk

(6.14)


6.1.3 Nucleos definidos positivos y definidos negativos


Definicion.

El nucleo simetrico K (x, s) se llama definido positivo si todos sus autovalores son positivosy se llama definido negativo si todos sus autovalores son negativos.

Analicemos la siguiente integral:




I =

ba

ba

K (x, s)f (x)f (s)dxds =

ba

f (x)

ba

K (x, s)f (s)ds

dx =

=

ba

f (x)∞k=1

f kλk

ϕk(x)dx =∞k=1

f kλk

ba

f (x)ϕk(x)dx ≡∞k=1

f 2kλk

(6.15

En este resultado hemos tenido en consideracion el hecho de que la integral encerrada entrllaves es la expresion de una funcion emanante del nucleo, por lo que, de acuerdo con el teoremde Hilbert-Schmidt, admite el desarrollo en serie de autofunciones escrito.


Teorema.

Para que el nucleo K (x, s) sea definido positivo es necesario y suficiente que la integral (6.15cumpla que I ≥ 0.

Demostracion:

Necesidad.

Sea I ≥ 0. Entonces, de acuerdo con (6.15)

∞k=1

f 2kλk

≥ 0 (6.16

La desigualdad (6.16) se cumple solo si λk > 0.

Suficiencia.

Sea K (x, s) definido positivo; es decir, que sus autovalores cumplen que λk > 0. Entoncetendremos que

I =∞k=1

f 2kλk

≥ 0


Ya en el Capıtulo 2 habıamos hablado que si la serie bilineal converge uniformemente, lo hacal nucleo simetrico K (x, s). El teorema del punto 1 de este epıgrafe logro establecer con rigoeste hecho.

Sin embargo, en ningun momento se ha hablado de un recıproco para esta afirmacion. Para lonucleos definidos positivos y definidos negativos tiene lugar el siguiente teorema de Mercer.

Teorema.




Si el nucleo K (x, s) es definido positivo o definido negativo, entonces, la serie bilineal convergeabsoluta y uniformemente a dicho nucleo.

Demostracion:

Haremos la demostracion para los nucleos definidos positivos.

Sea K (x, s) un nucleo definido positivo; es decir, sus autovalores λk > 0. Analicemos la siguientefuncion:

H m(x, s) = K (x, s) −mk=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(6.17)

Las autofunciones de K (x, s), excepto las m primeras, seran autofunciones de H m(x, s). Por lotanto, H m(x, s) es tambien definido positivo. En particular

H m(x, x) = K (x, x) −mk=1

ϕ2k(x)λk

(6.18)

Es obvio que K (x, x) ≥ 0.

Efectivamente, de la integral (6.15) tenemos que, si suponemos la existencia de al menos unpunto x0 tal que K (x0, x0) ≤ 0, entonces, en virtud de que K (x, s) es continuo, existirıa unentorno δ de x0, S x0δ , tal que K (x, x) < 0, para x ∈ S x0δ .

Entonces, tomando

f (x) = 0, x no ∈ S x0δf (x) < 0, x ∈ S x0δ (6.19)

obtendrıamos I < 0, lo que es imposible, ya que, por hipotesis, K (x, s) es definido positivo.

Ademas, H m(x, s) ≥ 0, pues, segun vimos, tambien es definido positivo. Por consiguiente, de(6.18), obtenemos que

mk=1

ϕ2k(x)

λk≤ K (x, x) (6.20)

Es decir, la suma parcial de la serie

∞k=1

ϕ2k(x)

λk




es acotada por encima y, por lo tanto, converge. Por lo tanto:

mk=n

ϕ2k(x)

λk

(6.2

De la desigualdad de Cauchy-Buniakovsky tenemos que, por (6.21):

m

k=n

ϕ(kx)ϕk(s)

λk

≤

mk=n

ϕ2k(x)

λk

mk=n

ϕ2k(x)

λk

1/2

< ε, ∀n, m > N (6.22

Por consiguiente, queda demostrada la convergencia uniforme para x, s ∈ [a, b] de la serbilineal.

Demostremos, ahora, que la serie bilineal converge en media a nuestro nucleo K (x, s). Efectvamente, tenemos que:

ba

K (x, s) −

mk=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk

2ds =

ba

K 2(x, s) − 2K (x, s)m

k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk+

m

k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk

2

ds =

= K 2(x, x) − 2mk=1

ϕ2k(x)

λ2k

+mk=1

ϕ2k(x)

λ2k

≡ K 2(x, x) −mk=1

ϕ2k(x)

λ2k

(6.23

Para obtener (6.23), hemos tenido en consideracion que:

ba

K 2(x, s)ds =

ba

K (x, s)K (x, s)ds ≡ K 2(x, x) (6.24

pues el nucleo K (x, s) es simetrico;

2mk=1

ϕk(x)

λk

ba

K (x, s)ds ≡ 2mk=1

ϕk(x)

λk

ϕk(x)

λk≡ 2

mk=1

ϕ2k(x)

λ2k

(6.25

y que:




ba

mk=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk

2ds =

mk=1

ba

ϕ2k(x)ϕ2

k(s)

λ2k

+

+m

k=1

m

l=1 (k=l)

ϕk(x)ϕl(x)

λ2k

b

a

ϕk(s)ϕl(s)ds =m

k=1

ϕ2k(x)

λ2k

(6.26)

pues

ba

ϕk(s)ϕl(s)ds = δ kl (6.27)

Por lo tanto, de (6.23), tenemos:

ba

K (x, s) −

mk=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk

2ds =

K 2(x, x) −mk=1

ϕ2k(x)

λ2k

< ε (6.28)

para m > N , ya que, por el teorema anterior, la serie del nucleo iterado K 2(x, s) convergeuniformemente.

Por consiguiente, queda demostrada la convergencia en media de nuestra serie bilineal al nucleoK (x, s).

Por ultimo, como K (x, s) es continua y antes habıamos demostrado la convergencia uniforme

de la serie bilineal, por el teorema de Dini concluimos la convergencia uniforme de la seriebilineal al nucleo K (x, s).

Para los nucleos definidos negativos la demostracion es identica.


6.2 Resolvente del nucleo simetrico

Para cualquier nucleo, es posible demostrar que la resolvente se expresa en terminos de lasiguiente serie:

R(x,s,λ) =∞n=1

λn−1K n(x, s) (6.29)

para valores de λ tales que




|λ| < 1

M 2(b − a) (6.30

Esto es evidente, si tenemos en cuenta que en el epigrafe Complementos de la teorıa espectral de operadores, del Capıtulo Elementos de Espacios Funcionales y Operadoredel libro de Metodos Matematicos de la Fısica, obtuvimos la convergencia de la serie d

Neumann

∞n=0

(λA)n ≡ I + λR(λ) (6.3

para valores de λ tales que

|λ| < 1

A (6.32

Despejando R(λ) de (6.31), obtenemos, efectivamente:

R(x,s,λ) =∞n=1

λn−1An (6.33

que es equivalente a (6.29).

Si el nucleo K (x, s) es simetrico, entonces, el nucleo iterado K n(x, s) que aparece en (6.29) sexpresa a traves de su serie bilineal. Por lo tanto, tendremos:

R(x,s,λ) = K (x, s) +∞n=2

λn−1

∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λnk

=

K (x, s) + 1

λ

∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)∞n=2

λn

λnk

=

= K (x, s) +∞

k=1

ϕk(x)ϕk(s) λ

λk(λk − λ) (6.34

En (6.34) hemos intercambiado el orden de las sumatorias debido a la convergencia de lamismas y utilizado el resultado de la suma de la serie geometrica, ya que |λk| > |λ|.

Por otra parte, para los nucleos en general, tenıamos que:


D(λ) (6.35




y que la primera relacion fundamental de los menores de Fredholm, para p = 1, era:

ba

D(x,x,λ)dx = D(λ) (6.36)

Por lo tanto, de (6.35) y (6.36), obtenemos:

ba

R(x,x,λ)dx = D(λ)

D(λ) (6.37)

Por consiguiente, de acuerdo con (6.34), para los nucleos simetricos, obtenemos:

ba

R(x,x,λ)dx =

ba

K (x, x)dx +∞k=1

λ

λk(λk − λ) (6.38)

en virtud de la ortonormalidad de las autofunciones.

Sea, ahora, λk0 una raız de la ecuacion D(λ) = 0, de multiplicidad p. En virtud del teoremasobre el residuo logarıtmico de una funcion en su cero:

Res

D(λ)

D(λ), λk0

= p (6.39)

Por consiguiente, si la raız tiene multiplicidad p, en la suma de la expresion (6.34) hay quesumar por todas las autofunciones del autovalor λk0 de multiplicidad p.

Ademas, como el nucleo es simetrico, tendremos que

K (x, s) =∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk(6.40)


R(x,s,λ) =

∞k=1

ϕk(x)ϕk(s)

λk − λ (6.41)

Como la expresion general de la solucion de la ecuacion integral es

ϕ(x) = f (x) + λ

ba

R(x,s,λ)f (s)ds (6.42)

obtenemos para la solucion de la ecuacion con nucleo simetrico:




ϕ(x) = f (x) + λ∞k=1

ϕk(x)

λk − λ

ba

ϕk(s)f (s)ds ≡ f (x) + λ∞k=1

f kϕk(x)

λk − λ (6.43

Es decir, la conocida formula de Schmidt.



