Lý thuy‚t m¤u Phương pháp m¤u Chương 4docgate.com/phuongle/teaching/XSTK/handout/C4.pdfLý...

Lý thuyết mẫuPhương pháp mẫu

Cách trình bày mẫu

Các đặc trưng mẫu

Tính các đặc trưng mẫu

Ước lượng điểmTổng quan

Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp

Ước lượng khoảngBài toán

Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.1

Chương 4Ước lượng tham sốBài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Lê PhươngBộ môn Toán kinh tế

Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí MinhHomepage: http://docgate.com/phuongle






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.2

Nội dung

1 Lý thuyết mẫuPhương pháp mẫuCách trình bày một mẫu cụ thểCác đặc trưng mẫuTính các đặc trưng mẫu cụ thể

2 Ước lượng điểmTổng quanBài toán ước lượng điểmCác tiêu chuẩn ước lượngCác phương pháp ước lượng điểm

3 Ước lượng khoảngBài toán ước lượng khoảngKhoảng tin cậy cho trung bìnhKhoảng tin cậy cho tỉ lệKhoảng tin cậy cho phương sai






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.4

Tổng thể

Tổng thể hay đám đông (kí hiệu C) là một tập hợp các phần tửcó một hoặc một vài dấu hiệu chung về lượng hay về chất cầnnghiên cứu.

Ví dụ.1 Nếu muốn nghiên cứu chất lượng sản phẩm của một lô

hàng thì tổng thể là các sản phẩm được lấy ra từ lô hàngsản xuất, dấu hiệu nghiên cứu là sản phẩm có đạt tiêuchuẩn hay không.

2 Nếu muốn nghiên cứu thu nhập của người Việt Nam thìtổng thể là toàn bộ người dân Việt nam, dấu hiệu nghiêncứu là thu nhập của từng người dân.

Dấu hiệu chung thay đổi qua các phần tử của tổng thể đượcbiểu diễn bằng một biến ngẫu nhiên X nào đó.

Nghiên cứu một tổng thể là nghiên cứu về phân phối xác suấtvà các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên X của tổng thể đó.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.5

Phương pháp mẫu

Trong thực tế, việc điều tra nghiên cứu các phần tử của tổngthể gặp những khó khăn:• Số phần tử của tổng thể lớn đòi hỏi nhiều chi phí và thời

gian điều tra.• Trong nhiều trường hợp không thể biết hết các phần tử

của tổng thể nên không thể điều tra toàn bộ được.


Là phương pháp chọn ra n phần tử đại diện cho tổng thể (còngọi là chọn ra một mẫu kích thước n). Sử dụng các công cụthống kê nghiên cứu mẫu này và dựa vào đó cho kết luận vềtổng thể.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.6

Chọn mẫu ngẫu nhiên

Nguyên tắc chọn mẫu

Mỗi phần tử của tổng thể có một xác suất được chọn vào mẫuđược biết và khác 0.

Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản

• mỗi lần chỉ được chọn một phần tử• mỗi phần tử đều có thể được chọn với cùng khả năng

Có hai phương thức chọn: chọn hoàn lại, chọn không hoàn lại.

Ưu điểm: có tính đại diện cao.Nhược điểm: phải biết toàn bộ tổng thể, chi phí chọn mẫu lớn.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.7

Chọn mẫu ngẫu nhiên

Chọn mẫu phân nhóm

• chia tổng thể thành các nhóm tương đối thuần nhất• từ mỗi nhóm lấy ra một mẫu ngẫu nhiên

Được dùng khi tổng thể có những sai khác lớn.

Chọn mẫu chùm

• chọn mẫu ngẫu nhiên từ các tập con của tổng thể (cácchùm)

• từ mỗi nhóm lấy ra một mẫu ngẫu nhiên

Ưu điểm: tiết kiệm chi phí và thời gian.Nhược điểm: sai số chọn mẫu cao.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.8

Chọn mẫu có suy luận

Nguyên tắc chọn mẫu

Dựa trên ý kiến chuyên gia về đối tượng nghiên cứu.

Nhược điểm: khó đảm bảo tính khách quan.

