Linearna algebra i geometrijarati algebarske strukture na datom skupu odre ene samo jednom binarnom...

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehni£ki fakultet

Linearna algebra i geometrija

� predavanja �

Sarajevo, septembar 2012.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1

1.1 Elementi matemati£ke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Elementi teorije skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Elementi teorije algebarskih struktura . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Elementi teorije vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . 16

POGLAVLJE 1

Uvod

U ovom poglavlju uvest ¢emo terminologiju i notaciju kori²tenu u nastavku.De�nirat ¢emo osnovne pojmove matemati£ke logike i teorije skupova i datineke njihove osobine. Zatim ¢emo uvesti pojam binarne operacije, te de�ni-rati algebarske strukture na datom skupu odre�ene samo jednom binarnomoperacijom, kao ²to su grupoid, polugrupa i grupa, kao i strukture sa dvijebinarne operacije, kao ²to su prsten, tijelo i polje. Uvest ¢emo i pojam vek-torskog prostora, njegove baze i dimenzije.

1.1 Elementi matematicke logike

Osnovni pojam u matemati£koj logici je iskaz ili sud. To je svaka smis-lena izjava koja moºe biti samo istinita ili samo neistinita, odnosno laºna.Skup svih iskaza obiljeºavat ¢emo sa I, a pojedina£en izkaze malim slovimap, q, r, s, . . ..

Primjer 1.1. Re£enica "Broj 4 je paran broj." je istinit iskaz, dok je re£e-nica "3 je ve¢e od 5" neistinit iskaz. Re£enica "Da li je 5 prost broj?" nijeiskaz, nego pitanje.

1.1.Elementi matemati£ke logike Doc. dr. Almasa Odºak

Istinitost iskaza p ozna£ava se sa τ(p), pri tome τ(p) = 1 zna£i da je iskazp istinit, a τ(p) = 0 zna£i da je neistinit. Tako�er se koriste oznake τ(p) = ⊤,kada je p istinit izkaza i τ(p) = ⊥, kada je p neistinit iskaz. �esto se zbogkratko¢e pisanja, ukoliko to ne dovodo do zabune, umjesto τ(p) pi²e samo p.U tom slu£aju ne zanima nas sadrºaj iskaza p, nego samo njegova istinitosnavrijednost.

Na skupu iskaza moºemo de�nirati odre�ene operacije 1 pomo¢u kojihdobijamo sloºenije iskaze.

Negacija iskaza p, ¬p, £ita se "ne p" ili "nije p", je istinit iskaz jedinokada je p neistinit, a neistinit jedino kada je p istinit iskaz. Za negacijuiskaza p koriste se i oznake p i p′.

Konjunkcija iskaza p i q, p∧q, £ita se "p i q", istinita je jedino kadu su is-kazi p i q istiniti, a u protivnom je laºna. U nekoj literaturi konjunkcijaiskaza p i q ozna£ava se sa pq ili p&q.

Disjunkcija iskaza p i q, p ∨ q, £ita se "p ili q", laºna je jedino kada suiskazi p i q laºni, a u protivnom je istinita.

Ekskluzivna disjunkcija iskaza p i q, pY q, £ita se "ili p ili q", istinita jejedino kada su iskazi p i q razli£ite istinitosne vrijednosti, a u protivnomje neistinita. Za ekskluzivnu disjunkciju koristi se i oznaka p⊕ q

Implikacija iskaza p i q, p ⇒ q, £ita se "p implicira q" ili "p povla£i q"ili "ako je p, onda je q" ili "p je dovoljno za q" ili "q je potrebno zap", istinita je uvijek kada je q istinit iskaz ili kada su i p i q neistiniti.Neistinita je, dakle, jedino kada je p istinit, a q neistinit iskaz.

Ekvivalencija iskaza p i q, p ⇔ q, £ita se "p ekvivalentno q" ili "p ako isamo ako q" (£esto se pi²e skra¢eno akko) ili "p je potrebno i dovoljno zaq", istinita je jedino kada iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrijednost.

Zavisnost istinitosne vrijednosti sloºenog iskaza od istinitosne vrijednostiizkaza koji ga £ine moºemo zapisati u obliku tablice istinitosti.

τ(p) τ(q) τ(¬p) τ(p ∧ q) τ(p ∨ q) τ(p Y q) τ(p ⇒ q) τ(p ⇔ q)0 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 1 1

1Preciznu de�niciju operacije dat ¢emo ne²to kasnije.

2


Sloºeni iskazi dobijeni iz nekih polaznih iskaza primjenom logi£kih opera-cija negacije, konjunkcije, disjunkcije, implikacije i ekvivalencije nazivaju seformulama.

Primjeri formula su p ⇒ ¬q, (p ∨ q) ⇐ (¬q ∨ r), q ∨ ((p ∧ r) ∧ (q ⇒ r)).Istinosna vrijednost formule jasno zavisi od istinitosnih vrijednosti iskza

koji ju £ine. Tu zavisnost je pogodno ispitivati pomo¢u tablice istinitosti,kao u sljede¢em primjeru.

Primjer 1.2. Odrediti istinitosnu vrijednost formule p ∧ (q ⇒ ¬r) za sveistinitosne vrijednosti iskaza koje ih £ine.

p q r ¬r q ⇒ ¬r p ∧ (q ⇒ ¬r)0 0 0 1 1 00 0 1 0 1 00 1 0 1 1 00 1 1 0 0 01 0 0 1 1 11 0 1 0 1 11 1 0 1 1 11 1 1 0 0 0

Posebno vaºna situacija je kada je formula istinita za sve vrijdnosti isti-nitosti iskaza koji ulaze u tu farmulu. Takva formula se naziva tautologija.Formula koja je neistinita za sve vrednosii istinitosti iskaza koji ulaze u tuformulu je kontradikcija. Pogledamo li tablicu istinitosti formule iz primjera1.2 jednostavno zaklju£ujemo da posmatrana formula nije ni tautologija, ani kontradicija.

Zadatak 1.1. Odrediti istinitosnu vrijednost formula za sve istinitosne vri-jednosti iskaza koje ih £ine.

1. p ∨ ¬p

2. p ∧ ¬p

3. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

4. ((p ∨ q) ∧ ¬r) ⇒ (¬q ∨ r).

Da li su neke od navedenih formula tautologije ili kontradikcije?

Osnovni zakoni logike iskaza izvode se koriste¢i neke vaºne tautologije. Unastavku ¢meo navesti neke od njih.

3


• Zakon dvojne negacije: ¬¬p = p

• Zakon konzistentnosti (neprotivurje£nosti): p ∧ ¬p = 0

• Zakon isklju£enja tre¢eg: p ∨ ¬p = 1

• Zakon idempotentnosti za konjunkciju: p ∧ p = p

• Zakon idempotentnosti za disjunkciju: p ∨ p = p

• Zakon komutativnosti za konjunkciju: p ∧ q = q ∧ p

• Zakon komutativnosti za disjunkciju: p ∨ q = q ∨ p

• Zakon asocijativnosti za konjunkciju: p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ r

• Zakon asocijativnosti za disjukciju: p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r

• Zakon distributivnosti disjunkcije u odnosu na konjunkciju: p∧(q∨r) =(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

• Zakon distributivnosti konjunkcije u odnosu na disjukciju: p∨ (q∧r) =(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

• De Morganov zakon za konjunkciju: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q

• De Morganov zakon za disjunkciju: ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

• Zakon kontrapozicije: p ⇒ q = ¬q ⇒ ¬p

• Zakon tranzitivnosti implikacije: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)

• Zakon tranzitivnosti ekvivalencije: (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r)

Zadatak 1.2. Dokazati ta£nost navedenih zakona.

Posmatrajmo re£enice "x je paran broj." i "x je djeljivo sa y.". Ove re£e-nice o£igledno nisu iskazi jer im je nemogu¢e odrediti istinitosnui vrijednost.Ovakve re£enice dovode do pojma predikata.

De�nicija 1.1. Predikat je izjavna re£enica koja sadrºi parametre i kojapostaje iskaz kada parametri poprime odre�enu vrijednost. Broj parametarapredstavlja duºinu predikata.

4


Dakle, "x je paran broj." je predikat duºine 1, dok je re£enica "x je djeljivosa y." predikat duºine 2. Predikate duºine 1 obi£no ozna£avamo sa P (x), aduºine 2 sa P (x, y).

Za predikat P (x, y) opisan re£enicom "x je djeljivo sa y." iskaz P (4, 2) jeistinit, dok je P (2, 5) neistinit iskaz.

Posebno vaºni iskazi dobiveni od predikata su oni nastali pomo¢u kvan-ti�katora, tj. zamjenica svaki i neki.

Univerzalni kavnti�kator, u oznaci ∀, nam govori da je predikat istinitza sve vrijednosti neke od varijabli.

Egzistencijalni kvanti�kator, u oznaci ∃, govori da je predikat istinit zaneki izbor varijable. U sluèaju kada je izbor jedinstven koristi se oznaka∃!.

Kvanti�katore je mogu¢e i kombinirati kako bi se od datog predikataformirao iskaz.

Primjer 1.3. Neka je predikat P (x) dat sa x2 = 9. Moºemo formiratiiskaze:

• p: Za svaki realan broj x vrijedi x2 = 9

• q: Postoji realan broj x za koji vrijedi x2 = 9

• r: Postoji ta£no jedan realan broj x za koji vrijedi x2 = 9

• s: Postoji ta£no jedan prirodan broj x za koji vrijedi x2 = 9.

Pomo¢u kvanti�katora zapisujemo ih na sljede¢i na£in:

• p: (∀x ∈ R)P (x), odnosno (∀x ∈ R)x2 = 9

• q: (∃x ∈ R)P (x), odnosno (∃x ∈ R)x2 = 9

• r: (∃!x ∈ R)P (x), odnosno (∃!x ∈ R)x2 = 9

• s: (∃!x ∈ N)P (x), odnosno (∃!x ∈ N)x2 = 9.

Za svaki od formiranih iskaza moºemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:τ(p) = 0, τ(q) = 1, τ(r) = 0 i τ(s) = 1.

5

1.2.Elementi teorije skupova Doc. dr. Almasa Odºak

Primjer 1.4. Za predikat P (x, y) opisan re£enicom "x je djeljivo sa y."moºemo formirati iskaze

• p: Za svaki prirodan broj x vrijedi x je djeljivo sa 2.

• q: Postoji prirodan broj y za koji vrijedi da je 6 djeljivo sa y.

• r: Za svaki prirodan broj x i svaki prirodan prirodan broj y x djeljivsa y.

Pomo¢u kvanti�katora zapisujemo ih na sljede¢i na£in:

• p: (∀x ∈ N)P (x, 2)

• q: (∃y ∈ N)P (6, y)

• r: (∀x ∈ N)(∀y ∈ R)P (x, y)

Za svaki od formiranih iskaza moºemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:τ(p) = 0, τ(q) = 1 i τ(r) = 0.

1.2 Elementi teorije skupova

Osnovni pojam teorije skupova i jedan od osnovnih pojmova matematikeuop²te je skup i on se i ne de�ni²e. Skup je zadan svojim elementima, bilo dasu nabrojani pojedina£no ili karakterizirani nekom zajedni£kom osobinom.Za skup koriste se i nazivi familija, kolekcija, klasa, a za njegove elemente£lanovi, ta£ke. Skupove obi£no obiljeºavamo velikim slovima, dok njihoveelemente naj£e²¢e obiljeºavamo malim slovima. Vaºni primjeri skupova suskupovi brojeva, za njih ¢emo korisiti sljede¢e oznake

• N - skup prirodnih brojeva

• Z - skup cijelih brojeva

• Q - skup racionalnih brojeva

• I - skup iracionalnih brojeva

• R - skup realnih brojeva

• C - skup kompleksnih brojeva

6


Pripadnost elemeta a skupu A zapisujemo slimboli£ki sa a ∈ A i £itamo"a je element skupa A". �injenicu da elemenat b ne pripada skupu B za-pisujemo sa b /∈ B i £itamo "b nije element skupa B". Prazan skup obilje-ºavamo simbolom ∅. Ukoliko je skup zadan nabrajanjem elemenata pi²emoih odvojene zarezom unutrar viti£astih zagrada, dok u slu£aju kada je skupA skup elemeta x koji zadovoljavaju osobinu p(x) pi²emo A = {x : p(x)} iliA = {x|p(x)}.

Primjeri skupova su

• {x, y, z},

• {0, 1},

• {a},

• {x : x > 0},

• {x : x = 3n ∧ n ∈ N},

• {x : x = pq∧ p ∈ Z ∧ q ∈ Z}.

Za skupove mogu¢e je de�nirati odre�ene relacije i operacije 2. Uvest¢emo relacije inkluzije i jednakosti i operacije unije, presjeka, razlike i kom-plementa.

De�nicija 1.2. Neka su A i B skupovi takvi da je svaki elemenat skupa Aujedno i elemenat skupa B tada kaºemo da je A podskup od B, odnosno daje B nadskup od A. Pi²emo A ⊂ B, odnosno B ⊃ A.

Relaciju ⊂ nazivamo relacijom inkluzije.

Primjer 1.5. Vrijede inkluzije N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

De�nicija 1.3. Neka su A i B skupovi koji se sastoje od istih elemenata, tojeste ako vrijedi A ⊂ B i B ⊂ A, tada kaºemo da su oni jednaki i pi²emoA = B.

Ukoliko skupovi A i B nisu jednaki pi²emo A = B.Ukoliko vrijedi da je A ⊂ B i A = B kaºemo da je A pravi podskup od

B.Relacije inkluzije i jednakosti za skupove zadovoljavaju sljede¢e osobine:

2Preciznu de�niciju relacije i operacije dat ¢emo ne²to kasnije.

7


• A ⊂ A, (A ⊂ B)∧ (B ⊂ A) ⇒ A = B, (A ⊂ B)∧ (B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C)

• A = A, (A = B) ⇒ (B = A), (A = B) ∧ (B = C) ⇒ (A = C)

De�nicija 1.4. Partitivni skup skupa A je skup svih podskupova skupa A.Ozna£ava se sa P(A) ili 2A.

Jasno je da partitivni skup P(A) uvijek sadrºi ∅ i A. Na primjer za skupA = {x, y} partitivni skup je P(A) = {∅, {x}, {y}, {x, y}}.

Koriste¢i operacije nad skupovima od datih skupova moºemo formiratinove skupove. Neka su dati skupovi A i B.

Unija skupova A i B, u oznaci A∪B, je skup £iji elementi imaju svojstvoda pripadaju bar jednom od skupova A i B. Dakle, A ∪ B = {x : x ∈A ∨ x ∈ B}.

Presjek skupova A i B, u oznaci A ∩B, je skup £iji elementi imaju svoj-stvo da pripadaju i skupu A i skupu B. Dakle, A ∩ B = {x : x ∈A ∧ x ∈ B}.

Razlika skupova A i B, u oznaci A\B, je skup £iji elementi imaju svojstvoda pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B. Dakle, A \ B = {x :x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Simetri£na razlika skupova A i B, u oznaci A△B unija razlika A \ B iB \ A, dakle A△B = (A \B) ∪ (B \ A).

Neka je dat i skup X takav da je A ⊂ X.

Komplement skupa A u odnsosu na skup X, u oznaciACX je razlikaX\

A. Dakle, ACX = {x : x ∈ X ∧ x /∈ A}. �esto se koristi skra¢ena oz-

naka AC ukoliko je jasno u odnosu na koji skup se uzima komplement.Tako�e se koriste oznake CX(A) i C(A).

Za skupove £iji je presjek prazan skup kaºemo da su disjunktni.Moºe sa pokazati da uvedene operacije zadovoljavaju sljede¢e osobine:

• A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A, A ∪B = B ∪ A, (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩B = B ∩ A, (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

8


• (A ∪B) = (A ∩B) ∪ (A \B) ∪ (B \ A)

• A△B = (A ∪B) \ (A ∩B)

• A ∪ AC = X, A ∩ AC = ∅, XC = ∅, ∅C = X,(AC)C = A

• X \ (A ∪B) = (X \ A) ∩ (X \B), X \ (A ∩B) = (X \ A) ∪ (X \B)

Zadatak 1.3. Pokazati da vrijede navedene osobine operacija sa skupovima.

Za uvo�enje pojam Dekartovog proizvoda skupova potrebno je de�niratiure�en par.

De�nicija 1.5. Ure�en par elemenata x i y, u oznaci (x, y) je skup {{x), {x, y}}.

Termin "ure�en" u prethodnoj de�niciji isti£e da je poredak elemenatau paru (x, y) bitan, x je prvi, a y drugi elemenat. Iz navedene de�nicijejednostavno proizilazi jednakost ure�enih parova (x, y) = (u, v) ⇔ ((x =u) ∧ (y = v)). Elemente ure�enog para nazivamo i koordinatama.

Pojam ure�enog para moºe se jednostavno poop²titi na ure�ene trojke,£etvorke,. . . , op¢enito n-torke.

Dekartov proizvod skupova A i B, u oznaci A×B je skup svih ure�enihparova £ije su preve koor dinate elementi skupa A, a druge koordinateelementi skupa B. Dakle, A×B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Dekartov proizvod skupa A sa samim sobom se naziva i Dekartovim kvadra-tom i obiljeºava se sa A2. Dekartov proizvod i Dekartov kvadrat jednostavnose generaliziraju za slucaj tri i vi²e skupova. Dekartovog proizvoda skupa Asa samim sobom n puta naziva se i n-ti stepen skupa A.