Capıtulo 7

Ecuacion Integral de Fredholm dePrimer Tipo

En el presente capıtulo haremos un estudio detallado de la ecuacion integral de Fredholm dprimer tipo, cuyo analisis obviamos en los capıtulos anteriores, dada la dificultad intrınseca deste tipo de ecuacion.

7.1 Introduccion

La ecuacion integral de Fredholm de primer tipo tiene la forma:

ϕ(x) = λ ba

K (x, s)ϕ(s)ds (7.

Si tenemos una clase de funciones emanantes del nucleo, como se ve de (7.1), la solucion existirSi el nucleo es cerrado; es decir, si

ba

K (x, s)F (s)ds = 0 (7.2

implica que F (s) ≡ 0, entonces, se puede garantizar la unicidad. Sin embargo y pese a dicho, persiste un obstaculo; la ecuacion es un problema incorrecto. Escribamos la ecuaciooperacional

y = Ax (7.3

El problema de la solucion de esta ecuacion se reduce a la construccion del operador inversInclusive si existe el operador inverso, este no es acotado en todo el espacio.

137




Podemos escoger, en el espacio R un conjunto compacto M que se transforma, mediante (7.3)en el conjunto M 1 del espacio R1. El siguiente teorema establece las condiciones para que eloperador inverso sea acotado.

Teorema.

Sea A un operador continuo que represente R en R1 y para el cual existe el operador inverso. Si,

a la vez, al compacto M ∈ R le corresponde el compacto M 1 ∈ R1, entonces, la representacioninversa en M 1 es acotada.

Demostracion:

Hay que demostrar que, para cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que y − ¯y < δ implica que x − ¯x < ε, donde y ∈ M 1, ¯y ∈ M 1, x = A−1y, ¯x = A−1 ¯y. Vamos a efectuar la demostracionpor reduccion al absurdo. Supongamos que, para ε > 0 y δ > 0 arriba mencionados, existeny1 y ¯y1 tales que, a pesar de ser y1 − ¯y1 < δ , ocurre que x1 − ¯x1 > ε. Tomemos por δ a

δ n = 1n y las sucesiones de vectores y

(n)1 , ¯y

(n)1 , x

(n)1 y ¯x

(n)1 . Como los conjuntos son compactos,

siempre se pueden lograr subsucesiones convergentes, es decir, tales que

x(n)1 → x1, ¯x

(n)1 → ¯x1, y

(n)1 → y1, ¯y

(n)1 → ¯y1

Entonces, en el lımite para n → ∞, tendrıamos que y1 = ¯y1 en tanto que x1 = ¯x1. Pero esto esabsurdo, pues Ax = y y A ¯x = ¯y. Por lo tanto, tiene que ser x1 − ¯x1 < ε.


7.2 Familia regulada de soluciones aproximadas

Tratemos de escoger un conjunto compacto al que pertenezca la funcion ϕ(x). Todo nuestrorazonamiento sera efectuado bajo la suposicion de que el nucleo es cerrado. Los problemassobre la existencia seran analizados posteriormente.

Consideraremos que ϕ ∈ C (a, b); es decir, al espacio normado de funciones continuas en (a, b) yque f ∈ L2[c, d]; es decir, al espacio normado y separable de las funciones cuadrado integrablesen [c, d].

Analizaremos el siguiente funcional:

Q =

dc

ba

K (x, s)ϕ(s)ds − f (x)

2

dx (7.4)

Si logramos hallar una funcion ϕ(x) que realice el extremo de este funcional, esta sera la solucionde la ecuacion integral de Fredholm de primer tipo (7.1).

Veamos el funcional auxiliar siguiente:



Ecuacion Integral de Fredholm de Primer Tipo 13

R =

ba

{ p(s)[ϕ(s)]2 + q (s)ϕ2(s)}ds (7.5

donde p y q pertenecen a C (a, b) y veamos, ademas, el siguiente funcional:

Lα[ϕ, f ] = Q + αR (7.6

Si α es pequena, el extremo del funcional (7.6) estara cercano al extremo del funcional (7.4es decir, a la solucion de la ecuacion (7.1). Las funciones ϕα(x) que realizan el extremo dfuncional Lα resultan una clase compacta de funciones a la cual pertenece ϕ(x). Existe unteorıa para la solucion de las ecuaciones integrales de Fredholm de primer tipo que puedresumirse en tres teoremas que, a continuacion, veremos.

7.2.1 Primer teorema de Tıjonov

Teorema.

Para cualquier funcion continua f (x) y cualquier parametro α > 0, existe una funcion unicϕα(x) que realiza el mınimo del funcional (7.6).

Demostracion:

La demostracion la dividiremos en varias partes:

1) Condicion necesaria de extremo.

Supongamos, inicialmente, que ϕα(x) existe y realiza el extremo del funcional (7.6); hallemola condicion de extremo. Para ello, veamos la familia uniparametrica de funciones:

y = ϕα(x) + βψ(x) (7.7

Entonces, sobre esa familia de funciones nuestro funcional:

l(β ) = Lα[ϕα + βψ, f ] (7.8

sera una funcion del parametro β y si ϕα(x) nos da el extremo de (7.6), entonces, la funcio(7.8) tendra un extremo para β = 0. Por consiguiente, debera cumplirse que

l(β )|β =0 = 0 (7.9

Calculemos (7.9). Tenemos que, integrando por partes:




l(0) = 2

dc

ba

K (x, s)ϕα(s)ds − f (x)

ba

K (x, s)ψ(s)ds

dx +

+2α

ba

{ p(s)ϕ(s)ψ(s) + q (s)ϕ(s)ψ(s)}ds =

2 dc[K (x, s)ϕα(s)ds − f (x)] b

aK (x, s)ψ(s) dx + 2αp(s)ϕ(s)ψ(s)|ba +

+2α

ba

[−( p(s)ϕ(s)) + q (s)ϕ(s)]ψ(s)ds = 0 (7.10)

Analicemos el primer sumando en (7.10). Tenemos, despues de varias operaciones simples:

2

d

c b

a

K (x, s)ϕα(s)ds − f (x)

b

a

K (x, s)ψ(s)ds

dx =

= 2 dc

ba

K (x, s)ϕα(s)ds ba

K (x, s)ψ(s)ds

dx −

− 2

dc

f (x)

ba

K (x, s)ψ(s)ds

dx =

=

ba

ba

dc

K (x, s)K (x, s)dx

ϕα(s)ϕα(s)dsds −

− 2

ba

dc

K (x, s)f (x)dx

ψ(s)ds =

= ba ba H (s, s)ϕα(s)ϕα(s)dsds − 2

b

a F (s)ψ(s)ds (7.11)

donde hemos introducido la notacion:

H (s, s) =

dc

K (x, s)K (x, s)dx,F (s) =

dc

K (x, s)f (x)dx (7.12)


l(0)

2 =

ba

dc

H (s, s)ϕα(s)ds − F (s) − α( p(s)ϕ(s)) − αq (s)ϕ(s)

ψ(s)ds +

+2αp(s)ϕ(s)ψ(s)|ba = 0 (7.13)

Tomemos las funciones ψ de forma tal que se anulen en los extremos del intervalo [a, b]. En-tonces, de acuerdo con el Lema Fundamental del Calculo Variacional, de (7.13) concluimos quela funcion que realiza el extremo del funcional (7.6) debe ser solucion de la ecuacion:




dc

H (s, s)ϕα(s)ds − F (s) − α[( p(s)ϕ(s)) − q (s)ϕ(s)] = 0 (7.14

2) Unicidad del problema de la ecuacion (7.14).

Haciendo f (x)

≡0, obtenemos para la funcion l(β ) que

l(0) = 2Lα[ϕ, 0] = 0 (7.15

de donde ϕ ≡ 0, por lo que la unicidad del problema no homogeneo queda demostrada.

3) Unicidad de la solucion.

Con ayuda de la funcion de Green invirtamos en (7.14) el operador diferencial. Se obtiene ecuacion:

ϕ(s) = − 1

α

ba

D(s, s)ϕ(s)ds + d(s) (7.16

donde

D(s, s) =

ba

G(s, t)H (s, s)dt,d(s) = 1

α

ba

G(s, t)F (t)dt (7.17

Esto significa que (7.14) es equivalente a la ecuacion integral de Fredholm de segundo tip(7.16). Como la ecuacion (7.14) homogenea solo tiene solucion trivial, por lo tanto, por lteorıa de Fredholm, la ecuacion no homogenea tiene solucion unica.

4) Existencia de la funcion ϕα que realiza el extremo del funcional.

Tenemos que:

Lα[ϕ + ψ, f ] = Lα[ϕ, f ] + 2M α[ϕ,ψ,f ] + Lα[ψ, 0] (7.18

donde M α es un funcional lineal respecto a ϕ y a ψ y que es igual a cero por (7.14). Poconsiguiente:

Lα[ϕ + ψ, f ] > Lα[ϕ, f ] (7.19

lo que significa que, efectivamente, ϕ realiza el extremo de Lα.

Demostrado el primer teorema de Tıjonov.




