1ANALITIČKA GEOMETRIJA

RASTOJANJE IZMEĐU DVE TAČKE, PODELA DUŽI U DATOJ RAZMERI I POVRŠINA TROUGLA

Neka su date tačke , tada je rastojanje d(A;B) između tih tačaka :

Neka su date tačke i znamo da tačka deli datu duž u razmeri , tada možemo odrediti koordinate tačke M na sledeći način:

Ako su tačke koordinate trougla ABC, tada je površina trougla

ZADACI1.Odredi rastojanje između tačaka A i B , ako je .2. Odredi dužine stranica trougla ABC ako je . 3. Odredi koordinate težišta trougla ako su data temena .

ZADACI: ( rastojanje , podela duži i površina trougla)

I nivo1. Data su temena trougla: A(-2,3),B(8,-2),C(3,8). Izračunati dužinu stranica i površinu trougla .2. Data su temena trougla: A(-2,3),B(8,-2),C(3,8). Odrediti koordinate sredina stranica trougla.3. Odrediti koordinate tačke C ako je poznato da datu duž AB (A(2,4) i B(-2,3)) deli u razmeri 3:2.II nivo1.Odredi na x osi tačku koja je podjednako udaljena od tačaka M(7,-4) i N(1,-2).2. Odredi na y osi tačku koja je podjednako udaljena od tačaka A(2,-4) i B(6,-2).3. Odredi apscisu tačke A(x,3) , tako da njeno rastojanje od tačke B(-4, 8) bude 13.4. Izračunati površinu trougla čija su temena A(-3,-3),B(3,5),C(-2,5) i izračunati visinu .5. Odrediti dužine težišnih linija trougla čija su temena a) A(1,1), B(5,3), C(3,-3); b)A(3,4),B(-5,2) i C(-1,-6).6. Tačke A(2,-1), B(-1, 4), C(-2,2) su sredine stranica trougla. Odrediti koordinate temena tog trougla. 7. Data su temena trougla A(-3,-2), B(0,-8) i C(5,y). Odredi y tako da trougao bude pravougli sa pravim uglom kod temena A.8. Koordinate temena trougla su A(7,10), B(-1,-4), C(-8, 4). Odrediti središte stranice AB, podeliti stranicu BC u razmeri 1:2 a stranicu CA u razmeri 2:3, povezati deone tačke a zatim izračunati površinu dobijenog trougla.

2JEDNAČINA PRAVE

(RAZLIČITI OBLICI)

PODSETIMO SE: Linearna funkcija je funkcija oblika . Grafik ove funkcije je PRAVA linija. Dakle bilo koja tačka koja pripada grafiku(pravoj) ima koordinate koje zadovoljavaju jednačinu

Primer: Posmatraćemo funkcije

(0,4) i (-2,0) pripada grafiku(pravoj) (0,2) i (-1,0) pripada grafiku (pravoj)kao što vidimo je uticalo na pravac grafika a na odsečak na y osi.

***Dakle, jedan od načina da predstavimo pravu jednačinom je EKSPLICITNI OBLIK

Pri tom je - koeficijent pravca a -odsečak na y osi(iz primera vidimo:- koeficijenti pravaca kod obe prave su jednaki ( ), tako da obe prave imaju isti pravac-paralelne su; -kod prve je =4 a kod druge =2 što odgovara odsečcima na y osi )Koeficijent pravca je inače jednak tangensu ugla koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x ose

*** Pravu mozemo opisati i sledećom jednačinom IMPLICITNI OBLIK

Iz ovako zadate jednačine može se zaključiti sledeće:-ako je A=0 onda je prava paralelna osi;-ako je B=0 onda je prava paralelna osi;-ako je C=0 onda prava prolazi kroz koordinatni početak.

*** Prava se može još zadati i sledećom jednačinom

SEGMENTNI OBLIK

Pri tom je m- odsečak na x osi a n- odsečak na y osi

Važno je da se sa bilo kog oblika može preći (odgovarajućom transformacijom) na bilo koji drugi.

3PRIMERI: 1. Kako sa jednog oblika prelazimo na drugi? Neka je prava zadata u eksplicitnom obliku

Ako sve veličine „stavimo“ sa iste strane jednakosti dobijamo ,

što predstavlja implicitni oblik A=2, B=-1, C=4. Odavde proizilazi

,Podelom leve i desne strane jednakosti sa -4 dobija se

Ovo je segmentni oblik , pri čemu je m=-2 a n=4

2. Kako proveravamo da li neka tačka pripada zadatoj pravoj?Neka je prava zadata na sledeći način .

*Da li tačka A(2,3) pripada ovoj pravoj? U datoj jednačini umesto x-a stavićemo broj 2 a umesto y-a broj 3:

Ovo je netačna jednakost pa zaključujemo . *Da li tačka B(3,5) pripada ovoj pravoj?Slično predhodnom primeru :

Ovo je tačna jednakost pa zaključujemo .

3. Kako formiramo jednačinu prave ako znamo odsečke na koordinatnim osama?Formiraćemo jednaćinu prave ako znamo da prava odseca na x i y osi redom odsečke 4 i 3 .Opredelićemo se za segmentni oblik jer se u tom obliku jasno ističu odsečci. Kako je odsečak na x osi 4, a na y osi 3 m=4 a n=3 pa jednačina postaje

Odavde možemo preći na bilo koji od preostala dva oblika.

4. Kako formiramo jednačinu prave ako znamo ugao koji zaklapa sa x osom i odsečak na y osi?Neka je ugao koji prava zaklapa sa x osom (pozitivnim smerom x ose) 60°, a odsečak na y osi 4.Opredelićemo se za eksplicitni oblik jer se u tom obliku pojavljuje k ( ) i n ( odsečak na y osi)

Dakle , jednačina postaje Odavde možemo preći na bilo koji od preostala dva oblika.

4ZADACI: ( razni oblici jednačine prave)I nivo1. Transformiši jednačinu prave p u segmentni oblik i nacrtaj u koordinatnom sistemu datu pravu. 2. Odrediti jednačinu prave koja na apscisnoj osi odseca odsečak 3, a na ordinatnoj -5.3. Odredi jednačinu prave koja sa x-osom gradi ugao , a na y osi odseca odsečak n :

4. Da li tačka P pripada pravoj p:

?5. Odrediti tačke u kojima prava seče koordinatne ose.II nivo1. Dokazati da središte duši AB gde su A(3,4) i B(5,1), pripada pravoj 2. Prave obrazuju trougao. Odrediti temena i površinu trougla.3. U jednačini odredi parametar p, tako da grafik prave sa x-osom gradi ugao od .4. U jednačini odredi parametar p, tako da:

prava sadrži koordinatni početak; prava odseca na ordinatnoj osi odsečak 55. Izračunati površinu trougla koga obrazuje sa koordinatnim osama prava .6. U jednačini ,odredi parametar p tako da prava gradi dva puta veći odsečak na apscisnoj nego na ordinatnoj osi.7. U jednačini odredi parametre p i k tako da prava sadrži tačku M(2,1) , a sa koordinatnim osama gradi trougaopovršine 4.8. U jednačini odredi parametar p tako da odsečak prave između koordinatnih osa iznosi 5.

MEĐUSOBNI ODNOS (položaj) DVE PRAVEDve pravep: i q: mogu da :1. Nemaju zajedničkih tačaka (PARALELNE SU) : tada važi 2. Seku se . Tada imaju jednu zajedničku tačku čije su koordinate (x,y) –rešenja sistema

a ugao pod kojim se seku ove prave(tačnije tangens tog ugla) izračunava se po sledećoj formuli:

odakle se lako nalazi ugao.

Specijalno : Prave mogu da se seku pod pravim uglom

(NORMALNE SU JEDNA NA DRUGU): tada važi

PRIMERI: I Određivanje jednačine prave za koju znamo jednu tačku koja joj pripada i položaj u odnosu na neku drugu zadatu pravu.

1.Odrediti jednačinu prave p koja sadrži datu tačku P(2,3) i paralelna je sa pravom q: .Rešenje: Treba odrediti jednačinu prave p: , dakle treba naći i .Šta znamo? * .....(1)* to znači da su im koeficijenti pravaca jednaki . Pošto je prava q u implicitnom obliku mi je prevodimo na eksplicitni i dobijamo .

. Vidimo da je odakle zaključujemo da je i .

5Zamenom u jednakosti (1) dobijamo , odavde je . Dakle jednačina prave p je

2. Odrediti jednačinu prave p koja sadrži datu tačku P(1,2) i normalna je sa pravom q: .Rešenje: * ....(1)

* što znači da je .

Pošto je prava q u implicitnom obliku mi je prevodimo na eksplicitni i dobijamo

, Vidimo da je pa je onda .

Zamenom u jednakosti (1) dobijamo: , odakle je

Dakle jednačina prave p je

II Određivanje ugla pod kojim se seku prave p i q1. Odrediti ugao pod kojim se seku prave i

Rešenje: obe prave prevodimo na eksplicitni oblik , odakle se vidi da je .

Lako se dobija da je , odakle je jasno da je

*JEDNAČINA PRAVE KOJOJ PRIPADAJU DVE TAČKENeka su date tačke

Ovim tačkama određena je jedna prava na sledeći način

Koeficijent pravca date prave određen je relacijom

Primer: Date su tačke . Napisati jednačinu prave koja je određena ovim tačkama Rešenje:

*RASTOJANJE TAČKE OD PRAVENeka je data tačka i prava .

Tada je rastojanje tačke A od prave p dato relacijom

Primer: Data je tačka i prava . Izračunaj rastojanje tačke od prave

Rešenje:

6Zadaci :

1. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku i paralelna je sa pravom .2. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku i normalna je na pravu .3. Odrediti jednačinu prave koja sadrži koordinatni početak i normalna je sa pravom .4. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku i paralelna je pravoj koja je određena tačkama

.5. Odrediti jednačinu normale konstruisane u središtu duži čiji su krajevi tačke 6. Odrediti projekciju tačke na pravu 7. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih i paralelna je

pravoj 8. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih i normalna je

na pravu 9. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presek y-ose i prave i paralelna je pravoj

10. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih i tačku .

11. Napisati jednačine dijagonala četvorougla čija su temena .12. Napisati jednačine težišnih duži trougla čija su temena .13. Izračunati rastojanje preseka pravih od prave

14. U jednačini , odrediti p tako da prava bude paralelna sa :

KRIVE DRUGOG REDA : KRUŽNICA

Kružnica je skup tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje ma koje tačke M(x,y) od centra C(p,q) stalan broj r (poluprečnik kružnice).

Jednačina kružnice je

x

8 y

0

-2

-4

2 4 6 8 10-2-4-6-

-6

-8

6

4

2

O(p,q)

r

M(x,y)

Sa ovog oblika može se preći na drugi oblik jednačine kružnice

Sa jednog na drugi oblik može se preći preko sledećih jednakosti

Kako određujemo koordinate centra i poluprečnik, ako je kružnica zadata opštim oblikom?Primer 1.Odrediti centar i poluprečnik kružnice i kružnicu predstaviti u koordinatnom s-mu, ako je ona zadata na sledeći način: .

7Rešenje: Najpre uočimo da je , a zatim primenom formula: ,

dobijamo da je

Kako određujemo jednačinu kružnice, ako znamo jednu njenu tačku i koordinate centra?Primer 2. Odrediti jednačinu kružnice , ako tačka i koordinate centra Rešenje: Da bi odredili j-nu kružnice, neophodno je da nađemo . Pošto znamo koordinate centra , možemo zapisati kanonski oblik j-ne :

Treba odrediti samo poluprečnik ( 1 nepoznati element), a imamo jedan podatak .To zamenimo i dobijamo , odakle se dobija

Kako određujemo jednačinu kružnice, ako znamo dve njene tačke i još jedan podatak(poluprečnik ili jednu koordinatu centra)?Primer 3. Odrediti jednačinu kružnice , ako tačka i Rešenje: Da bi odredili j-nu kružnice , neophodno je da nađemo još .

, dakle dve jednačine i dve nepoznate. Rešavanjem s-ma , dobija se

i Na sličan način rešavaju se problemi određivanja jednačine kružnice, ako znamo tri njene tačke.

ODNOS KRUŽNICE SA TAČKOM, PRAVOM I DRUGOM KRUŽNICOM

Međusobni položaj kružnice i tačke (prave, kružnice)TAČKA PRAVA KRUŽNICA

K

RU

ŽN

ICA

Pripada oblasti kružnice Seče kružnicu Seku se

Na kružnici Dodiruje kružnicu Dodiruju se Spolja

2121 ),( rrOOd Unutra

Van kružnice Nemaju zajedničkih tačaka Nemaju zajedničkih tačaka

Zadaci Međusobni položaj kružnice i tačke (prave i kružnice)

1.Odrediti položaj tačke prema kružnici:

2. Odrediti položaj prave i kružnice:

3.Odrediti uzajamni položaj kružnica:

8ODNOS KRUŽNICE PRAVOM Uslov dodira kružnice i prave

Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu u jednoj tački.

t Uslov da prava dodiruje kružnicu (bude njena tangenta) je : ..... 1 Gde je

...... 2

(p, q) –koordinate centra O

1. Neka je data kružnica k i prava t (implicitni oblik).

Iz uslova (1) i (2) sledi

O.

Kvadriranjem leve i desne strane jednakosti , dobijamo odakle

dobijamo uslov dodira prave i kružnice

ako je centar kružnice koordinatni početak , onda uslov dodira glasi :

2. Neka je data kružnica k i prava t (eksplicitni oblik).

Sa eksplicitnog oblika prelazino na implicitni : i vidimo da je , i

Sada uslov dodira postaje a nakon sređivanja imamo novi uslov dodira

ako je centar kružnice koordinatni početak , onda uslov dodira glasi :

Kvadriranjem leve i desne strane jednakosti , dobijamo odakle

dobijamo uslov dodira prave i kružnice

9ako je centar kružnice koordinatni početak , onda uslov dodira glasi :

2. Neka je data kružnica k i prava t (eksplicitni oblik).

Sa eksplicitnog oblika prelazino na implicitni : i vidimo da je , i

Sada uslov dodira postaje a nakon sređivanja imamo novi uslov dodira

ako je centar kružnice koordinatni početak , onda uslov dodira glasi :

ZADACI Uslov dodira - kružnica i prava1.U jednačini prave odrediti parametar k, tako da ona bude tangenta kružnice .2.U jednačini prave odrediti parametar m, tako da ona bude tangenta kružnice .3. Odrediti jednačine tangenti kružnice

Koje su paralelne sa pravom Koje su normalne sa pravom

4. Naći jednačinu prave koja sadrži tačku A(2,-6) i dodiruje kružnicu .5. Naći jednačinu prave koja na apcisnoj osi odseca odsečak i dodiruje kružnicu .6. Naći jednačinu prave koja na ordinatnoj osi odseca odsečak i dodiruje kružnicu .7. Odrediti jednačinu prave koja odseca na y-osi dva puta veći odsečak nego na x-osi I dodiruje kružnicu

8. Odrediti jednačinu kružnice koja dodiruje prave , a centar joj pripada pravoj

9. Odrediti jednačinu kružnice koja sadrži tačku A(1,6) i dodiruje prave i .\

10KRIVE DRUGOG REDA : ELIPSA

Elipsa je skup tačaka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja ma koje tačke (M) od dveju stalnih tačaka (F1,F2) stalan broj ( ).

x

y

-

-

----

-

-

B1(b, 0)

B2 (b, 0)

A1( a ,0) )

A2 ( - a ,0)

2b

2aF2 (e,0)F1 (-e,0)

r1r2

M(x,y)

Dakle za bilo koju tačku važiće , gde su potezi elipse ( rastojanja tačke M od F1 i F2 redom) Stalne tačke F1(-e, 0) i F2(e, 0) su ŽIŽE elipse i važi Tačke A1(a,0), A2(-a,0), B1(0,b) i B2(0,-b) su temena elipse i važi

velika osa mala osa

Za date elemente elipse važi relacija linearna ekscentričnost elipse Ovde važi

Linearna jednačina elipse je

A uslov dodira tj.uslov da prava dodiruje elipsu je

11KRIVE DRUGOG REDA : HIPERBOLA

Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je razlika rastojanja ma koje tačke (M) od dveju stalnih tačaka (F1,F2) stalan broj ( ).

x

y

-

-

----

-

-

A1( a ,0) A2 ( - a ,0)

2aF2 (e,0)F1 (-e,0)

M(x,y)r1

r 2

Dakle za bilo koju tačku važiće , gde su potezi hiperbole( rastojanja tačke M od F1 i F2 redom) Stalne tačke F1(-e, 0) i F2(e, 0) su ŽIŽE hiperbole i važi Tačke A1(a,0), A2(-a,0), B1(0,b) i B2(0,-b) su temena hiperbole i važi

velika (realna) osa mala (imaginarna) osa

Za date elemente elipse važi relacija linearna ekscentričnost hiperbole

Ovde važi Linearna jednačina hiperbole je

Jednačine asimptota hiperbole su

A uslov dodira tj.uslov da prava dodiruje hiperbolu je

12Zadaci – kružnica, elipsa, hiperbola (uslov dodira)

1. Odrediti jednačinu prave čiji je odsečak između koordinatnih osa u prvom kvadrantu dva puta veći od njenog rastojanja od koordinatnog početka, a površina trougla koji obrazuje tražena prava sa koordinatnim osama je 4,5.2. Data su susedna temena paralelograma A(-3,-1), B(2,2), a tačka S(3,0) je presek dijagonala tog paralelograma. Odrediti jednačine stranica tog paralelograma.3. Odrediti jednačinu tangente na kružnicu u tački M(1,-2).4. Odrediti jednačinu tangente: a)kružnice u tački M(5,5),b) kružnice u tački M(0,3),c) kružnice iz koordinatnog početka.5. Odrediti jednačine onih tangenti na kružnicu , koje su paralelne sa pravom 6. Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar na pravoj i koja dodiruje prave i

7. Odrediti za koje vrednosti i elipsa prolazi kroz tačke A(2,3) i B(-1,-4).

8. Odrediti jednačinu prave koja dodiruje elipsu u tački A(2,-3).

9. U presečnim tačkama prave i elipse povučene su tangente na elipsu. Odrediti jednačine tih tangenti.

10. Odrediti jednačinu onih tangenti elipse , koje su paralelne pravoj

11. Odrediti jednačinu hiperbole , čija tangenta u tački A(4,2) ima jednačinu .

12.Odrediti jednačinu hyperbole, ako su njene asimptote i jednačina jedne od njenih tangenata