2. INTEGRAL TENTU

2.1 Pendahuluan LuasMasalah geometri dan masalah kalkulus yang berkaitan:

Garis singgung Turunan

Pencarian luas Integral tentu

GEOMETRI KALKULUS

Luas bidang rata

Luas beberapa jenis bidang rata yang kita ketahui

w

l b

h

Segiempat: A=lw Jajaran genjang: A=bh

Segitiga: A=1/2 bh

b

h

Poligon: A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

A1 A2

A3

A5A4

SIFAT-SIFAT LUAS

Luas memenuhi lima sifat:1. Luas sebuah bidang rata adalah bilangan real tak

negatif.2. Luas segiempat adalah hasil kali panjang dan

lebarnya.3. Daerah-daerah yang sama dan sebangun memiliki

luas yang sama.4. Luas gabungan dua daerah yang hanya berimpit

pada sebuah ruas garis sama dengan jumlah luas kedua daerah tersebut.

5. Jika sebuah daerah berada di dalam daerah yang kedua, maka luas daerah pertama lebih kecil daripada atau sama dengan luas daerah yang kedua.

Luas lingkaran

Pertanyaan: bagaimana menghitung luas lingkaran berjari-jari r?

Jawab: didekati dengan luas segi banyak/poligon beraturan. Pendekatan dapat dilakukan dari luar atau dari dalam.

...P1

P2 P3 Pn

Luas lingkaran : A(lingk)= )(lim nn

PA

Berdasarkan pendekatan ini, Archimedes sejak lebih dari 2000 tahun yl telah

menemukan rumus lingkaran berjari-jari r sama dengan pr2..

2.1 Pendahuluan Luas

• Perhitungan luas bidang poligon dapat diselesaikan dengan menggunakan formula luas untuk segiempat dan segitiga.

• Perhitungan luas bidang yang dibatasi kurva lebih menyulitkan.

• Perhatikan bahwa luas bidang dalam lingkaran adalah sama dengan luas poligon bersisi n di mana n tak terhingga.

Menambahkan banyak suku secara bersama-sama sampai tak terhingga

• Notasi penjumlahan (Σ) menyederhanakan representasi.• Luas dalam kurva sembarang dapat ditentukan dengan

menjumlahkan sebanyak-banyak segiempat yang dapat dimuat dalam kurva.

n

iii

nn

ttfArea

ttfttfttfttfArea

1

332211

)(

)(...)()()(

t

f(t)

Sifat-sifat Notasi Sigma

Notasi Sigma memiliki sifat linier. Jika c konstan maka:

i. .

ii. .

iii. .

n

ii

n

ii acca

11

n

ii

n

ii

n

iii baba

111

)(

n

ii

n

ii

n

iii baba

111

)(

Beberapa Rumus Sigma

n

i

nnni

1 2

)1(...321

n

i

nnnni

1

22222

6

)12)(1(...321

n

i

nnni

1

233333

2

)1(...321

n

i

nnnnnni

1

244444

30

)133)(12)(1(...321

2.2 Integral Tentu• Jumlah Riemann adalah jumlah perkalian dari semua nilai

fungsi pada sebuah titik sembarang dalam interval dikalikan dengan panjang interval.

• Interval mungkin memiliki panjang yang berbeda-beda, titik evaluasi dapat dipilih di titik mana saja di dalam interval.

• Untuk mendapatkan luas, kita harus menghitung luas sebanyak-banyaknya segiempat, yang masing-masing akan semakin kecil.

Misalkanfadalahfungsiyangdidefinisikanpada interval tertutup [a,b]. Himpunantitik-titik P={a=x0,x1,...,xn=b} dengan x0<x1<...<xndisebutsuatupartisidari [a,b]. Untuki=1,2,...,n ambilsebarangi[xi-1,xi]. Makajumlahan

disebutjumlah Riemann dari f thdpartisi P. Lebihlanjut norm dari P didefinisikandengan||P||=max{(xi-

xi-1), 1≤i≤n}.

Jumlah Riemann

n

iii xxf

1

*)(

n

iii xxf

1

)(

Definisi: Integral Tentu

Jika

ada, kita katakan f dapat diintegrasikan pada [a,b].

Selanjutnya,

disebut integral tentu (Integral Riemann) dari f dari a ke b, kemudian diberikan sebagai limit tersebut.

n

iii

Pxxf

10)(lim

b

a

dxxf )(

Luas Daerah di Bawah Kurva

• Integral tentu dari a ke b dari f(x)≥0 menyatakan luas bidang yang terperangkap di antara kurva, f(x), dan sumbu x pada interval tersebut.

• Batas bawah integrasi adalah a dan batas atas integrasi adalah b.

