LOS NÚMEROS RACIONALES. LAS FRACCIONES

Los números racionales surgen de la necesidad de expresar cantidades menores que la unidad. Para ello, se utilizan unas expresiones numéricas llamadas fracciones.

CONCEPTO DE FRACCIÓN

Una fracción es una expresión matemática que consta de dos números naturales separados por una línea horizontal o inclinada. Por ejemplo:

43

4

3

EL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES

Dependiendo del contexto en el que se trabaja, las fracciones pueden tener diferentes significados:

I.- LA FRACCIÓN COMO EXPRESIÓN DE UNA DIVISIÓN.

La operación de división admite diferentes representaciones, entre las que se encuentran las expresiones en forma de fracción.

15 | 3 . = 15 : 3 = =

En este caso, los términos de la fracción serían: el dividendo (15) y el divisor (3) .

II. LA FRACCIÓN COMO EXPRESIÓN DE UNA RAZÓN.

Una razón matemática es una expresión, con forma fraccionaria, en la que se representa la relación existente entre los datos correspondientes a dos magnitudes físicas. Por ejemplo:

3

153

15

En la etiqueta de un determinado producto de limpieza podemos leer la siguiente frase: “ diluir en agua a razón 2/5”; lo que significa que: “por cada 2 partes de producto, debemos echar 5 partes de agua”. En este contexto, sólo se pretende expresar la relación en la que debemos mezclar el producto y de agua para que la mezcla sea efectiva.

Los términos de una razón reciben los nombres de antecedente y consecuente.

El concepto de razón se estudiará con más profundidad en el tema de proporcionalidad.

III.- LA FRACCIÓN COMO EXPRESIÓN DE UNA CANTIDAD EN SÍ MISMA.

Cuando la fracción hace referencia a la unidad, adquiere valor en sí misma y, por lo tanto, representa una determinada cantidad. En este caso, hablamos de las fracciones como representantes de un número racional y sus términos reciben el nombre de numerador y denominador.

- El denominador representa el número de partes iguales en las que se divide a la unidad y, por tanto, define el tamaño de los trozos (cuanto más grande es el denominador, más pequeño es el trozo que tomamos como referencia).

- El numerador indica el número de esos trozos a los que queremos hacer referencia.

IV.- LA FRACCIÓN COMO OPERADOR.

Cuando las fracciones, en lugar de hacer referencia a la unidad, van referidas a un conjunto de elementos, se habla de ellas como “operadores”. En este caso, la cantidad no queda definida con la fracción sino que depende del número de elementos que tenga ese conjunto. No es lo mismo 3/5 de 10 € que 3/5 de 10.000 €.

Para calcular el valor de una expresión en la que una fracción actúa como operador seguimos los siguientes pasos:

Ejemplo: “De un grupo de 30 alumnos 2/5 partes son chicos. ¿Cuántos chicos hay en el grupo?

- Según el denominador, debemos partir el grupo en 5 partes iguales.

30 : 5 = 6 alumnos en cada parte.

- Y, según el numerador, deben seleccionarse dos de esas partes. Por lo tanto,

6 . 2 = 12. Los 2/5 de 30 son 12.

Cuando las fracciones actúan como operadores, el valor de la expresión que representan también se puede calcular multiplicando la fracción por el total de elementos que hay en el conjunto. En nuestro caso:

Los 2/5 de 30 se calcularía:

EL VALOR DE LAS FRACCIONES

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES SEGÚN SU VALOR

Para calcular el valor decimal de una fracción se divide el numerador entre el denominador y, en su caso, se obtienen las cifras decimales que sean necesarias.

I.- FRACCIONES PROPIAS

Son aquellas en las que el numerador es menor, en valor absoluto, que el denominador. Por lo tanto, representan valores inferiores a la unidad.

II.- FRACCIONES IMPROPIAS

Son aquellas en las que el numerador es mayor, en valor absoluto, que el denominador. Por lo tanto, representan valores superiores a la unidad.

