22

Fracciones, Razones y Proporciones

FRACCIONES

NÚMEROS RACIONALES Es el cociente de la división de dos números enteros “a” y “b”, donde b ≠ 0.

v Al conjunto de números racionales se le denota por: Q NÚMERO FRACCIONARIO Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros, si denotamos por f al número fraccionario, tendremos:

fab

= donde a ≠ b0

; b ≠ 0, a y b ∈ Z

Ejemplo:

-32 ;

75 ;

83− , etc.

No son números fraccionarios expresiones como : 7

14 ;

2104

; 1236

FRACCIÓN:

Es el número fraccionario que presenta sus dos términos positivos. fab

= fracción con a y b ∈ Z+

donde :

• a ≠ b0

(a no es divisible por b), a es el numerador. • b ≠ 0, b es el denominador.

CLASIFICACIÓN : I.- Por la comparación de su valor con respecto de la unidad: - ) F. PROPIA: Es aquella cuyo valor es menor que la unidad; es decir el numerador es menor que el

denominador. Así :

babaf <→<= 1 Ejemplos: etc,

54,

73,

32

-) F. IMPROPIA : Es aquella cuyo valor es mayor a la unidad; es decir el numerador es mayor que el

denominador. Así :

babaf >→>= 1 Ejemplos: etc,

45,

37,

23

Nota : Las fracciones impropias generan los llamados números mixtos, los cuales están constituidas por una parte entera y una fracción propia

Ejm.: 512 2

511

51 +==

II.- Por su denominador : -) F. ORDINARIA O COMÚN: es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.

23

Ejms.: etc,13731;

9011;

78;

173

-) F. DECIMAL : es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejms.: etc,1000

24;100

3;1011

III.- Por la razón de igualdad o desigualdad entre sus denominadores: -) HOMOGÉNEAS : Cuando tienen el mismo denominador.

Ejms.: etc,1517;

1516;

157;

153

-) HETEROGÉNEA : Cuando tienen denominadores diferentes.

Ejms.: etc,2017;

1815;

117;

93

IV.- Por los divisores de sus términos:

-) F. IRREDUCTIBLES : Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre sí (no se pueden simplificar) .

Ejms.: 35

711

1619

1720

; ; ; ,etc

-) F. REDUCTIBLES: Son aquellas fracciones cuyos términos tienen factores comunes (se pueden

simplificar) .

Ejms.: etc,3417;

1816;

147;

63

MCD y MCM de Números Fraccionarios :

1.- MCD(ba

;dc

;…;yx

) = )y,...,d,b(MCM)x,...,c,a(MCD

2.- MCM(ba

;dc

;…;yx

) = M C M a c xM C D b d y

( , , . . . , )( , , . . . , )

Ejm.: Encontrar el MCD y MCM de :

1 54

59

43

38

; ; y

Solución

M C DM C DM C M

= =( , , , )( , , , )15 5 4 34 9 3 8

172

MCMMCMMCD

= = =( , , , )( , , , )15 5 4 34 9 38

601

60

PROPIEDADES Y OPERACIONES FRACCIONES EQUIVALENTES : una fracción es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Es decir numerador y denominador son multiplicados y divididos por el mismo valor numérico k, donde k ∈ z - {0}.

ab

a kb k

= x

x ó

ab

a kb k

b k=÷÷

≠ ≠, , 0 0

Ejemplo: 128

4342

32

==xx ó

34

515520

1520

=÷÷

=

donde yx,...,

dc,

ba son

fracciones irreductibles.

24

Comparación :

-) ab

cd

ad bc= → = Ejemplo: )8(3)12(2128

32 =→=

-) ab

cd

ad bc≤ → ≤ , a>0, b>0, c>0 y d>0

Ejemplo: )7(5)4(347

53

≤→≤ ,

HOMOGENIZAR : significa hacer que las fracciones tengan el mismo denominador.

