MATEMATICA AMICAModulo 1Esercizi e Materiale CLASSI TERZE

Giuseppe Candido

MATEMATICA AMICAModulo 1Esercizi e Materiale CLASSI TERZE�

2/2/2019 terze - Documenti Google

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Completa la seguente tabella



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Calcolo della probabilità

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Spazio e Figure

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Problemi

Giuseppe Candido

Teoria in sintesi

A16. NUMERI RELATIVI 1. Numeri relativi I numeri razionali preceduti dal segno + sono i numeri razionali positivi, che formano assieme allo zero l’insieme Q+. Quelli preceduti dal segno - sono i numeri razionali negativi, che formano assieme allo zero l’insieme Q-. L’insieme dei numeri razionali Q è l’unione Q = Q + ∪ Q-. L’insieme dei numeri irrazionali si indica con I. L’insieme dei numeri reali è l’unione R = Q ∪ I. 2. Confronto tra numeri relativi • Il valore assoluto di un numero positivo è il numero stesso, quello di un numero negativo è l’opposto del numero. • Sono concordi due numeri entrambi positivi o entrambi negativi. Un numero positivo e uno negativo sono discordi; se due numeri discordi hanno lo stesso valore assoluto sono opposti. • 0 è minore di ogni numero positivo e maggiore di ogni numero negativo; un numero positivo è maggiore di ogni numero negativo; tra due numeri positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore, tra due numeri negativi quello che ha valore assoluto minore.

3. Somma algebrica di numeri relativi Sottrarre un numero relativo è la stessa cosa che aggiungere il suo opposto. Addizione e sottrazione di numeri relativi prendono il nome di addizione algebrica. La somma algebrica è il risultato dell’addizione algebrica.

4. Calcolare somme algebriche • La somma algebrica di due addendi concordi è il numero relativo che ha come segno quello degli addendi e come valore assoluto la somma dei valori assoluti. • La somma algebrica di due addendi discordi è il numero relativo che ha come segno quello dell’addendo di valore assoluto maggiore e come valore assoluto la differenza dei valori assoluti. • La somma di due numeri opposti è sempre uguale a zero. 5. Moltiplicazione e divisione • Il prodotto di un numero per -1 è l’opposto del numero stesso. • Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo quando i due numeri sono concordi, negativo quando sono discordi. • Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti ed è positivo quando i due numeri sono concordi, negativo quando sono discordi

6. Radici con indice pari e con indice dispari La radice quadrata di un numero negativo non è un numero reale. La radice cubica è sempre concorde al radicando. La radice n-esima del numero x è il numero che elevato a n dà x: ( !! )! = !!. Il numero x si chiama radicando e n si chiama indice.

7. Potenze con esponente negativo • L’elevamento a potenza di un numero razionale diverso da zero a un esponente negativo è uguale all’elevamento a potenza del reciproco del numero

all’opposto dell’esponente: !!! = !!

!.

• Un numero è in notazione scientifica (o standard) se è scritto come prodotto di un fattore compreso tra 1 e 10 (1 compreso, 10 escluso) e di una potenza di 10. Il fattore che moltiplica la potenza di 10 è la parte significativa del numero. 8. Espressioni con i numeri relativi Per le espressioni con i numeri relativi valgono le stesse regole che abbiamo già visto per gli altri numeri. 1. Le parentesi indicano le precedenze nei calcoli. Per calcolare quanto vale un’espressione con le parentesi, dobbiamo cominciare a calcolare il valore delle espressioni che sono all’interno delle parentesi. Le parentesi più interne hanno la precedenza. 2. Come prima cosa svolgiamo tutte le potenze, le moltiplicazioni, le divisioni. 3. Poi calcoliamo le somme algebriche, nell’ordine in cui sono scritte. Se un’espressione contiene un segno meno davanti a una parentesi, possiamo cambiare tutti i segni che compaiono all’interno della parentesi e togliere la parentesi stessa.