Primjer 1.6. Rn je skup ure�enih n-torki relanih brojeva. Dakle, Rn ={(x1, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}. Posebno zna£ajne situacije su za n = 2i n = 3.

Ranije smo spominjali relacije inkluzije i jednakosti za skupove. Sadasmo u mogu¢nosti de�nirati pojam relacije.

De�nicija 1.6. Neka su A i B neprazni skupovi. Svaki podskup ρ Dekartovogproizvoda A × B je binarna relacija izme�u elemenata skupa A i elemenataskupa B. Ako su elementi a ∈ A i b ∈ B u relaciji ρ pi²emo (a, b) ∈ ρ iliaρb. Ako je A = B tada je ρ ⊂ A2 binarna relacija na skupu A.

9


Ukoliko elementi a ∈ A i b ∈ B nisu u relaciji ρ pi²emo (a, b) /∈ ρ iliaρb!prekriziti.

Za relaciju ρ ⊂ A×B inverznu relaciju ρ−1 ⊂ B ×A de�niramo tako da(x, y) ∈ ρ−1 akko (y, x) ∈ ρ.

Neka je A neprazan skup i ρ binarna relacija na A. Rlacija ρ moºe daima sljede¢e osobine.

ρ je re�eksivna ako je (∀x ∈ A) xρx.

ρ je antire�eksivna ako je (∀x ∈ A) (x, x) /∈ ρ.

ρ je simetri£na ako je (∀x, y ∈ A) (xρy) ⇒ (yρx).

ρ je antisimetri£na ako je (∀x, y ∈ A) (xρy) ∧ (yρx) ⇒ (x = y).

ρ je tranzitivna ako je (∀x, y, z ∈ A) (xρy) ∧ (yρz) ⇒ (xρz).

Uvedene osobine nam omogu¢avaju de�nisanje va¬ih tipova relacija kao ²tosu relacije ekvivalencije i relacije poretka.

De�nicija 1.7. Relacija ekvivalencije na skupu A je binarnu relacija ρ naA koja je re�eksivna, simetri£na i tranzitivna.

Za proizvoljne elemenat a ∈ A i relaciju ekvivalencije ρ klasu ekvivalencijeelementa a, u oznaci [a]ρ de�niramo kao skup svih elemenata iz A koji suu relaciji sa a, to jeste [a]ρ = {x ∈ A : xρa}. Pokazuje se da su klaseekvivalencije me�usobno disjunktne i da se skup A se moºe na jedinstvenna£in prikazati kao unija tih klasa. Skup klasa ekvivalencije za datu relacijuρ se naziva faktorski skup i obiljeºava se sa A/ρ. Relacija ekvivalencije se£esto obiljeºava sa ∼.

Primjeri relacije ekvivalencije su relacija paralelnosti za prave proizvoljneravni, uvedena relacija jednakosti za skupove.

Zadatak 1.4. Neka je dat cijeli broj m. Na skupu cijelih brojeva de�nirajmorelaciju ρ tako da je (∀x, y ∈ Z)xρy ⇔ (∃k ∈ Z)x− y = km. Ispitati da li jedata relacija relacija ekvivalencije.

De�nicija 1.8. Relacija poretka na skupu A je binarnu relacija ρ na A kojaje re�eksivna, antisimetri£na i tranzitivna.

10


Ako je na skupu A zadata relacija poretka kaºemo da je skup A ure�enskup. Ako su svaka dva elementa skupa A u relaciji poretka, to jeste me-�usobno uporediva, kaºemo da je skup A totalno ure�en skup. Za relacijuporetka koja je antire�eksivna kaºemo da je relacija strogog poretka.

Relacija poretka se £esto obiljeºava sa ≤ ili ≼, dok se relacija strogogporetka obiljeºava sa < ili ≺.

Relacija ≤ na skupu realnih brojeva je relacija poretka, kao i relacijainkluzije na partitivnom skupu nekog skupa, dok su relacija < na skupurealnih brojeva i relacija "biti pravi podskup" (£esto se obiljeºava sa $)na partitivnom skupu nekog skupa relacije strogog poretka. Skup relanihbrojeva je totalno ure�en skup. Partitivni skup nekog skupa nije totalnoure�en skup.

Zadatak 1.5. Neka je relacija ρ de�nisana sa aρb akko a2 ≤ b2, gde je ≤relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

a) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

b) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu prirodnih brojeva.

Ranije smo spominjeali neke operacije sa iskazima, kao i ooperacije saskupovima, no nismo precizno de�nirali pojam operacije u op²tem slu£aju.To ¢emo u£initi u narednom odjeljku, no prije toga uvest ¢emo pojam funcijeili preslikavanja.

De�nicija 1.9. Neka su A i B neprazni skupovi, a f zakon po kojemu sesvakom elementu A pridruºuje jedan i samo jedan element skupa B. Ure�enutrojku (A,B, f) nazivamo funkcija sa skupa A na skup B ili preslikavanje iz

skupa A u skup B. Pi²emo f : A → B ili Af→ B.

Skup A se naziva de�niciono podru£je ili domen funkcije f , a skup B jepodru£je vrijednosti ili kodomen funkcije f . �esto se preslikavanje poisto-vje¢uje sa zakonom pridruºivanja ukoliko je jasno is konteksta ²ta je domen,a ²ta kodomen.

Element b skupa B pridruºen elementu a ∈ A prema pravilu f obiljeºa-vamo sa f(a), dakle b = f(a). Element a se naziva nezavisnom varijablom iliargumentom funkcije f , dok je b zavisna varijabla funkcije f , odnosno slikaelementa a.

Neka su data dva preslikavanja f : A → B i g : B → C takva da sekodomen prvog preslikavanja podudara sa domenom drugog preslikavanja.

11

1.3.Elementi teorije algebarskih struktura Doc. dr. Almasa Odºak

Preslikavanje h : A → C de�nirano sa h(a) = g(f(a)) za svako a ∈ A jednoz-na£no je odre�eno i naziva se kompozicijom preslikavanja f i g i ozna£ava sag ◦ f .

Za preslikavanja mogu¢e je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka jedato preslikavanje f : A → B.

f je sirjektivno ili "preslikavanje na" ako je slika domena cijeli kodomen.

f je injektivno ili "1-1 preslikavanje" ako razli£iti elementi domena imajurazli£ite slike.

f je bijektivno ili obostrano jednozna£no preslikavanje ako je i sirjektivnoi injektivno.

Ako je f bijektivno preslikavanje skupa A na skup B, onda postoji funk-cija koja preslikava skup B na skup A, koja svakom elementu b ∈ B pri-druºuje element a ∈ A, takav da je b = f(a). Ovako de�nirana funkcija jeinverzna funkcija �nkcije f i ozna£ava se sa f−1. Tada vrijedi f−1(f(a)) = a.

1.3 Elementi teorije algebarskih struktura

Sa pojmom operacije smo se ve¢ susretali ranije. Na primjer, kada iskazupridruºuje negirani iskaz vr²imo operaciju negacije iskaza. Ova operacijajednom iskazu pridruºuje novi iskaz, takve operacije nazivamo unarnim. Uslu£aju konjuncije iskaza, paru iskaza pridruºujemo novi iskaz, konjunkcijupo£etnih iskaza, ²to je primjer binarne operacije. Mogu se de�nirati i ter-narne, i op¢enito n-arne operacije.

Na skupu realnih brojeva pridruºivanje broju a broja−a je primjer unarneoperacije, dok su operacije sabiranja ili mnoºenja dva realna broja primjeribinarnih operacija.

Operacija se mogu de�nirati na proizvoljnom skupu. Za skup G na kojemje de�nirana jedna ili vi²e operacija kaºemo da je algebarska struktura. Zarazmatranje algebarskih struktura od posebnog su zna£aja binarne operacije.Preciznu de�niciju dat ¢emo u nastavku.

De�nicija 1.10. Binarna operacija ◦ na skupu A je svako preslikavanjekoja preslikava elemente Dekartovog proizvoda skupa A u skup A, to jeste◦ : A× A → A.

12


Iz prethodne de�nicije je jasno da binarne operacije ure�enom paru (a, b) ∈A× A pridruºuju elemenat c skupa A. Elemenat c nazivamo rezultatom bi-narne operacije ◦ na paru (a, b) i pi²emo c = ◦(a, b) ili c = a ◦ b.

Za binarnu relaciju de�niranu na ovaj na£in £esto se kaºe da je unutra²njabinarna operacija, jer je rezultat operacije u istom skupu kao i operandi.Tako�e kaºemo da je skup A zatvoren u odnosu na operaciju ◦.

Treba napomenuti da postoje skupovi i operacije de�nirane na njima kojine posjeduju osobinu zatvorenosti. Na primjer skup neparnih brojeva nijezatvoren u odnosu na operaciju sabiranja jer zbir dva neparna broja nijeneparan broj. Primijetimo da je ovaj skup zatvoren u odnosu na operacijumnoºenja.

Svojstvo zatvorenosti se naziva i svojstvom grupoidnosti, otuda proizilazii sljede¢a de�nicija.

De�nicija 1.11. Ure�en par (G, ◦) nepraznog skupa G i binarne operacije ◦na G nazivamo grupoid.

Primjer 1.7. (N,+), (N, ·), (Z,+), (Z, ·), (Q,+), (N, ·), (R,+), (R, ·),(P(A),∪), (P(A),∩) su grupoidi.

Za operacije mogu¢e je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka je Aneprazan skup i neka je data operacija ◦ : A× A → A.

◦ je asocijativna ako (∀a, b, c ∈ A)(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c). Za gupoid ukojem operacija ◦ zadovoljava svojstvo asocijativnosti kaºemo da jeasocijativan.

◦ je komutativna ako (∀a, b ∈ A)a◦b = b◦a. Za gupoid u kojem operacija◦ zadovoljava svojstvo komutativnosti kaºemo da je komutativan.

e je neutralni element za ◦ (∀a ∈ A)a ◦ e = e ◦ a = a.

Ukoliko postoji neutralni elemenat u odnosu na operaciju ◦ moºemo uvesti ipojam invertibilnosti.

a je invertibilan u odnosu na ◦ ako (∃b ∈ A)a ◦ b = b ◦ a = e. Elemenatb nazivamo inverznim elementom elementa a i obiljeºavamo ga sa a∗.

Na primjer sabiranje i mnoºenje na skupu prirodnih brojeva posjedujeosobine asocijativnosti i komutativnosti. Mnoºenje ima neutralan element(1), dok u skupu prirodnih brojeva ne postoji neutralni element za sabiranje

13


(0 ne pripada skupu prirodnih brojeva). U skupu prirodnih brojeva ,naprimjer, broj 2 nije invertibilan u odnosu na mnoºenje, ne postoji njegovinverzni element.

Zadatak 1.6. Neka je na skupu R de�nisana relacija ◦. Ispitati osobineasocijativnosti i komutativnosti.

a) a ◦ b = a+b2,

b) a ◦ b = ab+ a− b.

Uvedene osobine omogu¢avaju de�niranje sloºenijih algebarskih strukturau odnosu na grupoid.

De�nicija 1.12. Asocijativan grupoid (G, ◦) je polugrupa.

De�nicija 1.13. Gupoid (G, ◦) koji je asocijativan, u kojem postoji baremjedan neutralni elemenat i u kojem je svaki elemenat invertibilan je grupa.

De�nicija 1.14. Grupa (G, ◦) u kojoj operacija ◦ zadovoljava svojstvo ko-mutativnosti je Abelova grupa.

De�nicija 1.15. Neka je (G, ◦) grupa i H ⊂ G takav da je (H, ◦) grupa,tada kaºemo da je (H, ◦) podgrupa grupe (G, ◦).

Primjer 1.8. (i) (Z,+), (Q,+) i (R,+) su primjeri Abelovih grupa. Ne-utralni element je 0, a inverzni element elementa a je −a.

(i) (Q \ {0}, ·) i (R \ {0}, ·) su primjeri Abelovih grupa. Neutralni elementje 1, a inverzni element elementa a je 1

a. Za grupu na kojoj je operacija

◦ operacija mnoºenja kaºemo da je multiplikativna.

Primjer 1.9. Ure�en par (Rn,+), pri £emu je operacija sabiranja de�nisanapo komponentama, to jeste sa

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

je Abelova grupa. Ova £injenica proizilazi iz £injenice da je (R,+) i na£inana koji je de�nisana operacija sabiranja. Neutralni element je (0, . . . , 0), ainverznoi element elementa (x1, . . . , xn) je (−x1, . . . ,−xn).

14


Za grupu na kojoj je operacija ◦ obiljeºena znakom + kaºemo da je adi-tivna, tada se neutralni elementa naziva nulom i obiljeºava sa 0, a inverznielemenat elementa a se naziva suprotnim i ozna£ava se sa −a. Ukoliko jeoperacija ◦ obiljeºena sa · kaºemo da je grupa multiplikativna, neutralni ele-ment se naziva jedinica i biljeºava se sa 1, a inverzni elemenat elementa a seozna£ava sa a−1.

U narednom teoremu kojeg navodimo bez dokaza dat ¢emo osnovne oso-bine grupe.

Teorem 1.1. Neka je (G, ◦) grupa. Tada vrijedi:

(i) Neutralni element je jedinstven.

(ii) Za svaki elemenat g ∈ G inverzni element g∗ je jedinstven.

(iii) Za neutralni elemenat e ∈ G vrijedi e∗ = e.

(iv) Za svaki elemenat g ∈ G vrijedi (g∗)∗ = g.

(v) Za svaka dva elemenata g1, g2 ∈ G vrijedi (g1 ◦ g2)∗ = g∗2 ◦ g∗1.

Bogatije strukture od grupe mogu¢e je dobiti ako na nekom skupu de-�niramo dvije binarne operacije koje su me�usobno uskla�ene. Na primjerna skupovima brojeva moºemo vr²iti sabiranje i mnoºenje. Obi£no se ve¢ ude�nicijama pomenutih struktura oiperacije obiljeºavaju sa + i ·. Tako ¢emoi mi u£initi.

De�nicija 1.16. Neka je P neprazan skup na kojem su de�nirane dvijeoperacije + i ·. Ure�ena trojka (P,+, ·) je prsten ukoliko su zadovoljenisljede¢i uslovi:

(i) (P,+) je Abelova grupa,

(ii) (P, ·) je polugrupa,

(iii) zadovoljene su osobine distribuditvnosti date sa

(∀a, b, c ∈ P )a · (b+ c) = a · b+ a · c

(∀a, b, c ∈ P )(a+ b) · c = a · c+ b · c.

Primjer 1.10. (Z,+, ·), (Q,+, ·) i (R,+, ·) su prsteni.

15

1.4.Elementi teorije vektorskih prostora Doc. dr. Almasa Odºak

Za neutralni elemenat 0 Abelove grupe (P,+) kaºemo da je nula prstena(P,+, ·). Ukoliko polugrupa (P, ·) ima neutralni elemenat kaºemo da je tojedinica prstena (P,+, ·) i obiljeºanamo je 1. Za prsten kaºemo da je prsten sjedinicom. Za prsten (P,+, ·) kaºemo da je komutativan ukoliko je operacija· komutativna.

Narednim teoremom navodimo osnovne osobine prstena.

Teorem 1.2. Neka je (P,+, ·) prsten. Tada za svako a, b, c ∈ P vrijedi:

(i) a · 0 = 0 · a = 0.

(ii) −a · b = −(a · b) = a · (−b).

(iii) (−a) · (−b) = a · b).

De�nicija 1.17. Prsten (P,+, ·) u kojem je (P \ {0}, ·)) grupa je tijelo.

De�nicija 1.18. Komutativno tijelo tijelo je polje.

Primjer 1.11. (Q,+, ·), (R,+, ·) i (R,+, ·) su polja.

1.4 Elementi teorije vektorskih prostora

U prethodnom odjeljku upoznali smo se sa pojmom binarne operacije, kojomsmo paru elemenata nekog skupa pridruºivali novi elemenat tog skupa. Me-�utim, ne²to druga£ija situacija od opisane je, na primjer, operacija mnoºenjavektora skalarom. U ovom slu£aju operacija se vr²i me�u elementima dvarazli£ita skupa. Ova i sli£ne situacije opisuju se pojmom vektorskih prostora.

De�nicija 1.19. Neka je (V,+) komutativna grupa, a (F,+, ·) polje. Nekaje de�nisano preslikavanje F × V → V sa (α, a) 7→ αa, tako da za svakoa, b ∈ V i svako α, β ∈ F vrijedi

(i) α(a+ b) = αa+ αb,

(ii) (α+ β)a = αa+ βa,

(iii) α(βa) = (αβ)a,

(iv) 1a = a.

16


Tada kaºemo da je V vektorski prostor nad poljem F i ozna£avamo ga saV(F).

Elemente skupa V nazivamo vektorima, a elemente skupa F skalarima. Uslu£aju kada je polje F skup realnih brojeva govorimo o realnom, a u slu£ajuF = C o kompleksnom vektorskom prostoru.

Za operaciju uvedenu prethodnom de�nicijom kaºe se da je eksterna bi-narna operacija.