Các thang đo

Mỗi loại đặc trưng thuộc 1 trong 3 loại thang đo.1 Thang đo định danh: dùng để phân loại các biểu hiện của

đặc trưng, không so sánh và tính toán được. Ví dụ: giớitính (nam, nữ).

2 Thang đo thứ bậc: giữa các biểu hiện của đặc trưng đã cóquan hệ hơn kém, có thể so sánh nhưng không tính toánđược. Ví dụ: trình độ học vấn (tiểu học, trung học cơ sở,trung học phổ thông, đại học, trên đại học).

3 Thang đo khoảng: có thể so sánh và tính toán trên cácbiểu hiện của đặc trưng. Ví dụ: chiều cao người trưởngthành (150cm, 155cm, 160cm, 170cm, 180cm, . . . )






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.9


Giả sử cần nghiên cứu đặc trưng X của tổng thể. Với mẫu kíchthước n, gọi Xi là giá trị của đặc trưng X của phần tử thứ i củamẫu (1, . . . ,n).

Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là một bộ gồm n biến ngẫu nhiênđộc lập X1,X2, . . . ,Xn được lập từ biến ngẫu nhiên X và cócùng phân phối với X . Kí hiệu W = (X1,X2, . . . ,Xn).

Khi thực hiện lấy mẫu thực tế, ta đượcX1 = x1,X2 = x2, . . . ,Xn = xn. Khi đó, (x1, x2, . . . , xn) được gọilà mẫu cụ thể kích thước n.

Một hàm của mẫu ngẫu nhiên T = T (X1,X2, ...,Xn) được gọi làmột thống kê.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.10


Ví dụ. Gọi X là chiều cao của một cư dân bất kì trong thànhphố.

• Chọn ngẫu nhiên 4 người trong thành phố và gọi Xi làchiều cao của người được chọn thứ i , (i = 1,4) thì ta có 4biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với X , khi đó tacó mẫu ngẫu nhiên (X1,X2,X3,X4).• Khi tiến hành lấy mẫu thực tế được chiều cao của 4 người

lần lượt là 1,6m, 1,7m, 1,57m, 1,64m thì(1,6;1,7;1,57;1,64) là một mẫu cụ thể.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.12

Cách trình bày một mẫu cụ thể

Một mẫu cụ thể kích thước n, trong đó giá trị xi xuất hiện ni lầnvới x1 < x2 < . . . < xk và n1 + n2 + · · ·+ nk = n.Khi đó• ni : tần số của xi ,• fi = ni

n : tần suất của xi .

Bảng phân phối tần số thực nghiệm:

xi x1 x2 . . . xkni n1 n2 . . . nk

Bảng phân phối tần suất thực nghiệm:

xi x1 x2 . . . xkfi f1 f2 . . . fk

Ví dụ Khảo sát số nhân khẩu trong 10 hộ gia đình được kếtquà: 2, 4, 6, 1, 6, 4, 5, 2, 6, 5 (nhân khẩu). Lập bảng phân phốithực nghiệm của mẫu 10 hộ gia đình trên.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.14

Các đặc trưng mẫuCác đặc trưng mẫu tổng quát

Trung bình X n = X1+X2+···+Xnn

Tỉ lệ Fn = XAn

Phương sai chưa hiệu chỉnh S2n = 1

n

n∑i=1

(Xi − X n

)2

Phương sai (hiệu chỉnh) S2n = 1

n−1

n∑i=1

(Xi − X n

)2

Độ lệch chuẩn (hiệu chỉnh) Sn =√

S2n

Các đặc trưng mẫu cụ thể

Trung bình xn = x1+x2+···+xnn

Tỉ lệ fn = xAn

Phương sai chưa hiệu chỉnh s2n = 1

n

n∑i=1

(xi − xn)2

Phương sai (hiệu chỉnh) s2n = 1

n−1

n∑i=1

(xi − xn)2

Độ lệch chuẩn (hiệu chỉnh) sn =√

s2n

Để ngắn gọn, có thể bỏ chỉ số dưới n. Ví dụ: X , x ,F , f ,S2, s2.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.15

Kì vọng và phương sai của các đặc trưng mẫu

Cho tổng thể X có E(X ) = µ, V (X ) = σ2 và tỉ lệ p. Kì vọng vàphương sai của các đặc trưng mẫu

• Trung bình mẫu: E(X ) = µ, V (X ) = σ2

n .