Es conveniente destacar, resumidamente, lo logrado en la demostracion del primer teorema deTıjonov. Con grandes calculos obtuvimos la condicion necesaria de extremo del funcional (7.6),expresada por la ecuacion (7.14). A continuacion, demostramos que, si existe, ϕα es la unicasolucion de (7.14) y, por ultimo, demostramos la existencia de la solucion de (7.14) y, a la vez,-como era de esperar, ya que (7.14) es la condicion necesaria de extremo del funcional (7.6)-demostramos que esa solucion de (7.14) nos da el extremo (mınimo) del funcional (7.6).

7.2.2 Segundo teorema de Tıjonov

Teorema.

Si a la funcion f 0(x) le corresponde una solucion continua y diferenciable de la ecuacion integralde Fredholm de primer tipo (7.1), entonces, para cualquier ε > 0, existe una α0 > 0 tal que, si0 < α0 < α, se cumple que

|ϕ0(s) − ϕ0(s, α)| < ε (7.20)

donde ϕ0(s, α) es la funcion que realiza el extremo del funcional

Lα[ϕ, f ] =

dc

ba

K (x, s)ϕ(s)ds − f 0(x)

2

dx + α

ba

{ p(s)[ϕ(s)]2 + q (s)ϕ2(s)}ds (7.21)

Es decir, que si el extremo del funcional (7.21) es ϕ0(s, α), el teorema afirma la convergenciauniforme de esta funcion, para α

→ 0, a la solucion de la ecuacion (7.1) de inhomogeneidad

f 0(x).

Demostracion:

Por hipotesis, la funcion ϕ0(s, α) realiza el extremo del funcional (7.21). Por lo tanto

Lα[ϕ0(s, α), f 0] ≤ Lα[ϕ0(s), f 0] = α

ba

{ p(s)[ϕ0(s)]2 + q (s)ϕ2

0(s)}ds ≡ αC 0 (7.22)

La primera integral del funcional se anula, ya que ϕ0(s) es solucion de la ecuacion (7.1); C 0

es cierto numero. Veamos en el espacio de funciones con primera derivada continua C (a, b) laclase de funciones que satisfacen la condicion

ba

{ p[ϕ]2 + qϕ2}ds ≤ C 0 (7.23)

Demostremos que esta clase de funciones es compacta; es decir, que satisface el teorema deArtzela. En otras palabras, hay que demostrar que esta clase de funciones es uniformemente




acotada y equicontinua; entonces, por el teorema de Artzela, sera compacta. Tenemos que, eparticular, se cumple de (7.23) que:

ba

p[ϕ]2ds ≤ C 0 (7.24

Es decir:

ba

[ϕ(s)]2ds ≤ C 1 ≡ C 0min p(s)

(7.25

Analogamente, se cumple que

b

a

ϕ2(s)ds ≤ C 2 ≡ C 0min q (s)

(7.26

Demostremos la equicontinuidad. Tenemos que

s2s1

ϕ(s)ds

= |ϕ(s2) − ϕ(s1)| (7.27

y, por la desigualdad de Cauchy-Buniakovsky:

s1 s2[ϕ(s)]

2

ds s1 s21

2

ds1/2

≤ C 1|s2 − s1| (7.28

De (7.28), tomando |s2 − s1| < δ , donde δ = ε2√ C 1

, obtenemos que

s2s1

[ϕ(s)]2ds

s2s1

12ds

1/2

< ε (7.29

y, con mayor razon aun:

|ϕ(s2) − ϕ(s1)| < ε (7.30

con lo que queda demostrada la equicontinuidad. Demostremos, ahora, la acotaci on uniformEn virtud de (7.26), existira un punto s0 ∈ [a, b] donde

|ϕ(s0)| ≤

C 2b − a

(7.3




y como

|ϕ(s) − ϕ(s0)| ≤

C 1(b − a) (7.32)

concluimos que

|ϕ(s)| ≤

C 2b − a

+

C 1(b − a) (7.33)

La desigualdad (7.33) se cumple, simultaneamente, para toda s ∈ [a, b] y toda ϕ(s) de la clasede funciones analizada. Por lo tanto, queda demostrada la acotacion uniforme. Ası pues, por elteorema de Artzela la clase M de funciones es compacta en C (a, b). Veamos, ahora, la funcion:

f 0(x, α) =

b

a

K (x, s)ϕ0(s, α)ds (7.34)

donde ϕ0(s, α) es la extremal del funcional (7.21). Analicemos la norma en L2 de la diferenciade (7.34) y f 0(x). Tenemos que, de acuerdo con (7.22):

f 0(x, α) − f 0(x) 2≤ Lα[ϕ0(s, α), f 0] ≤ αC 0 (7.35)

Por consiguiente, para α → 0, obtenemos que:

f 0(x, α)

−f 0(x)

→0 (7.36)

Como para f y ¯f pertenecientes a M 1 tales que f − ¯f < δ corresponden ϕ y ¯ϕ pertenecientesa M 1 tales que ϕ − ¯ϕ < ε, en virtud del teorema sobre la continuidad de la representacioninversa de un conjunto compacto en un conjunto compacto, concluimos, por lo tanto, de (7.36)que, para ε > 0, existe una α0 > 0 tal que, para α tales que 0 < α < α0, se cumple que

f 0(x, α) − f 0(x) < δ (7.37)

y, por consiguiente

ϕ0(x, α) − ϕ0(x) < ε (7.38)

Demostrado el segundo teorema de Tıjonov.

Como consecuencia daremos la siguiente definicion.

Definicion.




Se llama familia regulada de soluciones aproximadas a aquella familia de funciones parlas cuales se cumple que:

1. ϕ(s, α) ∈ M para ϕ(s) ∈ M .

2. f (x, α) → f (x) para α → 0 en L2 (es decir, convergencia en media).

Entonces, para la familia regulada, de acuerdo con el primer y segundo teorema de Tıjonov, scumple la convergencia uniforme:

ϕ(s, α) ⇒ ϕ(s), ∀α → 0

Es decir, el primer y segundo teorema de Tıjonov dan como conclusion que el problema extrempara el funcional (7.6) nos da la familia regulada de soluciones aproximadas.

7.2.3 Tercer teorema de Tıjonov

Teorema.

Supongamos que a f 0(x) le corresponde una solucion continua y diferenciable ϕ0(s) de lecuacion integral de Fredholm de primer tipo

b

a

K (x, s)ϕ(s)ds = f (x) (7.39

Entonces, para cualquier ε > 0 y cualesquiera γ 2 > γ 1 > 0, existe una δ 0(ε, γ 2, γ 1, f 0) > 0 tque si

f 1(x) − f 0(x) L2< δ (7.40

donde 0 < δ < δ 0, se cumple que

ϕ1(s, x) − ϕ0(x) < ε (7.4

para todo

γ 1 < δ 2

α < γ 2

Demostracion:




Tenemos que:

Lα[ϕ1(s, α), f 1(x)] ≤ Lα[ϕ0(s), f 1(x)] ≡

d

c

[f 0(x) − f 1(x)]2dx + α b

a

{ p(s)[ϕ0(s)]2 + q (s)ϕ2

0(s)}ds ≤≤ δ 2 + αC 0 ≤ α(γ 2 + C 0) (7.42)

Veamos la clase M de funciones ϕ que satisface la condicion

ba

{ p[ϕ]2 + qϕ2}ds ≤ γ 2 + C 0 (7.43)

Es evidente que esta clase es compacta. Si a la clase M le ponemos en correspondencia la claseM

1, podemos decir que para ε > 0, existe una δ

0(ε, γ

2, f

0) > 0 tal que, para f

∈M

1, ¯f

∈M

1 y

ϕ ∈ M , ¯ϕ ∈ M , si

f − ¯f < δ 0 (7.44)

se cumple que

ϕ − ¯ϕ < ε (7.45)

Comparemos, ahora, la cercanıa. Tenemos:

f 1(x, α) − f 0(x) ≤ f 1(x, α) − f 1(x) + f 1(x) − f 0(x) ≤≤ δ +

α(γ 2 + C 0) ≡ δ

1 +

α

δ 2(γ 2 + C 0)

≤

≤ δ

1 +

γ 2 + C 0

γ 1

< δ 0(ε, γ 2, f 0) (7.46)

donde hemos supuesto

δ 0(ε, γ 2, γ 1, f 0) = δ 0(ε, γ 2, f 0)

1 +

γ 2+C 0γ 1

(7.47)

Por consiguiente,




ϕ1(s, x) − ϕ0(s) < ε

Es decir, efectivamente, se cumple (7.41).

Demostrado el tercer teorema de Tıjonov.

Notese que en la base de la demostracion de este teorema esta el hecho siguiente.

Por la desigualdad del triangulo tenemos que:

|ϕ1(s, x) − ϕ0(s)| ≤ |ϕ1(s, x) − ϕ0(s, α)| + |ϕ0(s, x) − ϕ0(s)| (7.48

Para valores de α grandes, el primer sumando a la derecha de (7.48) es estable y peque no poel teorema del problema extremal, en tanto que el segundo sumando es inestable (grande).

Al disminuir α, el segundo sumando es mas estable y tiende a cero para α

→ 0; sin embarg

el primer sumando se hace inestable.

