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Ii 1 I
I
TABLA DE INTEGRALES
ECUACIONES DEL PRIMER ORDEN
NOTACIONES. En Ia ecuaci6n M dy N dx 0, M y N representan funciones de x y de y; X representa a una funci6n de x solamente 0 a una constante y Y a una funci6n de y unicamente 0 a otra constante.
PAG.
1. - Ecuac1~one.s de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
Si en M dy + N dx
X'.Y'dy
Soluci6n:
0, M X'.Y' y N
X".Y" dx 0
fY'/Y" dy + f X"/X' dx
X".Y"
C
2. - Ecuaciones Exactas ................................. 22
Cuando en M dy + N dx = 0, 8M/8x 8N/8y
Soluci6n:
fM dy + f[N - l)/l)x JM dy] dx C
3. - Ecuaciones Homogeneas . . . . . . . . . . .. . ............... 28
Cuando al substituir en la ecuaci6n
M dy + N dx ° a x par tx yay por ty se transforma en
t n [M dy N dx] o
I r
112
P1'imer metodo de soluci6n: En gran numero de casos la ecuacion
M dy -I- N dx =0
My+ Nx
es una diferencial total facilmente observable.
Segundo metodo de soluci6n: Al efectuar las substituciones,
y= v:x dy =v dx + x dv
se obtiene una ecuacion de variables separables.
4. - Ecuaciones a la vez Homogeneas 1/ Exactas
M dy + N dx=O
Soluci6n:
My+ Nx ----=c
n
en donde n es el grado de My y de Nx.
PAG.
........... 33
5. - Ecuaciones reducibles a la forma Hoinogenea ......... 34
(ax + by +c)dy + (ex + fy + g)dx = 0
Soluci6n. La substitucion,
x=x' + h
y=y' + k
la hace tomar la forma homogenea,
(ax' + by') dy' + (ex' + fy')dx' = 0
No puede aplicarse cuando be = af.
6. - Ecuaciones homogeneas de primer orden y de segundo grado ............................ . ............... 37
Primer metodo de soluci6n. Se resuelve para dyI dx resultando una ecuacion homogenea de primer grado.
Segundo metodo de soluci6n. Se resuelve para yIx y se hace la substitucion dyI dx = p.
j 113
Derivando con respecto a x a la ecuacion resultante, se obtiene una ecuacion de variables separables.
7. - Ecuaci6n Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............... 41
dy/dx + X/y = X"
Soluci6n:
Si X" =T- 0 y ~ C ef-X""+ ef m" SX" efX''' dx
Si X" = 0 y = C eS·-X/<lx
8. - Ecuaciones j'educibles a la fonna Lineal . . . . . . . . . . . . . .. 49
dy/dx + X'y = X" yn
Soluci6n. La substitucion l/yn-l = z la transforma en la ecuacion lineal,
dz/dx + (1- n)X'z = (1- n)X"
cuya solucion es,
z ~ C ef(H ,.'0. dx + ef{o-'lV," dx S(l-n) X" ef1'-0'"'" dx
9 - Ecuaciones carentes de una de las 'variables en forma explicita ............................ . ............... 52
PTimel' caso. Falta la variable independiente.
Se resuelve para dy/dx obteniendose,
dy/dx= Y
Soluci6n: x=C + fdy/Y
Si es mas facil de resolver para y se hace la substitucion dy/dx = p obteniendose la ecuacion,
y=G(p)
cuya solucion se obtiene por eliminacion de p entre las ecuaciones,
x = C + JG'(p)dp/p
y = C' + jG'(p)dp
118
Derivando con respecto a x a la eeuaci6n resultante, se obtiene una ecuaci6n de variables separables.
7. - Ecuacion Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............... 41
dy/dx X'y = x" Solucion:
Si X" 0 y C aJ-x,", er-x", SX" aIx", dx
Si X" 0 y C ef--XTdx
8. - Ecuaciones reducibles a la forma Lineal . . . . . . . . . . . . . .. 49
dy/dx + X'y = X" yn
Solucion. La substituci6n l/yn-l = z la transforma en la ecuaci6n lineal,
dz/dx (l-n)X'z (1-n)X"
cuya soluci6n es,
z ~ C aJ,H'"'' dx + aJ"-'l·'" dx S(l-n)X" eI"-""'" dx
9 - Ecttaciones carentes de una de las 1.:ariables en forma explicita ............................................ 52
Primer caso. Falta la variable independiente.