• Tỉ lệ mẫu: E(F ) = p, V (F ) = p(1−p)n .

• Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: E(S2) = n−1n σ2.

• Phương sai mẫu (hiệu chỉnh): E(S2) = σ2.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.16

Một số phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu

Trường hợp tổng thể X có phân phối chuẩn: X ∼ N(µ, σ2)

• X−µσ

√n ∼ N(0,1).

• X−µS√

n ∼ t(n − 1).

• (n−1)S2

σ2 ∼ χ2(n − 1).

Trường hợp kích thước mẫu đủ lớn: n ≥ 30

• X−µσ

√n ' N(0,1).

• X−µS√

n ' N(0,1).






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.18

Tính các đặc trưng mẫu cụ thể

Bài toán

Từ một mẫu cụ thể có bảng phân phối thực nghiệm hay phânphối ghép lớp, tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩn s.

• x =∑

ni xin , x2 =

∑ni x2

in ,

• s2 = nn−1 (x2 − (x)2),

• s =√

s2.

Ví dụ.Cho bảng phân phối thực nghiệm:

xi -2 1 2 3 4 5ni 2 1 2 2 2 1

Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.19

Tính các đặc trưng mẫu cụ thể

Lưu ý

• Với bảng phân phối ghép lớp ta thay lớp xi−1 − xi bằng mộtđại diện x ′i =

xi−1+xi2 .

• Khi số liệu lớn, phức tạp, ta có thể đổi biến để giảm độphức tạp tính toán:

x ′i =xi − a

h .

Ví dụ.Lượng xăng hao phí của một ôtô đi từ A đến B sau 30 lần chạyđược kết quả cho trong bảng:

Lít 9,6–9,8 9,8–10 10–10,2 10,2–10,4 10,4–10,8Số lần 3 5 10 8 4

Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.21

Bài toán ước lượng tham số

Bài toán: Tìm ước lượng cho tham số θ của một tổng thể. Trongđó θ là

1 µ (trung bình tổng thể),2 p (tỉ lệ tổng thế),3 σ2 (phương sai tổng thế).

Ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ. Ước lượngnhư vậy được gọi là ước lượng điểm.

Ngoài ra ta có thể chỉ ra một khoảng (θ1, θ2) có thể chứa θ.Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng khoảng.

Ví dụ. Cho một mẫu khảo sát gồm 10000 người của một quốcgia được chọn ngẫu nhiên có độ tuổi trung bình là 27 và độlệch chuẩn là 3 tuổi. Ước lượng tuổi trung bình của toàn bộ dânsố thuộc quốc gia đó.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.23

Bài toán ước lượng điểm

Bài toán ước lượng điểm

Tìm một thống kê θ(X1,X2, ...,Xn) để ước lượng (thay thế) thamsố θ chưa biết. Khi đó θ được gọi là hàm ước lượng cho θ.

Từ mẫu cụ thể (x1, ..., xn), ta tính được giá trị θ∗ = θ(x1, ..., xn).Khi đó θ∗ được gọi là ước lượng điểm của θ.

Có vô số cách chọn thống kê θ để ước lượng cho tham số θcho trước. Vì vậy người ta đưa ra các tiêu chuẩn để đánh giáchất lượng của ước lượng. Từ đó tìm được hàm ước lượng tốt.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.25

Các tiêu chuẩn ước lượng

Ước lượng không chệch

Thống kê θ được gọi là ước lượng không chệch của θ nếuE θ = θ.

Ý nghĩa

Ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng0 (vì E θ − θ = 0).(Sai số trung bình bằng 0 được gọi là sai số ngẫu nhiên, ngượclại là sai số hệ thống).

Ví dụ. Tỉ lệ mẫu F , trung bình mẫu X , phương sai mẫu (hiệuchỉnh) S2 tương ứng là ước lượng không chệch của p, µ, σ2.Còn S2 là ước lượng chệch của σ2.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.26

Các tiêu chuẩn ước lượng

Ước lượng vững

Thống kê θ được gọi là ước lượng vững của θ nếuθ(X1, ...,Xn)

P−→ θ.Do đó với n đủ lớn thì với xác suất gần 1 ta có: θ ' θ.