Primjer 1.12. Skup Rn u kome je sabiranje de�nirano kao u primjeru 1.9i eksterna binarna operacija R× Rn → Rn sa,

a(x1, . . . , xn) = (ax1, . . . , axn)

je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Za dati vektorski prostor mogu¢e je de�nirati i njegov podprostor.

De�nicija 1.20. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i W neprazanpodskup skupa V . W je podprostor vektorskog prostora V ako je W vektorskiprostor nad poljem F u odnosu na operacije koje su de�nisane u V .

Jednostavan kriterij za ispitivanje da li je neki skup podprostor vektorskogprostora dat je uslovom sadrºanim u sljede¢emo teoremu.

Teorem 1.3. Neka je W neprazan podskup vektorskog prostora V nad poljemF , W je podprostor vektorskog prostora V akko vrijedi

(∀a ∈ W )(α ∈ F )αa ∈ W, (1.1)

(∀a, b ∈ W )a+ b ∈ W. (1.2)

Uslov (1.1) se naziva uslovom homogenosti, dok je (1.2) uslov aditivnosti.Jednostavno se pokazuje da ovi uslovi mogu biti zamijenjeni jednim uslovdatim sa

(∀a, b ∈ W )(α, β ∈ F )αa+ βb ∈ W. (1.3)

Ovaj uslov se naziva uslovom linearnosti.Usko povezan pojam sa pojmom vektorskih prostora je pojam linearne

kombinacije, linearno zavisnih i nezavisnih vektora.

17


De�nicija 1.21. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka su vi,(i = 1, . . . n) vektori prostora V i αi, (i = 1, . . . n) skalari polja F , tadavektor

v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn

nazivamo linearnom kombinacijom vektora vi, (i = 1, . . . n) sa skalarima αi,(i = 1, . . . n).

U slu£aju kada je αi = 0, (i = 1, . . . n) kaºemo da je linearna kombinacijatrivijalna.

De�nicija 1.22. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Za vektorevi ∈ V , (i = 1, . . . n) kaºemo da su linearno zavisni ako postoje skalariαi ∈ F ,(i = 1, . . . n) od kojih je bar jedan razli£it od 0 takvi da je

α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn = 0

.

Za vektore vi ∈ V , (i = 1, . . . n) koji nisu linearno zavisno kaºemo da sulinearno nezavisni.

Sljede¢i teorem daje neke vaºen osobine linearno zavisnih i linearno ne-zavisnih vektora.

Teorem 1.4. (i) Niz vektora koji sadrºi nula vektor je zavisan.

(ii) Niz vektora koji sadrºi linearno zavisan podniz vektora je linearno za-visan.

(iii) Svaki podniz linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan.

(iv) Ukoliko su dva vektora niza jednaka niz je linearno zavisan.

(v) Niz vektora je zavisan akko se bar jedan od njih moºe napisati kaolinearna kombinacija preostalih.

Za proizvoljno odabran skup vektora nekog prostora zna£ajno je posma-trati skup svih linearnih kombinacija vektora iz tog skupa, pokazuje se da jeto njmanji vektorski prostor koji sadrºi odabrane vektore.

18


De�nicija 1.23. Neka je S neprazan skup vektora vi, (i = 1, . . . n) vek-torskog prostora V nad poljem skalara F . Skup svih linearnih kombinacijaposmatranih vektora

L(S) = L({v1, . . . , vn}) = {α1v1 + . . .+ αnvn : αi ∈ F, i = 1, . . . , n}

nazivamo lineal vektora vi, (i = 1, . . . n).Kaºemo da je lineal L(S) generisan skupom S i da je S generator lineala

L(S).

Teorem 1.5. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) vektorskog pros-tora V nad poljem skalara F je podprostor prostora V .

Teorem 1.6. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) je najmanjivektorski prostor koji sadrºi vektore vi, (i = 1, . . . n).

Imaju¢i u vidu upravo navedeno prirodno je postaviti pitanje u kojemslu£aju skup S generi²e po£etni prostor V . Posebno zna£ajna situacija je uslu£aju kada je skup S kona£an, o tome govorimo u nastavku.

De�nicija 1.24. Ako u vektorskom prostoru V nad poljem F postoji skup Stako da je L(S) = V kaºemo da je V generisan skupom S. Ako je S kona£ankaºemo da je vektorski prostor kona£no generisan.

Postavljanjem uslova linearne nezavisnosti za elemente generatora vek-torskog prostora uvodi se pojam baze vektorskog prostora.

De�nicija 1.25. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Skup vektora Bje baza vektorskog prostora V ako je V generisan skupom B, to jeste L(B) =V i B je linearno nezavisan skup vektora u V .

Zna£aj baze ogleda se u njenim osobinama koje ¢emo navesti u narednimteoremima.

Teorem 1.7. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup maksimalan linearno nezavisan skup.

Teorem 1.8. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup minimalan skup koji generi²e vektorski prostor V .

Teorem 1.9. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko se svaki vektor prostora V moºe napisati kao linearna kombinacija ele-menata skupa B.

19


Teorem 1.10. Ako je V kona£no dimenzionalan vektorski prostor nad poljemF , tada sve baze imaju isti broj elemenata

Posljednji teorem je motivacija za uvo�enje pojma dimenzije.

De�nicija 1.26. Neka vektorski prostor V nad poljem F ima bazu sa nelemenata, tada se prirodan broj n naziva dimenzija kona£no dimenzionalnogvektorskog prostora. Pi²emo n = dim(V )

Teorem 1.11. Neka je V vektorski prostor nad poljem F dimenzije n. Tadasvaki skup od n linearno nezavisnih vektora £ini bazu.

Primjer 1.13. Posmatrajmo vektore

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), e3 = (0, 0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)

prostora Rn. Skup {e1, e2, e3, . . . , en} je baza vektorskog prostora Rn. Ovabaza se £esto naziva i kanonskom. Proizvoljan element (x1, x2, x3, . . . , xn)prosotra Rn moºe se napisati preko elemenata baze na sljede¢i na£in

(x1, x2, x3, . . . , xn) = x1e1 + x2e2 + x3e3 + . . .+ xnen.

Dimenzija prostora Rn je n.

20




� predavanja �


Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1

2 Matrice i determinante 2

2.1 Pojam matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Sabiranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Mnoºenje matrica skalarom . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Mnoºenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Transponovanje matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

POGLAVLJE 1

Uvod

POGLAVLJE 2

Matrice i determinante

U ovom poglavlju uvest ¢emo pojam matrice. Matrice i operacije s ma-tricama su pogodne za zapisivanje i rje²avanje sistema linearnih jedna£ina,koriste se u teoriji linearnih transformacija, kao i u mnogim drugim oblas-tima matematike. Pogodne su za zapisivanje podataka koji zavise od dvaparametra.

2.1 Pojam matrice

De�nicija 2.1. Neka je P skup brojeva. Funkciju

A : {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} → P

datu sa (i, j) 7→ aij nazivamo matricom formata m× n nad skupom P .

Matrice obi£no zapisujemo u obliku pravougaone sheme elemenata aiji = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n skupa P , to jeste u obliku

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

.

2.1.Pojam matrice Doc. dr. Almasa Odºak

Koristi se i skra¢ena oznaka A = (aij)m×n. U literaturi se koriste i sljede¢eoznake A = [aij]m×n i A = ∥aij∥m×n. Brojeve aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,nazivamo elementima matrice. Elementi ai1, ai2, . . . , ain £ine i-ti red (vrstu)matrice, dok brojevi a1j, a2j, . . . , amj £ine j-tu kolonu (stubac) matrice A.Dakle, element aij leºi u i-tom redu i j-toj koloni.

Obi£no je P neko polje brojeva. Skup svih matrica formata m × n nadpoljem P obiljeºavamo sa Mm,n(P ). U slu£aju kada je P = R govorimo orealnim, a za P = C o kompleksin matricama. Skup svih realnih matrica seobiljeºava i sa Rm×n, a kompleksnih sa Cm×n

Mi ¢emo se u nastavku, radi jednostavnosti bazirati na rad s realnimmatricama, mada se svi pojmovi mogu generalizirati i za slu£aju proizvoljnogskupa brojeva.

De�nicija 2.2. Matricu sa istim broj redova i kolona, to jeste matricu for-mata n× n nazivamo kvadratnom matricom reda n.

Dakle, kvadratna matrica reda n je oblika

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

.

Za elemente a11, a22, . . . , ann kaºemo da su elementi glavne dijagonale kva-dratne matrice A, dok su elementi a1n, a2n−1, . . . , an1 elementi sporedne di-jagonale matrice A.

Primjer 2.1. Neka je

A =

2 5 0 50 1 −3 2−2 2 4 1

,B =

3 2 −14 0 4−2 3 7

.

Matrica A je pravougaona matrica formata 3×4, dok je matrica B kvadratnamatrica reda 3. Elementi 0,1,-3,2 su elementi drugog reda matrice A, ele-menti 0,-3,4 su elementi tre¢e kolone te matrice. Elementi 3, 0, 7 £ine glavnudijagonalu matrice B, dok su elementi -1,0,-2 elementi sporedne dijagonalete matrice.

Postavljaju¢i zahtjeve na format matrice ili na elemente matrice dobijamoneke specijalne tipove matica.

3


• Matricu formata 1× n nazivamo matrica red ili matrica vrsta(a11 a12 · · · a1n

),

a matricu formata m× 1 matrica kolona ili matrica stubaca11a21...

am1

.

Matrice red i matrice kolona nazivamo i vektorima.

• Kvadratnu matricu £iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0nazivamo dijagonalnom

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

......

0 0 · · · ann

.

• Kvadratnu matricu £iji su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki0 nazivamo donjom trougaonom matricom

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...

......


,

a onu £iji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0 nazivamogornjom trougaonom

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

......

0 0 · · · ann

.

4


• Matricu £iji su svi elementi jednaki nula nazivamo nula matrica0 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

.

Nula matrica se obiljeºava sa 0m×n ili samo sa 0 ako se iz kontekstazna o kojem formatu se radi.

• Dijagonalnu matricu reda n £iji su elementi na dijagonali jednaki 1nazivamo jedini£nom matricom i obiljeºavamo je sa En ili In

En =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

.

�esto se pi²e samo E ili I ukoliko je iz konteksta jasno o kojem redumatrice se radi.

Primjer 2.2. Primjeri matrica su

A1 =(2 3 5 1

),A2 =

(a b

),A3 =

(xy

),A4 =

2.304

,

A5 =

2 0 00 1 00 0 4

,A6 =

a 0 0 00 0 0 00 0 b 00 0 0 c

,A7 =

1 3 2 20 2 8 60 0 3 30 0 0 4

,

A8 =

2 0 0 03 6 0 04 4 5 06 3 0 7

,A9 =

(0 0 0 00 0 0 0

),A10 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Matrice A1 i A2 su matrice vrsta, matrice A3 i A4 su matrice kolona. Ma-trice A5, A6 i A10 su primjeri dijagonalnih matrica. Matrica A7 je gornjatrougaona, a matrica A8 donja trougaona. Matrica A9 je primjer pravouga-one nula matrice, dok je matrica A10 jedini£na matrica reda 3.

5

2.2.Operacije s matricama Doc. dr. Almasa Odºak

U nastavku ¢emo uvesti osnovne operacije s matricama, no prije togade�nirajmo relaciju jednakosti.

De�nicija 2.3. Matrice A = (aij)m×n i B = (bij)p×q su jednake ako su istogformata i ako su im odgovaraju¢i elementi jednaki, to jeste m = p, n = q iaij = bij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Zadatak 2.1. Pokazati da je relacija jednakosti za matrice na skupu Mm,n

relacija ekvivalencije.

2.2 Operacije s matricama

U ovom odjeljku de�nirat ¢emo osnovne operacije sa matricama: transpono-vanje, sabiranje, mnoºenje skalarom i mnoºenje.

2.2.1 Sabiranje matrica

Dvije matrice istog formata A = (aij)m×n i B = (bij)m×n sabiraju se tako²to im se saberu odgovaraju¢i elementi, to jeste

A+B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n.

Primijetimo da je sabiranje matrica de�nirano samo za matrice istog for-mata. Matrice razli£itog formata se ne mogu sabirati.

Oduzimanje matrica se de�ni²e analogno. Dvije matrice istog formataA = (aij)m×n i B = (bij)m×n oduzimaju se tako ²to im se oduzimaju odgo-varaju¢i elementi, to jeste

A−B = (aij)m×n − (bij)m×n = (aij − bij)m×n.

Neka je A,B,C,0 ∈ Rm×n. Sabiranje matrica posjeduje sljede¢e osobine

(i) Asocijativnost: (A+B) +C = A+ (B+C),

(ii) Komutativnost: A+B = B+A,

(iii) Nula matrica je neutralni element za sabiranje: 0+A = A+ 0 = A.

6


2.2.2 Mnozenje matrica skalarom

Matrica A = (aij)m×n se mnoºi skalarom α ∈ R tako ²to se svaki elementpomnoºi tim skalarom, to jeste

αA = α(aij)m×n = (αaij)m×n.

Neka je A,B,0 ∈ Rm×n, α, β ∈ R. Mnoºenje matrica skalarom posjedujesljede¢e osobine

(i) α(A+B) = αA+ αB,

(ii) (α + β)A = αA+ βA,

(iii) (αβ)A = α(βA),

(iv) 1A = A,

(v) 0A = 0.

Za svaku matricu A ∈ Rm×n matricu (−1)A ozna£avamo kra¢e sa −A inazivamo suprotnom matricom matrice A. Za suprotnu matricu vrijedi

(vi) A+ (−A) = −A+A = 0.

2.2.3 Mnozenje matrica

Matrice A = (aij)m×n i B = (bij)p×q se mogu mnoºiti samo ako je brojkolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = p. Uovom slu£aju kaºemo da su matriceA i B saglasne za mnoºenje. Rezultuju¢amatrica C = AB je formata m × q. Elemente cij matrice C ra£unamo poformuli

cij =n∑

k=1

aikbkj, (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , q).

Dakle, elemenat cij koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni matrice C = ABdobijemo tako ²to svaki element i-te vrste matrice A pomnoºimo odgovara-ju¢im elementom j-te kolone matrice B i te proizvode saberemo.

Mnoºenje matrica posjeduje sljede¢e osobine

(i) A(BC) = (AB)C, (A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p,C ∈ Rp×q),

7


(ii) AEn = EmA = A, (A ∈ Rm×n),

(iii) A0n×p = 0m×p, 0k×mA = 0k×n, (A ∈ Rm×n),

(iv) A(B+C) = AB+AC, (A ∈ Rm×n,B,C ∈ Rn×p),

(v) (A+B)C = AC+BC, (A,B ∈ Rm×n,C ∈ Rn×p),

(vi) αAB = (αA)B = A(αB), α ∈ R,A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p).

Vaºno je napomenuti da mnoºenje matrica u op²tem slu£aju nije komu-tativno. Naime, ako postoji proizvod AB matrica A i B, ne mora postojati iproizvod BA. Dodatno, i ako postoje oba proizvoda AB i BA to ne morajubiti matrice istog formata, ali ako i jesu istog formata, one u op²tem slu£ajunisu jednake.

U slu£aju kada je matricaA kvadratna moºemo je mnoºiti samu sa sobom.U tom slu£aju govorimo o stepenovanju matriceA. ZaA ∈ Rn×n po de�nicijistavjamo

A0 = En, An = An−1A (n ∈ N).

2.2.4 Transponovanje matrice

Transponovana matrica matrice A = (aij)m×n je matrica AT = (aji)n×m.Dakle, transponovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to zamijenimo

ulogu kolona i vrsta.Operacija transponovanja zadovoljava sljede¢e osobine

(i) (AT )T = A, (A ∈ Rm×n),

(ii) (αA+ βB)T = αAT + βBT , (α, β ∈ R,A,B ∈ Rm×n),

(iii) (AB)T = BTAT , (A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p).

U slu£aju kada je A = AT kaºemo da je matrica A simetri£na, a kada je−A = AT kaºemo da je ona kososimetri£na. Ukoiko je AAT = Em kaºemoda je matrica A ortogonalna.

Ukoliko su elementi matrice iz skupa kompleksnih brojeva onda se £estoposmatra matrica koja se dobije od po£etne transponovanjem i konjugova-njem elemenata. Takva matrica se obiljeºava sa AH . Dakle, za A = (aij)m×n

je AH = (aji)n×m.Koriste¢i upravo uvedenu matricu uvodimo i sljede¢e tipove matrica.

8

2.3.Determinante Doc. dr. Almasa Odºak

Imaju¢i u vidu uvedene operacije sa matricama i njihove osobine moºe sezaklju£iti da vrijede sljede¢i teoremi.

U slu£aju kada je A = AH kaºemo da je matrica A hermitska, a kada je−A = AH kaºemo da je ona kosohermitska. Ukoiko je AAH = Em kaºemoda je matrica A unitarna, a ako je AAH = AHA kaºemo da je matrica Anormalna.

Teorem 2.1. (Rm×n,+) je Abelova grupa.