A18. POLINOMI 1. Polinomi La somma algebrica di due o più monomi è un’espressione letterale che si lascia scritta per esteso e che si chiama polinomio. I monomi che formano il polinomio sono i suoi termini. Il grado di un polinomio è il grado massimo tra quelli dei suoi termini. Il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il grado massimo dei suoi termini rispetto a quella lettera. !!2. Polinomi in base al grado!• Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. • Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera quando i suoi termini sono scritti in modo che gli esponenti di quella lettera crescano o decrescano. • Un polinomio è completo rispetto a una lettera quando questa lettera compare con tutti gli esponenti, da 0 al numero corrispondente al grado del polinomio rispetto a quella lettera.

3. Operazioni tra polinomi • La somma algebrica di due polinomi è il polinomio che si ottiene sommando algebricamente i monomi presenti nei due polinomi. • Il prodotto di un polinomio per un monomio è un polinomio che ha come termini il prodotto di ciascun termine del polinomio per il monomio. • Il prodotto di due polinomi è il polinomio che ha per termini il prodotto di ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo. 4. Prodotti notevoli: quadrato e cubo di un binomio • Il quadrato di un binomio è il trinomio che si ottiene sommando algebricamente il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo termine.! • Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine. !5. Altri prodotti notevoli • Il quadrato di un trinomio è dato dalla somma dei quadrati dei tre termini, più la somma dei tre doppi prodotti. • Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza dei loro quadrati. !6. Operare con i polinomi • Il quoziente di un polinomio per un monomio è un polinomio che ha come termini i quozienti dei termini del polinomio per il monomio. • Le espressioni tra polinomi si chiamano espressioni algebriche; per esse valgono le stesse proprietà e le stesse precedenze che valgono per i numeri.

A17. MONOMI 1. Espressioni letterali Un’espressione letterale è una scrittura formata da numeri, lettere e segni d’operazione. Un’espressione letterale non cambia se la scriviamo con lettere diverse. Tutte le volte che in un’espressione compare una certa lettera questa rappresenta sempre uno stesso valore. 2. Monomi Le espressioni nelle quali compaiono solo le operazioni di moltiplicazione, divisione o elevamento a potenza si chiamano monomi. Un monomio nel quale tutte le lettere sono al numeratore si dice intero; uno nel quale almeno una lettera è al denominatore si dice fratto. 3. Grado di un monomio Un monomio si dice scritto in forma normale se ogni lettera compare una volta sola. Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. Il grado relativo di un monomio in forma normale rispetto a una lettera è l’esponente di quella lettera. 4. Monomi simili e somma di monomi • Due monomi che, in forma normale, hanno la stessa parte letterale si chiamano simili. Due monomi simili che hanno lo stesso coefficiente sono uguali; due monomi simili che hanno coefficiente opposto sono opposti. • La somma algebrica di due monomi simili è un monomio che ha come parte letterale la stessa parte letterale e come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti. La somma algebrica di due o più monomi è un’espressione letterale che si chiama polinomio.

5. Moltiplicazione, potenza e divisione di monomi • Il prodotto di due monomi è un monomio che ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto di tutte le lettere presenti nei monomi, ciascuna presa una volta sola, con esponente uguale alla somma degli esponenti con cui compare nei due monomi. • La potenza di un monomio è un monomio che ha come coefficiente la potenza, di uguale esponente, del coefficiente e come parte letterale il prodotto delle lettere del monomio iniziale con gli esponenti moltiplicati per l’esponente della potenza. • Il quoziente di due monomi è un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei coefficienti e come parte letterale quella formata da tutte le lettere dei due monomi, ciascuna presa una volta sola, con esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui compare nel dividendo e nel divisore.