Es decir, el parametro α juega el papel de regularizador; hay que elegirlo ni muy grande (en tcaso converge el primer sumando y diverge el segundo), ni muy pequeno (converge el segundy diverge el primero), sino que hay que elegirlo dentro del diapason dado por la relacion

γ 1 < δ 2

α < γ 2 (7.49

Este tercer teorema de Tıjonov afirma lo siguiente:

Tenemos que resolver la ecuacion (7.39) con inhomogeneidad igual a f 0(x).

En su lugar resolvemos la ecuacion con f 1(x) por el metodo de hallar la extremal ϕ1(s, α) doperador Lα descrito en el primer y segundo teorema de Tıjonov.

Este tercer teorema de Tıjonov afirma que esta funcion ϕ1(s, α) es cercana a la solucion reϕ0(s) para valores cercanos entre sı de las inhomogeneidades f 1(x) y f 0(x), respectivamentpara cierto diapason del parametro α.

Este resultado es muy importante, ya que en los problemas fısicos muy a menudo no se conoce forma exacta de la funcion f 0(x) y en su lugar solo nos es factible conocer su forma aproximadf 1(x).



Capıtulo 8

Ecuaciones Integrales entre LımitesInfinitos con Nucleos que dependen dela Diferencia de Variables

En el presente capıtulo estudiaremos, brevemente, el caso particular de ecuaciones integralede Fredholm de segundo tipo entre lımites infinitos con nucleos que dependen de la diferencide variables, las cuales tienen gran aplicacion en distintas ramas de la Fısica Teorica, la teorde dispersion y otras.

8.1 Propiedades del operador integral entre lımites in

finitos con nucleo dependiente de la diferencia dvariables

La ecuacion integral a cuyo estudio nos dedicaremos ahora tiene la forma:

ϕ(x) = λ

∞−∞

K (x − s)ϕ(s)ds + f (x) (8.

donde suponemos que el nucleo es una funcion continua y acotada en todo el eje y cumple qu

∞−∞

|K (x)|dx = M < ∞, |K (x)| < m (8.2

Para las ecuaciones del tipo (8.1) la teorıa de Fredholm desarrollada en el Capıtulo 5 no eaplicable, ya que en la expresion del determinante de Fredholm:

149




D(λ) = 1 − λ

∞−∞

K (t1, t1)dt1 + λ2

2

∞−∞

∞−∞

K (t1, t1) K (t1, t2)K (t2, t1) K (t2, t2)

dt1dt2 + ... (8.3)

las integrales divergen. Nosotros aquı trabajaremos en el espacio funcional {ϕ(x)} con x ∈(−∞, ∞), donde ϕ(x) son funciones acotadas, continuas y con norma dada por

ϕ = sup |ϕ(x)| (8.4)

En semejante espacio, el operador integral de la ecuacion (8.1) es continuo, pero no completa-mente continuo y, por lo tanto, la alternativa de Fredholm no es aplicable.

Recordemos que un operador A es continuo si, para ε > 0, existe una δ > 0 tal que x1−x2 < δ implica que y1−y2 = A(x1−x2) < ε y es completamente continuo si representa un conjuntoacotado en un conjunto compacto. Es facil constatar que nuestro operador es acotado.

Efectivamente:

Aϕ ≤ ϕ ∞−∞

|K (x − s)|ds = M ϕ (8.5)

Para los nucleos iterados es facil comprobar el mismo hecho. Tenemos:

K 2(x, s) =

∞−∞

K (x − t)K (t − s)dt ≡ ∞−∞

K (x − s − τ )K (τ )dτ ≡ K 2(x − s) (8.6)

Por consiguiente, de acuerdo con (8.2):

|K 2(t)| =

∞−∞

K (t − τ )K (τ )dτ

≤ ∞−∞

|K (t − τ )K (τ )|dτ ≤ mM (8.7)

Ademas:

∞

−∞ |K 2(τ )dτ =

∞

−∞ ∞

−∞K (t

−τ )K (τ )dτ dt

≤ ∞

−∞ ∞

−∞ |K (t

−τ )K (τ )

|dτdt =

=

∞−∞

|K (τ )| ∞

−∞|K (t − τ )|dt

dτ = M 2 (8.8)

De manera totalmente similar, podemos garantizar para el nucleo iterado de orden n que:

An ≡ ∞−∞

|K n(t)|dt ≤ M n, |K n(x, s)| ≤ nM n−1 (8.9)



Ecuaciones Integrales entre Lımites Infinitos 15

Es decir, los nucleos iterados y la norma del operador iterado son, tambien, acotados. De estforma, podemos garantizar la existencia de la resolvente

R(t, λ) =∞n=1

λn−1K n(t) (8.10

dentro del cırculo de convergencia.

8.2 Autofunciones de la ecuacion homogenea

Busquemos la solucion de la ecuacion integral

ϕ(x) = λ ∞

−∞

K (x − s)ϕ(s)ds (8.1

en la forma

ϕ(x) = eiωx (8.12

Haciendo el cambio de variables t = x − s, obtenemos, despues de sustituir (8.12) en (8.11):

eiωx = λ ∞

−∞

K (t)eiω(x−t)dt = eiωxλK (ω) (8.13

donde

K (ω) =

∞−∞

K (t)e−iωtdt (8.14

es la transformada de Fourier del nucleo K (t) de la ecuacion integral (8.11).

Por consiguiente, obtenemos que los autovalores de la ecuacion (8.11) vienen dados por conjunto Λ de valores de la funcion

λ(ω) = 1

K (ω) (8.15

Para un parametro λ fijo en la ecuacion (8.11), la ecuacion λ(ω) = λ tiene, en general, variaraıces ωk.

Ello significa que existen varias autofunciones de la ecuacion integral (8.11).




Es logico preguntarse si existen, acaso, otros puntos del espectro del operador. La respuesta esnegativa y lo veremos mas adelante.

8.3 Solucion de la ecuacion no homogenea

Para hallar la solucion de la ecuacion integral no homogenea

ϕ(x) = λ

∞−∞

K (x − s)ϕ(s)ds + f (x) (8.16)

multipliquemos (8.16) por e−iωx e integremos entre −∞ e ∞. Obtenemos:

ϕ(ω) = f (ω) + λI (ω) (8.17)

donde, en general, como funcion dependiente de ω representamos a la transformada de Fourierde la funcion en x:

u(ω) =

∞−∞

u(x)e−iωxdx (8.18)

I (ω) es la transformada de Fourier de la integral:

I (ω) = ∞−∞ e−iωx ∞−∞ K (x − s)ϕ(s)ds dx ≡ K (ω)ϕ(ω) (8.19)

por el teorema de la convolucion de la transformada de Fourier.

Por consiguiente, de (8.17) y (8.19), obtenemos:

ϕ(ω) = f (ω)

1 − λK (ω) (8.20)

Ası pues, la solucion de la ecuacion (8.16) viene expresada por la formula:

ϕ(x) = 1

2π

∞−∞

eiωx f (ω)dω

1 − λK (ω) (8.21)

donde hemos hecho uso de la expresion de la transformada inversa de Fourier. Las condicionesde desarrollo de las funciones f y K en integral de Fourier y de integrabilidad absoluta de estasfunciones son suficientes para demostrar que ϕ(x) es solucion de (8.16). En cada caso particularesto se puede comprobar.




Transformemos la formula (8.21) en una expresion mas comoda de analizar; despues de elllas condiciones seran impuestas solo a la funcion K . Tenemos, colocando (8.21) en (8.16):

ϕ(x) = f (x) + λ

2π

∞−∞

K (x − s)

∞−∞

eiωs f (ω)dω

1 − λK (ω)

ds =

= f (x) + λ2π

∞−∞

f (ω)1 − λK (ω)

∞−∞

eiωsK (x − s)ds

dω (8.22

En la integral entre llaves a la derecha de (8.22) hagamos t = x − s. Entonces:

∞−∞

eiωsK (x − s)ds = eiωx ∞−∞

e−iωtK (t)dt ≡ eiωxK (ω) (8.23

Sustituyendo (8.23) en (8.22), obtenemos, finalmente:

ϕ(x) = f (x) + λ

∞−∞

R(x − s, λ)f (s)ds (8.24

donde

R(t, λ) = 1

2π

∞−∞

eiωt

λ(ω) − λdω (8.25

expresion en la que hemos tenido en cuenta (8.15) del epıgrafe anterior.

En esta forma de expresar la solucion nos interesan, solamente, las propiedades de R(t, λ). Lacondiciones de desarrollo de K (t) en integral de Fourier y de integrabilidad absoluta de K (ωson suficientes para garantizar que (8.24) es solucion de la ecuacion (8.16).

