Ligjërata 10:Permutacionit, variacionet dhe kombinacionet

Statistika për ekonomiks dhe biznes

PERMBAJTJA

Nocionet themelore të kombinatorikës Hyrja në probabilitet

Nocionet themelore dhe llojet e kombinatorikës

• Permutacionet

• Variacionet

• Kombinacionet

NOCIONET THEMELORE

Kombinimi në mes të matematikës dhe statistikës vazhdon duke aplikuar metodat e probabilitetit

Qëllimi i probabilitetit është që të hetoj dukuritë të cilat mund të parashihen si të mundshme apo jo të mundshme

Përveq probabilitetit, në statistikë përdoret edhe Kombinatorika

Kombinatorika bazohet në: Permutacion

Variacion, dhe

Kombinacion

PERMUTACIONET: HYRJE

Me permutacione nënkuptojmë mënyrat e rradhitjes së n elementeve (objekteve) të një bashkësie

Shembull: një top i kuq dhe një top i kaltër mund të rradhiten

ose

Numri i permutacioneve në këtë rast është _____

PERMUTACIONET: LLOJET

Varësisht se a përsëritet apo jo ndonjë nga elementet (objektet) e bashkësisë, permutacionet mund të jenë

Me përseritje

P.sh.: 2 topa të kuq dhe 1 i kaltër

Pa përsëritje

P.sh.: 1 top i kuq dhe 1 i kaltër, ose

1 top i kuq, 1 top i kaltër, 1 top i zi

PERMUTACIONET PA PERSERITJE

Permutacioni pa përsëritje i një bashkësie paraqet përcaktimin e të gjitha përmutacioneve të asaj bashkësie me n elemente

Shënohet me n (numrin e elementeve të bashkësisë)

P.sh. Permutacionet e bashkësisë prej 3 topave (i kuq, i kaltër dhe i zi), do të shënoheshin

nP

3P

PERMUTACIONET PA PWRSERITJE (SHEMBULL 1)

Shembull. Le të jetë një bashkësi me 3 elemente (1,2,3). Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme.

pasi: atëherë:

d.m.th. janë 6 permutacione të mundshme

dhe ato janë:

6123!3! =⋅⋅=== nPn

3=n

1233

3

2

2

1

11 =

=P 132

2

3

3

2

1

11 =

=P 213

3

3

1

2

2

11 =

=P

2311

3

3

2

2

11 =

=P 312

2

3

1

2

3

11 =

=P 321

1

3

2

2

3

11 =

=P

12

3

123 132 213

321 231 312

nP

PERMUTACIONET PA PWRSERITJE (SHEMBULL 1)

Shembull. Le të jetë një bashkësi me 3 elemente (A,B,C). Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme.

pasi: atëherë:

Atëherë kemi 6 permutacione të mundshme dhe ato janë:

Le të jetë një bashkësi me 4 elemente (1,2,3,4). Llogarit numrin e permutacioneve të mundshme

6123!3! =⋅⋅=== nPn

3=n

ABC BAC CAB

ACB BCA CBA

PERMUTACIONET ME PERSERITJE

Permutacionet me përsëritje të një bashkësie llogariten kur një ose disa elemente të bashkësisë përsëriten disa herë

Numri i permutacioneve në rast të përsëritjes është ëm i vogël

Mendo: nëse në vend të një topi të kuq dhe një të kaltër në shembullin e kaluar tani do të kishim 2 topa të kuq, pra topi i kuq përsëritet 2 here

dhe janë e njejta gjë:

Në vend të 2 mënyrave të rradhitjes, tani kemi vetem 1

PERMUTACIONET ME PERSERITJE (2)

Në bashkësi me n elemente, nëse ato përsëriten k herë, atëherë numri i permutacioneve do të jetë për k! më i vogël

Shënohen me

ku n – numri i elementeve të bashkësëisë

k – tregon sa herë përsëritet elementi

P.sh. Nëse kemi 4 topa: 1 të kuq dhe 3 të kaltër, kemi

Numri i permutacioneve do të llogaritej me formulën

…llogarit numrin e permutacioneve

nkP

43P

!

!

k

nPn

k =

PERMUTACIONET ME PERSERITJE (3)

Ose. nëse përsëriten dy elemente, do të shkruhej

ku n – numri i elementeve të bashkësëisë

k1– tregon sa herë përsëritet elementi i parë

k2– tregon sa herë përsëritet elementi i dytë

P.sh. Nëse kemi 5 topa: 2 të kuq dhe 3 të kaltër, kemi

Numri i permutacioneve do të llogaritej me formulën

…llogarit numrin e permutacioneve

!!

!

21, 21 kk

nPn

kk ⋅=

nkkP

21 ,

53,2P

PERMUTACIONET ME PWRSERITJE (SHEMBULL)

Shembull. Le të jetë një bashkësi me 4 elemente (SSTT). Të llogariten të gjitha permutacionet mundshme.

pasi: atëherë:

d.m.th. janë 6 permutacione të mundshme dhe ato janë:

4=n

SSTT

64

24

!2!2

!442,2, 21

==⋅

== PPnkk

TSTS TTSS

STST TSST STTS

VARIACIONET (1) Variacionet janë mënyrat e rradhitjes grupeve

(klasave) të ndryshme të elementeve të nxjerra nga një bashkësi prej n elementeve

P.sh., nëse janë 20 sportistë që do të garojnë në një garë për tri medale: të artë, të argjendtë dhe të bronztë.