Ejm : 69

3x23x3

23

==

4

102x22x5

25

==

Adición : 1522

)5(3)4(3)2(5

54

32

=+

=+

Sustracción :

15

2)5(3

)4(3)2(554

32 −

=−

=−

Multiplicación :

158

5342

54

32

==xxx

División :

65

1210

4352

45

32

54

32 ====÷

xxx

Deducciones :

*) 231

32

= *) 1514

)5(3)7(2

7532

==

*) 38

8131

= *) 6)3(22

31

==

*) 152

532

532

==x

*) 3

103

)5(2

5132

==

*) 61

)3(21

321

==

*) 73

1)3(23

21

31

=+

=+

*) 5

135

3)5(2532

532 =

+=+=

*) 23

32 1

=

−

*) 44

5372

75

32

=

÷

xx

*) 44

5273

75

32

=

−

xxx

Observación : Las proposiciones: De, del, de los, antepuesta a una fracción, usualmente indican una multiplicación; mientras que la proposición Por nos indica una división. Ejemplo:

Hallar los 43

de los 57

de 5 por 7 de 200

Solución: 15020075

57

43

=xxx

25

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DECIMALES Y LAS FRACCIONES

Al dividir los términos de una fracción irreductible se obtienen números decimales. Números decimales son : • Decimales Exactos ( D. E.) o Decimal Terminante • Decimales Inexactos ( D. I. ) *) D. Exacto : Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando el denominador sea una

potencia de 2 y/o una potencia de 5. OBS.: El número de cifras decimales de un número decimal exacto, estará dado por el mayor exponente de

2 ó 5 que tenga el denominador de la fracción.

Ejm : 161

= 421

= 0,0625 genera 4 cifras decimales

403 =

523

3 x= 0,075 genera 3 cifras decimales

Fracción generatriz

0100

,abab

= , 01000

,abcabc

=

Ejemplos:

209

1004545,0 == ,

81

1000125125,0 ==

*) D. Inexacto : Una fracción irreductible originará un decimal periódico puro cuando el valor del denominador

sea diferente de: un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5.

Ejm : 31 = 0,333 ... = 0, 3

)

OBS.: El número de cifras del periodo está dado por el menor número de nueves que contiene al denominador como factor.

- Si el denominador es el producto de varios factores primos, el número de cifras del periodo está dado por el MCM de los menores números de nueves que contienen a dichos factores primos. TABLA DE NUEVES

9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271

999999 = 33 x 7 x 11 x 13 x 37

Ejm : .....815724815724815724,0407233

=

407 = 11x37 ; El menor número de nueves que contiene a 11 es el 99 (dos nueves) y El menor número de nueves que contiene a 37 es el 999 (tres nueves) , luego El MCM (2,3) = 6 cifras periódicas que son 572481.

Fracción generatriz

110a

9a....aaa,0

−== ,

1210ab

99ab....ababab,0

−==

1310abc

999abc....abcabcabc,0

−==

D. I. Periódico Puro D. I. Periódico Mixto

26

Ejemplos:

1103

93....333,0

−== ,

11027

9927....272727,0 2 −

==

110127

999127....127127127,0 3 −

==

*) D.I.P. Mixto : Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al

descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor diferente.

OBS.: La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el

número de cifras decimales de un decimal exacto y el número de cifras de la parte periódica está dado por la regla del número de cifras de un decimal periódico puro.

Ejm : 2723977272727,0112

35118

358835

3 ===xx

........

23 → 3 cifras no periódicas que son 397. 11 → 2 “nueves” genera 2 cifras periódicas que son 72.

Fracción Generatriz

900

,0...,0 ababccababccc −==

∩

9900

cd ,0...,0 ababcdababcdcdcd −==∩

Ejemplo : 0,277777... =2)3(2

5185

9025

90227

===−

2 → 1 cifra no periódica que es el 2. 32 → 1 “nueve” genera 1 cifra periódica que es el 7.

