LECT5b

A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições

Lição 5

As Transformações de Lorentz

Estrutura Pedagógica

Apresentação:

Com esta lição vamos iniciar uma análise detalhada de consequências dos postulados de A. Einstein. Noomeadamente, no tocante às transformações de coordenadas espacio-temporais respeitantes a eventos registados em dois RI em movimento relativo. Em particular, vamos derivar as transformações de Lorentz que substiuirão as de Galileo como o caso mais abrangente. Também iremos depois derivar como quantidades e conceitos derivados como velocidade e aceleração são alteradas no contexto da TRR.

Questões Centrais:

Os postulados da TRR vão afectar o modo como quantidades espaciais e temporais (e outros conceitos derivados) se relacionam entre RI em movimento relativo. Em particular, é importante determinar

Como é que coordenadas espacio-temporais de eventos se relacionam no contexto da TRR?

Como é que registos de velocidade e aceleração se relacionam no quadro da TRR?

Estrutura da Lição:

Esta lição terá inicialmente uma estrutura “sequencial”. Iniciaremos com a determinação explicita da relação entre coordenadas espacio-temporais de eventos, para dois RI em movimento relativo. Posteriormente, utilizando resultados obtidos préviamente especificamos como registos de velocidade e aceleração se relacionam.

38

Paulo Vargas Moniz

Sumário da lição:

Em termos mais sucintos, iremos:

Estabelecer a forma analitica das transformações de coordenadas (designadas de Transformações de Lorentz) entre dois RI, que permitam relacionar eventos quando Vrelativa ~ c;

Utilizar transformações de Lorentz e determinar como registos de velocidade e aceleração se relacionam para 2 RI em movimento relativo no quadro da TRR.

Objectivos Didácticos:

No fim da lição, ao aluno deverá ser possivel:

Poder derivar e estabelecer as transformações de Lorentz;

Constatar como conceitos de espaço e tempo ficam interligados;

Compreender a transformação de velocidades em TRR, e como tal é auto-consistente com a velocidade da luz ser invariante para RI em movimento relativo;

Compreender a transformação de acelerações em TRR e as implicações no contexto da mecânica, em particular no caso da descrição Newtoniana;

objectivo das transformações de Lorentz é o de permitir uma relação da descrição de eventos entre 2 RI, especificando as coordenadas desses eventos.

Em particular, estabelecendo uma relação entre coordenadas (e observáveis) de um ponto de vista operacional.

O

Sejam então 2 RI, S e S', tais que

(i) S' se move na direcção positiva do eixos dos xx com velocidade u em relação a S;

(ii) Relógios inerciais nos 2 referencias são iniciados quando origem de S e S' (e eixos) coincidem em O=O' com t=t'=0;

(iii) Eventos em S são registados através de (x,y,z,t) e em S' com (x',y',z',t').

39


A transformação de coordenadas mais geral e linear entre 2 referenciais para um mesmo evento é1

x a x a y a z a t11 12 13 14 (1.34a)

y a x a y a z a t21 22 23 24 (1.34b)

z a x a y a z a t31 32 33 34 (1.34c)

t a x a y a z a t41 42 43 44 (1.34d)

A linearidade é uma consequência da homogeneidade do espaço e também do 1o

postulado.

dicionalmente, a forma dos coeficientes (matriciais) aij podem ser determinados dos postulados de Einstein, a partir de considerações e argumentos simples de

simetria.AO primeiro postulado implica que distâncias perpendiculares não são alteradas. I.e., toma-se y = y’ e z= z’ o que implica a22 = a33 = 1 e a2i = 0 ( i 2 ) e a3j = 0 ( j 3).

Há varias formas de justificar este resultado, que enuncia que distancias perpendiculares ao movimento no referencial em movimento não são alteradas quando medidas em referencial do observador.

Uma, talvez menos rigorosa, é afirmar que movimento não se faz na direcção dos yy e zz e por isso não ocorrerão alterações - só se espera que ocorram relativamente ao eixo dos xx onde estado de movimento, junto com invariancia de c, pode levar a situações não antevistas. (i.e., simetria do problema assim sugere).

Outro, envolve o seguinte argumento.

1 A transformação também deve ser simétrica. I.e., as mesmas regras que especificam a transformação de S para S´ devem ser aplicadas quando se considerar a transformação de S´ para S.As equações devem permanecer válidas se trocarmos S por S´ e u por – u.

