Papiroflexia Una Herramienta Para El Estudio de Matemáticas

7/25/2019 Papiroflexia Una Herramienta Para El Estudio de Matemticas

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PAPIROFLEXIA: UNA HERRAMIENTAPARA EL ESTUDIO DE LAS

MATEMTICASLa papiroflexia es una tradicin nacida en oriente a principios de

nuestra Era que estaba reservada originalmente a la nobleza y a lossamurais japoneses.

Despus de una difusin lenta y gracias a los contactoscomerciales, fue introducida en Europa y posteriormente en Amrica,tomando un nuevo impulso en el siglo XIX.

Si queremos hablar de una clasificacin del origami podemos

considerar varios aspectos: la finalidad, el tipo de papel utilizado y lacantidad de piezas utilizadas.

Actualmente se ha comenzado a estudiar ms sistemticamentela papiroflexia como medio de representacin de objetosmatemticos, particularmente, objetos geomtricos. Por ejemplo seha estudiado la relacin entre la papiroflexia y la topologa; larelacin entre los poliedros hechos con origami y las geodsicas(estructuras basadas en los diseos de Buckminster Fuller); se hanformulado listas de axiomas para la papiroflexia; el fsico Jun

Maekawa ha descubierto teoremas relacionados con la papiroflexia,usndolos para disear modelos; el matemtico Toshikazu Kawasakiha estudiado teoremas de la papiroflexia en cuatro dimensiones;Robert Lang de California ha desarrollado una manera de algoritmizarel proceso de diseo para usar una computadora en la invencin demodelos complejos; el educador Shuzo Fujimoto y el artista ChrisPalmer han descubierto paralelismo entre la papiroflexia y losteselados; Peter Engel ha relacionado la papiroflexia, incluso elartstico, y la teora del caos (en particular con los fractales); elmatemtico Roger Alperin ha establecido una relacin entre las

construcciones de lpapiroflexia y los nmeros (llamados "nmerosconstruibles").

La papiroflexia ayuda y realiza conexiones con otrasasignaturas, pero su mayor contacto es con la geometra como se haindicado en el prrafo anterior. Si se emplea un mtodo con pocamanipulacin de objetos y procesos matemticos, no se puede lograrel objetivo de que el nio aprenda correctamente la figura y elconcepto; si se le ensea al estudiante slo a memorizar, los efectosde la enseanza memorstica y repetitiva en los primeros niveles ysus consecuencias seran la adquisicin de conceptos limitados oerrneos y el desinters de los estudiantes a mediano y largo plazo.


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Segn Clements y Sarama, dos investigadores que desarrollanaplicaciones computacionales para la enseanza y aprendizaje de lageometra y el temprano desarrollo de ideas matemticas, nias ynios pasan por varias etapas en su conocimiento de las figurasgeomtricas. En el primer estadio, el precognitivo, nios y nias

perciben las formas pero son incapaces de distinguirlas y clasificarlas.En el siguiente, la etapa visual, son capaces de identificarlas deacuerdo a su apariencia. Por ejemplo identifican un rectngulo, "...porque se parece a una ventana". No es sino hasta despus, en laetapa descriptiva, en la que aprenden a reconocer y caracterizar lasformas, basndose en sus propiedades. Es entonces, una vezasimilados los conceptos y no solo repitiendo una serie de palabras,cuando reconocen y describen conscientemente un rectngulo, comouna forma que tiene dos lados iguales y cuatro ngulos rectos.

Se puede alcanzar este nivel de pensamiento en los aosescolares intermedios, pero algunos no lo logran hasta muchodespus y otros nunca lo adquieren. Esto depende mucho del tipo deenseanza que han recibido y de sus otras experiencias yaprendizajes obtenidos fuera del aula.

Para impulsar el aprendizaje, las corrientes pedaggicasavanzadas sugieren tcnicas de trabajo complementarias, como lassiguientes:

El acercamiento a los temas desde diferentes disciplinas.

La manipulacin y transformacin fsica y virtual de objetos.El establecimiento de conexiones entre el conocimiento previo,los nuevos conceptos y la vida diaria de los estudiantes.

El trabajo en grupos que promueva, el debate de ideas, laclarificacin de conceptos, el desarrollo de estrategias individuales ycolectivas, y la presentacin de resultados ante sus compaeros.

La repetida prctica de solucin de problemas (en diferentesescenarios), en los que se utilicen destrezas, conceptos o procesosmatemticos.