Teorem 2.2. (Rm×n,+, ·), gdje je · operacija mnoºenja matrica skalarom,je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Primijetimo da (Rm×n, ∗), gdje je ∗ operacija mnoºenja matrica u op²temslu£aju nije ni grupoid. Naime, proizvod dvije matrice formata m × n zam = n ne postoji, pa taj skup nije zatvoren u odnosu na mnoºenje. Spe-cijalno, za m = n skup (Rn×n, ∗) jeste grupoid, zbog zadovoljenog uslovaasocijativnosti, to je i polugrupa. No, postavlja se pitanje da li je (Rn×n, ∗)grupa. Iz osobine (ii) mnoºenja matrica slijedi da jedini£na matrica redan neutralni element u (Rn×n, ∗), pa za odgovor na postavljeno pitanje neo-phodno je ispitati egzisteniciju inverznog elementa matrice A u odnosu naoperaciju mnoºenja.

U nastavku ¢emo posebnu paºnju posvetiti kvadratnim matricama, jersu upravo one matrice koje mogu posjedovati inverzni elemenat u odnosu namnoºenje.

2.3 Determinante

U svrhu ispitavanja egzistencije i nalaºenja inverznog elementa matrice A ∈Rn×n u odnosu na operaciju mnoºenja matrica uvodimo pojam determinante.

Precizna de�nicija determinanti se uvodi pomo¢u pojma permutacija imatemati£ki je prili£no zahtjevna i ovdje je ne¢emo navoditi. Smatrat ¢emoda je determinata matrice A ∈ Rn×n realan broj pridruºen toj matrici iopisati induktivni postupak za ra£unanje tog broja. Determinantu matriceA obiljeºavamo sa detA, det(A) ili |A|. U op²tem slu£aju determinantumatrice reda n pi²emo u obliku∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣9


i za determinantu kaºemo da je reda n. Pojmovi elemenata, redova, kolona,dijagonale i sporedne dijagonale determinante su potpuno analogni odgova-raju¢im pojmovima za matrice.

Op²ti oblik matrice prvog reda je (a11). Njena determinanta je |a11| = a11.Dakle, determinanta matrice prvog reda jednaka je njenom jedinom elementu.

Op²ti oblik matrice drugog reda je(

a11 a12a21 a22

). Njena determinanta je

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12.

Dakle, determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici proizvoda eleme-nata na glavnoj dijagonali i proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali.

Op²ti oblik matrice tre¢eg reda je

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

. Njena determi-

nanta je ∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

Izraz za determinantu tre¢eg reda moºe se izvesti koriste¢i tzv. Sarusovopravilo. Ono se sastoji u sljede¢em. S desne strane determinante dopi²emoprvu i drugu kolonu te determinante, ra£unamo proizvod elemenata na glav-noj dijagonali i na dvjema linijama paralelnim sa glavnom dijagonalom injih uzimamo sa znakom plus, a potom ra£unamo proizvode elemenata nasporednoj dijagonali i dvjema linijama paralalnim sa njom i uzimamo ih saznakom minus. Ilustracija Sarusovog pravila data je u nastavku.

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Treba napomenuti da se opisano pravilo moºe koristiti isklju£ivo za ra£unanjedeterminanti tre¢eg reda i ne moºe se uop²titi na determinante ve¢eg reda.Drugi na£in ra£unanja matrica tre¢eg reda je pomo¢u matrica drugog reda.

10


Ovaj drugi metod je zna£ajan jer se moºe uop²titi i za ra£unanje determinantivi²eg reda. Da bi smo ga mogli opisati potrebno je uvesti pojmove minora ikofaktora elementa aij matrice A.

De�nicija 2.4. Neka je A ∈ Rn×n i aij proizvoljan elemenat te matrice.Determinanta reda n− 1 koju dobijemo brisanjem i-tog reda i j-te kolone izdeterminante matrice A nazivamo minor elementa aij matrice A. Obiljeºa-vamo ga sa Mij.

De�nicija 2.5. Neka je A ∈ Rn×n i aij proizvoljan element te matrice. Broj(−1)i+jMij nazivamo kofaktorom elementa aij matrice A. Obiljeºavamo gasa Aij.

Primijetimo da determinantu tre¢eg reda moºemo napisati na sljede¢ina£in.

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣= a11M11 − a12M12 + a13M13

= a11A11 + a12A12 + a13A13.

Dakle, determinantu tre¢eg reda napisali smo kao proizvod elemenata prvevrste i njima odgovaraju¢ih kofaktora. Kaºemo da smo determinantu razvilipo prvoj vrsti. Moºe se pokazati da se razvoj moºe izvr²iti po bilo kojoj vrstiili koloni. Pokazuje se da se opisani postupak moºe poop²titi na ra£unanjedeterminante bilo kojeg reda, to jeste vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 2.3. Determinanta reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata makoje vrste ili kolone i njima odgovaraju¢ih kofaktora

det(A) =n∑

i=1

aijAij, (∀j = 1, . . . , n),

det(A) =n∑

j=1

aijAij, (∀i = 1, . . . , n).

11


Opisani postupak se naziva Laplasov razvoj determinante. Obzirom dase u ovom postupku kofaktori mnoºe sa elementima vrste ili kolone po kojojse razvoj vr²i jasno je da je najpogodnije za razvoj birati kolonu ili vrstu kojaima najvi²e elemenata jednakih nuli.

Postupak opisan u teoremu 2.3 je induktivnog karektera i teorijski omo-gu¢ava ra£unanje determinante bilo kojeg reda, no ovaj postupak za deter-minante ve¢eg reda nije od prakti£nog zna£aja. Naime broj operacija kojetreba obaviti za ra£unanje determinante reda n je reda n!. E�kasniji na£iniza ra£unanje determinanti zasnivaju se na primjeni osobina determinanti. Unastavku ¢emo navesti neke od njih.

(i) Determinanta matrice koja ima vrstu (kolonu) koja se sastoji od samihnula jednaka je 0.

(ii) Determinanta gornje ili donje trougaone matrice jednaka je proizvoduelemenata na dijagonali. Specijalno, determinanta dijagonalne matricejednaka je proizvodu elemenata na dijagonali.

(iii) Determinanta matrice koja ima dvije jednake ili proporcionalne vrste(kolone) jednaka je 0.

(iv) Ukoliko vrste i kolone matrice zamijene uloge determinanta matrice sene mijenja. Dakle det(A) = det(AT ).

(v) Determinanta mijenja predznak ukoliko dvije susjedne vrste (kolone)zamijene mjesta.

(vi) Determinanta se mnoºi skalarom tako ²to se jedna, proizvoljno oda-brana, vrsta ili kolona determinante pomnoºi tim skalarom. Drugimrije£ima, zajedni£ki faktor elemenata jedne vrste (kolone) moºe se iz-vu¢i ispred determinante.

(vii) Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona (vrsta), to jeste

12

2.4.Inverzna matrica Doc. dr. Almasa Odºak

vrijedi∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1i . . . a1na21 . . . a2i . . . a2n...

......

an1 . . . ani . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . βb1i + γc1i . . . a1na21 . . . βb2i + γc2i . . . a2n...

......

an1 . . . βbni + γcni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= β

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . b1i . . . a1na21 . . . b2i . . . a2n...

......

an1 . . . bni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ γ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . c1i . . . a1na21 . . . c2i . . . a2n...

......

an1 . . . cni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .(viii) Vrijednost determinante ostaje nepromijenjena ukoliko sve elemente

jedne vrste (kolone) pomnoºimo nekim realnim brojem i saberemo saodgovaraju¢im elementima neke druge vrste (kolone).

(ix) Za A,B ∈ Rn×n vrijedi det(AB) = det(A)det(B).

(x) Determinanta je razli£ita od nule ako i samo ako su vrste (kolone)matrice linearno nezavisne.

Prilikom ra£unanja determinante posebno je pogodno koristiti osobinu(viii). Primjenom transformacija opisanih ovom osobinom vrijednost deter-minante se ne mijenja. Cilj je, njihovom primjenom, determinantu transfor-misati na determinantu gornje ili donje traougaone matrice, a takve je laganoizra£unati primjenom osobine (ii).

2.4 Inverzna matrica

Pojam inverznog elementa u op²tem slu£aju smo uveli ranije. Specijalno zamatricu A ∈ Rn×n inverzna matrica je matrica B takva da je

AB = BA = En. (2.1)

Jedinstvenost inverzne matrice, ukoliko ona postoji, garantovana je slje-de¢im teoremom.

Teorem 2.4. Neka je A ∈ Rn×n. Ako postoji matrica B koja zadovoljava(2.1), onda je ona jedinstvena.

13


Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije matrice B1 i B2 koje zadovoljavaju(2.1). Pokaºimo da je B1 = B2. Iz (2.1) slijedi

(B1A)B2 = EnB2 = B2,

(B1A)B2 = B1(AB2) = B1En = B1.

Dakle, B1 = B2, pa je dokaz zavr²en.

Obzirom na jedinstvenost, inverznu matricu matrice A, ozna£avamo saA−1.

De�nicija 2.6. Za matricu A ∈ Rn×n kaºemo da je regularna ukoliko onaima inverznu matricu. U protivnom kaºemo da je matrica A singularna.

Prirodno je postaviti pitanje postoji li e�kasan metod za ispitivanje re-gularnosti matrice.

U nastavku ¢emo dokazati teorem koji nam daje metod ispitivanja regu-larnosti pomo¢u determinate i istovremeno eksplicitnu formulu za ra£unanjeinverzne matrice matrice A. Prije formulacije pomenutog teorema uvedimopojam adjungovane matrice i dokaºimo jedan vaºan rezultat za adjungovanumatricu koji ¢emo koristiti u nastavku.

De�nicija 2.7. Neka je A ∈ Rn×n. Matricu adj(A) = (Aij)T = (Aji)

zovemo adjungovanom matricom matrice A.

Dakle, adjungovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to svaki elementaij matrice A zamijenimo njegovim kofaktorom Aij i tako dobijenu matricutransponujemo. U nekoj literaturi se matrica sa£injena od kofaktora matriceA obiljeºava sa A∗, a adjungovana matrica sa A∗∗.

Operacija adjungovanja zadovoljava sljede¢e osobine.

(i) adj(AB) = adj(B)adj(A), (A,B ∈ Rn×n),

(ii) adj(AT ) = (adj(A))T , (A ∈ Rn×n).

Jo² jedna vaºna osobina adjungovanja matrice data je sljede¢im teore-mom.

Teorem 2.5. Neka je A ∈ Rn×n. Vrijedi Aadj(A) = adj(A)A = det(A)En.

14


Dokaz. Iskoristimo li razvoj determinante matrice A po j-toj (j = 1, . . . , n)koloni dobijamo jednakost

n∑i=1

aijAij = det(A).

Modi�kujemo li matricu adj(A) tako ²to algebarske komplemente Aij kolonej zamijenimo komplementima iz kolone k, k = j, dobijamo matricu koja imadvije iste kolone, pa je prema osobini (iii) determinanti determinanta takvematrice 0. Dakle, vrijedi

n∑i=1

aijAik = 0,

jer je gornja suma razvoj modi�kovane matrice po j-toj koloni. Dvije pos-ljednje jednakosti moºemo objediniti koriste¢i Kronekerov simbol dat sa

δjk =

{1, j = k;0, j = k.

Dakle,n∑

i=1

aijAik = δjkdet(A).

Sada koriste¢i de�niciju mnoºenja matrica jednostavno zaklju£ujemo da jeAadj(A) = det(A)En. Analogno se dobije i adj(A)A = det(A)En, pa jetvrdnja teorema dokazana.

Teorem 2.6. Neka je A ∈ Rn×n. Matrica A je regularna akko je det(A) = 0.Ako je A regularna, onda je

A−1 =1

det(A)adj(A).

Dokaz. Neka je A regularna matrica. Tada postoji matrica A−1 takva daje AA−1 = A−1A = En. Prema osobini (ix) determinanti slijedi da jedet(AA−1) = det(A)det(A−1), a prema osobini (ii) determinanta jedini£nematrice je 1, pa vrijedi det(A)det(A−1) = 1. Dakle, mora biti det(A) = 0, pasmo dokazali da ukoliko je matrica A regularna , determinanta joj je razli£itaod nula. Tako�e slijedi da je u tom slu£aju

det(A−1) =1

det(A).

15

2.5.Rang matrice Doc. dr. Almasa Odºak

Pokaºimo sada da vrijedi obrat. Neka je det(A) = 0, pokaºimo da je ma-trica A regularna. Dijeljenjem sa det(A) jednakosti iz teorema 2.5 dobijamoda vrijedi

1

det(A)adj(A)A = A

1

det(A)adj(A) = En,

pa iz de�nicije inverzne matrice slijedi da je A−1 = 1det(A)

adj(A).

Invertovanje matrice zadovoljava sljede¢e osobine.

(i) Ako je A ∈ Rn×n regularna matrica, tada je i A−1 tako�e regularna ivrijedi (A−1)−1 = A.

(ii) Ako su A,B ∈ Rn×n regularne matrice tada je i AB regularna matricai vrijedi (AB)−1 = B−1A−1.

(iii) Ako je A ∈ Rn×n regularne matrica tada je i AT regularna matrica ivrijedi (AT )−1 = (A−1)T .

2.5 Rang matrice

Vaºan pojam vezan za matrice je i rang matrice. Moºe se koristiti za ispitiva-nje regularnosti matrice, a vrlo je pogodan za rje²avanje sistema jedna£ina,kao ²to ¢emo vidjeti u sljede¢em poglavlju.

Za razliku od determinante matrice koja moºe biti pridruºena samo kva-dratnim matricama, rang matrice moºe se odrediti za proizvoljnu matricuformata m× n.

Neka je A ∈ Rm×n proizvoljna matrica. Ukoliko je m = n, determinantamatrice A ne postoji. Me�utim od kolona i vrsta matrice A mogu¢e jeformirati nove matrice koje su kvadratne, pa je za njih mogu¢e ra£unatideterminantu. Upravo navedeno sluºi za uvo�enje pojma ranga matrice. Zapreciznu de�niciju prvo uvedimo pojam podmatrice.

De�nicija 2.8. Neka je A ∈ Rm×n. Svaka matrica koja se iz matrice Amoºe dobiti uklanjanjem bilo kojih vrsta i (ili) kolona je podmatrica matriceA. Ukoliko je B podmatrica matrice A formata r × r kaºemo da je onakvadratna i da je reda r.

De�nicija 2.9. Neka je A ∈ Rm×n. Rang ne-nula matrice A je red njenenajve¢e kvadratne podmatrice kojoj je determinanta razli£ita od nula. Rangnula matrice je 0. Rang matrice A ozna£avamo sa r(A) ili rang(A).

16


Iz de�nicije odmah slijedi da za A ∈ Rm×n vrijedi r(A) ≤ min{m,n}.Pokazuje se da se rang matrice moºe izraziti i pomo¢u linearne nezavis-

nosti redova i kolona. Ovu osobinu navodimo u narednom teoremu kojegdajemo bez dokaza.

Teorem 2.7. Rang matrice A jednak je maksimalnom broju linearno neza-visnih kolona matrice A. Maksimalan broj linearno nezavisnih kolona jednakje maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta posmatrane matrice.

Iz posljednjeg teorema odmah slijedi jo² jedna osobina ranga matrice.Vrijedi r(A) = r(AT ).

Odre�ivanje ranga matrice, bilo po de�niciji bilo koriste¢i teorem 2.7, jezahtjevan posao, jednostvaniji na£in opisat ¢emo u nastavku. Zasniva se naprimjeni elementarnih transformacija.

De�nicija 2.10. Elementarne transformacije matrice su

(i) zamjena mjesta dvije vrste ili kolone,

(ii) mnoºenje vrste ili kolone skalarom razli£itim od 0,

(iii) mnoºenje elemenata jedne vrste ili kolone skalarom razli£itim od 0 idodavanje odgovaraju¢im elementima neke druge vrste ili kolone.

De�nicija 2.11. Ako se matrica A moºe dobiti iz matrice B primjenomkona£nog broja elementarnih transformacija kaºemo da su matrice A i Bekvivalentne i pi²emo A ∼ B.

Zna£aj ekvivalentnih matrica se ogleda u sljede¢em teoremu.

Teorem 2.8. Ekvivalentne matrice imaju isti rang.

Dokaz. Za dokaz teorema ¢emo koristiti karakterizaciju ranga pomo¢u line-arne nezavisnosti datu u teoremu 2.7.

Imaju¢i u vidu de�niciju linearne nezavisnosti odmah slijedi da se zamje-nom mjesta dvije vrsta (kolone) ili mnoºenjem vrste (kolone) nenultim bro-jem ne mijenja maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta (kolona), pa za-klju£ujemo da se elementarnim transformacijama tipa (i) i (ii) ne mijenjarang matrice.

Poaºimo da je to slu£aj i za elementarnu transformaciju tipa (iii). Ma-tricu A ∈ Rm×n moºemo napisati u sljede¢em obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

), (2.2)

17


pri £emu smo saKi, (i = 1, . . . , n) ozna£ili i-tu kolonu matriceA. Primjenomelementarne transformacije tiopa (iii) na kolone i i j dobijamo matricu oblika

B =(K1 K2 . . . Ki + αKj . . . Kj . . . Kn

),

gdje je α ∈ R, α = 0.Slijedi da ako je kolona Ki linearno zavisna od ostalih kolona onda je i

kolona Ki+αKj linearno zavisna od tih kolona i obratno. Moºemo zaklju£itida matrice A i B imaju isti broj linearno nezavisnih kolona, onda imaju iisti rang.

Postupak za prakti£nu primjenu prethodnog teorema se ogleda u sljede-¢em. Elementarnim transformacijama je potrebno datu matricu transformi-sati na matricu £iji je rang jednostavno odrediti. U tu svrhu uvodimo pojamtrapezne matrice.

