ARIMETICA I

JOSE DE JESUS MAURY OTERO LEIDY JASBLEIDY JEREZ MOSQUERA

EL PROCESO DE CONTAR E INDUCIR

JOSE DE JESUS MAURY OTERO

LEIDY JASBLEIDY JEREZ MOSQUERA

SEMESTRE I

CARLOS LUQUE ARIAS

DOCENTE

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

PROGRAMA LICENCIATURA EN MATEMATICAS

BOGOTÁ – COLOMBIA

2008.

Dedicatoria:

A nuestros padres.

PROLOGO

En esta obra se expone de forma amplia los contenidos que pertenecen al área de aritmética durante el primer semestre del año 208, en el programa de matemáticas de la universidad pedagógica nacional, es un compendio del trabajo desempeñado por sus autores durante el desarrollo académico que se ha llevado a cabo, en esta obra se explican en forma temática contenidos como:Los sistemas numéricos y se da trato amplio a las operaciones con los números naturales.

Ese texto busca servir de fundamentación en el área de matemáticas para estudiantes de bachillerato y primeros semestres de los programas de ciencias.

TABLA DE CONTENIDO.

Prologo

Capitulo I

CONSTRUYENDO NÚMEROS

Introducción

1 SISTEMASNUMÉRICOS

1.1Numeración E Historia

1.2 Sistemas Numéricos

1.3 Sistemas De Numeración Posiciónales

Investigación: El Ábaco Actividades (sistema numérico propio)

Capitulo II

BASES NUMÉRICAS

Introducción

2 EL PRINCIPIO DE LA BASE Y EL NACIMIENTO DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

2.1 El Número Y Sus Simbolizaciones

2.2 El Descubrimiento Del Principio De La Base

2.3 El Principio De La Base Decimal

2.4 El Origen De Las Otras Bases

2.5 La Mano, Primera “Maquina De Contar”

2.6 Las Cifras Romanas

Investigación: Código De BarrasActividades

Capitulo III

SISTEMAS NUMERICOS EN OTRAS CULTURAS

Introducción

3 SISTEMAS NUMÉRICOS EN OTRAS CULTURAS

Investigación: Sistemas De Numeración En Las Culturas De América Precolombina Actividades

Capitulo IV

NÚMEROS NATURALES

Introducción

4 OPERACIONES

4.1 Números Primos

4.2 MAXIMO COMÚN DIVISOR Y MINIMO COMÚN MULTIPLO

4.3 Máximo Común Divisor

4.4 Mínimo Común Múltiplo

4.5 Cuadrados Mágicos

4.6 Cual es el Número Más Grande

4.7 Algunas Veces no se Puede

4.8 Ecuaciones diofanticas Lineales con Dos Incógnitas

4.9 Ecuaciones de Segundo Grado

4.10 TEOREMA DEL BINOMIO

Investigación 1: Criba De Eratostenes

Investigación 2: Cuadrados Mágicos

Actividades

Capitulo V

METODO DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMATICA

Introducción

5 Metodo De Demostración Por Inducción Matematica

Actividades

BIBLIOGRAFIA

CAPITULO I

CONSTRUYENDO NUMEROS

El sabio comienza por hacer lo que quiere enseñar y después enseña.

CONFUCIO

SISTEMAS NUMÉRICOS

INTRODUCCIÓN.

En este capitulo nos interesaremos por construir un sistema numérico propio basándonos en las necesidades de contar cantidades no mayores a tres en correspondencia con el sistema decimal.

Utilizaremos nuestra propia simbología y representaremos las cantidades numéricas tomando como base dicho sistema.

Luego trataremos las operaciones aritméticas comunes como suma y multiplicación dentro de nuestro propio sistema numérico, haciendo definiciones posiciónales y luego transformando tal base inicialmente tomada por la intuición hasta llegar a la utilización de los números arábigos actuales.

Para ello veremos en forma inicial una muestra de lo que durante siglos han sido los sistemas numéricos y como la humanidad a tratado de formarlos, desarrollarlos y entenderlos hasta concurrir en lo que hoy actualmente utilizamos como números.

Es de anotar que cada cultura se caracteriza por darle una característica propia desde el punto de vista de sus necesidades.

NUMERACIÓN E HISTORIA

Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números.

Las primeras formas de notación numérica consistían simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales; cada una de ellas representa el numero 1. Por lo que este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones. Ya en el año 3400 a.C. en Egipto y Mesopotámica se utilizaba un símbolo específico para representar el número 10.

En la notación cuneiforme de babilonia el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para el 60 y sus potencias.; el valor del símbolo venía dado por su contexto.

En la antigua Grecia coexistieron dos sistemas de numeración paralelos. El primero de ellos estaba basado en las iniciales de los números, el número 5 se indicaba con la letra (PI); el 10 con la letra Δ (delta) el 100 con la letra ŋ(eta); el 1000 con la letra (chi) y el 1000 con la letra (mu). En el segundo sistema eran usadas todas las letras del alfabeto griego más otras tres tomadas del alfabeto fenicio como guarismos. La ventaja de este sistema era que con poca cantidad de números se podían expresar grandes cifras; pero había que saberse de memoria un total de 27 símbolos.

Numeración Romana

Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil.

En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez.

Numeración Arábiga

El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito.

SISTEMAS NUMÉRICOS

En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.

A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.

Valores posiciónales

La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.

Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.

Sistemas de Numeración Aditivos

Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIÓNALES

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posiciónales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.

Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

Investigación.

EL ÁBACO

El ábaco es un bastidor rectangular cuya superficie esta dividida en dos zonas desiguales por una barra horizontal que une a los dos lados mas cortos; la zona superior es mas pequeña que la inferior.

El ábaco tiene 13 columnas para identificarlas les asignaremos una letra del alfabeto, empezando de derecha a izquierda. La columna de la extrema derecha será la columna A la que sigue la columna B la siguiente la C y así sucesivamente hasta llegar a la columna de la extrema izquierda que será la columna M en cada columna hay cinco esferitas llamadas contadores que se distribuyen así: uno en la parte superior de la barra y cuatro en la parte inferior de está.

En la barra y en uno de los lados más largos del rectángulo hay dos tipos de marcas metálicas que sirven como indicadores.El primer tipo consiste en unos puntitos colocados en las partes inferior y media de cada columna, y sirven para darnos la ubicación de las mismas; el segundo tipo está constituido por unas rayitas verticales colocadas entre la tercera y la cuarta columnas,

entre la sexta y la séptima entre la novena y la décima , entre la duodécima y la décimo tercera y sirven para identificar los periodos decimales que se forman con tres cifras cada uno las rayitas metálicas también sirven para representar el punto decimal en las operaciones.

El valor de los contadores

La posición inicial de los contadores de la parte inferior debe ser aquella en la que estén más lejos de la barra , es decir, hasta abajo, y la posición inicial del contador de la parte superior debe ser aquella en la que se encuentre lo mas lejos posible de la barra, esto es, lo más arriba que se pueda. Cuando los contadores se acerquen a la barra se les asignara un valor numérico, que perderán cuando se alejen de ella.

Los contadores de la columna A tendrán los siguientes valores:

Los de la parte inferior valdrán 1 cada uno y el de la parte superior valdrá 5.

Los contadores de la columna A tendrán los siguientes valores:

Los de la parte inferior valdrán 10 cada uno y el de la parte superior valdrá 50, Y así sucesivamente.

De este modo, los contadores de cada columna que se encuentre a la izquierda de otra tendrán un valor de 10 veces el valor de los contadores de la columna que estén a la derecha inmediata.

Procedimiento para sumar

1. el primer sumando se pone respetando el valor relativo de cada cifra que lo compone; es decir, las unidades de millar, en la columna D; las centenas, en la columna C; las decenas, en la columna B y las unidades en la columna A.

2. los siguientes sumandos deben ponerse respetando el mismo orden. Al represen-tar alguna cantidad no se debe empezar por las unidades.

3. para representar un número en el ábaco debe ponerse primero la cifra de ma-yor valor relativo.

4. para acumular una cifra debe elegirse la regla correspondiente según el número que se desee acumular, y considerar la disponibilidad de los contadores que se queden a la izquierda de la columna en la que se quiera efectuar la acumula -ción.

Procedimiento para restar

1. se coloca el minuendo en las columnas correspondientes 2. se quita el sustraendo, retirando cada cifra que lo compone de la columna co-

rrespondiente

3. el sustraendo se quita empezando por las cantidades de mayor valor relativo 4. para quitar una cifra debe elegirse la regla adecuada según el número que se

desee quitar, considerando la disponibilidad de los contadores que queden a la izquierda o en una columna en la que se desea efectuar la operación.

Procedimiento para multiplicar

1. se ponen los números respetando el valor relativo de cada cifra.2. se coloca el multiplicador en la columna de la extrema izquierda del ábaco se

empieza por la columna M y avanza hacia la derecha.3. Se multiplican las unidades del multiplicador por los valores del multiplican-

do; se empieza por el mayor valor relativo, después se multiplican las decenas del multiplicador por los valores del multiplicando, en la forma que esta indica-da. Posteriormente se multiplican las centenas del multiplicador por los valores del multiplicando y así sucesivamente hasta agotar todos los valores del multi-plicador.

4. Los productos de cada digito multiplicado por otro deberán colocarse en las columnas que están a la derecha del multiplicador de la siguiente manera: en la primera y en la segunda el primer producto; en la segunda y la tercera el se-gundo producto; en la tercera y en la cuarta el tercer producto, etc.Es de anotar que el producto indica la columna en la que debe colocarse las posibles decenas de dicho producto, cuyas posibles unidades deberán colocarse en la columna de la derecha inmediata.

5. Una vez multiplicadas todas las unidades del multiplicador, este deberá ser re-movido de su lugar. Para multiplicar las decenas del multiplicador deben te -nerse las mismas consideraciones que en el caso de las multiplicaciones del pri-mer digito, es decir, al terminar de multiplicar las decenas del multiplicador este deberá ser removido nuevamente de su lugar.Tal procedimiento deberá repetirse hasta agotar todos los dígitos del multiplicador.Si se aplica este procedimiento se obtendrá el producto en forma inmediata y sin realizar esfuerzos mentales.

La división

Es un proceso compuesto de la disminución de objetos de la misma especie.El dividendo se pone en la extrema izquierda del ábaco dejando dos columnas en ceros; el divisor, en las columnas de la extrema derecha; el coeficiente e en las columnas que quedaron en ceros a la izquierda del dividendo y por último el residuo queda en la columna a la derecha de las que ocupe el dividendo.

Actividades

← Invente sus propios símbolos, elija sus propias reglas y construya un sistema de números para contar, luego proponga soluciones para el problema de escribir nú-meros grandes.

SISTEMA NUMÉRICOEn este sistema numérico encontraremos unas imágenes de diferente índole para girarnos y tener la noción de lo que estamos haciendo por favor tener muy encuentra la notación.

1

7

14

0

REGLAS1) El orden de los símbolos no importa, pero se sugiere de mayor a menor.

2) El solo se permite poner una vez.3) Utilizando la menor cantidad de cifras.

15

210

42

500

21

420

El ordenador no importa, pero es mejor de mayor o menor

El solo se permite poner una vez

Utilizando la menor cantidad de cifras

15

210

42

100

1000

1

10

500

21

420

10

100

SUMA

RESTA

En la suma la idea es colocar todos los números en un reglón y organiza de tal manera de colocar menos cantidad de símbolos.

2. La resta la idea es eliminar los números que se resta al otro, al caso de no poder

eliminar al tiempo, entonces descomponerlo en mas números de otra manera

=

DIVIDIR

Resultado

DIVIDIR

Al dividir la idea es colocar los números en igual de condiciones y que el dividendo sea

mas grande que el dividir y en casos de tener en función el simplificar el

numero para que quede como el otro ejemplo:

=

=

=

MULTIPLICACIÓN

= + + + + + = 128

= + + + + + +

+ + + + + + + = 728

=

= =

Multiplicación el ordenador de los multiplicandos no importa y se repiten como suma La cantidad de veces que se determina.

← Encuentre otras regularidades comunes a todas las sumas.

No interesa si el sumando superior es mayor que el sumando inferior siempre:

a +b =b +a

Es asociativa

a + (b +c) = (b +a) +c

Si no adicionamos ningún elemento (0) queda el mismo

← ¿Encuentra algunas regularidades que se cumplan para todas las sustracciones? Enumérelas, compárelas con las observadas para la adición.

El sustraendo debe ser mayor del minueto para que exista la operación en los números naturales

Si a un elemento le sustraemos uno del mismo valor el residuo es 0 (tiene elemento inverso)

Observaciones:

No es conmutativa (a –b es diferente a b-a)No es asociativa (a – (b – c) es diferente a (b –a) –c

← haga una analogía con la operación de multiplicación para definir una nueva operación (en el sistema numérico construido en clase) basada en la repetición de la potenciación, se sugiere definir por ejemplo:

nX= ((((X)x)x)….)x

Donde n es el número de veces que se repite X.Utilice los símbolos del sistema numérico desarrollado en clase para desarrollar este ejercicio.Escriba las propiedades que cumple esta nueva operación y justifíquelas.

Tomando n=II y X=O tenemos:

IIX= (((O)O)O)= (O)O*(O)O*(O)O*(O)O*(O)O= O*O*O*O*O* O*O*O*O*O* O*O*O*O*O O*O*O*O*O*O*O*O*O*O=(O)XO=(O)O*O

En general se tiene que nX=Xn*X

← Seguramente usted ya notó que existen otros procesos para realizar este mismo cálculo y está sacando sus propias conclusiones. Verifique si las observaciones que se cumplen para multiplicar los símbolos básicos también se tienen cuando un número tiene varios símbolos.

xooiiooi-----------xooiixxxxxxoxoooxxxxxxoxooo----------------------------xxxxxxxxxxxxxxxxxooii

Si se cumple cuando utilizamos varios símbolos

← Plantee un procedimiento para resolver el problema:“Repartir la cantidad X en grupos de O elementos”

Para resolver el segundo problema, un camino es:

Descomponemos el dividendo en símbolo “O” Repartir en cada recipiente 5 (O) De esta manera la respuesta es 4 grupo (IIII)

X = OOOO OOOO/O =IIII (grupos)

Proponga su propio procedimiento para dividir.

Observar la cantidad de veces que esta el divisor en el dividendo según la cantidad de cifras que tenga el divisor

Las veces que se encuentre (paso anterior) le restamos esta cifra al dividendo. Con el residuo se repite el procedimiento anterior las veces que sea necesario

Xm Xn = Xmn

n • Xm = Xm•n

Xm • Xn = XXm•n

Justifique las fórmulas anteriores.

1. Ejemplos:

XXX = XIII

XXXXX = XO

XIII. XO = XIIIO

2. Ejemplo

O • XII = XII • O = XX • O = XOXO

3. Ejemplo

XIII • XII = XXOI

← Estudie la propuesta de notación multiplicativa y proponga un conjunto de reglas para formar un sistema de representación de números, con sus operaciones básicas. ¿Cómo se comportan las potencias23 de Xn?

(Xn)II = XXnII

(Xn)III = XXnIII

(Xn)n = XXn

(Xn)III=XXXnIII

Xn • XXm = XXn•XnII =XXXn.nII

← Represente el número de días de un año en el calendario juliano en este sistema.

Este es el número del año juliano XOOOIIIO← Escriba el número anterior a OX

OOOOIIII

Defina procedimientos para las operaciones elementales con la notación exponencial reintente con la notación multiplicativa; es posible que esta discusión e haya sugerido alguna idea.

EXPONENCIAL

OII

+ OII

------

OIIOII

OIII

- OII

-------

OI

On • Om = On+m

On

--- = On-m (n>= m)Om

MULTIPLICATIVA

OII +OIII=OO

IO - IIII= III

On • Om =On+m

On / Om =On-m (n>= m)

CAPITULO II

BASES NUMÉRICAS

Lo último que uno sabe, es por donde empezar.

BLAISE PASCAL

BASES NUMÉRICAS

INTRODUCCIÓN.

En este capítulo nos interesaremos por estudiar los números naturales desde el comportamiento de regularidades y sus operaciones en bases distintas de diez trabajaremos con cantidades expresadas en bases diferentes de la base decimal y observaremos su correspondencia con el sistema decimal.

Luego trataremos las operaciones aritméticas comunes como suma y multiplicación dentro de las diferentes bases, haciendo uso de las operaciones aritméticas conocidas ya para la base decimal, además transformaremos números de una base a otra sin la necesidad de pasar por la base decimal.

Para ello veremos en forma inicial como surgieron estas bases desde las necesidades del hombre en sus respectivos entornos hasta conocer por último el nacimiento de nuestro sistema decimal.

EL PRINCIPIO DE LA BASE Y EL NACIMIENTO DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÒN

EL NÚMERO Y SUS SIMBOLIZACIONES

Una vez que el ser humano hubo accedido a la abstracción de los números y aprendió a distinguir sutilmente entre el aspecto cardinal y el aspecto ordinal de esa noción, se vio llevado a revisar sus concepciones respecto a sus antiguos instrumentos numéricos (guijarros, conchas palillos, collares de perlas, estos relativos a las partes del cuerpo, etc.).y así fue como de simples intermediarios materiales se convirtieron en verdaderos símbolos numéricos, mucho más cómodos desde esta perspectiva para asimilar, retener, distinguir y combinar los números.La creación de los nombres de número supuso otro progreso, ya que, en lo sucesivo, podría realizarse para designación oral mucho más precisa de las cantidades y permitiría acceder definitivamente al universo de los números abstractos.Lo que hasta entonces había sido expresado en lenguaje articulado eran simplemente conjuntos-modelo que en apariencia no tenían relación alguna unos con otros: los números eran descritos por medio de términos intuitivos, a menudo en relación directa con la naturaleza y el entorno (el sol, la luna o el miembro viril). En consecuencia, las cosas se estructuraron un poco gracias a las técnicas corporales. Se comenzó probablemente por descripciones del tipo: dispuesto para comenzar, para el 1; levantado con el dedo procedente, para el 2; el dedo que divide en partes iguales; para el 3; todos los dedos levantados salvo uno, para el 4; la mano, para el 5; etc. Luego, gracias a una transposición anatómica al vocabulario, se pasa a expresiones del siguiente estilo:

meñique, para 1; anular, para 2; corazón, para 3; índice, para 4; para 5; etc. Pero la necesidad de distinguir entre el símbolo del numero en sí mismo y el nombre del objeto o de la imagen de que se sirve, llevo al hombre a realizar, a lo largo del tiempo, esa notable distinción, hasta que finalmente el verdadero vínculo entre ambos desapareció por completo de la memoria. A medida qu8e aprendió a servirse de su lenguaje articulado, los sonidos fueron sustituyendo, poco a poco, a los objetos a partir de los cuales habían sido creados. Al instalarse la idea de la sucesión natural paulatinamente en el espíritu humano, el conjunto heterogéneo de los modelos concretos iníciales tomo desde entonces de la forma de un verdadero sistema de nombres de número. Y como la memoria y el hábito han dado una forma concreta a esas abstracciones, fue así como simples palabras se convirtieron en medidas de pluralidad.Pero la simbolización concreta y la expresión oral de los números no fueron las únicas posibilidades explotadas por el hombre en el transcurso del tiempo.Hubo también, aunque mucho más tarde, simbolización escrita: la recurre a las cifras, es decir; a los signos gráficos de todo tipo (trazos grabados, dibujados o pintados, huecograbado sobre arcilla o piedra, signos figurativos, letras del alfabeto, signos convencionales, etc.).Esas creaciones fueron evidentemente, muy importantes, pues permitieron sustituir cualquier cosa operación con las cosas por la correspondiente operación con los símbolos numéricos, lo que prueba que los números no proceden de las cosas, sino de las leyes del pensamiento humano al trabajar con las cosas.Pues, aunque la realidad sugiere el número, apenas lo constituye.

EL DESCUBRIMIENTO DEL PRINCIPIO DE LA BASE

Para simbolizar los números el hombre dispuso de dos principios: el primero, que podemos calificar de cardinal, consiste en adoptar de entrada un símbolo-patrón como representante de la unidad y repetirlo tantas veces como unidades tenga el número; el segundo, que podemos calificar de ordinal, consiste en atribuir a cada numero un símbolo original y considerar entonces una sucesión de símbolos que no tiene relación alguna unos con otros.Conforma al primer principio, los cuatro primeros números, por ejemplo, son representados por una simple repetición del nombre del número 1 tantas veces como sea preciso, por el alineamiento, yuxtaposición o superposición de guijarros, dedos muescas, trazos o círculos que simbolizan la unidad.Atendiendo al segundo principio, por el contrario, los mismos números son representados por palabras, objetos, gestos o signos, cada uno de ellos distinto a los demás.Partiendo de una u otra regla fundamental, desde entonces el hombre pudo aprender a concebir conjuntos cada vez más extensos. Pero en Ambos casos tropezó pronto con grandes dificultades. Para representar números cada vez mayores no se podía, evidentemente, multiplicar de forma indefinida de los guijarros, palillos, muescas o nudos de cuerda; tampoco el numero de dedos de la mano ni el de las partes del cuerpo eran extensibles a voluntad.Dicha solución fue privilegiar a un grupo particular (como la decena, la docena, la veintena o la sesentona, por ejemplo) y organizar la serie regular de los números según

una clasificación jerarquizada fundada sobre esta base. Dicho de otra manera, se convino una escala a partir de la cual es posible repartir los números y los diversos símbolos según grados sucesivos, a los que se pueden dar los nombres respectivos de: unidades de primer orden, unidades de segundo orden, unidades de tercer orden, etc. De esta manera se llego a una simbolización estructurada de los números, lo que permitía evitar esfuerzos considerables de memoria o de representación. Es lo que llamamos el principio de la base. Su descubrimiento marco el nacimiento de los sistemas de numeración: sistemas cuya base no es otra que el número de unidades que es necesario agrupar dentro de un orden dado para formar una unidad del orden inmediatamente superior.Según si ese principio ha sido aplicado a intermediarios materiales, a palabras de una lengua o signos gráficos, ha dado lugar a numeraciones concretas, orales o escritas.