A modo de ejemplo ilustrativo, veamos el caso en que el nucleo de la ecuacion (8.16) tiene forma:

K (t) = e−|a

|t

(8.26

Es facil calcular que

K (ω) = 2a

a2 + ω2 (8.27

y, por consiguiente




λ(ω) = 1

K (ω) =

a2 + ω2

2a (8.28)

Por lo tanto, la ecuacion λ = λ(ω) tiene por raıces:

ω = √ 2aλ − a2 (8.29)

Figura 8.1: Plano λ con corte a partir del punto a2

De aquı que el conjunto espectral Λ existe para λ ≥ a/2. La resolvente sera, de (8.25):

R(t, λ) = 1

2π

∞−∞

eiωt

λ(ω) − λdω =

a

π

∞−∞

eiωtdω

a2 + ω2 − 2aλ (8.30)

Para calcular (8.30) con la ayuda de residuos, consideremos λ y ω complejos. En el plano λ conun corte efectuado a partir del punto λ = a/2 de ramificacion de la funcion (8.29), (fig. 8.1) esdecir, tomando como corte el conjunto espectral Λ, quedara definida la rama univaluada




ω1 =√

2aλ − a2 (8.3

de la funcion (8.29), para la cual Imω > 0. Por consiguiente, la funcion (8.31) representa todel plano λ en el semiplano superior de ω. En el plano ω los puntos ω1 y −ω1 (fig. 8.2) soraıces del divisor de (8.30).

Figura 8.2: Raıces del divisor

Por lo tanto, considerando la integral para t ≥ 0 (para t < 0 cerramos por debajo, de acuerdcon el lema de Jordan), obtenemos:

a

π

∞−∞

eiωtdω

ω2 − (2aλ − a2) = 2πi

a

πRes

eiωt

ω2 − ω21

, ω1

= 2a

eiω1t

2ω1(8.32

Por consiguiente, para toda t:

R(t, λ) = aei

√ 2aλ−a2|t|

√ 2aλ − a2

(8.33




De la formula (8.25) se ve claro que si λ no pertenece al conjunto espectral Λ, lo que significa quela ecuacion homogenea (8.11) solo tiene solucion trivial, entonces, la ecuacion no homogenea(8.16) tiene solucion unica, dada por la formula (8.24), donde la resolvente se expresa por (8.25).Esta afirmacion es equivalente al primer teorema de Fredholm.

Por otra parte, para los valores del espectro Λ, la ecuacion homogenea, de acuerdo con lo vistoen el epıgrafe anterior, tiene solucion no trivial (autofunciones), lo que equivale al segundo

teorema de Fredholm para nuestro caso.

Veamos, ahora, cual es la situacion analoga al tercer teorema de Fredholm en el caso de laecuacion (8.16).

De la expresion (8.20) se ve que si λ ∈ Λ y si el numerador f (ω) tiene un cero del mismo ordenque el denominador 1 − λK (ω) en aquellos puntos ω donde el denominador es cero, entonces,existira la solucion.

Es decir, la condicion suficiente para la existencia de la solucion de la ecuacion (8.16) en el casoen que λ ∈ Λ es que

f (ωk) ≡ ∞−∞

e−iωkxf (x)dx = 0 (8.34)

que puede interpretarse como la ortogonalidad de estas funciones.

Por consiguiente, la condicion suficiente para hallar la solucion de la ecuacion integral nohomogenea (8.16), si λ pertenece al conjunto espectral de autovalores Λ de la correspondienteecuacion homogenea, es la ortogonalidad (8.34) de la inhomogeneidad con las autofuncionesconjugadas.

Veamos esto mas detenidamente. Para ello, analicemos los graficos de las funciones K (ω) yλ(ω), a los que supondremos la forma presentada en la figura 8.3 (a) y (b).

Introduzcamos la notacion λm = 1/K max.

Para cualquier valor λ(ω) > λm corresponden dos valores de ω .

Veamos como varıan estos valores de ω si λ varıa.

Para ello, tengamos en cuenta la dependencia funcional inversa ω = ω(λ) y para un autovalordado λ0, llamemos ω0 = ω(λ0). Con ayuda del desarrollo de Taylor podemos escribir que

ω(λ) ≈ ω(λ0) + ω(λ0)∆λ (8.35)

Pero, de acuerdo con (8.15), tendremos que:

dλ

dω =

K (ω)

K 2(ω) (8.36)




Figura 8.3: Graficos de K (ω) y λ(ω)

Por consiguiente:

ω(λ0) = K 2(ω0)

K (ω0) (8.37

Colocando esta expresion (8.37) en (8.35), nos queda:

ω(λ) = ω(λ0) − K 2(ω0)

K (ω0) ∆λ (8.38

Hagamos una prolongacion analıtica al plano complejo λ, considerando

λ = λ0 + iν, ∆λ = iν, ν > 0 (8.39

Entonces, en el plano complejo ω, las dos raıces ω0 y −ω0, que estan originalmente sobre eje real de dicho plano, se desplazan como se indica en la figura 8.4(b). En la figura 8.4(a) s




muestra el plano λ.

Figura 8.4: Prolongacion al plano complejo

Esto significa -pues ν > 0- que si nos acercamos al punto λ0 en el plano complejo λ desde elsemiplano superior (lo que se indica en la figura 8.4(a) con una flecha), los puntos en el planocomplejo ω, que se encuentran desplazados segun se muestra en la figura 8.4(b), se acercaranal eje real por debajo y por encima, respectivamente.

Todo lo dicho queda claro, si observamos el grafico de K (ω) en la figura 8.3(a). En ella, paraω0 > 0, tenemos K (ω0) < 0 y, de (8.38), por lo tanto

ω(λ) = ω0 + K 2(ω0)

|K (ω0)|iν (8.40)

Es decir, el desplazamiento es hacia arriba (Fig. 8.4(b)).

Si ω0 < 0 la situacion se invierte, ya que, en ese caso, K (ω0) > 0 y, por tanto, el desplazamientoes hacia abajo.




Para este desplazamiento, logrado con la prolongacion analıtica descrita, la solucion de lecuacion integral vendra dada por la transformada inversa de Fourier:

ϕ(x, λ) = 1

2π

∞−∞

eiωxϕ(ω, λ)dω (8.4

Esta solucion corresponde a λ = λ0 + iν , (ν > 0).

Veamos a donde tiende esta integral, para ν → 0. Para ello, analicemos la integral siguiente:

ϕ+(x, λ0) = 1

2π

C +

eiωxϕ(ω, λ0)dω (8.42

donde el contorno de integracion C + en el plano complejo ω es el mostrado en la figura 8.5.

Figura 8.5: Contorno de integracion en el plano complejo ω

Esta integral no varıa para ν → 0, pues los puntos desplazados tienden a los puntos −ω0 y ωdel eje real, como indican las flechas en la figura 8.5 y su valor se calculara, teniendo en cuent




el lema de Jordan, por el residuo en el punto desplazado al semiplano superior (en este caso,ω0) si x > 0 y por el residuo en el punto desplazado al semiplano inferior (−ω0) si x < 0.

Si, ahora, el desplazamiento de λ es efectuado al semiplano inferior (es decir, si tomamos ν < 0),entonces, se invertira el desplazamiento de los puntos ω0 y −ω0, de manera que, analizando laintegral

ϕ−(x, λ0) = 1

2π

C −

eiωxϕ(ω, λ0)dω (8.43)

por el contorno dibujado en la figura 8.6, tendremos, por el lema de Jordan, que ella ser acalculada por el residuo en el punto desplazado al semiplano superior, que en este caso sera−ω0, para x > 0 y, para x < 0, tendremos que tomar el residuo en ω0.

Figura 8.6: Contorno de integracion en el plano complejo ω

La diferencia de (8.42) y (8.43) nos dara la solucion general de la ecuacion homogenea.

Analicemos, ahora, la funcion




ϕ0(x, λ0) = ϕ+(x, λ0) + ϕ−(x, λ0)

2 =

1

2π

∞−∞

eiωxϕ(ω, λ0)dω (8.44

donde hemos tomado el lımite, para cuando el radio de las semicircunferencias en las figur8.5 y 8.6 tiende a cero (es decir, tomamos la integral por el eje real en el sentido de su valoprincipal).

Esta funcion (8.44) sera la solucion particular de la ecuacion no homogenea.

Si λ0 tiene raıces multiples, todo el analisis efectuado se complica y hay que establecer mayoreexigencias a las funciones K (ω) y f (ω). No realizaremos este analisis aquı.

Para la resolvente, el analisis es similar. Teniendo en cuenta (8.25), tendremos:

R(x, λ) = 1

2π

∞−∞

eiωxR(ω, λ0)dω (8.45

donde

R(ω, λ) = 1

λ(ω) − λ ≡ K (ω)

λ − λK (ω) (8.46

Al hacer la prolongacion analıtica al plano complejo λ, tambien se obtienen dos resolventeR+ y R− y todo el procedimiento anteriormente expuesto se repite.