De�nicija 2.12. Neka je A ∈ Rm×n. Mantrica A se naziva trapeznommatricom ako je oblika

t11 t12 · · · t1nt21 t22 · · · t2n...

......

tm1 tm2 · · · tmn

,

pri £emu postoji broj r (r ≤ min{m,n}) takav da je

• t11, t22, . . . , trr = 0,

• tij = 0, za svako i, j takvo da je i > j,

• tij = 0, za svako i, j takvo da je r < i ≤ j.

Koriste¢i teorem 2.7 jednostavno se zaklju£uje da je rang trapezne matricejednak broju elemenata na glavnoj dijagonili koji su razli£iti od 0. Dakle,upravo su trapezne matrice one £iji je rang jednostavno odrediti.

Vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 2.9. Za svaku ne-nula matricu postoji njoj ekvivalentna trapeznamatrica.

Dokaz ovog teorema ne¢emo izvoditi. Dat ¢emo ilustraciju pomo¢u pri-mjera.

18


Primjer 2.3. Neka je data matrica

A =

1 2 0 20 3 5 11 3 −1 −1

.

Odredimo rang date matrice svo�enjem na trapezni oblik. U prvom korakuvrste 1 i 2 prepi²imo, a zatim od tre¢e vrste oduzmimo prvu. U drugomkoraku zamijenimo drugu i tre¢u vrstu, a zatim od tre¢e oduzmimo tri putadrugu. 1 2 0 2

0 3 5 11 3 −1 −1

∼

1 2 0 20 3 5 10 1 −1 −3

∼

1 2 0 20 1 −1 −30 3 5 1

∼

1 2 0 20 1 −1 −30 0 8 10

.

Rang posljednje matrice je 3, pa je onda i rang matrice A tako�e 3.

Elementarne transformacije nad matricom A mogu se opisati i pomo¢umnoºenja te matrice odgovaraju¢im matricama koje se nazivaju elementar-nim matricama. U nastavku ¢emo opisati elementarne matrice koje dajuelemntarne transformacije nad vrstama.

(i) Elementarna matrica Eij kojom se postiºe zamjene vrsta i i j datematrice A dobije se iz jedini£ne matrice zamjenom vrsta i i j.

(ii) Elementarna matrica Ei(α) kojom se postiºe mnoºenje vrste i matriceA skalarom α jednaka je jedini£noj matrici u kojoj je i-ta vrsta pom-noºena sa α.

(iii) Elementarna matrica Eij(α) kojom se postiºe dodavanje j-te vrste pom-noºene sa α i-toj vrsti matrice A dobija se iz jedini£ne matrice tako²to se u i-toj vrsti i j-toj koloni umjesto vrijednosti 0 pi²e skalar α.

Primjer 2.4. Transformacije kojim smo matricu A iz prethodnog primjerasveli na trapezni oblik mogu biti opisane elementarnim matricama. Dobi-jeni trapezni oblik se moºe dobiti i mnoºenjem po£etne matrice odgovara-ju¢im elementarnim matricama. Transformaciji oduzimanja prve vrste od

19


tre¢e odgovara matrica E31(−1), zamjeni tre¢e i druge vrste matrica E23 ikona£no transformaciji oduzimanja tri puta druge vrste od tre¢e odgovaramatrica E32(−3), pa je

E32(−3)E23E31(−1)A

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 1 0−1 0 1

1 2 0 20 3 5 11 3 −1 −1

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 2 0 20 3 5 10 1 −1 −3

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 2 0 20 1 −1 −30 3 5 1

=

1 2 0 20 1 −1 −30 0 8 10

Na kraju ovog poglavlja navest ¢emo teorem koji slijedi iz prethodno

izloºenog, a daje nam vezu regularnosti matrice i njenog ranga. Tako�e ¢emoopisati i alternativni na£in za nalaºenje inverzne matrice za datu matricu.

Teorem 2.10. Neka je A ∈ Rn×n. A je regularna akko je ekvivalentnajedini£noj matrici reda n.

Postupak za nalaºenje inverzne matrice pomo¢u elementarnih transforma-cija poznat je pod nazivom Gaus-�ordanov postupak i sastoji se u sljede¢em.

Neka je data matrica A ∈ Rn×n, £iju inverznu matricu traºimo. Formi-ramo matricu formata n × 2n tako ²to s desne strane matrice A dopi²emojedini£nu matricu reda n. Dakle, za

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


20


novoformirana matrica je oblikaa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

.

Zatim nad novoformiranom matricom vr²imo elementarne transformacije ucilju dobijanja jedini£ne matrice na lijevoj strani nove matrice. Dakle, cilj jedobiti matricu oblika

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

......

bn1 bn2 · · · bnn

(2.3)

Mogu¢a su dva ishoda. Ukoliko u postupku primjene elemntarnih transfor-macija dobijemo na lijevoj strani novoformirane matrice red sa£injen od svihnula moºemo zaklju£iti da je matricaA singularna, to jeste da nema inverznumatricu. U protivnom dobit ¢emo matricu oblika (2.3). Tada je matrica Aregularna i vrijedi

A−1 =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

......

bn1 bn2 · · · bnn

. (2.4)

Opravdanost opisanog postupka se zasniva na sljede¢em. Ve¢ smo napo-menuli da se primjena elementarnih transformacija na matricu A moºe opi-sati mnoºenjem te matrice odgovaraju¢im elementarnim matricama. Dakle,ukoliko smo primjenom k elementarnih transformacija do²li do matrice oblika(2.3), onda se ona moºe napisati u obliku

(Xk . . .X2X1A|Xk . . .X2X1En),

pri £emu smo sa X1,X2, . . . ,Xk ozna£ili odgovaraju¢e elementarne matrice ipri £emu je Xk . . .X2X1A = En, pa slijedi da je A−1 = Xk . . .X2X1. No, nadesnoj strani (2.3) se upravo nalazi ovaj produkt matrica, pa vrijedi (2.4).

Upravo opisani postupak za nalaºenje inverzne matrice je zna£ajan jer jeza matrice ve¢eg reda znatno e�kasniji od ranije opisanog postupaka pomo¢uadjungovane matrice.

21




� predavanja �


Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1


3 Sistemi linearnih jedna£ina 3

3.1 Pojam sistema linearnih jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Kvadratni sistemi linearnih jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Rje²avanje sistema rje²avanjem matri£ne jedna£ine . . 63.2.2 Kramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Gausov metod eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Kroneker-Kapelijev stav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

POGLAVLJE 1

Uvod

POGLAVLJE 2


POGLAVLJE 3

Sistemi linearnih jedna£ina

Mnogi problemi iz prakse mogu biti napisani u obliku sistema linearnih jed-na£ina. U ovom poglavlju precizno ¢emo de�nirati pojam sistema linearnihjedna£ina i rje²enja sistema. Razlikovat ¢emo kvadratne i pravougaone, ho-mogene i nehomogene sisteme. Bavit ¢emo se pitanjem egzistencije rje²enjai metodama za rje²avanje sistema linearnih jedna£ina.

3.1 Pojam sistema linearnih jednacina

De�nicija 3.1. Skup jedna£ina oblika

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

, (3.1)

gdje su aij i bj (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) elemeni polja brojeva F nazivamosistemom od m jedna£ina sa n nepoznatih xj (j = 1, . . . , n).

Naj£e²¢e se posmatraju situacije u kojima je polje F polje realnih ili

3.1.Pojam sistema linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

kompleksnih brojeva. Mi ¢emo se u nastavku bazirati na takve sisteme iakomnogi pojmovi i metodi mogu biti generalizirani i na druge situacije.

Brojeve aij (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) nazivamo koe�cijentima sistema,dok su bi (i = 1, . . . ,m) slobodni £lanovi.

U op²tem slu£aju kaºemo da je sistem (3.1) pravougaoni, dok u slu£ajum = n govorimo o kvadratnom sistemu linearnih jedna£ina.

U slu£aju kada je bi = 0 (∀i = 1, . . . ,m) kaºemo da je sistem homogen, au protivnom rije£ je o nehomogenom sisitemu linearnih jedna£ina.

Sistem linearnih jedna£ina (3.1) moºemo napisati i pomo¢u matrica uobliku

AX = B, (3.2)

pri £emu smo uveli oznake

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

,X =

x1

x2...xn

,B =

b1b2...bm

.

Matricu A nazivamo matricom sistema, X je vektor nepoznatih, a B vektorslobodnih £lanova. Sistemu jedna£ina tako�e moºemo pridruºiti i takozvanupro²irenu matricu sistema, koju dobijemo tako ²to matrici sistema A s desnestrane dopi²emo vektor slobodnih £lanova. Obiljeºavamo je sa (A|B). Dakle

(A|B) =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2...bm

.

Osnovno pitanje vezano za sisteme jedna£ina je nalaºenje njihovog rje²e-nja. Uvode se pojmovi saglasnog i nesaglasnog sistema.

De�nicija 3.2. Svaka ure�ena n-torka (α1, α2, . . . , αn) takva da je za

(x1, x2, . . . , xn) = (α1, α2, . . . , αn)

svaka od m jedna£ina sistema (3.1) identi£ki zadovoljena je rje²enje tog sis-tema.

4

3.1.Pojam sistema linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

Ukolio posmatramo sistem jedna£ina zapisan u matri£nom obliku (3.2)onda pod rje²enjem sistema podrazumijevamo svaki vektor X koji zadovo-ljava matri£nu jedna£inu (3.2).

De�nicija 3.3. Za sistem linearnih jedna£ina koji ima barem jedno rje²enjekaºemo da je saglasan (kompatibilan, rje²iv). U suprotnom kaºemo da jesistem nesaglasan (protivrje£an, kontradiktoran, nerje²iv).

Pored egzistencije rje²enja, vaºno pitanje je i pitanje broja rje²enja. Je-dan od rezultata koji nam govori o tome navest ¢emo u narednom teoremu.Formulisat ¢emo ga i dokazati koriste¢i matri£ni zapis.

Teorem 3.1. Ako su X1 i X2 dva razli£ita rje²enja sistema (3.2) onda je iX(µ) = µX1 + (1− µ)X2, za svako µ ∈ R tako�e rje²enje tog sistema.

Dokaz. Da bi dokazali tvrdnju dokazat ¢emo da X(µ) zadovoljava jedna£inu(3.2). Koriste¢i osobine operacija s matricama i pretpostavku da X1 i X2

zadovoljavaju jedna£inu (3.2) slijedi da je

A(µX1 + (1− µ)X2) = µAX1 + (1− µ)AX2 = µB+ (1− µ)B = B,

pa je dokaz zavr²en.

Upravo dokazani teorem nam kaºe da sistem, ukoliko ima dva razli£itarje²enja, onda ih ima beskona£no mnogo.

Dakle, svaki sistem oblika (3.1) zadovoljava ta£nu jednu od sljede¢e tritvrdnje.

(i) Sistem nema rje²enje.

(ii) Sistem ima ta£no jedno rje²enje.

(iii) Sistem ima beskona£no mnogo rje²enja.

U slu£aju (ii) kaºemo da je sistem odre�en, dok u slu£aju (iii) kaºemo daje neodre�en. Jasno, u situaciji (i) sistem je nesaglasan, dok je u situacijama(ii) i (iii) saglasan.

Primijetimo da je homogen sistem uvijek saglasan, jer je ure�ena n-torkasa£injena od svih 0 rje²enje svakog homogenog sistema. Ovo rje²enje se na-ziva trivijalnim. Ukoliko je homogeni sistem odre�en onda je njegovo jedinorje²enje trivijalno. Neodre�en homogen sistem, pored trivijalnog, ima i drugarje²enja koja nazivamo netrivijalnim.

5

3.2.Kvadratni sistemi linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

Napomenimo jo² da rije²iti sistem zna£i na¢i sva njegova rje²enja ili us-tanoviti da sistem nema rje²enje.

U nastavku ovog poglavlja govorit ¢emo o metodama rje²avanja sistemai uslovima pod kojim sistem zadovoljava tvrdnje (i)-(iii). Zna£ajnu ulogupri rje²avanju sistema imaju ekvivalentni sistemi. Sli£no, kao i kod matrica,elementarnim transformacijama se sistem prevodi u elvivalentan sistem.

De�nicija 3.4. Dva sistema jedna£ina su ekvivalentna ako imaju isti skuprje²enja.

Elementarne transformacije koje sistem prevode u ekvivalentan sistem su:

(i) Zamjena mjesta bilo koje dvije jedna£ine sistema.

(ii) Mnoºenje proizvoljne jedna£ine sistema nekim brojem razli£itim od 0.

(iii) Dodavanje jedne jedna£ine sistema, prethodno pomnoºene nekim bro-jem razli£itim od 0, drugoj jedna£ini sistema.

Tako�e se nekad pod elementarnom transformacijom podrazumijeva i pro-mjena poretka varijabli u jedna£inama sistema, no treba napomenuti da jeu tom slu£aju vaºno voditi ra£una o novom poretku, pogotovo ukoliko sesistem pi²e pomo¢u matrica koje ga odre�uju i rje²enje se zapisuje u oblikuure�ene n-torke.

3.2 Kvadratni sistemi linearnih jednacina

U ovom odjeljku ¢emo se baviti sistemima linearnih jedna£ina kod kojih jebroj jedna£ina jednak broju nepoznatih. Speci�£nost ovog tipa sistema namgarantuje da je matrica sistema kvadratna, pa je mogu¢e ra£unati njenudeterminantu i odre�ivati njenu inverznu matricu ukoliko je ona regularna.Upravo na ovim £injenicama su zasnovane dvije metode rje²avanja kvadratnihsistema koje ¢emo opisati u nastavku.

3.2.1 Rjesavanje sistema rjesavanjem matricne jednacine

Kako smo ve¢ napomenuli sistem linearnih jedna£ina, pa specijalno i kva-dratni sistem linearnih jedna£ina, moºe biti napisan u matri£noj formi (3.2).

Forma (3.2) se moºe interpretirati kao matri£na jedna£ina, jedna£ina ukojoj je nepoznata varijabla matrica. Ovu matri£nu jedna£inu, kao i matri£ne

6


jedna£ine op¢enito, rje²avamo koriste¢i operacije s matricama i njihove oso-bine. Vaºno je napomenuti da treba voditi ra£una da mnoºenje matrica nijekomutativno.

Neka je matrica A kvadratnog sistema regularna, to jeste postoji njojinverzna matrica A−1. Pomnoºimo jednakost (3.2) s lijeve strane sa A−1,a zatim iskoristimo £injenicu da je produkt matrice i njoj inverzne matricejednak jedini£noj matrici, kao i £injenicu da je jedini£na matrica neutralnielement za mnoºenje matrica. Opisani postupak moºemo zapisati na sljede¢ina£in.

AX = B

A−1(AX) = A−1B

(A−1A)X = A−1B

EX = A−1B

X = A−1B.

3.2.2 Kramerovo pravilo

U ovom dijelu opisat ¢emo metod za rje²avanje kvadratnih sistema jedna£inabaziran na primjeni determinanti. Kvadratnom sistemu

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

, (3.3)

odgovara kvadratna matrica sistema A. Njoj moºemo pridruºiti determi-nantu, koju nazivamo determinantom sistema (3.3) i obiljeºavamo je sa D.Istom sistemu moºemo pridruºiti i determinante Di, (i = 1, . . . , n), koje do-bijemo tako ²to i-tu kolonu determinante D zamijenimo kolonom slobodnih£lanova. Dakle, za sistem (3.3) je

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,7


Di =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Rezultat na kojem se zasniva Kramerovo pravilo za rje²avanje kvadratnih

sistema dat ¢emo u teoremu koji slijedi.

Teorem 3.2. Neka sistem (3.3) ima barem jedno rje²enje. Tada svako rje-²enje (α1, α2, . . . , αn) tog sistema zadovoljava jednakosti

αiD = Di, (i = 1, . . . , n). (3.4)

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i osobine determinanti. Odaberimo pro-izvoljno i �ksirajmo indeks i, (i = 1, . . . , n). Prema osobini determinanti (vi),determinanta se mnoºi skalarom tako ²to joj se jedna kolona ili vrsta mnoºitim sklarom. Da bi pomnoºili skalarom αi determinantu D pomnoºimo timskalarom i-tu kolonu te determinante. Zatim primijenimo osobinu (viii) nadobijenu determinantu tako ²to ¢emo pomnoºiti elemente prve kolone sa α1 idodat ih i-toj koloni, zatim pomnoºiti elemente druge kolone sa α2 i dodat ihi-toj koloni i postupak ponoviti za sve kolone izuzev kolone i. Determinantakoju dobijemo nakon opisanih transformacija je oblika

αiD =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1i−1 a11α1 + a12α2 + . . .+ a1nαn a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i−1 a21α1 + a22α2 + . . .+ a2nαn a2i+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ani−1 an1α1 + an2α2 + . . .+ annαn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Po pretpostavci je (α1, α2, . . . , αn) rje²enje posmatranog sistema, pa uvr²ta-vanjem vrijednosti αi (i = 1, . . . , n) u jedna£ine sistema dobijamo ta£ne jed-nakosti, ²to zna£i da lijeve strane jedna£ina, koje se pojavljuju u i-toj kolonigornje matrice, moºemo zamijeniti desnim, to jeste, i−tu kolonu vektoromslobodnih £lanova. Dobijena matrica je upravo matrica Di, pa je tvrdnjateorema dokazana.