Comentário: Se as transformações não forem linerares, então comprimentos e intervalos de tempo dependeriam da escolha de origem dos referenciais (eixos coordenados). Isso seria inaceitável, pois leis da física não podem depender de coordenadas númericas arbitrarias de um referencial de coordenadas arbitrário.

Alem disso, se dois referencais são inerciais, então se S regista um objecto com equação do movimento uniforme (e.g., x = vt) então S' também tem que registar um movimento uniforme para esse objecto: uma transformação não linear inviabilizaria isso, i.e., opõe-se ao principio da relatividade (1o postulado).

40

Paulo Vargas Moniz

Suponhamos que referenciais S e S' movem-se lado a lado ao longo do eixo dos xx. Entre eles há uma placa (ficticia) de vidro, localizada de forma equidistante. Suponhamos um pincel segurado (em S) perpendicularmente à direcção do movimento e ao eixo dos yy (i.e., perpendicular ao vidro, estando este orientado ao longo de zz), o qual tem tinta vermelha e assim risca o vidro. Equivalentemente, tambem há um outro pincel em S' mas com cor azul. Se S vê S' pintar azul abaixo de vermelho (i.e., comprimentos na perpendicular em S' alterado), então com principio da relatividade (1o postulado) S' veria S pintar vermelho abaixo de linha azul. Ora, as duas linhas não podem estar uma abaixo da outra. A conclusão, nesta prova por absurso, é que elas coincidem, i.e., z = z’ e y = y’.

Note-se iremos também re-derivar consequências dos Postulados da TRR sem recurso às transformações de Lorentz e teremos oportunidade de re-analisar este assunto.

utras implicações do primeiro postulado (note-se que perfeitamente adequado dentro de mecânica Newtoniana) é que eq. (1.34d) tem que ser invariante para

transformações y y e z z o que implica que a42 = a43 = 0. OEsta simetria rotacional faz sentido pois implica que medição do tempo não deve depender da orientação em que evento ocorre no eixo dos xx.

eja o movimento de origem de S', O'. Como os relógios de S e S' foram sincronizados em t = t' = 0, quando O = O', então a coordenada de O' é dada por

x = ut em S e x' = 0 em S'. Isso implica de (1.34a) S

0 011 12 13 14 12 13 11 14 a ut a y a z a t a a a u a;

(i.e., se pusessemos t = 0, então para que a12y + a13z = 0 fosse válido para qualquer valor de y e z isso implica que a12 = a13 = 0).

Toda a informação acima recolhida resulta em que

x a x ut11 ( ) (1.35a)

y y (1.35b)

z z (1.35c)

t a x a t41 44 (1.35d)

Estas equações são consistentes com mecânica Newtoniana e transformações de Galileo se a11 = a44 = 1 e a41 = 0. Só que até este ponto só invocamos o Primeiro Postulado de Einstein: O principio da relatividade de Galileo extendido a todos os fenómenos naturais.

41


Introduzamos então agora o 2o postulado de Einstein: cada observador (RI) mede exactamente o mesmo valor para a velocidade da luz.

uponhamos que em t=t'=0 (quando referenciais coincidem) é emitido e accionada uma fonte de radiação (ondas electromagneticas) de luz. Então:S

(a) Observador em S, em tempo t qualquer posterior, mede e regista uma frente de onda esférica, movendo-se desde a origem com velocidade c satisfazendo

x y z ct2 2 2 2 ( ) (1.36a)

(b) Similarmente para S', que regista essa mesma onda com raio ct', movendo-se desde origem O'

x y z ct2 2 2 2( ) (1.36b)

O que resta fazer é inserir eq. (1.35a)-(1.35d) em (1.36b) e comparar, termo a termo, com (1.36a). O resultado é

a au

c

au a

c11 44 2

2

4111

2

1

1

;

i.e.,

xx ut

u

c1

2

2

(1.37a)

y y (1.37b)

Comentário: Em transformações de Galileo assumimos que todos relógios em ambos RI são postos em zero quando O e O’ coincidem. Mas como veremos na lição seguinte, o conceito de sincronização em TRR implica que tal deixa de ser consistente: sincronização permanece em S mas deixa de o estar em relação a S’. E reciprocamente. No entanto, 2 relógios em movimento relativo podem ser colocados a registar o mesmo quando na mesma localização espacial.