A10. EQUAZIONI 1. Identità Un’identità algebrica è un’uguaglianza tra due polinomi verificata per tutti i valori delle lettere che vi compaiono. Per verificare che un’uguaglianza sia un’identità, scriviamo i due polinomi al primo e al secondo membro in forma normale. Se i termini simili hanno gli stessi coefficienti, l’uguaglianza è un’identità, altrimenti no. !2. Equazioni Un’equazione algebrica è un’uguaglianza tra due polinomi, dei quali almeno uno di grado superiore allo zero, che può essere verificata solo per alcuni valori delle lettere che vi compaiono. Risolvere un’equazione vuol dire trovare, quando esistono, i valori che sostituiti alle incognite rendono vera l’uguaglianza tra i due polinomi. Questi valori si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti. 3. Primo principio di equivalenza • Primo principio di equivalenza. Data un’equazione, se si somma o si sottrae al primo e al secondo membro uno stesso polinomio, si ottiene un’equazione equivalente. • Prima regola del trasporto. In un’equazione si può trasportare un termine da un membro all’altro cambiandolo di segno e trasformando l’equazione data in una a essa equivalente. • Regola di cancellazione. Cancellando i termini che compaiono identici nei due membri di un’equazione, si ottiene un’equazione a essa equivalente.

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4. Secondo principio di equivalenza • Secondo principio di equivalenza. Data un’equazione, se si moltiplicano o si dividono il primo e il secondo membro per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un’equazione a essa equivalente. • Seconda regola del trasporto. Si può trasportare un fattore moltiplicativo da un membro all’altro trasformandolo nel suo reciproco: l’equazione così ottenuta è equivalente a quella di partenza. • Regola del cambiamento di segno. Cambiando il segno a entrambi i membri di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

!!!!!!

5. Forma normale Un’equazione scritta come l’uguaglianza tra un polinomio in forma normale e zero è in forma normale. Il grado di un’equazione è il massimo grado dei monomi della sua forma normale. 6. Risoluzione di un’equazione Consideriamo l’equazione di primo grado in una sola incognita x ridotta in forma normale ax = b, dove a è il coefficiente di x e b è il termine noto. Quando a ≠ 0, la soluzione è il numero ! = ! !!.

8. Equazioni determinate, indeterminate e impossibili Un’equazione di primo grado è determinata se ha una soluzione. Un’equazione di primo grado è indeterminata se ogni numero reale è sua soluzione. Un’equazione di primo grado è impossibile se non ha soluzioni. 9. Equazioni e formule geometriche La formula di una misura significativa, espressione di alcuni segmenti fondamentali, è un’equazione che permette di trovare ciascun segmento se conosciamo la misura di tutti gli altri segmenti.

A20. PIANO CARTESIANO 1. Prodotto cartesiano Se A e B sono due insiemi, l’insieme A ×!B formato da tutte le coppie ordinate (a; b) si chiama prodotto cartesiano di A e B; nella coppia ordinata (a; b), il primo elemento, a, appartiene ad A e il secondo elemento, b, appartiene a B. 2. Sistema di riferimento cartesiano Due rette numeriche perpendicolari tra loro formano un sistema di riferimento cartesiano. Il punto comune alle due rette è l’origine (O) del sistema di riferimento cartesiano. Le due rette numeriche si chiamano assi cartesiani: la retta orizzontale si chiama asse delle ascisse o delle x, quella verticale si chiama asse delle ordinate o delle y. 3. Punto medio di un segmento Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono le medie aritmetiche delle coordinate dei due estremi A e B: !!! = !!!!!!

! !!!!!!!!!!!!!!!! = !!!!!!! !

!!4. Distanza tra due punti • La distanza tra due punti A e B che hanno la stessa ascissa è data dal valore assoluto della differenza delle ordinate di A e B, |yA - yB|. • La distanza tra due punti A e B che hanno la stessa ordinata è data dal valore assoluto della differenza delle ascisse di A e B, |xA - xB|. • La distanza tra due punti A e B è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate corrispondenti di A e B:

!" = (!!! − !!!)! + !(!!! − !!!)! 5. Rette parallele agli assi • L’asse delle ordinate è descritto dall’equazione x = 0. • L’asse delle ascisse è descritto dall’equazione y = 0. • Le rette parallele all’asse delle ordinate sono descritte dall’equazione x = k. • Le rette parallele all’asse delle ascisse sono descritte dall’equazione y = h.