Posmatrajmo sistem (3.3). Neka je matrica sistema regularna, to jesteD = 0. Tada iz (3.4) slijedi da je posmatrani sistem odre�en i ima jedinstvenorje²enje dato sa

xi =Di

D, (i = 1, . . . , n).

8


Ukoliko matrica sistema nije regularna, odnosno ukoliko jeD = 0 i ukolikopostoji indeks j, (j = 1, . . . , n) takav da je Dj = 0 onda jedna od jedna£inaiz (3.4), za i = j postaje nemogu¢a, pa je sistem u ovom slu£aju protivrje£an.

Zaklju£ak u preostalom slu£aju, to jeste kada je D = 0 i Di = 0 za sve i =1, . . . , n se ne moºe direktno izvesti. Potrebno je posmatrati poddeterminanteposmatranih determinanti.

Upravo navedena razmatranja dovode do rezultata koji je poznat podnazivom Kramerovo pravilo. Formulisat ¢emo ga u narednom teoremu.

Teorem 3.3. Neka je dat kvadratni sistem (3.3).

1. Ako je determinanta sistema D = 0 sistem ima jedinstveno rje²enjedato sa xi =

Di

D, (i = 1, . . . , n), to jeste sistem je odre�en.

2. Ako je D = 0 i barem jedna od determinanti Di (i = 1, . . . , n) razli£itaod 0 sistem je protivrje£an.

3. Ako je D = 0 i D1 = D2 = . . . = Dn = 0 onda mogu nastupiti dvijesituacije, sistem je neodre�en ili je sistem protivrje£an. Odgovor napitanje kada nastupa koja situacija daje nam sljede¢i niz koraka.

(a) Ako je bar jedna subdeterminanta reda n− 1 determinante D raz-li£ita od nule sistem je neodre�en.

(b) Ako je svaka subdeterminanta reda n− 1 determinante D jednakanuli, a barem jedna od subdeterminanti reda n − 1 determinantiDi razli£ita od nule, sistem je protivrje£an.

(c) Ako je svaka subdeterminanta reda n−1 svih determinanti Dk i Djednaka nuli nastavljamo postupak ponavljanjem koraka (a), (b) i(c) za subdeterminante jednog reda manje.

Primjenom prethodnog teorema na homogene sisteme jedna£ina dobi-jamo jednostavan kriterij kada homogeni sistem ima i netrivijalna rje²enja.Posmatrajmo homogen kvadratni sistem

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0

. (3.5)

9

3.3.Gausov metod eliminacije Doc. dr. Almasa Odºak

Neka oznake D i Di imaju isto zna£enje kao i ranije. Iz na£ina formiranjadeterminanti Di i osobine (i) determinanti slijedi da je Di = 0 za svakoi = 1, . . . , n. Osim toga, kako smo ve¢ napomenuli, homogeni sistem uvijekima trivijalno rje²enje, pa nikada nije nemogu¢. Dakle, vrijedi tvrdnja.

Posljedica 3.4. Homogeni sistem (3.5) je odre�en ako je D = 0, a neodre�enu slu£aju kada je D = 0.

3.3 Gausov metod eliminacije

Gausov metod eliminacije zasniva se na £injenici da se sistemi jedna£inakod kojih je matrica sistema trougaona ili trapezna jednostavno rje²avaju.Takve sisteme ¢emo zvati trougaonim ili trapeznim. Sam metod se sastojiiz dvije osnovne etape, prva je transformisanje datog sistema u ekvivalentantrougaoni ili trapezni, a druga je rje²avanje novodobijenog sistema.

Ilustrirat ¢emo postupak na sistemu napisanom u op²tem obliku (3.1).Pretpostavimo da je a11 = 0. Ukoliko to nije slu£aj moºemo izvr²iti

elementarnu transformciju zamjene redoslijeda jedna£ina sistema, tako dauslov bude zadovoljen. Naime, barem jedan od koe�cijenata uz varijablu x1

mora biti razli£it od nula, jer u protivnom varijabla x1 moºe imati proizvoljnuvrijednost.

Prvu jedna£inu podijelimo sa x1, a zatim od i-te (i = 2, . . . ,m) jedna£ineoduzmimo prvu jedna£inu pomnoºenu sa ai1. Dobijamo ekvivalentan sistemoblika

x1 + a12a11

x2 + · · · + a1na11

xn = b1a11(

a22 − a21a12a11

)x2 + · · · +

(a2n − a21

a1na11

)xn = b2 − a21

b1a11

...(am2 − am1

a12a11

)x2 + · · · +

(amn − am1

a1na11

)xn = bm − am1

b1a11

.

Ovaj sistem moºemo zapisati u ne²to kra¢em obliku uvedemo li oznake

• a′1j =a1ja11

, (j = 2, . . . , n),

• b′1 =b1a11

,

• a′ij = aij − ai1a1ja11

, (i = 2, . . . ,m, j = 2, . . . n),

10


• b′i = bi − ai1b1a11

,, (i = 2, . . . ,m).

Sistem poprima sljede¢i oblik

x1 + a′12x2 + · · · + a′1nxn = b′1a′22x2 + · · · + a′2nxn = b′2...

a′m2x2 + · · · + a′mnxn = b′m

.

Postupak nastavljamo tako ²to prepi²emo prvu jedna£inu, a na ostale pri-mijenimo transformacije analogne ve¢ ura�enim. Drugu jedna£inu dijelimosa a′22 i od i-te (i = 3, . . . ,m) oduzimamo drugu jedna£inu pomnoºenu saa′i2. Naravno dijeljenje je mogu¢e izvr²iti jedino ako je a′22 = 0. Ukolikoto nije slu£aj mogu nastupiti tri situacije. Ukoliko postoji a′i2 = 0 za nekoi = 3, . . . ,m, onda zamjenom mjesta jedna£ina postiºemo da je traºeni uslovzadovoljen. Ukoliko to nije slu£aj mogu¢e je da da postoji koe�cijent aij,i = 2, . . . ,m, j = 3, . . . , n razli£it od nule, pa se zamjenom pisanja redosli-jeda varijabli, odnosno prenumeracijom, postiºe ispunjenje uslova. Ukolikoni jedan od dva navedena uslova nije ta£an, to zna£i da su svi koe�cijentisistema u svim jedna£ina izuzev prve jednaki 0, pa se te jedna£ine svode na0 = bi, (i = 2, . . . ,m). Jasno, u ovom slu£aju sistem ima jedino rje²enje akoje bi = 0 (i = 2, . . . ,m). U protivnom ovaj sistem, pa i po£etni, je nemogu¢.Nakon opisanih transformacija uz skra¢ene oznake

• a′′2j =a′2ja′22

, (j = 3, . . . , n),

• b′′2 =b′2a′22

,

• a′′ij = aij − ai2a′2ja′22

, (i = 3, . . . ,m, j = 3, . . . n),

• b′′i = b′i − a′i2b′2a′22

,, (i = 3, . . . ,m),

sistem poprima oblik

x1 + a′12x2 + a′13x3 · · · + a′1nxn = b′1x2 + a′′23x3 · · · + a′′2nxn = b′′2

+ a′′33x3 · · · + a′′3nxn = b′′3...+ a′′m3x3 · · · + a′′mnxn = b′′m

.

11


Postupak nastavljamo i nakon m koraka dobijamo trougaoni ili trapezni sis-tem. Treba napomenuti da je mogu¢e i da u nekom k-tom (k < m) korakuposljednjih m − k jedna£ina poprimi oblik 0 = b(k)i, (i = k + 1, . . . ,m). Utom slu£aju sistem je saglasan jedino ako je bi = 0 za sve i = k + 1, . . . ,m.U protivnom je nemogu¢.

Nizom opisanih koraka zavr²ava se prva etapa. Primijetimo da smo uprvom koraku varijablu x1 eliminisali iz svih izuzev prve jedna£ine, nakontoga u drugom koraku varijabla x2 je eliminisana iz svih, izuzev prve i drugejedna£ine i tako dalje. Upravo iz ovog razloga se postupak naziva metodomeliminacije.

U drugoj etapi rje²avamo sistem ekvivalentan po£etnom dobijen u pret-hodnoj etapi. U sl£aju kada je m = n dobijeni sistem je trougaoni i akoje saglasan posljednja jedna£ina je oblika xn = b(n)n i sistem ima jedins-tveno rje²enje. Dakle, posljednja jedna£ina nam daje vrijednost varijablexn. Zatim, uvr²tavanjem te vrijednosti u pretposljednju jedna£inu moºemoizra£unati vrijednost varijable xn−1. Postupak nastavljamo. Kona£no u pos-ljednjem koraku ove etape, poznate su nam vrijednosti varijabli xn, . . . , x2 ipomo¢u prve jedna£ine ra£unamo vrijednost varijable x1. Time je postupakrje²avanja sistema zavr²en.

U slu£aju kada je m < n (ili k < n za situaciju kada odre�eni broj jed-na£ina poprima oblik 0 = b(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i ako je sistem mogu¢)sistem ima beskona£no mnogo re²enja. Varijable xm+1, xm+2, . . . , xn mogubiti proizvoljno odabrane, a preostale, primjenom analognog postupka opi-sanom postupku u situaciji m = n, mogu biti izraºene preko proizvoljnoodabranih varijabli.

U slu£aju kada je m > n postupkom eliminacije, da bi sistem bio mogu¢,odre�en broj jedna£ina se mora svesti na identi£ne jedna£ine ili jedna£ine0 = b(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i pri tome svi b(k)i koje se pojavljuju u njimamoraju biti jednaki 0. Ostatak sistema je jednog od razmatrana dva oblika,pa se tako i rje²ava.

Treba napomenuti da se postupak eliminacije prakti£no vr²i primjenomelementarnih transformacija na jedna£ine sistema, odnosno na pro²irenu ma-tricu sistema. Ve¢ smo obrazloºili da se elementarne transformacije matricamogu interpretirati kao mnoºenje matrice odgovaraju¢im matricama, pa jenaravno to slu£aj i za elementarne transformacije sistema linearnih jedna£ina.

12

3.4.Kroneker-Kapelijev stav Doc. dr. Almasa Odºak

3.4 Kroneker-Kapelijev stav

Kao ²to smo vidjeli ranije primjenom Kramerovog teorema mogu¢e je ispi-tivati saglasnost kvadratnih sistema linearnih jedna£ina. No, treba napo-menuti da ovaj postupak moºe biti jako obiman jer je potrebno ra£unativeliki broj poddeterminanti. Tako�e ovaj postupak je ograni£en isklju£ivona kvadratne sisteme. U ovom odjeljku ¢emo opisati postupak za ispitiva-nje saglasnosti pravougaonog sistema zasnovan na rangu matrice sistema ipro²irene matrice.

Teorem 3.5. Sistem (3.3) je saglasan ako i samo ako je

rang(A) = rang(A|B) = r

. Dodatno, ukoliko je ispunjena gornja relacija onda,

(i) ako je r = n sistem ima jedinstveno rje²enje,

(ii) ako je r < n sistem ima beskona£no mnogo rje²enja.

Dokaz. Za dokaz teorema koristit ¢emo interpretaciju ranga matrice datupomo¢u linearno nezavisnih kolona matrice datu u teoremu ??.

Prvo pretpostavimo da sistem ima rje²enje. Neka je ono dato sa x1 = α1,x2 = α2, . . . , xn = αn i neka je matrica sistema zapisana pomo¢u svojihkolona u obliku (??). Koriste¢i matri£ni zapis sistema jedna£ina i uvedeneoznake slijedi da vrijedi

α1K1 + α2K2 + . . .+ αnKn = B.

O£igledno je B linearna kombinacija kolona matrice A, pa je rang(A|B) ≤rang(A). Kako se dodavanjem kolona nekoj matrici rang ne moºe smanjiti,to je rang(A) ≤ rang(A|B). Slijedi da je rang(A) = rang(A|B).

Pretpostavimo da je sada rang(A) = rang(A|B) = r. Pokaºimo da jesistem saglasan, tj. da ima rje²enje. Jednakost iz pretpostavke implicira daje B zavisno od kolona matrice A, pa se moºe napisati u obliku linearnekombinacije kolona K1, . . . , Kn, to jeste u obliku

B = α1K1 + α2K2 + . . .+ αnKn,

a ovo upravo zna£i da su skalari α1, α2, . . . , αn rje²enja posmatranog sistema.Ovim je prvi dio teorema dokazan.

13

3.4.Kroneker-Kapelijev stav Doc. dr. Almasa Odºak

Za dokaz drugog dijela primijetimo da iz pretpostavke da je rang(A) =rang(A|B) = r, prema de�niciji ranga, slijedi da u matrici sistema postojisubdeterminanta reda r razli£ita od 0, odnosno da je r kolona matrice Alinearno nezavisno. Bez umanjenja op²tosti moºemo pretpostaviti da je toprvih r kolona. U protivnom moºemo izvr²iti prenumerisanje varijabli. Os-talih n− r kolona se mogu napisati kao linearne kombinacije prvih r kolona.Sli£no vrijedi i za vrste, pa je posljednjih m− r jedna£ina sistema posljedicaprvih r jedna£ina, te se mogu odbaciti. Po£etni sistem se sada moºe napisatiu obliku

a11x1 +a12x2 + · · · +a1rxr = b1 −a1r+1xr+1 − . . . −a1nxn

a21x1 +a22x2 + · · · +a2rxr = b2 −a2r+1xr+1 − . . . −a2nxn...

ar1x1 +ar2x2 + · · · +arrxr = br −arr+1xr+1 − . . . −arnxn.(3.6)

Sistem (3.6) je kvadratni sistem reda r i determinanta tog sistema je raºli£itaod 0, pa primjenom Kramerovog metoda sistem (3.6) kao sistem od r vari-jabli ima jedinstveno rje²enje. No, za r < n po£etni sistem ima beskona£nomnogo rje²enja, jer za svaki izbor varijabli xr+1, xr+2, . . . , xn ima jedno rje-²enje, pa je dokazana tvrdnja (i). Za n = r na desnoj strani sistema (3.6)nema varijabli, pa je jedinstveno rje²enja sistema (3.6) i jedinstveno rje²enjepo£etnog sistema.

Napomenimo da se pri prakti£noj primjeni Kroneker-Kapelijevog teorematraºi rang pro²irene matrice svo�enjem na trapezni oblik i pri tome se po-sljednja kolona matrice ne pomjera. Trapezni oblik pro²irene matric dajenam i trapezni oblik matrice sistema, pa im je rang jednostavno odrediti.Takodjer, trapezni oblik pro²irene matrice daje trapezni sistem koji je ekvi-valentan po£etnom sistemu, pa se on jednostavno rje²ava, kao i kod Gausovogsistema eliminacije.

Teorem 3.5 primijenjen na homogene sisteme daje nam jednostavan kri-terij o egzistenciji netrivijalnih rje²enja homogenog sistema. Naime, obziromda je kolona slobodnih £lanova homogenog sistema sastavljena samo od nula,to je uvijek rang matrice sistema i pro²irene matrice sistema jednak, pa jeprema teoremu 3.5 sistem saglasan, kako smo ve¢ i napomenuli.

Posljedica 3.6. Homogeni sistem AX = 0, A ∈ Rm×n ima netrivijalnorje²enje akko je r(A) < n.

14




� predavanja �


Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1


3 Sistemi linearnih jedna£ina 3

4 Linearni operatori 4

4.1 Pojam linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Matrice i linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Promjena baze i matrica operatora . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Jezgro i slika linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori . . . . . . . . . . . . 144.6 Dijagonalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

POGLAVLJE 1

Uvod

POGLAVLJE 2


POGLAVLJE 3

Sistemi linearnih jedna£ina

POGLAVLJE 4

Linearni operatori

U uvodnom dijelu smo uveli pojam preslikavanja koje elementima jednogskupa pridruºuje elemente drugog skupa. Ukoliko umjesto skupova posma-tramo vektorske prostore i posmatramo preslikavanja koja uvaºavaju njihovulinearnu strukturu govorimo o linearnim operatorima. Ovakva preslikavanjasu osnovni predmet prou£avanja linearne algebre i funkcionalne analize i jav-ljaju se u mnogim oblastima primijenjene matematike.

4.1 Pojam linearnog operatora

De�nicija 4.1. Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F . Pres-likavanje A : V → W za koje vrijedi

(∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ F ) A(αx+ βy) = αA(x) + βA(y) (4.1)

naziva se linearan operator.

Treba napomenuti da se za preslikavanje uvedeno prethodnom de�nicijomu nekoj literaturi koristi i pojam operator, ²to moºe dovesti do zabune jerje mogu¢e posmatrati i operatore koji nisu linearni, to jeste one koji nezadovoljavaju uslov (4.1).

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

Analogno ranije posmatranoj situaciji datoj uslovom (??), uslov (4.1) senaziva uslovom linearnosti i ekvivalentan je uslovima aditivnosti i homoge-nosti datim sa

(∀x, y ∈ V ) A(x+ y) = A(x) + A(y), (4.2)

(∀x ∈ V, ∀α ∈ F ) A(αx) = αA(x). (4.3)

Slika elementa x ∈ V pri djelovanju operatora A se £esto skra¢eno pi²e saAx umjesto A(x). Tako�e skup svih linearnih operatora koji slikaju elementeskupa V u elemente skupa W obiljeºavamo sa L(V,W ).