Ví dụ. F ,X ,S2, S2 tương ứng là các ước lượng vững chop, µ, σ2, σ2.

Ước lượng hiệu quả

Thống kê θ được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó là ướclượng không chệch và có phương sai bé nhất trong các ướclượng không chệch của θ.

Ví dụ. Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì X là ước lượng hiệu quả của µ.Nếu X ∼ B(1,p) thì F là ước lượng hiệu quả của p.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.28

Các phương pháp ước lượng điểm

Sử dụng các đặc trưng mẫu

• F ,X ,S2 tương ứng là ước lượng không chệch, vững chop, µ, σ2.

• S2 là ước lượng chệch, vững cho σ2.• Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì X là ước lượng hiệu quả cho µ.

Nếu X ∼ B(1,p) thì F là ước lượng hiệu quả cho p.

Hạn chế của phương pháp ước lượng điểm

• Khi kích thước mẫu nhỏ thì phương pháp ước lượng điểmcó thể cho sai số lớn.

• Không đánh giá được độ chính xác của ước lượng.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.30

Bài toán

Cho xác suất 1− α, từ mẫu ngẫu nhiên (X1, ...,Xn) tìm cácthống kê θ1, θ2 sao cho

P(θ1 < θ < θ2) = 1− α.

Với mẫu cụ thể (x1, x2, ..., xn), ta có θ1 nhận giá trị θ1 và θ2 nhậngiá trị θ2. Khi đó (θ1, θ2) được gọi là ước lượng khoảng của θtrong đó• 1− α: độ tin cậy của ước lượng,• (θ1, θ2): khoảng tin cậy của ước lượng,• θ2 − θ1 = 2ε: độ dài khoảng tin cậy,• ε: độ chính xác (sai số) của ước lượng.

Bài toán ước lượng khoảng với độ tin cậy 1− α còn được gọi làbài toán tìm khoảng tin cậy 1− α.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.32

Khoảng tin cậy cho trung bình

Bài toán

Giả sử tổng thể X có EX = µ chưa biết. Với độ tin cậy 1− α,tìm khoảng tin cậy cho µ.

Chỉ xét trường hợp n ≥ 30 và σ2 chưa biết.Khoảng tin cậy 2 phía (đối xứng)

(x − ε, x + ε) ,

vớiε = zα

2

s√n.

Trong đó zα là giá trị tới hạn mức α của phân phối chuẩn tắc:

ϕ(zα) = 0,5− α.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.33

Khoảng tin cậy cho trung bình

Ví dụ. Chủ một kho sơn muốn đánh giá lượng sơn chứa trongcác thùng 1 lít được sản xuất từ một dây chuyền công nghệquốc gia. Khảo sát một mẫu 50 thùng được lượng sơn trungbình là 0,97 lít và độ lệch chuẩn của lượng sơn là 0,08 lít.

1 Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng lượng sơn trung bìnhchứa trong một thùng.

2 Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tổng lượng sơn của kho,biết kho có 50000 thùng sơn.

Ví dụ. Một lô hàng gồm các linh kiện điện tử cùng loại có tổngkhối lượng 1 tấn. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 linh kiện từ lô hàngthì thấy khối lượng trung bình của các linh kiện là 10,1 gam vàđộ lệch chuẩn là 1 gam. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng sốlượng linh kiện có trong lô hàng.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.34

Các bài toán chỉ tiêu của ước lượng

Trong bài toán tìm khoảng tin cậy đối xứng khi mẫu đủ lớn(n ≥ 30) và σ2 chưa biết, ta có các bài toán sau:

Bài toán 1

Cho 1− α và n, tìm độ chính xác ε.

ε = zα2

s√n.

Bài toán 2

Cho ε và n, tìm độ tin cậy 1− α.Ta có

zα2=ε√

ns .

Do đó

1− α = 2ϕ(zα2) = 2ϕ

(ε√

ns

).






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.35


Bài toán 3

Cho 1− α và ε ≤ ε0, tìm kích thước mẫu n.Ta có

zα2

s√n= ε ≤ ε0

√n ≥

zα2s

ε0

n ≥(zα

2s

ε0

)2

.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.36


Ví dụ. Chủ một kho sơn muốn đánh giá lượng sơn chứa trongcác thùng 1 lít được sản xuất từ một dây chuyền công nghệquốc gia. Khảo sát một mẫu 50 thùng được lượng sơn trungbình là 0,97 lít và độ lệch chuẩn của lượng sơn là 0,08 lít.