EL PRINCIPIO DE LA BASE DECIMAL

Todavía no hace mucho tiempo que ciertas regiones de África occidental los pastores mantenían una costumbre muy practica para contar un rebaño. Hacían desfilar los animales uno tras otro. Al paso del primero enhebraban una concha en una correa blanca, otra concha por el segundo, etc. Al paso del décimo animal deshacían el collar y enhebraban una concha en una correa azul, asociada a las decenas. Luego volvían a enhebrar conchas en la correa blanca hasta que pasaba el vigésimo animal, y entonces enhebraban una segunda concha en la correa azul.Cuando esta , a su vez, contenía diez conchas, al haber contado cien animales, se deshacía la correa de las decenas y enhebraban una concha en una correa roja, reservada parta las centenas. Y así continuaban hasta acabar la cuenta de los animales. Al enumerar doscientos cincuenta y ocho animales, por ejemplo se tenían ocho conchas enhebradas en la correa blanca, cinco en la azul y dos en la roja. No vayamos a creer, no obstante, que esa gente razonaba como primitivos: au7n contamos según el mismo principio de ellos, pero con símbolos diferentes. La idea fundamental de ese procedimientos reside en el predominio del agrupamiento (y del ritmo de los símbolos de la serie regular) por decenas (o paquetes de diez), centenas (o paquetes de diez decenas), millares (o paquetes de diez centenas) etc. En esa técnica concreta, cada concha de la correa blanca equivale a una unidad simple, cada concha de la correa azul vale por diez, mientras una concha de la correa roja indica un agrupamiento de cien unidades. Es lo que se llama el principio de base 10. Tenemos ahí un ejemplo de numeración decimal concreta.Naturalmente, en lugar de usar conchas y7 correas, ese principio podría ser aplicado tanto a palabras como a signos gráficos: obtendríamos entonces numeraciones orales o escritas de base 10.Nuestra numeración escrita actual proviene de la misma idea, pero se sirve de los simboliza gráficos siguientes (a los que se le da a menudo el nombre de cifras árabes):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Los nueve primeros símbolos representan las unidades simples (o unidades de primer orden decimal). Se hallan sometidas al principio de posición, puesto que su valor varía en función del lugar que ocupa en la escritura del número (un 3, por ejemplo, vale 3 unidades, 3 decenas o 3 centenas según ocupe la primera, segunda o tercera posición en la cifra representada). En Al décimo símbolo, representa lo que llamamos el cero: sirve para señalar la ausencia de cifras de un cierto orden; tiene también el sentido de número nulo, resultado, por ejemplo, de restar un número así mismo.La base 10, que es el primer número representado por medio de dos cifras, se escribe 10(Notación que no es sino una forma abreviada de la expresión una decena, 0 unidades).Después se representan los números desde el 11 hasta el 99, combinando sucesivamente dos de esas cifras (según la regla de posición):

11 (1 decena, 1 unidad)12 (1 decena, 2 unidades)20 (2 decenas ,0 unidades)21(2 decenas, 1 unidad)30(3 decenas, 0 unidades)40(4decenas, 0 unidades)

La centena, que es igual al cuadrado de la base, se escribe 100(lo que significa 1 centena, 0 decenas, 0 unidades); es el número menor representado mediante 3 cifras.Los números desde 101 hasta 999 se anotan combinando sucesivamente tres de las 10 cifras fundamentales:

101 (1 centena, 0 decenas, 1unidad)358 (3 centenas, 5 decenas, 8 unidades), etc.

EL ORIGEN DE LAS OTRAS BASES

La razón por la que algunas culturas adoptaron la base 20 reside en la numeración azteca, pues en dicha lengua:

- los cinco primeros nombres de número pueden ser asociados a los cinco dedos de una mano.

- Los cinco siguientes a los cinco dedos de la otra.- Los cincos siguientes a los cinco dedos de un pie.- Los cinco últimos, a los cinco dedos del otro pie.

De manera que con el último dedo del segundo pie se alcanza la veintena.Esta comparación no es fortuita, evidentemente; por ello, diversos pueblos, al darse cuenta de que inclinándose un poco podían contar también los dedos de los pies adoptaron la base 20.

Un hecho notable es que los esquimales de Groenlandia (así como los tamaños del Orinoco) empleaban para el número 53 una expresión que significaba literalmente: del tercer hombre, tres del primer pie.Según C.Zaslavsky, los banda de África central expresaban todavía el numero 20 diciendo algo así como ‘colgar un hombre’, queriendo expresar con ello que al colgar un individuo salta inmediatamente a la vista del observador la cuenta de los dedos de sus manos y pies. En ciertos dialectos mayas la expresión hun única, que quiere decir 20, significa también ‘un hombre’. Los malinké del Alto Senegal expresan los números 20 y 40 con palabras que significan, respectivamente, ‘un hombre completo’ y ‘una cama’, encantadora alusión a la voluptuosa reunión de los dedos de pies y manos de una pareja acostada en una cama.No hay duda, ante tales circunstancias: el empleo del sistema vigesimal tiene su origen en el hábito de contar con los dedos de las manos y de los pies conjuntamente. El origen de la base 5es también antropomorfo: esa manera de contar ha sido común, en la mayoría de los casos, entre los pueblos que han aprendido a contar con una sola mano.La siguiente técnica digital (de la que se encuentran huellas en diversas regiones de África y Oceanía, y que comerciantes hindúes de Bombay usan aun con diversos fines) nos da una idea muy clara de la manera en que esa cuenta manual primitiva, superada ulteriormente por un esfuerzo intelectual, ha dado origen a una elaboración superior. Primero se cuentan las cinco primeras unidades extendiendo sucesivamente los dedos de la mano izquierda. Una vez alcanzado ese número se despliega el pulgar derecho y luego se continúa contando hasta 10 extendiendo de nuevo los dedos de la mano izquierda, tras lo cual se despliega el índice derecho para registrar las unidades suplementarias ya consideradas. Se puede contar de esa manera hasta 25. Y si no basta, se puede prolongar la operación hasta 30, acudiendo una vez más a los dedos libres de la mano izquierda.

LA MANO, PRIMERA ‘MAQUINA DE CONTAR’

Maravilla de movilidad y eficacia, la mano es ciertamente el más antiguo y extendido de los auxiliares de cuenta y calculo que los pueblos han usado en el transcurso de los tiempos.Desde Aristòfanes hasta Plutarco, los autores griegos lo mencionan. Y esta frase de Cicerón testimonia que la practica era, asimismo, muy corriente en Roma: tuos dígitos novi (‘conozco tu habilidad para contar con los dedos’).El filosofo Séneca escribía en una de sus epístolas (LXXXVII): ‘La avaricia me enseño a contar y poner mis dedos a disposición de mi pasión’.Poco después, Tertuliano declamaba en su discurso apologético: ‘pero, durante ese tiempo, hay que permanecer sentado rodeado de un montón de papeles, y gesticulando con los dedos para expresar los números’.

LAS CIFRAS ROMANAS

Al igual que los signos de numeraciones procedentes, las cifras romanas no permitieron a sus usuarios hacer cálculos.Para convencernos, intentemos simplemente efectuar una suma por medio de estas cifras; no será muy difícil conseguirlo, por no decir imposible, sin traducirla a nuestro sistema actual.Las cifras romanas no son signos que sirven para efectuar operaciones aritméticas, sino abreviaturas destinadas a anotar y retener los números. Por eso, los contables romanos (y después las calculadores europeos de la Edad Media) hubieron de recurrir a los ábacos de fichas para efectuar los cálculos.Como la mayoría de los sistemas de la antigüedad, la numeración romana estuvo regida, por el principio aditivo; siendo sus cifras (I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 Y M=1000) independientes unas de otras, su yuxtaposición implicaba generalmente la suma de los valores correspondientes:

CLXXXVII= 100+50+10+10+10+5+1+1=187MDCXXVI= 1000+500+100+10+10+5+1=1.626

Sin embargo, los romanos complicaron su sistema introduciendo en él una regla por la que todo signo numérico colocado a la izquierda de una cifra de valor superior se resta. Y es así como los números 4, 9, 19, 40, 90, 400 y 900, por ejemplo, fueron a menudo representados de la forma siguiente:

IV (=5-1) en lugar de IIII IX (=10-1) en lugar de VIIII XIX (=10+10-1) en lugar de XVIIII XL (=50-10) en lugar de XXXX

XC (=100-10) en lugar de LXXXX

CD (=500-100) en lugar de CCCC

CM (=1.000-100) en lugar de DCCCC

Un pueblo que en pocos siglos alcanza un nivel técnico muy alto, curiosamente conserva durante toda su existencia un sistema inútilmente complicado, poco operativo y que denota una forma de pensamiento arcaico.

La siguiente es la exposición de las tablas de multiplicar en la base que se indica:

B2 ∙ 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 10100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010

10 0 10 100 110 1000 1010 1100 1110 10000 10010 10100011 0 11 110 1001 1100 1111 10010 10101 11000 11011 11110

100 0 100 1000 1100 10000 10100 11000 11100 100000 100100 101000101 0 101 1010 1111 10100 11001 11110 100011 101000 101101 110110110 0 110 1100 10010 11000 11110 100100 101010 110000 110110 111100111 0 111 1110 10101 11100 100011 101010 110001 111000 111111 1000110

1000 0 1000 10000 11000 100000 101000 110000 111000 1000000 1001000 10100001001 0 1001 10010 11011 100100 101101 110110 111111 1001000 1010001 10110101010 0 1010 10100 11110 101000 110110 111100 1000110 1010000 1011010 1100100

B3 ∙ 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 1010 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 1012 0 2 11 20 22 101 110 112 121 200 20210 0 10 20 100 110 120 200 210 220 1000 101011 0 11 22 110 121 202 220 1001 1012 1100 111112 0 12 101 120 202 221 1010 1022 1111 1200 121220 0 20 110 200 220 1010 1100 1120 1210 2000 202021 0 21 112 210 1001 1022 1120 1211 2002 2100 212122 0 22 121 220 1012 1111 1210 2002 2101 2200 2222100 0 100 200 1000 1100 1200 2000 2100 2200 10000 10100101 0 101 202 1010 1111 1212 2020 2121 2222 10100 10201

B4 ∙ 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 220 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 222 0 2 10 12 20 22 30 32 100 102 1103 0 3 12 21 30 33 102 111 120 123 13210 0 10 20 30 100 110 120 130 200 210 22011 0 11 22 33 110 121 132 203 220 231 30212 0 12 30 102 120 132 210 222 300 312 33013 0 13 32 111 130 203 222 301 320 333 101220 0 20 100 120 200 220 300 320 1000 1020 110021 0 21 102 123 210 231 312 333 1020 1101 112222 0 22 110 132 220 302 330 1012 1100 1122 1210

B5 ∙ 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 202 0 2 4 11 13 20 22 24 31 33 403 0 3 11 14 22 30 33 41 44 102 1104 0 4 13 22 31 40 44 103 120 121 13010 0 10 20 30 40 100 110 120 130 140 20011 0 11 22 33 44 110 121 132 143 204 22012 0 12 24 41 103 120 132 144 211 223 24013 0 13 31 44 120 130 143 211 224 242 31014 0 14 33 102 121 140 204 223 242 311 33020 0 20 40 110 130 200 220 240 310 330 400B6 ∙ 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 140 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14

2 0 2 4 10 12 14 20 22 24 30 323 0 3 10 13 20 23 30 33 40 43 504 0 4 12 20 24 32 40 44 52 100 1045 0 5 14 23 32 41 50 55 104 113 12210 0 10 20 30 40 50 100 110 120 130 14011 0 11 22 33 44 55 110 121 132 143 15412 0 12 24 40 52 104 120 132 144 200 21213 0 13 30 43 100 113 130 143 200 213 23014 0 14 32 50 104 122 140 154 212 230 244

B7 ∙ 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 130 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 132 0 2 4 6 11 13 15 20 22 24 263 0 3 6 12 15 21 24 30 33 36 424 0 4 11 15 22 26 33 40 44 51 555 0 5 13 21 26 34 42 50 55 63 1016 0 6 15 24 33 42 51 60 66 105 11410 0 10 20 30 40 50 60 100 110 120 13011 0 11 22 33 44 55 66 110 121 132 14312 0 12 24 36 51 63 105 120 132 144 15613 0 13 26 42 55 101 114 130 143 156 202

B8 ∙ 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 120 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 122 0 2 4 6 10 12 14 16 20 22 243 0 3 6 11 14 17 22 25 30 33 364 0 4 10 14 20 24 30 34 40 44 505 0 5 12 17 24 31 36 43 50 55 626 0 6 14 22 30 36 44 52 60 66 747 0 7 16 23 34 43 52 61 70 77 10610 0 10 20 30 40 50 60 70 100 110 12011 0 11 22 33 44 55 66 77 110 121 13212 0 12 24 36 50 62 74 106 120 132 144

B9 ∙ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 112 0 2 4 6 8 11 13 15 17 20 223 0 3 6 10 13 16 20 23 26 30 334 0 4 8 13 17 22 26 31 35 40 445 0 5 11 16 22 27 33 38 44 50 556 0 6 13 20 26 33 40 46 53 60 667 0 7 15 23 31 38 46 54 62 70 778 0 8 17 26 35 55 53 62 71 80 8810 0 10 20 30 40 50 60 70 80 100 11011 0 11 22 33 44 55 66 77 88 110 121

Equivalencias entre números de una base y otra:

B10 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 12 10 2 2 2 2 2 2 2 23 11 10 3 3 3 3 3 3 34 100 11 10 4 4 4 4 4 45 101 12 11 10 5 5 5 5 56 110 20 12 11 10 6 6 6 67 111 21 13 12 11 10 7 7 78 1000 22 20 13 12 11 10 8 89 1001 100 21 14 13 12 11 10 910 1010 101 22 20 14 13 12 11 A11 1011 102 23 21 15 14 13 12 B12 1100 110 30 22 20 15 14 13 C13 1101 111 31 23 21 16 15 14 D14 1110 112 32 24 22 20 16 15 E15 1111 120 33 30 23 21 17 16 F16 10000 121 100 31 24 22 20 17 1017 10001 122 101 32 25 23 21 18 1118 10010 200 102 33 30 24 22 20 1219 10011 201 103 34 31 25 23 21 1320 10100 202 110 40 32 26 24 22 14

Investigación.

LOS CÓDIGOS DE BARRA

Los códigos de barras son dibujos formados por barras y espacios paralelos, que codi-fica información mediante las anchuras relativas de estos elementos. Los códigos de ba-rras representan datos en una forma legible por las máquinas, y son uno de los medios más eficientes para la captación automática de datos.

Esta información puede ser leída por dispositivos ópticos, los cuales envían la informa-ción leída hacia una computadora como si la información se hubiera tecleado.

El código de barras almacena datos que pueden ser reunidos de manera rápida y con una gran precisión y ofrecen con un método simple y fácil la codificación de información de texto que puede ser leída por lectores electrónicos de bajo costo.

Los códigos de barras se pueden imaginar como si fueran la versión impresa del código Morse, con barras angostas (y espacios) representando puntos, y barras. El lector deco-difica el código de barras a través de la digitalización proveniente de una fuente de luz que cruza el código y mide la intensidad de la luz reflejada por los espacios blancos. El patrón de la luz reflejada se detecta a través de una foto diodo el cual produce una señal eléctrica que coincide exactamente con el patrón impreso del código de barras. Luego esta señal es decodificada de regreso de acuerdo con la información original por circui-tos electrónicos de bajo costo. Debido a que el diseño de muchas simbologías de código

de barras no marca diferencia alguna, se puede digitalizar el código de barras de derecha a izquierda o viceversa.

La información es leída por dispositivos ópticos los cuales envían la información a una computadora como si la información hubiese sido tecleada. Un símbolo de código de barras es la visualización física de un código de barras. Una simbología es la forma en que se codifica la información en las barras y espacios del símbolo de código de barras.

Los Código de barras han sido creados para identificar objetos y facilitar el ingreso de información eliminando la posibilidad de error en la captura.

Su estructura básica consiste de zona de inicio y terminó en la que se incluye: un patrón de inicio, uno o más caracteres de datos, opcionalmente unos o dos caracteres de verifi-cación y patrón de término. Esta ampliamente difundido en el comercio y en la indus-tria, siendo que una computadora se conecta a través de la interfaz puerto de serie. Posi-bilita la recolección de datos con rapidez, muy baja tasa de errores, facilidad y bajo cos-to, en comparación con la lectura visual de códigos numéricos seguida de entrada ma-nual por teclado.

Uno de los medios más modernos, y que está tomando cada vez un mayor auge, de in-troducir información en una computadora es por medio de una codificación de barras verticales.

Cada vez son más los productos que llevan en su etiqueta uno de estos códigos donde, por medio de las barras verticales de color negro, se consigue una identificación para todo tipo de productos, desde libros hasta bolsas de papas fritas.

Esta codificación ha sido definida de forma estándar por la Organización de Estándares Internacionales y, en ella, cada una de las líneas tiene un determinado valor dependien-do, en principio, de su presencia o ausencia y también de su grosor.

En general los códigos de barra no son descifrables por las personas. Las lectoras son las encargadas de convertirlos en unos y ceros que irán a la computadora.

Representan caracteres de información mediante barras negras y blancas dispuestas ver-ticalmente. El ancho de las barras y espacios puede ser variable, siendo la más ancha un múltiplo de la más angosta. En binario las barras significaran unos y los espacios ceros.

CLASES DE CODIGOS DE BARRAS

Uno de los códigos de barras más corrientes es el UPC (Universal Product Code). Em-parentado con el UPC, existe el código ISBN, usado en la cubierta de libros y revistas, también de 12 dígitos, así como el código 39 codifica números y letras para usos gene-rales, siendo muy popular. Este código se usa mucho en la industria y para inventarios.

Otro es el código entrelazado 2 de 5 (ITF), puede ser de cualquier longitud, pero con un numero par de dígitos, siendo que codifica dos dígitos por vez. Este es uno de los pocos códigos en que los espacios en blanco tienen significado. Al presente existen unos 20 códigos de barra.

También existen códigos de barra en 2 dimensiones, que se deben escanear mediante un escáner o una cámara fotográfica digital. Una de las más utilizadas es el símbolo inter -nacional de número de artículo, llamado símbolo EAN por las siglas en inglés de la Asociación Europea para la Numeración de Artículos.

Este símbolo se emplea en el comercio abierto para identificar los productos al pasar del fabricante a los mayoristas, distribuidores y minoristas, y de ahí al cliente final.

El código de barras EAN-13 representa el número de artículo indicado debajo del mis-mo, y no contiene ninguna información sobre el producto al que identifica. Toda la in-formación sobre el producto figura en una base de datos, y se accede a ella indicando el número de artículo. Cada una de las empresas que utilizan el sistema EAN recibe un bloque de números de artículos que puede emplear para identificar todos sus productos. Estos bloques son asignados por una organización nacional de numeración, que a su vez recibe los números del organismo rector internacional, EAN Internacional.

Cada código de barras EAN-13 está formado por:

Un margen, un dibujo normalizado de separación, un dibujo que representa directamen-te, seis dígitos e indirectamente un séptimo, un dibujo central de separación, un dibujo de barras y espacios que representa directamente seis dígitos, un dibujo normalizado de separación, un margen como se ilustra a continuación:

Cada dígito se representa mediante dos barras y dos espacios que tienen una anchura to-tal de siete unidades; cada barra y cada espacio pueden tener una anchura de una, dos, tres o cuatro unidades.

En la simbología EAN pueden elegirse tres formas distintas, A, B y C, para representar cada dígito. Estas formas se conocen como conjuntos numéricos.

Para representar la primera mitad del código de barras se emplea una combinación de los conjuntos numéricos A y B; el orden de los conjuntos numéricos utilizados represen-ta a su vez un séptimo dígito, que aparece al principio de la secuencia de caracteres si -tuada debajo del código de barras.

El conjunto numérico C se emplea sólo para la segunda mitad del código de barras. Esto hace que el dispositivo lector pueda leer el código en cualquier sentido y decodificarlo correctamente.

HISTORIA DE LOS CODIGOS DE BARRA

La primera patente para un código de barras, que tenía forma circular, fue solicitada en 1949 en Estados Unidos por N. J. Woodland; los códigos de barras se emplearon por primera vez a principios de la década de 1960 para identificar material rodante ferrovia-rio. y de ahí en adelante ha venido avanzando su aplicación y desarrollo así:

En los sesenta:

1961 es el año de aparición del primer escáner fijo de códigos de barras instalado por Sylvania General Telephone. Este aparato leía barras de colores rojo, azul, blanco y ne-gro identificando vagones de ferrocarriles.

Para 1967  la Asociación de Ferrocarriles de Norteamérica ( EEUU) aplica códigos de barras para control de tránsito de embarques. El proyecto no duró mucho por falta de adecuado mantenimiento de las etiquetas conteniendo los códigos.

Alguien conoce la cadena de supermercados Kroger?  En 1967 la sucursal de Cincinnati (Ohio, EEUU) instala el primer sistema de "retail" basado en códigos de barras. Al cliente que encontraba un código que no se podía escanear correctamente se le ofrecía cupones de compra gratis!!!

1969, el láser hace su aparición. Usando luz de gas de Helio-Neón, el primer escáner fijo es instalado. Su costo: $10 000!!!!. Hoy por hoy el mismo tipo de escáner estaría costando menos de $ 2 000.

A fines de los años 60 y comienzos de los 70 aparecieron las primeras aplicaciones    in-dustriales pero solo para manejo de información. En 1969, Rust-Oleum fue el primero en interactuar un lector de códigos con un computador (ordenador). El programa ejecu-taba  funciones de mantenimiento de inventarios e impresión de    reportes de embarque.

En los setenta:

En 1970 aparece el primer terminal portátil de datos fabricado por Norand. Este utiliza-ba un "wand" o lápiz de contacto.

El código Plessey hace su aparición en Inglaterra ( The Plessey Company, Dorset, In-glaterra), para control de archivos en organismos militares en 1971. Su aplicación se di-fundió para control de documentos en bibliotecas.

Codabar aparece en 1971 y encuentra su mayor aplicación en los bancos de sangre, don-de un medio de identificación y verificación  automática eran indispensables.

Buick ( si, la fábrica de automóviles) utilizó identificación automática en las operacio-nes de ensamble de transmisiones, también por los años 70. El sistema era utilizado para conteo de los diferentes tipos de transmisión ensamblados diariamente. Todo un éxito.

ITF marca su aparición en 1972, creado por el Dr. David Allais, en ese entonces de In-termec.

En el año 1973 se anuncia el código U.P.C. ( Universal Product Code) que se converti-ría en el estándar de identificación de productos. De esta forma la actualización automá-tica de inventarios permitía una mejor y más oportuna compra y   reabastecimiento de bienes. Europa se hace presente con su propia versión de U.P.C. En 1976, el código EAN (European Article Number).

En 1974, nuevamente el Dr. Allais conjuntamente con Ray Stevens de Intermec inven-tan el código 39, el primero de tipo alfanumérico.

El primer sistema patentado de verificación de códigos de barras por medio de láser aparece en el mercado en 1978.

En los Ochenta:

Revisen su correspondencia postal y muchos observarán lo siguiente marcado en los so-bres:

Esto es el PostNet,  aparece en 1980  siendo usado por el Servicio Postal de los EEUU.

La tecnología de CCD (Charge Coupled Device) es aplicada en un escáner, 1981. En la actualidad este tipo de tecnología tiene bastante difusión en el mercado asiático, mien-tras que el láser domina en el mundo occidental. En ese año también aparece el código 128, de tipo alfanumérico.

Aparece la norma ANSI MH10.8M  que especifica las características técnicas de los có-digos 39, Codabar, e ITF (Interleaved Two of Five).

El Dr. Allais es incansable. En 1987 desarrolla el primer código bidimensional, el códi-go 49. Le sigue Ted Williams ( Láser Light Systems) con el código 16K (1988).

En los Noventa:

En 1990 se publica  la especificación ANS X3.182, que regula la calidad de impresión de códigos de barras lineales. En ese mismo año, Symbol Technologies presenta el códi-go bidimensional PDF417.

Mas y más códigos se están desarrollando, sobre todo en los del tipo de alta densidad. La tecnología de identificación y manejo de datos a través de códigos de barras, ha lo-grado convertirse en un estándar "de facto" al ser aplicada, cada vez con más frecuencia, tanto en operaciones de distribución y manejo de materiales, como en organizaciones de manufactura industrial.

BENEFICIOS DE LOS CÓDIGOS DE BARRA

Aunque los beneficios en la implementación del sistema de identificación EAN-UCC son muchos, los cinco de los más importantes para que una empresa se desarrolle más competitivamente:

Optimización en el control de inventarios y aumento de productividad en el pun-to de pago, eliminando colas y disminuyendo el tiempo de espera. Mejor servi-cio al cliente.

Disminución de los procesos de marcación de precios, eliminación de errores de digitación y captura de datos de venta en forma rápida y segura.

Identificación de las principales áreas de mermas

Obtención de información confiable para el manejo del negocio.

Establecimiento de un lenguaje común con sus proveedores a través del código de barras, incrementando la productividad de la relación comercial, lo que facili-ta la implementación de otras tecnologías como el Intercambio Electrónico de Documentos (EDI).

CARACTERÍSTICAS DE UN CÓDIGO DE BARRAS

Un símbolo de código de barras puede tener, a su vez, varias características, entre las cuales podemos nombrar:

Densidad

Es la anchura del elemento (barra o espacio) más angosto dentro del símbolo de código de barras. Está dado en miles (milésimas de pulgada). Un código de barras no se mide por su longitud física sino por su densidad.

WNR: (Wide to Narrow Ratio)

Es la razón del grosor del elemento más angosto contra el más ancho. Usualmente es 1:3 o 1:2.

Quiet Zone:

Es el área blanca al principio y al final de un símbolo de código de barras. Esta área es necesaria para una lectura conveniente del símbolo.

Actividades.

← En base diez se tiene que (1*8)+1=9

(12*8)+1=98(123*8)+3=987

(1234*8)+4=9876(12345*8)+5=98765

(123456*8)+6=987654

Construya una tabla similar en base ocho e intente dar una generalidad.

Sol.En base 8:

(1*6)+1=7(12*6)+2=76

(123*6)+3=765(1234*6)+4=7654

(12345*6)+5=76543(123456*6)+6=765432

Ya que en base 8: 1*6 = 6 y 6+1 = 7

12 * 6 = 74 +2 = 76

123 * 6 = 762 + 3 = 765...

123.... (n)*(b-2) +n = (b-1) (b-2)..... (b-n)

← observe la secuencia y escriba una regularidad:

Base 3 Base 4 Base 5 Base 6 Base n

2*2=112*11=22

13*3=11113*12=22213*21=333

124*4=1111124*13=2222124*22=3333124*31=4444

1235*5=111111235*14=222221235*23=333331235*32=444441235*41=55555

12…(n-3)(n-1)*d1

d2=d1+1… d1+1

(n-1) vecesdonde d1 d2 son los dígitos que conforman la base tales que d1 + d2= n-1

enuncie un argumento que explique la siguiente adición.

123456789123456789987654321987654321 2

2222222222

Basados en que la suma se encuentra en base diez se puede decir así:

La suma de dos veces los números que conforman la base organizados en forma ascendente sumados con dos veces la misma cifra en forma descendente sumado estos

con el número dos da como resultado la repetición consecutiva del dos el número de veces de la base.

← Construya una adición similar al ejercicio anterior cuyo resultado sean solo cuatros.Repita el ejercicio en base ocho, enuncie un resultado general para cualquier base. Explique.

123456789123456789123456789123456789987654321987654321987654321987654321

4

4444444444

12345671234567123456712345677654321765432176543217654321 4

444444444

Siendo n la base y 1≤ k ≤ n-112…(n-2)(n-1)12…(n-2)(n-1)

. k veces...

12…(n-2)(n-1)

(n-1)(n-2)…21(n-1)(n-2)…21

. k veces...

(n-1)(n-2)…21

k…………………k

n veces

Resuelva el siguiente acertijo en base 7.

_ _ _× 6 6 6_ _ _ __ _ _ __ _ _ _4 5 _ _ _ 4

4 5 6 x 6 6 6 4 0 4 4 4 0 4 4 4 0 4 4 ____ 4 5 2 2 1 4

CAPITULO III

SISTEMAS NUMÉRICOS EN OTRAS CULTURAS

Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos

Aristóteles.

SISTEMAS NUMÉRICOS EN OTRAS CULTURAS

INTRODUCCIÓN.

En este capitulo se observará el desarrollo al que se han visto expuestos los sistemas numéricos a lo largo de la historia sus formas de carácter primitivo que respondía en esencia a sus necesidades básicas de comercio o interés científico.

Su forma aunque con grafías un tanto primitivas son el origen de lo que actualmente utilizamos como símbolos para representar los números con los que habitualmente trabajamos.

Sus formas, por ejemplo la de los números de la cultura babilónica se escribían con una especies de lanzas terminadas en punta, el interés de estos pueblos por lo que les rodeaba los conlleva a buscar un mecanismo que les permita dar explicaciones como es el caso de la cultura maya cuyo interés primordial siempre ha sido reconocido por su dedicación al tratar de dar una explicación al mundo y al espacio que les rodeaba.

El Sistema de Numeración Egipcio

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir

acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que preemitían mayor rapidez y comodidad a los escribas

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... Con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Griego

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.

los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios

El Sistema de Numeración Babilónico

Los babilonios empleaban un sistema sexagesimal posicional adaptado tras tomar el de los sumerios y también de la civilización de Acadia. Los números babilónicos se escri-bían en cuneiforme, usando una aguja de lámina inclinada para acuñar marcas en unas tablas de arcilla suave que luego se exponían al sol para endurecerlas y que quedasen permanentemente.

Este sistema apareció por vez primera alrededor de 1900-1800 a. C. También se acredita como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dí-gito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quie-re representar. Esto era un avance extremadamente importante, porque, antes de lugar-valor obligaron a los técnicos de sistema a utilizar símbolos únicos para representar cada energía de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables.

Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar 60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apro-piadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. Un valor grande al tener como base sesenta es el número da como resultado un guarismo más pequeño y que además se puede dividir sin resto por dos, tres, cuatro, cinco, y seis, por lo tanto también diez, quince, veinte, y treinta. Solamente dos símbolos usados en una variedad de com-binaciones eran utilizados para denotar los 59 números. Un espacio fue dejado para in-dicar un cero (siglo III a. C.), aunque idearon más adelante una muestra de representar un lugar vacío.

El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.

Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.

Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

Investigación.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN LAS CULTURAS DE LA AMÉRICAPRECOLOMBINA

En la Introducción hemos indicado los posibles sistemas de numeración que utilizar según empleemos la vista, el lenguaje oral o la escritura. Igualmente, hemos hecho referencia a que en estos sistemas suelen emplearse. Además agrupaciones de las unidades y, por tanto, son sistemas de numeración que poseen una base.

En esta sección indicaremos algunos sistemas de numeración empleados por las civilizaciones precolombinas de Íberoamerica. Posteriormente Profundizaremos en las de las tres civilizaciones más importantes de la misma: la civilización maya, la azteca y la inca.

Debido a que no posean un lenguaje escrito o a que aun no se ha podido descifrar dicha escritura (como ocurre con el caso de los mayas y de los aztecas), los datos escritos de los que tenemos constancia directa sobre estas civilizaciones y que sean contemporáneos a las mismas se han obtenido por medio de los documentos que elaboraron los españoles durante los siglos xvi y xvii, tras la conquista y destrucción de dichas civilizaciones.

No obstante, en los monumentos y papiros con jeroglíficos que nos han llegado a la actualidad (y que no siempre corresponden a un lenguaje escrito) y en la información recopilada por algunos de los Españoles que conquistaron y colonizaron las América, se ha podido Deducir algún conocimiento de sus matemáticas. De hecho, según la mayoría de los autores que han tratado este tema, el único conocimiento Matemático del que se puede asegurar su existencia es el obtenido de dichas fuentes y de las obtenidas gracias a etnólogos, viajeros y lingüistas (Aficionados o profesionales) que han desarrollado sus estudios durante los siglos xix y xx.

Como hemos dicho antes, tres fueron las civilizaciones precolombinas principales: la maya, la azteca y la inca. Las dos primeras usaban un sistema de numeración que suele clasificarse como vigesimal (aunque los mayas empleaban también la base cinco en dicho sistema), Mientras que los incas empleaban uno decimal posicional. Sin embargo, no fueron las únicas poblaciones que desarrollaron sistemas de numeración y ni siquiera fueron siempre esas las bases empleadas.

Los sistema ternarios (base tres) fueron empleados, por ejemplo, por una tribu brasileña que para contar hacia uso de las tres articulaciones de las falanges de los dedos. Si queremos ejemplos de sistemas cuaternarios (base cuatro) podemos encontrarlos tanto en diversas tribus sudamericanas como en la tribu de indios yuki, en California. Estos últimos empleaban para contar los huecos que hay entre los dedos de la mano.

Pero los sistemas de numeración que alcanzaron mayor difusión fue-ron los quinarios, que empleaban el cinco como base. Una explicación para convencerse del uso del cinco como la base mas difundida para los sistemas de numeración puede hallarse, según diversos autores [del Rey, 2004; Joseph, 2000], en que existen diversos idiomas donde las palabras “cinco” y mano” eran coincidentes o tenían un parentesco muy marca-do. Por poner un ejemplo, la tribu de indios tamancos de Sudamérica usaba para “cinco” la misma palabra que para “mano”; para “seis” la correspondiente a “uno en la otra mano”; así se continuaría hasta “diez” que sería “ambas manos”; para “once” se comenzaban a contar los dedos del pie, por lo que emplean la palabra “uno del pie”; para “quince”, la palabra “un pie completo”; y para “veinte”, la palabra “un indio”. Una vez completados los dedos de las extremidades de un indio, se pasa ya a un segundo indio, por lo que para “veintiuno” usarían la palabra “uno en la mano de otro indio”, y así “dos indios”, “tres indios”...

Actividades.

← Proponga procedimientos para operar con números romanos.

X+L=LX Cada digito se debe escribir máximo tres veces y tiene que ser posicional

XXXXVV-XV=XXXV

El sustraendo debe ser mayor que el minuendo

V*III=VVV=XVL/X=V

El dividendo debe ser mayor que el divisor y al mismo tiempo este debe ser diferente de 0

← Con siete palillos podemos formar con números romanos la expresión indicada enseguida (dos palillos deben ser usados para formar el signo de igualdad). Mueva sólo un palillo para que la ecuación se transforme en verdadera.

V I = I IVI >II

← Idee procedimientos para efectuar operaciones de suma y resta de númerosRomanos. ¿Hay alguna manera de multiplicarlos y dividirlos?

Una de los problemas que tuvo esta numeración fue no tener una forma sencilla de escribir números grandes

Para sumar nunca se tiene un orden específico para ordenar los sumandos; algo que se debe hacer es que no se puede utilizar más de tres veces el mismo número para expresar otro por que serían demasiados

← Escriba un algoritmo para pasar del sistema maya al sistema decimal y viceversa.

Como su base es 20 tenemos que tomar los dígitos del número y multiplicar el primer número de derecha ha izquierda por uno y escribir el resultado en base 10. Después el 2 lo multiplicamos por 20 (Qué es la base) y escribir el resultado en base 10, el siguiente número se realiza el mismo procedimiento pero esta vez con 202 y así sucesivamente hasta que el ultimo dígito. Al terminar se suma todos los resultados y da el número en base 10

Intente definir operaciones básicas, como suma, resta multiplicación y división en el sistema numérico maya, ¿qué dificultad encuentra?

Para la suma y resta son los mismos procedimientos mencionados anteriormente; el problema se crea a través de la multiplicación y la división por cualquier algoritmo utilizado si escritura no da para esto.

CAPITULO IV

NUMÉROS NATURALES

Un Matemático es un quijote moderno que lucha en un mundo real con armas imaginarias.

P. Corcho

NUMÉROS NATURALES

INTRODUCCIÓN

En este capitulo se estudia en forma detallada los números naturales junto con las propiedades de la adición y la multiplicación dándose trato especial al carácter de la sustracción y la división de números naturales al presentarse dificultades para realizar las sustracciones cuando intentamos restar de una cantidad menor una mayor, al igual sucede con el proceso de dividir entre números naturales.

Se estudiaran y definirán las operaciones superiores de la aritmética tales como la logaritmación y la potenciación de números naturales.

OPERACIONES

ADICIÓN

La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo: 

(8 + 5) + 6 = 13 + 6 = 19

8 + (5 + 6) = 8 + 11 = 19

Los resultados coinciden, es decir,

(8 + 5) + 6 = 8+ (5 + 6)

Conmutativa:

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar lar-gas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

Otras regularidades o propiedades de la adición son:

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = aY a esta regularidad se le conoce como elemento neutro o propiedad modulativa.

La sustracción que se realiza entre números naturales solo es posible cuando el

minuendo es mayor que el sustraendo pero cabe anotar que este procedimiento no

cumple con:

La Asociatividad por que no es igual (10-7)-3≠ 10-(7-3)

Al igual no se satisface la Conmutativa por que en los números naturales al núme-

ro que se le resta debe ser mayor que el que se le va restar

MULTIPLICACIÓN

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m×n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m×6 = m + m + m + m + m + m = 6m

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como

Propiedad conmutativa,

y se cumple en general para dos números cualesquiera x é y:x·y = y·x

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumplen:(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:x·(y + z) = xy + xz

Asimismo:(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:1·x = x

Es decir, la multiplicación tiene un elemento identidad que es el 1.

Tabla de la multiplicación de números naturales

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 243 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 364 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 485 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 606 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 727 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 848 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 969 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12011 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132

Podríamos hacernos diversas preguntas en relación con la tabla anterior por ejemplo, cuando suman los primeros n números que aparecen en la primera fila vemos que los primeros n números que aparecen en la primera fila son: 1,2,3,4,….. n que como hemos visto suman m,n+n/2 si ubicamos estas sumas en la tabla de la multiplicación, obtenemos el siguiente patrón

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 243 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 364 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 485 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 606 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 727 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 848 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 969 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12011 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132

Lo anterior sugiere escribir los números marcados como producto de los números que aparecen en la fila y la columna correspondiente así:

1 = 1 x 13 = 1 x 36 = 2 x 3

1

10 = 2 x 515 = 3 x 521 = 3 x 728 = 4 x 736 = 4 x 945 = 5 x 955 = 5 x 11

NÚMEROS PRIMOS

El conjunto de los números primos es un subconjunto propio de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Por ejemplo, el número 7 tiene sólo dos divisores que son el 1 y el mismo 7 por lo que 7 es número primo.

En otros términos, un número natural es primo o lineal si tiene exactamente dos diviso-res distintos que son el 1 y el mismo número en cuestión.

El número 1, al ser solo divisor sí mismo, se conoce como número unitario.

Un número natural con más de dos divisores distintos se conoce como número com-puesto o rectangular.

Por ejemplo, el número 4 tiene más de dos divisores distintos: el 1, el 2 y el 4, por lo que 4 es un número compuesto o rectangular, porque se puede formar un rectángulo con el número de puntos mientras que con el número primo solo se puede formar una hilera de puntos, por lo que es conocido también como número lineal.

Los números primos menores que cien son 25, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta repre-sentación (factorización) es única módulo el orden de los factores.

Investigación

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N. Se forma una tabla con todos los números na-turales comprendidos entre 2 y N y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N.

Proceso de criba

Determinemos, mediante este procedimiento, la lista de los números primos menores de 20.

1. Primer paso: pongamos los números naturales comprendidos entre 2 y 20.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2. Segundo paso: Marcamos el primer número, no rayado ni marcado, como

número primo.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3. Tercer paso: Tachamos todos los múltiplos del número que acabamos de marcar como primo.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces repetimos el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.

Como 3² = 9 < 20, volvemos al segundo paso:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y consideraremos primos todos los nú-meros que no han sido tachados.

Resultado: Los números primos comprendidos entre 2 y 20 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Criba de Eratóstenes.

¿Cuántos números primos existen?

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números pri-mos con métodos diversos, contándose entre ellos Algebra Conmutativa y Topología.

A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre procedimientos exactos para saber con certeza si un número determinado es primo o no en tiempo computacionalmente bajo.

Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes.

MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20

10: 1, 2, 5 y 10

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).

Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40

 

2 60

 

2

20 2 30 2

10 2 15 3

5 5 5 5

1   1  

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

M.C.D. 40 = 2x2x2x5

M.C.D. 60 = 2x2x3x5

MCD = 2x2x5= 20

TABLA DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1

4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2

5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1

6 1 2 3 2 1 6 1 2 3 2 1 6 1 2 3 2 1 6

7 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

8 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2

9 1 1 3 1 1 3 1 1 9 1 1 3 1 1 3 1 1 9

10 1 2 3 2 1 2 1 2 1 10 1 2 1 2 5 2 1 2

11 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

12 1 2 1 4 1 6 1 4 3 2 1 12 1 2 3 4 1 6

13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1

14 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 114 1 2 1 2

15 1 1 1 1 1 3 1 1 3 5 1 3 1 1 15 1 1 3

16 1 2 3 4 5 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2

17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 1

18 1 2 1 2 1 6 1 2 3 2 1 6 1 2 3 2 1 18

REGULARIDADES

(n) := suma de los divisores de n

Para p primo tenemos:

(p)=p+1

(pk)=1+p+p2+p3+…+pk

Sea:

S=1+p+p2+p3+…+pk

Entonces

ps=p+ p2+p3+…+pk+1

Luego:

ps-s = pk+1-1

De donde:

s(p-1)= pk+1-1 así: s= (pk+1-1)/ (p-1)

G (n) = suma de los divisores de n

G (p*q) = 1+p+q+pq

MINIMO COMÚN MULTIPLO

El mínimo común múltiplo («m.c.m.» o «mcm») de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor expo-nente.

Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200,

6936 = 23 · 3 · 172 1200 = 24 · 3 · 52

Podemos inferir que su m.c.m. es 24 · 3 · 52 · 172 = 346 800.

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo co-mún múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

Tabla de mínimo común múltiplo

[ ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 171 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 172 2 2 6 4 10 6 14 8 18 10 22 12 13 14 15 16 173 3 4 3 12 15 6 21 24 9 30 33 12 39 42 15 48 514 4 10 12 4 20 12 28 8 36 20 44 12 52 56 60 16 685 5 10 15 20 5 30 35 40 45 10 55 60 65 70 15 80 856 6 14 6 12 30 6 42 24 18 30 66 6 78 42 30 48 1027 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 1198 8 18 24 8 40 24 56 8 72 40 88 24 104 56 120 16 1369 9 10 9 36 45 18 63 72 9 40 99 60 117 126 45 144 153

10 10 11 30 20 10 30 70 40 90 10 110 122 130 70 150 80 17011 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 11 122 143 154 165 176 18712 12 13 12 12 60 6 84 88 36 60 132 12 156 84 60 48 20413 13 13 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 13 182 195 208 22114 14 15 42 56 70 42 98 56 126 70 154 84 182 14 210 112 23815 15 16 15 60 15 30 105 120 45 150 165 60 195 210 15 240 25516 16 14 48 16 80 48 112 16 144 80 176 48 208 112 240 16 27217 17 16 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 17

CUADRADOS MÁGICOS

Los cuadros de los números representan los 9 primeros números y compone un cuadrado mágico.

La idea es disponer de las 9 casillas de manera que todas las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo ósea 15

La idea es desarrollar un problema similar con 16 primeros números y cuya suma de filas, columnas y diagonales sea 34.

=34

8 3 4

1 5 9

6 7 2

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Trucos para desarrollar los cuadrados mágicos

La idea es colocar en el centro el 5,después pensar como debe ir ubicados el resto teniendo en cuenta que su suma es 15 con el pequeño truco de Gauss sumar los números (9+1)x 9/2=45 entonces sabríamos cuanto sumaria cada fila y cada columna.45/3=15 sabiendo que el 5 esta en el centro hay dos posibilidades que otros dos números den 14 en su suma que son 9 y 1 y también 8 y 6 después llegamos a la conclusión que el 1 no puede estar en una esquina debe estar en el medio y por ultimo completar los espacios de tal manera que se adecuen las sumas.

Investigación

CUADRADOS MÁGICOS.

"Los sabios antiguos distribuían los cuadros colocándolos en aquel orden en que si se los sumaba, en cualquier dirección, según estaban dispuestos en las casillas, siempre daban el mismo producto y la suma de todos ellos representaba también un misterio. Se llamaban sellos o misterios de los dioses, como decían, por el hecho de que bajo ellos se encontraba de forma maravillosa su dominio y potestad sobre todas las cosas." "Aritmología. Historia real y esotérica de los números". Atanasius Kircher, (1601-1680)

Los siete Sellos:

SATURNO

JUPITER

MARTE

SOL

VENUS

MERCURIO

LUNA

El sello de Júpiter presenta más sumas idénticas, en otras diagonales. Así es tomando las de dos casillas opuestas (14,9,3,8), las de tres casillas duplicada la central (5,7,7,15), las

diagonales con las centrales cruzadas (4,6,11,13). También suman 34 los cuadros internos (4,14,9,7), (7,6,11,10). Las esquinas suman 34 (4,1,16,13). El interior de lados opuestos (9,5,12,8) ....

Este cuadro mágico se repite, invertido, en el cuadro de A. Durero, Melancolía. Los astrólogos de la época lo recomendaban como amuleto contra la melancolía.

El sello del Sol reúne por supuesto los números más esotéricos siendo su clave 6,36,111,666.

Otro singular cuadrado mágico de orden nueve sería el siguiente:

Cada uno de los cuadros de orden tres también es mágico.

Si en lugar de cada uno de ellos colocamos su valor obtenemos otro con la misma configuración del sello de Saturno

Existen infinidad de configuraciones, pero a las más simples se les ha otorgado el valor de mágicas.

¿CUAL ES EL NUMERO MÁS GRANDE?

Escribir números grandes en distintas bases. Queremos estudiar ahora, cual es el numero mas grande que se puede escribir con tres cifras iguales con los convenios establecidos para la escritura de los números, pero sin signos de operaciones entre ellos, salvo lo acordado para la notación exponencial.

En base 2 solo tenemos dos símbolos, o y 1 números más grande que se puede escribir con tres cifras repetidas y sin colocar signos de operaciones entre ellos es, naturalmente, 1 1 1, puesto que:

¿Es valido este ordenamiento con tres unos, en cualquier base?

En base tres, la secuencia con tres dos es:

¿La secuencia es la mismo en cualquier base?

¿Cuál es el orden con tres tres en base 4?

¿Es el mismo en otras bases?

Con tres cuatros en base 5, la secuencia es:

Puesto que

En base 10 el mayor numero que se puede escribir con tres doces, sin ningún signo de operación, es 2 22, puesto que:

Ahora, con tres el mayor numero que podemos escribir es 3 33, debido a que:

ALGUNAS VECES NO SE PUEDE

En algunas ocasiones encontramos problemas que tienen una solución para algunos valores de los datos del problema, pero que en general no se pueden resolver con datos arbitrarios. Veamos un ejemplo:

Con las siguientes seis cifras 1, 1 , 2 , 2, 3 y 3 es posible escribir un numero donde los ”1” estén separados por un digito, los “2” por dos dígitos y los “3” por 3.