Na ovom skupu mogu¢e je de�nirati operaciju sabiranja i operaciju mno-ºenja skalarom na sljede¢i na£in.

• Za A,B ∈ L(V,W ) operator A + B ∈ L(V,W ) de�niramo sa (∀x ∈V ) (A+B)x = Ax+Bx;

• Za A ∈ L(V,W ), α ∈ F operator αA ∈ L(V,W ) de�niramo sa (∀x ∈V ) (aA)(x) = a(A(x));

• Nula operator O je operator za koji vrijedi (∀x ∈ V ) O(x) = 0W , gdjeje 0W neutralni element u W .

• Za A ∈ L(V,W ), operator −A se de�nira sa −A = (−1)A.

Jendostavno se pokazuje da skup L(V,W ) sa upravo de�niranim opera-cijama uz uvedeni neutralni i suprotni element predstavlja vektorski prostor.

Iz same de�nicije odmah slijede neke osobine linearnih operatora.

(i) Linearan operator A : V → W nulu vektorskog prostora V slika u nuluvektorskog prostora W. Dokaz slijedi stavljaju¢i da je α i β, iz osobinelinearnosti, jednako neutralnom elementu polja F .

(ii) Linearan operator A : V → W po²tuje linearnu kombinaciju, to jesteza proizvoljno n ∈ N vrijedi

(∀αi ∈ F, ∀xi ∈ V ) A

(n∑

i=1

αixi

)=

n∑i=1

αiA(xi).

Dokaz se dobije induktivnim putem primjenom osobine linearnosti.

5

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

(iii) Ako su x1, . . . , xn linearno zavisni elementi prostora V i ako je A :V → W linearan operator, onda su A(x1), . . . , A(xn) linearno zavisnielementi prostora W. Dokaz slijedi iz de�nicije linearne zavisnosti iosobine (i).

Dalje, treba napomenuti da de�nicija linearnog operatora dopu²ta daprostori V i W budu jednaki i u tom slu£aju govorimo o linearnim operato-rima na prostoru V .

Specijalno, operatore kod kojih je prostor W prostor skalara nazivamo li-nearnim funkcionalima ili linearnim formama. Naj£e²¢e jeW u ovom slu£aju,kao i polje F za linearne operatore, polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Primjer 4.1. Neka je V = R3 i W = R2 i neka je preslikavanje dato saA : (x1, x2, x3) 7→ (x1, x2). Pokaºimo da je A linearan operator. Kao ²to smoranije vidjeli Rn, n = 2, 3 su vektorski prostori nad poljem realnih brojeva.Pokaºimo da je zadovoljen uslov linearnosti. Koristimo de�niciju operacijau Rn, n = 2, 3 i de�niciju preslikavanja A. S jedne strane je

A(α(x1, x2, x3) + β(y1, y2, y3)) = A(αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)

= (αx1 + βy1, αx2 + βy2),

a s druge

αA(x1, x2, x3) + βB(y1, y2, y3)) = α(x1, x2) + β(y1, y2)

= (αx1 + βy1, αx2 + βy2),

pa je o£igledno uslov zadovoljen.

Primjer 4.2. Neka je V = Rn, W = Rm i A ∈ Rm×n. De�ni²imo operatorA sa A(x) = Ax. Pri tome ure�enu k-torku (k = m,n) posmatramo kaomatricu formata 1 × k i desnu stranu de�nicije operatora A tuma£imo kaomnoºenje matrica. Imaju¢i na umu osobine mnoºenja matrica zaklju£ujemoda je ovako de�nisan operator linearan.

Upravo navedeni primjeri linearnih operatora su primjeri linearnih opera-tora de�niranih na kona£nodimenzionalnim prostorima i mi ¢emo u nastavkuisklju£ivo takve operatore i posmatrati.

6

4.2.Matrice i linearni operatori Doc. dr. Almasa Odºak

4.2 Matrice i linearni operatori

Primjer 4.2 nam u su²tini govori da svaka matrica predstavlja jedan linearanoperator. Prirodno je postaviti pitanje, da li i svakom linearnom operatorumoºemo pridruºiti neku matricu. Odgovor je potvrdan, me�utim, to pri-druºivanje nije obostrano jednozna£no. Naime, da bi operatoru jednozna£nopridruºili matricu neophodno je odabrati baze prostora V i W . Vidjet ¢emoda se promjenom baze u op²tem slu£aju mijenja i matrica pridruºena tomoperatoru. Jedan od vaºnih zadataka linearne algebre je upravo odabir bazatako da matrica pridruºena operatoru bude ²to jednostavnija.

Pridruºivanje matrice linearnom operatoru zasnovano je na £injenici daje za poznavanje djelovanja operatora dovoljno poznavati njegovo djelovanjena elementima baze.

Preciznije, neka je A : V → W linearni operator, dimV = n < ∞.Neka je {b1, b2, . . . , bn} baza prostora V . Proizvoljan elemenat x prostora Vmoºe biti napisan na jedinstven na£in kao linearna kombinacija elemenata

baze x =n∑

j=1

αjbj. Koriste¢i osobinu (ii) linearnih operatora slijedi da je

A(x) =n∑

j=1

αjA(bj). Dakle, A(x) je potpuno odre�eno sa A(bj), odnosno

linearan operator je u potpunosti odre�en djelovanjem na bazu.Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m < ∞, a BV =

{b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W , respektivno.Operator A elemente baze BV slika u neke elemente A(bj), j = 1, . . . , nprostora W , ti elementi mogu biti napisani u obliku linearne kombinacijeelemenata baze BW prostora W , to jeste, postoje skalari aij, i = 1, . . . ,m,j = 1, . . . , n takvi da je

A(bj) = a1jw1 + a2jwa + . . .+ amjwm (4.4)

za sve j = 1, . . . , n. Koriste¢i skalare aij formiramo ºeljenu matricu. Preciz-nije uvodimo sljede¢u de�niciju.

De�nicija 4.2. Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m <∞, a BV = {b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W ,respektivno. Matricu A = (aij)m×n, pri £emu su skalari aij dati relacijom(4.4), nazivamo matrica operatora A u odnosu na baze BV i BW .

Matrica iz prethodne de�nicije se £esto ozna£ava sa ABV ,BWili ABW

BV,

ukoliko ºelimo istaknuti u odnosu na koje baze prostora je data matrica A.

7


Djelovanje operatora A na element x prostora V koriste¢i matricu opera-tora moºe biti opisano mnoºenjem matrice ABW

BVoperatora A sa x. Pri tome

vektore x i y interpretiramo kao matrice fomrata n× 1 i m× 1, respektivno.

Naime, jedinstvenost prikaza elemenata x =n∑

j=1

αjbj i A(x) = y =m∑i=1

βiwi

po datim bazama prostora i linearnost operatora A implicira da vrijedi

A(x) = A

(n∑

j=1

αjbj

)=

n∑j=1

αjA(bj)

=n∑

j=1

αj

m∑i=1

aijwi =m∑i=1

(n∑

j=1

aijαj

)wi,

pa mora biti βi =n∑

j=1

aijαj za sve i = 1, . . .m, a prema de�niciji mnoºenja

matrica to implicira da je ABWBV

x = y.De�nicija matrice linearnog operatora i upravo navedena razmatranja po-

kazuju da vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 4.1. Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m < ∞, aBV = {b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W , respek-tivno. Operatoru A se moºe pridruºiti jedinstvena matrica A = (aij)m×n £ijesu kolone koordinate vektora A(bj) u bazi BW i pri tome je A(x) = Ax 1.Tako�e, svakoj matrici Am×n odgovara samo jedan operator A koji djeluje naelemente prostora V dimenzije n i slika ih u elemente prostora W dimenzijem tako da vrijedi

(∀x ∈ V )(∃!y ∈ W )A(x) = Ax = y.

�injenica da je za poznavanje operatora dovoljno poznavati samo njegovodjelovanje na elemente baze ima jo² neke vaºne implikacije.

Ukoliko se djelovanje dva linearna operatora A i B s prostora V na prostorW podudara na elementima baze prostora V onda su operatori A i B jednaki.

Vrijedi i sljede¢i teorem.

Teorem 4.2. Neka su V i W kona£nodimenzionalni vektorski prostori nadpoljem F . Neka je dimV = n < ∞, {b1, b2, . . . , bn} baza prostora V i

1Kao i ranije prilikom mnoºenja matrica elemente x i y interpretiramo kao matrice

kolone.

8


(w1, w2, . . . , wn) ure�ena n-torka elemenata prostora W . Tada postoji je-dinstveni linearni operator A : V → W takav da je A(bi) = wi, i = 1, . . . , n.

Dokaz. Prvo dokaºimo egzistenciju linearnog operatora A. Neka je x pro-

izvoljan element prostora V , x =n∑

i=1

αibi. Stavimo da je A(x) =n∑

i=1

αiwi.

Pogodnim izborom skalara odmah zaklju£ujemo da je A(bi) = wi. Dokaºimo

linearnost. Neka je x, y ∈ V , x =n∑

i=1

αibi, y =n∑

i=1

βibi. Sada je

αx+ βy =n∑

i=1

(ααi + ββi)bi,

i

A(x) =n∑

i=1

αiwi, A(y) =n∑

i=1

βiwi,

pa je

A(αx+ βy) =n∑

i=1

(ααi + ββi)wi =n∑

i=1

(ααiwi + ββiwi)

=n∑

i=1

ααiwi +n∑

i=1

ββiwi = α

n∑i=1

αiwi + β

n∑i=1

βiwi

= αA(x) + βA(y).

Dakle, egzistencija linearnog operatora A je dokazana. Dokaºimo i jedins-tvenost. Pretpostavimo da postoji i linearan operator B : V → W takav daje B(bi) = wi, za sve i = 1, . . . , n. Sada je

B(x) = B

(n∑

i=1

αibi

)=

n∑i=1

αiB(bi) =n∑

i=1

αiwi = A(x).

Dakle, A = B, pa je jedinstvenost operatora A dokazana.

Zna£aj upravo dokazanog teorema se ogleda u tome da za zadanu bazuprostora V postoji jedinstven linearan operator A : V → W koji ¢e elementete baze preslikati u zadate, po volji odabrane vektore prostora W .

9

4.3.Promjena baze i matrica operatora Doc. dr. Almasa Odºak

4.3 Promjena baze i matrica operatora

U prethodnom odjeljku smo vidjeli da matrica operatora direktno zavisi odizbora baza prostora na kojima operator djeluje. Pitanje koje se prirodnoname¢e je kako uspostaviti vezu matrica nekog operatora pri razli£itim iz-borima baza. Da bismo odgovorili na ovo pitanje prvo ¢emo vidjeti kakouspostaviti vezu izme�u koordinata nekog vektora datih u dvije baze jednogprostora.

Neka je V vektorski prostor diomenzije n < ∞. Neka suBV = {b1, b2, . . . , bn}i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora. Kaºemo da je BV stara, aB′

V nova baza. Proizvoljan element x ∈ V ima reprezentaciju i u jednoj i udrugoj bazi, to jeste

x =n∑

j=1

αjbj =n∑

j=1

α′jb

′j.

Da bi oderedili vezu izme�u komponenti vektora x u dvjema datim repreze-natcija prvo ¢emo prona¢i vezu vektora jedne i druge baze. Naime, vektoreBV moºemo razloºiti po vetorima baze B′

V i obratno. Neka je

b′1 = p11b1 + p21b2 + . . .+ pn1bn

b′2 = p12b1 + p22b2 + . . .+ pn2bn...

b′n = p1nb1 + pn2b2 + . . .+ pnnbn,

odnosno

b1 = q11b′1 + q21b

′2 + . . .+ qn1b

′n

b2 = q12b′1 + q22b

′2 + . . .+ qn2b

′n

...bn = q1nb

′1 + qn2b

′2 + . . .+ qnnb

′n.

Koe�cijenti iz prethodnih relacija formiraju matrice

P =

p11 p12 · · · p1np21 p22 · · · p2n...

......

pn1 pn2 · · · pnn

, Q =

q11 q12 · · · q1nq21 q22 · · · q2n...

......

qn1 qn2 · · · qnn

. (4.5)

10


Matrica P se naziva matricom prelaza sa stare na novu bazu, matrica Qmatricom prelaza sa nove na staru bazu.

Vezu me�u uvedenim matricama prelaza i koordinatama datog vektora urazli£itim bazama iskazat ¢emu u vidu sljede¢ih teorema.

Teorem 4.3. Neka je V vektorski prostor diomenzije n < ∞. Neka suBV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora. Zamatrice prelaza P i Q date sa (4.5) vrijedi PQ = QP = E.

Dokaz. Dokaz slijedi direktnom primjenom razlaganja vektora jedne bazepreko druge baze, zamjenom redoslijeda sumiranja u kona£nim sumama iprimjenom de�nicije mnoºenja matrica, kao i £injenice da su vektori bazelinearno nezavisni. Linearna nezavisnost nam tako�e govori da matrica sa-£injena od kolona £iji su elementi komponente vektora baze je matrica pu-nog ranga, pa je ona regularna. Proizilazi da su matrice P i Q me�usobnoinverzne.

Teorem 4.4. Neka je V vektorski prostor dimenzije n < ∞. Neka su BV ={b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora i P matrica

prelaza sa baze BV na bazu B′V . Neka za x ∈ V vrijedi x =

n∑j=1

αjbj =n∑

j=1

α′jb

′j.

Tada je α′ = P−1α, pri £emu je α =

α1

α2...αn

i α′ =

α′1

α′2...α′n

.

Dokaz. Koristimo jedinstvenost prikaza elemenata vektorskog prostora u pro-izvoljno odabranoj bazi i reprezentaciju vektora nove baze pomo¢u vektorastare baze. Zaista,

x =n∑

j=1

α′jb

′j =

n∑j=1

α′j

(n∑

i=1

pijbi

)=

n∑i=1

(n∑

j=1

α′jpij

)bi.

i x =n∑

i=1

αibi implicira da je αi =n∑

j=1

α′jpij za sve i = 1, . . . , n, odnosno

matri£no zapisano α = Pα′, ili zbog regularnosti matrice prelaza u oblikuα′ = P−1α, ²to je i trebalo dokazati.

Pre�imo sada na osnovni zadatak ovog odjeljka, a to je razmatranje vezematrica pridruºenih nekom operatoru pri izboru razli£itih baza.

11


Neka je A : V → W linearan operator, dimV = n < ∞, dimW = m <∞. Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} baze prostora Vi PV matrica prelaza sa baze BV na bazu B′

V , a BW = {w1, w2, . . . , wm} iB′

W = {w′1, w

′2, . . . , w

′m} baze prostora W s matricom prelaza PW sa baze

BW na bazu B′W . Neka je A matrica operatora A u odnosu na baze BV i

BW , a matrica A′, matrica tog operatora u odnosu na baze B′V i B′

W . Neka

je y = A(x), x =n∑

j=1

αjbj =n∑

j=1

α′jb

′j i y =

m∑i=1

βiwi =n∑

i=1

β′iw

′i, i neka su kao i

ranije α, α′, β i β′ matrice kolone sa£injene od odgovaraju¢ih koe�cijenata.Prema dosada²njim razmatranjima, koriste¢i matri£ne zapise, zaklju£u-

jemo da vrijedi

β = Aα, β′ = A′α′,

α′ = P−1V α, β′ = P−1

W β,

²to impliciraP−1

W β = A′(P−1V α),

pa je daljeβ = PW (A′(P−1

V α)).

Primjenom osobina mnoºenja matrica dobijamo da je

β = (PWA′P−1V )α.

Posljednja jednakost i jednakost β = Aα impliciraju da je

A = PWA′P−1V , (4.6)

odnosnoA′ = PVAP−1

W .

Napomenimo da smo ustanovili da su matrrice prelaza regularne, pa postojenjihove inverzne matrice.

Dakle, dokazali smo teorem.

Teorem 4.5. Neka je A : V → W linearan operator, dimV = n < ∞,dimW = m < ∞. Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n}baze prostora V i PV matrica prelaza sa baze BV na bazu B′

V , a BW ={w1, w2, . . . , wm} i B′

W = {w′1, w

′2, . . . , w

′m} baze prostora W s matricom pre-

laza PW sa baze BW na bazu B′W . Ako je matrica A matrica operatora A u

odnosu na baze BV i BW , tada je matrica A′ operatora A, u odnosu na bazeB′

V i B′W , data sa A′ = PVAP−1

W .

12

4.4.Jezgro i slika linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

Specijalno moºemo posmatrati situaciju kada je V = W , pa je BV = BW ,B′

V = B′W i PV = PW . Neposredno iz prethodnog teorema slijedi da vrijedi

posljedica.

Posljedica 4.6. Neka je A : V → V linearan operator, dimV = n < ∞.Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′

V = {b′1, b′2, . . . , b′n} baze prostora V i PV

matrica prelaza sa baze BV na bazu B′V , a A matrica operatora A u odnosu

na bazu BV . Tada je matrica A′ operatora A u odnosu na bazu B′V data sa

A′ = P−1V APV

Prethodna posljedica je motivacija za uvo�enje pojma sli£nih matrica.

De�nicija 4.3. Za matrice A,B ∈ Rn×n kaºemo da su sli£ne ukolio postojiregularna matrica P ∈ Rn×n tako da vrijedi

B = P−1AP.