6. Rette per l’origine Le rette che passano per l’origine sono descritte dall’equazione y = mx. Il numero m si chiama coefficiente angolare della retta. Se il coefficiente angolare è positivo, la retta attraversa il primo e il terzo quadrante; se è negativo, la retta attraversa il secondo e il quarto quadrante. Maggiore è il valore assoluto del coefficiente angolare, maggiore è la pendenza della retta. 7. Rette in posizione qualunque Una retta in posizione qualunque ha equazione y = mx + q. È parallela alla retta passante per l’origine y = mx e passa per il punto (0; q). Il numero m è il coefficiente angolare della retta. Il numero q è il termine noto. Il coefficiente angolare della retta passante per due punti A e B è il rapporto tra la differenza delle loro ordinate e la differenza delle loro ascisse:

! = !! − !!!! − !!!

8. Intersezione di due rette Due rette di equazione y = mx + q e y = m′x + q′ sono parallele se m = m′.

9. Rette perpendicolari Due rette incidenti y = mx + q e y = m′x + q′ sono perpendicolari se mm′= −1, ovvero se: ! = − ! !!!!!.

A21.%RELAZIONI%TRA%INSIEMI%E%FUNZIONI%%%1. Corrispondenza tra insiemi Una corrispondenza (o relazione) tra due insiemi associa a elementi del primo insieme elementi del secondo. Un elemento del secondo insieme si chiama immagine di un elemento del primo se è associato a questo. 2. Corrispondenze univoche Una corrispondenza è univoca se a ogni elemento del primo insieme associa al massimo un elemento del secondo. Una corrispondenza univoca è anche detta funzione. 3. Corrispondenze biunivoche Una corrispondenza tra due insiemi è biunivoca se a ogni elemento del primo insieme ne associa uno solo del secondo e se ogni elemento del secondo insieme è associato a un solo elemento del primo. 4. Relazioni in un insieme Una relazione in un insieme è riflessiva se ogni elemento dell’insieme è in relazione con se stesso. Una relazione in un insieme è simmetrica se, quando un primo elemento è in relazione con un secondo elemento, allora anche il secondo è in relazione con il primo. Una relazione in un insieme è transitiva se, quando un primo elemento è in relazione con un secondo e questo è in relazione con un terzo, allora il primo è in relazione anche con il terzo.

Una relazione in un insieme è antisimmetrica se, quando un primo elemento è in relazione con un secondo elemento e il secondo è in relazione con il primo, allora i due elementi sono uguali.

5. Relazioni di equivalenza e d’ordine Una relazione in un insieme che sia riflessiva, simmetrica e transitiva è una relazione di equivalenza. Una relazione in un insieme che sia antisimmetrica e transitiva è una relazione d’ordine. 6. Funzioni e grafici Una relazione univoca si chiama funzione. Una funzione da un insieme in se stesso si indica con la notazione ! = !!(!). L’elemento y è l’immagine di x. L’insieme dei punti del piano cartesiano della forma (!; !!(!)) è il grafico della funzione f.

7. Funzioni di proporzionalità diretta La funzione reale che descrive la proporzionalità diretta è y = mx. Il suo grafico è una retta che passa per l’origine degli assi cartesiani. 8. Funzioni di proporzionalità inversa La funzione reale che descrive la proporzionalità inversa è ! = !

!. Il suo grafico è un’iperbole. 9. Funzioni di proporzionalità quadratica La funzione reale che descrive la proporzionalità quadratica è ! = !!!. Il suo grafico è una parabola.

A22. LOGICA E INSIEMI 1. Proposizioni logiche Una proposizione logica è un’affermazione che ha un significato e della quale possiamo stabilire se è vera o falsa. Le proposizioni chiuse si riferiscono a un soggetto determinato. Le proposizioni aperte si riferiscono a un soggetto non determinato. 2. Proposizioni e insiemi Le proprietà caratteristiche degli insiemi sono proposizioni aperte. In logica, due proposizioni sono equivalenti se hanno lo stesso valore di verità. 3. Negazione: il connettivo “non” La negazione di una proposizione è la sua opposta. La negazione di p si indica con ¬!!. La negazione della proprietà caratteristica di un insieme è la proprietà caratteristica del suo complementare. La negazione della negazione di p è equivalente a p. 4. Congiunzione: il connettivo “e” La congiunzione di due proposizioni è la proposizione che le considera entrambe contemporaneamente. La congiunzione di p e q si indica con ! ∧ !. La congiunzione delle proprietà caratteristiche di due insiemi è la proprietà caratteristica della loro intersezione. 5. Disgiunzione: il connettivo “o” La disgiunzione di due proposizioni è la proposizione che ne considera almeno una delle due. La disgiunzione di p e q si indica con ! ∨ !. La disgiunzione delle proprietà caratteristiche di due insiemi è la proprietà caratteristica della loro unione.

6. Implicazione: il connettivo “se… allora…” In un’implicazione la prima proposizione, p, è la premessa, la seconda, q, è la conseguenza. L’implicazione è la proposizione che si ottiene quando facciamo discendere la conseguenza dalla premessa. L’implicazione tra p e q si indica con ! ⇒ !. L’implicazione delle proprietà caratteristiche di due insiemi indica che il primo è incluso nel secondo. 7. Quantificatori ∀!è il quantificatore universale e significa “ogni, qualunque, tutti”. ∃!è il quantificatore esistenziale e significa “alcuni, qualche, esiste almeno uno”.

A23. PROBABILITÀ CLASSICA, STATISTICA E SOGGETTIVA 1. Richiami di probabilità La probabilità di un evento probabile è sempre compresa tra 0 e 1. 0 < p(E) < 1 La probabilità di un evento certo vale 1: p(E) = 1 La probabilità di un evento impossibile vale 0: p(E) = 0 2. Alcune proprietà della probabilità La probabilità totale di due eventi E ed F è p(E∪F). La probabilità totale di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascuno degli eventi. La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascuno degli eventi meno la probabilità dei casi comuni. La probabilità totale di due eventi contrari è 1. La probabilità dell’evento F complementare dell’evento E è 1 meno la probabilità di E. 3. Probabilità classica La probabilità (classica) di un evento E è il rapporto tra il numero f dei casi favorevoli e il numero n dei casi possibili. 4. Probabilità statistica • La probabilità statistica di un evento E è il rapporto tra il numero f degli esiti favorevoli e il numero n delle prove effettuate. • Legge empirica del caso (o legge dei grandi numeri). Quando è stato effettuato un grande numero di prove, tutte nelle stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento si avvicina al valore della probabilità classica. La frequenza relativa è tanto più vicina alla probabilità classica quanto maggiore è il numero delle prove effettuate.

5. Probabilità soggettiva La probabilità soggettiva di un evento E è il rapporto tra il prezzo P che un individuo è disposto a scommettere e la somma S che vuole ricevere nel caso che l’evento si verifichi. 6. Confronto delle tre definizioni • La definizione classica si basa sull’idea che ci sono esiti che hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi e richiede di contare quanti sono i casi favorevoli e quanti sono i casi possibili. • La definizione statistica si basa sull’idea che ci sono eventi che si verificano sempre nelle stesse condizioni e richiede che vengano effettuate un numero grande di prove. • La definizione soggettiva si basa sull’idea che noi sappiamo esprimere quanto ci fidiamo (o meno) che un determinato evento si verifichi e richiede di quantificare il rischio che siamo disposti a correre attraverso una scommessa.

G16. POLIEDRI E LORO MISURE 1. Parallelepipedi e cubo Un parallelepipedo è un solido delimitato da sei parallelogrammi a due a due paralleli e congruenti. Possiamo scegliere ogni coppia di facce parallele come basi. La distanza tra le basi si chiama altezza. Un parallelepipedo nel quale due coppie di facce opposte sono formate da rettangoli è un parallelepipedo retto, altrimenti si dice obliquo. Un parallelepipedo nel quale le sei facce sono rettangoli è un parallelepipedo rettangolo. Il cubo è un parallelepipedo rettangolo le cui facce sono sei quadrati congruenti.!!!!2. Superficie dei parallelepipedi e del cubo Lo sviluppo di un poliedro è la figura piana formata da tutte le sue facce disposte in modo che, piegandola lungo gli spigoli, si ottiene il poliedro senza bisogno di tagli. L’area della superficie laterale di un parallelepipedo retto è il prodotto del perimetro di base per l’altezza. La superficie totale è la somma della superficie laterale e di quella delle due basi. 3. Volume dei parallelepipedi e del cubo Il volume del parallelepipedo rettangolo è il prodotto delle sue dimensioni. Il volume del cubo è il cubo della lunghezza dello spigolo. Il volume del parallelepipedo retto è il prodotto dell’area di una delle sue basi per l’altezza, cioè per la distanza tra le due basi. Il volume di un qualsiasi parallelepipedo è il prodotto dell’area di una delle sue basi per l’altezza relativa.

!!!!!!!!!!!!

4. Prismi Un prisma è un poliedro delimitato da due poligoni congruenti posti su piani paralleli e dai parallelogrammi che si ottengono unendo i vertici corrispondenti dell’uno e dell’altro poligono con un segmento. I due poligoni si chiamano basi. I parallelogrammi si chiamano facce laterali e compongono la superficie laterale. Un prisma è retto se le facce laterali sono rettangoli. Un prisma retto è regolare se le basi sono poligoni regolari. L’altezza di un prisma è la distanza tra i piani paralleli su cui giacciono le basi.

5. Superficie e volume dei prismi L’area della superficie laterale di un prisma retto è data dal perimetro di base per l’altezza. Il volume del prisma è il prodotto dell’area di base per l’altezza.

6. Piramidi Una piramide è un poliedro le cui facce laterali sono triangoli con un vertice in comune (il vertice della piramide) e con gli spigoli opposti al vertice che giacciono su uno stesso piano. La base è il poligono formato dagli spigoli complanari delle facce laterali. Le facce laterali compongono la superficie laterale. L’altezza della piramide è la distanza del vertice dal piano di base. Una piramide retta è una piramide in cui la base è circoscrittibile a una circonferenza e il piede dell’altezza è il centro della circonferenza stessa. L’altezza di una qualsiasi faccia laterale è l’apotema della piramide. Una piramide regolare è una piramide retta che ha come base un poligono regolare. 7. Superficie e volume delle piramidi L’area della superficie laterale di una piramide retta è il semiprodotto del perimetro di base per l’apotema. Il volume della piramide è un terzo del prodotto dell’area di base per l’altezza. 8. Tronchi di piramide Un tronco di piramide è il poliedro che si ottiene tagliando una piramide con un piano parallelo alla base: è delimitato dalle due basi che giacciono su piani paralleli e dai trapezi (facce laterali) che hanno come perimetro un lato di ciascuna base e i segmenti che congiungono gli estremi di questi lati. Le facce laterali compongono la superficie laterale. L’altezza del tronco di piramide è la distanza tra i piani delle due basi.

9. Superficie e volume del tronco di piramide L’area della superficie laterale di un tronco di piramide retto è il semiprodotto della somma dei perimetri delle due basi per l’apotema. Il volume del tronco di piramide è: ! = ! !! (!!! − !!ℎ). 10. I cinque poliedri regolari Un poliedro regolare ha tutte le facce che sono poligoni regolari congruenti tra loro. Esistono cinque tipi di poliedri regolari: • il tetraedro ha 4 facce triangolari, 6 spigoli e 4 vertici in cui concorrono 3 spigoli; • l’ottaedro ha 8 facce triangolari, 12 spigoli e 6 vertici in cui concorrono 4 spigoli; • l’icosaedro ha 20 facce triangolari, 30 spigoli e 12 vertici in cui concorrono 5 spigoli; • l’esaedro (o cubo) ha 6 facce quadrate, 12 spigoli e 8 vertici in cui concorrono 3 spigoli; • il dodecaedro ha 12 facce pentagonali, 30 spigoli e 20 vertici in cui concorrono 3 spigoli.

Giuseppe Candido

G17. SOLIDI DI ROTAZIONE 1. Rotazione attorno a una retta Una superficie di rotazione è la superficie individuata da una linea che ruota intorno a una retta, l’asse di rotazione. La superficie è formata da circonferenze, ciascuna delle quali giace su un piano perpendicolare alla retta. La linea che ruota si chiama generatrice della superficie di rotazione. Il solido racchiuso da una superficie di rotazione si chiama solido di rotazione. 2. Cilindro: superfici e volume Un cilindro circolare retto è il solido generato dalla rotazione di un rettangolo attorno a uno dei propri lati. La retta su cui giace il lato fisso è l’asse di rotazione. I due lati che ruotano perpendicolarmente all’asse di rotazione generano le due basi, che sono due cerchi i cui raggi sono i lati stessi. L’altezza è la distanza tra le due basi. La superficie laterale del cilindro è la superficie generata dal lato del rettangolo opposto a quello sull’asse di rotazione. La superficie totale è data dalla superficie laterale e dall’area dei due cerchi di base. La misura del volume è data dal prodotto dell’area del cerchio per l’altezza. !!"# = !2!" ∙ ℎ !!"! = !2!"!(ℎ + !) ! = !!! ⋅ !ℎ Un cilindro è equilatero se il diametro di base è congruente all’altezza del cilindro.

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3. Cono Il cono circolare retto è il solido generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno a uno dei propri cateti. L’ipotenusa del triangolo è l’apotema del cono. La retta su cui giace il cateto fisso è l’asse di rotazione. L’estremo dell’ipotenusa che appartiene all’asse di rotazione è il vertice del cono. Il cateto che ruota perpendicolarmente all’asse di rotazione genera la base, un cerchio il cui raggio è il cateto stesso. L’altezza è la distanza tra il vertice e la base. Un cono equilatero ha l’apotema congruente al diametro di base e la sua sezione con un piano che passa per l’asse di rotazione è un triangolo equilatero. 4. Superfici e volume del cono La superficie laterale del cono è la superficie generata dalla rotazione dell’apotema. La superficie totale è data dalla superficie laterale e dall’area del cerchio di base. Il volume del cono è un terzo del prodotto dell’area di base per l’altezza. !!"# = !!"# !!"! = !!"(! + !) ! = ! !!

!!!

5. Tronco di cono: descrizione e superfici Il tronco di cono è il solido generato dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno alla propria altezza. Il lato obliquo del trapezio è l’apotema del tronco di cono. La retta su cui giace l’altezza del trapezio è l’asse di rotazione. Le due basi che ruotano perpendicolarmente all’altezza generano le basi, due cerchi i cui raggi sono le basi del trapezio. L’altezza è la distanza tra le due basi. La superficie laterale del tronco di cono è la superficie generata dalla rotazione dell’apotema. La superficie totale è data dalla superficie laterale e dai due cerchi di base. !!"# = !!(! + !)! !!"! = !!(! + !)! + !!! + !!!

6. Volume di alcuni solidi di rotazione Il volume del tronco di cono è dato dalla formula: ! = !(!!!!"!!!)!

! 7. Sfera Una superficie sferica è la superficie di rotazione ottenuta da una semicirconferenza che ruota attorno al proprio diametro. Il centro e il raggio della semicirconferenza sono il centro e il raggio della superficie sferica. Una superficie sferica è la superficie chiusa formata dai punti dello spazio equidistanti da un punto dello spazio detto centro. Preso un punto della superficie sferica, il segmento che lo unisce al centro è un raggio. La sfera è il solido delimitato dalla superficie sferica. I punti della sfera hanno distanza dal centro minore o uguale al raggio. Un piano è esterno alla sfera se la sua distanza da O è maggiore di r; è tangente alla sfera se la sua distanza da O è uguale a r; è secante la sfera se la sua distanza da O è minore di r. Una circonferenza massima è una circonferenza ottenuta dall’intersezione della superficie sferica e di un piano che passa per il suo centro. 8. Volume della sfera Il volume della sfera è dato dalla formula: ! = !!!!

! 9. Area della superficie sferica L’area della superficie sferica è data dalla formula: ! = 4!!!

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