La meta final de la educacin debe ser siempre el impulsar elcrecimiento del conocimiento en todos los alumnos, aunque hayagrandes diferencias entre los estudiantes en un mismo aula, y lapaulatina autonoma de los alumnos ante el mundo, un requerimientobsico de la era de la informacin: ser aprendices continuos.

Teniendo en cuenta todo lo expuesto anteriormente es bastanteclaro el importante papel que puede tener la papiroflexia en laenseanza de las matemticas, podemos resumir sus ventajas en elaula con la siguiente enumeracin:


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Ventajas en la educacin:Utiliza materiales y herramientas relativamente baratas y al

alcance de la mayora.Proporciona un medio para la manipulacin manual de los

objetos geomtricos.Permite un acercamiento a la geometra del espacio (poliedros).Los procesos de construccin son lgicos, eficientes y

econmicos.

Pero la papiroflexia es un medio, no un fin y cuando se utilizaen el estudio de las matemticas es importante cuestionarse, estudiarpropiedades, observar, analizar y conjeturar, a partir de lamanipulacin del papel

Objetivo del tallerEl objetivo del taller es proporcionar a los docentes una

herramienta didctica para el estudio de la Geometra,particularmente de los polgonos, de una manera accesible y amena,lo cual permite abordar este tema que rara vez se toca en los nivelesde secundaria y bachillerato. Introduciremos tambin algunosmodelos en tres dimensiones realizados a partir de los polgonospreviamente construidos


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SMBOLOS BSICOS EN PAPIROFLEXIA


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BASES


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Desarrollo del taller

RECTNGULO FORMATO A

Este formato de papel naci en Alemania en 1922. De ah sunombre ms comn de "DIN", por las siglas de Deutsches Institut frNormung (Instituto de Normalizacin Alemn).

Los formatos conocidos como A1, A2, A3, ..... siguen laproporcin:1:1,414 entre sus lados corto y largo. ( Todos los Ai sonsemejantes)

Este formato A, que tambin recibe el nombre de silverrectangle (el rectngulo de plata), tiene unas propiedadesgeomtricas que lo hace muy til desde el punto de vista matemtico

y desde el punto de vista del origami.1.- El lado mas grande tiene una longitud igual a la diagonal deun cuadrado construido sobre el lado menor.

2.- La mediana del lado mas grande divide el rectngulo enotros dos cuyos lados tienen la misma proporcin que los del primero.La regla se aplica hasta el infinito si seguimos dividiendo losrectngulos que se van obteniendo. (Al partir Ai por la mitadobtenemos dos A(i+1))

3.- Si se quita del rectngulo el cuadrado construido sobre ellado mas pequeo, y quitamos tambin el cuadrado construido sobreel lado mas pequeo del rectngulo que ha quedado, se obtendr alfinal un rectngulo con las proporciones iniciales.

4.- El rea de A0 es de 1 metro cuadrado.

A4 = 297 x 210 mm


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COMO OBTENER UN RECTNGULO FORMATO A

A partir de un cuadrado:

A partir de un rectngulo (1):

A partir de un rectngulo (2):

SOBRE CDSe construye a partir de una hoja de tamao DIN 4 y requiere

previamente la divisin del lado menor en 5 partes iguales. Para estadivisin utilizamos el teorema de Haga:

El teorema de Haga nos proporciona tcnicas para dividir una

hoja de papel en un nmero impar de partes.


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TRINGULO EQUILTERO:

Veamos como se construye un tringulo equiltero partiendo deun cuadrado. Hay muchas maneras distintas de hacerlo utilizando lapapiroflexia, a continuacin exponemos dos de ellas en las que seobtiene el tringulo equiltero de mayor rea posible:

Forma 1

Forma 2


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ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS DE UN TRINGULODOBLANDO PAPEL

Baricentro: Punto de corte de las medianas. Centro de gravedaddel tringulo

Ortocentro: Punto de corte de las alturas

Incentro: Punto de corte de las bisectrices

Circuncentro: Punto de corte de las mediatrices


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REA DEL TRINGULO

FRMULA DEL REA:A =base ! altura

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Consideremos un tringulo cualquiera de base b y altura h.

Coloreamos los tringulos parciales obtenidos en los pasosanteriores


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Los tringulos DBE y DBE son idnticos. Lo comprobamosdoblando uno sobre otro por la lnea DE

Los tringulos ADF y BDF son idnticos. Doblamos por lalnea DF y lo comprobamos.