III.- FRACCIONES IGUALES A LA UNIDAD

Son aquellas en las que el numerador es igual al denominador. Por lo tanto, el cociente entre ambos términos es la unidad.

IV.- FRACCIONES DE VALOR ENTERO

Son aquellas en las que el numerador es un múltiplo del denominador. Por lo tanto, el cociente entre ambos términos es exacto.

V.- FRACCIONES CON VALOR POSITIVO

Son aquellas en las que el numerador y el denominador tienen el mismo signo. Por lo tanto, al hacer el cociente entre los términos, el resultado siempre es positivo.

VI.- FRACCIONES CON VALOR NEGATIVO

Son aquellas en las que el numerador y el denominador tienen distinto signo. Por lo tanto, al hacer el cociente entre los términos, el resultado siempre es negativo.

VII.- FRACCIONES EQUIVALENTES A CERO

Son aquellas que tienen cero como numerador.

252́4

9 252́

4

9

252́4

9

4

9

4

9

4

9

252́4

9 252́

4

9

252́4

9

4

9

4

9

4

9

09

0

5

0

4

0

FRACCIONES EQUIVALENTES

Llamamos fracciones equivales a aquellas fracciones que representan un mismo valor. Por ejemplo:

Dos fracciones dadas son equivalentes cuando los productos cruzados de sus términos también son equivalentes.

MÉTODOS PARA OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA

I.- AMPLIFICACIÓN. Consiste en multiplicar los dos términos d la fracción por un mismo número.

II.- SIMPLIFICACIÓN. Consiste en dividir los dos términos de la fracción entre un mismo número.

Cuando una fracción no se puede simplificar se dice que es irreducible.

III.- FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA FIJANDO UNO DE SUS TÉRNINOS

A veces se hace necesario encontrar una fracción equivalente a otra dada pero con un valor fijo como numerador o como denominador. Para encontrar el otro término de la fracción equivalente debemos seguir los siguientes pasos:

1º Estudiar si se trata de una ampliación o de una simplificación.

es una amplificación ; es una simplificación

2º Calcular el número por el que se multiplican o dividen los términos de la fracción conocida para obtener la equivalente. Para ello, se divide entre si los numeradores o denominadores conocidos. 30 : 5 = 6 ; 48 : 6 = 8 3º Una vez encontrada la relación entre las dos fracciones, se calcula el término que falta aplicando la misma operación.

IV.- FRACCIONES EQUIVALENTES A OTRAS DADAS CON IGUAL DENOMINADOR.

A la hora de sumar, restar o comparar cantidades, es necesario que éstas estén expresadas en el mismo orden de unidades. Por ejemplo, para poder sumar, restar o comparar cantidades expresadas en metros con otras expresadas en centímetros, es necesario que previamente se expresen esas cantidades en el mismo orden de unidades.

5 metros + 300 centímetros = 305 ¿? no tiene sentido

Para realizar esta operación debemos expresar Como 5 metros = 500 cm. 500 cm. + 300 cm. = 800 cm. los sumandos en el mismo orden de unidades Como 300 cm. = 3 metros. 5 m. + 3 m. = 8 m

.

Como en el caso de las fracciones, el tipo de unidades viene definido por el denominador (el denominador determina el tamaño de los “trozos” en el que se divide a la unidad), se hace necesario poder expresar las fracciones en otras equivalentes a las dadas pero con un mismo denominador.

Para ello, se utiliza el método de amplificación fijando como denominador común el m.c..m. de los denominadores. Como el m.c.m. de 3 y 4 es 12, se obtienen fracciones equivalentes a las dadas pero con el número 12 como denominador.

CÓMO PASAR FRACCIONES A MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR.