42

Paulo Vargas Moniz

z z (1.37c)

tt u

x

c

u

c

2

2

21

(1.37d)

Nota: Estas transformações foram obtidas para o caso de movimento relativo ao longo do eixo dos xx.

O factor

1

12

2

u

c

(1.38)

é designado de factor de Lorentz. A importancia de efeitos relativistas com respeito a u (e assim comparando com mecânica Newtoniana) está presente na figura junta.

Como se pode constatar, os efeitos relativistas diferem de 1% da mecânica Newtoniana (i.e., 101. ) quando u/c = 1/7, e 10% quando u/c = 5/12. No caso de observações correspondentes a u << c, as transformações de Lorentz devem reduzir-se satisfatóriamente à formulação Newtoniana. Em particular, quando u c 0 , o que será um similar requerimento de consistência para todas outras formulas relativistas. Analisaremos este aspecto adiante nesta lição.

s transformações inversas de Lorentz (ou LLV) podem ser obtidas de novo de forma algébrica ou trocando x x y y z z t t u u , , , , , vindoA

xx u t

u

c

12

2

(1.39a)

y y (1.39b)

z z (1.39c)

43


tt

ux

c

u

c

2

2

21

(1.39d)

As transformações de Lorentz constituem pois um aspecto fundamental da TRR2. Básicamente, permitem extrair uma variedade de aplicações surpreendentes e fora do quotodiano usual, como constataremos nesta lição e seguintes. Em particular, salientemos o seguinte:

A inter-conexão do papel de espaço e de tempo é agora mais evidente. Se tomarmos ct (em vez de t) como variavel temporal, obtemos as transformações de Lorentz na forma

demonstrando um simetria entre espaço e tempo. No contexto da Teoria da Relatividade Restrita a evolução natural tem pois lugar em 4 dimensões (reais e não meramente auxiliares).

Note-se igualmente que a velocidade da da luz tem igual valor em qualquer RI. Se x = c t em S para impulsos de luz, então pelas transformações de Lorentz vem também que

( )

x ut c t

ux

cx ct

2

É também fundamental que as transformações de Lorentz se reduzam às transformações de Galileo quando u << c. Neste sentido, já mencionámos que

quando u c 0 . No entanto, note-se que (ver expressão (1.38)) se expande3

2 As transformações de Lorentz podem também ser obtidas por outros métodos. Em particular, fazendo uso de consequências directas dos Postulados de A. Einstein para a TRR, como é o caso de fenómenos de contração de comprimentos e dilatação de tempos (ver lições 7 e 8).

3 Usando que converge quando n não é inteiro positivo e x<1,

com e .

44

Paulo Vargas Moniz

pelo que em primeira aproximação se Nesta situação as

transformações de Lorentz reduzem-se a

que não corresponde às transformações de Galileo devido ao termo . Se

considerarmos que as quantidades relevantes são os intervalos entre coordenadas espacio-temporais (i.e., dx e dt) correspondentes a eventos, então temos

. Obtem-se dt´=dt se , i.e., sr também tivermos que

dx << cdt. Para eventos associados com movimento de um objecto esta condição representa que velocidade do objecto tem que ser muito inferior à da luz, o que recai no limite não-relativista que temos vindo a mencionar4.

ado que intervalos de espaço e tempo são medidos de forma diferente por diferentes observadores em movimento relativo, isso implicara que as

velocidades também serão registados de forma diferente em relação à mecânica Newtoniana. As equações de transformação de velocidades podem ser facilmente extraidas das transformações de Lorentz (1.37a-d) se as escrevermos em termos de diferenciais:

D

dx dx udt ( ) (1.40a)

dy dy dz dz ; (1.40b)

dt dtudx

c

2 (1.40c)

donde se retira que (usando v dx dtx e similarmente para vy e vz)

v

dx

dt

dx udt

dtudx

c

v u

vu

c

xx

x2 21

(1.41a)

4 No entanto, se dx e dt correspondem a eventos quase simultâneos (ver lição seguinte) muito afastados, a condição dx << cdt pode não ser satisfeita. A descrição terá queser feita no contexto da TRR, mesmo que RI se movam com velocidade relativa entre si muito inferior à da luz.