Doblamos por la lnea EG y comprobamos que los tringulos

CEG y BEG son idnticos.

los vrtices A, B y C, coinciden exactamente en el punto B por tanto,como el rea del tringulo del que partimos, es igual a la suma de lasreas de todos los tringulos en que le hemos dividido y lostringulos de colores ms fuertes, son iguales respectivamente a losde colores ms plidos deducimos que el rea del tringulo es igual ados veces el rea del rectngulo FDEG.

La altura de este rectngulo esh

2y su base

b

2, luego su rea es

Arectangulo

=

b

2!

h

2y teniendo en cuenta lo dicho anteriormente:

Atriangulo

=

b ! h

2


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CONSTRUCCIN DEL TRINGULO EQUILTERO A PARTIRDE UNA HOJA RECTANGULAR

(1) Doblamos el lado ms corto AB por la mitad.(2) Desdoblamos la hoja y la doblamos nuevamente haciendo que Bquede sobre la lnea DE y dejando fijo A.(3) Marcamos el punto C sobre la lnea ED, de tal manera que ladistancia AC sea igual a la distancia AB.(4) Doblamos nuevamente sobre AC y marcamos esta lnea.(5) Hemos trisecado el ngulo recto con vrtice en A.(6) Si repetimos este proceso en el vrtice B, obtenemos el tringuloequiltero ABC.

Construccin de tringulos equilteros en batera.


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ESTRELLA DE 6 PUNTAS.

Como aplicacin del tringulo equiltero vamos a construir unaestrella de seis puntas, con seis mdulos de papel cuadrado. Lospasos a dar sern un continuo repaso del tringulo equiltero y suselementos, de los ngulos de 30 y 60 y del hexgono.

Diagramas del mdulo:


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Unin de los mdulos:

resultado

Con pequeas variaciones obtenemos distintas estrellas yhexgonos que nos permiten plantear interesantes preguntas en elaula


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TETRAEDRO CON SOBRE 2x1

Esta figura, con la que pasamos a dimensin 3, afianza anms la construccin y comprensin de los ngulos de 30 y 60 y nospermite construir un poliedro regular cuyas caras son tringulosequilteros.


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DODECAEDRO RMBICO

CALENDARIO

Un dodecaedro muy interesante a pesar de no ser regular es eldodecaedro rmbico. El dodecaedro rmbico ya era conocido en elantiguo oriente, de hecho los cristales de granate, y en particular elAlmandino, crecen en dodecaedros rmbicos; pero se considera aKepler como su descubridor, aunque algunos historiadores opinanque Paccioli ya lo conoca.

El dodecaedro rmbico es un poliedro convexo con 12 carasuniformes que son rombos (la diagonal ms larga del rombo que

forma sus caras es 2 veces la longitud de la diagonal menor), y 14vrtices que no son uniformes.

Esta propiedad se apreciar muy bien en la construccin quevamos a hacer a continuacin, en la que distinguiremos dos tipos devrtices:

* 6 de orden 4 (4 caras, ngulos agudos)* 8 de orden 3 (3 caras, ngulos obtusos)

Otra de sus caractersticas es que se trata de un poliedro dearistas uniformes, es decir: que todas sus aristas renen un mismopar de caras.

Pertenece al grupo de los llamados slidos de Catalan que sonuna familia de poliedros que se generan con el dual de los slidos de

Arqumedes, fueron nombrados as por el matemtico belga EugneCharles Catalan que los estudi en 1865.El Dodecaedro rmbico tiene adems la caracterstica de llenar

completamente el espacio cuando juntamos varios de ellos. Lascondiciones que debe cumplir un poliedro para que esto se verifiqueson: que tengan aristas de la misma medida, que tengan algn tipode cara igual y que tengan ngulos diedros susceptibles decombinarse para sumar 360 y nuestro poliedro verifica todas ellas.

La unidad rmbica de la que damos los diagramas acontinuacin, fue diseada por Nick Robinson. Se parte de un papelrectangular con la proporcin DINA. Con 12 mdulos se obtiene eldodecaedro cuyas caras son rombos.


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y lo que se dijo anteriormente respecto a los dos tipos devrtices:6 de orden 4 (4 caras, ngulos agudos)8 de orden 3 (3 caras, ngulos obtusos)

La idea de utilizar este dodecaedro como calendario parti deHumiaki Huzita.

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