Pasar las siguientes fracciones a mínimo común denominador: , Y

Pasos a seguir:

1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores:

12 2 15 3 20 2 12 = 22 . 3 6 2 5 5 10 2 15 = 3 . 5 m.c.m. = 22 . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60

3 3 1 5 5 20 = 22 . 5 1 1

2º Se calculan los numeradores correspondientes fijando como denominador común el m.c.m. calculado en el paso anterior.

60 : 12 = 5 60 : 15 = 4 60 : 20 = 3

CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL

Llamamos número racional a cada una de las clases de equivalencia que se puede establecer entre las fracciones. Esto es, un número racional está formado por una fracción y todas aquellas fracciones que sean equivalentes a ella. Por ejemplo:

El número racional estará formado por la fracción y todas aquellas fracciones que sean equivalentes a ella.

Los números racionales suelen representarse escribiendo entre llaves la fracción irreducible de esa clase de equivalencia (representante canónico). Por ejemplo:

Indica el número racional al que pertenece la fracción:

Para encontrar el representante canónico del número racional al que pertenece la fracción , simplificamos esta fracción hasta obtener la fracción irreducible.

o directamente : M.C.D.(24 y 40) = 8

Por lo tanto, la fracción pertenece al número racional

NÚMEROS MIXTOS

Las fracciones impropias (mayores que 1) se expresan como número mixto para facilitar la comprensión de su valor. Por ejemplo, es más fácil entender la expresión “nos vemos dentro de 3 ¼ horas”, que la expresión “nos vemos dentro de 13/4 de hora”.

Como vemos en el ejemplo, un número mixto consta de una parte entera y una parte fraccionaria.

I.- CÓMO PASAR UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO

Para expresar una fracción impropia como número mixto basta con realizar la división entre numerador y denominador, sin sacar decimales. El cociente es la parte entera del número mixto y el resto de la división (correspondiente a la parte decimal) se expresa en forma de fracción. Por ejemplo.

En general:

II.- CÓMO PASAR DE NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN

Un número mixto se puede expresar en forma de fracción siguiendo los siguientes pasos:

1º Se escribe la parte entera del número mixto como una fracción cuyo denominador coincida con el de la fracción.

2º Después se juntan los numeradores y se deja como denominador el mismo.

Errores frecuentes a la hora de trabajar con números mixtos.

a) Asociar el número mixto con la suma de un entero y una fracción.

b) Al no escribir un signo entre la parte entera y la fracción, hay posibilidad de confundir el número mixto con la multiplicación de un entero por una fracción.

 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL VALOR DE LAS FRACCIONES

Si queremos representar el valor de un número racional en la recta numérica es aconsejable pasar la fracción a número mixto y simplificar la parte fraccionaria. Por ejemplo:

Una vez hecho esto, nos situamos en la unidad que indica la parte entera del número mixto (en nuestro caso, el 3) y dividimos la siguiente unidad en tantas partes iguales como indica el denominador de la fracción (en nuestro caso, en 4 partes iguales).

Por último, avanzamos tantas partes como indique el numerador de la fracción (en nuestro caso, 3 partes). Allí estará el punto exacto correspondiente al valor de ese número racional.

ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

CRITERIOS PARA ORDENAR NÚMEROS RACIONALES

I.- Las fracciones con igual denominador se ordenan en función de los numeradores. La fracción con el numerador más grande será la fracción de mayor valor. Si tenemos varias fracciones con distinto denominador es aconsejable pasarlas a común denominador para poderlas comparar.

Ordenar de mayor a menor los siguientes números racionales:

Pasamos las fracciones a común denominador.

Se ordenan en función a los numeradores:

Por lo tanto:

II.- Si varias fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tenga el denominador más pequeño, ya que los trozos de referencia serán de mayor tamaño.

Ordenar de mayor a menor los siguientes números racionales:

Observa como los denominadores se ordenan de menor a mayor

III.- También se pueden ordenar fracciones atendiendo al valor decimal que representan.

Ordenar de mayor a menor los siguientes números racionales: