KRUŽNICA

*JEDNAČINA KRUŽNICE : centar C(p,q), r-poluprečnik r)qy()px(

-ili x2+y2+ax+by+c=0 => cqpr;b

q;a

p

*TAČKA I KRUŽNICA:Tačka A se nalazi:

(1) izvan kružnice ako je rAC (2) na kružnici ako je rAC (3) unutar kružnice ako je rAC

*PRAVA I KRUŽNICA:

(1)prava i kružnica nemaju zajedničkih tačaka ako je nqpkkr

(2)prava seče kružnicu u dve tačke ako je nqpkkr

(3) prava je tangenta kružnice ako važi:USLOV DODIRA PRAVE KRUŽNICE

nqpkkr

*ODNOS DVE KRUŽNICE

(1)nemaju zajedničkih tačaka 1. jedna izvan druge rrCC 2.jedna unutar druge rrCC

(2) dodiruju se 1. spolja rrCC 2.iznutra rrCC

(3) seku se ako je rrCC (4) koncentrične su ako je C1=C2

*TANGENTA KRUŽNICE U TAČKI A(x1,y1): (x-p)(x1-p)+(y-q)(y1-q)=r2

-NORMALA U TAČKI NA KRUŽNICU=> prava normalna na tangentu u datoj tački *TANGENTA IZ TAČKE A(x1,y1 ) NA KRUŽNICU :

(1) iz jednačine kružnice odrediti p,q i r (2) t: y=kx+n ; tačka A pripada tangenti => y1=kx1+n => n= y1-kx1 (*) (3) u uslov dodira zameniti p,q,r i n(*) => k1 i k2 a zatim iz (*) n1 i n2 (4) tangente: t1: y=k1x+n1, t2: y=k2x+n2

*UGAO IZMEĐU KRUŽNICE (elipse,hiperbole,parabole) I PRAVE:

(1) odrediti presečne tačke prave i kružnice(elipse,hiperbole,parabole) (2) u jednoj od presečnih tačaka napisati jednačinu tangente u tački na kružnicu

(elipsu,hiperbolu,parabolu) (3) odrediti ugao između date prave i nađene tangente

*UGAO IZMEĐU DVE KRIVE (kružnica,elipsa,hiperbola,parabola):

(1) odrediti presečne tačke krivih (2) u jednoj od presečnih tačaka napisati: t1-tangenta u tački na jednu krivu, t2-tangenta u tački na drugu

krivu (3) odrediti ugao između t1 i t2

*ZAJEDNIČKE TANGENTE DVE KRIVE:

(1) rešiti sistem jednačina :1.uslov dodira jedne krive 2.uslov dodira druge krive

=> k i n tangenta y=kx+n

dve kružnice mogu imati 0,1,2,3 ili 4 zajedničke tangente

kvadrat trinoma (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)

ZADACI: 1.Odrediti poluprečnik i koordinate centra kružnica:

a) 07y4x6yx 22

07y4yx6x 22

0722y33x 2222

202y3x22

20r,2,3C 2

b) 06x4yx 22

10y2x

06y42x

22

22

10r,0,2C 2

c) 010yx 22

10yx 22

10r,0,0C 2

2.Napisati jednačinu kružnice ako je njen centar u tački: a)C(-3,4) a kružnica sadrži koordinatni početak

?r,q,p

rqypx:K

2

222

4q,3p4,3C

5251690403COr22

254y3x:K22

b) C(0,4) a kružnica sadrži tačku A(5,-8)

?r,q,p

rqypx:K

2

222

4q,0p4,0C

13169144258450CAr22

1694yx:K22

c) C(1,-2) a kružnica dodiruje x-osu

Ako kružnica dodiruje x-osu => qr

22r

42y1x:K22

d) C(-5,4) a kružnica dodiruje y-osu

Ako kružnica dodiruje y-osu => pr

55r

254y5x:K22

3.Napisati jednačinu kružnice koja dodiruje obe koordinatne ose a poluprečnik joj je 5.

255y5x:K22

1

255y5x:K22

2

255y5x:K22

3

255y5x:K22

4

4.Napisati jednačinu kružnice kojoj je duž AB prečnik ako je: a) A(1,1), B(-3,2)

2

ABr)2(

2

yy,

2

xxABsC)1( BABA

2

171213

2

1r)2(

2

3,1C)1(

22

4

17

2

3y1x:K

rqypx:K

22

222

b) A(-5,3),B(1,-1)

132

132

2

523151

2

1

2

ABr)2(

1,2C

2

yy,

2

xxABsC)1(

22

BABA

131y2x:K

rqypx:K

22

222

5.Napisati jednačinu kružnice ako se zna da: a)kružnica prolazi kroz tačku A(9,-5) a centar joj se nalazi u preseku pravih 2x+y-15=0 i x-3y+17=0

a:2x+y-15=0 b:x-3y+17=0 (1) baC

(2) ACr

(1) 017y3x

015yx2

2017y3x

015yx2

034y6x2

015yx2

4x08x20157x2

7y049y7

C(4,7)

(2) 13144255794ACr22

1697y4x:K

rqypx:K

22

222

b) kružnica sadrži tačke

1)A(3,5) i B( -1,2) a centar joj se nalazi na pravoj x+y-5=0

222rqypx:K

05yxq,pC)3(

KB)2(

KA)1(

05qp)3(

rq2p1)2(

rq5p3)1(

222

222

2

25

4

50

4

208841211r

r52214

121

4

1

2

2

05qp

r4q4q1p2p

r25q10q9p6p

222

222

2

25

2

11y

2

1x:K

rqypx:K

22

222

05qp

r5q4p2qp

1r34q10p6qp

222

222

805qp

029q6p8

040q8p8

029q6p8

2

1p0

2

1p05

2

11p

2

11q11q2

2)A(-3,-4) i B( 5,2) a centar joj se nalazi na pravoj 3x+y-2=0

222rqypx:K

02yx3q,pC)3(

KB)2(

KA)1(

02qp3)3(

rq2p5)2(

rq4p3)1(

222

222

02qp3

r4q4q25p10p

r16q8q9p6p

222

222

02qp3

r29q4p10qp

1r25q8p6qp

222

222

2

2

r25

r258611

02qp3

4:04q12p16

302qp3

01q3p4

251y1x:K

rqypx:K

22

222

06q3p9

01q3p4

1q02q3

1p05p5

c) kružnica sadrži tačke 1) A(1,0), B(6,2), C(1,8)

222rqypx:K

KC)3(

KB)2(

KA)1(

222rq0p1)1(

222rq2p6)2(

222rq8p1)3(

222

222

222

r64q16q1p2p

r4q4q36p12p

rq1p2p

222

222

222

r65q16p2qp

r40q4p12qp

1r1p2qp

10

23p03916p10

4q064q16

039q4p10

2

2

222

r100

1769

r16110

46

100

529

rq1p2p

100

17694y

10

23x:K

22

2) A(-2,9), B( -4,5), C( 5,8)

222rqypx:K

KC)3(

KB)2(

KA)1(

222rq9p2)1(

222rq5p4)2(

222rq8p5)3(

222

222

222

r64q16q25p10p

r25q10q16p8p

r81q18q4p4p

222

222

222

r89q16p10qp

r41q10p8qp

1r85q18p4qp

2:04q2p14

4:044q8p4

202qp7

011q2p

5q10q2011q21

1p015p15

2

2

r25

r85904251

255y1x:K22

d)kružnica sadrži tačku A(3,-6) i koncentrična je sa kružnicom x2+y2+6x-4y-62=0 *Koncentrične kružnice imaju isti centar.

x2+y2+6x-4y-62=0

06242y93x22

752y3x22 C(-3,2)

p=-3, q=2

1064366233CAr22

1002y3x:K22

6.Odrediti jednačinu zajedničke tetive kružnica x2+y2=10 i x2+y2-6x-6y+2=0.

Zajednička tetiva AB:

(1) B,AKK21

(2) jednačina prave kroz tačke A i B

AB

AB

xx

yyk

AAxxkyy:t

(1)

y2x2yx

6:12y6x6

02y6x610

02y6x6yx

10yx

22

22

2xy:t

1x3y

1x13y

113

31k

)2(

3y2x1y

1y2x3y

2

42

2

1242y

03y2y

2:06y4y2

010yyy44

10yy2

222

111

2/1

2

2

22

22

A(-1,3) B(3,-1)

7.Odrediti uzajamni položaj tačke i kružnice: a) M(-3,6) , K: (x-2)2+(y-1)2=25

rMC

2525256132MC

525r

1,2C

251y2x:K

22

22

Tačka je izvan kruga

b) M(-1,5), K: x2+y2-4x-2y-20=0

rMC

51695112MC

525r

1,2C

251y2x:K

02011y42x:K

020y2x4yx:K

22

22

22

22

Tačka je na kružnici.

c) M(0,0) , K: (x-2)2+(y-1)2=25

rMC

5140102MC

525r

1,2C

251y2x:K

22

22

Tačka je u krugu..

8.Odrediti položaj prave prema kružnici: a) x+y-9=0 i (x-2)2+(y-1)2=25

9n,1k

9xy

09yx:a

25r

1q

2p

251y2x:K

2

22

01436509121125nqkpk1r2222

=> prava seče kružnicu

b)x+y+4=0 i x2+y2-2y-3=0

4n,1k

4xy

04yx:a

4r;1q;0p

41yx:K

0311yx:K

03y2yx:K

2

22

22

22

017258410114nqkpk1r2222

=> prava i kružnica nemaju zajedničkih tačaka

c) 4x+3y-36=0 i x2+y2-4x-2y-20=0

12n,3

4k

12x3

4y

036y3x4:a

25r;1q;2p

251y2x:K

02011y42x:K

020y2x4yx:K

2

22

22

22

09

625

9

625121

3

81

9

1625nqkpk1r

2222

=> prava je tangenta kružnice.

9.Odrediti uzajamni položaj kružnica: a)x2+y2-2x-6y+6=0 i x2+y2-10x-8y+40=0

2r;3,1C

43y1x:K

0693y11x:K

06y6x2yx:K

11

221

221

221

1r;4,5C

14y5x:K

040164y255x:K

040y8x10yx:K

22

222

222

222

317

3rr

173415CC

21

2221

Kružnice su jedna izvan druge

b) x2+y2=25 i 2x2+2y2-4x-3y-25=0

5r;0,0C

25yx:K

11

221

4

15r;

4

3,1C

16

225

4

3y1x:K

02

25

16

9

4

3y11x:K

02

25y

2

3x2yx:K

2:025y3x4y2x2:K

22

22

2

22

2

222

222

2121

21

22

21

rrCC

4

5

4

155rr

4

5

16

250

4

301CC

Kružnice se dodiruju iznutra.

10.Odrediti jednačine tangenti kružnice x2+y2-4x-6y-12=0 koje su: t1 a) paralelne sa pravom 4x-3y-12=0

a: 4x-3y-12=0 (1)a-> ka (2)tIIa=> kt=ka (3)K-> p,q,r2

(4) uslov dodira prave i kružnice: 21

222 n,n0nqkpk1r t2

(5)

2t2

1t1

nxky:t

nxky:t

a

(1)

3

4k

4x3

4y:a

012y3x4:a

a

(2)3

4kkat ta

25r;3q;2p

253y2x:K

01293y42x:K

012y6x4yx:K

)3(

2

22

22

22

(4)

22

2

2

3

1n

3

25

3

1n

9

2525

0n33

8

9

16125

3

26n

3

1n

3

25

1

83

24n

3

1n

3

25

2

(5)

8x3

4y:t

3

26x

3

4y:t

2

1

b) normalne na pravu 3x+4y-10=0 t1

a: 4x-3y-12=0 (1)a-> ka

(2) tta k1kkta

(3)K-> p,q,r2

(4) uslov dodira prave i kružnice: 21

222 n,n0nqkpk1r

(5)

2t2

1t1

nxky:t

nxky:t

t2

(1) a

3

4k

4

10x

4

3y:a

010y4x3:a

a

(2)3

4k1kk tta

25r;3q;2p

253y2x:K

)3(

2

22

(4)

22

2

3

1n

3

25

0n33

8

9

16125

3

26n

1 8

3

24n

2

(5)

8x3

4y:t

3

26x

3

4y:t

2

1

11.Odrediti jednačine tangenti kružnice x2+y2-2x-24=0 koje seku pravu 7x-y=0 pod uglom od 45°.

(1)K-> p,q,r2 (2)a-> k1

(3) 45a,t =>1

kk1

kk

145tg

ta

ta

(3.1) 1kk1

kk

1ta

1ta

(3.2) 1

kk1

kk

2ta

2ta

(4.1) (4.2)

2/1

221t

21t

2

n

0nqpkk1r

2/1

222t

22t

2

n

0nqpkk1r

21t2

11t1

nxky:t

nxky:t

1.5

22t4

12t3

nxky:t

nxky:t

1.5

25r;0q;1p

25y1x:K

024y11x:K

024x2yx:K

)1(

2

22

22

22

7k

x7y:a

0yx7:a

)2(

1

4

3k

k71k7

1k71

k7

)1.3(

1t

1t1t

1t

1t

3

4k

k71k7

1k71

k7

)2.3(

2t

2t2t

2t

2t

22

2

2

222

n4

3

4

25

n4

3

16

2525

0n4

3

16

9125

0nqkpk1r

)1.4(

22

2

22

222

n3

4

3

25

n3

4

9

2525

n3

4

9

16125

0nqkpk1r

)1.4(

2

11

4

22n

n4

3

4

25

1

74

28n

n4

3

4

25

2

3

29n

n3

4

3

25

1

7n

n3

4

3

25

2

7x4

3y:t

2

11x

4

3y:t

1.5

2

1

7x3

4y:t

3

29x

3

4y:t

2.5

4

3

12.Za koji ugao treba da rotira prava a oko svoje tačke M da bi bila tangenta kružnice K: a) a: x-7y+59=0, M(-3,y), K: x2+y2+4x-2y-20=0

(1) M

yaM

2r,q,pK)2(

(3) a->ka (4)

MtMtMxkynnxkytM

nkxy:t

(5)

0nqpkk1r t2t

2 =>kt1/t2

(6) ;kk1

kktg;

kk1

kktg

a2t

a2t

a1t

a1t

βα

8,3M

8y

059y73

059y7x:a

y,3M1

25r;1q;2p

251y2x

02011y42x

020y2x4yx:K2

2

22

22

22

7

1k

7

59x

7

1y

7:59xy7

059y7x:a

3

a

t

t

t

k38n

nk38

nxky:t

8,3M4

024k14k24

049k14kk2525

07kk2525

0k381k2k1255

t2t

t2t

2t

2

t2t

2

tt2t

4

3k

3

4k

24

257

24

576497k

012k7k12

2t

1t

2/1t

t2t

451

28

31

7

1

4

3

tg

451

21

41

7

1

3

4

tg

6

αβ

αα

Prava treba da rotira za 45 stepeni ( u pozitivnom ili negativnom smeru).

b) a: x-7y+50=0 , M( x,7), K: x2+y2=25

7,1M

1x

05049x

050y7x:a

7,xM1

25r

0q

0p

25yx:K2

2

22

7

1k

7

50x

7

1y

050y7x:a

3

a

t

t

t

k7n

nk7

nxky:t

7,1M4

4

3k

3

4k

024k14k24

049k14kk2525

0k7k1255

2t

1t

t2t

t2t

2t

2

t2t

451

28

31

7

1

4

3

tg

451

21

41

7

1

3

4

tg

6

αβ

αα

Prava treba da rotira za 45 stepeni ( u pozitivnom ili negativnom smeru).

13.U presečnim tačkama prave x-7y+29=0 i kružnice x2+y2+8x-9=0 konstruisane su tangente na kružnicu.Odrediti:

(1) presečne tačke prave i kružnice

3,8B82921x3y

4,1A12928x4y

2

17

2

48497y

012y7y

50:0600y350y50

09232y56y841y406y49

0929y78y29y7

09x8yx:K

29y7x029y7x:a

22

11

2/1

2

2

22

22

22

(2) tangente u presečnim tačkama

25y4x:K

09y164x:K

09x8yx:K

22

22

22

13y4x3:t

25y44x3:t

25yy4x4x:t

A

A

AAA

41y3x4:t

25y34x4:t

25yy4x4x:t

B

B

BBB

a) površinu trougla čija su dva temena pomenute presečne tačke a treće teme je presek tangenti

(3) presečna tačka tangenti tA i tB

7,5M

5x

1328x3

7y175y25

123y9x12

52y16x12

341y3x4

413y4x3

(4)površina trougla ABM

2554791573256203

7

3

4

5

8

1

175

138

141

Δ

Δ2

1P

2

25P

b) jednačinu kružnice opisane oko tako dobijenog trougla

*tražena kružnica je kružnica koja sadrži tačke A,B i M ( zadatak 5 c))

2221

2221

2221

2221

rq7p5:KM

rq3p8:KB

rq4p1:KA

rqypx:K

222

222

222

r74q14p10qp

r73q6p16qp

1r17q8p2qp

057q6p8

3056q2p14

057q6p8

0168q6p42

2

7q7q2056q263

2

9

50

225p225p50

2

25rr20

2

65

r172894

49

4

81

22

2

2

25

2

7y

2

9x:K

22

1

c) ugao između tangenti

4

3k

4

13x

4

3y:t

13y4x3:t

1A

A

3

4k

4

41x

3

4y:t

41y3x4:t

2B

B

1kk21

ugao između tangenti je 90°

d) jednačine normala na kružnicu u tačkama preseka

*normale na kružnicu su normale na tangente u tačkama A i B

3

16x

3

4y:n1x

3

44y:n

xxkyy:n

3

4k1kk

4

3k

4

13x

4

3y:t

nAA

AnAAA

nAnA1

1A

3x

4

3y:n8x

4

33y:n

xxkyy:n

4

3k1kk

3

4k

4

41x

3

4y:t

BB

BnBBB

nB2nB

2B

14. U tačkama preseka prave 3x+y-5=0 i kružnice x2+y2-2x+6y+5=0 konstruisane su tangente na kružnicu. Odrediti:

(1) presek prave i kružnice:

4,3B495y3x

1,2A165y2x

06x5x

10:060x50x10

05x1830x2x9x3025x

05x356x2x35x

05y6x2yx:K

x35y05yx3:a

22

11

2

2

22

22

22

(2) tangente u tačkama preseka

53y1x:K

0593y11x:K

05y6x2yx:K

22

22

22

0y2x:t

53y21x:t

53y3y1x1x:t

A

A

AAA

10yx2:t

53y1x2:t

53y3y1x1x:t

A

B

BBB

a) površinu trougla čija su dva temena pomenute presečne tačke a treće teme je presek tangenti

(3) presečna tačka tangenti tA i tB

2,4M2y0y24

4x20x5

20y2x4

0y2x

210yx2:t

0y2x:t

B

A

(4) površina trougla ABM

523181643648

2

4

1

4

3

2

124

143

112

Δ

=> 2

5P

b) jednačinu kružnice opisane oko tako dobijenog trougla

*tražena kružnica je kružnica koja sadrži tačke A,B i M

2221

2221

2221

2221

rq2p4:KM

rq4p3:KB

rq1p2:KA

rqypx:K

222

222

222

r20q4p8qp

r25q8p6qp

1r5q2p4qp

015q2p4

2020q6p2

2

5p02015p2

2

5q025q10

2

5rr5510

4

25

4

25 22

2

5

2

5y

2

5x:K

22

1

c) ugao između tangenti

=> ugao između tangenti je 90°.

d) jednačine normala na kružnicu u tačkama preseka

*normale na kružnicu su normale na tangente u tačkama A i B

5x2y:n2x21y:n

xxkyy:n

2k1kk

2

1k

2

xy:t

nAA

AnAAA

nAnA1

1A

2

5x

2

1y:n3x

2

14y:n

xxkyy:n

2

1k1kk

2k10x2y:t

BB

BnBBB

nB2nB

2B

1kk

2k10x2y10yx2:t

2

1k

2

xy0y2x:t

21

2B

1A

15. Iz date tačke van kružnice konstruisane su tangente na kružnicu. Odrediti njihove jednačine: *TANGENTA IZ TAČKE A(x1,y1 ) NA KRUŽNICU :

(1) iz jednačine kružnice odrediti p,q i r (2) t: y=kx+n ; tačka A pripada tangenti => y1=kx1+n => n= y1-kx1 (*) (3) u uslov dodira zameniti p,q,r i n(*) => k1 i k2 a zatim iz (*) n1 i n2 (4) tangente: t1: y=k1x+n1, t2: y=k2x+n2

a) P(-6,0), x2+y2=9

32x3

3y:t

32x3

3y:t

)4(

3

3k;

3

3

3

1k

3

1k9k27

0k36k99

0k6k19

0nqkpk1r)3(

k6nnk60:tP

nkxy:t)2(

9r,0q,0p

9yx:K)1(

2

1

2122

22

22

222

2

22

b) P(-3,6) i x2+y2+4x+2y-20=0

25r

1q

2p

251y2x:K

02011y42x:K

020y2x4yx:K)1(

2

22

22

22

07kk2525

06k31k2k125

0nqkpk1r)3(

6k3nnk36:tP

nkxy:t)2(

22

22

222

4

15x

4

3y:t

10x3

4y:t4

2

1

4

15n10n

4

3k

3

4k

012k7k12

024k14k24

049k14kk2525

21

21

2

2

22

c) P(1,7) i x2+y2=25

4

3k;

3

4k

024k14k24

0kk1449k2525

0k7k125

0nqkpk1r)3(

k7nnk7:tP

nkxy:t)2(

25r

0q

0p

25yx:K)1(

21

2

22

22

222

2

22

4

25x

4

3y:t

3

25x

3

4y:t

)4(

4

25

4

37n

3

25

3

47n

2

1

2

1

16.Iz tačke A( -5,7) konstruisane su tangente na kružnicu x2+y2+8x-9=0.Odrediti:

*tangente iz tačke na kružnicu:

7k5nnk57:tA

nkxy:t2

25r,0q,4p

25y4x

09y164x

09x8yx:K)1(

2

22

22

22

4

137

4

15n

4

3k

3

417

3

20n

3

4k

012k7k12

024k14k24

07kk2525

07k5k4k125

0nqkpk1r3

22

11

2

2

22

22

222

4

13x

4

3y:t

3

41x

3

4y:t

4

2

1

a) ugao pod kojim se kružnica vidi iz date tačke *ugao između tangenti iz tačke A

1kk21

=> ugao α je 90°.

b)površinu trougla čija su temena data tačka i dodirne tačke tangenti i kružnice *dodirne tačke se dobijaju rešavanjem sistema: tangenta – kružnica

(1)dodirna tačka tangente t1 i kružnice:

081x721681x328x16x9

909x89

1681x

9

328x

9

16x

09x83

41x

3

4x

09x8yx

3

41x

3

4y

22

22

22

22

3,8M

33

41

3

32y8x

08x

064x16x

25:01600x400x25

2

2

2

(2)dodirna tačka tangente t2 i kružnice:

4,1N

4y1x

01x

01x2x

25:025x50x25

0144x128169x78x9x16

1609x816

169x

8

39x

16

9x

09x84

13x

4

3x

09x8yx

4

13x

4

3y

2

2

2

22

22

22

22

2

25P

253205632715

4

3

7

1

8

5

141

138

175

Δ

Δ2

1P3

AMN

c) jednačinu kružnice opisane oko tog trougla

*kružnica koja sadrži tačke A,M,N:

2

25

2

7y

2

9x:K

22

1

(zadatak 13. b) – kružnica koja sadrži iste tačke)

d) ugao pod kojim se seku ove dve kružnice

*ugao između tangenti u tačkama preseka;presek kružnica su tačke M i N. Tangenta u tački M na kružnicu K je tangenta t1

3

4k

3

41x

3

4y:t

11

Tangenta u tački M na kružnicu K1:

2

25

4

7y

2

1

4

63x

2

7:t

2

25

2

7y

2

1

2

9x

2

7:t

2

25

2

7y

2

7y

2

9x

2

9x:t

3,8M

2

25

2

7y

2

9x:K

1K

1K

MM1K

22

1

7k53x7y:t

53yx7:t

22

53y

2

1x

2

7:t

4

56

2

25y

2

1x

2

7:t

31K

1K

1K

1K

Ugao između tangenti t1 i tK1

451

3

253

25

3

471

3

47

tg φβ

e) jednačinu zajedničke sečice kružnica

*jednačina prave MN

7

29x

7

1y:MN

37

8x

7

1y:MN

8x7

13y:MN

xxkyy:MN

7

1

7

1

18

43

xx

yyk

MMNM

NM

NMMN

17. Iz tačke A(4,-2) van kružnice konstruisane su tangente na kružnicu x2+y2-2x+6y+5=0.Odrediti:

k42nnk42:A

nkxy:t

5r,3q,1p

53y1x:K

05y6x2yx:K

2

22

22

10n2k

0n2

1k

02k3k2

2:04k6k4

0k315k5

0k423kk15

0nqkpk1r

22

11

2

2

22

22

222

10x2y:t

x2

1y:t

2

1

a) ugao pod kojim se kružnica vidi iz date tačke

1kk21

=> ugao je 90°.

b)površinu trougla čija su temena data tačka i dodirne tačke tangenti i kružnice

(1)dodirna tačka tangente t1 i kružnice: (2)dodirna tačka tangente t2 i kružnice:

1,2M

1y2x

02x

04x4x

020x20x5

020x20xx4

05x3x2x4

1x

05y6x2yx:K

x2

1y

2

2

2

22

22

22

4,3N

4y3x

03x

09x6x

5:045x30x5

0560x12x2100x40x4x

0510x26x210x2x

05y6x2yx:K

10x2y

2

2

2

22

22

22

2

5P

53164864

4

1

2

3

2

4

143

112

124

Δ

Δ2

1P

AMN

c) jednačinu kružnice opisane oko tog trougla

*kružnica koja sadrži tačke A, M, N -ista kao kružnica u 14.zadatku pod b)

2

5

2

5y

2

5x:K

22

1

d) ugao pod kojim se seku ove dve kružnice

1k1

t,t 2

1k

1

3

1k

3

5x

3

1y:t

3

2

2

5x

2

1

4

15

4

5

2

5x

2

1y

2

3:t

2

5

4

15y

2

3

4

5x

2

1:t

2

5

2

5y

2

3

2

5x

2

1:t

2

5

2

5y

2

5y

2

5x

2

5x:t

31K

1K

1K

1K

MM1K

451

6

56

5

6

11

2

1

3

1

tg ββ

e) jednačinu zajedničke sečice kružnica

5x3y:s

2x31y:s

323

14k

4,3N;1,2M