FRACCIÓN DECIMAL ILIMITADA Presentan un número indefinido de cifras, pueden ser :. *) Números Irracionales. Ejms.:

2 = 1, 4142136 … 3 = 1,7320506 … 5 = 2,236067 …

23 = 1,25992 … 33 = 1,442249

Ejms: π = 3,1416 … e = 2,718281 …

27

Ejercicio sobre Fracciones Generatrices

Sabiendo que 1,7a =31

57

+ , entonces el valor de a2 -a es:

a) 2 b) 6 c) 12 d) 20 e) 0

RESOLUCIÓN

31

57

+ = 1526

15521

=+

= 1,733333333…. = 1,73 luego a = 3

Entonces el valor de a2 – a = 32 – 3 = 6

Rpta.- alternativa ( b ) DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DEL FACTORIAL DE UN NÚMERO

N! = Aa. Bb. Cc …..Pp

Donde : A , B, C, …..P , son números primos y P ≤ N a , b , c, ……, p , son enteros positivos. Los exponentes correspondientes (a, b, c, ….p) a cada uno de sus factores primos ( A , B, C, ….P) , se pueden hallar dividiendo el número “N” entre cada número primo sucesivamente hasta obtener un cociente menor que el número primo. Se suman todos los cocientes obtenidos y el resultado es el exponente. Ejemplo: Descomponer canónicamente 14!

14! = 2ª. 3b. 5c. 7d. 11e. 13f Para obtener el exponente de 2

14 2 0 7 2

1 3 2 1 1 a = 7 + 3 + 1 = 11

Para obtener el exponente de 3 :

14 3 2 4 3

1 1 b = 4 + 1 = 5

Para obtener el exponente de 5

14 5 4 2 c = 2

Para obtener el exponente de 7

14 7 0 2 d = 2

Para obtener el exponente de 11

14 11 3 1 e = 1

Para obtener el exponente de 13

14 13 1 1 f = 1

Por consiguiente : 14! = 211. 35. 52. 72. 11 . 13

INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER (∅(N))

Si la descomposición Canónica de N es : N = Aa. Bb. Cc …….. Se denomina Indicador de un entero positivo, a la cantidad de números menores que el entero positivo que son Pesi (Primos entre sí) con él.

∅(N) = Aa-1. (A – 1)Bb-1. (B – 1)Cc-1 (C – 1) …….. Ejemplo : ¿Cuántos números no mayores que 35000 son primos relativos con él? Solución:

28

Descomponiendo canónicamente: 35000 = 23. 54 . 7 luego : ∅(35000) = 23-1. (2 – 1)54-1 (5 – 1) 71-1 (7 – 1) ∅(400) = 4(1).53(4).1(6) ∅(400) = 12000

La expresión de Euler también se puede expresar: ∅(N) = N (1 – 1/A) (1 – 1/B)(1 – 1/C) …….. Con los datos anteriores: ∅(400) = 35000 (1 – 1/2) (1 – 1/5) (1 – 1/7) = 3500(1/2)(4/5) (6/7) = 12000

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. De un cilindro que contiene 100 litros de agua, se extrae primero (x+20) litros, luego la mitad del resto. Si aún quedan 20 litros. ¿Cuántos litros se sacó en la primera oportunidad? a) 40 b) 50 c) 30 d) 45 e) 60

RESOLUCIÓN

Al inicio el cilindro tiene: 100 litros Según enunciado:

21

(80 – X) = 20

80 – X = 40 ∴ X = 40 litros Entonces en la primera oportunidad se sacó: X + 20 = 40 + 20 = 60 litros

Rpta.- alternativa ( e ) 2. Tres caños llenan un tanque con agua cuya capacidad es de 14910 litros; el primer caño suministra 360

litros en 1,5 minutos; el segundo, 70 litros en 1/2 minuto; y el tercero, 380 litros en 2 minutos. Además, el tanque tiene un caño por donde salen 75 litros en 30 segundos. Si el tanque está vacío y se abren los 4 caños al mismo tiempo, éste se llenará en: a) 35,5minutos b) 30,0minutos c) 37,5minutos d) 33,5minutos e) 32,0minutos RESOLUCIÓN

1° llave : A

Q1 =min

240

231

360

min5,1360 litlitros

==

signo positivo por estar llenando. 2° llave : B

Q2 =min

140

21170

min5,070 litlitros

== signo positivo por estar llenando.