Se resuelve para dy/dx obteniendose,
dy/dx Y
Soluci6n: x C + fdy/Y
Si es mas facil de resolver para y se hace la substituci6n dy/dx = p obteniendose la ecuaci6n,
y=G(p)
euya soluci6n se obtiene por eliminaci6n de p entre las ecuaciones,
x = C + fG'(p)dp/p
y=C' fG'(p)dp
, "
114
Segundo caso. Falta la variable dependiente.
F(x, dy/dx) = F(x,p) = 0 si dy/dx = p
Soluci6n. Si puede resolverse para p obteniendose p G(x) la solucionsera,
y=C + fG(x)dx
Si es mas sencillo resolverla para x, la soludon se obtiene por eliminacion de p entre las ecuaciones,
x=g(p)
y C'+fp g'(p) dp
PAG.
10. - Ecuaciones de prime1' orden y de un g'rado cualquiera 58
Si la ecuacion F (x,y,p) = 0, en la eual dy/ dx = p, puede factorizarse,
(p-XI ) (p-YI ) (p-X!l) (p-Y2 ) ••••• = 0
cad a factor sera una ecuacion del tipo anterior y por 10 tanto daran Ia soludon,
[y-(C1+ fX1dx)] [x-(C2 + fdy/Y1] [y-(Cg + fX2dx)]
.... [y-(C4 +fdY/Y\l] .... =0
11. - Casos especiales en el tipo anterior ................ 60
Caso A. F (dy/dx) = F(p) = (J
F(p) (P-al) (P!-all) ...... (p-an ) = 0
Soluci6n.
Caso B. Cuando al resolver para y la ecuacion F(x,y,p)=O, resuIta,
y=xp(p) +O(p) (1)
ecuacion que contiene a las do,s variables en primer grado. Al to-
i j
I J
--------------,~--- ----- 115
mar el diferencial total de (1) se obtiene una ecuacion lineal euya soludon es,
¢(p) p ~(p) p r (p)S - p' (p) dp S- p' (p)dp f r ¢' (p)dp
rJ ¢(p)-p x Ce -e --- e dp
pep) - p
Por eliminaei6n de p entre esta ecuaci6n y la (1) se obtiene la primitiva.
Caso C. tiendose en,
Cuando en
y
la ecuaci6n anterior 4> (p)
xp O(p)
= p, convir
(2)
Soluci6n. Son soluciones de esta ecuaci6n,
y=Cx + C1
y la que se obtenga por eliminacion de p entre la ecuaci6n (2) y
O'(p) =-x
SOLUCIONES ESPECIALES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
PAG •
12. - Ecuaciones que contengan solamente a la segunda denvada y a una de las variables . ................ : ..... 65
Prime1' caso.
Soluci6n.
y C + Clx + x fF(x)dx-fxF(x)dx
Segundo caso.
y=C +S yIC
l
dy+ 2 fF~(c-y-)d-y-'
j I
13. - Ecuaciones que contienen solamente a la variable independiente y a la de·rivada de enesimo orden ......... ,
dny/dxn = F (x)
71
115 --_.._--------
mar el diferencial total de (1) se obtiene una ecuacion lineal euya solucion es,
- ~' (p)dp r p' (p)dp -p' (p)dp JS 9!(p)-p se p(p) -p 0' (I'» J !'l(p) p
x Ce e dp p(p) p
Por eliminaci6n de p entre esta ecuacion y Ia (1) se obtiene ia primitiva.
CaBo C. Cuando en Ia ecuaci6n anterior q,(p) = p, convirth~ndose en,
y xp + O(p) (2)
Soluci6n. Son soluciones de esta ecuacion,
y=Cx C1
y Ia que se obtenga por eliminacion de p entre Ia ecuaci6n (2) y
6'(p) =-x
SOLUCIONES ESPECIALES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
PAG.
12. - Ecuaciones que contengan Bolamente a la segunda derivada y a una de las variables ...... . . .. ....... .... 65
Prime1' caBo. d2y/dx2 = F (x)
Soluci6n.
y=C C1x + xSF(x)dx-SxF(x)dx
Segundo caso. d2y/dx2 = F(y)
y dyC +5 V C::::--+---=2-C;S=F:-:-(y--')"--:ct:-y
1
13. - Ecuaciones que contienen solamente a 1a variable inde-, pendiente y a la derivada de enesimo orden . ......... 71
dny/dxn= F(x)
117 116
Soluci6n.
y = Cn Cn - 1 C,,-2 X 2/f2 + . . . . C1 xn / n +
Iff ..... fF(x) (dx)n
14. - EC1l(tciones carentes de amba8 va1'iables ............. 72
Sohwi6n. Eliminando a p entre las ecuaciones,
X C1 + fdp/F(p)
Y = C!l fp dp/F(p)
PAG.
15. - Ecuacione8 con derivadas de primer y segundo orden pero carentes de una de las variables . . ............... 75
Primer caso. d2y/dx2= F(x, dy/dx)
Segundo caso. d2y/dx2 = F(y, dy/dx)
Soluci6n. Se haee dy/ dx p y al derivar con respecto a x 5e obtiene una ecuaci6n de primer orden.
ECUACION LINEAL DE ORDEN N CON COEFICIENTES CONSTANTES
16. - Ecuaci6n Lineal incompleta. (Lado dereeho de la (leUacion igual a cero) ................ ................ 89
Caso 1. La ecuaci6n auxiliar yS (a) = 0 tiene n rakes diferentes. al, a2, ...... an
Soluci6n.
17. - Caso 2. La ecuaci6n auxiliar tiene m ra-ices 'l'f3petidas " 91
Sean a1 = a2 aa = .... =am # am + 1 # .... =F ti'l
Soluci6n.
Y,= (C1 +C2X+ .... +Cmxm - 1 ) eal>'+C Ill + 1 eam+lll:
+ .... + Cn _ l ean-I': + Cne"nX
,- 'k, " ~ '" r
, .. ···1 ~
PAG.
18. - Caso 3. La ecuaci6n aua:ilia1' tiene dos 0 mas ratecs ima· ginar·ia.~ ......................... ................ 93
Sean las dOB raices (a bi) y (a bi)
Soluci6n.
y e'" (Clcos bx
...... + Cne"n"
Si ademas (a bi) y (a hi) son rakes dobies.
Soluei6n.
y enx [ (C + C1x) cos bx + (C~ C;IX) sen bx]
19. - Ecuaci6n Lineal completa. (EI Iado dereeho es 0 una constante 0 una funci6n de x) .... ................ 96
Soluci6n. La soluci6n consta de dos partes; la primera llamada la funei6n complementaria es ia soluci6n de Ia ecunci6n incompleta.
Llamando f (x) ellado derecho de la ecuaci6n, Ia segunda parte de la soluci6n Hamada el integral pat·ticular esta dado por,
y=en!X fe(n2-- nJ)x J .... fe("n-·n~!l" ff(x)e-l1n"dx
Soluci6n B. Cuando las n raices de Ia ecuaci6n auxiliar son diferentes, el integral particular viene dado tambien por,
y=R1e'!X ff(x) e-n!Xdx + R::ell2x ff(x) e-Ilxxdx + ..... . ...... + Rnellnx f F (x) e-anxdx
en Ia cual R1, R z, .••.•. , Rn sop los coeficientes de las fracciones parciales de la fraccion
l/p(a)
117 ----_.- --.-----------.--.---~-.-------... ---..
PAG.
18. - Caso 3. La ecuaci6n au;).:iliar tiene do."! 0 mas ratoos imaginarial'! . _ ..................... _. . .............. _ 93
Sean las dos rakes (a + bi) y (a - bi)
Solucion.
. ..... + Cne"nx
Si ademas (a bi) y (a bi) son raices dolJIes.
Solucion.
y= e""[(C Clx) cos bx + (C:! + C;jx) sen bx]
19. - Ecuaci6n Lineal completa. (EI lado derecho es 0 una constante I) una funci6n de x) .... ................ 96
Solucion. La soIuci6n consta de dos partes; 1a primera Hamada la fum cion complel1tentaria es 1a soluci6n de la ecua-ci6n incomp1eta.
L1amando f(x) ellado derecho de la eeuaci6n, la segunda parte de Ia so1uci6n Hamada el integml particular esta dado por,
y = e" lX Se(1l2-- n j)X S .... Se(nn-an-Dx S f (x) e-AnX dx
Solucion B. Cuando las n rakes de 1a ecuaci6n auxiliar son diferentes, e1 integral particular viene dado tambien por,
y = R1e"P Sf (x) e-nlxdx R2e"2x Sf (x) e-"xxdx + ...... + Rne"nx SF (x) e-anxdx
en la eual RIo R:/, ...... , Rn son los coeficientes de las fraeciones parciales de la fraecion
l/p(a)