Lineær Algebra, 20181. kursusgang

Lisbeth Fajstrup

Institut for Matematiske FagAalborg Universitet

LinAlg September 2018

Velkommen til Lineær algebra

Kursusholder - Lisbeth Fajstrup.Kontor: Skjernvej 4A, 5-132Email:fajstrup@math.aau.dkHjemmeside:http://people.math.aau.dk/˜ fajstrupBlog (ikke aktiv mere)http://numb3rs.math.aau.dkNy blog:http://blog.math.aau.dk

Struktur og praktiske bemærkninger

Idag:Forelæsning kl. 8:15 – 10:00 i Auditorium 6.Opgaveregning: kl. 10:10 – 12:00 i grupperummene.

Overordnet struktur

22 kursusgange a 4 timerHeraf 4 selvstudiegange- I arbejder i grupperne med en størreopgave. Støttet af hjælpelærerne.18 sædvanlige kursusgange - ialt 2 timers forelæsning, 2 timersøvelser=opgaveregning.

KursusmaterialerI Moodle (kursusplan, links til “spisesedler”, slides, før, efter og "midt")På min kursushjemmesidehttp://people.math.aau.dk/˜ fajstrup/UNDERVISNING/BASIS/LINALG/“På first”- http://first.math.aau.dk/ den fælles side for alle holdene.

Forelæsning???

Forelæsning???

Hvordan kan man få udbytte af en forelæsning?

Hold dig i gang - vær aktiv! Selvom du sidder ned...Hvordan man gørdet, er individuelt!

Skriv noter. Tænk med. Skriv til i bogen. Læs hjemmefra og overvej,hvad du ikke forstår. Skriv spørgsmål ned under forelæsningen. Stilspørgsmål ...

HVIS du har computeren åben, så sluk for advisering om mail, FB,...En skærm med FB, YouTube,... åben distraherer (også) dinemedstuderende.

Jeg bruger slides, som jeg skriver i. De ligger på hjemmesiden førforelæsningen.

Opgaveregning

I grupperummene.Hjælpelærere - Jonas Have, Achmad Choiruddin, KasperStudsgaard Sørensen, Malika Kuhlman Hansen.Vi kommer rundt til grupperummene. -Kan hidkaldes af enskraldespand...

Det kræver disciplin at lave opgaver i grupper.

Gruppens opgave:

Samarbejd om, at alle får lært at lave opgaverne.Det er ikke det samme som at alle opgaver bliver lavet og alle fåren kopi af løsningerne...Hver enkelt har selv ansvar for at få det lært.Tal sammen. Spørg hinanden.

Proces:1 Læs til forelæsning og husk at undre dig.2 Kom til forelæsning og tænk med - skriv til i mine slides (eller lad

være)3 Lav opgaver - meningen med opgaver er, at du forstår

matematikken bedre - og mere operativt.4 TAL om matematikken. Spørg.5 Arbejd videre hjemme - husk: du skal selv lære det.

Fælde: Jamen kan jeg ikke bare regne eksamensopgaver?Fem fejl ved den metode:

1 Du lærer ikke ret meget matematik.2 Du udnytter ikke muligheden for at se bredere perspektiver -

eksamensopgaver er "nemme".3 Du bliver en af dem, der ikke vil høre om anvendelser - og du skal

jo bruge matematikken.4 Du lærer matematik uden struktur - så du kan ikke se

matematikken i det, du møder senere.5 Du kan kun regne opgaver, der ligner dem fra sidste år. (Og

dumperisikoen er stor.)

Hvad nu, hvis jeg har en rigtig god ide til at forbedreLinAlg?

Styringsgruppemøder for studieretningerne - om al aktivitet påsemesteret.Styringsgruppemøder for Hold 1.

Studieretninger på Hold 1.

Elektronik og ITProdukt og DesignPsykologiInternetteknologier og ComputersystemerLandinspektørSundhedsteknologi

Mangler jeg nogen?

Litteratur

Spence, Insel, Friedberg Elementary Linear Algebra. A MatrixApproach, 2nd ed., Pearson Education, 2008 (SIF). OBS: Denhedder også Compiled by Olav Geil, "Elementary Linear Algebra,"Pearson, 2015.Supplerende: H.V. Christensen, B. Rosbjerg: Kompendium ilineær algebra - Definitioner, formler og eksempler.

Bogen er på engelsk. Det vænner I jer meget hurtigt til. Ordliste findespå fælles hjemmeside.

Andre ressourcer

Spisesedler - på kursushjemmesiden og i Moodle.Screencasts og Pencasts.Diverse applets. Se kursushjemmesiden eller den fælles side.MASSER af materiale på nettet. Lineær algebra er et emne på rigtigmange uddannelser.Eksempler på anvendelser - kursushjemmesiden.