Hagamos los calculos arriba indicados en el ejemplo siguiente. Resolvamos la ecuacion:

ϕ(x) = λ

∞−∞

e−a|x−s|ϕ(s)ds + e−a|x| (8.47

En esta ecuacion el nucleo es el analizado en el ejemplo anterior; ademas, la inhomogeneidatiene esa misma forma. Por lo tanto:

K (ω) = f (ω) = 2a

a2 + ω2 (8.48

Los graficos de K (ω) y λ(ω) se muestran en la figura 8.7 (a) (b). Aquı tendremos:

ϕ(ω, λ) = f (ω)

1 − K (ω) =

2a

ω2 − (2aλ − a2) (8.49

R(ω, λ) = K (ω)

1 − λK (ω) =

2a

ω2 − (2aλ − a2) (8.50




Figura 8.7: K (ω) y λ(ω) para la ecuacion no homogenea

o sea, la misma expresion de la transformada, por lo que sus transformadas inversas ser aniguales. Para ω(λ) tendremos:

ω(λ) =√

2aλ − a2 (8.51)

Consideremos que 0 < arg (2aλ − a2

) < 2π. Entonces, se obtiene, en general:

ϕ+(x, λ) = R+(x, λ) = 1

2π

C +

2aeiωx

ω2 − (2aλ − a2)dω (8.52)

Calculando los residuos, segun los casos x > 0 y x < 0, obtenemos:




ϕ+(x, λ) = i2aeiω(λ)x

2ω(λ) , ∀x > 0

ϕ+(x, λ) = −i2ae−iω(λ)x

−2ω(λ) , ∀x < 0 (8.53

Es decir, finalmente:

ϕ+(x, λ) = iaei√ 2aλ−a2|x|

√ 2aλ − a2

(8.54

De forma totalmente analoga se obtiene:

ϕ−

(x, λ) =

−ia

e−i|√ 2aλ−a2||x|

|√ 2aλ − a2|(8.55

Estos valores son identicos para R+(x, λ) y R−(x, λ), respectivamente. Entonces, de acuerdcon (8.44), tendremos:

ϕ0(x, λ) = − a

|√ 2aλ − a2| sin[|

√ 2aλ − a2||x|] (8.56

que sera la solucion particular de la ecuacion homogenea.

Ademas, para la solucion general de la ecuacion homogenea, tendremos:

ϕ+ − ϕ−2

= ia

|√ 2aλ − a2| cos[|

√ 2aλ − a2||x|] (8.57

Por consiguiente, la solucion general de la ecuacion no homogenea (8.47) de nuestro ejemptendra la forma:

ϕ(x, λ) = ϕ0(x, λ) + A(λ)cos[|√

2aλ − a2||x|] + B(λ)sin[|√

2aλ − a2||x|] (8.58

De esta manera, damos fin a la ampliaci on de la teorıa de ecuaciones integrales abordada eeste libro.

Es conveniente destacar que, con ello, no se agota ni con mucho la teorıa de ecuaciones integralesimplemente, hemos presentado algunos de los aspectos mas relevantes de la misma.

El lector interesado en ampliar y profundizar en este tema, debe remitirse a la literatura especializada sobre el mismo.



Capıtulo 9

El Metodo de Wiener-Hopf (Metodode Factorizacion)

El Metodo de Wienner-Hopf es un metodo de amplio uso para resolver ecuaciones integralesproblemas de frontera de la Fısica Matematica con ayuda de la transformada de Laplace, dFourier y otras. Su primera aplicacion se hizo en un trabajo conjunto de N. Wienner y E. Hopen el ano 1931 relacionado con la solucion de ecuaciones integrales con nucleo dependiente dla diferencia de sus argumentos en el semieje (0, ∞), es decir, del tipo

ϕ(x) = λ

∞0

K (x − s)ϕ(s)ds + f (x)

Ha sido muy utilizado en problemas de difraccion, de la teorıa de elasticidad, de conducciodel calor, de transporte, etcetera.

V.A. Fok hizo una importante contribucion al desarrollo de metodos generales de solucion deste tipo de ecuaciones (V.A. Fok, Sobre algunas ecuaciones integrales de la Fısica Matem´ aticCuadernos de Matem´ atica 14 (en ruso), (1944)).

9.1 Conceptos iniciales

Partamos de lo visto en el Capıtulo anterior, aunque haremos algunas modificaciones parlograr una prolongacion mas consecuente y facil al plano complejo sin perder generalidad, nrigor.

Supongamos que tenemos la ecuacion (8.1) del Capıtulo anterior:

ϕ(x) = λ

∞−∞

K (x − s)ϕ(s)ds + f (x) (9.

165




Para valores reales de λ y las condiciones ∞−∞ |f (x)|2dx < A,

∞−∞ |K (x)|2dx < 1, esta ecuacion

tiene solucion unica.

Definamos la transformada de Fourier ası:

U (k) = 1

√ 2π ∞

−∞u(x)eikxdx

↔u(x) =

1

√ 2π ∞

−∞U (k)e−ikxdx (9.2)

Esta definicion tambien es valida, pues en definitiva la transformada de Fourier sale de laintegral de Fourier

u(x) = 1

2π

∞−∞

∞−∞

u(s)eik(s−x)dsdk =

= 1√

2π

∞−∞

1√

2π

∞−∞

u(s)eiksds

e−ikxdk ≡ 1√

2π

∞−∞

U (k)e−ikxdk (9.3)

La constante de normalizacion se puede colocar en cualquier sitio de la ecuacion: es indiferente.

Aceptada esta definicion, apliquemos la transformada de Fourier a la ecuacion

Φ(k) = λ√

2π

∞−∞

eikx ∞−∞

K (x − s)ϕ(s)dsdx + F (k) (9.4)

Calculemos:

λ√ 2π

∞−∞

eikx ∞−∞

K (x − s)ϕ(s)dsdx = λ√

2π

∞−∞

ϕ(s)

∞−∞

K (x − s)eiksdx

ds =

= {y = x − s} =

λ√ 2π

∞−∞

ϕ(s)

∞−∞

K (y)eik(y+s)dy

ds =

λ√ 2π

∞−∞

ϕ(s)eiks ∞−∞

K (y)eikydy =

= λ√

2π

√ 2πΦ(k)

√ 2πK (k) = λ

√ 2πΦ(k)K (k) (9.5)

Ası,

Φ(k) = λ√

2πΦ(k)K (k) + F (k) (9.6)

De aquı,

Φ(k) = F (k)

1 − λ√

2πK (k)



El Metodo de Wiener-Hopf (Metodo de Factorizacion) 16

por tanto,

ϕ(x) = 1√

2π

∞−∞

Φ(k)e−ikxdk = 1√

2π

∞−∞

F (k)e−ikx

1 − λ√

2πK (k)dk (9.7

Notese que es lo mismo que en el Capıtulo anterior, con ligeras variaciones.

Escribamos (9.6) ası:

Φ(k) − F (k) = λ√

2π F (k)K (k)

1 − λ√

2πK (k)= λ

√ 2πR(k)F (k) (9.8

donde

R(k) = K (k)

1 − λ√ 2πK (k)

(9.9

y por tanto,

ϕ(x) = f (x) + λ

∞−∞

R(x − s)f (s)ds (9.10

donde

R(x) = 1√ 2π

∞−∞

R(k)e−ikxdk (9.1

Hasta aquı todo es igual al Capıtulo anterior, aunque se haya empleado otra forma de definla transformada de Fourier.

Los resultados deben ser iguales, con tal de que se respete en todo momento el convenio iniciaSe puede comprobar facilmente que para el ejemplo del Capıtulo anterior

ϕ(x) = λ ∞

−∞K (x

−s)ϕ(s)ds + f (x) (9.12

con K (x) = e−a|x|, se obtiene la misma expresion de la solucion

ϕ(x) = f (x) + aλ√ a2 − 2aλ

∞−∞

e−|x−s|√ a2−2aλf (s)ds (9.13

con λ < a/2.




O sea, para las ecuaciones entre lımites infinitos podemos trabajar con transformadas de Fouriery con las restricciones adecuadas a las funciones, obtener las soluciones.

Vamos ahora a tratar de trasladar estos metodos a ecuaciones en el semieje:

ϕ(x) = λ ∞

0

K (x

−s)ϕ(s)ds + f (x) (9.14)

Para ello, estudiaremos la transformada de Laplace como funcion de variable compleja y suspropiedades analıticas.

9.2 Propiedades analıticas de la transformada de Fourier

Para f (x) definida para −∞ < x < ∞, su transformada de Fourier es

F (k) = 1√

2π

∞−∞

f (x)eikxdx (9.15)

Supongamos a k compleja, y veamos las propiedades de F (k) como funcion de variable compleja.Para ello escribamos f (x) = f −(x) + f +(x), con

f +(x) = f (x), ∀x > 0

f +(x) = 0,

∀x < 0 (9.16)

y

f −(x) = 0, ∀x > 0

f −(x) = f (x), ∀x < 0 (9.17)

Entonces,

F (k) = 1√

2π

0−∞

f −(x)eikxdx + 1√

2π

∞0

f +(x)eikxdx = F −(k) + F +(k) (9.18)

Veamos

F +(k) = 1√

2π

∞0

f +(x)eikxdx (9.19)




Sea

|f +(x)| < Meτ −x (9.20

para x → ∞. Entonces, si representamos k = k1 + ik2, tenemos:

∞0

f +(x)eikxdx

≤ ∞0

|f +(x)||eik1x−k2x|dx < M

∞0

e−(k2−τ −)xdx =

= M

k2 − τ −e−(k2−τ −)x|0∞ =

M

k2 − τ −< ∞ (9.2

para k2 − τ − > 0, o sea, Im k > τ −.

Por lo tanto, F +(k) es analıtica para Imk > τ − y F +(k)

→ 0,

∀k

→ ∞ en ese dominio. No

preguntamos ahora como hallar f +(x) a partir de F +(k).