3° llave : C

Q3 =min

190min2

380 litlitros= signo positivo por estar llenando.

Se extrae Queda 1° X + 20 80 – X 2°

21

(80 – X) 21

(80 – X)

14910 Litros

29

Antecedente - consecuente = R. A.

4° llave : D (desague)

Q4 =min

150

21175

min5,075 litlitros

−=−=− signo negativo por estar vaciando.

El Caudal Total será:

QT = min

240 lit+

min140 lit

+ min

190 lit-

min150 lit

QT = min

420 lit

Aplicando una regla de tres simple tenemos: 420 ltos min1→ 14910 ltos minx→

420x = 14910 x = 35, 5 min

Rpta.- alternativa ( a )

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN Es el resultado que se obtiene al compararse dos cantidades homogéneas mediante una determinada operación. n ) Si la comparación se realiza mediante una diferencia, la razón se denomina Razón Aritmética(R.A) Es decir: n ) Si la comparación se realiza mediante un división, la razón es denominada Razón Geométrica Es decir:

En general: r a = a - b r g = a ÷ b donde : r a : Razón Aritmética r g : Razón Geométrica

a : antecedente b : consecuente

PROPORCIÓN

Es la relación de igualdad que se establece entre dos razones homogéneas. n ) Si la relación de igualdad se establece entre dos razones aritméticas se llama Proporción Aritmética. n ) Si la relación de igualdad se establece entre 2 razones geométricas se llama Proporción Geométrica.

En general:

P. Aritmética : a - b = c - d P. Geométrica :

a / b = c / d

Antecedente ÷ Consecuente = R. G

30

donde: b y c : términos medios a y d : términos extremos.

a y c : antecedentes b y d : consecuentes.

CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA

P.A. Discreta: Aquella en la que sus 4 términos son números diferentes. a - b = c - d

Cada término es cuarta diferencial de los demás. así: d : cuarta diferencial de a, b y c

* Cuarta diferencial : d = (b + c) – a

P.A. Continua: Aquella en la que sus términos medios son números iguales.

a - b = b – c Cada término igual es media diferencial de los demás. Cada término diferente es tercera diferencial Entonces : b : media diferencial de a y c c : tercia diferencial de a y b

* Media diferencial o Aritmética: ba c

=+2

* Tercera o Tercia diferencial: c = 2b - a

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS P.G. Discreta:

Aquella en al que sus 4 términos son diferentes. ab

cd

=

Cada término es cuarta proporcional de las demás. d : cuarta proporcional de a, b y c

* Cuarta proporcional: dbca

=

P. G. Continúa:

Aquella en la que los términos medios son números iguales. ab

bc

=

Cada término igual es media proporcional de los otros dos, cada término diferente es tercera proporcional de los demás. Luego :

b : media proporcional de a y c c : tercera proporcional de a y b.

* Media Proporcional o Geométrica: b ac=

31

* Tercera o Tercia Proporcional : cba

=2

Ejemplos 1.- La cuarta diferencial de A, B y C es 29, la

tercera proporcional de A y B es 36 y la media diferencial de B y C es 39. Hallar la tercera diferencial de A y C. a)25 b)24 c)21 d)20 e)23

Solución

• ) A – B = C – 29

B + C = A + 29 è I

• ) A = B B 36 B2=36(A) è II

• ) B – 39 = 39 – C B + C = 78 è III Reemplazando III en I tenemos:

B + C = A + 29 78 = A + 29 A = 49 Reemplazando A=49 en II tenemos: B2=36(A) B2=36(49) B=6(7) B = 42 Reemplazando B=42 en III tenemos: B + C = 78 42 + C = 78 C = 36

• La tercera diferencial de A y C: 49 – 36 = 36 – x

x = 23

Rpta: e

PROPIEDADES

1.- Si 32

=128

⇒ 3

32 ±=

12128 ±

2.- Si 32

=128

⇒3232

−+

= 128128

−+

3.- Si 32

=128

⇒ 123123

8282

−+

=−+

4.- Si 32

=128

⇒ 812

823

2+

=+

5.- Si32

=128

⇒ 812

823

2−

=−

6.- Si 32

=128

⇒ 12382

++

= 32

= 128

7.- Si 32

=128

⇒ 12382

−−

= 32

= 128

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

Se denomina así al conjunto de más de 2 razones que tienen el mismo valor.