45


vdy

dt

v

vu

c

yy

x 12

(1.41b)

vv

vu

c

zz

x 12

(1.41c)

A transformação inversa pode ser obtida ou algebricamente ou mudando u u e também v v v v v v v vx x x x y y z z, , , :

vv u

vu

c

xx

x

12

(1.42a)

vv

vu

c

yy

x

12

(1.42b)

Comentário: Se um corpo se move com velocidade inferior à da luz em RI S, também assim se move noutro RI.

Para verificarmos qua assim é seja u a velocidade relativa entre S e S’, v a velocidade de objecto em S e v’ a velocidade correspondente em S’. Assumamos que v’>0 e u>0. Se v’<c e u<c então defininamos B=u/c e v c v c, . Adicional-mente, seja

.Da segunda expressão em (1.43) obtemos que

2

2

k

k k

Como numerador e denominador são positivos e denominador é superior ao numerador, conclui-se que 1 .

Por outro lado, se corpo se move com velocidade maior que c em S, tal também o será em S': c é a barreira limite. Como veremos, um corpo material nunca pode alcançar velocidade da luz se inicialmente com v<c. Mas não é estritamente correcto dizer que efeitos supraluminosos não têm existencia.

46

Paulo Vargas Moniz

vv

vu

c

zz

x

12

(1.42c)

No caso simples de vy = 0 e vz = 0, vem sómente que

v

v u

vu

c

vv u

vu

c1 1

2 2

;(1.43)

e para v = c, obtemos v’ = c. I.e., velocidade da luz no vácuo é invariante em todos RI, como deveria ser em consistencia com dois postulados de A. Einstein.

Das expressões para as trans-formações de velocidades vamos de seguida extrair a

descrição quantitativa do fenómeno de “lanterna5”. Esrte efeito tem um papel importante em Física, associado à radiação de sincrotão, emitida por cargas electricas aceleradas até velocidades próximas de c. Este efeito é particularmente relevante em Astrofísica, no caso de estrelas de neutrões (pulsars) onde um forte campo magnético está presente, assim como no núcleo de galáxias activas.

5 Do Inglês “headlight”.

Comentário: As transformações de velocidades em TRR podem ser analisadas do ponto de vista seguinte, reforçando o conteudo do 1º Postulado. Consideremos objecto que se move com velocidade v na direcção de eixo dos xx em S, com equação x = vt. Usando transformações de Lorentz para converter em coordenadas de S´, vem

. Note-se que também é um

movimento uniforme e rectilineo, como seria de esperar, pois x´ é proporcional a t

´.Ora de v´=x´/t´ vem .

47


Seja então um RI S´, onde na sua origem O´ se encontra situado uma fonte de luz monocromática. A fonte de luz (e S´ também) move-se com velocidade u em relação a S, ao longo do eixo positivo dos xx. Consideremos um sinal luminoso particular em S´, que é emitido no plano x´y´ e numa direcção fazendo um angulo com x´x´. As componentes da velocidade desse sinal de luz (descrevendo um raio luminoso) são, em S´,

(1.44a)

Como é que esse raio luminoso (ou qualquer outro) é registado em S?

Obviamente que também será registado como um raio luminoso, i.e., um movimento uniforme com

, (1.44b)

onde é a inclinação do trajecto do raio luminoso com o eixo dos xx em S. A única alteração possivel é ser . Vejamos se assim é e como.

Usando a transformação inversa de velocidades6 (1.42a-c) vem

.

(1.45)

De (1.45) obtemos que

6 Se quisermos derivar como a direcção de movimento uniforme (qualquer) se relaciona entre RI, então em (1.44a), (1.44b) substituimos c por v. Usando a transformação de velocidades vem que se

obtem .

48

Paulo Vargas Moniz

(1.46a)

e também que

. (1.46b)

Com e para angulos vem que I.e., se ao invés de considerarmos um raio luminoso particular mas um feixe de raios luminosos em S´ compreendidos numa região de um plano formando angulos de a - , esse feixe será mais estreito em S: os raios luminosos estão contidos entre e - com < .

Seja em particular o caso de fonte luminosa em S´ que emite igualmente em todas as direcções, tal que metade da luz é emitida no hemisfério onde x´x´ é positivo. Para um raio de luz com , i.e., vem que em S se tem

e o raio de luz em S não viaja perpendicularmente ao eixo dos xx mas fazendo um angulo dado por

(1.47)

Comentário: As expressões (1.46a-b) também permitem analisar o efeito de aberração estelar relativista. I.e., o efeito devido ao movimento da Terra que determina que telescópio tem que estar adequadamente orientado (ver lição 3). Mas o efeito é muito pequeno. Para velocidades da ordem de 100 km/seg e angulo de aberração 20” de arco, a correcção é da ordem de ”de arco!