Recordemos la transformada de Laplace:

F ( p) =

∞0

f (x)e− pxdx; f (x) = 1

2πi

a+i∞

a−i∞F ( p)e pxdp (9.22

lo que equivale a que integramos por una recta paralela al eje Im p que pasa por el puntRe p = a.

Hagamos el cambio de variables p = −ik lo que equivale a k = ip

Entonces tendremos

F (−ik) =

∞0

f +(x)eikxdx ≡ F +(k) (9.23

y, por tanto,

f +(x) = 12πi

−∞+ia

∞+ia

F (−ik)e−ikx(−idk) ≡ 12π

∞+ia

−∞+ia

F +(k)e−ikxdk (9.24

Por consiguiente, como F +(k) es analıtica para Im k > τ −, para hallar la antitransformada intgramos por cualquier recta paralela al eje real contenida en el semiplano superior de analiticidad

En vez de 12π pondremos 1√

2π, ya que en la transformada directa utilizamos 1√

2π.

Ası pues,




f +(x) = 1√

2π

∞+ia

−∞+ia

F +(k)e−ikxdk (9.25)

con a > τ −.

Debemos observar que si τ − < 0, entonces f +(x) es decreciente exponencialmente para el semieje

positivo, y viceversa. O sea, existe su transformada con k real, el dominio de analiticidadcontiene al eje real y podemos integrar por el eje real, con a = 0 y la formula que se obtiene esla habitual.

Pero si τ − > 0 (o sea, f +(x) crece exponencialmente para el semieje positivo), entonces eldominio de analiticidad no contiene al eje real y por tanto no existe F +(k) con k real, pero sıexiste con k complejo, y f +(x) se halla por la formula obtenida.

Esto, por tanto es una prolongacion de la transformada de Fourier al plano complejo k quepermite extender su uso a funciones no integrables absolutamente en el eje real.

De manera analoga, sea

|f −(x)| < Meτ +x (9.26)

para x → −∞.

Su transformada de Fourier

F −(k) = 1√

2π 0

−∞

f −(x)eikxdx (9.27)

es analıtica para Im k < τ + y

f −(x) = 1√

2π

∞+iτ

−∞+iτ

F −(k)e−ikxdk (9.28)

con τ < τ +. El razonamiento que sigue es igual al anterior: si τ + > 0, el dominio de analiticidadde F −(k) contiene al eje real, pero si τ + < 0 (o sea, f −(x) crece exponencialmente), entonces nolo contiene y por tanto sı existe F −(k) de variable compleja, pero no existe F −(k) de variablereal.

Supongamos ahora que τ + > τ −. Entonces la funcion

F (k) = 1√

2π

0−∞

f (x)eikxdx (9.29)

es analıtica respecto a k compleja en la franja τ − < Im k < τ +, que puede contener o no al ejeRe k (en dependencia de los signos de τ − y de τ +).




Entonces,

f (x) = 1√

2π

∞+iτ

−∞+iτ

F (k)e−ikxdk (9.30

con τ − < τ < τ + en la franja de analiticidad.

En el Capıtulo anterior vimos el ejemplo K (x) = e−a|x|. A la luz de lo visto ahora, su transfomada de Fourier

F (k) = 1√

2π

1

a2 + k2

es analıtica en la franja −a < I m k < a (que contiene al eje real, pues K (x) es decrecientexponencialmente, lo que implica que existe la transformada en el sentido antiguo).

9.3 Ecuaciones integrales en el semieje con nucleos dependientes de la diferencia

Sea inicialmente la ecuacion homogenea

ϕ(x) = λ

∞0

K (x − s)ϕ(s)ds (9.3

Introduzcamos

ϕ−(x) = ϕ(x), ∀x < 0

ϕ−(x) = 0, ∀x > 0 (9.32

y

ϕ+(x) = 0, ∀x < 0

ϕ−(x) = ϕ(x), ∀x > 0 (9.33

por lo que ϕ(x) = ϕ−(x) + ϕ+(x). La ecuacion queda:

ϕ−(x) = λ

∞0

K (x − s)ϕ+(s)ds, ∀x < 0 (9.34




ϕ+(x) = λ

∞0

K (x − s)ϕ+(s)ds, ∀x > 0 (9.35)

que sumadas dan

ϕ−(x) + ϕ+(x) = λ ∞0

K (x − s)ϕ+(s)ds, ∀x (9.36)

O sea, ϕ+(x) es solucion de la ecuacion integral, y ϕ−(x) se expresa a traves de ella. Supongamosque

|K (x)| < M eτ −x, ∀x → ∞ (9.37)

|K (x)

|< Meτ +x,

∀x

→ −∞ (9.38)

con τ − < 0 y τ + > 0. Entonces,

K (k) = 1√

2π

∞−∞

K (x)eikxdx (9.39)

es analıtica en la franja τ − < Imk < τ +. Busquemos la solucion de la ecuacion homogeneainicial que cumpla

|ϕ+(x)| < M 1eµx, ∀x → ∞ (9.40)

con µ < τ +.

Entonces tenemos:

∞0

K (x − s)ϕ+(s)ds

≤ ∞0

|K (x − s)||ϕ+(s)|ds = {y = x − s} =

− −∞x

|K (y)||ϕ+(x − y)|dy =

=

x−∞

|K (y)||ϕ+(x − y)|dy < MM 1eµx x−∞

e(τ +−µ)ydy = MM 1τ + − µ

e(τ +−µ)y|x−∞ =

= (∀τ + − µ > 0) = MM 1τ + − µ

eµxeτ +xe−µx (9.41)

Ası pues para el semieje negativo




|ϕ−(x)| < M 2eτ +x, ∀x → −∞ (9.42

Aplicando la transformada de Fourier a ϕ+(x) y ϕ−(x) tendremos

ϕ+(x)↔

Φ+(k) = 1

√ 2π ∞

0

ϕ+(x)eikxdx (9.43

que es analıtica para Im k > µ,

ϕ−(x) ↔ Φ−(k) = 1√

2π

0−∞

ϕ−(x)eikxdx (9.44

que es analıtica para Im k < τ +.

Como µ < τ +, entonces hay una franja (µ < Imk < τ +) donde Φ+(k) y Φ−(k) son a la ve

analıticas.

Apliquemos ahora a nuestra ecuacion (9.36) la transformada de Fourier:

Φ+(k) + Φ−(k) = λ√

2πK (k)Φ+(k) (9.45

ası,

[1 − λ√

2π]Φ+(k) + Φ−(k) = 0 (9.46

Llegamos a una ecuacion algebraica con dos incognitas:

L(k)Φ+(k) + Φ−(k) = 0 (9.47

Veamos en que consiste el Metodo de Wiener-Hopf. Supongamos que podemos hacer

L(k) = L+(k)

L−(k) (9.48

A esto se llama factorizar. Desarrollando:

L+(k)Φ+(k) = −L−(k)Φ−(k) = P n(k) (9.49

donde L+(k)Φ+(k) es analıtica en el semiplano Im k > µ y L−(k)Φ−(k) es analıtica en semiplano Im k < τ +, por lo que existe una franja comun de analiticidad µ < Im k < τ + en que ambas funciones son iguales.




Por el teorema de unicidad de las funciones analıticas, existe una sola funcion entera que coincidecon ellas en la franja y con cada una por separado en los semiplanos respectivos: P n(k).

Esta funcion crece para k → ∞ igual que lo hacen L+(k)Φ+(k) y L−(k)Φ−(k). Entonces,

Φ+(k) = P n(k)

L+(k)

; Φ−(k) = P n(k)

L−(k)

(9.50)

Se halla la antitransformada, y el problema queda resuelto.

La solucion dependera de constantes arbitrarias que se pueden hallar a partir de las condicionesdel problema en cuestion.

Ejemplo

Sea la ecuacion

ϕ(x) = ∞0

e−|x−s|ϕ(s)ds (9.51)

El nucleo es e|x|. Ya sabemos que

K (k) = 1√

2π

2

k2 + 1 (9.52)

Ası,

L(k) = 1 − λ√

2π 1√

2π

2

k2 + 1 = 1 − 2λ

k2 + 1 =

k2 − 2λ + 1

k2 + 1 =

=k2−2λ+1

k+i

k − i ≡ L+(k)

L−(k) (9.53)

O sea, factorizamos ası:

L+(k) =

k2

−(2λ

−1)

k + i (9.54)

tiene un cero en k2 = (2λ − 1) y es analıtica univaluada y diferente de cero para I m k >Im

√ 2λ − 1.

Para 0 < λ < 12

esta region se define por la condicion Imk >√

1 − 2λ con√

1 − 2λ ≤ µ < 1.

Para λ > 12

L+(k) es analıtica y diferente de cero para I m k > 0. (Tiene un polo en k = −i,pero queda fuera del semiplano donde es univaluada).




L−(k) = k − i (9.55

tiene un cero en k = i, por lo que es analıtica univaluada y diferente de cero para Imk < 1 sea, logramos determinar ese semiplano de analiticidad para ella).

La franja comun de analiticidad de L+(k) y L−

(k), univaluadas y diferentes de cero, es µ

Imk < 1 para 0 < λ < 12 .

En el caso en que λ > 12 el dominio comun de analiticidad de L+(k) y L−(k) es la franj

0 < Imk < 1.