• Jika f dibatasi pada interval [a,b] dan kontinu kecuali pada angka tertentu dari titik-titik, maka f dapat diintegrasikan pada [a,b]. Secara khusus, jika f kontinu pada seluruh interval [a,b], maka f dapat diintegrasikan pada [a,b].

f(x)

Luas = f(x)dx

a b x

a b x

Luas = - f(x)dx f(x)

b

b

a

a

Fungsi-fungsi yang Selalu Dapat Diintegrasikan

• Fungsi polinomial• Fungsi sinus dan kosinus• Fungsi rasional, sepanjang [a,b] tidak memuat titik-

titik yang memiliki denominasi 0.

2.3 Teorema Dasar Kalkulus Pertama

• Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan misalkan x adalah titik (variabel) dalam (a,b). Maka

x

a

xfdttfdx

d)()(

Apakah maksudnya?

• Laju di mana luas bidang di bawah kurva fungsi f(t) berubah pada titik adalah sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut.

Sifat-sifat Integral tentu

2.4 Teorema Dasar Kalkulus Kedua dan Metode Substitusi

• Misalkan f kontinu (dapat diintegrasikan) pada interval [a,b], dan misalkan F adalah sebarang anti turunan dari f pada [a,b]. Maka integral tentu dinyatakan sebagai

b

a

aFbFdxxf )()()(

Evaluasilah:

42644121664

)2(3)2(4

)2()4(34

4

4

34

32

24

24

4

2

4

2

24

3

xx

xdxxx

Aturan Substitusi untuk Integral Tentu

• Misalkan g adalah fungsi yang diferensiabel dan F adalah anti turunan dari f. Maka

CxgFdxxgxgf ))(()('))((

Apakah yang anda ingat dari hal berikut ini?

• Ini adalah Aturan Rantai! (dari diferensiasi)• Dalam kasus ini, anda mempunyai integral dengan

fungsi dan turunannya yang keduanya tertera pada integran.

• Hal ini sering disebut sebagai “substitusi u”• Misalkan u=fungsi dan du=turunan fungsi tersebut

Evaluasilah

Cx

Cu

duu

dxxx

dxxduxu

dxxx

9

)3(cos

93

1

)3sin(3))3(cos(3

1

})3sin(3),3cos({

)3sin()3(cos

332

2

2

Aturan Substitusi untuk Integral Tentu

• Misalkan g mempunyai sebuah turunan yang kontinu pada interval [a,b], dan Misalkan f kontinu pada daerah jangkauan dari g. Maka di mana u=g(x):

b

a

bg

ag

duufdxxgxgf)(

)(

)()('))((

Apakah artinya?

• Untuk sebuah integral tentu, ketika sebuah substitusi untuk u dibuat, batas atas dan batas bawah dari integrasi harus diubah. Substitusi dinyatakan dalam x, mereka harus diubah ke dalam nilai yang bersesuaian dalam u.

• Ketika perubahan dalam batas atas dan batas bawah ini dibuat, maka tidak perlu mengembalikan pernyataan fungsi ke dalam x. Fungsi dievaluasi dalam batas atas dan batas bawah dalam u.

Evaluasilah:

3

1

31

21

9

1

53.1)1cos3(cos)cos(sin

39,11,2

1,,

2

sin

uudu

uudxx

duxudxx

x

2.5 Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral dan Penggunaan Simetri

• Nilai rata-rata dari fungsi: jika f dapat diintegrasikan dalam interval [a,b], maka nilai rata-rata dari f dalam interval [a,b] adalah:

b

a

ratarata dxxfab

f )(1

Apakah artinya?

• Jika anda perhatikan integral tentu dari interval [a,b] adalah luas bidang antara kurva f(x) dan sumbu x, rata-rata f adalah tinggi segiempat yang dapat di bentuk pada interval yang sama yang memuat luas bidang yang persis sama.

Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral

• Jika f kontinu pada interval [a,b], maka terdapat sebuah nilai c antara a dan b sedemikian sehingga

b

a

dttfab

cf )(1

)(

Teorema Simetri

• Jika f adalah fungsi genap, maka

• Jika f adalah fungsi ganjil, maka

0)(

)(2)(0

a

a

aa

a

dxxf

dxxfdxxf

2.6 Integrasi Numerik

• Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka integral tentu pasti ada. Tapi, tidak selalu mudah atau memungkinkan untuk mendapatkan integral tentu.

• Dalam kasus-kasus ini, kita menggunakan metode lain untuk mengaproksimasikan integral tentu secara tepat.

Metode untuk Mengaproksimasikan Integral Tentu

• Kiri (atau kanan atau titik tengah) penjumlahan Riemann (perkirakan luas bidang dengan bidang-bidang segiempat)

• Aturan trapesoidal (setimasikan dengan beberapa trapesium)

• Aturan Simpson (estimasikan luas bidang dengan luas bidang yang dimuat di bawah beberapa parabola)

Rangkuman Teknik Numerik

• Mengaproksimasikan integral tentu dari f(x) pada the interval dari a ke b.

)]()(4)...(4)(2)(4)([3

:'

2

)()(

2:

))1((:

13210

1

1

1

nn

n

i

ii

n

i

xfxfxfxfxfxfn

ab

sSimpson

xfxf

n

abTrapezoid

n

abiaf

n

abRiemann