Por ejemplo:

3 1 2 1 3 2 y por supuesto, escritos en orden inverso 2 3 1 2 1 3

Solo con las cifras 1, 1, 2 y 2 no es posible escribir un numero don de los “1” estén separados por digito y los “2” por dos dígitos pues en cualquier configuraciones nos falta una cifra.

Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4 y 4 escriba un número donde los “1” estén separados por un digito, los “3” por 3 y los “4” por 4.

El mismo problema con los número 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 y 5 no tiene solución. Tampoco si los números van hasta 6, pero si tiene para 7 y 8.

Una solución para 7 es: 4 6 1 7 1 4 3 5 6 2 3 7 2 5

¿para cuales valores de K, el problema de escribir

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 .. kk

Con las condiciones expuestas es posible?

a. Con 1 1 2 2 no es posible

2 2

b. Con 1 1 2 2 3 3 si es posible

2 3 1 2 1 3

c. Con 1 1 2 2 3 3 4 4 si es posible

2 3 4 2 1 3 1 4

Posible solución

5 4 posible

4 4 posible

3 4 posible

2 4 posible

1 8 4

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

Hay problemas en matemáticas que no tienen solución; no por incapacidad del matemático, si no por que la solución no existe, generalmente por que las condiciones lo impiden.

Por ejemplo, es imposible dividir un ángulo arbitrario en tres ángulos iguales utilizando regla y compás construir un cubo cuyo volumen sea el doble de un cubo dado o construir un cuadrado de área equivalente a un circulo dado 1; también es imposible encontrar una formula que permita resolver cualquier ecuación de grado 5 o superior, utilizando las operaciones básicas del algebra 2.

Demostrar que un problema no tiene solución suele ser más complicado que encontrar una; tal vez sea Evariste Galois el matemático mas recordado por haber generado solución a problemas de este tipo. El demostró la imposibilidad de solución de algunos problemas milenarios, como la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la ecuación general de 5 grado por radicales.

Generalmente, en la búsqueda de soluciones para problemas insolubles, se aprende mucho sobre otros problemas que si tienen solución y se desarrolla teorías nuevas. Galois no solo resolvió los problemas clásicos si no que puso las bases para el desarrollo de las teorías de Galois.

ECUACIONES DIOFANTICAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Una ecuación diofantica lineal con dos incógnitas, es una ecuación de la forma ax±by=c con a,b y c números naturales e incógnitas o valores desconocidos x y y

Teorema Si (x,y) es solución de ax+by=c, donde a,b,c son números naturales, entonces (x+b,y-a) o (x-b,y+a) es también, solución de la ecuación siempre que y-a y x-b sean números naturales.

Como (x,y) es solución de ax+by=c se cumple que :ax+by=c

Por la propiedad modulativa de la adición entre números naturales y de 0=ab-ab se tiene:ax+by+(ab-ab)=cAplicando ahora la propiedad asociativa y conmutativa de la adición; tenemos: ax+(ab+by)-ab=cAsociando nuevamente(ax+ab)+(by-ab)=cConmutando ab y utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y a la sustracción, esta ultima solo si y-a es un número natural.

Se concluye que a(x+b)+b(y-a)=cLo cual es (x+b,y-a) es también solución de la ecuación. SEGUNDA PARTE Como (x,y) es solución de ax+by=c se cumple que :ax+by=c

Por la propiedad modulativa de la adición entre números naturales y de 0=ab-ab se tiene:ax+by+(ab-ab)=c

Aplicando ahora la propiedad asociativa y conmutativa de la adición; tenemos: ax+(ab+by)-ab=cAsociando nuevamente(ab+by)+(ax-ab)=c

(ax-ab)+(by+ba)=c

Aplicando la propiedad distributiva tenemos:a(x-b)+b(y+a)=c Luego el punto (x-b,y+a) es también solución de la ecuación.

Dentro del conjunto de los números naturales: encuentre los valores para x e y que satisfagan las siguientes ecuaciones y justifique sus respuestas.

a. en base siete : 3x+5y =126

Tomando x=0 3(0)+5y=126 entonces 5y=126y=126/5 de donde al realizar la división se obtiene: como conciente 16 y residuo4.

Por tanto no es solución de la ecuación. Después de los intentos pertinentes sobre x variando en los posibles valores de la base 7 es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 obtenemos para x=3 lo siguiente:

Para x=3 obtenemos:

3(3)+5y=126

Entonces 12+5y=126 entonces y = (126-12)/5 entonces y=114/5=15

Luego dado que esta división es exacta se tiene como solución al punto (3,15).

b. en base seis: 2x+3y=244.

Después de prueba obtenemos una solución cuando x=2, ya que

2(2)+3y=244

Entonces 4+3y=244 entonces y= (244-4)/3=240/3=52 Luego una solución es el punto (2,52).

b. en base cinco: 4x+2y =30

Obtenemos después de pruebas para x=3 que 4(3)+2y=30 entonces 22+2y=30 entonces

y= (30-22)/2=13/2=4

c. x+y=32, donde x,y y 32 están en base siete.

En este ejercicio podemos tomar para x=0 tendríamos que y=32

Así el punto (0,32) es solución de la ecuación Ahora para x=1 tendríamos:

1+y=32 entonces y=32-1=31 luego el punto (1,31) es solución de la ecuación

Para x=2

2+y=32 entonces y=32-2=30 luego el punto (2,30) es solución de la ecuación

Siguiendo con este proceso tenemos:

x 0 1 2 3 4 5 6 10 …… 26 30y 32 31 30 26 25 24 23 22 …… 3 2

Encuentre todos los valores de x y y que satisfacen las siguientes ecuaciones, justifique su procedimiento.

a. 4x-3y=21, en base cinco.b. 2y-5x=245, en base seis.

Solución

a. 4x-3y=21, en base cinco.

Después de probar encontramos que en x=5 tenemos:

4(5)-3y=21 entonces 40-21=3y entonces y=(40-21)/3=14/3=3

Luego el punto (4,3) es solución de la ecuación. Por el teorema anterior son soluciones además

b. 2y-5x=245, en base seis.

Después de probar encontramos para x=1 que:

2y-5(1)=245 entonces y=(245+5)/2= 254/2=125

Luego es el punto (1,125) es solución de la ecuación.

Grafique las soluciones de las anteriores ecuaciones en un plano coordenado cuyos ejes formen un ángulo diferente a 90º ¿Qué forma geométrica determinan dichas soluciones?

16

3x+5y=126

(3,15)

(24,3)

(16,6)

(11,12)

31 33

15

12

6

3

Forman una línea recta los puntos de la solución dado que son colíneales.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado han sido objeto de estudio durante varias épocas y en distintas civilizaciones; especialmente en relación con procedimientos para encontrar sus soluciones. Con los elementos que hemos construido hasta el momento tenemos argumentos validos para resolver ecuaciones de la forma ax2=b e incluso ax2+b=c; pero para una ecuación de la forma ax2+bx=c, evidentemente más elaborada, los argumentos que tenemos resultan insuficientes para buscar su solución.Sin embargo, la historia de las matemáticas nos ofrece una amplia gama de posibilidades o métodos geométricos, dado que en ellos no hay cantidades negativas.

ECUACIONES DE LA FORMA x2+bx=c

Para resolver una ecuación de este tipo podríamos interpretarla de la siguiente forma:Basados en áreas de rectángulos y cuadrados así: un cuadrado de lado x y un rectángulo de lado b y altura x, cuya suma como área total debe ser igual a c.

Resolver utilizando argumentos geométricos las siguientes ecuaciones:

← x2+20x=69.

X

X 20X

20

X^2

X

X

10

10 100

10XX^2

10X

(x+10)2 = (x2+10x+10x)+100(x+10) 2 = (x2+20x)+100(x+10)2 = 69+100(x+10)2 = 169x+10 = x+10 = 13x= 13-10x=3

← x2+6x=16.

X

X 6X

6

X^2

X

X

3

3 9

3XX^2

10X

(x+3)2 = (x2+3x+3x)+9(x+3) 2 = (x2+6x)+9(x+3)2 = 16+9(x+3)2 = 25x+3 = x+3 = 5x= 5-3x=2

← x2+7x=18 En este ejercicio procedemos a multiplicar toda la ecuación por el primer cuadrado diferente de 1, es decir: 4.

Así:

4x2+28x= 72

De donde obtenemos haciendo la sustitución y=2x

(2x)2+14(2x)=72

y2+14y=72

2y

2y 4y^2 14y

7 y

y

7

7

y^2

7y 49

7y

(y+7)2=y2+7y+7y+49(y+7)2=y2+14y+49(y+7)2=72 +49(y+7)2=72 +49(y+7)2 =121y+7=y=11-7y=42x=4x=2

← 5x2+3x=92

(5x)2+15x=460

Tomando la sustitución y=5x obtenemos la ecuación:

y2+3y=460

Que dado que tiene coeficiente impar acompañando a la variable x procedemos a multiplicarlo por 4 para convertirlo en un número par y poder continuar con el proceso como en los casos anteriores.

4y2+12y=1840

2y

2y 12y

6

4y^2

2y

2y

3

3 9

6y4y^2

6y

(2y+3)2=(4y2+6y+6y)+9(2y+3)2=(4y2+12y)+9(2y+3)2=(4y2+12y)+9(2y+3)2=1840+9(2y+3)2=18492y+3=2y+3=432y=43-32y=40y=40/2=205x=20x=20/5x=4

ECUACIONES DE LA FORMA x2+c=bx Esta ecuación podemos representarla de la siguiente forma:Dibujando un rectángulo de lado x cuya área representara x2 al igual dibujamos un rectángulo que represente las c unidades cuadradas pero repartidas de tal manera uno de los lados sea x El rectángulo compuesto por las áreas antes mencionadas corresponderá entonces al área del rectángulo de área bx.

Resolver los siguientes ejercicios basados en argumentos geométricos

← x2+45=18x

x

xx^2

45

18

45-ax^29

9

9

a 9-x^2

a

x2+a=45-ax2+2a=45.

x2+2a + (9-x)2=8145+(9-x)2=81(9-x)2=81-45(9-x)2=369-x =9=6+xx=9-6x=3

← x2+21=10x

x

xx^2

21

10

21-ax^25

5

5

a 5-x^2

a

x2+a=21-ax2+2a=21.x2 +2a+(5-x)2=2521+(5-x)2=25

(5-x)2=25-21(5-x)2=45-x=x=5-2x=3

EL TEOREMA DEL BINOMIO.

Problema 1: ¿De cuántas formas es posible organizar n elementos de un conjunto?

Para comenzar tomaremos conjuntos con 2, 3, y 4 elementos, por ejemplo si tenemos las letras A y B, existen dos formas de organizarlas: AB y BA; ahora si tuviéramos las letras A, B y C habrían 6 maneras posibles de organizarlas: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA.

En el último ejemplo observamos que cada una de las letras dadas, aparece tres veces en la primera posición, junto con todas las formas posibles de organizar las dos letras restantes; con lo cual habría de esperarse que dadas cuatro letras, cada una de ellas aparezca 4 veces en la primera posición junto con todas las formas posibles de organizar las tres letras restantes, es decir que habrían 6 formas de que cada una de las letras dadas aparezca en la primera posición; por tanto existirían maneras de organizar las cuatro letras dadas.