49


Assim, a luz que em S´ era emitida uniformemente em todas as direcções está agora contida num cone de angulo dado por (1.47). Para u/c com valores de 0.1, 0.6, 0.9 e 0.9999 em S e , obtemos que é igual a , respectivamente! A luz está concentrada num cone muito estreito de angulo muito pequeno, na direcção de objecto emissor e sendo fortemente polarizada7.

a sequência do método atràs apresentado para determinar a transformação de velocidades no quadro da TRR, vejamos como é que a aceleração de um objecto

é relacionada entre 2 RI em movimento relativo com velocidade u ao longo do eixo dos xx. Relembremos que em mecânica Newtoniana as transformações de Galileo (ver (1.20), (1.21)) determinam que a aceleração é uma quantidade invariante. Mas no contexto da TRR como será?

N

Num RI S um objecto tem aceleração dada por

enquanto que um RI S´ temos no entanto uma aceleração dada por

7 Além deste efeito, também haverá outro – o efeito de Doppler relativista (ver lição 10). Se a luz emitida em S´ tem comprimento de onda nm (amarelo de sódio) e u = 0.9999c, para

vem nm (ultravioleta) e para temos que nm

(infravermelhos).

Comentário: Curiosamente, este efeito é o contrário do que poderiamos (erradamente) esperar de uma aplicação ingénua das transformações de Lorentz. A TRR determina (ver lição 8) que se dá uma contração na direcção do movimento, pelo que se esperaria então que angulo > : o diametro seria menor mas com o compriemnto reduzido o angulo seria maior. Mas para um raciocinio correcto há que considerar que o feixe não é um objecto a contrair, apenas descreve como a luz se move num RI. A única forma de determinar como a luz se move noutro RI é utilizar a transformação de velocidades ditada pela TRR.

50

Paulo Vargas Moniz

A relação entre e é determinada se usarmos

ao que vem,

(1.48a)

e igualmente que

, (1.48b)

. (1.48c)

Como se pode verificar, a aceleração já não é um invariante em TRR. Apesar de (e como seria de esperar consistentemente) que só quando u<<c e se tem que e são iguais, as expressões (1.48a-c) mostram como os postulados da TRR vão alterar a nossa compreensão da natureza. As consequências são várias e algumas estão presentes nos seguintes comentários:

Se um objecto num RI S se move desde o repouso com movimento uniformente

acelerado ao longo do eixo dos xx, a sua posição é dada por (para x=0

para t=0). Usando as transformações de Lorentz(1.39a-d) obtemos que

.

51


Mas esta expressão não é nem pode ser transformada algébricamante em algo como

onde C1 e C2 são constantes. A aceleração em S´ não é constante, i.e., um movimento uniformemente acelerado em S vai corresponder a um movimento com aceleração variavel em S´. Este comentátio leva então ao seguinte.

Em mecânica Newtoniana, se aceleração é invariante, então a 2ª lei de Newton (ver lição 1) é covariante (na utilização de transformações de Galileo) se força for invariante. A situação em TRR é mais complicada: a aceleração jã não é invariante.

Será então que a 2ª lei de Newton é covariante? O comentário anterior parece implicar que não. Para o ser, a quantidade F/m dever-se-ia transformar de modo semelhante a (1.48a-c). Mas isso não ocorre para várias situações fisicas. A 2ª lei de Newton não é uma lei generalizada da natureza; é apenas o limite para u<<c e

de uma lei covariante mais geral. Voltaremos a este tópico nas lições 12 e 13. Mas também aqui se antevê o configurar de uma Teoria da Relatividade Generalizada.

Em mecânica Newtoniana, um objecto sujeito a uma força constante acelera a uma taxa constante e pode, em principio, ultrapassar a velocidade da luz. Em TRR, tal não pode ocorrer. Como veremos nas lições 12 e 13, inicialmente o objecto tem aceleração dada por F/m mas vai decrescendo até zero, com velocidade aproximando-se de c mas nunca ultrapassando: tal é devido ao aumento relativista da massa com a velocidade.

52

LECT5b

Documents

Transcript of LECT5b