1 Nếu sử dụng mẫu này và muốn ước lượng lượng sơn trungbình trong thùng với độ chính xác 0,02 lít thì đảm bảo độtin cậy là bao nhiêu?

2 Nếu chủ kho muốn ước lượng lượng sơn trung bình trongthùng đảm bảo độ tin cậy 95% và độ chính xác (sai sốkhông quá) 0,02 lít thì cần khảo sát thêm bao nhiêu thùngnữa?






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.38

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ

Bài toán

Giả sử tỉ lệ p của tổng thể chưa biết. Với độ tin cậy 1− α, tìmkhoảng tin cậy cho p.

Khoảng tin cậy 2 phía (đối xứng)

(f − ε, f + ε) ,

với

ε = zα2

√f (1− f )

n .

Ví dụ. Để đánh giá tỉ lệ phế phẩm của một dây chuyền sảnxuất, người ta khảo sát ngẫu nhiên 500 sản phẩm thì thấy có30 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ phếphẩm của dây chuyền sản xuất.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.39


Trong bài toán tìm khoảng tin cậy đối xứng, ta có các bài toánsau:

Bài toán 1

Cho 1− α và n, tìm độ chính xác ε.

ε = zα2

√f (1− f )

n .

Bài toán 2

Cho ε và n, tìm độ tin cậy 1− α.Ta có

zα2= ε

√n

f (1− f ) .

Do đó

1− α = 2ϕ(zα2) = 2ϕ

(ε

√n

f (1− f )

).






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.40


Bài toán 3

Cho 1− α và ε ≤ ε0, tìm kích thước mẫu n.

zα2

√f (1− f )

n = ε ≤ ε0

√n ≥

zα2

√f (1− f )ε0

n ≥z2

α2f (1− f )ε2

0.






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.41


Ví dụ. Giám đốc một ngân hàng muốn ước lượng tỉ lệ kháchhàng gửi tiền tại ngân hàng được chi trả theo tháng. Một mẫungẫu nhiên 100 khách hàng có 30 người được chi trả theotháng.

1 Sử dụng mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ khách hàngđược chi trả theo tháng với độ chính xác 0,08 thì độ tin cậyđạt được là bao nhiêu?

2 Nếu muốn ước lượng tỉ lệ khách hàng được chi trả theotháng với độ tin cậy 95% và độ chính xác (sai số) 5% thìcần kích thước mẫu khảo sát là bao nhiêu?






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.43

Khoảng tin cậy cho phương sai

Bài toán

Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ2) với σ2 chưa biết. Tìmkhoảng tin cậy 1− α cho σ2.

Chỉ xét trường hợp chưa biết trung bình tổng thể µ.Khoảng tin cậy 2 phía(

(n − 1)s2

χ2(n − 1, α2 ),

(n − 1)s2

χ2(n − 1,1− α2 )

)Trong đó χ2(n, α) là giá trị tới hạn mức α của phân phối χ2(n):

P(X > χ2(n, α)) = α

với X ∼ χ2(n) (tra bảng 4).






Bài toán

Các tiêu chuẩn

Các phương pháp


Trung bình

Tỉ lệ

Phương sai

4.44

Khoảng tin cậy cho phương sai

Ví dụ. Cho biết mức hao phí nguyên liệu của một loại sảnphẩm cho một đơn vị sản phẩm có phân phối chuẩn. Người tacân thử một mẫu 25 sản phẩm loại này và nhận được kết quảcho trong bảng

Mức hao phí (gam) 18–20 20-22 22-24Số sản phẩm 5 18 2

Với độ tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy cho độ lệch chuẩncủa mức hao phí nguyên liệu trên.

Lý thuy‚t m¤u Phương pháp m¤u Chương 4docgate.com/phuongle/teaching/XSTK/handout/C4.pdfLý...

Documents

Transcript of Lý thuy‚t m¤u Phương pháp m¤u Chương 4docgate.com/phuongle/teaching/XSTK/handout/C4.pdfLý...