Pi²emo A ≃ B.

Neke od osobina relacije sli£nosti za matrice su sljede¢e.

• Relacija sli£nosti za matrice je relacija ekvivalencije na skupu kvadrat-nih matrica reda n.

• Sli£ne matrice imaju jednake determinante.

• Sli£ne matrice imaju jednak rang.

Vidjet ¢emo u nastavku da se sli£ne matrice koriste u postupku dijagonali-zacije.

4.4 Jezgro i slika linearnog operatora

Iz same de�nicije linearnog operatora A ∈ L(V,W ) slijedi da su V i Wvektorski prostori. Neki njihovi potprostori su posebno zna£ajni.

Uvedimo pojmove jezgra i slike linearnog operatora.

De�nicija 4.4. Neka je A ∈ L(V,W ). Skup

Im(A) = {y ∈ W : (∃x ∈ V )A(x) = y}

nazivamo slikom operatora A.

13

4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Doc. dr. Almasa Odºak

De�nicija 4.5. Neka je A ∈ L(V,W ). Skup

Ker(A) = {x ∈ V : A(x) = 0W}

nazivamo jezgrom operatora A.

U prethodnoj de�nicji sa 0W smo ozna£ili neutralni element u vektorskomprostoru W .

Koriste¢i de�niciju vektorskog podprostora odmah slijedi sljede¢a tvrdnja.

Teorem 4.7. Neka je A ∈ L(V,W ). Im(A) je podprostor prostora W , aKer(A) podprostor prostora V .

Svaki podprostor je u su²tini vektorski prostor, pa moºemo govoriti onjegovoj dimenziji. Uvodimo sljede¢e pojmove.

De�nicija 4.6. Neka je A ∈ L(V,W ). Dimenzija vektorskog prostora Im(A)naziva se rangom operatora A i ozna£ava se sa r(A). Dimenzija vektorskogprostora Ker(A) naziva se defektom operatora A i ozna£ava se sa d(A).

Vaºan rezultat o defektu i rangu dat je sljede¢om teoremom.

Teorem 4.8. Neka je A ∈ L(V,W ). Vrijedi r(A) + d(A) = dimV.

4.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori

Vaºan alat u postupku dijagonalizacije, o kojem ¢emo govoriti u narednomodjeljku, su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori. Ovdje uvodimo tepojmove i njihove najzna£ajnije osobine.

Posmatrat ¢emo samo operatore koji djeluju na nekom kona£no-dimen-zionalnom vektorskom prostoru i imaju vrijednosti u istom tom prostoru.

De�nicija 4.7. Neka je V kona£no-dimenzionalan vektorski prostor nad po-ljem F , dimV = n < ∞ i A : V → V linearan operator. Skalar λ ∈ F nazivase svojstvenom vrijedno²¢u operatora A ako postoji nenulti vektor x ∈ V ta-kav da je

A(x) = λx. (4.7)

Nenulti vektor koji zadovoljava (4.7) naziva se svojstvenim vektorom kojiodgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Skup svih svojstvenih vrijednosti operatoraA naziva se spektar operatora.

14


Umjesto pojma svojstveni iz prethodne de�nicije koriste se i pojmovisopstveni, karakteristi£ni i vlastiti.

Treba napomenudi da se prethodnom de�nicijom de�niraju svojstvenivektori i svojstvene vrijednosti operatora. Imaju¢i na umu korespondencijulinearnih operatora i matrica, analogno uvedenoj de�niciji uvode se i pojmovisvojstvenih vrijednosti i vektora kvadratne matrice. Odre�ivanje svojstvenihvrijednosti i svojstvenih vektora za dati operator £esto se naziva i rje²avanjemproblema svojstvenih vrijednosti datog operatora.

Iz de�nicije 4.7 moºemo zaklju£iti da su zadovoljene sljede¢e osobine.

(i) Ukoliko je nenulti vektor x svojstveni vektor operatora A sa svojstve-nom vrijedno²¢u λ, onda je i αx (α ∈ F ) svojstveni vektor sa istom tomsvojstvenom vrijedno²¢u. Zaista, A(αx) = αA(x) = α(λx) = λ(αx).

(ii) Ukoliko su nenulti vektori x i y svojstveni vektori operatora A sa svoj-stvenom vrijedno²¢u λ, onda je i αx+ βy (α, β ∈ F ) svojstveni vektorsa istom tom svojstvenom vrijedno²¢u ukoliko je on razli£it od nulavektora. Zaista, A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) = α(λx) + β(λy) =λ(αx+ βy).

Obzirom da se prema de�niciji zahtjeva da svojstveni vektor bude nenultivektor, islju£enje tog vektora u osobini (ii) uzrokuje da skup svih svojstvenihvektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ ne obrazuje vektorskiprostor. No, ako tom skupu dodamo nula vektor, tada ¢e on postati vektorskipodprostor prostora V . Ovaj podprostor se naziva svojstvenim podprostoromoperatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ i ozna£ava se sa Eλ.

Ovaj podprostor se moºe dobiti i ne²to druga£ije. Naime, relacija (4.7)se moºe napisati i ne²to druga£ije

(A− λE)x = 0, (4.8)

pri £emu smo sa E ozna£ili identi£ni operator, to jeste operator koji svakielement prostora V slika u samog sebe. Sada proizilazi da je Eλ = Ker(A−λE). Kako smo ve¢ napomenuli skup svih linearnih operatora je vektorskiprostor, pa je linearna kombinacija linearnih operatora linearan operator, paima smisla posmatrati jezgro tog operatora.

Posljednja razmatranja nam daju i na£in na koji moºemo rje²avati pro-blem svojstvenih vrijednosti. Naime, svojstveni vektor x je nenulti vektor

15


koji zadovoljava homogeni sistem jedna£ina odre�en sa (4.8), ukoliko isko-ristimo jednozna£nu korespondenciju matrica i operatora u slu£aju kada jeizabrana baza posmatranog prostora. Neka operatoru A odgovara matricaA = (aij)n×n u nekoj proizvoljno odabranoj, ali �ksiranoj bazi. Identi£nomoperatoru odgovara jedini£na matrica, pa operatoru A−λE odgovara matricaA− λEn. Kao i ranije, u matri£nom zapisu ¢emo vektor x pisati kao vektorkolonu. Da bi sistem (A− λEn)x = 0 imao netrivijalno rje²enje potrebno jeda je determinanta sistema bude jednaka nula, to jeste∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (4.9)

Ukoliko determinantu iz (4.9) razvijemo dobijamo polinom n-tog stepena poλ. Vode¢i koe�cijent tog polinoma je (−1)n.

Determinanta iz (4.9) se naziva karakteristi£nim polinomom matrice A,a odgovaraju¢a jedna£ina karakteristi£nom jedna£inom.

Razmotrimo sada kako se mijenja jedna£ina (4.9) kada se mijenja matricaposmatranog operatora, odnosno baza prostora na kojem on djeluje.

Neka su matrice A i B matrice datog opereatora u dvije baze prostorana kojem djeluje dati operator. To su sli£ne matrice, pa postoji regularnamatrica P takva da je B = P−1AP. Sada koriste¢i osobine matrica i deter-minanti slijedi da je

det(B− λEn) = det(P−1AP− λEn)

= det(P−1AP−P−1λEnP)

= det(P−1(A− λEn)P)

= det(P−1)det(A− λEn)det(P)

= det(A− λEn).

Dakle, zaklju£ujemo da jedna£ina (4.9) ostaje nepromijenjena pri promjenibaze prostora V .

Obzirom na navedeno, determinanta iz (4.9) se naziva i karakteristi£nimpolinomom operatora A, dok se odgovaraju¢a jedna£ina naziva karakteristi£-nom jedna£inom.

16


Dakle, da bi odredili svojstvene vrijednosti operatora A potrebno je idovoljno da rije²imo karakteristi£nu jedna£inu. Da bismo to uradili potrebnoje izra£unati determinatnu n-tog reda i odrediti nule polinoma n-tog stepena.Oba ova problema s prakti£nog aspekta su zahtjevna za ve¢e vrijednostin. Treba napomenuti da posmatrana determinanta sadrºi pored numeri£kihvrijednosti i varijablu λ, ²to oteºava ra£un. Koristimo li razvoj determinantepotrebno je ra£unati veliki broj poddeterminanti. Tako�e, za traºenje nulapolinoma n-tog stepena ne postoje esplicitne formule za n > 4.

Dodatno, napomenimo da, u op²tem slu£aju, karakteri²ti£na jedna£inasa koe�cijentima iz polja F , ne mora uvijek imati rje²enje u tom polju. Uspecijalnom, naj£e²¢e kori²tenom, slu£aju poljem realnih brojeva, karakteris-ti£na jedna£ina ne mora imati rje²enja koja su realni brojevi. Obzirom danam osnovni stav algebre garantuje da polinom n-tog stepena ima ta£no nnula u skupu kompleksnih brojeva, uzimaju¢i u obzir njihovu vi²estrukost,pri rje²avanju problema svojstvenih vrijednosti koristi se polje kompleksnihbrojeva. Slijedi da, u slu£aju F = C, karakteristi£na jedna£ina ima oblik

(−1)n(λ− λ1)n1(λ− λ2)

n2 . . . (λ− λr)nr = 0,

gdje su λ1, . . . , λr razli£ite svojstvene vrijednosti, a n1, . . . , nr njihove vi²es-trukosti, respektivno, n1 + . . . + nr = n. Ovaj prelaz na skup kompleksnihbrojeva garantuje da svaki linearan operator A ima barem jednu svojstvenuvrijednost, ²to ne mora biti slu£aj ako se ograni£imo na skup realnih brojeva.Bez obzira na navedenu prednost vektorskih prostora nad poljem kompleks-nih brojeva u nekim primjenama neophodno je posmatrati vetorske prostorenad poljem realnih brojeva. U tom slu£aju moºemo se susresti sa situacijomu kojoj linearnan operator nema svojstvenih vrijednosti.

Za odre�ivanje svojstvenih vektora datog operatora za datu svojstvenuvrijednost λ = λ0 treba uvrstiti datu vrijednost u homogeni sistem (4.8).Obzirom na izbor vrijednosti λ sistem ima netrivijalna rje²enja, ima ih be-skona£no mnogo, ²to je u skladu sa osobinom (ii) svojstvenih vektora. Trebajo² napomenuti, da u slu£aju kada odaberemo F = C, svojstvene vrijednostimogu biti kompleksni brojevi, pa to mogu biti i komponenete svojstvenihvektora.

Na kraju ovog odjeljka dokazat ¢emo jednu vaºnu osobinu svojstvenihvektora.

Teorem 4.9. Neka je V vektorski prostor, dimV = n i A : V → V linearanoperator. Neka su λ1, . . . , λr razli£ite svojstvene vrijednosti operatora A, a

17

4.6.Dijagonalizacija Doc. dr. Almasa Odºak

x1, . . . , xr njima pridruºeni svojstveni vektori, respektivno. Skup {x1, . . . , xr}je linearno nezavisan.

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i princip matemati£ke indukcije po brojur razli£itih svojstvenih vrijednosti. U slu£aju r = 1 tvrdnja je o£iglednota£na, jer posmatramo jednoelementan skup i po de�niciji svojstveni vektorje nenulti vektor.

Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za r−1 i dokaºimo da vrijedi za r.

Posmatrajmor∑

i=1

αixi = 0. Treba pokazati da je αi = 0 za sve i = 1, . . . , r.

Djelovanjem operatora A na sumu iz prethodne jednakosti dobijamo

A

(r∑

i=1

αixi

)=

r∑i=1

αiA(xi) =r∑

i=1

αiλixi,

pa jer∑

i=1

αiλixi = 0, odnosno nakon oduzimanja posljednje i po£etne jedna-

kosti pomnoºene sa λr dobijamo

r∑i=1

αiλixi −r∑

i=1

αiλrxi = 0

r−1∑i=1

αi(λi − λr)xi = 0.

Obzirom da su prema induktivnoj pretpostavci vektori {x1, . . . , xr−1} line-arno nezavisni, to slijedi da je αi(λi − λr) = 0 za sve i = 1, . . . , r − 1. Popretpostavci su svojstvene vrijednosti me�usobno razli£ite, pa je λi = λr zai = 1, . . . , r− 1. Slijedi da mora biti αi = 0 za sve i = 1, . . . , r− 1. No, sadase po£etna suma reducira na αrxr = 0, a po²to su svojstveni vektori nenultivektori, slijedi da mora biti αr = 0. Dakle, prema principu matemati£keindukcije tvrdanja teorema vrijedi.

4.6 Dijagonalizacija

Kako smo ve¢ napomenuli matrica nekog operatora zavisi od izbora bazaprostora na kojim operator djeluje. Jedan od vaºnih zadataka je odre�ivanjepogodne baze tako da matrica operatora bude ²to jednostavnija. Odgovor

18


na pitanje koliko jednostavnu matricu je mogu¢e dobiti za dati operator nijejednostavno unaprijed dati. No, imaju¢i na umu da je ra£un sa dijagonalnimmatricama znatno jednostavniji od onog sa proizvoljnim matricama, moºemozaklju£iti da bi bilo zna£ajno odrediti bazu prostora za koju je matrica opera-tora dijagonalna, ukoliko takva postoji. Postupak kojim se datom operatorupridruºuje dijagonalna matrica se naziva postupkom dijagonalizacije opera-tora. Za operator kojem se moºe pridruºiti dijagonalna matrica kaºe se dase moºe dijagonalizirati.

Razmotrimo jednu direktnu posljedicu teorema 4.9. Posmatrajmo line-aran operator A : V → V , koji djeluje na kona£no-dimenzionalnom prostoruV , dimV = n. Ukoliko operator A ima n razli£itih svojstvenih vrijednosti,tada je skup od n njima odgovaraju¢ih svojstvenih vektora nezavisan, pa uprostoru dimenzije n £ini bazu. Slijedi, koriste¢i de�niciju svojstvenih vek-tora, da je matrica operatora A, u toj bazi sastavljenoj od svojstvenih vek-tora dijagonalna. Dodatno, elementi na dijagonali su svojstvene vrijednostioperatora.

Odavde slijedi da se operator koji ima n nezavisnih svojstvenih vektoramoºe dijagonalizirati. Pokazuje se da vrijedi i obrnuta tvrdnja. Preciznije,vrijedi sljede¢i teorem, kojeg navodimo bez dokaza.

Teorem 4.10. Linearni operator se moºe dijagonalizirati ako i samo akopostoji baza koja se sastoji od njegovih svojstvenih vektora.

Ovdje treba napomenuti da operator koji ima n razli£itih svojstvenihvrijednosti ima i n razli£itih svojstvenih vektora, koji su prema teoremu 4.9linearno nezavisni, pa se prema teoremu 4.10 moºe dijagonalizirati. No, uslovrazli£itosti svojstvenih vrijednosti nije potreban, mogu¢e je da operator samanje od n razli£itih svojstvenih vrijednosti ima n nezavisnih svojstvenihvektora i da se moºe dijagonalizirati.

Karakteristike dijagonalne matrice i matrice prelaza pri dijagonalizacijidate su sljede¢im teoremom.

Teorem 4.11. Neka je operator A dat matricom A ∈ Rn×n i neka se moºedijagonalizirati. Elementi na glavnoj dijagonali dijagonalne matrice A′ susvojstvene vrijednosti operatora A (odnosno matrice A). Matrica prelaza Pna bazu sa£injenu od svojstvenih vektora je matrica £ije su kolone formiraneod komponenti svojstvenih vektora.

Navedena razmatranja nam daju i postupak kojim se vr²i dijagonalizacijaoperatora A kojem je pridruºena matrica operatoraA. Dakle, prvo odredimo

19


svojstvene vrijednosti operatora rje²avaju¢i karakteristi£nu jedna£inu, zatimza svaku od svojstvenih vrijednosti rje²avanjem odgovaraju¢eg homogenogsistema jedna£ina odredimo pridruºene svojstvene vektore. Ukoliko postojin linearno nezavisnih svojstvenih vektora operator se moºe dijagonalizirati.Matricu prelaska P s date baze na bazu sa£injenu od svojstvenih vektora for-miramo tako ²to komponente svojstvenih vektora pi²emo kao kolone matriceprelaza. Matrica A′ operatora A u novoj bazi je dijagonalna matrica £iji suelementi na dijagonali svojstvene vrijednosti, to jeste

A′ = P−1AP =

λ1 0 . . . 00 λ2 0... . . . ...0 0 . . . λn

.

Treba napomenuti da se pojam dijagonalazicije nekada uvodi samo zamatrice bez referiranja na odre�eni operator. No rezultati su potpuno ana-logni, a formalni prelazak se izvodi koriste¢i operator odre�en matricom kaou primjeru 4.2.

Jedna od primjena dijagonalizacije matrice je primjena na ra£unanje ste-pena matrice. Naime, kako smo vidjeli, postupak mnoºenja matrica, pa istepenovanja, zahtijeva izvr²enje velikog broja ra£unskih operacija. No, uslu£aju dijagonalnih matrica postupak je vrlo jednostavan.

20

Linearna algebra i geometrijarati algebarske strukture na datom skupu odre ene samo jednom binarnom...

Documents

Transcript of Linearna algebra i geometrijarati algebarske strukture na datom skupu odre ene samo jednom binarnom...