Pra, bashkësia ka 20 elemente

Nga këto nxirren grupet e mundshme me nga 3 fitues

Secili grup prej 3 fitues ka pastaj permutacionet e veta:

Mënyrat e rradhitjes: cili e merr medalen e artë, cili të argjendtën e cili të bronztën

VARIACIONET (2)

Variacionet shënohen

Ku n = numri i elementeve të bashkësisë

k = numri i elementeve në grupin e zgjedhur

Në shembullin tonë: nga 20 studentë zgjedhen grupet nga 3 studentë

Varësisht nga paraqitja e ndonjë elementi ne rend, edhe variacionet mund të jenë pa dhe me përsëritje

knV

320V

Vriacionet pa përsëritje llogariten:

Shembull: Llogarit numrin e variacioneve të grupeve nga 4 elemente të nxjerra nga një tërësi e 9 elementeve (ku elementet jane numrat 1,2,3,…,9).

(d.m.th. janë 3024 variacione të mundshme)

9=n

VARIACIONET PA PERSERITJE (1)

)!(

!)1()2()1(

kn

nknnnnV k

n −=+−⋅⋅⋅−⋅−⋅=

4=k

3024678949 =⋅⋅⋅=K

6)149()1( =+−=+− kn

dhe:nga fillojme

Shembull. Nga 20 studetë të viti të parë duhet të zgjidhen tre studentë të cilët do të kyçen në hulumtime të institutit ne pozitat: hulumtues, asistent-hulumtues dhe recepcionist. Duhet të përcaktohet (të llogaritet) mënyra dhe numri i zgjedhjes së tre studentëve.

(d.m.th. janë 6840 variacione të 20 studentëve të klasit tre (nga tre studentë))

VARIACIONET PA PERSERITJE (2)

20=n 3=kdhe

)!(

!)1()2()1(

kn

nknnnnK k

n −=+−⋅⋅⋅−⋅−⋅=

6840181920!17

!17181920

)!320(

!20320 =⋅⋅=⋅⋅⋅=

−=K

18)1320()1( =+−=+− kn:nga fillojmë

VARIACIONET ME PERSERITJE (1)

Variacionet me përsëritje llogariten

Ku n = numri i elementeve të bashkësisë

k = numri i elementeve në grupin e zgjedhur nga bashkësia

kkn nV =

VARIACIONET ME PERSERITJE (2)

Shembull: Nga bashkësia e 4 shkronjave (A, B, C, D), sa grupe me nga 2 shkronja me përsëritje mund të nxirren?

Variacionet do të ishin

{A A}, {A B}, {A C}, {A D}

{B,A},{B B}, {B C}, {B D},

{C A},{C B}, {C C}, {C D},

{D A},{D B}, {D C},{D D}

164224 ==V

KOMBINACIONET (1) Kombinacionet janë kombinimet e ndryshme të

grupeve (klasave) të k elementeve që mund të nxirren nga një bashkësi me n elemente

p.sh. Nëse nga 100 studentë në klasë dëshirojmë të zgjedhim 3 studentë për t’i shpallur studentë të dalluar, kombinacioni tregon sa kombimine të ndryshhme nga 3 studentë mund të zgjedhen.

Shënohen

ku n – numri total i elementeve të bashkësisë

k – numri i elementeve që përmban grupi (ose klasa) e nxjerrë nga bashkësia

Pra, në shembullin tonë

knC

3100C

KOMBINACIONET (2)

Për dallim prej permutacioneve tek kombinacionet nuk është me rëndësi renditja

d.m.th. (a,b,c) dhe (c,b,a) janë të njejta

Ose, në shembullin tonë, studenentët e zgjedhur mund të jenë:

Edona, Zana dhe Arta OSE Zana, Edona, Arta

Nuk është me rëndësi cila është e para: të gjitha do të jenë studente të dalluara.

Edhe kombinacionet ndahen në ato pa dhe me përsëritje

KOMBINACIONET PA PERSERITJE

Kombinacionet pa përsëritje llogariten me formulën

Ose si raport i variacioneve pa përsëritje dhe permutacioneve pa përsëritje

)!(!

!

knk

nC k

n −=

bashkesise teelementeve i totalnumri :ku =n

zgjedhur egrupin ne (klasave) elementeve i numri=k

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+−⋅⋅⋅−⋅−⋅==123

)1()2()1(

k

knnnn

P

VC

k

knk

n

k

KOMBINACIONET PA PERSERITJE: SHEMBUJ

Shembull. Nga numri total, 40, i studentëve, sa është numri i mundshëm i kombinacioneve për zgjedhjen e dy studentëve për shperblim?

Shembull. Sa është numri i kombinimeve të mundshme për të fituar llotarine nëse nga 36 numra zgjidhen 6?

760!38!2

!383940

)!240(!2

!40240 =

⋅⋅⋅=

−⋅=C04 :pra =n

2=k

36 :pra =n

6=k

792,947,1!30123456

!30313233343536

)!636(!6

!36636 =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

−⋅=C

KOMBINACIONET ME PERSERITJE

Kombinacionet pa përsëritje llogariten me formulën

Shembull. Emrat e 10 studentëve i shkruajme në copa letre dhe i fusim ne një kuti. Nga kutia njxerrim 4 emra një nga një: e nxjerrim një emer, e shënojmë, e kthejmë në kuti, pastaj vazhdojmë kështu me rradhë. Sa është numri i kombinimeve grupeve nga 4 studentë që mund të nxirren në këtë mënyrëtë?

)!1(!

)!1(

−−+=

nk

knC k

n

715!9!4

!910111213

!9!4

!13

)!110(!4

)!1410(410 =⋅⋅⋅⋅==

−−+=C

BASHKESITE (DUKURITE)