Pensum og eksamen - se link på min hjemmeside

Kurset evalueres ved en fire timers skriftlig eksamen uden brug afelektroniske hjælpemidler. Du må medbringe alle former for noter ogbøger.

Lad os komme igang

Lineær algebra: Vektorregning og meget, meget mere.Godt råd: Intuition fra plan og rum er god at have, men holder ikkealtid.

Funktioner og ligninger - mange variable

Matricer

DefinitionEn matrix er et rektangulært skema af tal (skalarer).

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 . . . a2n

.... . . . . .

...am1 am2 . . . amn

En matrix med m rækker og n søjler kaldes en m × n matrix.Indgange/elementer: aij er tallet i den i’te række, j’te søjle.

Matricer

A =

1 13 3 02 4 6 83 6 9 17

A er en 3× 4 matrix. 3 rækker, 4 søjler.A er et rektangulært skema af tal, en matrix.Søjlerne i A 1

23

1346

369

08

17

Rækkerne i A[

1 13 3 0] [

2 4 6 8] [

3 6 9 17]

Matricer eksempler

Matricer og vektorer

Vektorer: En 1× n matrix kaldes en (række)-vektor.En m × 1 matrix kaldes en (søjle)vektor.Eller bare en vektor.Mængden af alle m × 1 vektorer kaldes Rm.Eksempler 1

−√

2π

[12

] sin(227)−2056

e5

ln(5)

[

1 13 3 0] [

2 4 6 8] [

3 6 9 17]

OBS: OK med mere end 3 koordinater.

Skalarprodukt, længder, Pythagoras, vinkelret,projektion

Delmatricer

Matricen B er en delmatrix af A, hvis B kan fås ved at fjerne noglerækker og søjler i A.

Addition af matricer

A og B begge m × n.A + B er m × n matricen med (i , j)’te indgang (A + B)ij = aij + bijEksempel:

Addition af matricer

Multiplikation med en skalar

A m × n matrix, c et reelt tal. (En skalar).cA er en m × n matrix med (i , j)’te indgang (cA)ij = caijNotation: (−1)A skrives −A

Multiplikation med en skalar

Subtraktion

A og B begge m × n. A− B er matricen A + (−B)

Subtraktion

Regneregler

For m × n matricer A og B og reelle tal, s, t gælder1 A + B = B + A (kommutativitet)2 (A + B) + C = A + (B + C) (associativitet)3 A + 0 = A4 A + (−A) = 05 (st)A = s(tA)6 s(A + B) = sA + sB7 (s + t)A = sA + tA

Transponeret matrix

Den transponerede matrix AT har indgang (i , j)

(AT )ij = aji .

Bemærk: i og j i omvendt rækkefølge!Søjlerne i AT er rækkerne i A og omvendt.Hvis A er m × n, så er AT n ×m

Transponeret matrix

Regneregler for transponering

For m × n matricer A og B og s en skalar gælder1 (A + B)T = AT + BT

2 (sA)T = sAT

3 (AT )T = A

Vektorer

Addition af vektorer i plan og rum har en geometrisk fortolkning(velkendt fra gymnasiet.)

Hvorfor vektorer med flere end 3 koordinater?

Et billede er en vektor. Gråtone ∼ koordinater mellem 0 og 256.Et digitalt signal er en vektor.Data er vektorer: (højde, vægt, blodtryk, skatteprocent,...)Punkter på Jorden - placering og en vektor, som indikererkontinentaldrift (ITRF)

Linearkombination

DefinitionEn linearkombination af vektorerne u1, · · · ,uk , som alle ligger i Rn, eren vektor

c1u1 + c2u2 + · · ·+ ckuk

hvor c1, c2, . . . , ck er skalarer.

M.a.o. v er en linearkombination af u1, · · · ,uk , hvis der findes skalarerc1c2, . . . , ck , så

v = c1u1 + c2u2 + · · ·+ ckuk

Linearkombination - eksempler

Den naturlige basis: e1,e2, . . . ,en i Rn.

e1 =

100...0

e2 =

010...0

· · ·

ej er en n × 1 søjlevektor, hvor alle elementer er 0, undtagen element(j ,1)’th, som er 1.

Linearkombination

1/2 +1/2 =

Linearkombinationer - spørgsmål

Kan v skrives som en linearkombination af u1, · · · ,uk?Hvilke vektorer i Rn kan skrives som linearkombinationer afu1, · · · ,uk?Specielt: Kan alle vektorer i Rn skrives som linearkombinationer afu1, · · · ,uk?