Ejm.: 12

24

36

48

0 5= = = = ,

En general : ab

ab

ab

ab

k In

n

1

1

2

2

3

3= = = = =.. . .. .( )

Ejemplo: )...(128

96

64

32 Ik==== , k =

32

Donde : a1, a2, a 3, …, a n : Antecedentes. b1, b2, b3, …, b n : Consecuentes. k : Valor constante o constante de proporcionalidad.

33

PROPIEDADES : Dada una serie de Razones Equivalentes como ( I ) entonces :

1° Propiedad: a a a ab b b b

kn

n

1 2 3

1 2 3

+ + + ++ + + +

=......

Ejemplo: 32

129638642

==++++++ k

2° Propiedad: a a a ab b b b

kn

n

n1 2 3

1 2 3

x x x x

x x x x

. . .. ..

=

Ejemplo: 8116

32

129638642 4

4 =

== k

xxxxxx

Donde : n : Número de razones que conforman la serie. 3° Propiedad:

si ab

aa

aa

ab

km

m

m

m

m

mnm

nm

m1

1

2

2

3

3= = = = =...

Ejemplo: si 3

33

3

3

3

3

3

3

3

32

128

96

64

32

===== k

Aplicando la primera propiedad: a a a ab b b b

km m m

nm

m m mnm

m1 2 3

1 2 3

+ + + ++ + + +

=......

Ejemplo: 3

3333

3333

32

129638642

==

++++++ mk

4° Propiedad: a a a a

b b b bab

ab

m m mnmm

m m mnmm

1 2 3

1 2 3

1

1

2

2

+ + + +

+ + + += =

...

...=

ab

ab

kn

n

3

3= =...

Ejemplo : 64

32

12963

86423 3333

3 3333

==+++

+++ =32

128

96

=== k

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. En una reunión por cada 5 varones hay 7 mujeres. Si de los varones, los casados es a los solteros como 8 es a 3. Hallar la relación entre los varones casados y el total de personas que hay en dicha reunión a) 6/13 b) 10/33 c) 7/ 55 d) 4/41 e) 7/37 RESOLUCIÓN

kk

mH

75

= H = 5k

m = 7k

H = HL + HC 38

=L

C

HH

3

38 +=

+

C

LC

HHH

8

11=

CHH

8

115=

CHk

kHC 1140

=

??=+ mH

H C

34

222222=+

=+pm

ca

3310

)12(1140

175

1140

==+ k

kkk

k

Rpta.- alternativa ( b )

2. Dados Ndcbadc

ba

∈== ,,,;72

420,22 ==+ adca El valor de ad − es:

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 RESOLUCIÓN

Ndcba

dc

ba

∈== ,,,;72

( )Npmpdmbpcma

∈====

,7722

v Se conoce: m + p = 11 v También:

m.p = 30 Dando formas:

6.530.6511

==+==+

pmpm

i. Si 6;5 == pm

El valor ad − , será: ( ) ( ) 325267 =−

ii. Si 5;6 == pm

( ) ( )32

236257=−∴

=−=−ad

clavehaynoad

Rpta.- alternativa ( c ) EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un recipiente con agua contiene 1/5 de lo que no contiene, se retira 1/8 de lo que falta por llenar y luego se agrega 1/5 de lo que queda, obteniéndose 90 litros. ¿Cuántos litros es la cuarta parte de lo que contenía inicialmente?

a) 80 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

2. ¿Cuantas cifras no periódicas posee el número decimal originado por la fracción 13

1327 −

?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. Del grafico el valor de y

nk es:

a) 7

b) 9

c) 12

d) 35/3

e) 15/4

A

B

18

n

12

k 15 y 30

BDPA

BIPA