Ası las cosas, hemos logrado la factorizacion necesitada de la funcion L(k) dada en la ecuacio(9.53).

Tenemos ahora que

Φ+(k)L+(k) = Φ+(k)k2

−(2λ

−1)

k + i (9.56

Igual,

Φ−(k)L−(k) = Φ−(k)(k − i) (9.57

Como Φ+(k) tiende a cero cuando k → ∞, en tanto L+(k) dada por (9.54) tiende a ∞ comk1 cuando k → ∞, concluımos que la funcion entera que coincide con ambas en la franja eeste caso es un polinomio de grado cero (P n(x) = C ). Por tanto

Φ+(k)L+(k) = C (9.58

de donde

Φ+(k) = C k + i

k2 − 2λ + 1 (9.59

por lo que

ϕ+(x) = C √

2π

∞+iτ

−∞+iτ

k + i

k2 − (2λ − 1)e−ikxdk (9.60

para µ < τ < 1.

Aplicando residuos cerramos el contorno por debajo para que se cumplan los requisitos dLema de Jordan, ya que x > 0 y obtenemos (los dos polos simples estan sobre el eje Re k y soiguales a ±√

2λ − 1):




ϕ+(x) = − C √ 2π

2πi

Res

k + i

k2 − (2λ − 1)e−ikx,

√ 2λ − 1

+ Res

..., −

√ 2λ − 1

=

= −C √

2πi

√ 2λ − 1 + i

2√

2λ − 1e−ix

√ 2λ−1 +

−√ 2λ − 1 + i

−2√

2λ − 1eix

√ 2λ−1

=

= −iC √ 2π 12

e−ix√ 2λ−1 − 12i

e−ix√ 2λ−1

√ 2λ − 1

+ 12

eix√ 2λ−1 + 12i

eix√ 2λ−1

√ 2λ − 1

(9.61)

Finalmente, haciendo D = −iC √

2π, obtenemos:

ϕ+(x) = D

cos x

√ 2λ − 1 +

sin x√

2λ − 1√ 2λ − 1

(9.62)

ϕ−(x) se calcula a partir de ϕ+(x).

Observemos que para 0 < λ < 12 esta solucion crece exponencialmente con x y que para

12 < λ < ∞ es acotada en el infinito.

Conclusion:

La idea central del Metodo de Wiener-Hopf es representar la ecuacion algebraica

L(k)Φ+(k) + Φ−(k) = 0 (9.63)

con ayuda de la factorizacion en forma de la funcion entera

L+(k)Φ+(k) = −L−(k)Φ−(k) (9.64)

9.4 Esquema general del Metodo de Wiener-Hopf

Supongamos que de alguna manera llegamos a la siguiente ecuacion mas general:

A(k)Ψ+(k) + B(k)Ψ−(k) + C (k) = 0 (9.65)

donde A(k), B(k) y C (k) son funciones conocidas de la variable compleja k en la franja τ − <Im k < τ +, y A y B son diferentes de cero en dicha franja.

Supongamos posible la factorizacion




A(k)

B(k) =

L+(k)

L−(k) (9.66

(llamada primera factorizacion), donde L+(k) es analıtica y diferente de cero en Im k > τ −L−(k) es analıtica y distinta de cero en Im k < τ +, de forma tal que las franjas τ − < Im k < τy τ

− < Imk < τ + tengan una parte comun, es decir, una interseccion no nula.

Entonces la ecuacion general puede escribirse ası:

L+(k)Ψ+(k) + L−(k)Ψ−(k) + L−(k)C (k)

B(k) = 0 (9.67

Supongamos que el ultimo sumando puede escribirse ası:

L−(k)C (k)

B(k)

= D+(k) + D−(k) (9.68

(llamada segunda factorizacion), donde D+(k) es analıtica en Imk > τ − y D−(k) es analıticen Im k < τ +.

Si las tres franjas: τ − < Imk < τ +, τ − < Im k < τ + y τ − < Im k < τ + tienen una parte comuen la franja τ 0− < Im k < τ 0+, entonces en esta franja se puede escribir

L+(k)Ψ+(k) + D+(k) = −L−(k)Ψ−(k) − D−(k) = P n(k) (9.69

donde L+(k)Ψ+(k) + D+(k) es analıtica para Im k > τ 0− y −L−(k)Ψ−(k) − D−(k) es analıtic

para Im k < τ 0+.

Por tanto, existe una funcion unica entera P n(k) que coincide con ellas en cada semiplano con las dos en la franja.

Entonces, despejando

Ψ+(k) = P n(k) − D+(k)

L+(k) (9.70

Ψ−(k) = −P n(k) − D−(k)

L−(k) (9.7

Todo el metodo esta debidamente fundamentado con teoremas, que el lector interesado eprofundizar en este metodo puede encontrar en el libro de Teorıa de Funciones de VariabCompleja de los autores Sveshnikov y Tijonov, publicado por la editorial ”Mir” en ingles.

Ası las cosas, si queremos resolver la ecuacion




ϕ(x) = λ

∞0

K (x − s)ϕ(s)ds + f (x) (9.72)

definimos:

ϕ+(x) = 0, ∀x < 0

ϕ+(x) = ϕ(x), ∀x > 0 (9.73)

ϕ−(x) = ϕ(x), ∀x < 0

ϕ−(x) = 0, ∀x > 0 (9.74)

f +(x) = 0, ∀x < 0

f +(x) = f (x), ∀x > 0 (9.75)

f −(x) = f (x), ∀x < 0

f −(x) = 0, ∀x > 0 (9.76)

Suponemos que K (x) y f (x) cumplen la condicion

|ν (x)| < Meτ −x, ∀x → ∞|ν (x)| < Meτ +x, ∀x → −∞ (9.77)

y buscamos la solucion que cumpla la condicion

|ϕ+(x)| < Meµx, ∀x → ∞ (9.78)

con µ < τ +.

Repitiendo los razonamientos, vamos a obtener en la franja µ < Imk < τ + la ecuacion

Φ+(k) + Φ−(k) =√

2πλK (k)Φ+(k) + F +(k) + F −(k) (9.79)

o sea,




L(k)Φ+(k) + Φ−(k) − F (k) = 0 (9.80

donde L(k) = 1 − √ 2πλK (k). La primera factorizacion es:

L(k) = L+(k)

L−(k) (9.8

Entonces,

L+(k)Φ+(k) + L−(k)Φ−(k) − L−(k)F −(k) − L−(k)F +(k) = 0 (9.82

y haciendo la segunda factorizacion,

L−

(k)F +(k) = D+(k) + D−

(k) (9.83

tendremos

L+(k)Φ+(k) − D+(k) = −L−(k)Φ−(k) + L−(k)F −(k) + D−(k) = P n(k) (9.84

de donde

Φ+(k) = P n(k) + D+(k)

L+(k)

Φ−(k) = −P n(k) + L−(k)F −(k) + D−(k)

L−(k) (9.85

De aquı se hallan con la transformada inversa ϕ+(x) y ϕ−(x).



Capıtulo 10

Respuestas a los ejercicios

1. λn = n2π2, ϕn(x) =√

2sin nπx, n = 1, 2,...

2. Autovalores y autofunciones de la ecuacion homogenea:

λ1 = 1

π, ϕ1(x) =

1√ 2π

(sin x + cos x), λ2 = − 1

π, ϕ2(x) =

1√ 2π

(sin x − cos x)

Solucion de la ecuacion no homogenea:

ϕ(x) = sin x + cos x

1 − π

3. λ1 = λ2 = 2π

, ϕ1(x) = 2π cos x, ϕ2(x) = 2π sin x

4. Autovalor y autofuncion de la ecuacion homogenea:

λ0 = 2, ϕ0 =√

3x

Como (f, ϕ) ≡ 10 (2x − 1)

√ 3xdx = 0, por la alternativa de Fredholm la ecuacion n

homogenea no tiene solucion.

5. Autovalores y autofunciones de la ecuacion homogenea:

λ1 = 3

2, ϕ1(x) =

3

2x, λ2 =

5

2, ϕ2(x) =

5

2x2

Como coincide el parametro λ de la ecuacion homogenea con el autovalor λ2 y com

(f, ϕ2) ≡ 1−1 x

52x2dx = 0, por la alternativa de Fredholm la ecuacion no homogene

tiene infinitas soluciones que son:

ϕ(x) = K x2 − 3

2x

donde K es una constante arbitraria.

181





λ0 = 2

e2 − 1, ϕ0(x) =

2

e2 − 1ex

Solucion de la ecuacion no homogenea: ϕ(x) = 2ex.


λ0 = 2, ϕ0 =

√ 2

x

Solucion de la ecuacion no homogenea:

ϕ(x) = x2 + 2

x


λ0 = 1, ϕ0(x) =

3

7x

Solucion de la ecuacion no homogenea: ϕ(x) = −x.



Bibliografıa

Referencias

1. A Angot, Complementos de Matem´ atica

2. G Bateman y A Erdelyi, Tablas de Transformadas Integrales

3. M Krasnov, A Kiseliov y G Makarenko, Ecuaciones Integrales

4. V.A. Marchenko, Teorıa Espectral de los Operadores de Sturm-Liouville

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