Con razonamiento análogo al anterior podemos encontrar el número de formas posibles de organizar 5 letras, dado que cada letra aparecerá 5 veces el la primera posición y habrían 24 formas de organizar las letras restantes es decir que existirían posibilidades de organizar las 5 letras dadas.

Lo anterior conlleva a realizar la siguiente tabla:

Número de letras Número de maneras posibles de organizarlas.

123456

n

12

Definición:

Problema 2: De n elementos dados, ¿Cuántas formas posibles hay de tomar k elementos teniendo en cuenta su orden?

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, los puedo colocar ordenadamente poniendo como pri-mer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibi -lidades para empezar:

a _ _ _ _b _ _ _ _c _ _ _ _d _ _ _ _e _ _ _ _

Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo 4 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras restantes. Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1º la 'a', tendría:

a b _ _ _a c _ _ _a d _ _ _a e _ _ _

De forma que si por cada elección del 1º tengo 4 posibilidades para el 2º, en conjunto tendré para los dos primeros elementos 5x4 = 20 posibilidades.

Análogamente, para colocar el 3º elemento, tendré, por cada elección del 1º y 2º, 3 nue-vas posibilidades. Por ejemplo, si había colocado 1º la 'b' y 2º la 'e', tendría las siguien-tes posibilidades:

b e a _ _b e c _ _b e d _ _

Así que para el conjunto de los tres primeros elementos tengo 5x4x3 = 60 posibilidades.

Análogamente, para los cuatro primeros elementos tengo 5x4x3x2 = 120 posibilidades.

Y para los cinco, colocaciones posibles.

Con lo anterior, podríamos esperar que dados n elementos, existen n posibilidades de to-mar 1 elemento, posibilidades de tomar dos elementos, posibili-dades de tomar 3 elementos, y así sucesivamente, lo cual conlleva a construir la siguien-te tabla:

Número de elementos da-dos

Número de elementos a to-mar

Número de posibilidades te-niendo en cuenta el orden

n 1 n

n 2

n 3

M

n k

El número lo podemos escribir como sigue:

.

El número generalmente se denota como que es la permutación de n

elementos si se seleccionan k elementos de ellos.

Problema 3: ¿De cuántas maneras es posible tomar k elementos de n elementos dados, sin distinguir su orden?

Dado que no se distingue el orden en el cual se toman los k elementos, las combinacio-nes de k objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permu-taciones de k objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combi-naciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre k!, les estamos quitando el orden y por tanto transfor-mándolas en combinaciones.

Lo anterior nos permite construir la siguiente tabla:

Número de elementos da-dos

Número de elementos a to-mar

Número de posibilidades sin tener en cuenta el orden

n 1 n

n 2

n 3

n k

El número , lo podemos escribir como sigue:

El número , usualmente se denota como o y se le conoce como

coeficiente binomial, por su relación con el desarrollo de la potencia de un binomio es decir el desarrollo de .

Actividades.

¿Cuántos números naturales menores que 200 no son divisibles por 2, por3, ni por 5?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6869 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 8586 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

¿Cuál es el menor número que al dividirlo por 2, 3, y 4 deja residuo 1 y es divisible por 51?

Ningún número cumple estas condiciones puesto que 51 es múltiplo de 3, y todos los múltiplos de 51 son múltiplos de tres, su residuo siempre será 0

Otras Formas De Multiplicar Y Dividir

Observando algoritmos para multiplicar

A continuación aparecen algunas multiplicaciones (en base 10) efectuadas por medio de algoritmos distintos al usual, para cada uno de ellos, proponga sus propios ejemplos en diferentes bases y busque una justificación a cada procedimiento.

EL METODO CRUCESITA

En este método se multiplica:2*3=6

5*3=15 15+2=174*5=20 20+3+5=284*5=20 20+3+2=254*5=20 Luego

Se suman así:

20+25+28+17+6(20+2)…. (5+2)…. (8+1)…. (7+0)…. (6+0)22 7 9 7 6

EL METODO PIRAMIDE

4 5 2 1 7 3 7 3

________0 7 1 2

1 4 0 3 2 8 1 5

1 2 3 5 0 63 5 0 6 0 7

2 8 1 5 1 4 0 3 ________________

3 3 3 3 3 3 3 3

Aquí el proceso que se sigue es el siguiente:

7*1=074*3=122*7=14 1*3=03 y se toma 14034*7=28 5*3=15 y se toma 2815, es decir los resultados.4*3=12 5*7=35 2*3=06 y se toma 123506

5 5 2

4 1 3

5*7=35 2*3=06 7*1=07 y se toma 3506074*7=28 5*3=15 2*7=14 1*3=03 y se toma 28151403 Luego se procede a sumar:

En la forma piramidal:

0 7 1 2

1 4 0 3 2 8 1 5

1 2 3 5 0 63 5 0 6 0 7

2 8 1 5 1 4 0 3 Obteniéndose como resultado: 3 3 3 3 3 3 3 3

Un Método Grafico

12*23=276

En la grafica se colocan en cada punto de las cuatro líneas los números de los resultados de las siguientes multiplicaciones:

2*3=62*2=41*3=31*2=2

Luego se suman en la forma que indican las flechas en el dibujo:

3

2

4

6

2(3+4)6

Obteniéndose: 276.

Luego la multiplicación de 213*321=68373

Se ubican en la cuadricula de las rectas las multiplicaciones:

1*3=31*1=11*2=2

2*3=62*1=22*2=4

3*3=93*1=33*2=6

Luego se suman en el orden en que indican las flechas, así:3

2

1

3

4

2

66

3

9

6+1=72+2+9=134+3+1=86 Luego el número que se obtiene es 68373

Un algoritmo para dividir

De manera similar que en los ejemplos anteriores, se presenta a continuación un método para dividir dos números, su tarea es describirlo, buscar una justificación del mismo y modificarlo si es posible.

Ejemplo 1

Efectuar 14578/93 en base 10:

93 70 1186 70 2372 70 4744 442 81488 1186 162976 2674 325952 2674 6411904 2674 12814578 156

En este proceso de división se procede de la siguiente forma: Primero se toma el número 93 y se suman sucesivamente así:

9393+93=186186+186=372744+744=14881488+1488=29762976+2976=59525952+5952=1190411904+11904=23808 dado que este número supera al primer número de nuestra división es suprimido y colocamos el primero de ellos en el final de la tabla . En el extremo derecho de la tabla colocamos los números desde el 11+1=22+2=44+4=88+8=16

16+16=3232+32=6464+64=128128+128=156

Sumando sucesivamente y deteniéndonos en el último que indique la operación anterior.

14578-11904=2674 este resultado se coloca en la columna dos

2674-5952=****** no es posible realizar la resta puesto que el primer numero es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres

2674-2976=***** no es posible realizar la resta puesto que el primer numero es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres

2674-1488=1186 este resultado se coloca en la columna dos

1186-744=442 este resultado se coloca en la columna dos

442-372=70 este resultado se coloca en la columna dos

70-186=****** no es posible realizar la resta puesto que el primer numero es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres

70-93=****** no es posible realizar la resta puesto que el primer numero

es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres

Luego el cociente de dividir 14578 entre 93 es 156 y sobra 70.

Otro Ejercicio Para Afinar La Intuición

A. Observe Las Siguientes Multiplicaciones:

36*76

3*7=2121+6=27

6*6=36

36*37=2736

47*67

4*6=2424+7=31

7*7=49

47*67=3149

21*81

2*8=1616+1=17

1*1=1

21*81=1701 B. Siga los anteriores

pasos y multiplique:

23*83 54*54 92*12

23*83

2*8=1616+3=19

3*3=09

23*83=1909

54*54

5*5=2525+4=29

4*4=16

54*54=2916

92*12

9*1=099+2=11

2*2=04

92*12=1104

CAPITULO V

EL MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá.

Hipatia

EL MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN

El método que se presenta a continuación es una de las formas de demostración que sigue una secuencia de procedimientos partiendo de lo particular hasta llegar a lo más general.

Que en esencia solo es valido para propiedades sobre los números naturales o un subconjunto de los mismos, cabe anotar que las propiedades expresadas a lo largo de este texto pueden en su mayoría ser demostradas por este método.

Así la extencionalidad empírica expresada en los primeros capítulos toman forma en el contexto matemático.

INDUCCIÓN MATEMATICA

La inducción matemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:

Primero, se demuestra que el 1 cumple la propiedad.

A continuación, se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número n (arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.

Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los números naturales, de forma parecida a las filas de fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha (el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuando un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen.

Este método es mucho más general de lo que pueda parecer a primera vista; si queremos, por ejemplo, demostrar una propiedad para todos los números pares, no tenemos más que aplicar la inducción a la afirmación "el número 2n cumple la propiedad, para todo natural n", que se refiere a todos los números naturales y es equivalente a la inicial.

De la misma forma, la inducción es útil para demostrar algo sobre una cantidad finita de

cosas porque la misma idea de las fichas de dominó es aplicable; en este caso se suele llamar "inducción finita", y es un caso particular de la inducción que se ha explicado arriba. Pueden, de manera similar, demostrarse afirmaciones del tipo "todos los números a partir del 8 cumplen tal cosa", y éstos son sólo ejemplos simples. El método de inducción es a la vez muy potente y muy intuitivo, y puede aplicarse en una gran variedad de problemas, entre ellos:

la suma de los primeros n números cuadrados, los primeros n números cuadrados impares y los n primeros números cúbicos impares, están dadas respectivamente por:

a)

b)

c)

Verificamos si la condición se cumple para n = 1

1=1Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1

Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:

Hipótesis de inducción

Ahora probamos que para n = k + 1 tenemos la misma propiedad:

{ } + (k + 1)

+

=

Verificamos la condición se cumple para n = 1

[2(1)-1] =

1=1Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1

Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:

Hipótesis de inducción

Ahora probamos que funciona para n = k + 1

{ }+ [2(k + 1)-1] =

+ (2k+1)

=

Evaluamos en el valor n = 1 1=1

Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1

Suponemos que n = k, de lo cual se tiene: Hipótesis de inducción

Ahora probamos que para n = k + 1 la propiedad también es valida

{ }+ + +

=

Las dos formulas siguientes establecen una relación entre la suma de los primeros n números cúbicos y el n-esimo número triangular:

a)

b)

a.

Verificamos si la condición se cumple para n = 1

1=1Como se satisface para n = 1

Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:

Hipótesis de inducción

Ahora probamos que se cumple para n = k + 1

{ }+

+

=

Evaluamos si la condición se cumple para n = 1

1=1 Como es valida para n = 1

Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:

Hipótesis de inducción

Ahora probamos que para n = k + 1 se tiene la misma propiedad

22

2 )2(4

)1()1(...321

k

kkk

Para poder hacer inducción en este caso tenemos que demostrar con anterioridad la suma de los números naturales por medio de inducción

1+2+3+…+n =

Verificamos si la condición se cumple para n = 1

1=

1=1Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:

1+2+3+…+k = Hipótesis de inducción

Ahora probamos para n = k + 1 se tiene la misma afirmación

)=

+

=

Ahora si podemos utilizar esta ecuación para representar la suma de los números naturales de otra manera:

=

BIBLIOGRAFIA

BALDOR, A., Aritmética, ed. Cultural Colombiana, Bogotá, 1972.

BURTON, Jones., Teoría de Números, ed. Trillas, México, 1969.

DONADO, A., LUQUE, C Y PAEZ, J., El Proceso de Inducir, Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, 1998.

GORDILLO, J., JIMENEZ, R. y RUBIANO, G., Teoría de Números Para Principiantes, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 1999.

MUÑOZ, J. M., Introducción a la Teoría de Conjuntos, Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 1993.

Investigaciones realizadas en:www.google.com.cowww.wikipedia.comwww.yahooo.com/buscador